Dispense di Analisi II - Dipartimento di Matematica e...

Dispense di Analisi II

Pietro Zecca

16 gennaio 2003

Indice

1 Integrali Impropri 11.1 Idee Base ed Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Un’altra Improprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 La Definizione Formale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Esempi Importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Confronto di Integrali Impropri: Due Teoremi . . . . . 131.2.3 Convergenza Assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Serie Numeriche 252.1 Limiti di Successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2 Serie: Convergenza e Divergenza. . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.1 Convergenza: Definizioni e Terminologia . . . . . . . . 372.2.2 Serie Geometriche e Serie Telescopiche . . . . . . . . . 402.2.3 Proprietà Algebriche delle Serie Convergenti . . . . . . 432.2.4 Convergenza o Meno delle Serie . . . . . . . . . . . . . 442.2.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 Criteri di Convergenza e Stima . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4 Serie a Segni Alterni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4.1 Convergenza e Convergenza Assoluta . . . . . . . . . . 612.4.2 Convergenza e Stima dell’Errore . . . . . . . . . . . . . 642.4.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3 Serie di Potenze 693.1 Serie di Potenze come Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1.1 Cosa Dicono gli Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.1.2 Convergenza delle Serie di Potenze . . . . . . . . . . . 76

iii

iv INDICE

3.1.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.1.4 Serie di Potenze: Integrazione e Derivazione . . . . . . 833.1.5 Algebra e Calcolo delle Serie . . . . . . . . . . . . . . . 863.1.6 Un Atlante Sintetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.1.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.2 Serie di Taylor e Mac Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.2.1 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4 Funzioni di Più Variabili 1054.1 Coordinate Cartesiane in Tre Dimensioni. . . . . . . . . . . . . 1054.2 Equazioni e Loro Grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.2.1 Equazioni Lineari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.2.2 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.2.3 Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.2.4 Orientazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.2.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.3 Funzioni di Più Variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.3.1 Perché Studiare Funzioni di Più Variabili. . . . . . . . 1154.3.2 Grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.3.3 Attenzione ai Grafici ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.3.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.4 Derivate Parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.4.1 Derivate in Più Variabili. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.4.2 Derivate Parziali e Mappe di Contorno. . . . . . . . . . 1244.4.3 Derivate Parziali ed Approssimazioni Lineari. . . . . . 1254.4.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.5 Ottimizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.5.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5 Integrali Multipli 1395.1 Integrali Doppi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.1.1 L’integrale come Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.1.2 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.1.3 Calcolo degli Integrali per Iterazione. . . . . . . . . . . 1485.1.4 Integrali su Regioni Non-Rettangolari . . . . . . . . . . 1525.1.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.1.6 Integrali Doppi in Coordinate Polari . . . . . . . . . . 1575.1.7 ”Rettangoli” Polari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.1.8 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5.2 Integrali Tripli. Coordinate Cilindriche e Sferiche. . . . . . . . 1655.2.1 Coordinate Cilindriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

INDICE v

5.2.2 Coordinate Sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.2.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

6 Curve nel piano 1736.1 Curve Piane ed Equazioni Parametriche. . . . . . . . . . . . . 173

6.1.1 Equazioni Parametriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1746.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.3 Funzioni a Valori Vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.3.1 Derivate delle Funzioni a Valori Vettoriali, Vettori Tan-genti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

6.3.2 Rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.3.3 Il Vettore Velocità e la Lunghezza di una Curva. . . . . 189

6.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1936.5 Moti Bidimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.5.1 Integrali di una Funzione a Valori Vettoriali . . . . . . 1966.5.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2036.5.3 Moti Lineari, Circolari e Combinati. . . . . . . . . . . . 2056.5.4 Principio di Sovrapposizione degli Effetti . . . . . . . . 210

6.6 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136.6.1 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

6.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

7 Derivate 2217.0.1 Punti Stazionari, Massimi e Minimi . . . . . . . . . . . 2237.0.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

7.1 Il Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2287.1.1 Gradiente ed Approssimazione Lineare . . . . . . . . . 2317.1.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

7.2 Linearità Locale: Teoria della Derivazione . . . . . . . . . . . 2377.2.1 Approssimazione Lineare e Funzioni Differenziabili . . 2377.2.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2407.2.3 Derivazione di Funzioni Composte . . . . . . . . . . . . 2427.2.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

7.3 Derivate di Ordine Superiore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2537.3.1 Derivate Seconde e Superiori . . . . . . . . . . . . . . . 2537.3.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

7.4 Massimi e Minimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2617.4.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

7.5 Moltiplicatori di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2707.5.1 Gradienti e Condizioni di Lagrange . . . . . . . . . . . 2727.5.2 Moltiplicatori di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 274

vi INDICE

7.5.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

8 Integrazione 2798.1 Cambio di Variabili negli Integrali Multipli . . . . . . . . . . . 281

8.1.1 Coordinate Sferiche e Cilindriche . . . . . . . . . . . . 2828.1.2 Cambiamento di Variabile negli Integrali Multipli . . . 282

8.2 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2878.3 Integrali Curvilinei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

