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TEMI D�ESAMEANALISI MATEMATICA 2

Attenzione: Per esercitare lo spirito critico degli eventualilettori, nelle soluzioni sono stati volutamente inseriti un

certo numero di errori ed omissioni !

1

no: 007 Nome: James Bond

Analisi Matematica 2 - Novembre 2003

1) Determinare l�insieme X di convergenza ed il limite f(x) della successionefn(x) = exp

��(x� n)2

�. Stabilire se su tale insieme la convergenza è uniforme

e se

ZX\fx�0g

�lim

n!+1fn(x)

�dx = lim

n!+1

(ZX\fx�0g

fn(x)dx

);

ZX\fx�0g

�lim

n!+1fn(x)

�dx = lim

n!+1

(ZX\fx�0g

fn(x)dx

):

Per ogni x il limite è 0. La convergenza è uniforme sui compatti ma nonsull�intero asse reale.

ZX\fx�0g

�lim

n!+1fn(x)

�dx = lim

n!+1

(ZX\fx�0g

fn(x)dx

)= 0:

ZX\fx�0g

�lim

n!+1fn(x)

�dx = 0; lim

n!+1

(ZX\fx�0g

fn(x)dx

)=p�

2) Determinare i massimi e minimi relativi ed assoluti ed i punti di selladella funzione x3 + y3 � 3xy.Gradiente rF (x; y) =

�3x2 � 3y; 3y2 � 3x

�.

Hessiano rF (x; y) =�6x �3�3 6y

�.

Il punto (0; 0) è una sella ed il punto (1; 1) un minimo relativo, non ci sonomassimi.

3) Calcolare il polinomio di Taylor di 2o grado centrato in (1; 1) della funzionex

x2 + y2.

2

@

@x

�x

x2 + y2

�=

y2 � x2

(x2 + y2)2 ;

@

@y

�x

x2 + y2

�=

�2xy(x2 + y2)

2 ;

@2

@x2

�x

x2 + y2

�=2x3 � 6xy2

(x2 + y2)3 ;

@2

@y2

�x

x2 + y2

�=6xy2 � 2x3

(x2 + y2)3 ;

@2

@x@y

�x

x2 + y2

�=6x2y � 2y3

(x2 + y2)3 ;

x

x2 + y2=1

2� 12(y � 1)� 1

4(x� 1)2 + 1

2(x� 1)(y � 1) + 1

4(y � 1)2 + :::

4) Calcolare il volume dell�intersezione tra il cono C =�x2 + y2 � z2; z � 0

e la sfera S =

�x2 + y2 + z2 � R2

.

Z Z ZC\S

dxdydz =

Z R

0

�2d�

Z �=4

0

sin(#)d#

Z 2�

0

d' =2�p2� 1

��

3p2

R3:

5) Determinare l�equazione in coordinate polari della lemniscata�x2 + y2

�2=

x2�y2. Calcolare l�area nell�anello di lemniscata�x2 + y2

�2 � x2�y2 con x � 0.Scrivere l�integrale che dà la lunghezza dell�anello di lemniscata

�x2 + y2

�2=

x2 � y2 con x � 0.

La lemniscatadi Bernoulli�

x2 + y2�2= x2 � y2

In coordinate polari la lemniscata ha equazione �2 = cos(2#), l�equazioneparametrica è �

x =pcos(2#) cos(#);

y =pcos(2#) sin(#):

L�anello di lemniscata ha equazione � �qcos2(#)� sin2(#) con ��=4 �

# � �=4, quindi l�area è

Z �=4

��=4

Z pcos2(#)�sin2(#)0

�d�d# =

Z �=4

��=4

cos2(#)� sin2(#)2

d# = 1=2:

3

Calcoliamo l�area utilizzando la formula di Gauss-GreenZ Z

dxdy =

Z@

xdy:

Z �=4

��=4xdy =

Z �=4

��=4

�pcos(2#) cos(#)

� 4 cos3(#)� 3 cos(#)pcos(2#)

!d#

=

Z �=4

��=4

�4 cos4(#)� 3 cos2(#)

�d# = 1=2:

La lunghezza dell�anello di lemniscata è data dall�integrale

Z �=4

��=4

qd�2 + �2d#2 =

Z �=4

��=4

vuut � sin(2#)pcos(2#)

!2+ cos(2#)d# =

Z �=4

��=4

d#pcos(2#)

= 2; 622:::

Dall�equazione della lemniscata in coordinate polari �2 = cos(2#) e la for-mula per l�elemento in�nitesimo di lunghezza ds2 = d�2 + �2d#2, si ricavads =

�1� �4

��1=2d�. Quindi la lunghezza dell�arco di lemniscata dall�origine

�no al punto a distanza x è data dall�integraleZ x

0

�1� t4

��1=2dt, un analogo

dell�integraleZ x

0

�1� t2

��1=2dt = arcsin(x) che dà la lunghezza di un arco di

cerchio.

4


Analisi Matematica 2 - Gennaio 2004

1) Tracciare il campo di direzioni associato all�equazione di¤erenziale dy=dx =(x� 1) = (y + 1) ed un gra�co qualitativo delle soluzioni per i punti (0; 0) e (0; 1).

2) Risolvere il problema di Cauchy�dy=dx = (x� 1) = (y + 1) ;y(0) = 1:Z

(y + 1)dy =

Z(x� 1)dx;

(y + 1)2=2 = (x� 1)2 =2 + C;

y =

q(x� 1)2 + C � 1

y =px2 � 2x+ 4� 1:

3) Risolvere l�equazione di¤erenziale�dy=dx =

�3x2 � y

�= (y + x) ;

y(0) = �1: .

La forma di¤erenziale�y � x2

�dx+ (y + x) dy è esatta ed ha potenziale

�Z x

0

3x2dx+

Z y

0

(y + x) dy = �x3 + y2=2 + xy:

Le soluzioni dell�equazione di¤erenziale sono quindi de�nite implicitamentedalle equazioni y2+2xy� 2x3 = C ed esplicitamente y = �x�

p2x3 + x2 + C.

Se y(0) = �1 allora C = 1, quindi

y = �x�p2x3 + x2 + 1:

4) Trovare lo sviluppo in serie di Fourier rispetto al sistema ortonormale�p2 sin (n�x)

+1n=1

della soluzione dell�equazione del calore

5

8>>><>>>:@

@tu(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1,

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0,

u(0; x) =

�1 se 0 < x < 1=2,0 se 1=2 < x < 1.

Discutere poi la convergenza della serie.Lo sviluppo in serie di Fourier del dato iniziale è

u(0; x) =+1Xn=1

�Z 1

0

u(0; y)p2 sin (n�y) dy

�p2 sin (n�x)

=+1Xn=1

"2

Z 1=2

0

sin (n�y) dy

#sin (n�x)

=+1Xn=1

2� 2 cos (n�=2)n�

sin (n�x) :

Se u(t; x) =X+1

n=1C(n; t) sin (n�x), allora

8><>:@

@tC(n; t) = ��2n2C(n; t),

C(n; 0) =2� 2 cos (n�=2)

n�.

Quindi

u(t; x) =+1Xn=1

2� 2 cos (n�=2)n�

exp��2n2t

�sin (n�x) :

La serie converge per ogni t � 0 e 0 � x � 1. Se t � " > 0 la convergenza èuniforme ed assoluta, se t = 0 la convergenza non è nè uniforme nè assoluta.

5) Assumendo che un corpo di massa uno si muova sulla retta x soggettoad una forza �(x), scrivere e risolvere l�equazione di¤erenziale che governa laposizione x in funzione del tempo t. (Si suggerisce di porre dx=dt = v e con-siderare la velocità come funzione della posizione. Questo trasforma l�equazionedel second�ordine in una del primo.)

d2x

dt2= �(x):

Se dx=dt = v, allora d2x=dt2 = (dv=dx) (dx=dt) = v (dv=dx). Quindi

6

vdv

dx= �(x);Z

vdv =

Z�(x)dx;

v =

s2

Z�(x)dx;Z

dxr2

Z�(x)dx

=

Zdt:

Negli integrali sono presenti delle costanti arbitrarie.

7


Analisi Matematica 2 - Febbraio 2004

1) Calcolare i massimi e minimi relativi della funzione x3+xy2�2x2�2y2+xe stabilire se esistono massimi o minimi assoluti.La funzione ristretta all�asse y = 0 si riduce a x3 � 2x2 + x ed è illimitata

superiormente ed inferiormente. Quindi la funzione non ha massimi e minimiassoluti. 8><>:

@

@x

�x3 + xy2 � 2x2 � 2y2 + x

�= 3x2 + y2 � 4x+ 1;

@

@y

�x3 + xy2 � 2x2 � 2y2 + x

�= 2yx� 4y = 2y(x� 2):

Il gradiente è nullo solo nei punti (1=3; 0) e (1; 0).8>>>>><>>>>>:

@2

@x2�x3 + xy2 � 2x2 � 2y2 + x

�= 6x� 4;

@2

@y2�x3 + xy2 � 2x2 � 2y2 + x

�= 2x� 4;

@2

@x@y

�x3 + xy2 � 2x2 � 2y2 + x

�= 2y:

Nel punto (1=3; 0) la matrice delle derivate seconde��2 00 �10=3

�è de�nita

negativa, questo punto è un massimo relativo. Nel punto (1; 0) la matrice delle

derivate seconde�2 00 �2

�è inde�nita, questo punto è una sella.

2) Disegnare la curva�x = t3;y = t2;

e calcolarne la lunghezza da (0; 0) a (1; 1).

�x = t3;y = t2:

8

Z 1

0

q(@x=@t)

2+ (@y=@t)

2dt

=

Z 1

0

q(3t2)

2+ (2t)

2dt =

Z 1

0

tp9t2 + 4dt

=1

18

Z 9

0

ps+ 4ds =

1

27(s+ 4)

3=2

��9s=0

=13

27

p13� 8

27:

3) Calcolare il volume della regione di spazion�x2 + y2

�3=4 � z � 1o.Z Z Z

f(x2+y2)3=4�z�1gdxdydz =

Z Z Zf0�#<1; ��z2=3; 0�z�1g

�d�d#dz

=

�Z 2�

0

d#

� Z 1

0

Z z2=3

0

�d�

!dz

!= �

Z 1

0

z4=3dz = 3�=7:

4) Risolvere l�equazione di¤erenziale

8<:dy

dx=2x� y2y3 + 2xy

;

y(0) = �1:La forma di¤erenziale

�y2 � 2x

�dx+

�y3 + 2xy

�dy è esatta ed ha potenziale

�Z x

0

2xdx+

Z y

0

�y3 + 2xy

�dy = �x2 + y4=4 + xy2:

Le soluzioni dell�equazione di¤erenziale sono de�nite implicitamente dalleequazioni y4 + 4xy2 � 4x2 = C ed esplicitamente da y = �

p�2x�

p8x2 + C.

In�ne, da y(0) = �1 si ricava

y = �q�2x+

p8x2 + 1:


+1n=1

della soluzione dell�equazione delle onde8>>><>>>:@2

@t2u(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se �1 < t < +1 e 0 < x < 1,

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se �1 < t < +1,u(0; x) = 0 e

@

@tu(0; x) = x=2.

Discutere poi la convergenza della serie.Lo sviluppo in serie di Fourier della velocità iniziale è

9

@

@tu(0; x) =

+1Xn=1

�Z 1

0

@

@tu(0; y)

p2 sin (n�y) dy

�p2 sin (n�x)

=+1Xn=1

�Z 1

0

y sin (n�y) dy

�sin (n�x)

=+1Xn=1

� cos (n�)n�

sin (n�x)

=+1Xn=1

(�)n+1

n�sin (n�x) :

Se u(t; x) =X+1


8><>:@2

@t2C(n; t) = ��2n2C(n; t);

C(n; 0) = 0;@

@tC(n; 0) =

(�)n+1

n�:

C(n; t) =(�)n+1

�2n2sin(n�t)

Quindi

u(t; x) =

+1Xn=1

(�)n+1

�2n2sin(n�t) sin (n�x) :

La serie converge uniformemente ed assolutamente per ogni �1 < t < +1e 0 � x � 1.

10


Analisi Matematica 2 - Giugno 2004

1) Calcolare i massimi e minimi relativi ed i punti di sella della funzionex2 + y2 � xy2 e stabilire se esistono massimi o minimi assoluti.La funzione ristretta alla retta y = x si riduce a �x3 + 2x2 ed è illimitata

superiormente ed inferiormente, quindi non ha massimi e minimi assoluti.8><>:@

@x

�x2 + y2 � xy2

�= 2x� y2;

@

@y

�x2 + y2 � xy2

�= 2y � 2xy = 2y(1� x):

Il gradiente è nullo solo nei punti (0; 0) e�1;�

p2�.8>>>>><>>>>>:

@2

@x2�x2 + y2 � xy2

�= 2;

@2

@y2�x2 + y2 � xy2

�= 2� 2x;

@2

@x@y

�x2 + y2 � xy2

�= �2y:

Nel punto (0; 0) la matrice delle derivate seconde�2 00 2

�è de�nita positiva,

questo punto è un minimo relativo. Nei punti�1;�

p2�la matrice delle derivate

seconde�

2 �2p2

�2p2 0

�è inde�nita, questi punti sono selle.

2)Z Z

f0<y<x; x2+y2<1gxydxdy =

Z Zf0<y<x; x2+y2<1g

xydxdy =

Z 1

0

�3d�

Z �=4

0

cos (#) sin (#) d# = 1=16:

3)

8<:dy

dx=1 + xy2

y � x2y ;y(0) = 1:

L�equazione di¤erenziale�xy2 + 1

�dx+

�x2y � y

�dy = 0 è esatta e il poten-

ziale associato è Z x

0

dt+

Z y

0

�x2t� t

�dt = x+ x2y2=2� y2=2:

Le soluzioni dell�equazione di¤erenziale sono le curve x+x2y2=2� y2=2 = c,cioè

11

y = �rc� 2xx2 � 1 :

Imponendo il passaggio per il punto (0; 1) si ottiene c = �1 con il segno +davanti alla radice,

y =

r1 + 2x

1� x2 :

4) Un punto X vincolato ad una retta R è collegato con una molla ad unpunto P che si muove sulla retta con velocità uniformemente accelerata. Dettam la massa del punto X, k la costante di elasticità della molla, a l�accelerazionedi P , v e p la velocità e posizione di P al tempo t = 0, scrivere l�equazione delmoto di X. In�ne integrare esplicitamente l�equazione quando m = k = a = 1se al tempo t = 0 sia X che P sono fermi in 0.

m��x(t) = �k

�x(t)�

�a2t2 + vt+ p

��( ��x(t) + x(t) = t2=2;

x(0) =�x(0) = 0:

x(t) = cos(t) + t2=2� 1:


+1n=1

della funzione x(x� 1) nell�intervallo 0 < x < 1 e discuterela convergenza della serie.

x(x� 1) =+1Xn=1

�Z 1

0

(y2 � y)p2 sin (n�y) dy

�p2 sin (n�x)

=+1Xn=0

�8�3(2n+ 1)3

sin ((2n+ 1)�x) :

La serie converge assolutamente ed uniformemente.

6) Risolvere l�equazione del calore8><>:@

@tu(t; x) =

@2

@x2u(t; x)� u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1,

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0,u(0; x) = x(x� 1).

Se u(t; x) =X+1

n=1C(n; t) sin (n�x) è soluzione dell�equazione del calore, al-

lora @C(n; t)=@t = ��1 + �2n2

�C(n; t), C(n; t) = C(n; 0) exp

��1 + �2n2

�t�.

Quindi

+1Xn=0

�8�3(2n+ 1)3

exp��1 + �2(2n+ 1)2

�t�sin ((2n+ 1)�x) :

12


Analisi Matematica 2 - Luglio 2004

1) Calcolare i massimi e minimi relativi ed i punti di sella della funzionex3 + y2 � x e stabilire se esistono massimi o minimi assoluti.La funzione ristretta alla retta y = 0 si riduce a x3 � x ed è illimitata

superiormente ed inferiormente, quindi non ha massimi e minimi assoluti.8><>:@

@x

�x3 + y2 � x

�= 3x2 � 1;

@

@y

�x3 + y2 � x

�= 2y:

Il gradiente è nullo solo nei punti��1=

p3; 0�.8>>>>><>>>>>:

@2

@x2�x3 + y2 � x

�= 6x;

@2

@y2�x3 + y2 � x

�= 2;

@2

@x@y

�x3 + y2 � x

�= 0:

Nel punto�1=p3; 0�la matrice delle derivate seconde

�2p3 00 2

�è de�nita

positiva, questo punto è un minimo relativo. Nel punto��1=

p3; 0�la matrice

delle derivate seconde��2p3 0

0 2

�è inde�nita, questo punto è una sella.

2)�d3y=dx3 + dy=dx = x;y(0) = y0(0) = y00(0) = 0:

La soluzione generale dell�equazione di¤erenziale è

x2=2 +A+B cos(x) + C sin(x):

Se y(0) = y0(0) = y00(0) = 0, allora A+B = 0, C = 0, B = 1. Quindi

y(x) = x2=2� 1 + cos(x):

3) Disegnare la super�cie

8<: x = s cos(2�t);y = s sin(2�t);z = t;

e calcolarne l�area con 0 �

s; t � 1.

13

��i!

j!

k!

cos(2�t) sin(2�t) 0�2�s sin(2�t) 2�s cos(2�t) 1

�� = sin (2�t) i!� cos(2�t) j!+ 2�sk!;Z ZdA =

Z 1

0

Z 1

0

p1 + 4�2s2dsdt =

2�p1 + 4�2 + log

�2� +

p1 + 4�2

�4�

:

4) Scrivere l�equazione di¤erenziale che descrive la traiettoria di un oggettodi coordinate (x; y) trascinato con una fune di lunghezza uno con un estremosull�asse delle ascisse. Osservare che la fune è tangente alla traiettoria e cheil tratto di tangente dalla curva all�asse delle ascisse ha lunghezza uguale allafune.

La curva trattrice di Newton 1676 e Huygens 1692

La curva è la trattrice (Newton 1676 e Huygens 1692).

dy=dx = �y=p1� y2;Z p

1� y2y

dy = �Zdx

x� c = log��1 +

p1� y2

�=y��p1� y2:


+1n=1

della funzione f(x) = 1 in 0 < x < 1. Calcolare poi

1 + 1=9 + 1=25 + 1=49 + 1=81 + :::

1 =+1Xn=1

�Z 1

0

p2 sin (n�y) dy

�p2 sin (n�x)

=+1Xn=0

4

�(2n+ 1)sin ((2n+ 1)�x) :

In�ne si ha

14

Z 1

0

12dx =+1Xn=0

8

�2(2n+ 1)2;

1 + 1=9 + 1=25 + 1=49 + 1=81 + ::: = �2=8:

6) Risolvere l�equazione del calore8><>:@

@tu(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1,

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0,u(0; x) = 1.

Se u(t; x) =X+1

n=1C(n; t) sin (n�x) è soluzione dell�equazione del calore,

allora @C(n; t)=@t = ��2n2C(n; t), C(n; t) = C(n; 0) exp��2n2t

�. Quindi

+1Xn=0

4

�(2n+ 1)exp

��2(2n+ 1)2t

�sin ((2n+ 1)�x) :

15


Analisi Matematica 2 - Settembre 2004

1) Calcolare i massimi e minimi relativi ed i punti di sella della funzionex2 + y2 + z2 � z3 e stabilire se esistono massimi o minimi assoluti.La funzione ristretta alla retta y = x = 0 si riduce a z2 � z3 ed è illimitata

superiormente ed inferiormente, quindi non ha massimi e minimi assoluti.8>>>><>>>>:@

@x

�x2 + y2 + z2 � z3

�= 2x;

@

@y

�x2 + y2 + z2 � z3

�= 2y;

@

@z

�x2 + y2 + z2 � z3

�= 2z � 3z2:

Il gradiente è nullo solo nei punti (0; 0; 0) e (0; 0; 2=3).8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

@2

@x2�x2 + y2 + z2 � z3

�= 2;

@2

@y2�x2 + y2 + z2 � z3

�= 2;

@2

@z2�x2 + y2 + z2 � z3

�= 2� 6z;

@2

@x@y=

@2

@y@z=

@2

@z@x= 0

Nel punto (0; 0; 0) la matrice delle derivate seconde

24 2 0 00 2 00 0 2

35 è de�nitapositiva, questo punto è un minimo relativo. Nel punto (0; 0; 2=3) la matrice

delle derivate seconde

24 2 0 00 2 00 0 �2

35 è inde�nita, questo punto è una sella.2) Disegnare la curva

�x = t2 cos(2�t);y = t2 sin(2�t);

e calcolarne la lunghezza da 0 �t � n.

�x = t2 cos(2�t);y = t2 sin(2�t);

16

Z n

0

q(@x=@t)

2+ (@y=@t)

2dtZ n

0

q(2t cos(2�t)� 2�t2 sin(2�t))2 + (2t sin(2�t) + 2�t2 cos(2�t))2dt

=

Z n

0

2tp1 + �2t2dt = ��2

Z 1+n2�2

1

s1=2ds = (2=3)��2��1 + n2�2

�3=2 � 1� :3) Disegnare la regione

�0 � y � 1� x2

e calcolare

Z Zf0�y�1�x2g

x2ydxdy.

La regione è la parte del semipiano fy � 0g interna alla parabola�y � 1� x2

.

