Salve studenti, questa e la prima dispensa per preparare correttamentel’ esame di analisi uno. Anch’io come voi mi sono trovato a prepararloe vi garantisco che se seguirete i miei consigli, superare l’esame non saraimpossibile come dicono. La prima regola che dovete tenere in mente eche bisogna prima di tutto studiare la teoria e soprattutto essere capaci dipadroneggiare il linguaggio tecnico: sono i vostri strumenti principali. Ioposso aiutarvi nel preparare lo scritto insomma perche per l’orale cari mieidovete soltanto impegnarvi nel capire i teoremi del libro! Bene, diamo quindiinizio al corso ricordandovi la mia e mail che e maxgat88@gmail.com; sonodisponibile per eventuali chiarimenti.

IL DOMINIOLo studio del dominio (del suo campo d’esistenza) e la prima operazione

che osserviamo. E’ un passaggio molto semplice il piu delle volte, ma chericopre un’enorme importanza soprattutto in vista di uno studio di funzionepoiche sara un’utile informazione per trovare ad esempio gli asintoti.

Esistono alcune semplici regole che valgono per tutti i casi (o quasi) chesono:- in una frazione algebrica il denominatore deve risultare sempre diversoda zero.- l’argomento della radice con esponente pari deve essere sempre maggioreo al massimo uguale a zero.- l’argomento del logaritmo deve essere sempre maggiore di zero.

Vediamo alcuni esempi svolti su come individuare il dominio delle seguentifunzioni:

Esempio svolto 1.

y =x+ 23− x

Il dominio sara l’insieme dei numeri reali meno il valore per il quale si annullail denominatore, quindi

3− x = 0

x = 3

Quindi in definitiva avro

D = ∀x ∈ < − {3}

1

Esempio svolto 2.

y = −1 +√

2x− 6

Il dominio sara l’insieme dei numeri reali che verificano la condizione chel’argomento della radice quadrata sia maggiore o uguale a zero, quindi

2x− 6 ≥ 0

2x ≥ 6

x ≥ 62

x ≥ 3

Quindi in definitiva avro

D = x ≥ 3

Esempio svolto 3.

y = 7 ln(x2 − 9)

Il dominio sara l’insieme dei numeri reali che verificano la condizione chel’argomento del logaritmo sia maggiore di zero, quindi

x2 − 9 > 0

x2 > 9

Cioe

x > 3 ∨ x < −3

Quindi in definitiva avro

D = x > 3 ∨ x < −3

La risoluzione di esercizi piu complicati non e difficile, in quanto e suffi-ciente applicare di seguito le regole elementari viste in precedenza. Riportoora di seguito che consiglio allo studente di eseguire con le relative soluzioni.Esercizi.

1. y =√x2 − 43 + x

[x < −3 ∨ −3 < x ≤ −2 ∨ x ≥ 2]

2. y =x2 − x3

x(x2 + 2)[x 6= 0]

2

3. y =x2 − 2|x2 − 2|

[x 6= ±√

2]

4. y = ln(3x− 1) [x >13

]

5. y =√x− 2x+ 3

[x 6= −3 ∧ x ≥ 2]

6. y =12

√4− x2 [−2 ≤ x ≤ 2]

7. y =1

sinx[x 6= 2kπ]

8. y = arctan√

2x− 1 [x >12

]

9. y = log(x2 − 5x+ 6) [x < 2 ∨ x > 3]

10. y =cosx

1− tanx[x 6= kπ +

π

4]

11. y = log2x+ 1√

x[x > 0]

3