8.3.1 Campi Vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2898.3.2 Curve Orientate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2928.3.3 Calcolo degli Integrali Curvilinei . . . . . . . . . . . . . 2938.3.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

8.4 Un Teorema Fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2988.4.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

8.5 Il Teorema di Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3098.5.1 Un Risultato Analogo al Teorema Fondamentale . . . . 3108.5.2 Il Teorema di Green in Regioni con i Buchi . . . . . . . 3168.5.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

9 Superfici ed Integrazione 3219.1 Curve, Superfici e Dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

9.1.1 Parametrizzazione di una Superficie. Esempi. . . . . . 3239.1.2 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

9.2 Integrali di Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3279.2.1 Definizione di Integrale Superficiale . . . . . . . . . . . 3279.2.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

9.3 Derivate ed Integrali di Campi Vettoriali . . . . . . . . . . . . 3379.3.1 Integrali di Flusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3379.3.2 Divergenza e Rotore: Derivate di un Campo Vettoriale 3399.3.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

9.4 Teoremi di Stokes e della Divergenza. . . . . . . . . . . . . . . 3479.4.1 Cinque Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3489.4.2 Teorema di Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3499.4.3 Da Stokes a Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3509.4.4 Il Teorema della Divergenza . . . . . . . . . . . . . . . 3519.4.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

10 Appendice 1 35910.1 Gli operatori GRAD, DIV, ROT . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

10.1.1 Significato del Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 35910.1.2 L’operatore ∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

INDICE vii

10.1.3 Divergenza di un campo vettoriale. . . . . . . . . . . . 36810.1.4 Rotore di un Campo Vettoriale . . . . . . . . . . . . . 372

viii INDICE

”La matematica è il linguaggiodell’intero Cosmo.Chi non lo conosce non può leggereil grandissimo libro dell’Universo”

Galileo Galilei, ”Il Saggiatore”

”Apprendere senza pensareè tempo perso.Pensare senza apprendereè cosa vana”

Confucio

INDICE ix

PrefazioneIn queste note si intende presentare l’analisi delle proprietà delle funzioni

di più variabili sotto gli aspetti simbolici, numerici ed anche, quando possi-bile, grafici. Si assume che gli studenti abbiano seguito con profitto il corso diAnalisi I, ma non si intende comunque dare una presentazione rigorosa comenei testi classici di Analisi Matematica. L’idea che muove la scrittura diqueste dispense è quella di fornire agli studenti uno strumento che permettaloro di avvicinarsi ai concetti principali e ai metodi dell’analisi di funzioni dipiù variabili e capire come questi estendano le idee e i metodi già incontratinel I corso.Poiché, specialmente nel caso dell’analisi di più variabili, il calcolo e la

rappresentazione grafica possono essere a volte complicate, o comunque dilettura non immediata, ed a volte l’intuizione geometrica più difficile da vi-sualizzare, può essere di aiuto l’uso di strumenti tecnologici per illustrare econfrontare i punti di vista grafico, numerico e simbolico.Per questo facciamo uso e riferimento a Maple, ma altri programmi come

Mathematica, Derive, etc. possono esplicare la medesima funzione.Ogni capitolo delle dispense è pensato per essere letto da cima a fondo.

Gli esempi, in particolare tendono a illustrare idee, a renderle concrete, afornire elementi per nuove idee piuttosto che come esemplificazione degliesercizi.Così, anche i grafici non sono decorazioni del testo, ma parte importante

nella crescita dell’intuizione geometrica. La capacità di visualizzare i proble-mi è altrettanto importante quanto quella di saperli impostare teoricamente.Infine, la matematica non è un linguaggio naturale, ma ha un suo

vocabolario, una sua grammatica ed una sua sintassi. Imparare ad usare cor-rettamente questo linguaggio è fondamentale per capire, impostare e risolverei problemi che l’analisi offre allo studente.

x INDICE

Capitolo 1

Integrali Impropri

Ognuna delle scritture seguenti rappresenta un integrale improprioZ +∞

1

1

x2dx ,

Z +∞

1

1

xdx ,

Z +∞

−∞

1

1 + x2dx

Z +∞

0

e−x2

dx ,

Z 1

0

1

x2dx ,

Z 1

0

1√xdx .

L’aggettivo improprio è una etichetta attaccata ad integrali che dif-feriscono in qualche modo dagli integrali ordinari del tipo

R baf (x) dx, nei

quali l’intervallo [a, b] è un intervallo finito e la funzione f (x) è limitata,quando non continua su [a, b] .Gli integrali che vogliamo esaminare possono avere due diversi tipi di

“improprietà”:

• L’intervallo di integrazione può essere infinito, come nei primi quattroesempi. Questo fatto contrasta con la definizione di integrale di Rie-mann che abbiamo dato al primo corso, perché la definizione formaledi integrale indefinito è basata sulla partizione di intervalli finiti.

• L’integrando può essere illimitato nell’intervallo di integrazione, comenegli ultimi due esempi. Anche questo fatto contrasta con la definizionedi integrale, nella quale si richiedeva la limitatezza della funzione sututto l’intervallo di integrazione.

