Corso di Introduzione alla Finanza Quantitativa (matematica computazionale) Desenzano 10/11...

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Corso di Introduzione alla Finanza Quantitativa (matematica computazionale) Desenzano 10/11 Settembre 2011 17/18 Settembre 2011 A cura di: Luigi Piva www.intermarketstrategies.eu Equity Line Solutions – Londra

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Corso di Introduzione alla Finanza Quantitativa(matematica computazionale)

Desenzano10/11 Settembre 201117/18 Settembre 2011

A cura di:

Luigi Pivawww.intermarketstrategies.eu

Equity Line Solutions – Londra

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MODULO 3 Sabato 17 settembre h10.00-13.00 e 14.30-18.00

STRATEGIE QUANTITATIVE D’INVESTIMENTO1- Analisi economica delle alternative: 1.1 descrizione delle opportunità d’investimento;1.2 Strategie d’investimento1.3 Valutazione dei titoli azionari 2- La decisione tra diverse alternative:2.1 Tipi di proposte d’investimento;2.2 Opzioni 2.3 Derivati sui tassi si interesse2.4 Ottimizzazione di portafoglio

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Teoria dell’utilità

La massimizzazione dell’utilità attesa, riconosciuta come criterio generale di decisione in condizioni di incertezza, costituisce un obiettivo di tipo globale, nel senso che raccoglie direttamente in una sintesi finale tutti I singoli elementi di giudizio che possono concorrere, anche in maniera contrastante tra loro, a determinare la preferibilità di una scelta rispetto ad un’altra.

Molto spesso si ottiene una descrizione più chiara del problema decisionale disaggregando l’obiettivo globale in più obiettivi parziali; tali obiettivi andranno dapprima considerati separatamente e poi armonizzati tra loro in una fase finale, nella quale il miglior “compromesso” verrà individuato perseguendo l’obiettivo globale.

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Teoria dell’utilità

Un esempio tipico di questo modo di procedere si ha nel campo delle “scelte pubbliche”, quando vogliamo rappresentare le preferenze di una collettività organizzata di individui, intesa come un’unica entità, attraverso una “funzione di utilità sociale”. In questo contesto risulterà significativo considerare dapprima come obiettivi parziali le preferenze, generalmente contrastanti, dei singoli individui, per conglobarli , poi, armonizzandoli nel modo giudicato più idoneo rispetto a certi criteri prefissati, nella funzione di preferenza collettiva.

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Misure di rischiosità

Nell’ambito della teoria delle decisioni finanziarie in condizioni di incertezza è espressivo scomporre il criterio della massimizzazione dell’utilità attesa introducendo due obiettivi parziali, consistenti, intuitivamente, nella massimizzazione del profitto da una parte, e nella minimizzazione del rischio dall’altra.Con riferimento all’individuo I, dotato di funzione di utilità u(x), che deve valutare la situazione finanziaria incerta X, la decomposizione può essere effettuata in modo rigoroso definendo una misura di rischiosità di X come:

avendo indicato con U(X) l’utilità attesa E[u(X)]

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Come risulta dalla diseguaglianza di Jensen e, più in generale, dalle considerazioni svolte in precedenza, questa misura di rischiosità non è mai negativa e si annulla solo nei casi estremi di variabile aleatoria X degenere .

Esempio: se l’individuo I è dotato di funzione di utilità quadratica

L’equazione precedente fornisce:

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Dato che, per costruzione, è:

La massimizzazione dell’utilità attesa dovrà ottenersi contemperando in qualche modo la massimizzazione di u[E(X)] e la minimizzazione di ϕ(X).Dato che u(x) è una funzione monotona di x, il primo di questi obiettivi si riduce a massimizzare E(X).

Restano quindi individuati due criteri di scelta parziali, che consistono l’uno nel rendere massimo il valore atteso dell’importo incerto X, l’altro nel rendere quanto più piccola possibile la rischiosità.

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L’utilità attesa come funzione di rischio e rendimento

L’espressività di questo approccio risulta evidente se si rappresentano la rischiosità e la speranza matematica di X su un piano cartesiano, secondo il metodo tipico della cosiddetta analisi rischio-rendimento.

Per semplicità di notazione indicheremo con m la speranza matematica di E(X) e con ϕ la rischiosità di ϕ (X). Evidentemente, ogni possibile posizione finanziaria sarà caratterizzata da un valore della media e da un valore della rischiosità; sarà quindi rappresentata da un punto P nel piano (ϕ ,m) . Di conseguenza l’insieme X delle opportunità avrà la forma di un sottoinsieme del piano (ϕ ,m) .