Z Zf0�y�1�x2g

x2ydxdy =

Z +1

�1x2

Z 1�x2

0

ydx

!dy

=1

2

Z +1

�1x2�1� x2

�2dx =

1

2

Z +1

�1

�x2 � 2x4 + x6

�dx =

8

105:

4)

( ��y +

�y + y = x;

y(0) =�y(0) = 0:

Una soluzione particolare dell�equazione��y+

�y+y = x è y = x�1 e le soluzioni

dell�equazione omogenea��y +

�y + y = 0 sono y = A exp(�x=2) cos

�p3x=2

�+

B exp(�x=2) sin�p3x=2

�. Imponendo le condizioni iniziali si ottiene

y(x) = x� 1 + exp(�x=2) cos�p3x=2

�� 1p

3exp(�x=2) sin

�p3x=2

�:

5) Calcolare, se esiste, il potenziale della forza�2x

1 + x4 + 2x2y2 + y4;

2y

1 + x4 + 2x2y2 + y4

�:

@

@y

2x

1 + x4 + 2x2y2 + y4=

�8xy�x2 + y2

�(1 + x4 + 2x2y2 + y4)

2 =@

@x

2y

1 + x4 + 2x2y2 + y4:

La forza ha potenziale,

P (x; y) =

Z x

0

2t

1 + t4dt+

Z y

0

2t

1 + x4 + 2x2t2 + t4dt = arctan

�x2 + y2

�:

17



La spirale di Archimede � = # La foglia di Cartesio x3 � 9xy + y3 = 0

1) Calcolare il polinomio di Taylor di 2o grado centrato in (3; 4) della funzionepx2 + y2.

F (x; y) =�x2 + y2

�1=2F (3; 4) = 5

@

@x

�x2 + y2

�1=2= x

�x2 + y2

��1=2 @

@xF (3; 4) = 3=5

@

@y

�x2 + y2

�1=2= y

�x2 + y2

��1=2 @

@yF (3; 4) = 4=5

@2

@x2�x2 + y2

�1=2= y2

�x2 + y2

��3=2 @2

@x2F (3; 4) = 16=125

@2

@x@y

�x2 + y2

�1=2= �xy

�x2 + y2

��3=2 @2

@x@yF (3; 4) = �12=125

@2

@x2�x2 + y2

�1=2= x2

�x2 + y2

��3=2 @2

@y2F (1; 2) = 9=125

px2 + y2 = 5+

3

5(x�3)+4

5(y�4)+ 8

125(x�3)2� 12

125(x�3)(y�4)+ 9

250(y�4)2+:::

2) Calcolare i massimi e minimi relativi ed i punti di sella della funzionex2 + y2 + cos(z) e stabilire se esistono massimi o minimi assoluti.8>>>><>>>>:

@

@x

�x2 + y2 + cos(z)

�= 2x

@

@y

�x2 + y2 + cos(z)

�= 2y

@

@z

�x2 + y2 + cos(z)

�= � sin(z)

Il gradiente è nullo solo nei punti (0; 0; k�) con k intero relativo.

18

8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

@2

@x2�x2 + y2 + cos(z)

�= 2

@2

@y2�x2 + y2 + cos(z)

�= 2

@2

@z2�x2 + y2 + cos(z)

�= � cos(z)

@2

@x@y=

@2

@y@z=

@2

@z@x= 0

Nei punti (0; 0; 2k�) la matrice delle derivate seconde

24 2 0 00 2 00 0 �1

35 non ède�nita, questi punti sono delle selle. Nei punti (0; 0; (2k + 1)�) la matrice delle

derivate seconde

24 2 0 00 2 00 0 1

35 è de�nita positiva, questo punti sono minimi

assoluti. La funzione è illimitata se x2 + y2 ! +1, quindi non ci sono massimiassoluti.

3) Calcolare l�area spazzata dal raggio vettore in un giro di spirale di Archimede,in coordinate polari � = #.

Z Zf0��#; 0�#�2�g

�d�d# =

Z 2�

0

Z #

0

�d�

!d# =

Z 2�

0

#2

2d# =

4

3�3

4) Calcolare la lunghezza di un giro di spirale di Archimede � = #.

Z 2�

0

q(d�)

2+ (�d#)

2

=

Z 2�

0

p1 + #2d# = �

p1 + 4�2 � 1

2log�p

1 + 4�2 � 2��

5) Calcolare l�equazione della retta tangente alla curva x3 � 9xy + y3 = 0nel punto (4; 2).

dy

dx= �3x

2 � 9y3y2 � 9x

y � 2 = 5

4(x� 4)

y =5

4x� 3

6) Trovare una rappresentazione parametrica della curva x3 � 9xy + y3 = 0intersecandola con il fascio di rette per l�origine y = tx. Trovare poi l�areacompresa nel cappio di curva.

19

�x3 � 9xy + y3 = 0y = tx

�x2��1 + t3

�x� 9t

�= 0

y = tx

8><>:x =

9t

1 + t3

y =9t2

1 + t3

Area =

Z Zdxdy = �

Zydx

= �Z +1

0

9t2

t3 + 1

d

dt

�9t

t3 + 1

�dt = 81

Z +1

0

t2�2t3 � 1

�(t3 + 1)

3 dt

= 27

Z +1

0

2s� 1(s+ 1)

3 ds = 27

Z +1

1

�2u�2 � 3u�3

�du =

27

2

20



1) Tracciare il campo di direzioni associato all�equazione di¤erenziale dy=dx =y (x� y) ed un gra�co qualitativo della soluzione per il punto (0; 1).

2) Risolvere il problema di Cauchy�dy=dx = y (x� y) ;y(0) = 1:

Determinare l�intervallo su cui la soluzione è de�nita e calcolare limx!+1 y(x).È un�equazione di Bernoulli dy=dx = xy � y2. Posto z = y�1, si ha

�dz=dx = �xz + 1;z(0) = 1;

z = exp��x2=2

��1 +

Z x

0

exp�t2=2

�dt

�;

y =exp

�x2=2

�1 +

Z x

0

exp (t2=2) dt

:

La soluzione è de�nita sull�intervallo (�;+1), conZ �

0

exp�t2=2

�dt = �1,

� = �0; 874:::. In�ne, si ha

limx!+1

exp�x2=2

�1 +

Z x

0

exp (t2=2) dt

= limx!+1

x exp�x2=2

�exp (x2=2)

= +1:


21

8<: d3y

dx3+dy

dx= x

y(0) = 0; y0(0) = 1; y00(0) = 2:

L�equazione caratteristica associata è �3 + � = 0, con soluzioni � = 0;�i,quindi le soluzioni dell�equazione omogenea sono A+B cos(x) + C sin(x). Unasoluzione particolare dell�equazione non omogenea è x2=2. Quindi le soluzionidell�equazione sono

y = x2=2 +A+B cos(x) + C sin(x)

In�ne, da y(0) = A+B, y0(0) = C, y00(0) = 1�B, si ricava A = 1, B = �1,C = 1,

y = x2=2 + 1� cos(x) + sin(x):4) Trovare il polinomio di quinto grado nello sviluppo in serie di potenze

dell�equazione del pendolo 8<: d2#

dt2+ sin(#) = 0;

#(0) = 0; #0(0) = 1:

#00 = � sin(#); #00(0) = 0;#000 = �#0 cos(#); #000(0) = �1;

#0000 = �#00 cos(#) +�#0�2sin(#); #0000(0) = 0;

#00000 = �#000 cos(#) + 3#00#0 sin(#) +�#0�3cos(#); #00000(0) = +2; :::

# = t� t3=6 + t5=60 + :::


+1n=1


@t2u(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1,

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0,

u(0; x) = 0 e@

@tu(0; x) = cos(�x).

Discutere poi la convergenza della serie.

22

Lo sviluppo in serie di Fourier della velocità iniziale è

@

@tu(0; x) =

+1Xn=1

�Z 1

0

@

@tu(0; y)

p2 sin (n�y) dy

�p2 sin (n�x)

=+1Xn=1

�2

Z 1

0

cos (�y) sin (n�y) dy

�sin (n�x)

=+1Xn=1

2n (cos(n�) + 1)

� (n2 � 1) sin (n�x) :

Se u(t; x) =X+1


8><>:@2

@t2C(n; t) = ��2n2C(n; t),

C(n; 0) = 0;@

@tC(n; 0) =

2n (cos(n�) + 1)

� (n2 � 1) ;

C(n; t) =2 (cos(n�) + 1)

�2 (n2 � 1) sin (�nt) ;

u(t; x) =+1Xn=1

2 (cos(n�) + 1)

�2 (n2 � 1) sin (�nt) sin (�nx)

=

+1Xk=1

4

�2 (4k2 � 1) sin (2�kt) sin (2�kx) :

La serie converge assolutamente ed uniformemente per ogni �1 < t < +1e 0 � x � 1.

23



1) Calcolare la lunghezza e l�area sottesa da un arco di cicloide.

�x = #� sin(#)y = 1� cos(#)

Area:

Z 2�

0

ydx =

Z 2�

0

(1� cos(#))2 d# =Z 2�

0

�1 + cos2(#)� 2 cos(#)

�d# = 3�:

Lunghezza:

Z 2�

0

pdx2 + dy2 =

Z 2�

0

q(1� cos(#))2 + sin2(#)d# =

Z 2�

0

2 sin(#=2)d# = 8:

2) Calcolare i massimi e minimi relativi della funzione xyz sulla sfera x2 +y2 + z2 = 1.Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, de�niamo

F [x; y; z; �] = xyz + ��x2 + y2 + z2 � 1

�:

@

@xF [x; y; z; �] = yz + 2�x;

@

@yF [x; y; z; �] = xz + 2�y;

@

@zF [x; y; z; �] = xy + 2�z;

@

@�F [x; y; z; �] = x2 + y2 + z2 � 1:

Moltiplicando @F=@x per x, @F=@y per y, @F=@z per z, e ponendo il risultatiuguali a zero si ottiene �xyz = 2�x2 = 2�y2 = 2�z2. In un intorno dei punticon xyz = 0 la funzione cambia segno, quindi questi punti non sono massimio minimi. Se xyz 6= 0, deve essere � 6= 0 e quindi x2 = y2 = z2 = 1=3. Ipunti stazionari sono

��1=

p3;�1=

p3;�1=

p3�. Quando il prodotto dei segni

24

è positivo si ha un massimo e quando il prodotto dei segni è negativo si ha unminimo.Si può anche procedere esprimendo i punti della sfera in coordinate polari,

x = sin (#) cos ('), y = sin (#) sin ('), z = cos (#), con 0 � # � � e 0 � ' < 2�.Quindi

xyz = cos (') sin (') cos (#) sin2 (#) ;

@

@#

�cos (') sin (') cos (#) sin2 (#)

�= cos (') sin (') sin (#)

�3 cos2(#)� 1

�;

@

@'

�cos (') sin (') cos (#) sin2 (#)

�=�cos2(')� sin2(')

�cos (#) sin2 (#) :

I punti con x = 0 o y = 0 o z = 0 non sono massimi o minimi, perchéin un intorno di questi punti la funzione cambia segno. Gli altri punti con@=@# = @=@' = 0 sono soluzioni di cos2(') = sin2(') e cos2(#) = 1=3. Quindi��1=

p3;�1=

p3;�1=

p3�, se il prodotto dei segni è positivo si ha un massimo

e se è negativo un minimo.

3) Calcolare il baricentro della regione fx � 0; y � 0; z � 0; x+ y + z � 1g.Per simmetria le coordinate del baricentro sono uguali. Basta quindi calco-

lare l�altezza del baricentroZ Z Zfx�0; y�0; z�0; x+y+z�1g

zdxdydzZ Z Zfx�0; y�0; z�0; x+y+z�1g

dxdydz

:

Il volume della regione è

Z Z Zfx�0; y�0; z�0; x+y+z�1g

dxdydz

=

Z 1

0

�Z 1�z

0

�Z 1�y�z

0

dx

�dy

�dz = 1=6

Inoltre

Z Z Zfx�0; y�0; z�0; x+y+z�1g

zdxdydz

=

Z 1

0

z

�Z 1�z

0

�Z 1�y�z

0

dx

�dy

�dz = 1=24

Quindi le coordinate del baricentro sono (1=4; 1=4; 1=4).


8<:dy

dx=x� yx+ y

;

y(0) = 1

25

La forma di¤erenziale (y � x) dx+ (y + x) dy è esatta ed ha potenziale

�Z x

0

xdx+

Z y

0

(y + x) dy = �x2=2 + y2=2 + xy:

Le soluzioni dell�equazione di¤erenziale sono quindi de�nite implicitamentedalle equazioni y2=2 + xy � x2=2 = C. Se y(0) = 1, allora C = 1=2. Quindi

y2 + 2xy � x2 � 1 = 0;

y = �x+p2x2 + 1:

L�equazione dy=dx = (x� y) = (x+ y) è omogenea e si può anche risolverecon la sostituzione y=x = z,

dy

dx= z + x

dz

dx=x� xzx+ xz

=1� z1 + z

;

xdz

dx=1� z1 + z

� z = 1� 2z � z21 + z

;Z1 + z

1� 2z � z2 dz =Zdx

x;

�12log�z2 + 2z � 1

�= log(x) + C;

z2 + 2z � 1 = C=x2;y2 + 2xy � x2 = C;

y = �x�p2x2 + C:

Se y(0) = 1, bisogna scegliere C = 1 ed il segno +.


+1n=1

della funzione de�nita in 0 � x � 1

'(x) =

8<: 0 se 0 � x < 1=4,1 se 1=4 � x � 3=4,0 se 3=4 < x � 1.

Calcolare poi 1 + 1=9 + 1=25 + 1=49 + 1=81 + 1=121 + :::

'(x) =+1Xn=1

�Z 1

0

'(y)p2 sin (n�y) dy

�p2 sin (n�x)

=+1Xn=1

"p2

Z 3=4

1=4

sin (n�y) dy

#p2 sin (n�x)

=

+1Xn=1

p2 (cos(n�=4)� cos(3n�=4))

n�

p2 sin (n�x) :

26

Si ha

p2 (cos(n�=4)� cos(3n�=4))

n�=

8<: 0 se n = 2k,

� 2

(2k + 1)�se n = 2k + 1:

Si ha anche

Z 1

0

j'(x)j2 dx = 1

2

=+1Xn=1

�Z 1

0

'(y)p2 sin (n�y) dy

�2=4

�2

+1Xk=0

(2k + 1)�2:

Quindi,

+1Xk=0

(2k + 1)�2 = �2=8:


+1n=1

della soluzione dell�equazione del calore8>>>>><>>>>>:

@

@tu(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1,

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0,

u(0; x) =

8<: 0 se 0 � x < 1=4,1 se 1=4 � x � 3=4,0 se 3=4 < x � 1.

Discutere poi la convergenza della serie. Calcolare poi la distribuzione asin-totica della temperatura U(x) = limt!+1 u(t; x) e stabilire se la convergenza èuniforme.Lo sviluppo in serie di Fourier del dato iniziale è

u(0; x) =

+1Xn=1

�Z 1

0


�p2 sin (n�x)

=+1Xn=1

2cos(n�=4)� cos(3n�=4)

n�sin (n�x) :

Se u(t; x) =X+1

n=1C(n; t) sin (n�x), allora8><>:

@

@tC(n; t) = ��2n2C(n; t),

C(n; 0) = 2cos(n�=4)� cos(3n�=4)

n�.

27

Quindi

u(t; x) =+1Xn=1

2cos(n�=4)� cos(3n�=4)

n�exp

��2n2t

�sin (n�x) :

La serie converge per ogni t � 0 e 0 � x � 1. Se t = 0 la convergenza non ène uniforme ne assoluta. Se t > 0,

ju(t; x)j �+1Xn=1

exp��2n2t

��

+1Xn=1

�exp

��2t

��n=

exp��2t

�1� exp (��2t) :

Se t � " > 0 la convergenza è uniforme ed assoluta. In�ne U(x) = limt!+1 u(t; x) =0, la convergenza è uniforme.

28



1) Calcolare i massimi e minimi relativi della funzione xyz sulla sferax2 + y2 + z2 = 3.Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, de�niamo

F [x; y; z; �] = xyz + ��x2 + y2 + z2 � 3

�:

@

@xF [x; y; z; �] = yz + 2�x;

@

@yF [x; y; z; �] = xz + 2�y;

@

@zF [x; y; z; �] = xy + 2�z;

@

@�F [x; y; z; �] = x2 + y2 + z2 � 3:

Moltiplicando @F=@x per x, @F=@y per y, @F=@z per z, e ponendo il risultatiuguali a zero si ottiene �xyz = 2�x2 = 2�y2 = 2�z2. In un intorno dei punticon xyz = 0 la funzione cambia segno, quindi questi punti non sono massimio minimi. Se xyz 6= 0, deve essere � 6= 0 e quindi x2 = y2 = z2 = 1. I puntistazionari sono [�1;�1;�1]. Quando il prodotto dei segni è positivo si ha unmassimo e quando il prodotto dei segni è negativo si ha un minimo.Si può anche procedere esprimendo i punti della sfera in coordinate polari,

x =p3 sin (#) cos ('), y =

p3 sin (#) sin ('), z =

p3 cos (#), con 0 � # � � e

0 � ' < 2�. Quindi

xyz = 3p3 cos (') sin (') cos (#) sin2 (#) ;

@

@#

�cos (') sin (') cos (#) sin2 (#)

�= cos (') sin (') sin (#)

�3 cos2(#)� 1

�;

@

@'

�cos (') sin (') cos (#) sin2 (#)

�=�cos2(')� sin2(')

�cos (#) sin2 (#) :

I punti con x = 0 o y = 0 o z = 0 non sono massimi o minimi, perchéin un intorno di questi punti la funzione cambia segno. Gli altri punti con@=@# = @=@' = 0 sono soluzioni di cos2(') = sin2(') e cos2(#) = 1=3. Quindi[x; y; z] = [�1;�1;�1], se il prodotto dei segni è positivo si ha un massimo e seè negativo un minimo.

2) La regione di spazio�x2 + y2 � 1; 0 � z � y

è:

A) L�intersezione tra l�interno di un cono ed una sfera.B) L�intersezione tra l�interno di un cilindro ed un cono.

29

C) L�intersezione tra l�interno di un cilindro e due semispazi.D) L�intersezione tra l�interno di un cono e due semispazi.Calcolare il volume della regione di spazio

�x2 + y2 � 1; 0 � z � y

.

Z Z Zfx2+y2�1; 0�z�yg

dxdydz

=

Z 1

0

Z +p1�y2

�p1�y2

�Z y

0

dz

�dx

!dy

=

Z 1

0

2yp1� y2dy = 2=3

3) Calcolare l�area della regione di piano interna alla curva

�x = sin(2t) cos(t);y = sin(2t) sin(t);0 � t � �=2:

Z Z

dxdy =

Z@

xdy � ydx2

=1

2

Z �=2

0

sin(2t) cos(t) (2 cos(2t) sin(t) + sin(2t) cos(t)) dt

�12

Z �=2

0

sin(2t) sin(t) (2 cos(2t) cos(t)� sin(2t) sin(t)) dt

=1

2

Z �=2

0

sin2(2t)dt =1

4

Z �

0

sin2(u)du = �=8

4) Risolvere l�equazione di¤erenziale logistica�y0 = y � y2;y(0) = 2:Z y

2

dy

y(y � 1) = �Z x

0

dx;

log

�2y � 1y

�= �x

y =2

2� exp(�x)

5) Risolvere l�equazione di¤erenziale�y00 + y0 + y = x;y(0) = 0; y0(0) = 1:

30

y = x� 1 + exp(�x=2) cos�p3x=2

�� 1=

p3 exp(�x=2) sin

�p3x=2

�6) Qual�è il determinante jacobiano della trasformazione

�U = x2 � y2V = x2 + y2

?

determinante

�@U=@x @U=@y@V=@x @V=@y

�= determinante

�2x �2y2x 2y

�= 8xy

31



1) Calcolare il volume della sfera�x2 + y2 + z2 + w2 � R2

in quattro di-

mensioni.

Z Z Z Zfx2+y2+z2+w2=R2g

dxdydzdw

=

Z +R

�R

Z Z Zfx2+y2+z2�R2�w2g

dxdydz

!dw

=

Z +R

�R(4�=3)

�R2 � w2

�3=2dw

=��2=2

�R4

2) Determinare il vettore normale ed il piano tangente alla super�cie x2 +2y2 + 3z2 = 20 nel punto (3; 2; 1).Il vettore normale ha la direzione del gradiente (2x; 4y; 6z) della funzione

x2 + 2y2 + 3z2. La normale di lunghezza uno in (3; 2; 1) è

(6; 8; 6)p62 + 82 + 62

=(3; 4; 3)p34

Il piano tangente alla super�cie x2 + 2y2 + 3z2 = 20 nel punto (3; 2; 1) è

3 (x� 3) + 4 (y � 2) + 3 (z � 1) = 03x+ 4y + 3z = 20

3) Calcolare i massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione x2+y2�xynel cerchio

�x2 + y2 � 1

.

F [x; y] = x2 + y2 � xy@

@xF [x; y] = 2x� y

@

@yF [x; y] = 2y � x

@2

@x2F [x; y] = 2

@2

@y2F [x; y] = 2

@2

@x@yF [x; y] = �1

32

Si ha @F=@x = @F=@y = 0 solo in (0; 0) e la matrice hessiana è�2 �1�1 2

�,

questo punto è un minimo. Sulla circonferenza, F [cos (#) ; sin (#)] = 1�cos (#) sin (#) =1�1=2 sin(2#) è minima quando sin(2#) = 1, cioè # = �=4, # = 5�=4, ed è mas-sima quando sin(2#) = �1, cioè # = 3�=4, # = 7�=4. I punti di massimo sullacirconferenza sono massimi anche per la funzione nel cerchio. Osserviamo in�neche F [� cos (#) ; � sin (#)] = �2 (1� 1=2 sin(2#)) è una funzione crescente di �,quindi i punti di minimo sulla circonferenza non sono minimi per la funzionenel cerchio.