Alcuni tipi di integrali, quali ad esempioZ +∞

0

1√x+ x2

dx

1

2 CAPITOLO 1. INTEGRALI IMPROPRI

ammettono entrambe le “improprietà”. Per essere risolti, come vedremopiù avanti, essi hanno bisogno di un’attenzione speciale che tenga conto dientrambe le situazioni precedenti.

1.1 Convergenza e Divergenza: Idee Base edEsempi

Alcuni degli integrali presentati, sebbene impropri, ammettono comunquecome risultato un valore finito; essi vengono chiamati convergenti. Per glialtri, l’improprietà è fatale, nel senso che non ammettono valore finito; essisono chiamati divergenti.Iniziamo con alcuni esempi concreti.

Esempio 1.1 Dare un senso al simboloZ +∞

1

1

x2dx .

Soluzione. Cosa può voler significare l’integrale dato? Se l’interpreti-amo geometricamente, esso rappresenta l’area racchiusa tra il grafico dellafunzione integranda, l’asse delle x e la retta x = 1.

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 4 6 8 10x

L’integrale improprioR +∞1

1

x2dx come area

La regione si estende indefinitamente verso destra, può la sua area esserefinita?la risposta è positiva; la ragione coinvolge l’uso dell’operazione di limite.

Per ogni numero r > 1, consideriamoZ r

1

1

x2dx = area tra x = 1 e x = r .

Quest’area può essere calcolata esattamente:Z r

1

1

x2dx = −1

x

¸r1

= 1− 1r.

1.1. IDEE BASE ED ESEMPI 3

Facendo tendere r → +∞, il risultato tende ad 1. in altre parole, l’areatotale della regione racchiusa dal grafico di 1/x2, sebbene infinitamente lunga,ammette area finita. In simboli

limr→+∞

Z r

1

1

x2dx = lim

r→+∞

µ1− 1

r

¶= 1 .

Affermiamo perciò che l’integrale converge ad 1. ¥

Esempio 1.2 Dire seZ +∞

1

1

xdx converge o diverge.

Soluzione. A prima vista la situazione sembra simile alla precedente

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2 4 6 8 10x

L’integrale improprioR +∞1

1

xdx come area

Il problema, ancora una volta, è quello di capire se la regione illimita-ta, racchiusa tra il grafico della funzione integranda, l’asse delle x e la rettax = 1, ammette area finita. Per dare una risposta a questa domanda, ope-riamo esattamente come prima. Consideriamo r > 1 e calcoliamo l’areanell’intervallo [1, r] . Si haZ r

1

1

xdx = lnx]r1 = ln r .

Adesso, facciamo il limite per r→ +∞. Si ha limr→+∞ ln r = +∞.Concludiamo perciò che questo integrale improprio diverge a +∞. In

simboli:

limr→+∞

Z r

1

1

xdx = lim

r→+∞lnx]r1 = +∞ .

¥

Esempio 1.3 Dire se convergeZ +∞

−∞

1

1 + x2dx. In tal caso, trovarne il val-

ore.


Soluzione. L’integrale è improprio ad entrambi gli estremi, lo dividiamoquindi in due integraliZ +∞

−∞

1

1 + x2dx =

Z 0

−∞

1

1 + x2dx+

Z +∞

0

1

1 + x2dx

che trattiamo separatamente. Cominciamo dall’ultimo integrando. Un cal-colo diretto,Z +∞

0

1

1 + x2dx = lim

r→+∞

Z r

1

1

1 + x2dx

= limr→+∞

arctanx]r0 = limr→+∞

arctan r =π

2

ci dice che l’integrale converge a π/2.Poiché l’integrando è una funzione pari, anche il primo integrando ha lo

stesso valore. Ne segue che:Z 0

−∞

1

1 + x2dx =

π

2.

La conclusione è chiara: l’integrale dato converge a π. In simboliZ +∞

−∞

1

1 + x2dx =

Z 0

−∞

1

1 + x2dx+

Z +∞

0

1

1 + x2dx = π .

¥

I precedenti esempi mostrano anche una delle sottigliezze degli integraliimpropri, a cui fare attenzione. I grafici di 1/x2 e di 1/x appaiono simili:entrambe le funzioni tendono a zero quando x → +∞. Tuttavia, il primografico racchiude un’area unitaria, il secondo un’area infinita.

1.1.1 Un’altra Improprietà

Le improprietà degli esempi precedenti coinvolgono intervalli illimitati. Lostesso tipo di strategia sia applica nel caso di integrandi illimitati.

Esempio 1.4 DiscutereZ 1

0

1

x2dx .

Soluzione. In questo caso, la questione geometrica è quella di capire sela regione illimitata verticalmente, rappresentata nel grafico seguente ha, omeno, area finita.


0

20

40

60

80

100

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

L’integrale improprioR 10

1

x2dx come area

Per decidere la questione, troviamo ancora una volta il limite di un’area- questa volta quando r tende a 0 da destra. Per ogni valore di r > 0 ilseguente integrale ha senso:Z 1

r

1

x2dx = −1

x

¸1r

=1

r− 1 .

Il risultato mostra che, quando r tende a 0+, l’area in questione tendeall’infinito. In simboli:

limr→0+

Z 1

r

1

x2dx = lim

r→0+

µ1

r− 1

¶= +∞ .