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L’utilità attesa ha la forma:

Geometricamente, ad ogni punto P rappresentativo di una posizione finanziaria incerta X, corrisponderà un valore della funzione U(P) e quindi l’utilità attesa sarà rappresentata da una superficie nello spazio a tre dimensioni (ϕ , m, U) defnita sull’insieme X delle opportunità. Ragionando nel piano (ϕ , m) si può assumere che u(x) sia derivabile almeno due volte. La derivata parziale di U rispetto a m è positiva, essendo

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Quindi si può affermare che tra due punti aventi la stessa ascissa ϕ sarà preferito quello avente ordinata m maggiore, dato che l’utilità attesa U è funzione crescente di m, per ϕ fissata. Analogamente, la derivata parziale di U rispetto a ϕ è negativa:

Conseguentemente, comunque presi due punti sulla retta m= costante, sarà preferito tra essi quello con valore minore dell’ascissa ϕ .

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Nella figura, ad esempio A > B, dato che , a parità di rischiosità, il punto A corrisponde ad una situazione finanziaria con valore atteso maggiore

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Analogamente è C > D, poiché, per uno stesso livello di importo atteso, la posizione C è caratterizzata da un valore più basso della rischiosità. Naturalmente questo semplice criterio introduce un ordinamento soltanto parziale, come subito si verifica osservando che le posizioni corrispondenti ai punti B e C, ad esempio, risultano tra loro non confrontabili. La rappresentazione completa delle preferenze potrà ottenersi solo considerando congiuntamente gli obiettivi ed m attraverso la valutazione della funzione U(ϕ ,m) . Le ipotesi generali sulla funzione di utilità

permettono di ricavare l’andamento qualitativo delle linee di livello della superficie U(ϕ ,m) , cioè la forma del luogo dei punti del piano (ϕ ,m) che corrispondono ad uno stesso livello u0 dell’utilità attesa e che risultano pertanto indifferenti tra loro.

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Queste linee di livello, dette curve di indifferenza, sono implicitamente descritte dall’equazione U (ϕ ,m) = u0 dove u0 assume il significato di un parametro che contraddistingue tra di loro le singole curve. Dato che u(x)È dotata di inversa, l’equazione:

Può essere risolta rispetto ad m, fornendo quindi l’espressione della curva di indifferenza con utilità attesa u0 , si ha:

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La derivata prima ha la forma:

Ed è quindi positiva, per l’ipotesi di crescenza su u(x)(u’(x)>0) Calcolando la derivata seconda si ottiene:

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Anch’essa positiva per la crescenza e concavità di u(x)(u’’(x)<0). Si conclude quindi che le curve di indifferenza nel piano (ϕ ,m) sono funzioni crescenti e convesse in ϕ . Dato che U (ϕ ,m) cresce al crescere di m e al decrescere di ϕ, muovendosi in direzione “nord-ovest” nel piano (ϕ ,m) si incontraranno

curve di indifferenza corrispondenti a valori crescenti di utilità attesa.

Nella figura sono illustrate curve di indifferenza relative ai valori u0, u1, u2

dell’utilità attesa, con u0 < u1 < u2 .

Le posizioni A e C sono indifferenti, perché hanno utilità attesa uguale a u2 La posizione D è preferita alla B, perché è indifferente a B’ che, a sua volta, è preferita a B .

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Frontiera delle Opportunità e Frontiera Efficiente

Il problema della massimizzazione dell’utilità attesa è significativo solo in presenza di vincoli sulle variabili decisionali ϕ e m ; in assenza di limitazioni sulla rischiosità e sul valore atteso di X, infatti, esisterà sempre la soluzione banale ϕ = 0 e m = ∞ .In tutti I casi di interesse pratico l’insieme delle opportunità X sarà quindi rappresentato da un sottoinsieme proprio del piano (ϕ , m) .Nell’insieme X rivestono un ruolo logicamente importante le opportunità di frontiera. Una opportunità di frontiera è definita come l’opportunità che la minima rischiosità tra tutte le opportunità che hanno la stessa speranza matematica.

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Per ogni livello fissato di m0, del valore atteso E(X), la corrispondente opportunità di frontiera sarà soluzione del problema:

Geometricamente, fissato il livello m0, l’opportunità di frontiera sarà rappresentata dal punto P0 di x alla cui destra si situano tutti gli altri punti X che giacciono sulla retta orizzontale m = m0.Tali punti-opportunità saranno tutti dominati da P0, nel senso della relazione di preferenza > .

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Al variare di m0, vengono individuate in X tutte le opportunità di frontiera, che costituiscono appunto la frontiera di X, o frontiera delle opportunità, che indicheremo con B .Sulla frontiera B possono esistere delle opportunità caratterizzate dalla stessa rischiosità, ma diversa speranza matematica; possono cioè esistere dei punti di frontiera situati sulle retta verticale ϕ = ϕ0 . Si definisce allora opportunità efficiente ogni opportunità di frontiera che ha massimo valore atteso fra tutte le opportunità di B aventi uguale rischiosità ϕ0 .

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Una opportunità efficiente è quindi soluzione del problema:

Il luogo delle opportunità efficienti, corrispondenti ai diversi valori di ϕ0 , è un

sottoinsieme ε della frontiera B , ed è chiamato frontiera efficiente dell’insime X . Gli elementi che compongono la frontiera efficiente rappresentano dei punti di ottimo paretiano, dal nome dell’economista Vilfredo Pareto.