4) Risolvere l�equazione di¤erenziale�y00 + y = 2 sin(x);y(0) = 0; y0(0) = 1:

y (x) = 2 sin(x)� x cos(x)


+1n=1

della soluzione dell�equazione del calore8><>:@

@tu(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1,

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0,u(0; x) = x:


u(t; x) =

+1Xn=1

�2

Z 1

0

u(0; y) sin (n�y) dy

�exp

��2n2t

�sin (n�x)

=+1Xn=1

(�)n+12 exp��2n2t

�sin (n�x)

n�:

La serie converge per ogni t � 0 e 0 � x � 1. Se t = 0 la convergenza non ène uniforme ne assoluta. Se t � " > 0 la convergenza è uniforme ed assoluta.

6) Qual�è, se c�è, il potenziale della forza�y2; x2

�?

Poiché @y2=dy 6= @x2=dx, la forza non ha potenziale.

33



La spirale di Archimede � = #

1) Calcolare la lunghezza e l�area spazzata dal raggio vettore in un giro dispirale di Archimede, in coordinate polari � = #.Lunghezza:

Z 2�

0

q(d�)

2+ (�d#)

2

=

Z 2�

0

p1 + #2d# = �

p1 + 4�2 � 1=2 log

�p1 + 4�2 � 2�

�Area:

Z Zf0��#; 0�#�2�g

�d�d# =

Z 2�

0

Z #

0

�d�

!d# =

Z 2�

0

#2

2d# = 4�3=3

2) Calcolare il volume della regione di spazio�x2 + y2 + 2z2 � 8; z � 1

.

Z Z Zfx2+y2+2z2�8; z�1g

dxdydz

=

Z 2

1

Z Zfx2+y2�8�2z2g

dxdy

!dz

=

Z 2

1

��8� 2z2

�dz = 10�=3

3) Calcolare i massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione x3�3x2�y2 + 2y.

34

F [x; y] = x3 � 3x2 � y2 + 2y@

@xF [x; y] = 3x2 � 6x

@

@yF [x; y] = �2y + 2

@2

@x2F [x; y] = 6x� 6

@2

@y2F [x; y] = �2

@2

@x@yF [x; y] = 0

Si ha @F=@x = @F=@y = 0 nei punti (0; 1) e (2; 1). In (0; 1) la matrice hes-

siana è��6 00 �1

�, questo punto è un massimo. In (2; 1) la matrice hessiana

è�6 00 �1

�, questo punto è una sella. Se x ! �1, F [x; 0] ! �1, quindi

non ci sono massimi o minimi assoluti.


8<:dy

dx=y + 2x3

y � x ;

y(0) = 1

La forma di¤erenziale�y + 2x3

�dx+ (x� y) dy ha potenzialeZ x

0

2x3dx+

Z y

0

(x� y) dy = x4=2 + xy � y2=2

Le soluzioni dell�equazione di¤erenziale sono de�nite implicitamente dalleequazioni x4=2 + xy � y2=2 = C. Se y(0) = 1, allora C = �1=2. Quindi

y2 � 2xy � x4 � 1 = 0;

y = x+px4 + x2 + 1

5) Risolvere l�equazione di¤erenziale�d4y=dx4 � d2y=dx2 + 2 = 0;y(0) = y0(0) = y00(0) = y000(0) = 0:

La soluzione dell�equazione di¤erenziale y0000 � y00 + 2 = 0 è

y = x2 +A+Bx+ Cex +De�x

La soluzione del problema di Cauchy con y(0) = y0(0) = y00(0) = y000(0) = 0è

x2 + 2� ex � e�x

35

6) Scrivere la formula per l�area di una super�cie z = f(x; y).

Area =

Z Z q1 + (@f=@x)

2+ (@f=@y)

2dxdy

36



x4 + y4 + xy = 0

1 - Calcolare i massimi e minimi funzione x�y lungo la curva x4+y4+xy = 0.

In coordinate polari la curva ha equazione � =

s� sin (2#)

2�cos4 (#) + sin4 (#)

� .Questa curva è compatta e vive nel secondo e quarto quadrante. La funzionex � y nel secondo quadrante è negativa e nel quarto positiva. Quindi i minimiassoluti si trovano nel secondo quadrante ed i massimi nel quarto. Applichiamoil metodo dei moltiplicatori di Lagrange e cerchiamo i massimi e minimi liberidella funzione

F (x; y; �) = (x� y) + ��x4 + y4 + xy

�@

@xF (x; y; �) = 1 + 4�x3 + �y = 0

@

@yF (x; y; �) = �1 + 4�y3 + �x = 0

@

@�F (x; y; �) = x4 + y4 + xy = 0

Sommando la prima e seconda equazione si ottiene

��4x3 + 4y3 + x+ y

�= 4� (x+ y)

�x2 � xy + y2 + 1=4

�= 0

Il fattore x2� xy+ y2+1=4 non si annulla mai ed il fattore x+ y si annullaper x = �y. Se x = �y la terza equazione diventa 2x4 � x2 = 0, cioè x = 0 ox = �1=

p2. Il punto x = y = 0 non è minimo o massimo, perché in un intorno

di questo punto la funzione x � y cambia di segno. Nel punto��1=

p2; 1=

p2�

la funzione x� y vale �p2 e nel punto

�1=p2;�1=

p2�vale

p2. Il primo punto

è un minimo ed il secondo un massimo.

2 - Calcolare i massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione F (x; y; z) =(x+ y)

3 � 4xy + z2.

37

Osserviamo che F (�t; t; 0) ! �1 se t ! �1, quindi non ci sono massimio minimi assoluti.

@F=@x = 3x2 + 6xy + 3y2 � 4y@F=@y = 3x2 + 6xy + 3y2 � 4x

@F=@z = 2z

@2F=@x2 = @2F=@y2 = 6x+ 6y

@2F=@x@y = 6x+ 6y � 4@2F=@x@z = @2F=@y@z = 0

@2F=@z2 = 2

Si ha @F=@x = @F=@y = @F=@z = 0 se e solo se y = x e 12x2 � 4x = 0 ez = 0. Quindi in (0; 0; 0) e (1=3; 1=3; 0).

La matrice hessiana in (0; 0; 0) è

24 0 �4 0�4 0 00 0 2

35 ed ha autovalori �4, 4, 2.Questo punto è una sella. La matrice hessiana in (1=3; 1=3; 0) è

24 4 0 00 4 00 0 2

35ed ha autovalori 4, 4, 2. Questo punto è un minimo.

3 - Che forma ha, al variare di 0 < u < +1 e �1 < v < +1, la super�cie8<: x = u cos (v)y = u sin (v)z = v

? Quali sono il vettore normale ed il piano tangente a questa

super�cie nel punto (1; 0; 0).

8<: x = u cos (v)y = u sin (v)z = v

La super�cie è un�elica. Il punto (1; 0; 0) è immagine del punto (1; 0). Duevettori tangenti in questo punto sono (1; 0; 0) e (0; 1; 1). L�equazione del pianotangente è

(x; y; z) = (1; 0; 0) + s (1; 0; 0) + t (0; 1; 1)

cioè y = z. La normale alla super�cie nel punto (1; 0; 0) è�0;�1=

p2; 1=

p2�.

38

4 - Calcolare il baricentro di =�x � 0; y � 0; x2 + y2 � 1

. Calcolare

poi il volume del solido generato dalla rotazione di intorno alla retta y = �x.Per simmetria l�ascissa e l�ordinata del baricentro del quarto di cerchio sono

uguali. Calcoliamo quest�ultima.

Z Z

ydxdyZ Z

dxdy

=4

�

Z 1

0

Z p1�x2

0

ydy

!dx =

2

�

Z 1

0

�1� x2

�dx =

4

3�

Per il teorema di Pappo-Guldino, il volume del solido di rotazione è ugualeall�area della �gura, �=4, per la distanza percorsa dal baricentro, 8

p2=3. Quindi

il volume è 2p2�=3.

5 - Disegnare la curva piana che in coordinate polari ha equazione � =sin(2#). Calcolare esplicitamente l�area racchiusa nella parte di curva con 0 �# � �=2. Scrivere esplicitamente l�integrale che rappresenta la lunghezza dellaparte di curva con 0 � # � �=2.

� = sin(2#)

Area:

Z �=2

0

Z sin(2#)

0

�d�d# =

Z �=2

0

sin2 (2#)

2d# =

1

4

Z �

0

sin2 (') d' = �=8

Lunghezza:

Z q(d�)

2+ (�d#)

2=

Z �=2

0

q4 cos2 (2#) + sin2 (2#)d#

=

Z �

0

r1� 3

4sin2 (')d' � 2; 422:::

6 - Calcolare il lavoro della forza (�y; x) lungo l�ellisse (x=a)2 + (y=b)2 = 1percorsa in senso antiorario.

39

Parametrizzando l�ellisse�x = a cos(#)y = b sin(#)

:

Zf(x=a)2+(y=b)2=1g

� ydx+ xdy =Z 2�

0

�ab sin2(#) + ab cos2(#)

�d# = 2�ab

Applicando Gauss-Green:

Zf(x=a)2+(y=b)2=1g

� ydx+ xdy = 2Z Z

f(x=a)2+(y=b)2�1gdxdy = 2�ab

40



1 -X+1

n=0exp

��nx2

�a) Per quali x la serie converge?b) La serie converge uniformemente in 0 < x < 1?c) La serie converge uniformemente in 1 < x < +1?d) Sei capace di sommare esplicitamente questa serie?

+1Xn=0

exp��nx2

�=

+1Xn=0

�exp

��x2

��n=

1

1� exp (�x2) :

La serie converge per ogni x 6= 0.La serie non converge uniformemente in 0 < x < 1, perché diverge in 0.La serie converge uniformemente in 1 < x < +1, perché exp

��nx2

�<

exp (�n) in 1 < x < +1 e la serie numericaX+1

n=0exp (�n) converge.

2 - Risolvere il problema di Cauchy

8<:dy

dx=1� y21 + 2xy

;

y(0) = 0:

La forma di¤erenziale�y2 � 1

�dx+ (2xy + 1) dy è esatta ed ha potenziale

�Z x

0

dx+

Z y

0

(2xy + 1) dy = xy2 + y � x:

La soluzione del problema di Cauchy è

xy2 + y � x = 0;

x =y

1� y2 ;

y =�1 +

p1 + 4x2

2x:

3 - Trovare tutte le soluzioni dell�equazione di¤erenziale y000+2y00+3y0 = 1.

y (x) =x

3+A+Be�x sin

�p2x�+ Ce�x cos

�p2x�:


+1n=1


@t2u(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se 0 < x < 1 e �1 < t < +1,

u(0; x) = x2 e@

@tu(0; x) = 0 se 0 < x < 1,

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se �1 < t < +1.

41


Lo sviluppo in serie di Fourier del dato iniziale è

u(0; x) =+1Xn=1

�Z 1

0


�p2 sin (n�x)

=+1Xn=1

�2

Z 1

0

y2 sin (n�y) dy

�sin (n�x)

=

+1Xn=1

�4 (�1)n � 4�3n3

� 2 (�1)n

�n

�sin (n�x) :

Se u(t; x) =X+1


8><>:@2

@t2C(n; t) = ��2n2C(n; t),

C(n; 0) =4 (�1)n � 4�3n3

� 2 (�1)n

�n;@

@tC(n; 0) = 0;

C(n; t) =

�4 (�1)n � 4�3n3

� 2 (�1)n

�n

�cos (�nt) ;

u(t; x) =+1Xn=1

�4 (�1)n � 4�3n3

� 2 (�1)n

�n

�cos (�nt) sin (�nx) :

La funzione u(t; x) è regolare a tratti, quindi la serie converge per ogni�1 < t < +1 e 0 � x � 1. La convergenza non è assoluta o uniforme.

5 - Disegnare il campo di direzioni associato all�equazione di¤erenzialedy

dx=

xy

x+ ye tracciare un gra�co qualitativo della soluzione per (�1;�1).

42



1 - Calcolare i massimi e minimi assoluti della funzione x2 + y2 + z sullasuper�cie

�x2 + 2y2 + 3z2 = 1

.

L(x; y; z; �) =�x2 + y2 + z

�+ �

�x2 + 2y2 + 3z2 � 1

�@

@xL(x; y; z; �) = (2 + 2�)x

@

@yL(x; y; z; �) = (2 + 4�)y

@

@zL(x; y; z; �) = 1 + 6�z

@

@�L(x; y; z; �) = x2 + 2y2 + 3z2 � 1

Ponendo rL(x; y; z; �) = 0, si ricava

(�+ 1)x = 0

(�+ 1=2)y = 0

�z = �1=6x2 + 2y2 + 3z2 = 1

Se x 6= 0, allora � = �1 e y = 0 e z = 1=6 e x = �p11=12.

Se y 6= 0, allora � = �1=2 e x = 0 e z = 1=3 e y = �p1=3.

Se x = y = 0, allora z = �p1=3.

Punti critici Valore funzione�0;�

p2=3; 1=3

�(0)

2+��p2=3�2+ (1=3) = 1�

�p11=12; 0; 1=6

� ��p11=12

�2+ (0)

2+ (1=6) = 13=12�

0; 0;�1=p3�

(0)2+ (0)

2+��1=

p3�= �1=

p3

Il minimo assoluto è in�0; 0;�1=

p3�ed i massimi assoluti sono in

��p11=12; 0; 1=6

�.

2 - Calcolare i massimi e minimi assoluti della funzionex+ y

1 + x2 + y2.

La funzione è dispari, positiva nel semipiano x+ y > 0 e negativa nel semi-piano x+ y < 0, nulla all�in�nito.

44

@

@x

x+ y

1 + x2 + y2=1� x2 + y2 � 2xy(1 + x2 + y2)

2

@

@y

x+ y

1 + x2 + y2=1 + x2 � y2 � 2xy(1 + x2 + y2)

2

Se @=@x = @=@y = 0, allora x2 = y2 e xy = 1=2, cioè x = y = �1=p2. Il

punto�1=p2; 1=

p2�è un massimo assoluto ed il simmetrico

��1=

p2;�1=

p2�

è un minimo assoluto.

3 - Calcolare il volume della regione�z2 � y2 � x2 � 1; 1 � z � 2

.

Z Z Zfz2�y2�x2�1; 1�z�2g

dxdydz =

Z 2

1

Z 2�

0

Z pz2�1

0

�d�d#dz

= �

Z 2

1

Z pz2�1

0

2�d�

!dz = �

Z 2

1

�z2 � 1

�dz =

4

3�

4 - Calcolare l�area della super�cie�z = x2 � y2; x2 + y2 � 1

.

Z Zfx2+y2�1g

q1 + (2x)

2+ (�2y)2dxdy =

Z 2�

0

Z 1

0

p1 + 4�2�d�d#

= 2�

Z 1

0

p1 + 4�2�d� =

�

6

�5p5� 1

�

5 - Trovare tutte le soluzioni del sistema di equazioni di¤erenziali

8><>:dx

dt= y;

dy

dt= x:

Derivando si ottiened2x

dt2=dy

dt= x, quindi

d2x

dt2� x = 0, quindi�

x = A exp(t) +B exp(�t)y = A exp(t)�B exp(�t)

Si ha anche

dy

dx=x

yZydy =

Zxdx

y2 = x2 + c

y = �px2 + c

45

6 -

8<:dy

dx=y

x+x

yy(1) = 1

L�equazione è omogenea. Ponendo y=x = z, si ha

z + xdz

dx= z +

1

zZzdz =

Zdx

x

z2=2 = log (jxj) + cy = �x

p2 log (jxj) + c

Se y(1) = 1 si ha y (x) = xp1 + 2 log(x).

L�equazione è di Bernoulli. Ponendo y2 = z si ha

2ydy

dx=2

xy2 + 2x

dz

dx=2

xz + 2x

z = x2 (log(x) + c)

y = �xp2 log (jxj) + c

46



1 - Calcolare i massimi e minimi della funzione 2x2+8xy+10y2 nel dominionpx2 + y2 � 1

o.

Cerchiamo gli estremi liberi.

@

@x

�2x2 + 8xy + 10y2

�= 4x+ 8y;

@

@y

�2x2 + 8xy + 10y2

�= 8x+ 20y;

@2

@x2�2x2 + 8xy + 10y2

�= 4;

@2

@y2�2x2 + 8xy + 10y2

�= 20;

@2

@x@y

�2x2 + 8xy + 10y2

�= 8:

L�unico punto critico è (0; 0), che è un minimo.Cerchiamo gli estremi vincolati.

F (x; y; �) = 2x2 + 8xy + 10y2 + ��x2 + y2 � 1

�;

@

@xF (x; y; �) = (4 + 2�)x+ 8y;

@

@yF (x; y; �) = 8x+ (20 + 2�)y;

@

@�F (x; y; �) = x2 + y2 � 1:

Se (x; y) 6= (0; 0) e @@xF (x; y; �) =

@

@yF (x; y; �) = 0, deve essere (4+2�)(20+

2�) = 82, cioè � = �6 � 4p2. Se � = �6 � 4

p2 allora x = y

�p2� 1

�. Se

� = �6 + 4p2 allora x = y

��p2� 1

�. Sulla retta x = y

�p2� 1

�la funzione

vale�8 + 4

p2�y2. Sulla retta x = y

��p2� 1

�la funzione vale

�8� 4

p2�y2.

I massimi sono sulla prima retta, nei punti � s

3� 2p2

4� 2p2;

r1

4� 2p2

!.

Metodo Alternativo:

p2x2 + 8xy + 10y2 =

q(x+ y)

2+ (x+ 3y)

2=

�� 1 11 3

� �xy

�� :47

La matrice simmetrica�1 11 3

�ha l�autovalore 2 �

p2 con autovettore�

�1�p2

1

�e l�autovalore 2 +

p2 con autovettore

� p2� 11

�. La funzione

ha un minimo assoluto in (0; 0) ed il massimo innp

x2 + y2 < 1oè nel punto s

3� 2p2

4� 2p2;

r1

4� 2p2

!.

2 -Z Z

f0<x�y<1;0<2x+y<2g

dxdy

1 + (x� y)2=

�x� y = s;2x+ y = t;

8<: x =t+ s

3;

y =t� 2s3

;dxdy =

dxdy

3;

Z Zf0<x�y<1;0<2x+y<2g

f(x; y)dxdy =1

3

�Z 1

0

ds

1 + s2

��Z 2

0

dt

�= �=6:

3 - Calcolare l�area della super�cie�z = x2 + y2; x2 + y2 � 1

.

Z Zfx2+y2�1g

q1 + (2x)

2+ (2y)

2dxdy

=

Z 2�

0

Z 1

0

p1 + 4�2�d�d# =

�

6

�5p5� 1

�:

4 -

(dy

dx= �1 +px+ y;

y(0) = 1:

Posto x+ y = z, si ha

(dz

dx=pz;

z(0) = 1:Da dz=

pz = dx si ricava

pz = x=2+ c

e z = (x=2 + c)2. Da z(0) = 1 si ricava c2 = 1, ma c = �1 è incompatibile conx=2 + c =

pz � 0. Quindi z = (x=2 + 1)2 e

y (x) = x2=4 + 1:

5 -

( ��y + 2

�y + y = x

y(0) = 0;�y(0) = 0:

y (x) = �2 + x+ 2e�x + xe�x:

48



1) Calcolare i massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione�x2 + y2

�2+

x2 � y2.La funzione è pari sia rispetto ad x che rispetto ad y.Inoltre, limp

x2+y2!+1

�x2 + y2

�2+ x2 � y2 = +1, quindi la funzione ha

minimi assoluti ma non massimi assoluti.

@

@x

��x2 + y2

�2+ x2 � y2

�= 4x3 + 4xy2 + 2x = 4x

�x2 + y2 + 1=2

�;

@

@y

��x2 + y2

�2+ x2 � y2

�= 4yx2 + 4y3 � 2y = 4y

�x2 + y2 � 1=2

�;

@2

@x2

��x2 + y2

�2+ x2 � y2

�= 12x2 + 4y2 + 2;

@2

@y2

��x2 + y2

�2+ x2 � y2

�= 4x2 + 12y2 � 2;

@2

@x@y

��x2 + y2

�2+ x2 � y2

�= 8yx:

Punti critici: (0; 0),�0;�1=

p2�.

In (0; 0) la matrice delle derivate seconde�2 00 �2

�ha autovalori �2. Il

punto (0; 0) è una sella.

In�0; 1=�

p2�la matrice delle derivate seconde

�4 00 4

�ha autovalori 4 e

4. I punti�0; 1=�

p2�sono minimi.

2) (Archimede) Calcolare il volume dell�intersezione tra i due cilindri�x2 + y2 < 1

e�y2 + z2 < 1

.

Z Z Zfx2+y2<1; y2+z2<1g

dxdydz

=

Z +1

�1

Znjxj<

p1�y2

odxZnjzj<

p1�y2

odz!dy

=

Z +1

�14�1� y2

�dy = 16=3

3) (Neil) Calcolare la lunghezza del tratto di curva y2 = x3 con 0 � x � 1.