Quindi, l’integrale diverge all’infinito. ¥

1.1.2 La Definizione Formale

Abbiamo usato la stessa idea base per ognuno degli integrali precedenti,sia che fosse illimitato l’intervallo di integrazione, o che fosse illimitata lafunzione:Dapprima si localizza l’improprietà, a +∞ ( oppure a −∞ ), od ad un

estremo (finito) dell’intervallo di integrazione (se l’integrale è improprio in piùdi un punto, lo si riscrive come somma di integrali più semplici, ognuno conuna sola improprietà). Quindi, ogni integrale con una sola improprietà vieneconsiderato come limite di un integrale ordinario, con un estremo variabileche tende verso il valore “problematico”, da destra o da sinistra.Nel primo caso esaminato (intervallo illimitato) la definizione è la seguente.

Definizione 1.5 Consideriamo l’integrale I =R +∞a

f (x) dx, dove f è unafunzione continua per x ≥ a. Se il limite

L = limr→+∞

Z r

a

f (x) dx


esiste finito, allora I converge a L. Altrimenti, diverge.

Dal punto di vista grafico la questione riguarda il comportamento asin-totico del grafico. Quando r→ +∞ l’area converge o diverge?

Convergenza: cosa accade per r → +∞ ?

Gli integrali negli Esempi 2 e 4 divergono all’infinito. Il prossimo esempioillustra un altro modo in cui l’integrale può non convergere.

Esempio 1.6 Dire se I =R∞0cosx dx converge o meno.

Soluzione. La definizione ci da una risposta rapida. InfattiZ r

0

cosx dx = sinx]r0 = sin r .

Ne segue che

limr→+∞

Z r

0

cosx dx = limr→+∞

sin r

Quest’ultimo limite non esiste: quando r → +∞ la funzione sin r oscilla tra−1 e 1. Ne segue che I diverge. ¥Diamo adesso una definizione di integrale improprio, simile alla prece-

dente, ma più generale

Definizione 1.7 Sia I =R baf (x) dx improprio in a o in b (i casi a = −∞

e b = +∞ sono permessi). Se

limr→a+

Z b

r

f (x) dx e limr→b−

Z r

a

f (x) dx

esistono ed hanno valore finito L, allora diremo che I converge ad L.Altrimenti I diverge.


Nota:

• Ogni integrale improprio è il limite di un integrale proprio.• Se c’è più di una improprietà (per es. se l’integrale è improprio adentrambi gli estremi), può essere spezzato in due integrali in modoconveniente; l’intero integrale converge se convergono entrambi i termi-ni.

Esempio 1.8 Discutere I =Z +∞

0

1

x2dx .

Soluzione. L’integrale è improprio ad entrambi gli estremi. Per separarele improprietà scriviamo,per esempio:Z +∞

0

1

x2dx =

Z 1

0

1

x2dx+

Z +∞

1

1

x2dx = I1 + I2 .

Come abbiamo visto prima, I2 converge, ma I1 diverge a +∞. Ne segue cheI diverge. ¥


1.1.3 Esercizi

1. Spiegare perché i seguenti integrali sono impropri

(a)Z ∞

0

x2e−x2

dx ;

(b)Z 1

0

x√x2 − 3x+ 2dx ;

(c)Z 4

1

1

x2 lnxdx ;

(d)Z 3

0

1

x2 − x− 2dx ;

(e)Z π/2

0

tanx dx ;

(f)Z 2π

0

cosx√1 + cosx

dx

2. Mostrare che l’integrale improprioZ ∞

0

1

x3dx diverge.

3. Spiegare perché l’integraleZ π/2

0

cosxp1− sin2 x

dx non è improprio.

4. Calcolare i seguenti integrali impropri

(a)Z ∞

0

e−x dx ;

(b)Z ∞

e

1

x ln2 xdx ;

(c)Z ∞

1

1

x (1 + x)dx ;

(d)Z 4

0

1√xdx ;

(e)Z 2

−2

2x+ 13√x2 + x− 6dx ;

(f)Z ∞

π

e−x sinx dx ;

(g)Z ∞

0

arctanx

(1 + x2)3/2dx ;


(h)Z 4

2

xp|x2 − 9|dx .5. Trovare i valori del parametro a che rende il valore dell’integrale im-proprio minore di 10−5

(a)Z ∞

a

e−x dx ;

(b)Z ∞

a

1

(1 + x2)dx ;

(c)Z ∞

a

1

x ln3 xdx .

6. Mostrare che lima→+∞

Z a

−ax dx = 0 . Spiegare perché

Z ∞

−∞x dx diverge.

7. Dire se i seguenti integrali convergono o divergono. Nel primo casocalcolarli.

(a)Z ∞

0

x

(1 + x2)1/2dx ;

(b)Z ∞

0

arctanx

1 + x2dx ;

(c)Z ∞

e

1

x lnxdx ;

(d)Z ∞

3

x

(x− 42)3 dx ;

(e)Z 2

−∞ex dx ;

(f)Z 8

0

1√xdx ;

(g)Z 3

2

x√3− x dx ;

(h)Z ∞

1

1

x ln2 xdx ;

(i)Z ∞

−∞

1

ex + e−xdx ;

(j)Z 1

0

x√1− x2 dx .