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Il procedimento in base al quale abbiamo definito la frontiera ε garantisce infatti che non ci si può spostare su di essa per migliorare uno degli obiettivi parziali, per es. Per aumentare la speranza matematica, senza peggiorare l’altro, senza cioè aumentare la rischiosità.

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Con l’individuazione della frontiera efficiente ε si esaurisce la fase di ottimizzazione, consistente nell’analizzare separatamente gli obiettivi parziali. Il processo decisionale sarà risolto individuando il punto di massimo dell’obiettivo globale U (ϕ ,m) , e questo non potrà che essere uno dei punti

di ottimo. Si tratterà quindi di individuare il punto della frontiera efficiente che si situa sulla curva di indifferenza U (ϕ ,m) = con valore più alto di della utilità attesa.

Nella figura , la zona ombreggiata indica l’insieme X delle opportunità , alloraLa linea continua che ne costituisce il contorno rappresenta le frontiera delle opportunità B .

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I punti P0, P1 e P2 rappresentano le opportunità di frontiera relative ai livelli di speranza matematica E(X) uguali a m0, m1 e m2, rispettivamente. Il punto P1 corrisponde all’opportunità meno rischiosa tra tutte le opportunità disponibili. La porzione della frontiera B che corrisponde a valori di m maggiori,

evidenziati in nero, costituisce la frontiera efficiente ε , cioè il luogo dei punti di ottimo.Il punto di massimo è il punto per cui si ha la massima utilità attesa

tra tutti I punti di ε , e quindi tra tutti I punti di X . Come si vede è il puntodi tangenza tra la frontiera efficiente e la linea di indifferenza U = .

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I Modelli Media-Varianza

Secondo l’approccio sviluppato in precedenza, con l’introduzione di obiettivi parziali la massimizzazione dell’utilità attesa per un individuo I può essere fatta precedere da una fase in cui vengono ricercate soluzioni ottime nel senso di Pareto. E’ importante sottolineare che con questa impostazione la forma della funzione di utilità, e quiandi la struttura delle preferenze di I, non entra in gioco solo nella seconda fase, ma svolge un ruolo importante anche nella precedente fase di ottimizzazione.

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Infatti la misura di rischio generalizzata ϕ (X), definita in precedenza, dipende essa stessa dalla funzione di utilità, la cui forma contribuirà quindi anche alla determinazione della frontiera efficiente. In molti modelli decisionali, più orientati verso le applicazioni pratiche. È importante individuare degli obiettivi parziali di valore più oggettivo nel senso di poter essere considerati comuni ad un’intera classe di individui, che possono essere pensati come gli agenti economici partecipanti a un ideale mercato finanziario. In questo modo la suddivisione del processo decisionale nelle due fasi di ottimizzazione e di massimizzazione equivale a scomporre l’analisi dell’incertezza in due momenti distinti.

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Dapprima ne vengono studiati gli effetti sull’ambiente economico in cui I decisori agiscono, in n secondo tempo vengono introdotte le considerazioni sul comportamento dei singoli, specificando le preferenze individuali di fronte al rischio.Nell’ambito di una concezione oggettiva della probabiltà risulterà naturale individuare obiettivi parziali determinati unicamente dalle caratteristiche delle funzioni di distribuzione F(x) delle variabili aleatorie X.Si tratta di un modo di procedere evidentemente in contrasto con la teoria soggettiva delle probabilità per la quale l’utilità e l aprobabilità andrebbero definite, almeno in via teorica, simultaneamente e congiuntamente, la definizione stessa di probabilità soggettiva essendo un caso particolare della teoria delle decisioni.

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Tuttavia, in molte situazioni reali si constata che è più facile trovare accordo tra gli individui a proposito delle distribuzioni di probabilità piuttosto che sul grado di avversione al rischio. Ciò ha portato a sviluppare modelli basati sull’ipotesi di “homogeneous expectations”, per cui, basandosi sull’osservazione che l’uniformità di aspettative sembra costituire una situazione molto meno irrealistica dell’uniformità nei livelli di avversione al rischio, si assume che tutti gli agenti economici condividano le stesse opinioni probabilistiche e si differenzino solamente per la concavità più o meno accentuata della funzione di utilità.Questo tipo di approccio, se inteso come una prima, gossolana approssimazione di certe situazioni reali, può essere considerato accettabile anche da un punto di vista soggettivista.

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Tra I possibili obiettivi parziali che un individuo I deve perseguire per massimizzare la propria utilità attesa U(X), la massimizzazione del valor medio e la minimizzazione della varianza sono I più importanti ed immediati.Ammettendo che la funzione di utilità di I sia sviluppabile in serie di Taylor e scegliendo, ad esempio, come punto iniziale dello sviluppo il valore atteso m=E(X) si ha:

Essendo R3 il resto di terzo ordine espresso dalla: