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Corso di Introduzione alla Finanza Quantitativa (matematica computazionale) Desenzano 10/11 Settembre 2011 17/18 Settembre 2011 A cura di: Luigi Piva www.intermarketstrategies.eu Equity Line Solutions Londra

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MODULO 3 Sabato 17 settembre h10.00-13.00 e 14.30-18.00 STRATEGIE QUANTITATIVE DINVESTIMENTO 1- Analisi economica delle alternative: 1.1 descrizione delle opportunit dinvestimento; 1.2 Strategie dinvestimento 1.3 Valutazione dei titoli azionari 2- La decisione tra diverse alternative: 2.1 Tipi di proposte dinvestimento; 2.2 Opzioni 2.3 Derivati sui tassi si interesse 2.4 Ottimizzazione di portafoglio

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Portfolio Selection Teoria dellutilit La massimizzazione dellutilit attesa, riconosciuta come criterio generale di decisione in condizioni di incertezza, costituisce un obiettivo di tipo globale, nel senso che raccoglie direttamente in una sintesi finale tutti I singoli elementi di giudizio che possono concorrere, anche in maniera contrastante tra loro, a determinare la preferibilit di una scelta rispetto ad unaltra. Molto spesso si ottiene una descrizione pi chiara del problema decisionale disaggregando lobiettivo globale in pi obiettivi parziali; tali obiettivi andranno dapprima considerati separatamente e poi armonizzati tra loro in una fase finale, nella quale il miglior compromesso verr individuato perseguendo lobiettivo globale.

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Portfolio Selection Teoria dellutilit Un esempio tipico di questo modo di procedere si ha nel campo delle scelte pubbliche, quando vogliamo rappresentare le preferenze di una collettivit organizzata di individui, intesa come ununica entit, attraverso una funzione di utilit sociale. In questo contesto risulter significativo considerare dapprima come obiettivi parziali le preferenze, generalmente contrastanti, dei singoli individui, per conglobarli, poi, armonizzandoli nel modo giudicato pi idoneo rispetto a certi criteri prefissati, nella funzione di preferenza collettiva.

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Portfolio Selection Misure di rischiosit Nellambito della teoria delle decisioni finanziarie in condizioni di incertezza espressivo scomporre il criterio della massimizzazione dellutilit attesa introducendo due obiettivi parziali, consistenti, intuitivamente, nella massimizzazione del profitto da una parte, e nella minimizzazione del rischio dallaltra. Con riferimento allindividuo I, dotato di funzione di utilit u(x), che deve valutare la situazione finanziaria incerta X, la decomposizione pu essere effettuata in modo rigoroso definendo una misura di rischiosit di X come: avendo indicato con U(X) lutilit attesa E[u(X)]

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Portfolio Selection Come risulta dalla diseguaglianza di Jensen e, pi in generale, dalle considerazioni svolte in precedenza, questa misura di rischiosit non mai negativa e si annulla solo nei casi estremi di variabile aleatoria X degenere. Esempio: se lindividuo I dotato di funzione di utilit quadratica Lequazione precedente fornisce:

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Portfolio Selection Dato che, per costruzione, : La massimizzazione dellutilit attesa dovr ottenersi contemperando in qualche modo la massimizzazione di u[E(X)] e la minimizzazione di (X). Dato che u(x) una funzione monotona di x, il primo di questi obiettivi si riduce a massimizzare E(X). Restano quindi individuati due criteri di scelta parziali, che consistono luno nel rendere massimo il valore atteso dellimporto incerto X, laltro nel rendere quanto pi piccola possibile la rischiosit.

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Portfolio Selection Lutilit attesa come funzione di rischio e rendimento Lespressivit di questo approccio risulta evidente se si rappresentano la rischiosit e la speranza matematica di X su un piano cartesiano, secondo il metodo tipico della cosiddetta analisi rischio-rendimento. Per semplicit di notazione indicheremo con m la speranza matematica di E(X) e con la rischiosit di (X). Evidentemente, ogni possibile posizione finanziaria sar caratterizzata da un valore della media e da un valore della rischiosit; sar quindi rappresentata da un punto P nel piano (,m). Di conseguenza linsieme X delle opportunit avr la forma di un sottoinsieme del piano (,m).

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Portfolio Selection Lutilit attesa ha la forma: Geometricamente, ad ogni punto P rappresentativo di una posizione finanziaria incerta X, corrisponder un valore della funzione U(P) e quindi lutilit attesa sar rappresentata da una superficie nello spazio a tre dimensioni (, m, U) defnita sullinsieme X delle opportunit. Ragionando nel piano (, m) si pu assumere che u(x) sia derivabile almeno due volte. La derivata parziale di U rispetto a m positiva, essendo

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Portfolio Selection Quindi si pu affermare che tra due punti aventi la stessa ascissa sar preferito quello avente ordinata m maggiore, dato che lutilit attesa U funzione crescente di m, per fissata. Analogamente, la derivata parziale di U rispetto a negativa: Conseguentemente, comunque presi due punti sulla retta m= costante, sar preferito tra essi quello con valore minore dellascissa .

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Portfolio Selection Nella figura, ad esempio A > B, dato che, a parit di rischiosit, il punto A corrisponde ad una situazione finanziaria con valore atteso maggiore

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Portfolio Selection Analogamente C > D, poich, per uno stesso livello di importo atteso, la posizione C caratterizzata da un valore pi basso della rischiosit. Naturalmente questo semplice criterio introduce un ordinamento soltanto parziale, come subito si verifica osservando che le posizioni corrispondenti ai punti B e C, ad esempio, risultano tra loro non confrontabili. La rappresentazione completa delle preferenze potr ottenersi solo considerando congiuntamente gli obiettivi ed m attraverso la valutazione della funzione U(,m). Le ipotesi generali sulla funzione di utilit permettono di ricavare landamento qualitativo delle linee di livello della superficie U(,m), cio la forma del luogo dei punti del piano (,m) che corrispondono ad uno stesso livello u 0 dellutilit attesa e che risultano pertanto indifferenti tra loro.

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Portfolio Selection Queste linee di livello, dette curve di indifferenza, sono implicitamente descritte dallequazione U (,m) = u 0 dove u 0 assume il significato di un parametro che contraddistingue tra di loro le singole curve. Dato che u(x) dotata di inversa, lequazione: Pu essere risolta rispetto ad m, fornendo quindi lespressione della curva di indifferenza con utilit attesa u 0, si ha:

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Portfolio Selection La derivata prima ha la forma: Ed quindi positiva, per lipotesi di crescenza su u(x)(u(x)>0) Calcolando la derivata seconda si ottiene:

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Portfolio Selection Anchessa positiva per la crescenza e concavit di u(x)(u(x)

Portfolio Selection Per ogni livello fissato di m 0, del valore atteso E(X), la corrispondente opportunit di frontiera sar soluzione del problema: Geometricamente, fissato il livello m 0, lopportunit di frontiera sar rappresentata dal punto P 0 di x alla cui destra si situano tutti gli altri punti X che giacciono sulla retta orizzontale m = m 0. Tali punti-opportunit saranno tutti dominati da P 0, nel senso della relazione di preferenza >.

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Portfolio Selection Al variare di m 0, vengono individuate in X tutte le opportunit di frontiera, che costituiscono appunto la frontiera di X, o frontiera delle opportunit, che indicheremo con B. Sulla frontiera B possono esistere delle opportunit caratterizzate dalla stessa rischiosit, ma diversa speranza matematica; possono cio esistere dei punti di frontiera situati sulle retta verticale = 0. Si definisce allora opportunit efficiente ogni opportunit di frontiera che ha massimo valore atteso fra tutte le opportunit di B aventi uguale rischiosit 0.

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Portfolio Selection Una opportunit efficiente quindi soluzione del problema: Il luogo delle opportunit efficienti, corrispondenti ai diversi valori di 0, un sottoinsieme della frontiera B, ed chiamato frontiera efficiente dellinsime X. Gli elementi che compongono la frontiera efficiente rappresentano dei punti di ottimo paretiano, dal nome delleconomista Vilfredo Pareto.

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Portfolio Selection Il procedimento in base al quale abbiamo definito la frontiera garantisce infatti che non ci si pu spostare su di essa per migliorare uno degli obiettivi parziali, per es. Per aumentare la speranza matematica, senza peggiorare laltro, senza cio aumentare la rischiosit.

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Portfolio Selection Con lindividuazione della frontiera efficiente si esaurisce la fase di ottimizzazione, consistente nellanalizzare separatamente gli obiettivi parziali. Il processo decisionale sar risolto individuando il punto di massimo dellobiettivo globale U (,m), e questo non potr che essere uno dei punti di ottimo. Si tratter quindi di individuare il punto della frontiera efficiente che si situa sulla curva di indifferenza U (,m) = con valore pi alto di della utilit attesa. Nella figura, la zona ombreggiata indica linsieme X delle opportunit, allora La linea continua che ne costituisce il contorno rappresenta le frontiera delle opportunit B.

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Portfolio Selection I punti P 0, P 1 e P 2 rappresentano le opportunit di frontiera relative ai livelli di speranza matematica E(X) uguali a m 0, m 1 e m 2, rispettivamente. Il punto P 1 corrisponde allopportunit meno rischiosa tra tutte le opportunit disponibili. La porzione della frontiera B che corrisponde a valori di m maggiori, evidenziati in nero, costituisce la frontiera efficiente , cio il luogo dei punti di ottimo. Il punto di massimo il punto per cui si ha la massima utilit attesa tra tutti I punti di , e quindi tra tutti I punti di X. Come si vede il punto di tangenza tra la frontiera efficiente e la linea di indifferenza U =.

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Portfolio Selection I Modelli Media-Varianza Secondo lapproccio sviluppato in precedenza, con lintroduzione di obiettivi parziali la massimizzazione dellutilit attesa per un individuo I pu essere fatta precedere da una fase in cui vengono ricercate soluzioni ottime nel senso di Pareto. E importante sottolineare che con questa impostazione la forma della funzione di utilit, e quiandi la struttura delle preferenze di I, non entra in gioco solo nella seconda fase, ma svolge un ruolo importante anche nella precedente fase di ottimizzazione.

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Portfolio Selection Infatti la misura di rischio generalizzata (X), definita in precedenza, dipende essa stessa dalla funzione di utilit, la cui forma contribuir quindi anche alla determinazione della frontiera efficiente. In molti modelli decisionali, pi orientati verso le applicazioni pratiche. importante individuare degli obiettivi parziali di valore pi oggettivo nel senso di poter essere considerati comuni ad unintera classe di individui, che possono essere pensati come gli agenti economici partecipanti a un ideale mercato finanziario. In questo modo la suddivisione del processo decisionale nelle due fasi di ottimizzazione e di massimizzazione equivale a scomporre lanalisi dellincertezza in due momenti distinti.

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Portfolio Selection Dapprima ne vengono studiati gli effetti sullambiente economico in cui I decisori agiscono, in n secondo tempo vengono introdotte le considerazioni sul comportamento dei singoli, specificando le preferenze individuali di fronte al rischio. Nellambito di una concezione oggettiva della probabilt risulter naturale individuare obiettivi parziali determinati unicamente dalle caratteristiche delle funzioni di distribuzione F(x) delle variabili aleatorie X. Si tratta di un modo di procedere evidentemente in contrasto con la teoria soggettiva delle probabilit per la quale lutilit e l aprobabilit andrebbero definite, almeno in via teorica, simultaneamente e congiuntamente, la definizione stessa di probabilit soggettiva essendo un caso particolare della teoria delle decisioni.

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Portfolio Selection Tuttavia, in molte situazioni reali si constata che pi facile trovare accordo tra gli individui a proposito delle distribuzioni di probabilit piuttosto che sul grado di avversione al rischio. Ci ha portato a sviluppare modelli basati sullipotesi di homogeneous expectations, per cui, basandosi sullosservazione che luniformit di aspettative sembra costituire una situazione molto meno irrealistica delluniformit nei livelli di avversione al rischio, si assume che tutti gli agenti economici condividano le stesse opinioni probabilistiche e si differenzino solamente per la concavit pi o meno accentuata della funzione di utilit. Questo tipo di approccio, se inteso come una prima, gossolana approssimazione di certe situazioni reali, pu essere considerato accettabile anche da un punto di vista soggettivista.

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Portfolio Selection Tra I possibili obiettivi parziali che un individuo I deve perseguire per massimizzare la propria utilit attesa U(X), la massimizzazione del valor medio e la minimizzazione della varianza sono I pi importanti ed immediati. Ammettendo che la funzione di utilit di I sia sviluppabile in serie di Taylor e scegliendo, ad esempio, come punto iniziale dello sviluppo il valore atteso m=E(X) si ha: Essendo R 3 il resto di terzo ordine espresso dalla:

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Portfolio Selection Sotto condizioni di regolarit lutilit attesa sar allora espressa dalla: con: Dalla prima, si deduce che la preferenza per valori pi alti della media e per valori pi bassi della varianza una conseguenza necessaria delle propriet di monotonia e concavit della u(x), dato che il contributo dellutilit attesa fornito dal primo termine aumenta con E(X), mentre quello fornito dal secondo termine negativo ed aumenta il valore assoluto con V(X).

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Portfolio Selection Tuttavia anche evidente che il perseguimento di questi due obiettivi parziali non , in generale, sufficiente per garantire il conseguimento dellobiettivo globale, in quanto, per una generica funzione di utilit e per una generica distribuzione di probabilit, U(X), anche funzione dei momenti di X di ordine superiore al primo, rappresentati nel termine E[R 3 (X)] I criteri decisionali che accettano di ridurre il problema della scelta in condizioni di incertezza al perseguimento di obiettivi di primo e secondo ordine sono noti come modelli media-varianza. La loro giustificazione teorica alla luce del principio dellutilit attesa stata molto dibattuta.

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Portfolio Selection Teoria dei modelli media-varianza Se non si fanno ipotesi sulla distribuzione di probabilit di X, lapproccio media-varianza pu essere motivato ipotizzando una funzione di utilit quadratica : Infatti in questo caso tutte le derivate di u(x) di ordine superiore al secondo si annullano, per cui il termine E[R 3 (X)] diviene nullo. Vanno per ricordati I limiti di significativit economica della funzione di utilit quadratica, che pu essere accettata solo se definita per valori di x minori di 1/a e che caratterizzata da avversione al rischio r(x) crescente.

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Portfolio Selection In molti casi, lunico modo corretto per giustificarne lutilizzazione quello di intederla come approssimazione di una generica funzione di utilit, nello spirito delle considerazioni svolte in precedenza. Se non si accettano ipotesi specifiche sulla funzione di utilit, il modello media varianza pu essere giustificato assumendo che la variabile aleatoria X abbia distribuzione di probabilit normale. Questa distribuzione individuata completamente dalla media e dalla varianza. Si riconosce allora che il termine e quindi il valore dellutilit attesa dato dalla precedente espressione, possono essere espressi in termini esatti solo in funzione di m e V e si pu fare vedere che questa dipendenza funzionale crescente rspetto ad m e devrescente rispetto a V.

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Portfolio Selection La distribuzione normale inoltre caratterizzata dalla propriet di stabilit, per la quale la somma di variabili aleatorie normali ancora una variabile aleatoria normale, si tratta di una propriet particolarmente utile nelle applicazioni alla selezione di portafoglio. Lipotesi di normalit presentaper anche degli inconvenienti di utilizzazione nella modellistica finanziaria. Il fatto, per esempio, di attribuire probabilit non nulla a valori negativi di x la rende incompatibile con luso di funzioni di utilit definite solo sui reali positivi, come lutilit logaritmica. Lapproccio media-varianza non ha quindi le caratteristiche di generalit di quello basato sul principio dellutilit attesa. Tuttavia la sua semplicit concettuale e la sua maggiore utilizzabilit pratica gli hanno assegnato un ruolo centrale nella teoria finanziaria in condizioni di incertezza.

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Portfolio Selection Sar utile osservare che, se I modelli media-varianza sono correttamente inquadrati nella teoria dellutilit attesa, la varianza non va intesa come una misura della rischiosit della posizione finanziaria X, ma solo come uno dei fattori che la determinano. Essendo individuata unicamente dalla distribuzione di probabilit, la varianza di X misura il grado di incertezza attribuita alla opportunit X da individui che condividono le stesse opinioni probabilistiche, ma non individua il livello di rischiosit che viene effettivamente percepito dai singoli individui e che ne determina, in definitiva, le scelte. In quanto questo dipender anche dai diversi gradi di avversione al rischio.

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Portfolio Selection Nel caso, ad esempio, di un decisore dotato di funzione di utilit quadratica con parametro a, la misura di rischiosit di X, data da : (X)=(1/2)aV(X) E sar quindi diversa dalla rischiosit: (X)=(1/2)aV(X) Percepita da un altro decisore che assegni ad X la stessa varianza e che abbia anche utilit quadratica, ma con parametro a diverso da a.

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Portfolio Selection Analisi media-varianza di portafogli azionari La selezione di portafogli di attivit rischiose rappreseta lapplicazione principlae dei modelli media-varianza. Lo schema pi elementare, cui conviene fare riferimento, costituito da un modello di mercato strutturato su un solo periodo di tempo, che assumeremo di durata unitaria, ad esempio annua. Si ipotizza che al tempo zero, inizio periodo, siano disponibili sul mercato n titoli rischiosi, che possono essere acquistati ad un prezzo k (con k=1,2,,n) noto a tutti gli investitori. L valore a fine periodo del k-esimo titolo invece sconosciuto al tempo zero, ed quindi rappresentato da una variabile aleatoria X k (k=1,2,,n).

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Portfolio Selection Analisi media-varianza di portafogli azionari Si possono pensare le Xk come le future quotazioni di borsa dei titoli azionari, anche se il modello conserva la sua significativit nel caso di applicazioni diverse. Per semplificare la notazione converr ragionare in termini di tassi si interesse, in linea, daltra parte, con la consuetudine della matematica finanziaria di condizioni di certezza. La differenza X k k rappresenta lincremento di valore, aleatorio, ottenuto acquistando il k-esimo titolo, quindi la variabile aleatoria:

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Portfolio Selection Rappresenta il corrispondente tasso di interesse, relativo al periodo unitario. Nel linguaggio corrente si usa riferirsi ad I k col termine abbreviato di rendimento. E il caso di osservare che, in condizioni di incertezza, non garantito che il valore finale X k del titolo azionario sia maggiore del suo valore di acquisto k, quindi la variabile aleatoria I k pu anche assumere determinazioni negative. Se, ad esempio, si investono x lire nel titolo k-esimo, il valore a fine periodo x(1+I k ) dellinvestimento potr risultare anche minore di x.

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Portfolio Selection Portafogli di attivit rischiose Consideriamo ora un individuo I che investa un capitale certo c in titoli azionari. Se si indica con k la quota percentuale del capitale dedicata allacquisto del k-esimo titolo, il portafoglio di investimento di I sar rappresentato dal vettore: Sar soddisfatta la condizione:

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Portfolio Selection Valori negativi delle quote k potranno essere ammessi solamente se si accetta che sul mercato sia consentito effettuare vendite allo scoperto. Dato che il capitale investito nella k-esima azione c k, il valore a fine periodo del portafoglio sar dato da: Quindi il (tasso di) rendimento del portafoglio definito I = (X-c)/c risulter espresso come:

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Analisi di Portfolio Analizziamo ora il noto modello di Markovitz utilizzando in seguito Excel. Questo argomento viene trattato sempre di pi attraverso l'utilizzo di Excel anche nei Master di finanza presso universit di tutto il mondo. Ci Ci prenderemo il tempo necessario per spiegare come il foglio impostato e come semplici scorciatoie possono fare lanalisi di questo tipo di problema semplice e rapida. Dapprima andremo ad usare un portafoglio a 2 variabili come esempio per mostrare come il rischio di portafoglio e il rendimento con i pesi varino nel determinare i pesi ottimali, con lobiettivo di minimizzazione il rischio, utilizzando sia espressioni lineari che semplice algebra delle matrici

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Analisi di Portfolio Successivamente andremo ad estendere il numero dei titoli a sette e ad illustrare con algebra delle matrici in Excel che l'analisi di un portfolio con n-asset col modello di Markovitz semplice come l'analisi di un portafoglio di con due asset. Presteremo particolare attenzione nel mostrare come la matrice di correlazione pu essere generata in modo efficiente e come, allo stesso Modo, l'obiettivo di ottimizzazione pu essere modificato senza problemi. L'obiettivo non quello di fornire una approfondita discussione di questo modello, piuttosto quello di mostrare come pu essere implementato all'interno di Excel. Discussioni approfondite di questo modello possono essere trovate in una vasta gamma di libri di testo sulla finanza, compresi Cuthbertson e Nitzsche (2001)(vedi bibliografia)

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Analisi di Portfolio Tuttavia, vale la pena di fornire una breve panoramica di questa teoria. In sostanza la logica di fondo basata su singoli aspetti della rischio atteso e del rendimento, con il rischio misurato dalla varianza o deviazione standard dei rendimenti attesi. La frontiera efficiente del portafoglio data da: 1.Quei titoli che offrono un rendimento maggiore per lo stesso rischio, o in maniera equivalente: 2. Quei titoli che offrono un minor rischio per lo stesso rendimento. La posizione precisa che un investitore assume sulla frontiera efficiente dipende dalla sua funzione di utilit sulla base del rendimento atteso e del rischio, in altre parole funzione l'utilit inclinata positivamente nel Dominio rendimento / rischio.

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Analisi di Portfolio Inizialmente supponiamo che questa funzione di utilit sia molto ripida (cio l'individuo fortemente avverso al rischio), cos la sua posizione ideale una posizione in cui il rischio ridotto al minimo rispetto a solo due beni. In seguito lanalisi stata estesa per incorporare un maggior numero di attivit e / o altri obiettivi di minimizzazione del rischio di portafoglio.

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Analisi di Portfolio Modello di Markovitz semplificato In un modello di portafoglio di Markovitz semplificato, i rendimenti r p, con due assets modello sono dati da : E la corrispondente varianza dei rendimenti: dove w i rappresenta il peso assegnato al bene i in portafoglio (i = {1, 2}), (sigma) quadro rappresentala varianza dei rendimenti dell'attivit i (i = {1, 2 }).

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Analisi di Portfolio Modello di Markovitz semplificato r i rappresenta i rendimenti storici del titolo i (i = {1, 2}) e 12 rappresenta la covarianza tra i rendimenti delle attivit 1e 2. Utilizzando tale relazione, il coefficiente di correlazione ( 12 ) tra due attivit pu essere calcolato come (rho): E lequazione pu essere riscritta come:

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Analisi di Portfolio Modello di Markovitz semplificato Questa una versione pi conveniente dell'equazione della varianza del portafoglio e una di pi facile interpretazione in quanto qui si usa il coefficiente di correlazione che si muove nel range a -1, +1, mentre in precedenza abbiamo espresso la covarianza la cui dimensione era relativo alle varianze individuali dei titoli. Come esempio, in questo modello ci sar ora la applicano con due indici azionari,cio, l'indice azionario FTSE per il Regno Unito (WIUTDK $) e l'indice FTSE per le azioni europee che esclude il Regno Unito (WIEXUK $). La frequenza dei dati settimanale e copre il periodo gennaio 1996 e fine giugno 2002.I dati grezzi e lanalisi relativa all'esempio inclusa nel file LPLaws001.xls".

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Analisi di Portfolio Come sottolineato in precedenza, il modello di Markovitz si basa su rendimenti e non direttamente sui prezzi. Il primo compito quindi quello di generare una serie dei rendimenti in cui il rendimento settimanale data da : dove P t il livello di prezzo corrente, P t-1 il livello dei prezzi nel periodo precedente e log e la trasformazione logaritmo naturale. Una schermata di questa trasformazione iniziale (contenute nel foglio di lavoro "Returns") dato in Figura

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L'istruzione Excel necessaria ad effettuare questo calcolo,sulla base dei dati grezzi contenute nel foglio di lavoro raw data indicata nella quarta riga della quarta colonna di questa schermata. Si noti inoltre che in questa presentazione ho arrotondato i dati corretti con due decimali. Al fine di implementare il modello di Markovitz dobbiamo prima di tutto trovare la Media e la deviazione standard di ciascuna delle nostre serie. Questo si pu facilmente ottenere in Excel con le funzioni AVERAGE" e "ST.DEV. Per completezza abbiamo anche calcolato le misure di curtosi e asimmetria utilizzando il "KURT" e "SKEW. Queste misure sono riportati nel foglio di lavoro Summary Statistics" e sono riprodotta in figura

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Analisi di Portfolio Possiamo vedere che le distribuzioni di entrambe le serie dei rendimenti presentano "picchi" rispetto alla distribuzione normale. L'asimmetria negativa indica anche che la distribuzione ha una coda asimmetrica si estende pi verso valori negativi. Ancora pi importante, in termini di analisi di Markovitz, possiamo vedere che i dati europei hanno una media settimanale dei rendimenti superiore nel periodo rispetto ai dati Regno Unito, ma una deviazione standard dei rendimenti pi elevati. Il correlazione tra i rendimenti pari a 0,76, e quindi offre qualche opportunit di diversificazione del rischio. La cartella di lavoro portfolio riskimplementa l'equazione riscritta dopo le sostituzioni di cui sopra usando i dati $ WIUTDK e WIEXUK $

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Analisi di Portfolio Questo risultato ottenuto sostituendo un intervallo di valori di w 1 da 0a 1, dove 0 significa che il 0% della ricchezza investita nellindice WIUTDK $ (con il 100%attualmente investito nellindice WIEXUK) e 1 implica che il 100% della ricchezza investita nellindice WIUTDK $ (con lo 0% investito nel indice WIEXUK). Il risultato di questa analisi mostrato nella figura della prossima pagina. E 'evidente da questi risultati che, come andiamo a ridurre la percentuale di portafoglio investita nellindice WIUTDK il rischio di portafoglio scende, cos Come salgono i rendimenti, poi inizia a salire,all'aumentare del rendimento. C quindi un certo beneficio incorporando l indice WIEXUK nel portafoglio.

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Analisi di Portfolio Volendo, si pu aggiungere un titolo ad ogni grafico e titoli per ogni asse. Infine si finisce con il grafico (figura nella prossima pagina), come illustrato nel foglio di lavoro Efficient Frontier". Qui possiamo vedere che come andando a ridurre la percentuale investita nellindice WIUTDK il rischio di portafoglio scende e aumenta il rendimento, almeno inizialmente. Se il nostro obiettivo quello di minimizzare il rischio di portafoglio allora ci sono opportunit di investimento nell'indice WIUTDK $. E 'possibile trovare questo ottimale investimento utilizzando calcolo come segue.

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Analisi di Portfolio E 'possibile trovare questo ottimale investimento utilizzando calcolo come segue. Vogliamo minimizzare : Variando w1, precisando che w2 = 1-w1. Ci pu essere ottenuto impostando la derivata di 2 p, il rischio del Portafoglio, rispetto a w1,la percentuale investita nellasset 1, uguale a zero.

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Approccio Matriciale al Rischio di Portafoglio Dallanalisi svolta possiamo vedere come la modellazione del rischio di portafoglio all'interno di Excel utilizzando matrici piuttosto che la versione lineare dell'equazione relativa al rischio appare molto pi conveniente e flessibile. Il file LPLaws002.xls" include i dati su indici azionari europei di sette paesi, tra cui il Regno Unito e costituisce la base di tutte le operazioni di prova. Come prima, questo file contiene una serie di fogli di lavoro, i titoli di cui sono auto-esplicativi. Stiamo andando a utilizzare questo set di dati per mostrare come l'analisi di portafoglio per i portafogli con pi di attivit pu essere modellato all'interno di Excel. Il dataset comprende dati settimanali dei prezzi degli indici.

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Approccio Matriciale al Rischio di Portafoglio L'elenco dei dati utilizzati il seguente: FTSE FINLAND FTSE-IRELAND FTSE-ITALY FTSE-NETHERLANDS FTSE-WORLD FTSE-SWITZERLAND FTSE- UNITED KINGDOM Per evitare problemi di rischio di cambio tutti gli indici sono espressi in euro. Il due fogli di lavoro "Raw Data e Returns includono i dati originali e i logaritmi dei rendimenti settimanali

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Approccio Matriciale al Rischio di Portafoglio Si noti chela matrice di covarianza pu essere complicata relativamente ai calcoli quando il numero dei titoli diventa grande Dobbiamo prestare attenzione quando si utilizza il Funzione "COVAR per assicurarci che siano indicate le cellule corrette. Quando il numero di titoli diventa pi grande, consigliabile utilizzare il seguente metodo per costruire la matrice di Covarianza. dove E un vettore di eccesso di rendimenti, E la sua trasposizione e N il numero di dati (osservazioni).E relativamente facile costruire un vettore di eccesso di rendimenti. Il foglio di calcolo in Figura mostra come il calcolo sia fatto per questo set di dati

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Approccio Matriciale al Rischio di Portafoglio Nella sezione "Portfolio Analysis" del foglio di lavoro si usa il metodo della matrice di rischio del portafoglio: per trovare la varianza di un portafoglio equamente ponderato. Per fare questo dobbiamo costruire un vettore colonna dei pesi che rappresenta il vettore w di cui sopra. Dobbiamo poi prendere la trasposta di questo vettore per ottenere il vettore w di cui sopra. La nostra matrice di covarianza ( ) tratto dal foglio di lavoro Summary Statistics.

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Approccio Matriciale al Rischio di Portafoglio L'algebra delle matrici coinvolte nel calcolo del rischio di portafoglio pu essere suddiviso nella seguente moltiplicazione di matrici : vettore (1 x N ) x matrice ( N x N ) x matrice ( N x1) Dove N=7. Prendendo le ultime due operazioni, il risultato che si ottiene una matrice (N 1). questo il risultato che troviamo nelle celle B26 di H26 del foglio di lavoro "Portfolio Analysis". Se moltiplichiamo il vettore (1 N) per il risultato di sopra (una matrice (N 1)),otteniamo uno scalare. Tale scalare la varianza del portafoglio e pu essere trovato nella cella B28 (segue figura) Utilizzando questo set di dati si scopre che il rischio di un portafoglio equamente ponderato 2,46% a settimana con un rendimento del 0,12% a settimana.

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Approccio Matriciale al Rischio di Portafoglio Fortunatamente all'interno di Excel non necessario frazionare questo calcolo in questi singole parti. Il foglio comprende le formule necessarie per combinare le due matrici moltiplicate in una cella e le formule necessarie per eliminare sia la moltiplicazione di matrici che la trasposizione vettore. E 'quindi possibile trovare la varianza del portafoglio dato solo un vettore di pesi di portafoglio e una matrice di covarianza. Andiamo adesso ad utilizzare questo quadro e, insieme con lo strumento Solver di Excel cerchiamo di trovare la composizione del portafoglio che minimizza la varianza del portafoglio.

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Approccio Matriciale al Rischio di Portafoglio In precedenza, abbiamo usato Solver in un ambiente con due titoli, il peso assegnato alla seconda attivit veniva aggiustato automaticamente ai cambiamenti del peso per il primo titolo. All'interno un ambiente N-asset ci non possibile e invece dobbiamo aggiungere una serie di vincoli all'interno della casella di dialogo "Solver". La schermata nella figura nella pagina successiva include i i vincoli necessari. Il significato dei vincoli : $B$5:$B$11=0 non possiamo essere short $E$5=1 dobbiamo essere pienamente investiti

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Approccio Matriciale al Rischio di Portafoglio Ancora una volta stiamo al minimizzando la varianza del portafoglio (cella B22), ma questa volta piuttosto che variare solo una singola cella, stiamo variando il contenuto del vettore dei pesi (B5: B11). Il risultato mostrato nel foglio di lavoro "Min Variance Portfolio dato nella figura nella pagina successiva. Questa analisi dimostra che per ottenere la minima varianza di portafoglio dovremmo assegnare il 65% della nostra ricchezza di azioni britanniche, il 28% di azioni svizzere e il 7% di azioni irlandesi. Inoltre, sulla base di questo set di dati non dobbiamo investire alcuna ricchezza in titoli finlandesi, italiani, olandesi o spagnoli.

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Sistemi di Trading: Spread Alcuni mercati sembrano avere una forte correlazione, cio il movimento dei prezzi di un mercato ha un rapporto forte con quella di un indice del mercato, o altro flusso di dati. Abbiamo progettato questo sistema in modo da seguire la variazione percentuale del mercato confrontata con un altro flusso di dati. Abbiamo iniziato con l'idea che se il mercato si sta allontanando dal flusso di dati dellindice riferimento e ci sia quindi una significativa divergenza, il mercato sta probabilmente per tornare a livelli normali nel prossimo futuro. Se la divergenza raggiunge livelli anormalmente elevati, si considera il mercato ipercomprato, e se raggiunge livelli anormalmente bassi, si considera il mercato ipervenduto.

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Sistemi di Trading: Spread Per esempio, dire che abbiamo visto una marcata correlazione tra l'indice Dow Jones Industrial Average e unazione che stiamo tradando. Quando la variazione percentuale dellazione negli ultimi 10 giorni di negoziazione molto maggiore rispetto alla variazione percentuale del Dow (nel senso che aumenta lo spread), allora entrariamo nel mercato. La figura mostra una finestra del grafico che contiene due mercati, il mercato Su cui facciamo trading e un indice (tracciati in un sottografo nascosto). Abbiamo applicato il sistema di spread e un indicatore che abbiamo creato, chiamandolo Spread System Ind, quindi abbiamo potuto seguire visivamente la linea di spread. Si noti che quando la linea spread attraversa la fascia di ipercomprato che abbiamo specificato, il sistema genera un segnale short. Al contrario, quando la linea di spread attraversa da sotto la fascia di ipervenduto specificato, il sistema genera un ordine di acquisto

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Sistemi di Trading: Spread Una componente importante di questo sistema il livello definito per l'ipercomprato e ipervenduto bande. Abbiamo usato gli ingressi per i livelli, in questo modo

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Sistemi di Trading: Spread Per uscire dalle nostre posizioni, useremo il trailing stop, ma aspetteremo che la posizione generi qualche profitto prima di effettuare le uscite. Stiamo cercando di comprare al supporto e vendere al resistenza, e quando abbiamo posto un trailing stop, vogliamo catturare i profitti, quindi, ci toccher aspettare che il sistema sia in grado di generare un profitto. Per posizionare il trailing stop, useremo i nostri criteri standard e usciremo dalle nostre posizioni lunghe al minimo pi basso delle ultime 6 barre e usciremo delle nostre posizioni corte al massimo pi alto delle ultime 6 barre. Anche in questo caso, metteremo questi ordini solo una volta che avremo registrato un profitto

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Sistemi di Trading: Spread Inoltre, poich questo un sistema di supporto e resistenza, possibile che il sistema sia bloccato in una posizione. Cio, in una posizione che non sta necessariamente perdendo soldi, ma non genera alcun profitto. Pertanto, avremo ordini di uscita una volta siamo stati in una posizione pi di sei barre e il risultato, in termini di guadagno, inferiore a 100 dollari. Come ultimo metodo di controllo del rischio, abbiamo intenzione di utilizzare uno stop monetario per la gestione della posizione. Il livello di stop, l'importo per questo stop dipender da quanti soldi abbiamo investito.

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