8. Mostrare cheZ ∞

1

1

xdx diverge.


1

1

xpdx converge se p > 1.

10. Per quali valori di p convergeZ 1

0

1

xpdx ?

11. Per quali valori di p convergeZ ∞

e

1

x lnp xdx ?

12. Per quali valori di p convergeZ e

1

1

x lnp xdx ?

13. valutare i seguenti integrali per tutti i valori di C per i quali converge

(a)Z ∞

0

µ2x

x2 + 1− C

2x+ 1

¶dx ;

(b)Z ∞

1

µC

x+ 1− 3x

2x2 + 1

¶dx ;

(c)Z ∞

1

µCx2

x3 + 1− 1

3x+ 1

¶dx ;

(d)Z ∞

0

µ1√x2 + 4

− C

x+ 2

¶dx ;

(e)Z ∞

1

µCx

x2 + 1− 1

2x

¶dx .

14. Trasformare gli integrali impropri in integrali propri, usando le sosti-tuzione date

(a)Z ∞

1

x

x3 + 1dx , u = x−1 ;

(b)Z π/2

0

cosx√π − 2x dx , u =

√π − 2x .


0

1

x4 + 1dx =

Z ∞

0

x2

x4 + 1dx .


0

x3e−x dx =Z 1

0

(− lnx)3 dx .

17. CalcolareZ ∞

0

x lnx

x4 + 1dx .

1.2. CONVERGENZA 11

1.2 Come Determinare la Convergenza e Sti-mare i Limiti

Nel paragrafo precedente abbiamo introdotto il concetto di integrale impro-

prio e l’idea della sua convergenza. Dato l’integrale improprioZ ∞

0

f (x) dx,

il problema è semplice quando siamo in grado di calcolareZ r

0

f (x) dx.

Calcolare l’integrale precedente non è sempre semplice ed a volte è ancheimpossibile. Anche nel caso in cui sia possibile calcolare l’integrale, può nonessere banale calcolarne il limite per r →∞.In questa situazione, è possibile, come nel caso degli integrali definiti,

usare metodi numerici per stimare gli integrali impropri. Per semplicitàesamineremo solo il caso degli integrali con un intervallo di integrazioneinfinito.

1.2.1 Esempi Importanti

La stima numerica degli integrali impropri richiede un’attenzione speciale.Un problema è ovvio: l’integrale improprio

R∞0f (x) dx è calcolato su un

intervallo infinito, mente tutte le formule per la stima degli integrali definiticoinvolgono la lunghezza dell’intervallo. Come applicarle?I seguenti esempi suggeriscono alcune strategie per trattare queste diffi-

coltà. Essi illustrano e motivano la teoria.

Esempio 1.9 Dire se I =Z ∞

1

1

x5 + 1dx converge o diverge.

Soluzione. Il problema si enuncia facilmente:

Esiste il limite limr→+∞

Z r

1

1

x5 + 1dx?

Più difficile è rispondere simbolicamente. L’integrale dato nonammette una primitiva semplice, ed anche se riuscissimo a scriver-la, ricavare da essa il limite non sarebbe banale.

D’altra parte è invece relativamente semplice notare che

0 <1

x5 + 1<1

x5per 1 ≤ x < +∞

e quindi che

0 <

Z r

1

1

x5 + 1dx <

Z r

1

1

x5dx qualunque sia r > 1 .


ne risulta allora che

limr→+∞

Z r

1

1

x5 + 1dx ≤ lim

r→+∞

Z r

1

1

x5dx .

Notiamo infine, che è relativamente semplice il calcolo del secondolimite, si ha infatti

limr→+∞

Z r

1

1

x5dx = lim

r→+∞

µ1

4− 1

4r4

¶=1

4.

Ne segue allora cheZ ∞

1

1

x5 + 1dx <

Z ∞

1

1

x5dx =

1

4.

Quindi l’integrale dato converge. ¥

Esempio 1.10 Sappiamo che I =Z ∞

1

1

x5 + 1dx converge.

A quale valore converge?

Soluzione. Come abbiamo visto il metodo simbolico non fun-ziona, per questa ragione proviamo ad usare un metodo numerico.Le regole dell’integrazione numerica si applicano però agli inter-valli finiti [a, b]. Avendo chiare questa restrizione, dividiamo I indue parti (per esempio)

I =

Z ∞

1

1

x5 + 1dx =

Z 10

1

1

x5 + 1dx+

Z ∞

10

1

x5 + 1dx = I1 + I2

Notiamo, prima di tutto, che la scelta dell’intervallo [1, 10] è ar-bitraria, avremmo potuto scegliere [1, 100]. Il secondo integrale èchiamato in gergo la coda di I; esso rappresenta l’area totale -che speriamo piccola - del grafico alla destra di x = 10.

Cominciamo col calcolare I1 usando, per esempio 50 suddivisionidi punto centrale. Il risultato (calcolato con Maple) è

M50 =

Z 10

1

1

x5 + 1dx ≈ 9

50

49Xi=0

1¡109100+ 9

50i¢5+ 1≈ 0.178916 .

Ci aspettiamo che I1 approssimi il valore di I, ma qual’è l’ap-prossimazione? Ci sono due fonti di errore:

1.2. CONVERGENZA 13

1. L’errore che M50 commette nello stimare I1;

2. L’errore dovuto all’avere ignorato la coda I2.

Per quanto riguarda il primo tipo di errore, rimandiamo al (ai)corsi di Calcolo Numerico, affermiamo solo, per completezza, chela usuale formula della stima dell’errore per il punto medio ci diceche in questo caso l’errore è minore di 0.0005.

Trovare una stima dell’errore per I2 ci rifacciamo all’esercizioprecedente. Ricordando la disuguaglianza

0 <1

x5 + 1<1

x5

per tutti gli x che ci interessano, si ha cheZ ∞

10

1

x5 + 1dx <

Z ∞

10

1

x5dx .

Quest’ultimo integrale è semplice da calcolare:Z ∞

10

1

x5dx = lim

r→+∞− 1

4x4

¸r10

=1

40, 000= 2.5 · 10−5 .

Il risultato è una limitazione superiore dell’errore che si commettetrascurando la coda I2.

Possiamo allora concludere che la stima trovate, I ≈ 0.178916ammette un errore minore di 5 · 10−4 + 2.5 · 10−5 = 5.25 · 10−4.¥

1.2.2 Confronto di Integrali Impropri: Due Teoremi

Gli esempi precedenti hanno usato i confrontiZ ∞

1

1

x5 + 1dx <

Z ∞

1

1

x5dx , e

Z ∞

10

1

x5 + 1dx <

Z ∞

10

1

x5dx .

Dalla prima disuguaglianza abbiamo ricavato la convergenza della serie, dallaseconda una stima del valore della coda . Il seguente teorema garantisce lalegittimità di quanto fatto.

Teorema 1.11 (Confronto degli Integrali Impropri Nonnegativi).Siano f e g funzioni continue. Supponiamo che per tutti gli x ≥ 0 si abbia

0 ≤ f (x) ≤ g (x) .


• Se R +∞a

g (x) dx converge, allora converge ancheR +∞a

f (x) dx , inoltreZ +∞

a

f (x) dx ≤Z +∞

a

g (x) dx .

• Se R +∞a

f (x) dx diverge, allora diverge ancheR +∞a

g (x) dx .

Il teorema è utile da due punti di vista, sia per riconoscere convergenzao divergenza, che per stimare il valore dei limiti. Illustriamo le affermazionicon esempi.

Esempio 1.12 Dire se I =R +∞1

e−x2dx converge. In caso di risposta posi-

tiva, stimare il valore del limite.

Soluzione. Dobbiamo determinare se esiste finito il valore del seguentelimite

limr→+∞

Z r

1

e−x2

dx .

Poiché non sappiamo trovare una primitiva dell’integrando, non ci rimaneche cercare di stimare il limite. Per vedere se I converge, cerchiamo di capirese è possibile maggiorare l’integrando con una funzione di cui conosciamo laprimitiva e della quale sappiamo che l’integrale è convergente. Notiamo cheper tutti gli x ≥ 1 si ha che

e−x2 ≤ x e−x2 .

Applichiamo adesso il teorema, esso ci dice cheZ +∞

1

e−x2

dx ≤Z +∞

1

x e−x2

dx .

Il secondo integrale si può calcolare, si ha:Z +∞

1

x e−x2

dx = limr→+∞

Z r

1

x e−x2

dx = limr→+∞

−ex2

2

#r0

=1

2 e.

Ne segue che I converge anch’esso a qualche limite (sconosciuto).

Per calcolare un valore approssimato dell’integrale procediamocome negli esempi precedenti. Dividiamo I in due parti

I =

Z +∞

0

e−x2

dx =

Z 4

0

e−x2

dx+

Z +∞

4

e−x2

dx = I1 + I2 .

1.2. CONVERGENZA 15

Per stimare I1 usiamo, per esempio, M100 ≈ 0.886226 (la formu-la per la stima dell’errore da un valore minore di 0.00054). Pervalutare I2 si ha

I2 =

Z +∞

4

e−x2

dx ≤Z +∞

4

x e−x2

dx =1

2 e16≈ 0.000000056 .

Se ne conclude che il valore di I dista da 0.886226 per un erroreinferiore alla terza cifra decimale. ¥

L’idea del test del confronto è semplice. Il vero problema è quel-lo di decidere quale integrale conosciuto confrontare con quelloincognito. Molti integrali impropri possono essere confrontati coni seguenti “integrali di riferimento”

Z +∞

0

e−x dx = 1 ;Z +∞

0

1

xpdx =

1

p− 1 se p > 1 ;

Z +∞

0

1

xpdx = +∞ se p < 1 .

L’ultima equazione afferma che l’integrale diverge all’infinito.

Esempio 1.13 Dire se I =Z +∞

0

1

x+ 1dx converge o diverge.

Soluzione. L’ovvio confronto sembrerebbe conR +∞1

1xdx che

diverge. Sfortunatamente, si ha che

1

x+ 1≤ 1x

e quindi la divergenza del secondo integrale non ci dice nientesulla divergenza di I. Tuttavia, per x ≥ 1 si ha che

1

x+ 1≥ 1

2x.


Ne segue che, per il Teorema 1.11 si haZ +∞

1

1

x+ 1dx ≥

Z +∞

1

1

2xdx =

1

2

Z +∞

1

1

xdx = +∞ ,

quindi I diverge, come ci aspettavamo. ¥

Esempio 1.14 Discutere la convergenza di I =Z +∞

3

2x2

x4 + 2x+ cosxdx .

Soluzione. Osserviamo subito che per valori “grandi” di x il de-nominatore si comporta come x4. Inoltre, per x ≥ 3 è sicuramente2x+ cosx ≥ 0 per cui

2x2

x4 + 2x+ cosx≤ 2

x2per x ≥ 3 ,

da cui Z +∞

3

2x2

x4 + 2x+ cosxdx ≤

Z +∞

3

2

x2dx =

2

3.

Ne segue allora che I converge. ¥

1.2.3 Integrandi che Cambiano Segno. ConvergenzaAssoluta

L’integrale Z +∞

1

sinx

x2dx

converge o diverge ? Il Teorema 1.11 non ci aiuta perché si applica solo afunzioni nonnegative. Tuttavia, il Teorema 1.11 ci dice qualcosa di utile.Poiché ¯̄̄̄

sinx

x2

¯̄̄̄≤ 1

x2per tutti gli x ≥ 1 ,

ne segue che:

|I| =¯̄̄̄Z +∞

1

sinx

x2dx

¯̄̄̄≤Z +∞

1

¯̄̄̄sinx

x2

¯̄̄̄dx ≤

Z +∞

1

1

x2dx = 1 .

Ciò fa supporre che anche I converga, poiché I ≤ |I|. Il seguente teoremagiustifica l’ipotesi fatta.

1.2. CONVERGENZA 17

Teorema 1.15 (Convergenza Assoluta) Siano f e g funzioni continuetali che per tutti gli x ≥ a si abbia

0 ≤ |f (x)| ≤ g (x) .

Supponiamo cheR +∞a

g (x) dx converga. Allora ancheR +∞a

f (x) dx con-verge, e si ha ¯̄̄̄Z +∞

a

f (x) dx

¯̄̄̄≤Z +∞

a

g (x) dx .

Il Teorema 1.15 afferma, tra l’altro, che se¯̄̄R +∞a

f (x) dx¯̄̄converge, lo

stesso faR +∞a

f (x) dx. La condizione è chiamata di convergenza assoluta.

Suggerimenti per la Coda

In ogni integrale improprio, ciò che va visto con attenzione è il comporta-mento della coda. infatti, ogni integrale di questo tipo, come abbiamo visto,può essere diviso in due parti come segue:

I =

Z +∞

a

f (x) dx =

Z b

a

f (x) dx+

Z +∞

b

f (x) dx .

Il primo termine è un integrale proprio e può essere trattato sia ricercandola primitiva, sia per via numerica. La convergenza di I dipende solo dallaconvergenza del secondo termine. Se la coda converge, converge l’integrale.Se, meglio ancora, riusciamo a rendere piccola la coda, come negli esempiprecedenti, allora il primo termine approssima bene il valore dell’integrale.Il confronto, nel senso dei due teoremi precedenti, è la chiave per avere

una coda piccola. Illustriamo questo fatto con un ultimo esempio.

Esempio 1.16 Entrambi I =Z +∞

1

e−x dx e J =Z +∞

1

sinx

x2dx convergono.

Per ognuno di essi trovare una coda di valore assoluto minore di 10−3.

Soluzione. Per ognuno dei due integrali bisogna trovare un b tale cheR +∞b

f (x) dx < 0.001.Per I, trovare b è relativamente facile. Basta notare che per ogni b si haZ +∞

b

e−x dx = limr→+∞

−e−x¤rb= e−b =

1

eb.


Quindi,Z +∞

b

e−x dx =1

eb< 0.001 =⇒ eb > 1000 ⇐⇒ b > ln 1000 ≈ 6.9 .

Per trattare J , abbiamo bisogno del Teorema 1.15. Poiché¯̄̄̄sinx

x2

¯̄̄̄≤ 1

x2

il Teorema 1.15 garantisce che¯̄̄̄Z +∞

b

sinx

x2dx

¯̄̄̄≤Z +∞

b

1

x2dx .

Si ottiene quindi cheZ +∞

b

1

x2dx =

1

b< 0.001 ⇐⇒ b > 1000.

¥

1.2. CONVERGENZA 19

1.2.4 Esercizi

1. (a) Spiegare perché la disuguaglianza x − 1 ≤ x + sinx ≤ x + 1 èvalida per tutti gli x ∈ R.

(b) Usare il test del confronto ed una delle disuguaglianze precedentiper mostrare che l’integrale improprioZ ∞

2

1

x+ sinxdx

diverge.

(a) Spiegare perché la disuguaglianza x2 ≤ x2 + √x ≤ 2x2 è validaper tutti gli x ≥ 1.

(b) Usare il test del confronto ed una delle disuguaglianze precedentiper mostrare che l’integrale improprioZ ∞

1

1

x2 +√xdx

converge.

(a) Spiegare perché la disuguaglianza√x ≤ x2 +√x ≤ 2√x è valida

per tutti gli x ≤ 1.(b) Usare il test del confronto ed una delle disuguaglianze precedenti

per valutare se l’integrale improprioZ 1

0

1

x2 +√xdx

converge.

(c) Dire se l’integrale improprioZ ∞

0

1

x2 +√xdx

converge o meno.

(a) Spiegare perché la disuguaglianza 12x2 ≤ x2 − √x ≤ x2 è valida

per tutti gli x ≥ 2(b) Usare il test del confronto ed una delle disuguaglianze precedenti

per valutare se l’integrale improprioZ ∞

3

1

x2 −√xdxconverge.


(a) Mostrare che la disuguaglianza1

2≤ ex

1 + ex≤ 1 è valida per tutti

gli x ≥ 0.(b) Usare il test del confronto ed una delle disuguaglianze precedenti


0

ex

1 + exdx

converge.

(a) Mostrare che la disuguaglianza1√2x≤ x√

1 + x3≤ 1√

xè valida

per tutti gli x ≥ 1(b) Usare il test del confronto ed una delle disuguaglianze precedenti


0

x√1 + x3

dx

converge.

(a) Mostrare che la disuguaglianza√x ≤ 1 +√x ≤ 2√x è valida per

tutti gli x ≥ 1.(b) Usare il test del confronto ed una delle disuguaglianze precedenti


0

1

1 +√xdx

converge o meno.

2. Per ognuno dei seguenti integrali impropri , trovare un integrale defini-to che approssimi gli integrali dati a meno di 10−5 (Non calcolarel’integrale definito).

(a)Z ∞

0

1

x2 + exdx ;

(b)Z ∞

1

1

x4√2x3 + 1

dx ;

(c)Z ∞

0

arctanx

(1 + x2)3dx ;

1.2. CONVERGENZA 21

(d)Z ∞

0

e−x

2 + cosxdx

3. Considerate l’integrale I =Z ∞

e

1

ln2 xdx .

(a) Spiegare perché I è un integrale improprio;

(b) Mostrare che 1 ≤ ln2 x ≤ x2 per tutti gli x ≥ e ;(c) Spiegare perché le disuguaglianze in (b) non ci aiutano a valutare

la convergenza o meno di I.

(d) Mostrare che 1 ≤ lnx ≤ √x per tutti gli x ≥ e ;(e) Mostrare che I diverge.

(a) Mostrare che 0 ≤ x2≤ sinx se 0 ≤ x ≤ 1;

(b) Usare le disuguaglianze precedenti per mostrare che l’integraleimproprio Z 1

0

1√sinx

dx

converge.

4. Sia I =Z ∞

0

1√x+ x4

dx .

(a) Spiegare perché I è improprio;

(b) Mostrare che 1 ≤ I ≤ 3

5. Per ognuno degli integrali seguenti, usare il test del confronto perdeterminare se gli integrali convergono o meno

(a)Z ∞

0

1

1 + x4dx ;

(b)Z ∞

2

1√x− 1dx ;

(c)Z ∞

0

esinx dx

(d)Z ∞

1

1

x√x+ 1

dx ;


(e)Z ∞

0

1

x+ exdx ;

(f)Z ∞

0

1

x+ e−xdx ;

(g)Z ∞

1

13√x6 + x

dx ;

(h)Z ∞

0

√x

x+ 1dx ;

(i)Z ∞

3

x

lnxdx ;

(j)Z ∞

0

1

(x+ 1)√xdx ;

(k)Z ∞

0

sin2 x

(x+ 1)2dx ;

6. Mostrare cheZ 1

0

1√x+ x3

dx =

Z ∞

1

1√x+ x3

dx .

(a) Mostrare che l’integrale improprioZ ∞

0

e−x√xdx converge;

(b) Trovare α e β in modo tale che l’integrale definitoZ β

α

e−x√xdx

approssimi l’integrale improprio della parte (a) a meno di 5 ·10−3.

7. Sia f (x) =Z x

3

√te−t dt .

(a) Mostrare che limx→∞ f (x) esiste finito;

(b) Trovare a in modo tale che f (a) approssimiZ ∞

3

√te−t dt a meno

di 10−3.

8. Sia I =Z ∞

0

f (x) dx dove f (x) = e−x3sin2 x.

(a) Mostrare che I converge;

(b) Trovare una stima di I a meno di 5 · 10−3. Spiegare come si èottenuta l’accuratezza della stima. [Sugg.: per ogni x ≥ 0,−3 < f 00 (x) < 2 e −44 < f (4) (x) < 61.]

1.2. CONVERGENZA 23

(a) Mostrare cheZ ∞

1

cosx

x2dx converge.

(b) Usare l’integrazione per parti per mostrare cheZ ∞

1

sinx

xdx con-

verge.

(c) Usare (a) e (b) per mostrare cheZ ∞

0

sin (ex) dx converge [Sugg.:

usare la sostituzione u = ex.]

Dispense di Analisi II - Dipartimento di Matematica e...

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