49

y2 = x3

La curva y = x3=2 ha lunghezza

Z 1

0

q1 + (dy=dx)

2dx =

Z 1

0

p1 + (9=4)xdx =

(4 + 9x)3=2

27

��1

0

=�13p13� 8

�=27:

Alternativamente: La curva y2 = x3 ha parametrizzazione�x = t2;y = t3:

Z 1

0

q(@x=@t)

2+ (@y=@t)

2dt =

Z 1

0

q(2t)

2+ (3t2)

2dt

=

Z 1

0

tp4 + 9t2dt =

3

2

Z 1

0

ps+ 4=9ds

= (s+ 4=9)3=2��10=�13p13� 8

�=27:

4) (Eulero) Trovare lo sviluppo in serie di Fourier rispetto al sistema orto-normale

�p2 sin (n�x)

+1n=1

della funzione f(x) = x in 0 < x < 1. Poi calcolare

1 + 1=4 + 1=9 + 1=16 + 1=25 + :::

x =+1Xn=1

�Z 1

0

yp2 sin (n�y) dy

�p2 sin (n�x) =

+1Xn=1

2(�)n+1�n

sin (�nx) ;

Z 1

0

x2dx =+1Xn=1

��p2(�)n+1�n

��2

;

1 + 1=4 + 1=9 + 1=16 + 1=25 + ::: = �2=6

50

X10

n=1

2(�1)n+1 sin (�nx)�n

5)�y000 � y0 = 2 sin(x);y(0) = y0(0) = y00(0) = 0:

Soluzione omogenea di y000 � y0 = 0: y (x) = A+Bex + Ce�x.Soluzione particolare di y000 � y0 = 2 sin(x): y (x) = cos(x).Soluzione generale di y000 � y0 = 2 sin(x): y (x) = cosx+A+Bex + Ce�x.Soluzione problema di Cauchy

�y000 � y0 = 2 sin(x);y(0) = y0(0) = y00(0) = 0:

y(x) = cos(x)� 2 + 12ex +

1

2e�x:

51



�x = cos3(t)y = sin3(t)

1 - Trovare l�area racchiusa nell�astroide�x = cos3(t);y = sin3(t):

Per la formula di Gauss-Green,Z Z

Adxdy = 1=2

Z@Axdy � ydx. Quindi

3=2

Z 2�

0

�cos4(t) sin2(t) + sin4(t) cos2(t)

�dt

= 3=2

Z 2�

0

cos2(t) sin2(t)dt = 3=8

Z 2�

0

sin2(2t)dt = 3�=8:

2 - Calcolare il volume di una sfera di raggio R in quattro dimensioni.Dal volume della sfera in tre dimensioni e dal teorema di Fubini si ricava

Z Z Z Zfx2+y2+z2+w2�R2g

dxdydzdw

=

Zfw2�R2g

Z Z Zfx2+y2+z2�R2�w2g

dxdydz

!dw

=

Z +R

�R

4�

3

�R2 � w2

�3=2dw =

�2

2R4:

3 - Dimostrare che l�equazione x2 + y2 = sin (x+ y) de�nisce una curvachiusa semplice. Determinare poi la retta tangente alla curva nell�origine.

52

x2 + y2 = sin (x+ y)

Con la rotazione�u = (x� y) =

p2

v = (x+ y) =p2l�equazione si trasforma in u2 + v2 =

sin (v),

u = �rsin�p2v�� v2:

Altra dimostrazione: L�equazione F (x; y) = 0 de�nisce implicitamente unacurva in tutti i punti con @F=@x 6= 0 o con @F=@y 6= 0. Gli eventuali punticritici sono soluzioni del sistema F = @F=@x = @F=@y = 0. Nel nostro caso,8<: x2 + y2 � sin (x+ y) = 0;

2x� cos (x+ y) = 0;2y � cos (x+ y) = 0:

Dalla seconda e terza equazione si ricava x = y, la prima equazione diventa2x2 = sin (2x), con soluzione x = 0; 702:::, la seconda equazione diventa 2x =cos (2x), con soluzione x = 0; 369:::. In de�nitiva, non ci sono punti critici.In�ne, da x2 + y2 = sin (x+ y) si ricava che la curva è contenuta nel discox2 + y2 � 1. Per mostrare che la curva è chiusa e semplice, basta osservare chela funzione x2+y2� sin (x+ y) non ha massimi ed ha un solo minimo nel puntox = y = 0; 369:::. Se la curva avesse più componenti connesse, ci dovrebberoessere più massimi o minimi.

Se F (x; y) = 0, allorady

dx= �@F=@x

@F=@y. Nel nostro caso,

dy

dx= �2x� cos (x+ y)

2y � cos (x+ y)e nell�origine dy=dx = �1. Quindi l�equazione della retta tangente in (0; 0) èy = �x. Si può giungere alla stessa conclusione osservando che la curva è sim-metrica rispetto alle variabili x e y e che nell�origine passa dal secondo al quartoquadrante.

4 - Determinare i minimi e massimi relativi ed assoluti della funzione�x2 + y2

�2 � x2.All�in�nito la funzione è circa

�x2 + y2

�2, quindi non ci sono massimi assoluti

ma ci devono essere minimi assoluti. Inoltre la funzione è simmetrica nellevariabili x e y.

53

@

@x

��x2 + y2

�2 � x2� = 4x3 + 4y2x� 2x;@

@y

��x2 + y2

�2 � x2� = 4x2y + 4y3;@2

@x2

��x2 + y2

�2 � x2� = 12x2 + 4y2 � 2;@2

@x@y

��x2 + y2

�2 � x2� = 8xy;@2

@y2

��x2 + y2

�2 � x2� = 4x2 + 12y2:Moltiplicando la prima equazione per y e la seconda per x ed uguagliando a

zero si ottengono le equazioni

4x3y + 4xy3 � 2xy = 0;4x3y + 4xy3 = 0:

E sottraendo si ottiene xy = 0. Se x = 0, da @=@y = 0 si ricava y = 0.In ogni intorno del punto (0; 0) la funzione

�x2 + y2

�2 � x2 prende sia valoripositivi che negativi, quindi il punto è una sella. Se y = 0, da @=@x = 0 siricava x = �1=

p2. I punti

��1=

p2; 0�devono essere i minimi assoluti.

5 -

8<:dy

dx=

y

x+ y;

y(1) = 1:

L�equazione è omogenea e si può utilizzare la sostituzione y=x = z e dy=dx =z + xdz=dx, cioè

xdz

dx=�z21 + z

;

�Z1 + z

z2dz =

Zdx

x;

z�1 � log (jzj) = log(jxj) + C;x=y � log (jyj) = C:

Se y(1) = 1 si ha C = 1, cioè x = y + y log (y).

6 -

8<: d2y

dx2+ 2

dy

dx+ y = sin (x) ;

y(0) = dy=dx(0) = 0:

54

Le soluzioni dell�equazione omogenea y00+2y0+y = 0 sono (A+Bx) exp(�x)ed una soluzione particolare dell�equazione y00 + 2y0 + y = sin(x) è �1=2 cos(x).Quindi y = (A+Bx) exp(�x) � 1=2 cos(x) ed imponendo le condizioni y(0) =y0(0) = 0 si ottiene

y =1

2(1 + x) exp(�x)� 1

2cosx:

55



Astroide�x = cos3(t)y = sin3(t)

1 - Trovare la lunghezza dell�astroide.

Z@A

pdx2 + dy2

=

Z 2�

0

q(�3 cos2(t) sin(t))2 +

�3 sin2(t) cos(t)

�2dt

=

Z 2�

0

3 jcos(t) sin(t)j dt = 12Z �=2

0

cos(t) sin(t)dt = 6:

2 - Trovare l�area racchiusa nell�astroide.Per la formula di Gauss-Green,

Z ZAdxdy = 1=2

Z@Axdy � ydx

= 3=2

Z 2�

0

�cos4(t) sin2(t) + sin4(t) cos2(t)

�dt

= 3=2

Z 2�

0

cos2(t) sin2(t)dt = 3=8

Z 2�

0

sin2(2t)dt = 3�=8:

3 - Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione dell�astroideintorno all�asse delle ascisse.

56

Z +1

�1�y2dx

= 3�

Z �

0

cos2(t) sin7(t)dt

= 3�

Z �

0

cos2(t)�1� cos2(t)

�3sin(t)dt

= 6�

Z 1

0

s2�1� s2

�3ds =

32

105�:

4 - Determinare i minimi e massimi relativi ed assoluti della funzionex6 + y3 � 3x2y.Per x = 0 e y ! �1 la funzione diverge a �1. Quindi non ci sono massimi

o minimi assoluti. La funzione è pari rispetto alla variabile x. Quindi eventualimassimi o minimi relativi compaiono in coppia.

@

@x

�x6 + y3 � 3x2y

�= 6x5 � 6xy = 6x

�x4 � y

�;

@

@y

�x6 + y3 � 3x2y

�= 3y2 � 3x2 = 3 (y � x) (y + x) ;

@2

@x2�x6 + y3 � 3x2y

�= 30x4 � 6y;

@2

@x@y

�x6 + y3 � 3x2y

�= �6x;

@2

@y2�x6 + y3 � 3x2y

�= 6y:

Uguagliando a zero @=@x e @=@x si ottengono i punti: (0; 0) e (�1; 1).Nell�origine la funzione cambia di segno, quindi c�è una sella. Nei punti (�1; 1)

la matrice delle derivate seconde è de�nita positiva,�24 �6�6 6

�. Quindi i

punti (�1; 1) sono minimi relativi.

5 - Determinare i massimi e minimi della funzione xyz sulla super�ciex2 + y2 + z2 = 1.Posto F (x; y; z; �) = xyz + �

�x2 + y2 + z2 � 1

�, si ha

57

@

@xF (x; y; z; �) = yz + 2�x;

@

@yF (x; y; z; �) = xz + 2�y;

@

@zF (x; y; z; �) = xy + 2�z;

@

@�F (x; y; z; �) = x2 + y2 + z2 � 1:

Se @=@x = @=@y = @=@z = 0, allora yzx = 2�x2 = 2�y2 = 2�z2. Se � = 0si ottiene xyz = 0. In questi punti la funzione cambia segno, quindi non sonomassimi o minimi. Se � 6= 0 si ottiene x2 = y2 = z2. Quindi (x; y; z)x =��1=

p3;�1=

p3;�1=

p3�. I punti con un numero si meno dispari sono minimi

e quelli con un numero dimeno pari sono massimi.

6 - Calcolare il vettore normale ed il piano tangente alla super�ciex2 + y2 + z2 + xyz = 15 nel punto (1; 2; 3).Il gradiente rF (x; y; z) è normale super�cie F (x; y; z) = 0. Nel nostro caso,

(8; 7; 8) =p177.

L�equazione del piano tangente alla super�cie F (x; y; z) = 0 nel punto(a; b; c) è

@

@xF (a; b; c)(x� a) + @

@yF (a; b; c)(y � b) + @

@zF (a; b; c)(z � c) = 0:

Nel vostro caso,

8(x� 1) + 7(y � 2) + 8(z � 3) = 0;10x+ 7y + 8z = 46:

58



1 - Tracciare il campo di direzioni associato all�equazione di¤erenzialedy

dx=

x (1� y)y

ed un gra�co qualitativo della soluzione per il punto (0; 2).

2 -

8<:dy

dx=x (1� y)

y;

y(0) = 2:Risolvere e determinare dominio, immagine, simmetrie della soluzione.

Z y

2

y

1� y dy =Z x

0

xdx;

2� y � ln (y � 1) = x2=2;x = �

p4� 2y � 2 ln (y � 1):

La soluzione è pari. Il dominio è �1 < x < +1 e l�immagine è 1 < y � 2.

3 -

8<: y00 + 2y0 + y = 2 sin(x);y(0) = 0;y0(0) = 1:

La soluzione generale dell�equazione è y = � cosx+A exp(�x)+Bx exp(�x)e imponendo le condizioni iniziali si ottiene

y = � cosx+ exp(�x) + 2x exp(�x)

4 - Trovare lo sviluppo in serie di Fourier rispetto al sistema ortonormale�p2 sin (�nx)

+1n=1

della soluzione dell�equazione del calore

59

8>>><>>>:@

@tu(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1,

u(0; x) =

�1 se 0 < x < 1=2,0 se 1=2 < x < 1,

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0.

a) La serie converge puntualmente in t = 0 e 0 � x � 1?b) La serie converge uniformemente in t = 0 e 0 � x � 1?c) La serie converge assolutamente in t = 1 e 0 � x � 1?d) La serie converge uniformemente in t = 1 e 0 � x � 1?

u(t; x) =+1Xn=1

�2

Z 1

0

u(0; y) sin (�ny) dy

�exp

��2n2t

�sin (�nx)

=

+1Xn=1

�2� 2 cos(�n=2)

�n

�exp

��2n2t

�sin (�nx)

La serie converge puntualmente ma non uniformemente in t = 0 e 0 � x � 1.La serie converge assolutamente ed uniformemente in t > " > 0 e 0 � x � 1.

5 - Determinare e risolvere l�equazione di¤erenziale che descrive il pro�lonel piano (x; y) della super�cie di un liquido in un recipiente cilindrico cheruota intorno al suo asse x = 0 con velocità angolare !, nelle ipotesi che ogniparticella di liquido sulla super�cie è soggetta alla forza di gravità mg ed allaforza centrifuga m!2x, con x il raggio di rotazione e che la risultante di questeforze deve essere normale alla super�cie.

y = x2=2!2 + C

In un punto di ascissa x la normale ha tangente �mg=m!2x, quindi latangente ha tangente x=!2. L�equazione di¤erenziale del pro�lo è dy=dx = x=!2,con soluzioni y = x2=2!2 + C. La super�cie è un paraboloide di rotazione.

60



�x2 + y2 � x

�2= x2 + y2

1 - L�equazione della cardioide in coordinate cartesiane è�x2 + y2 � x

�2= x2 + y2:

Trasformare l�equazione in coordinate polari e calcolare la lunghezza dellacurva.Se (x; y) = (� cos (#) ; � sin (#)), allora (�� cos (#))2 = 1, cioè � = �1 +

cos (#). Queste due equazioni, con � positivi o negativi, descrivono la stessacurva. Quindi la cardioide in coordinate polari è � = �1 + cos (#).

Z pdx2 + dy2 =

Z qd�2 + �2d#2

=

Z +�

��

q(� sin (#))2 + (1 + cos (#))2d# =

Z +�

��

p2� 2 cos (#)d#

=

Z +�

��

q4 sin2 (#=2)d# = 8

Z +�=2

0

sin (') d' = 8

2 - Calcolare l�area racchiusa dalla cardioide�x2 + y2 � x

�2= x2 + y2:

In coordinate polari � = 1 + cos (#). Quindi

Zdxdy =

Z�d�d#

=

Z +�

��

Z 1+cos(#)

0

�d�

!d# =

1

2

Z +�

��

�1 + 2 cos (#) + cos2 (#)

�d# =

3

2�

3 - Calcolare i massimi e minimi assoluti e relativi della funzione

x2 + y2 + xy � log (xy) :

61

La funzione è de�nita nel primo e terzo quadrante ed è simmetrica rispettoall�origine, quindi gli eventuali estremi vanno in coppia. Vicino agli assi edall�in�nito tende a +1, quindi non ci sono massimi assoluti, ma ci deve essereuna coppia di minimi assoluti.8><>:

@

@x

�x2 + y2 + xy � log (xy)

�=2x2 + xy � 1

x;

@

@y

�x2 + y2 + xy � log (xy)

�=2y2 + xy � 1

y:

Se @=@x = @=@y = 0, allora x = y = �1=p3. Questo è il minimo cercato.

Ma, per sicurezza, calcoliamole derivate seconde.8>>>>><>>>>>:

@2

@x2�x2 + y2 + xy � log (xy)

�=2x2 + 1

x2;

@2

@y2�x2 + y2 + xy � log (xy)

�=2y2 + 1

y2;

@2

@x@y

�x2 + y2 + xy � log (xy)

�= 1:

Nei punti ��1=p3; 1=

p3�la matrice delle derivate seconde

�5 11 5

�è

de�nita positiva.

4 -

8<:dy

dx=�2y � 1=x2x+ 2y

y(1) = 0

L�equazione è esatta e la soluzione è data implicitamente da F (x; y) = 0,con

F (x; y) =

Z x

1

dt=t+

Z y

0

(2x+ 2t) dt = log (x) + 2xy + y2:

Quindi,

y = �x+px2 � log(x):

5 - Trovare lo sviluppo in serie di Fourier rispetto al sistema ortonormale�p2 sin (n�x)

+1n=1


@t2u(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1,

u(0; x) = 0;@

@tu(0; x) =

�0 se 0 < x < 1=2,1 se 1=2 < x < 1,

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0.

a) La serie converge puntualmente?b) La serie converge uniformemente?

62

u(t; x) =+1Xn=1

�2

Z 1

0

u(0; y) sin (�ny) dy

�sin (�nt)

�nsin (�nx)

=+1Xn=1

�2 cos(n�=2)� 2 cos(n�)

�2n2

�sin (�nt) sin (n�x)


6 - In un �ume di equazione f0 < x < 1g c�è una corrente di velocità Acon direzione l�asse delle y. Partendo al tempo t = 0 dal punto (1; 0) si remacon velocità B puntando la prua sempre verso il punto (0; 0). Determinarel�equazione di¤erenziale che descrivere la traiettoria.La velocità nel punto (x; y) è somma di due velocità:

(0; A)�B

xpx2 + y2

;yp

x2 + y2

!Quindi, 8>><>>:

dx

dt=

�Bxpx2 + y2

;

dy

dt=Apx2 + y2 �Bypx2 + y2

:

Si ottiene quindi l�equazione omogenea(dy

dx= y=x�A=B

p1 + (y=x)2

y(1) = 0

Posto y=x = z, si ha

xdz

dx+ z = z �A=B

p1 + z2

xdz

dx= �A=B

p1 + z2Z

dzp1 + z2

= �A=BZdx

x

arcsinh(z) = �A=B log (x) + Cy = x sinh (C �A=B log (x))

Se y(1) = 0, allora C = 0, quindi la traiettoria è

y = x sinh�A=B log (x) = x1�A=B � x1+A=B2

63

B = A B = 2A

64



1 - Calcolare il polinomio di Taylor di secondo grado centrato in (�=6; 0)della funzione cos (x+ 2y).

@

@xcos (x+ 2y) = � sin (x+ 2y) ;

@

@ycos (x+ 2y) = �2 sin (x+ 2y) ;

@2

@x2cos (x+ 2y) = � cos (x+ 2y) ;

@2

@y2cos (x+ 2y) = �4 cos (x+ 2y) ;

@2

@x@ycos (x+ 2y) = �2 cos (x+ 2y) :

cos (x+ 2y) =

p3

2� 12(x� �=6)� y �

p3

4(x� �=6)2 �

p3(x� �=6)y �

p3y2 + :::

2 - Calcolare i massimi e minimi assoluti e relativi della funzione�x+ y2

�3�x2.La funzione è pari nella variabile y, quindi gli eventuali massimi e minimi

vanno in coppia. Ristretta all�asse delle ascisse la funzione è F (x; 0) = x3 � x2e per x! �1 diverge a �1, quindi non ci sono massimi e minimi assoluti.

@

@x

��x+ y2

�3 � x2� = �2x+ 3x2 + 6xy2 + 3y4;@

@y

��x+ y2

�3 � x2� = 6y �x+ y2�2 ;@2

@x2

��x+ y2

�3 � x2� = �2 + 6x+ 6y2;@2

@y2

��x+ y2

�3 � x2� = 6x2 + 36xy2 + 30y4;@2

@x@y

��x+ y2

�3 � x2� = 12xy + 12y3:Gli zeri del gradiente sono nei punti (0; 0) e (2=3; 0). Nel punto (0; 0) la

matrice hessiana��2 00 0

�è semide�nita negativa. La funzione F (x; 0) =

x3 � x2 ha un massimo in x = 0, mentre F (0; y) = y6 ha un minimo in y = 0,

65

quindi l�origine è una sella. Nel punto (2=3; 0) la matrice hessiana�2 00 8=3

�è de�nita positiva, questo punto è un minimo.

3 -Z Z

f(x=2)2+(y=3)2<1gx2dxdy =

Con il cambio di coordinate�x = 2� cos (#)y = 3� sin (#)

si ha dxdy = 6�d�d# eZ Zf(x=2)2+(y=3)2<1g

x2dxdy = 24

Z 1

0

Z 2�

0

�3 cos2 (#) d�d# = 6�:

4 -

8<:dy

dx=

y

x+ yy(1) = 1

L�equazione è omogenea e ponendo y=x = z si trasforma in

xdz

dx+ z =

z

1 + z

xdz

dx=�z21 + zZ �

1

z+1

z2

�dz = �

Zdx

x

log (jzj)� 1=z = � log (jxj) + Clog (jyj)� x=y = C

Ponendo y(1) = 1 si ottiene C = �1,

x = y + y log (y)


+1n=1


@t2u(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se 0 < x < 1 e �1 < t < +1,

u(0; x) = 0 e@

@tu(0; x) = x(1� x) se 0 < x < 1,

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se �1 < t < +1.Discutere poi la convergenza della serie.Lo sviluppo in serie di Fourier della velocità iniziale è

x(1� x) =+1Xn=1

�2

Z 1

0

y(1� y) sin (n�y) dy�sin (n�x)

=+1Xn=1

4� 4 cos(n�)n3�3

sin (n�x) =8

�3

+1Xk=0

sin ((2k + 1)�x)

(2k + 1)3 :

66

Se u(t; x) =X+1


8><>:@2

@t2C(n; t) = ��2n2C(n; t),

C(n; 0) = 0;@

@tC(n; 0) =

4� 4 cos(n�)n3�3

;

C(n; t) =4� 4 cos(n�)

n4�4sin (n�t) ;

u(t; x) =+1Xn=1

4� 4 cos(n�)n4�4

sin (n�t) sin (n�x)

=8

�4

+1Xk=0

sin ((2k + 1)�t) sin ((2k + 1)�x)

(2k + 1)4 :

La converge assolutamente ed uniformemente in �1 < t < +1 e 0 � x � 1.

6 - Calcolare il piano tangente alla super�cie z = xy=2 nel punto (1; 2; 1).Se si appoggia una biglia in questo punto, qual�è il vettore accelerazione?Il piano tangente alla super�cie z = xy=2 nel punto (1; 2; 1) è

� (x� 1)� 12(y � 2) + (z � 1) = 0:

Nel punto (1; 2; 1) l�angolo tra a super�cie z = xy=2 ed il piano orizzontalez = 0 è

arccos ((�2=3;�1=3; 2=3) � (0; 0; 1)) = arccos (2=3) :

Nel punto (1; 2; 1) la biglia è soggetta ad un�accelerazione di modulo

g sin (arccos (2=3)) = gp1� cos2 (arccos (2=3)) = g

p5=3:

La direzione dell�accelerazione è ortogonale alla normale al piano tangente edha proiezione sul piano orizzontale opposta al gradiente della funzione z = xy=2.Quindi la direzione dell�accelerazione nel punto (1; 2; 1) è�

�4=3p5;�2=3

p5;�5=3

p5�:

In�ne, l�accelerazione nel punto (1; 2; 1) è

g (�4=9;�2=9;�5=9) :

67



1 - Calcolare il dominio, l�immagine, ed i massimi e minimi assoluti e relatividella funzione F (x; y) = xy.Il dominio è fx > 0; �1 < y < +1g e l�immagine è f0 < z < +1g. In

particolare, non ci sono massimi e minimi assoluti.

@

@x(xy) = xy�1y;

@

@y(xy) = xy lnx;

@2

@x2(xy) = xy�2

�y2 � y

�;

@2

@y2(xy) = xy ln2 x;

@2

@x@y(xy) = xy�1 (y log(x) + 1) :

Il gradiente si annulla solo in (1; 0) e la matrice hessiana�0 11 0

�ha de-

terminante negativo, quindi il punto è una sella. Più semplicemente, xy =exp (y log(x)) e ci si può ridurre allo studio della funzione y log(x).

2 - Determinare la distanza della super�cie x + y2z2 = 5=4 dall�origine(0; 0; 0).Occorre minimizzare la funzione x2 + y2 + z2 sul vincolo x+ y2z2 = 5=4.

@

@x

��x2 + y2 + z2

�+ �

�x+ y2z2 � 5=4

��= 2x+ �

@

@y

��x2 + y2 + z2

�+ �

�x+ y2z2 � 5=4

��= 2y + 2�yz2

@

@z

��x2 + y2 + z2

�+ �

�x+ y2z2 � 5=4

��= 2z + 2�y2z

@

@�

��x2 + y2 + z2

�+ �

�x+ y2z2 � 5=4

��= x+ y2z2 � 5=4:

Consideriamo il sistema 8>><>>:x+ �=2 = 0y�1 + �z2

�= 0

z�1 + �y2

�= 0

4x+ 4y2z2 = 5:

68

Se y = 0, allora z = 0 e x = 5=4. Se z = 0, allora y = 0 e x = 5=4. Quindi(5=4; 0; 0) è una soluzione a distanza 5=4 dall�origine. Se y e z sono diversi dazero, allora y2 = z2 = �1=� = 1=2x, quindi 4x+ 1=x2 = 5, 4x3 � 5x2 + 1 = 0,

4 (x� 1) x� 1 +

p17

8

! x� 1�

p17

8

!= 0:

Se x = 1, allora y2 = z2 = 1=2, questi punti sono a distanzap2 dall�origine.

Se x =�1 +

p17�=8, allora y2 = z2 = 4=

�1 +

p17�. Anche questi punti distano

dall�origine più di 5=4. In�ne c�è un�altra soluzione x =�1�

p17�=8 negativa,

ma non è accettabile perché y2 = z2 = 1=2x deve essere positivo. Quindi lasuper�cie ha distanza 5=4 dall�origine.

3 - Calcolare l�integrale della funzionepx2 + y2 sul cerchio (x� 1)2+y2 � 1.

Z Zf(x�1)2+y2�1g

px2 + y2dxdy

=

Z +�=2

��=2

Z 2 cos(#)

0

�2d�

!d# =

8

3cos3 #

Z +�=2

��=2cos3 (#) d#

=16

3

Z +�=2

0

�1� sin2 (#)

�cos (#) d# =

16

3

Z 1

0

�1� t2

�dt =

32

9:

4 - Calcolare l�area della porzione di super�cie z = xy sopra il cerchiox2 + y2 � 1.

Z Zfx2+y2<1g

p1 + x2 + y2dxdy

=

Z 2�

0

Z 1

0

p1 + �2�d�d# = 2�

�2

3

p2� 1

3

�:

5 -�y00 + y = exp(�x);y(0) = y0(0) = 0:

y (x) =1

2sin(x)� 1

2cos(x) +

1

2exp(�x):

6 - Risolvere e determinare il dominio di de�nizione della soluzione dell�equazione8<:dy

dx=1� 2xy31 + 3x2y2

;

y(0) = 1:

Poiché

�� 1� 2xy31 + 3x2y2

�� A(x) jyj+B(x) ha una crescita lineare in y, la soluzionedell�equazione è de�nita in tutto�1 < x < +1. Questo si può anche veri�carlodirettamente. L�equazione è esatta ed ha soluzione

69

x2y3 + y � x� 1 = 0:

Se F (x; y) = x2y3 + y � x � 1, per ogni x si ha F (x;�1) = �1 e@F (x; y)=@y = 3x2y3+1 > 0, quindi l�equazione F (x; y) = 0 ha una ed una solasoluzione per ogni x.

70



1) Calcolare i massimi e minimi relativi ed i punti di sella della funzionex2 + y2 � cos(z) e stabilire se esistono massimi o minimi assoluti.Si vede immediatamente che i punti (0; 0; 2k�) sono minimi assoluti e che la

funzione è illimitata per x2 + y2 ! +1, quindi non ci sono massimi assoluti.8>>>><>>>>:@

@x

�x2 + y2 � cos(z)

�= 2x

@

@y

�x2 + y2 � cos(z)

�= 2y

@

@z

�x2 + y2 � cos(z)

�= sin(z)

Il gradiente è nullo solo nei punti (0; 0; k�) con k intero relativo.8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

@2

@x2�x2 + y2 � cos(z)

�= 2

@2

@y2�x2 + y2 � cos(z)

�= 2

@2

@z2�x2 + y2 � cos(z)

�= cos(z)

@2

@x@y=

@2

@y@z=

@2

@z@x= 0

Nei punti (0; 0; 2k�) la matrice delle derivate seconde

24 2 0 00 2 00 0 1

35 è de�nitapositiva, questo punti sono minimi assoluti. Nei punti (0; 0; (2k + 1)�) la matrice

delle derivate seconde

24 2 0 00 2 00 0 �1

35 non è de�nita, questo punti sono selle.2) Calcolare l�area della super�cie generata dalla rotazione intorno all�asse

delle ascisse della curva fy = sin(x); 0 � x � �g.

Zfy=sin(x); 0�x��g

2�ypdx2 + dy2

=

Z �

0

2� sin(x)p1 + cos2(x)dx = 4�

Z 1

0

p1 + t2dt

= 2��p2 + log

�1 +

p2��:

3) Calcolare il volume del cono in quattro dimensioni

71

�0 � x2 + y2 + z2 � w2 � 1

:

Z Z Z Zfx2+y2+z2�w2�1g

dxdydzdw

=

Z 1

0

Z Z Zfx2+y2+z2�w2g

dxdydz

!dw

=4

3�

Z 1

0

w3dw = �=3:

4) Risolvere il problema di Cauchy�y0 = y � xy2;y(0) = 1:

Poi, determinare l�intervallo su cui la soluzione è de�nita.È un�equazione di Bernoulli e, posto z = y�1, si ha

�dz=dx = x� z;z(0) = 1;

z = 2 exp(�x) + x� 1;y = (2 exp(�x) + x� 1)�1 :

La soluzione è de�nita sul più grande intervallo che contiene il punto x = 1e su cui 2 exp(�x) + x � 1 6= 0. La funzione 2 exp(�x) + x � 1 ha minimonel punto x = log(2) ed in questo punto vale log(2), quindi questa funzioneè sempre positiva. La soluzione dell�equazione di¤erenziale è de�nita su tutto�1 < x < +1.

5 - Trovare tutte le soluzioni dell�equazione di¤erenziale

y000 + y0 = x+ 1:

y (x) = x+x2

2+A+B cos (x) + C sin (x) :

6) Determinare l�insieme di convergenza ed il limite della successione fsinn(x)g+1n=0.La convergenza è uniforme in f0 < x < �=4g?La convergenza è uniforme in f0 < x < �=2g?La convergenza è uniforme in f0 � x � �=2g?La convergenza è uniforme in f0 � x < 2�g?

limn!+1

fsinn(x)g =

8<: 0 se x 6= ��=2 + 2�k;1 se x = �=2 + 2�k;non converge se x = ��=2 + 2�k:

La convergenza è uniforme in f0 < x < �=4g? Sì.

72

La convergenza è uniforme in f0 < x < �=2g? No.La convergenza è uniforme in f0 � x � �=2g? No.La convergenza è uniforme in f0 � x < 2�g? No.

73


Analisi Matematica 2 - Dicembre 2007

1) Calcolare nel punto (1; 0; 0) il vettore normale ed il piano tangente allasuper�cie

8<: x = u cos (v) ;y = u sin (v) ;z = v:

La super�cie è un�elica. Il punto (1; 0; 0) è immagine del punto (1; 0). Duevettori tangenti in questo punto sono (1; 0; 0) e (0; 1; 1). La normale alla super-�cie nel punto (1; 0; 0) è �

�0;�1=

p2; 1=

p2�. Il piano tangente è y = z o, in

forma parametrica,

(x; y; z) = (1; 0; 0) + s (1; 0; 0) + t (0; 1; 1) :

2) Calcolare i massimi e minimi della funzione xyz sull�ellissoide x2+2y2+3z2 = 1.Sia F (x; y; z; �) = xyz + �

�x2 + 2y2 + 3z2 � 1

�.

@

@x

�xyz + �

�x2 + 2y2 + 3z2 � 1

��= yz + 2�x;

@

@y

�xyz � �

�x2 + 2y2 + 3z2 � 1

��= xz + 4�y;

@

@z

�xyz + �

�x2 + 2y2 + 3z2 � 1

��= xy + 6�z;

@

@�

�xyz + �

�x2 + 2y2 + 3z2 � 1

��= x2 + 2y2 + 3z2 � 1:

Se @F=@x = @F=@y = @F=@z = 0, moltiplicando la prima equazione perx, la seconda per y, la terza per z, si ottiene 2�x2 = 4�y2 = 6�z2. Se � = 0allora xy = yz = zx = 0, cioè almeno due coordinate (x; y; z) si annullano edin un intorno di questi punti il prodotto xyz cambia segno. Questi punti nonsono estremali. Se � 6= 0 e x2 + 2y2 + 3z2 = 1, allora x2 = 2y2 = 3z2 e quindi,x2 = 2y2 = 3z2 = 1=3,

x = �1=p3; y = �1=

p6; y = �1=3:

I punti con��1=

p3;�1=

p6;�1=3

�con tre più o con un più e due meno

danno un prodotto xyz positivo. Questi sono massimi. I punti con due più edun meno o con tre meno danno un prodotto xyz negativo. Questi sono minimi.

74

3) Calcolare la trasformazione inversa della trasformazione (s; t) = A(x; y),8<: s = x;

t =x� yx+ y

:

Calcolare di¤erenziale e determinante Jacobiano della trasformazione inversa(x; y) = A�1(s; t). Poi trasformare il seguente integrale doppio in un integralesemplice: Z Z

fx>0; y>0; x+y<1gF

�x� yx+ y

�dxdy:

8<: s = x;

t =x� yx+ y

;

(x = s;

y =1� t1 + t

s;

�dxdy

�=

24 1 01� t1 + t

�2s(1 + t)

2

35� dsdt

�;

dxdy =2 jsj

(1 + t)2 dsdt:

Il triangolo fx > 0; y > 0; x+ y < 1g è immagine del triangolo fs > 0; �1 < t < 1; 2s� t < 1g.Infatti da x > 0 segue s > 0. Da s > 0 e y > 0 segue �1 < t < 1. Da s > 0,�1 < t < 1 e x+ y < 1 segue 2s� t < 1. Quindi

Z Zfx>0; y>0; x+y<1g

F

�x� yx+ y

�dxdy

=

Z Zfs>0; �1<t<1; 2s�t<1g

F (t)2 jsj

(1 + t)2 dsdt

=

Z +1

�1

Z (1+t)=2

0

2sds

!F (t)

(1 + t)2 dt

=1

4

Z +1

�1F (t) dt:

4) Calcolare il volume dell�intersezione della sfera x2 + y2 + z2 < 1 con ilcilindro x2 + y2 < x con z > 0.

75

Z Z Zfx2+y2+z2<1; x2+y2<x; z>0g

dxdydz

=

Z Zfx2+y2<xg

p1� x2 � y2dxdy

=

Z +�=2

��=2

Z cos(#)

0

�p1� �2d�

!d#

= 2=3

Z +�=2

0

�1� sin3 (#)

�d#

=�

3� 49:

5) Calcolare l�area della super�cie di sfera x2+y2+z2 = 1 interna al cilindrox2 + y2 < x con z > 0 (V.Viviani 1692)

Z Zfx2+y2<xg

q1 + (@z=@x)

2+ (@z=@y)

2dxdy

=

Z Zfx2+y2<xg

vuut1 + �xp1� x2 � y2

!2+

�yp

1� x2 � y2

!2dxdy

=

Z Zfx2+y2<xg

dxdyp1� x2 � y2

=

Z +�=2

��=2

Z cos(#)

0

�d�p1� �2

!d#

=

Z +�=2

��=2

��p1� �2

��cos(#)0

�d# =

Z +�=2

��=2(1� jsin(#)j) d#

= � � 2:

6) Calcolare la lunghezza e l�area sottesa da un arco di cicloide (G.P.Robenval1634, E.Torricelli 1644, C.Wren 1658).

�x = #� sin(#);y = 1� cos(#):

Z 2�

0

pdx2 + dy2 =

Z 2�

0

q(1� cos(#))2 + sin2(#)d# =

Z 2�

0

2 sin(#=2)d# = 8:Z 2�

0

ydx =

Z 2�

0

(1� cos(#))2 d# =Z 2�

0

�1 + cos2(#)� 2 cos(#)

�d# = 3�:

76



1 - a) Determinare lo sviluppo in serie di potenze centrato nell�origine diexp

��x2

�.

b) La serie converge uniformemente in 0 � x � 1?c) La serie converge uniformemente in �1 < x < +1?

d) CalcolareZ 1

0

exp��x2

�dx con una approssimazione minore di 10�2.

exp��x2

�=

+1Xn=0

(�)n x2n=n!:

La serie converge per ogni x. La convergenza è uniformemente in 0 � x � 1,ma non in �1 < x < +1.Z 1

0

exp��x2

�dx =

+1Xn=0

(�)n

n!

Z 1

0

x2ndx =+1Xn=0

(�)n

n! (2n+ 1)

= 1� 13+1

10� 1

42+

1

216� ::::

In particolare, 1�1=3+1=10�1=42 = 26=35 = 0; 742:::, un�approssimazioneper difetto minore di 1=216. Il valore dell�integrale è 0; 746824132:::.

2 -

8<: dy

dx=y +

px2 � y2x

;

y(1) = 1=2:a) Determinare la soluzione y = y(x) in un piccolo intorno di x = 1=2.b) Determinare, se esiste, una soluzione in 0 < x < +1.

Osserviamo che l�equazione è de�nita in fx 6= 0; jyj � jxjg e che y = �xsono due soluzioni. L�equazione è omogenea e ponendo y = xz, si ottiene

z + xdz

dx= z +

p1� z2;Z

dzp1� z2

=

Zdx

x;

arcsin(z) = log(jxj) + C;z = sin (log(jxj) + C) :

Quindi, y = x sin (log(jxj) + C), ma osserviamo che per de�nire l�arco senosi deve richiedere ��=2 � log(jxj) + C � �=2. Per ottenere y(1) = 1=2 bastascegliere C = �=6, quindi

y = x sin (log(x) + �=6) :

77

Osserviamo che

dy

dx= sin (log(x) + �=6) + cos (log(x) + �=6) ;

y +px2 � y2x

2

= sin (log(x) + �=6) + jcos (log(x) + �=6)j :

Quindi, quella trovata è la soluzione in ��=2 � log(x) + �=6 � �=2, cioèexp(�2�=3) � x � exp(�=3). Agli estremi di questo intervallo la soluzione siraccorda alle due soluzioni y = �x e la soluzione massimale in �1 < x < +1è

y =

8<: �x se 0 < x < exp(�2�=3),x sin (log(x) + �=6) se exp(�2�=3) � x � exp(�=3),x se exp(�=3) < x < +1.

3 -�y000 � 3y00 + 3y0 � y = 1;y(0) = y0(0) = y00(0) = 0:

y (x) = �1 + ex � xex + 12x2ex


+1n=1


@tu(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1,

u(0; x) = cos(�x) se 0 < x < 1,u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0.

a) La serie converge puntualmente in t = 0 e 0 � x � 1?b) La serie converge uniformemente in t = 0 e 0 � x � 1?c) La serie converge assolutamente in t = 1 e 0 � x � 1?d) La serie converge uniformemente in t = 1 e 0 � x � 1?

78

u(t; x) =+1Xn=1

�2

Z 1

0

cos(�y) sin (�ny) dy

�exp

��2n2t

�sin (�nx)

=+1Xn=1

�2n (cos (�n) + 1)

� (n2 � 1)

�exp

��2n2t

�sin (�nx)

=8

�

+1Xk=1

k

4k2 � 1 exp��4�2k2t

�sin (2�kx) :

La serie converge puntualmente ma non uniformemente in t = 0 e 0 � x � 1.La serie converge assolutamente ed uniformemente in t > " > 0 e 0 � x � 1.

5 - Una botte da 100 litri è inizialmente piena di purissimo vino, ma daun piccolo foro nel fondo della botte esce goccia a goccia un litro di liquidoal giorno ed un litro d�acqua entra goccia a goccia da un foro in cima allabotte. Nell�ipotesi che acqua e vino si mischiano istantaneamente, determinaree risolvere l�equazione che descrive la l�evoluzione delle quantità di acqua A(t)e vino V (t) al tempo t, misurato in giorni.8>>>><>>>>:

d

dtA(t) = 1� A(t)

A(t) + V (t);

d

dtV (t) = � V (t)

A(t) + V (t);

A(0) = 0; V (0) = 100:

Sommando le equazioni si ottiene d (A(t) + V (t)) =dt = 0, da cui segue cheA(t) + V (t) = A(0) + V (0) = 100. Quindi8>>><>>>:

d

dtA(t) = V (t)=100;

d

dtV (t) = �V (t)=100;

A(0) = 0; V (0):

Queste equazioni sono lineari ed hanno soluzioni esponenziali,�A(t) = 100� 100 exp (�t=100) ;V (t) = 100 exp (�t=100) :


dx=

x2 � y2x2 + y2

ed un gra�co qualitativo della soluzione per il punto (0; 1).

79

x2 + y2p2x4 + 2y4

;x2 � y2p2x4 + 2y4

!

80



1 - Determinare i massimi e minimi della funzione x+ y2+ z3 sull�ellissoidex2 + 2y2 + 3z2 = 1.

Sia F (x; y; z; �) = x+ y2 + z3 + ��x2 + 2y2 + 3z2 � 1

�.

@

@x

�x+ y2 + z3 + �

�x2 + 2y2 + 3z2 � 1

��= 1 + 2�x;

@

@y

�x+ y2 + z3 + �

�x2 + 2y2 + 3z2 � 1

��= 2y + 4�y;

@

@z

�x+ y2 + z3 + �

�x2 + 2y2 + 3z2 � 1

��= 3z2 + 6�z;

@

@�

�x+ y2 + z3 + �

�x2 + 2y2 + 3z2 � 1

��= x2 + 2y2 + 3z2 � 1:

Dalla prima equazione @=@x = 0 si ricava x = �2=�. Dalla seconda equazione@=@y = 0 si ricava y = 0 oppure � = �1=2. Dalla terza equazione @=@z = 0si ricava z = 0 oppure z = �2�. Dalle prime tre equazioni si ricavano i punti(4; y; 0;�1=2), (4; y; 1;�1=2), (�2=�; 0;�2�; �), (�2=�; 0; 0; �). I primi tre puntinon veri�cano l�ultima equazione @=@� = 0, mentre l�ultimo (�2=�; 0; 0; �) veri-�ca l�equazione @=@� = 0 solo se � = �2. In�ne, nel punto (�1; 0; 0) la funzionex+ y2 + z3 vale �1 e nel punto (1; 0; 0) la funzione x+ y2 + z3 vale 1. Il primopunto è un minimo ed il secondo un massimo.

2 - (Archimede) Calcolare il volume della fetta di sfera, 0 � a < b � 1,�x2 + y2 + z2 � 1; a � z � b

:

Z Z Zfx2+y2+z2�1; a�z�bg

dxdydz

=

Z b

a

Z Zfx2+y2+�1�z2g

dxdy

!dz

=

Z b

a

��1� z2

�dz = �

�b� a�

�b3 � a3

�=3�:

3 - (Archimede) Calcolare l�area della buccia della fetta di sfera, 0 � a <b � 1, �

x2 + y2 + z2 = 1; a � z � b:

81

Z Zf1�b2�x2+y2�1�a2g

vuut1 + �xp1� x2 � y2

!2+

�yp

1� x2 � y2

!2dxdy

=

Z 2�

0

d#

Z p1�a2

p1�b2

�p1� �2

d� = 2� (b� a) :

4 - Calcolare, se esiste, un potenziale della forza

��!F (x; y; z) =

�x

x2 + y2 + z2;

y

x2 + y2 + z2;

z

x2 + y2 + z2

�:

Se esiste un potenziale, deve essere

@

@xP (x; y; z) =

x

x2 + y2 + z2;

P (x; y; z) =

Zxdx

x2 + y2 + z2= log

�px2 + y2 + z2

�+ C(y; z):

Quindi, un potenziale in R3 � f0g è

P (x; y; z) = log�p

x2 + y2 + z2�.

5 - Risolvere e determinare l�insieme di de�nizione della soluzione del prob-

lema di Cauchy

(dy

dx= y (x� y) ;

y(0) = 1:

È un�equazione di Bernoulli e con y = 1=z si ottiene(dz

dx= �xz + 1;

z(0) = 1;

z = e�x2=2

�1 +

Z x

0

et2=2dt

�;

y = ex2=2

�1 +

Z x

0

et2=2dt

��1:

La soluzione è de�nita per �� < x < +1, conZ �

0

et2=2dt = 1.


+1n=1


@t2u(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1,

u(0; x) = sin(�x),@

@tu(0; x) = 1 se 0 < x < 1,

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0.

82

a) La serie converge uniformemente in t = 0 e 0 � x � 1?b) La serie converge uniformemente in �1 < t; x < +1?c) La serie converge assolutamente in �1 < t; x < +1?

u(t; x) =+1Xn=1

�2

Z 1

0

sin (�y) sin (�ny) dy

�cos (�nt) sin (�nx)

++1Xn=1

�2

�n

Z 1

0

sin (�ny) dy

�sin (�nt) sin (�nx)

= cos (�t) sin (�x) ++1Xn=1

2 (1� cos (�n))�2n2

sin (�nt) sin (�nx)

= cos (�t) sin (�x) + 4��2+1Xk=0

(2k + 1)�2sin (� (2k + 1) t) sin (� (2k + 1)x) :

La serie converge assolutamente ed uniformemente per ogni �1 < t; x <+1.

83

no: Nome:


La Chiocciola di Pascal� = 1 + 2 cos (#)

1 - Calcolare l�area dell�anello interno alla chiocciola di equazione in coor-dinate polari � = 1 + 2 cos (#). (N.B. Il raggio può essere negativo!)

2 - Determinare il vettore normale ed il piano tangente all�ellissoide x2 +2y2 + z2 = 1 nel punto (1=2; 1=2; 1=2).

3 - Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione x + y2 � z2sull�ellissoide x2 + 2y2 + z2 = 1.

4 - Calcolare l�area della super�cie dell�ellissoide x2 + 2y2 + z2 = 1.

5 -

8><>:dx

dt= 2y + 1;

dy

dt= x� y:

6 - Trovare lo sviluppo in serie di Fourier rispetto al sistema ortonor-male

�p2 sin (n�x)

+1n=1

e discutere la convergenza della serie della soluzionedell�equazione del calore8><>:

@

@tu(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1,

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0,u(0; x) = sin2(�x).

84

no: Nome:


1 - Determinare i massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione x +y2 + z3 � log (xyz) nel quadrante fx > 0; y > 0; z > 0g.

2 - Calcolare il baricentro di una semisfera di raggio R.

3 - Disegnare la curva

8<: x = cos(t);y = sin(t);z = t;

e calcolarne la lunghezza per 0 � t �

2�.

4 -

8<:dy

dx=1� 2xyx2 + y2

;

y(0) = 1:Risolvere e determinare l�insieme di de�nizione della

soluzione.

5 -

8<: y00 + y0 + 2 exp(x) + 1 = 0;y(0) = 0;y0(0) = 0:

6 - Determinare lo sviluppo in serie di potenze centrate nell�origine della

funzionesin(x)

x. Determinare il raggio di convergenza di tale sviluppo e stabilire

se la convergenza è uniforme in 0 � x � 1. In�ne, calcolareZ 1

0

sin(x)

xdx con

un�approssimazione di 10�3.

85

no: Nome:


�x = sin(3#) cos(#);y = sin(3#) sin(#):

1 - Calcolare l�area di un petalo del �ore di equazione�x = sin(3#) cos(#);y = sin(3#) sin(#):

2 - Calcolare il baricentro della parte di sfera in un quadrante,�x; y; z � 0; x2 + y2 + z2 � 1

.

3 - Calcolare i massimi e minimi assoluti della funzione x+p1� x2 � y2 � z2.

4 -

8<:dy

dx=1 + xy2

1� x2y ;y(0) = 0:

5 -�y000 + y0 = 1;y(0) = 1; y0(0) = 0; y00(0) = 0:

6) Trovare lo sviluppo in serie di Fourier rispetto al sistema ortonormalefexp (2�inx)g+1n=�1 della funzione f(x) = x in 0 < x < 1. Poi calcolare

1 + 1=4 + 1=9 + 1=16 + 1=25 + :::

86



La Chiocciola di Pascal� = 1 + 2 cos (#)

1 - Calcolare l�area dell�anello interno alla chiocciola di equazione in coor-dinate polari � = 1 + 2 cos (#). (N.B. Il raggio può essere negativo!)

Occorre prima capire per quali valori dell�angolo 0 < # < 2� il raggio � siannulla. 1 + 2 cos (#) = 0 se cos (#) = �1=2, cioè # = 2�=3 e # = 4�=3.Z 4�=3

2�=3

Z 1+2 cos(#)

0

�d�

!d# =

1

2

Z 4�=3

2�=3

(1 + 2 cos (#))2d# = � � 3

2

p3:

2 - Determinare il vettore normale ed il piano tangente all�ellissoide x2 +2y2 + z2 = 1 nel punto (1=2; 1=2; 1=2).

La normale alla super�cie ha la direzione del gradienter�x2 + 2y2 + z2 � 1

�=

(2x; 4y; 2z). Quindi, nel punto (1=2; 1=2; 1=2) la normale è 6�1=2 (1; 2; 1) el�equazione del piano tangente è (x� 1=2) + 2(y � 1=2) + (z � 1=2) = 0, cioèx+ 2y + z = 2.

3 - Determinare i massimi e minimi assoluti della funzione x + y2 � z2sull�ellissoide x2 + 2y2 + z2 = 1.

Sia F (x; y; z; �) =�x+ y2 � z2

�+ �

�x2 + 2y2 + z2 � 1

�.

@

@x

�x+ y2 � z2 + �

�x2 + 2y2 + z2 � 1

��= 1 + 2�x;

@

@y

�x+ y2 � z2 + �

�x2 + 2y2 + z2 � 1

��= 2 (2�+ 1) y;

@

@z

�x+ y2 � z2 + �

�x2 + 2y2 + z2 � 1

��= 2 (�� 1) z;

@

@�

�x+ y2 � z2 + �

�x2 + 2y2 + z2 � 1

��= x2 + 2y2 + z2 � 1:

Dalla prima equazione @=@x = 0 si ricava x = �1=2�. Dalla secondaequazione @=@y = 0 si ricava y = 0 oppure � = �1=2. Dalla terza equazione

87

@=@z = 0 si ricava z = 0 oppure � = 1. Dall�equazione @=@� = 0 si ricavano ipunti (�1; 0; 0;�1=2) e

��1=2; 0;�

p3=2; 1

�. In�ne, se f(x; y; z) = 2x+ y2� z2,

f (1; 0; 0) = 1;

f (�1; 0; 0) = �1;

f��1=2; 0;�

p3=2�= �5=4:

Il punto (1; 0; 0) è il massimo assoluto ed i punti��1=2; 0;�

p3=2�sono i

minimi assoluti.

4 - Calcolare l�area della super�cie dell�ellissoide x2 + 2y2 + z2 = 1.

Le due facce dell�ellissoide hanno equazione y = �p(1� x2 � z2) =2 e l�area

è

2

Z Zfx2+z2<1g

q1 + (@y=@x)

2+ (@y=@z)

2dxdz

= 2

Z Zfx2+z2<1g

s1 +

x2

2 (1� x2 � z2) +z2

2 (1� x2 � z2)dxdz

= 2

Z Zfx2+z2<1g

s2� x2 � z22 (1� x2 � z2)dxdz =

p2

Z 2�

0

Z 1

0

s2� �21� �2 �d�d#

=p2�

Z 1

0

r2� t1� tdt = 2� �

�p2ln�3� 2

p2�:

Per calcolare l�integrale si può utilizzare la sostituzione2� t1� t = s2, t =

s2 � 2s2 � 1 , dt =

2sds

(s2 � 1)2,

Z 1

0

r2� t1� tdt =

Z +1

p2

2s2ds

(s2 � 1)2

=1

2

Z +1

p2

1

s� 1 �1

s+ 1+

1

(s� 1)2+

1

(s+ 1)2

!ds

=1

2

�lg

�s� 1s+ 1

�� 1

s� 1 �1

s+ 1

��+1p2

:

5 -

8><>:dx

dt= 2y + 1;

dy

dt= x� y:

88

Dalla seconda equazione si ricava x = y + dy=dt e, derivando, dx=dt =dy=dt+d2y=dt2 e, confrontando con la prima equazione, d2y=dt2+dy=dt = 2y+1,�

x = �1=2 + 2A exp (t)�B exp (�2t) ;y = �1=2 +A exp (t) +B exp (�2t) :

6 - Trovare lo sviluppo in serie di Fourier rispetto al sistema ortonor-male

�p2 sin (n�x)

+1n=1

e discutere la convergenza della serie della soluzionedell�equazione del calore8><>:

@

@tu(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1,

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0,u(0; x) = sin2(�x).

u(0; x) =+1Xn=1

�Z 1

0


�p2 sin (n�x) exp

��2n2t

�=

+1Xn=1

�2

Z 1

0

sin2(�y) sin (n�y) dy

�exp

��2n2t

�sin (n�x)

=+1Xn=1

4cos(n�)� 1n� (n2 � 4) exp

��2n2t

�sin (n�x) :

La serie converge assolutamente ed uniformemente per ogni �1 < x < +1ed ogni t � 0.

89



1 - Determinare i massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione x +y2 + z3 � log (xyz) nel quadrante fx > 0; y > 0; z > 0g.

Se (x; y; z) tende al bordo del dominio o all�in�nito, la funzione x+y2+z3�log (xyz) tende a +1. Quindi non ci sono massimi assoluti, ma c�e�un minimoassoluto.

@

@x

�x+ y2 + z3 � log (xyz)

�= 1� 1=x;

@

@y

�x+ y2 + z3 � log (xyz)

�= 2y � 1=y;

@

@z

�x+ y2 + z3 � log (xyz)

�= 3z2 � 1=z;

Il gradiente si annulla solo in x = 1, y = 1=p2, z = 1= 3

p3. Questo punto è

il minimo assoluto. Calcoliamo la matrice hessiana:24 1=x2 0 00 2 + 1=y2 00 0 6z + 1=z2

35 :La matrice è de�nita positiva in tutti i punti del quadrante fx > 0; y > 0; z > 0g,quindi la funzione e convessa.

2 - Calcolare il baricentro di una semisfera di raggio R.

Se la semisfera è�z � 0; x2 + y2 + z2 � 1

, per simmetria le prime due

coordinate del baricentro sono x = y = 0, mentre la terza coordinata è

z =

Z Z Zfz�0; x2+y2+z2�1g

zdxdydzZ Z Zfz�0; x2+y2+z2�1g

dxdydz

=3

2�

Z 2�

0

d'

Z �=2

0

cos (#) sin (#) d#

Z 1

0

�3d� = 3=8:

Se la semisfera ha raggio R il baricentro si trova a distanza (3=8)R dal centro.

3 - Disegnare la curva

8<: x = cos(t);y = sin(t);z = t;

e calcolarne la lunghezza per 0 � t �

2�.

90

Z 2�

0

q(� sin(t))2 + (cos(t))2 + (1)2dt

=

Z 2�

0

p2dt = 2

p2�.

4 -

8<:dy

dx=1� 2xyx2 + y2

;

y(0) = 1:Risolvere e determinare l�insieme di de�nizione della

soluzione.

La forma di¤erenziale (2xy � 1) dx+�x2 + y2

�dy è esatta ed un potenziale

è

�Z x

0

dt+

Z y

0

�x2 + t2

�dt = �x+ x2y + y3=3:

Imponendo alla curva �x + x2y + y3=3 = C il passaggio per il punto (0; 1)si ottiene C = 1=3. Quindi la soluzione è de�nita implicitamente dall�equazioney3 + 3x2y � 3x � 1 = 0. Per ogni x l�equazione y3 + 3x2y � 3x � 1 = 0ha una ed una sola soluzione y. Infatti, limy!�1

�y3 + 3x2y � 3x� 1

�= �1,

limy!+1�y3 + 3x2y � 3x� 1

�= +1, @

�y3 + 3x2y � 3x� 1

�=@y = 3

�x2 + y2

��

0. Quindi la funzione implicita è de�nita per ogni �1 < x < +1. Esplicita-mente,

x =3�

p9 + 12y � 12y46y

:

5 -

8<: y00 + y0 + 2 exp(x) + 1 = 0;y(0) = 0;y0(0) = 0:

y = 3� x� exp(x)� 2 exp(�x):

6 - Determinare lo sviluppo in serie di potenze centrate nell�origine della

funzionesin(x)

x. Determinare il raggio di convergenza di tale sviluppo e stabilire

se la convergenza è uniforme in 0 � x � 1. In�ne, calcolareZ 1

0

sin(x)

xdx con

un�approssimazione di 10�3.

sin(x)

x=x� x3=6 + x5=120� x7=5040 + x9=362880� :::

x

= 1� x2=6 + x4=120� x6=5040 + x8=362880� :::: =+1Xn=0

(�)nx2n(2n+ 1)!

:

91

La serie converge per ogni x e la convergenza è uniforme su ogni compatto.Si può quindi integrare la serie termine a termine,Z 1

0

sin(x)

xdx =

Z 1

0

�1� x2=6 + x4=120� :::

�dx

= 1� 1=18 + 1=600� :::

92



�x = sin(3#) cos(#);y = sin(3#) sin(#):

1 - Calcolare l�area di un petalo del �ore di equazione�x = sin(3#) cos(#);y = sin(3#) sin(#):

In un petalo 0 � # � �=3 e, integrando in coordinate polari,Z Z

dxdy =

Z �=3

0

Z sin(3#)

0

�d�d#

=1

2

Z �=3

0

sin2(3#)d# =1

6

Z �

0

sin2(')d' = �=12:

Si può anche utilizzare la formula di Gauss Green,

Z Z

dxdy =

Z@

xdy � ydx2

=1

2

Z �=3

0

sin(3#) cos(#) (3 cos(3#) sin(#) + sin(3#) cos(#)) d#

�12

Z �=3

0

sin(3#) sin(#) (3 cos(3#) cos(#)� sin(3#) sin(#)) d#

=1

2

Z �=3

0

sin2(3#)d# =1

6

Z �

0

sin2(')d' = �=12:

2 - Calcolare il baricentro della parte di sfera in un quadrante,�x; y; z � 0; x2 + y2 + z2 � 1

.

Per simmetria, le tre coordinate del baricentro sono uguali.

z =

Z Z Zfx;y;z�0; x2+y2+z2�1g

x dxdydzZ Z Zfx;y;z�0; x2+y2+z2�1g

dxdydz

=6

�

Z �=2

0

d'

Z �=2

0

cos (#) sin (#) d#

Z 1

0

�3d� = 3=8:

93

3 - Calcolare i massimi e minimi assoluti della funzione x+p1� x2 � y2 � z2.

La funzione è de�nita e continua nella sfera�x2 + y2 + z2 � 1

. Esistono

quindi i massimi e minimi assoluti.8>>>>>><>>>>>>:

@

@x

�x+

p1� x2 � y2 � z2

�= 1� xp

1� x2 � y2 � z2;

@

@y

�x+

p1� x2 � y2 � z2

�=

�yp1� x2 � y2 � z2

;

@

@z

�x+

p1� x2 � y2 � z2

�=

�zp1� x2 � y2 � z2

:

Il gradiente è nullo solo nel punto�1=p2; 0; 0

�ed in questo punto la funzione

valep2, mentre sul bordo del dominio di de�nizione la funzione assume valori

�1 � x � 1. Quindi, il massimo assoluto è in�1=p2; 0; 0

�ed il minimo assoluto

è in (�1; 0; 0).

4 -

8<:dy

dx=1 + xy2

1� x2y ;y(0) = 0:

La forma di¤erenziale�xy2 + 1

�dx+

�x2y � 1

�dy è esatta ed un potenziale

è Z x

0

dt+

Z y

0

�x2t� 1

�dt = x+ x2y2=2� y:

Le soluzioni dell�equazione di¤erenziale sono le curve x2y2 � 2y + 2x = c edimponendo il passaggio per il punto (0; 0) si ottiene c = 0. Quindi

y =1�

p1� 2x3x2

:

5 -�y000 + y0 = 1;y(0) = 1; y0(0) = 0; y00(0) = 0:

y (x) = 1 + x� sin(x):6) Trovare lo sviluppo in serie di Fourier rispetto al sistema ortonormale

fexp (2�inx)g+1n=�1 della funzione f(x) = x in 0 < x < 1. Poi calcolare

1 + 1=4 + 1=9 + 1=16 + 1=25 + :::

x =

+1Xn=�1

�Z 1

0

y exp (�2�iny) dy�exp (2�inx)

=1

2�Xn 6=0

exp (2�inx)

2�in=1

2�+1Xn=1

sin (2�nx)

�n:

94

1=3 =

Z 1

0

y2dy = 1=4 + 1=4�2Xn 6=0

1=n2 = 1=4 + 1=2�2+1Xn=1

1=n2

+1Xn=1

1=n2 = �2=6:

95



1 - (a) Determinare l�equazione del piano tangente alla super�cie z =1 + x

1 + ynel punto (0; 0; 1).(b) Una goccia d�acqua che cade dall�alto sul punto (0; 0; 1), quando inizia a

scivolare sulla super�cie, che direzione prende? NB: La direzione è un vettoredi norma uno in tre dimensioni.

Il gradiente della funzione z = (1 + x) = (1 + y) è�@z

@x;@z

@y

�=

1

1 + y;�1� x(1 + y)

2

!:

L�equazione del piano tangente alla super�cie nel punto (0; 0; 1) è

z = 1 + x� y:

La proiezione della direzione di massima discesa sul piano (x; y) è oppostaal gradiente della funzione, (�1; 1). Se (x; y) hanno un incremento (�d"; d"), zha un incremento �2d", quindi la direzione di discesa è

6�1=2 (�1; 1;�2) :

2 - Trovare la distanza della super�cie x2 � y2 + z2 = 1 dall�origine (0; 0; 0)ed i punti che realizzano questa distanza.

Bisogna trovare il minimo della funzione x2 + y2 + z2 sull�iperboloide x2 �y2 + z2 = 1.

f(x; y; z; t) = x2 + y2 + z2 + t�x2 � y2 + z2 � 1

�:

@

@x

�x2 + y2 + z2 + t

�x2 � y2 + z2 � 1

��= 2x (1 + t) ;

@

@y

�x2 + y2 + z2 + t

�x2 � y2 + z2 � 1

��= 2y (1� t) ;

@

@z

�x2 + y2 + z2 + t

�x2 � y2 + z2 � 1

��= 2z (1 + t) ;

@

@t

�x2 + y2 + z2 + t

�x2 � y2 + z2 � 1

��= x2 � y2 + z2 � 1:

Se @f=@x = @f=@y = @f=@z = 0 e t 6= �1, allora (x; y; z) = (0; 0; 0), chenon soddisfa @f=@t = 0. Se t = 1, allora x = z = 0 e sostituendo in @f=@t = 0

96

si ottiene y2 = �1, equazione impossibile. In�ne, se t = �1, allora y = 0 ex2 + z2 = 1. Tutti i punti del cerchio (cos (#) ; 0; sin (#)) stanno sull�iperboloideed hanno distanza 1 dall�origine. La distanza dell�iperboloide dall�origine è 1.

3 - Trovare i massimi e minimi assoluti della funzione x+ y sulla super�ciex2 � y2 + z2 = 1.

La funzione x+ y è lineare e l�iperboloide x2 � y2 + z2 = 1 non è compatto.Quindi non ci sono massimi e minimi. Comunque, per sincerarsene altrimenti,procediamo come sopra.

f(x; y; z; t) = x+ y + t�x2 � y2 + z2 � 1

�:

@

@x

�x+ y + t

�x2 � y2 + z2 � 1

��= 1 + 2tx;

@

@y

�x+ y + t

�x2 � y2 + z2 � 1

��= 1� 2ty;

@

@z

�x+ y + t

�x2 � y2 + z2 � 1

��= 2tz;

@

@t

�x+ y + t

�x2 � y2 + z2 � 1

��= x2 � y2 + z2 � 1:

Se @f=@x = @f=@y = @f=@z = 0, allora (x; y; z) = (�1=2t; 1=2t; 0). Sos-tituendo questi punti in @f=@t = 0, si ottiene (�1=2t)2 � (1=2t)2 + (0)2 = 1,cioè 0 = 1.

4 -Z Z

fx2+y2<2xg

�x2 + y2

��1=2dxdy =

In coordinate polari la funzione�x2 + y2

��1=2= ��1 ed il cerchio

�x2 + y2 < 2x

=

f��=2 < # < +�=2; 0 � � < 2 cos(#)g. L�integrale generalizzato èZ Zfx2+y2<2xg

�x2 + y2

��1=2dxdy =

Z +�=2

��=2

Z 2 cos(#)

0

d�

!d# = 4:

5 - Calcolare l�area della super�cie�x2 + y2 < 1; z = x2 � y2

.

Z Zfx2+y2<2xg

q1 + (2x)

2+ (�2y)2dxdy

=

Z 2�

0

Z 1

0

p1 + 4�2�d�d# = �

�5p5� 1

�=6:

6 - Studiare la continuità, la di¤erenziabilità, ed i massimi e minimi assolutie relativi della funzione

f(x; y; z) = x log�x2 + y2

�� z2:

97

La funzione non è de�nita nei punti (0; 0; z), ma

lim(x;y;z)!(0;0;z)

�x log

�x2 + y2

�� z2

= �z2:

Nei punti (0; 0; z) si può ripristinare la continuità, ma non la di¤erenziabil-ità. Negli altri punti la funzione è derivabile con derivate continue, quindi èdi¤erenziabile.

@

@x

�x log

�x2 + y2

�� z2

�= ln

�x2 + y2

�+

2x2

x2 + y2;

@

@y

�x log

�x2 + y2

�� z2

�=

2xy

x2 + y2;

@

@z

�x log

�x2 + y2

�� z2

�= �2z;

@f(x; y; z)=@z = 0 solo per z = 0. @f(x; y; z)=@y = 0 solo per x = 0 o y = 0.Se x = 0 allora @f(0; y; z)=@x = ln

�y2�, che è zero solo per y = �1. Se y = 0 al-

lora @f(x; 0; z)=@x = ln�x2�+2, che è zero solo per x = �1=e. I punti stazionari

sono dunque (0;�1; 0) e (�1=e; 0; 0), ma nel cercare i massimi e minimi bisognaanche considerare i punti (0; 0; z), dove la funzione non è di¤erenziabile. In-iziamo da questi punti. Si ha lim(x;y;z)!(0;0;z)

�x log

�x2 + y2

�� z2

= �z2,

ma in un intorno di questi punti x log�x2 + y2

�cambia segno con x. Quindi

questi punti non sono massimi o minimi. La matrice delle derivate seconde è26666642x�x2 + 3y2

�(x2 + y2)

2

2y�y2 � x2

�(x2 + y2)

2 0

2y�y2 � x2

�(x2 + y2)

2

2x�x2 � y2

�(x2 + y2)

2 0

0 0 �2

3777775Questa matrice ha autovalori�2, 2 (x+ y)

x2 + y2,2(x� y)x2 + y2

. Quindi i punti (0;�1; 0)e (1=e; 0; 0) sono selle, il punto (�1=e; 0; 0) è un massimo relativo. In�nelimx!�1 f(x; 0; 0) = limx!�1

�x log

�x2�

= �1, quindi non ci sono mas-simi o minimi assoluti.

7 - d3y=dx3 + y = x3.

y (x) = x3�6+A exp(�x)+B exp(x=2) cos��p

3=2�x�+C exp(x=2) sin

��p3=2�x�:

8 -

8<: dy=dx =�2x� y1 + x+ 2y

;

y(0) = 1:.

La forma di¤erenziale (2x+ y) dx+(1 + x+ 2y) dy è esatta ed ha potenziale

x2 + xy + y2 + y + C

98

La soluzione dell�equazione è de�nita implicitamente ed esplicitamente da

x2 + xy + y2 + y � 2 = 0;

y = �12� 12x+

1

2

p9 + 2x� 3x2:

99



1 - Calcolare il �usso del campo

xp

x2 + y2;

ypx2 + y2

; 0

!uscente dall�ellissoide

x2 + y2 + 4z2 = 1.

Per il teorema della divergenza, il �usso èZ@D

< F; n > dA =

ZD

divFdV .

Z Z Zfx2+y2+4z2<1g

@

@x

xp

x2 + y2

!+@

@y

yp

x2 + y2

!+@

@y(0)

!dxdydz

Z Z Zfx2+y2+4z2<1g

�x2 + y2

��1=2dxdydz =

Z +1=2

�1=2

Z Zfx2+y2<1�4z2g

�x2 + y2

��1=2dxdy

!dz

=

Z +1=2

�1=2

2�

Z p1�4z2

0

�x2 + y2

��1dxdy

!= 2�

Z +1=2

�1=2

p1� 4z2dz = �2=2:

2 -

8<:dy

dx= �3x

2 + 2xy

x2 + 3y2;

y(0) = 1:Risolvere e determinare in quale intervallo è de�nita la soluzione.

La forma di¤erenziale�3x2 + 2xy

�dx+

�x2 + 3y2

�dy è esatta ed un poten-

ziale è

P (x; y) =

Z x

0

3x2dx+

Z y

0

�x2 + 3y2

�dy = x3 + x2y + y3:

Nel punto (0; 1) questo potenziale vale P (0; 1) = 1, quindi la soluzionedell�equazione è de�nita implicitamente da

x3 + x2y + y3 = 1:

Per ogni �1 < x < +1, limy!�1 P (x; y) = �1 e @P (x; y)=@y = x2 +3y3 � 0. Quindi l�equazione x3+x2y+y3 = 1 de�nisce implicitamente y = y(x)per ogni �1 < x < +1.

3 -�y000 � 2y00 + y0 = 1;y(0) = y0(0) = y00(0) = 0:

Una soluzione particolare dell�equazione y000 � 2y00 + y0 = 1 è y = x. Lasoluzione generale dell�equazione omogenea y000 � 2y00 + y0 = 0 è y = A +B exp(x) + Cx exp(x). Quindi, la soluzione generale dell�equazione y000 � 2y00 +

100

y0 = 1 è y = x + A + B exp(x) + Cx exp(x). Imponendo y(0) = y0(0) = y00(0),si ottiene A = 2, B = �2, C = 1, quindi

y = x+ 2� 2 exp(x) + x exp(x):

4 - Trovare il polinomio di quarto grado nello sviluppo in serie di potenzedella soluzione dell�equazione del pendolo�

#00 + sin(#) = 0;#(0) = ��=2; #0(0) = 0:

#(0) = ��=2;#0(0) = 0;

#00 = � sin(#); #00(0) = 1;#000 = �#0 cos(#); #000(0) = 0;

#0000 = �#00 cos(#) +�#0�2sin(#); #0000(0) = 0;

# = ��=2 + t2=2 + :::


+1n=1


@tu(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1,

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0,u(0; x) = 1.

Discutere poi la convergenza semplice, uniforme ed assoluta della serie.


1 =+1Xn=1

�Z 1

0

p2 sin (n�y) dy

�p2 sin (n�x)

=+1Xn=1

2� 2 cos (n�)n�

sin (n�x) =+1Xk=0

4 sin ((2k + 1)�x)

(2k + 1)�:

101

Se u(t; x) =X+1


@

@tC(n; t) = ��2n2C(n; t);

C(n; 0) =2� 2 cos (n�)

n�;

C(n; t) =2� 2 cos (n�)

n�exp

��2n2t

�:

Quindi

u(t; x) =+1Xn=1

2� 2 cos (n�)n�

exp��2n2t

�sin (n�x)

=+1Xk=0

4

�(2k + 1)exp

��2(2k + 1)2t

�sin ((2k + 1)�x) :

La serie converge per ogni t � 0 e 0 � x � 1. Se t � " > 0 la convergenza èuniforme ed assoluta, se t = 0 la convergenza non è nè uniforme nè assoluta.


dx=

x� yx2 + y2

ed un gra�co qualitativo della soluzione per il punto (0;�1).

102



1 - Trovare il più piccolo ed il più grande cerchio con centro nell�origine checontiene ed è contenuto nella curva x4 + y4 + 2xy = 1.

�x4 + y4 + 2xy = 1;x2 + y2 = R2:

Si tratta di trovare il minimo e massimo della funzionepx2 + y2 con il

vincolo x4 + y4 + 2xy = 1. Invece della distanzapx2 + y2, si può considerare

il suo quadrato x2 + y2. I moltiplicatori di Lagrange danno il sistema

@

@x

�x2 + y2 + �

�x4 + y4 + 2xy � 1

��= 2x+ 2�

�2x3 + y

�= 0;

@

@y

�x2 + y2 + �

�x4 + y4 + 2xy � 1

��= 2y + 2�

�2y3 + x

�= 0;

@

@�

�x2 + y2 + �

�x4 + y4 + 2xy � 1

��= x4 + y4 + 2xy � 1 = 0:

Se queste tre derivate si annullano, si deve avere x 6= 0, y 6= 0, � 6= 0, edanche

�� = x

2x3 + y=

y

2y3 + x;

x4 + y4 + 2xy � 1 = 0:

Quindi,

2x3y � 2xy3 � x2 + y2 = (x+ y) (x� y) (2xy � 1) = 0;x4 + y4 + 2xy � 1 = 0:

Se 2xy = 1, allora x4+ y4 = 0, cioè x = y = 0. Restano le soluzioni x = �y.Se x = y, allora 2x4 + 2x2 � 1 = 0, cioè x = �

q�p3� 1

�=2. Se x = �y,

allora 2x4 � 2x2 � 1 = 0, cioè x = �q�p

3 + 1�=2. Le soluzioni con x = y =

�q�p

3� 1�=2 danno il raggio minimo e quelle con x = �y = �

q�p3 + 1

�=2

danno il raggio massimo,

raggio minimo =qp

3� 1, raggio massuimo =qp

3 + 1

103

2 - (B.Pascal 1658) Calcolare l�area ed il baricentro della regione di pianocompresa tra l�asse delle ascisse ed il primo arco della cicloide

�x = t� sin(t);y = 1� cos(t):

Calcolare poi il volume del solido ottenuto ruotando questa regione intornoall�asse delle ascisse.

Area: Z Z

dxdy = �Z@

ydx =

Z 2�

0

(1� cos(t))2 dt = 3�:

Ascissa baricentro: �. Ordinata baricentro:Z Z

ydxdyZ Z

dxdy

=

�Z@

�y2=2

�dx

�Z@

ydx

=

1=2

Z 2�

0

(1� cos(t))3 dtZ 2�

0

(1� cos(t))2 dt=5�=2

3�= 5=6:

Per il teorema di Pappo Guldino, il volume del solido di rotazione è ugualeall�area che ruota per la distanza percorsa dal baricentro, 3� � 2� � 5=6 = 5�2.

3 -Z Z

f(x=a)2+(y=b)2�1g

�(x=a)

2+ (y=b)

2�cdxdy. Determinare per quali

valori del parametro c esiste ed è �nito questo integrale generalizzato. Calcolarepoi il valore dell�integrale.

Con il cambio di variabili x = a� cos(#), y = b� sin(#), dxdy = ab�d�d#,Z Zf(x=a)2+(y=b)2�1g

�(x=a)

2+ (y=b)

2�cdxdy

=

Z 2�

0

Z 1

0

ab�2c+1d�d# = �ab=(c+ 1):

L�integrale esiste ed è �nito se e solo se c > �1.

4 -

8<: dy

dx=y

x�r1� y2

x2;

y(1) = 1=p2:

Risolvere e determinare il più grande intervallo in cui può essere de�nita unasoluzione.

104

L�equazione è omogenea. Posto z = y=x, si ha dy=dx = x+ xdz=dx, e(xdz

dx= �

p1� z2;

y(1) = 1=p2:Z z

1=p2

dzp1� z2

= �Z x

1

dx

x

arcsin(z)� �=4 = � log(x);y = x sin (�=4� log(x)) :

Questa è la soluzione quando è de�nito arcsin(z), cioè per ��=2 < �=4 �log(x) < �=2, cioè exp (��=4) < x < exp (3�=4). In questo intervallo lasoluzione è unica. Nel punto x = exp (��=4) si può proseguire lungo la curvay = x sin (�=4� log(x)), oppure lungo la retta y = x, anch�essa soluzione. Nelpunto x = exp (3�=4) si può proseguire lungo la curva y = x sin (�=4� log(x)),oppure lungo la retta y = �x, anch�essa soluzione.

5 - Trovare le soluzioni dell�equazione di¤erenziale y0000 + y00 = 1.

Una soluzione particolare è x2=2 e le soluzioni dell�equazione omogenea sonoA+Bx+ C cos(x) +D sin(x). Quindi, le soluzioni sono

y = x2=2 +A+Bx+ C cos(x) +D sin(x):


+1n=1


@t2u(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1,

u(0; x) = 0;@

@tu(0; x) = 1;

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0,

Discutere poi la convergenza semplice, uniforme ed assoluta della serie.

105


1 =+1Xn=1

�Z 1

0

p2 sin (n�y) dy

�p2 sin (n�x)

=+1Xn=1

2� 2 cos (n�)n�

sin (n�x) =+1Xk=0

4 sin ((2k + 1)�x)

(2k + 1)�:

Se u(t; x) =X+1


@2

@t2C(n; t) = ��2n2C(n; t),

C(n; 0) = 0;@

@tC(n; 0) =

2� 2 cos (n�)n�

;

C(n; t) =2� 2 cos (n�)

�2n2sin (�nt) :

Quindi

u(t; x) =+1Xn=1

2� 2 cos (n�)�2n2

sin (�nt) sin (n�x)

=+1Xk=0

4

�2(2k + 1)2sin (�(2k + 1)t) sin ((2k + 1)�x) :

La serie è dominata daX+1

n=11=n2, quindi la convergenza è uniforme ed

assoluta in �1 < t; x < +1.

106



1 - Determinare le simmetrie, i massimi relativi ed assoluti ed i punti di selladella funzione

F (x; y) = x4 + y4 � x2 � y2:

La funzione è simmetrica e pari rispetto alle variabili x ed y, quindi è suf-�ciente studiarla nel settore 0 � y � x. Inoltre x4 + y4 � x2 � y2 ! +1 se(x; y)!1, quindi non ci sono massimi assoluti, ma ci sono minimi assoluti.

@

@x

�x4 + y4 � x2 � y2

�= 4x3 � 2x;

@

@y

�x4 + y4 � x2 � y2

�= 4y3 � 2y;

@2

@x2�x4 + y4 � x2 � y2

�= 12x2 � 2;

@2

@y2�x4 + y4 � x2 � y2

�= 12y2 � 2;

@2

@x@y

�x4 + y4 � x2 � y2

�= 0:

4x3 � 2x = 0 se e solo se x = 0;�1=p2 e 4y3 � 2y = 0 se e solo se y =

0;�1=p2. Nel settore 0 � y � x i punti stazionari sono (0; 0),

�1=p2; 0�,�

1=p2; 1=

p2�. In (0; 0) la matrice hessiana

��2 00 �2

�è de�nita negativa ed

il punto è un massimo relativo. In�1=p2; 0�la matrice hessiana

�4 00 �2

�non è de�nita ed il punto è una sella. Quindi il punto

�1=p2; 1=

p2�deve essere

il minimo assoluto. Infatti, in�1=p2; 1=

p2�la matrice hessiana

�4 00 4

�è

de�nita positiva.

2 - Disegnare e calcolare il baricentro della regione

f0 < x; y < 2; y < 1=xg :

107

Per simmetria, l�ascissa e l�ordinata sono uguali. Calcoliamo l�ascissa.Z Zf0<x;y<2; y<1=xg

xdxdyZ Zf0<x;y<2; y<1=xg

dxdy

=

Z 1=2

0

xdx

Z 2

0

dy +

Z 2

1=2

x

Z 1=x

0

dy

!dx

Z 1=2

0

dx

Z 2

0

dy +

Z 2

1=2

Z 1=x

0

dy

!dx

=1=4 + 3=2

1 + 2 log(2)=

7

4 (1 + 2 log(2))= 0; 733:::

3 - Calcolare il volume sopra il paraboloide z = x2 + 2y2 e sotto il pianoz = 1.

8<:x = � cos(#);y = 2�1=2� sin(#);z = z;

dxdydz = 2�1=2�d�d#dz;

�x2 + 2y2 < z < 1

=��2 < z < 1; 0 < � < 1; 0 < # < 2�

;Z Z Z

fx2+2y2<z<1gdxdydz = 2�1=2

Z 2�

0

�Z 1

0

�Z 1

�2dz

��d�

�d# = �=

�2p2�:

4 - Calcolare lo sviluppo in serie di Fourier rispetto al sistema ortonor-male

�1;p2 cos (�nx)

+1n=1

della funzione sin(�x) nell�intervallo 0 � x � 1.Determinare poi se la serie converge, se converge uniformemente, se convergeassolutamente.

sin(�x) =

Z 1

0

sin(�y)dy +

+1Xn=1

�2

Z 1

0

sin(�y) cos (�ny) dy

�cos (�nx)

=2

��+1Xn=1

2 + 2 cos(�n)

� (n2 � 1) cos (�nx) =2

�� 4

�

+1Xm=1

cos (2�mx)

4m2 � 1 :

La serie converge assolutamente ed uniformemente per ogni x.

5 -�2x2y00 � xy0 + y = 0;y(1) = 1; y0(1) = 0:

Si suggerisce di cercare soluzioni della forma

y = x�.

L�equazione è omogenea e le soluzioni della forma y = x� sono tali che2�(� � 1) � � + 1 = 0. Quindi y = A

px + Bx, ed imponendo le condizioni

iniziali si ottiene y = 2px� x.

6 - (Zenone di Elea V secolo a.C., P.Bouguer 1732) Il piè veloce AchilleA(t) = (x(t); y(t)) partendo al tempo t = 0 dal punto (1; 0) rincorre la Tar-taruga B(t) = (0; t) che si muove di moto rettilineo uniforme lungo l�asse delle

108

ordinate. Achille ad ogni istante punta verso la Tartaruga con velocità doppiadella Tartaruga. Trovare ed eventualmente risolvere l�equazione di¤erenziale chedescrive la corsa di Achille.

y = (1=3)x3=2 � x1=2 + 2=3

8<:d

dtA(t) = 2

B(t)�A(t)jB(t)�A(t)j ;

A(0) = (1; 0) :8>>>><>>>>:dx

dt=

�2xq(�x)2 + (t� y)2

;

dy

dt=

2 (t� y)q(�x)2 + (t� y)2

;

�x(0) = 1;y(0) = 0:

Per eliminare t basta osservare che il cammino percorso da A(t) è doppio deltempo t,

t = 1=2

Z 1

x

q1 + (dy=dx)

2dx:

Attenzione ai segni! Quindi,

dy=dx = (y � t) =x;

xdy=dx = y + 1=2

Z x

1

q1 + (dy=dx)

2dx;

xd2y=dx2 = 1=2

q1 + (dy=dx)

2;

y(1) = 0; dy(1)=dx = 0:

Posto dy=dx = z, si ha 8<:dz=dxp1 + z2

= �1=2x;

z(1) = 0;

z = sinh (1=2 log(x)) = 1=2�px� 1=

px�:

In�ne,

y = 1=2

Z x

1

�x1=2 � x�1=2

�dx = (1=3)x3=2 � x1=2 + 2=3:

109



1 - Calcolare l�area racchiusa dalla cardioide

8<: x = 2 cos(t)� cos(2t);y = 2 sin(t)� sin(2t);

0 � t < 2�:

Z Z

dxdy =1

2

Z@

(xdy � ydx) =Z 2�

0

((2 cos(t)� cos(2t)) (cos(t)� cos(2t)) + (2 sin(t)� sin(2t)) (sin(t)� sin(2t))) dt

=

Z 2�

0

(3� 3 cos(t)) dt = 6�:

2 - Se si scelgono due punti a caso 0 < x; y < 1, qual�è il valor medio ovalore atteso delle loro distanze?

Z Zf0<x;y<1g

jx� yj dxdy = 2Z Z

f0<y<x<1g(x� y) dxdy

= 2

Z 1

0

�Z x

0

(x� y) dy�dx = 2

Z 1

0

�x2 � x2=2

�dx = 1=3:

3 - Determinare le simmetrie e calcolare i massimi e minimi relativi edassoluti della funzione xy exp

��x2 + y2 + z2

�=2�.

La funzione è pari rispetto alla variabile z e dispari rispetto alle variabili x ey. I massimi in un ottante diventano minimi in un altro e viceversa. La funzionetende a zero all�in�nito, quindi i massimi e minimi esistono sicuramente.

@

@x

�xy exp

��x2 + y2 + z2

�=2��= y

�1� x2

�exp

��x2 + y2 + z2

�=2�;

@

@y

�xy exp

��x2 + y2 + z2

�=2��= x

�1� y2

�exp

��x2 + y2 + z2

�=2�;

@

@z

�xy exp

��x2 + y2 + z2

�=2��= xyz2 exp

��x2 + y2 + z2

�=2�:

110

Il gradiente si annulla in (0; 0; z) e in (�1;�1; 0). In ogni intorno dei punti(0; 0; z) la funzione cambia di segno, questi punti non sono estremi. I punti� (1; 1; 0) sono massimi, i punti � (1;�1; 0) sono minimi.

4 -�dy=dx = x2 + 2y=x;y(1) = 0:

y (x) = x3 � x2:

5 -�y0000 + y00 = xy(0) = y0(0) = y00(0) = y000(0) = 0

y = x3=6� x+ sin(x):

6 - Determinare l�insiemeX di convergenza ed il limite f(x) della successione

fn(x) =exp (�nx)

x. Stabilire se su tale insieme la convergenza è uniforme e se

ZX\f0<x<1g

�lim

n!+1fn(x)

�dx = lim

n!+1

(ZX\f0<x<1g

fn(x)dx

);

ZX\fx>1g

�lim

n!+1fn(x)

�dx = lim

n!+1

(ZX\fx>1g

fn(x)dx

):

Per ogni x > 0 il limite è 0. La convergenza è uniforme in ogni intervallo" < x < +1 per ogni " > 0, ma non è uniforme in 0 < x < +1. In x = 0 lefunzioni non sono de�nite e in x < 0 la successione diverge a �1. Le funzioninon sono integrabili su 0 < x < 1,Z 1

0

�lim

n!+1

exp (�nx)x

�dx = 0; lim

n!+1

�Z 1

0

exp (�nx)x

dx

�= +1:

In�ne si haZ +1

1

exp (�nx)x

dx <

Z +1

1

exp (�nx) dx = exp (�n)n

:

Quindi,

limn!+1

�Z +1

1

exp (�nx)x

dx

�= 0 =

Z +1

1

limn!+1

�exp (�nx)

x

�dx:

111



1 - Calcolare l�area di un anello di lemniscata di Bernoulli

�x2 + y2

�2= x2 � y2;

�2 = cos(2#):

L�anello di lemniscata ha equazione � �qcos2(#)� sin2(#) con ��=4 �

# � �=4, quindi l�area è

Z �=4

��=4

Z pcos2(#)�sin2(#)0

�d�d# =

Z �=4

��=4

cos2(#)� sin2(#)2

d# = 1=2:

Ricalcoliamo l�area utilizzando la formula di Gauss-GreenZ Z

dxdy =

Z@

xdy:

Z �=4

��=4xdy =

Z �=4

��=4

�pcos(2#) cos(#)

� 4 cos3(#)� 3 cos(#)pcos(2#)

!d#

=

Z �=4

��=4

�4 cos4(#)� 3 cos2(#)

�d# = 1=2:

2 - Scrivere l�integrale che de�nisce la lunghezza della lemniscata di equazionein coordinate polari �2 = cos(2#).

2

Z �=4

��=4

qd�2 + �2d#2 = 2

Z �=4

��=4

vuut � sin(2#)pcos(2#)

!2+ cos(2#)d#

= 2

Z �=4

��=4

d#pcos(2#)

=

Z �=2

��=2

d'pcos(')

= 5; 244:::

3 - Calcolare i massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione xyz2 sullasfera x2 + y2 + z2 = 1.

Applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, de�niamo

112

F [x; y; z; �] = xyz2 + ��x2 + y2 + z2 � 1

�:

@

@xF [x; y; z; �] = yz2 + 2�x;

@

@yF [x; y; z; �] = xz2 + 2�y;

@

@zF [x; y; z; �] = 2xyz + 2�z;

@

@�F [x; y; z; �] = x2 + y2 + z2 � 1:

Per determinare i massimi e minimi assoluti si può assumere x 6= 0, y 6= 0,z 6= 0, altrimenti xyz2 = 0, che non è un massimo o minimo assoluto. Quindi,azzerando le derivate si ottiene8>><>>:

yz2 + 2�x = 0;xz2 + 2�y = 0;2xyz + 2�z = 0x2 + y2 + z2 � 1 = 0:

8>><>>:� = �yz2=2x;� = �xz2=2y;� = �xy;x2 + y2 + z2 = 1:8<: xy = yz2=2x;

xy = xz2=2y;x2 + y2 + z2 = 1:

8<: x2 = z2=2;y2 = z2=2;2z2 = 1:

8<:x = �1=2;y = �1=2;z = �1=

p2:

Quando il prodotto dei segni di x e y è positivo si ha un massimo e quandoil prodotto dei segni è negativo si ha un minimo. In�ne, se z = 0 si ottengonoi punti x2 + y2 = 1. I punti nel primo e terzo quadrante xy > 0 sono minimi.I punti nel secondo e quarto quadrante xy < 0 sono massimi. I punti xy = 0sono selle.

4 -Z Z

fx>0; y>0; x+y<1g

dxdy

(Ax+By + C)3 =

113

Z Zfx>0; y>0; x+y<1g

dxdy

(Ax+By + C)3

=

Z 1

0

Z 1�y

0

dx

(Ax+By + C)3

!dy

=

Z 1

0

0@ �12A (Ax+By + C)

2

��1�y

0

1A dy=

Z 1

0

dy

2A (By + C)2 �

Z 1

0

dy

2A ((B �A) y + C +A)2

=�1

2AB (By + C)

��10

+1

2A (B �A) ((B �A) y + C +A)

��10

=1

2ABC� 1

2AB (B + C)+

1

2A (B �A) (B + C) �1

2A (B �A) (C +A)

=1

2C (C +A) (C +B):

5 -�y0 = 2xy � y2;y(0) = 1:

Giusti�care a priori, senza risolvere esplicitamente

l�equazione, che la soluzione è de�nita in un intervallo �a < x < +1 e calco-lare limx!+1 y. Scrivere poi la formula della soluzione e veri�care a posterioriquanto detto sopra.

È immediato veri�care che la curva y = 0 è una soluzione dell�equazioney0 = 2xy�y2 e sono veri�cate le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità dellesoluzioni di problemi di Cauchy. Per x positivo la soluzione y non può andare a�1, perché non può intersecare la soluzione y = 0. Similmente, per x positivoe limitato la soluzione y non può andare a +1, perché per x piccolo e y grandey0 = 2xy � y2 < 0. Quindi la soluzione è de�nita su un intervallo che contienel�intervallo 0 � x < +1. Per calcolare limx!+1 y, basta osservare il segno diy0 = y (2x� y). Il limite non può essere �nito, quindi limx!+1 y = +1.L�equazione è di Bernoulli, �y�2y0 = 1� 2xy�1. Con il cambio di variabile

y�1 = z si ottiene �z0 = 1� 2xz;z(0) = 1;

z = exp��x2

��1 +

Z x

0

exp�t2�dt

�;

y = exp�x2��1 +

Z x

0

exp�t2�dt

��1.

La soluzione è de�nita in�a < x < +1, conZ a

0

exp�t2�dt = 1, a = 0; 795:::

114

In�ne,

limx!+1

exp�x2�

1 +

Z x

0

exp (t2) dt

= limx!+1

2x exp�x2�

exp (x2)= +1:

6 -�y00 + y = sin(x);y(0) = y0(0) = 0:

y (x) =sin(x)� x cos(x)

2:

115


Analisi Matematica 2 - Dicembre 2009

1- Calcolare i massimi e minimi relativi ed assoluti della funzione(z � 1)

�z � x2 � 2y2

�.

Poiché lim(x;y)!1�(z � 1)

�z � x2 � 2y2

��= �1, a seconda del segno di

z � 1, non ci sono massimi e minimi assoluti. Poiché (z � 1)�z � x2 � 2y2

�= 0

sul piano fz = 1g e sul paraboloide�z = x2 + 2y2

, c�è un minimo relativo in�

x2 + 2y2 < z < 1.

@

@x

�(z � 1)

�z � x2 � 2y2

��= �2x (z � 1) ;

@

@y

�(z � 1)

�z � x2 � 2y2

��= �4y (z � 1) ;

@

@z

�(z � 1)

�z � x2 � 2y2

��= �1 + 2z � x2 � 2y2:

I punti con @=@x = @=@y = @=@z = 0 sono (0; 0; 1=2), un minimo relativo,e quelli sull�ellisse

�x2 + 2y2 = 1; z = 1

, dove la funzione cambia di segno,

quindi questi punti non sono massimi o minimi. In ogni caso, calcoliamo lamatrice delle derivate seconde.24 �2 (z � 1) 0 �2x

0 �4 (z � 1) �4y�2x �4y 2

35 :In (0; 0; 1=2) la matrice è de�nita positiva,24 1 0 0

0 2 00 0 2

35 :Nei punti sull�ellisse

�x2 + 2y2 = 1; z = 1

la matrice non è de�nita,24 0 0 �2x

0 0 �4y�2x �4y 2

35 :Gli autovalori sono 0, 1 +

p1 + 4x2 + 16y2, 1�

p1 + 4x2 + 16y2.

2- Calcolare i massimi e minimi della funzione y + z2 sulla super�ciex2 + 4y2 + 9z2 = 1.

116

La funzione y + z2 è continua e l�ellissoide x2 + 4y2 + 9z2 = 1 è compatto.Quindi ci sono massimi e minimi. Inoltre c�è simmetria della funzione e delvincolo rispetto a z.

@

@x

�y + z2 + t

�x2 + 4y2 + 9z2 � 1

��= 2tx;

@

@y

�y + z2 + t

�x2 + 4y2 + 9z2 � 1

��= 1 + 8ty;

@

@z

�y + z2 + t

�x2 + 4y2 + 9z2 � 1

��= 2z + 18tz;

@

@t

�y + z2 + t

�x2 + 4y2 + 9z2 � 1

��= x2 + 4y2 + 9z2 � 1:

Da @=@x = 0 si ricava quindi t = 0 o x = 0, ma se @=@y = 0 allora t 6= 0.Da @=@z = 0 si ricava t = �1=9 oppure z = 0. Se t = �1=9, da @=@y = 0 siricava y = 9=8, che è incompatibile con @=@t = 0. Se x = z = 0, da @=@t = 0si ricava y = �1=2. Quindi i punti critici sono (0;�1=2; 0). In (0; 1=2; 0) lafunzione y + z2 vale 1=2 e in (0;�1=2; 0) la funzione y + z2 vale �1=2. Il punto(0; 1=2; 0) è il massimo e (0;�1=2; 0) è il minimo.

3- Calcolare il vettore normale ed il piano tangente nel punto (1; 0; 1) allasuper�cie 8<: x = u cos(v);

y = u2 sin(v);z = u3;

Il piano tangente in (u; v) = (a; b) è8<: x = a cos(b) + cos(b) (u� a)� a sin(b) (v � b) ;y = a2 sin(b) + 2a sin(b) (u� a) + a2 cos(b) (v � b) ;z = a3 + 3a2 (u� a) :

Se (x; y; z) = (1; 0; 1), allora (u; v) = (1; 2k�). In particolare, siccome lafunzione è 2� periodica nella variabile v, si può assumere k = 0. Quindi il pianotangente nel punto (1; 0; 1) è 8<: x = u;

y = v;z = 3u� 2:

L�equazione del piano è quindi 3x�z = 2. Il vettore normale è proporzionalea (3; 0;�1).

4- Disegnare la regione�x2 + y2 � z2; 0 � z � 1

.

Calcolare il momento d�inerzia intorno all�asse delle z.

117

Z Z Zfx2+y2�z2; 0�z�1g

�x2 + y2

�dxdydz

=

Z 1

0

�Z 2�

0

�Z z

0

�3d�

�d#

�dz = �=10:

5- Disegnare la curva � = cos (3#) e calcolare l�area interna ed il perimetro.

� = cos (3#) :

In un petalo ��=6 � # � �=6 e l�area interna al petalo èZ Z

dxdy =

Z �=6

��=6

Z cos(3#)

0

�d�d#

=1

2

Z �=6

��=6cos2(3#)d# =

1

6

Z �=2

��=2cos2(')d' = �=12 = 0; 261:::

Il perimetro di un petalo è un integrale ellittico,Z@

pdx2 + dy2 =

Z@

qd�2 + �2d#2

=

Z �=6

��=6

q9 sin2(3#) + cos2(3#)d# = 2

Z �=2

0

r1� 8

9cos2(')d' = 2; 227:::

6- Calcolare l�area della super�cie�x2 + 4y2 + 4z2 = 1

.

È un ellissoide di equazione x = �p1� 4y2 � 4z2 e l�area di metà super�cie

118

è Z Zfy2+z2�1=4g

vuut1 + �4yp1� 4y2 � 4z2

!2+

�4zp

1� 4y2 � 4z2

!2dydz

=

Z Zfy2+z2�1=4g

s1 + 12y2 + 12z2

1� 4y2 � 4z2 dydz

=

Z 2�

0

Z 1=2

0

s1 + 12�2

1� 4�2 �d�d#

=�

4

Z 1

0

r1 + 3t

1� t dt:

Con la sostituzione1 + 3t

1� t = s2, si ha t =

s2 � 1s2 + 3

e dt =8s

(s2 + 4)2 ds. Quindi

�

4

Z 1

0

r1 + 3t

1� t dt = 2�Z +1

1

s2

(s2 + 3)2 ds

= 2�

Z +1

1

1

3 + s2� 3

(3 + s2)2

!ds

=2�p3

Z +1

1=p3

1

1 + r2� 1

(1 + r2)2

!dr

=�p3

�arctan(r)� r

1 + r2

��+11=p3

=�2

2p3� �p

3arctan(1=

p3)� �p

3

1=p3

1 +�1=p3�2

=p3�2=9 + �=4:

L�area dell�ellissoide è doppia, 2p3�2=9 + �=2.

7-

8<:dy

dx=x� y cos(x)sin(x)� y ;

y(0) = 1:Trovare la soluzione e determinare l�intervallo su cui risulta de�nita.

La forma di¤erenziale (x� y cos(x)) dx� (sin(x)� y) dy è esatta. Un poten-ziale è Z

(x� y cos(x)) dx� (sin(x)� y) dy = x2=2� y sin(x) + y2=2:

Le soluzioni dell�equazione di¤erenziale sono x2 � 2y sin(x) + y2 = C. Lasoluzione per il punto (0; 1) è x2 � 2y sin(x) + y2 = 1. Esplicitamente,

y = sinx+

qsin2(x)� x2 + 1:

119

La soluzione è de�nita in �� < x < �, con � la radice positiva dell�equazionesin2(x)�x2+1 = 0. Questa radice è tra 1 e 3=2, più precisamente � = 1; 404:::

8-

8><>:d2y

dx2+dy

dx� 2y = x;

y(0) =dy

dx(0) = 0:

Una soluzione particolare è �x=2�1=4 e la soluzione generale dell�equazioneomogenea y00+ y0� 2y = 0 è A exp(x)+B exp(�2x). La soluzione del problemadi Cauchy è

y = �14� x2+exp(x)

3� exp(�2x)

12:

120



1 - Se F =�1; 1; z3

�e S =

�x2 + y2 + z2 = 1

, il �usso del campo vettoriale

F attraverso la super�cie S èZ ZS

F �N dA =

Z Z Zfx2+y2+z2<1g

3z2dxdydz

= 3

�Z 2�

0

d'

��Z �

0

cos2 (#) sin (#) d#

��Z 1

0

�4d�

�=4

5�:

2 - a) Per quali x converge la serie A = 1 + x+ x4 + x9 + x16 + x25 + :::?b) Per quali x converge la serie B = 1 + 4x3 + 9x8 + 16x15 + 25x24 + :::?c) Le serie A e B convergono uniformemente in jxj < 1=2? E in jxj < 1?

Le serie A e B convergono per jxj < 1 e la convergenza è uniforme in jxj <1�" < 1. Per veri�care che la convergenza non è uniforme in jxj < 1 è su¢ cienteosservare che i termini della serie non tendono uniformemente a zero.

3 - Risolvere l�equazione di¤erenziale

8<: d3y

dx3+dy

dx= 1

y(0) = 0; y0(0) = 1; y00(0) = 2:

L�equazione caratteristica associata è �3 + � = 0, con soluzioni � = 0;�i,quindi le soluzioni dell�equazione omogenea sono A+B cos(x) + C sin(x). Unasoluzione particolare dell�equazione non omogenea è x. Quindi le soluzionidell�equazione sono

y = x+A+B cos(x) + C sin(x)

In�ne, da y(0) = A+B, y0(0) = C, y00(0) = 1�B, si ricava A = 1, B = �1,C = 1,

y = x+ 2� 2 cos(x):


+1n=1


@t2u(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se �1 < t < +1 e 0 < x < 1,

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se �1 < t < +1,u(0; x) = 0 e

@

@tu(0; x) = 1.


121

u(t; x) =+1Xn=1

�2

�n

Z 1

0

sin (n�y) dy

�sin (n�t) sin (n�x)

=+1Xn=1

�2 (1� cos (n�))

�2n2

�sin (n�t) sin (n�x)

=4

�2

+1Xk=1

sin ((2k + 1)�t) sin ((2k + 1)�x)

(2k + 1)2 :


5 - Trovare la funzione y = y(x) che passa per il punto (0; 1) e tale che inogni punto (x; y) l�area del triangolo formato dall�ordinata, dalla sottotangente,e dalla tangente, è 1.

L�ordinata è y, la sottotangente è y=�y, l�area del triangolo ordinata sottotan-

gente tangente è y2=�2�y�. Quindi la curva è soluzione del problema di Cauchy�

y2= (2dy=dx) = 1;y(0) = 1:

L�equazione è a variabili separabili,Zy�2dy =

Zdx=2;

�y�1 = x=2 + c;y = 2= (c� x) :

Se y(0) = 1 allora c = 2, quindi la soluzione è l�iperbole y = 2= (2� x).

6 - Tracciare il campo di direzioni associato all�equazione di¤erenziale dy=dx =x=�x2 � y2

�ed un gra�co qualitativo della soluzione per il punto (0; 1). Deter-

minare in�ne il dominio di de�nizione della soluzione per (0; 1).

122

dy=dx = 0 se e solo se x = 0 e dy=dx = �1 se e solo se x = �y. La soluzioneper (0; 1) è de�nita in un intervallo �� < x < +� con 0 < � < 1.

123



1 - Calcolare l�area contenutanell�ipocicloide con tre cuspidi�

x = 2 cos (#) + cos (2#) ;y = 2 sin (#)� sin (2#) :

Z Z

dxdy =1

2

Z 2�

0

(xdy � ydx)

=1

2

Z 2�

0

(2 cos (#) + cos (2#)) (2 cos (#)� 2 cos (2#))� (2 sin (#)� sin (2#)) (�2 sin (#)� 2 sin (2#)) d#

=

Z 2�

0

(1 + 3 cos (#)� 4 cos (2#)) d# = 2�

2 - Calcolare il volume dell�ellissoidein 4 dimensioni con semiassi a, b, c, d,��xa

�2+�yb

�2+�zc

�2+�wd

�2� 1�:

Z Z Z Zf(x=a)2+(y=b)2+(z=c)2+(w=d)2�1g

dxdydzdw

= abcd

Z Z Z Zfx2+y2+z2+w2�1g

dxdydzdw

= abcd

Z +1

�1

Z Z Zfx2+y2+z2�1�w2g

dxdydz

!dw

= abcd

Z +1

�1

�4

3��1� w2

�3=2�dw =

�2

2abcd:

3 - Calcolare i massimi e minimi della funzione xy + z2 sull�ellissoide x2 +4y2 + z2 = 1.

124

@

@x

��xy + z2

�+ t�x2 + 4y2 + z2 � 1

��= y + 2tx;

@

@x

��xy + z2

�+ t�x2 + 4y2 + z2 � 1

��= x+ 8ty;

@

@x

��xy + z2

�+ t�x2 + 4y2 + z2 � 1

��= 2z + 2tz;

@

@t

��xy + z2

�+ t�x2 + 4y2 + z2 � 1

��= x2 + 4y2 + z2 � 1;

8>><>>:y + 2tx = 0;x+ 8ty = 0;2z + 2tz = 0;x2 + 4y2 + z2 � 1 = 0:

Dalla terza equazione si ricava z = 0 oppure t = �1. Se z = 0 allora x 6= 0e y 6= 0 e 8>><>>:

y=2x = �t;x=8y = �t;x2 + 4y2 = �1;z = 0;

8<: x2 = 4y2

x2 + 4y2 = 1z = 0;

8<: x = �1=p2

y = �1=p8;

z = 0:

Se t = �1, 8<: y = 2x;x = 8y;x2 + 4y2 + z2 � 1 = 0;

8<: x = 0;y = 0;z = �1:

La funzione xy + z2 in (0; 0;�1) vale 1 e in��1=

p2;�1=

p8; 0�vale �1=4.

Il massimo assoluto è in (0; 0;�1) ed il minimo assoluto in ��1=p2;�1=

p8; 0�.

4 - Risolvere e determinare in quale intervalloè de�nita la soluzione dell�equazione

8<:dy

dx=�1� 2xy22x2y + 4y3

;

y(0) = �1:

L�equazione�1 + 2xy2

�dx+

�2x2y + 4y3

�dy è a variabili separabili. le soluzioni

sono de�nite implicitamente dall�equazione x + x2y2 + y4 = C. Se y(0) = 1 siha x+ x2y2 + y4 = 1. Esplicitamente,

y = �

s�x2 +

px4 � 4x+ 42

:

La soluzione è de�nita quandopx4 � 4x+ 4 � x2, cioè �1 < x � 1.

125


+1n=1


@tu(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se 0 < t < +1 e 0 < x < 1,

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se 0 < t < +1,u(0; x) = sin3 (�x) .

u(t; x) =+1Xn=1

�2

Z 1

0

sin3 (�y) sin (n�y) dy

�exp

��2n2t

�sin (n�x)

=3

4exp

��2t

�sin (�x)� 1

4exp

��9�2t

�sin (3�x) :

Si può calcolare lo sviluppo in serie di Fourier di sin3 (�x) senza calcolareun integrale.

sin3 (�x) =

�exp (i�x)� exp (�i�x)

2i

�3=3

4

�exp (i�x)� exp (�i�x)

2i

�� 34

�exp (3i�x)� exp (�3i�x)

2i

�=3

4sin (�x)� 1

4sin (3�x) :

6 - Un corpo di massa 1 si muove in un campo diforze (y;�1) . Al tempo t = 0 il corpo parte da (0; 0)con velocità (�; �) ed al tempo t = 1 raggiunge ilpunto (1; 1) . Qual�è la velocità iniziale (�; �) ?

Dall�equazione del moto forza = massa� accelerazione,( ��x = y;��y = �1;

(x(0) = 0;

�x(0) = �;

y(0) = 0;�y(0) = �:

Si può trovare prima y e poi x.( ��y = �1;y(0) = 0;

�y(0) = �:

y = �t2=2 + �t:( ��x = �t2=2 + �t;x(0) = 0;

�x(0) = �:

x = �t4=24 + �t3=6 + �t:

126

Se al tempo t = 1 si ha (x; y) = (1; 1), allora � = 3=2 e � = 19=24.

127



1) Calcolare il piano tangente alla super�cie w = xyz nel punto (1; 2; 3; 6).

w = 6 + 6 (x� 1) + 3 (y � 2) + 2 (z � 3) ;6x+ 3y + 2z � w = 12:

2) Calcolare i massimi e minimi relativi della funzione xy + z sulla sferax2 + y2 + z2 = 1.

Il problema è simmetrico rispetto alle variabili x e y. Applicando il metododei moltiplicatori di Lagrange, de�niamo

F [x; y; z; �] = xy + z + ��x2 + y2 + z2 � 1

�:

@

@xF [x; y; z; �] = y + 2�x;

@

@yF [x; y; z; �] = x+ 2�y;

@

@zF [x; y; z; �] = 1 + 2�z;

@

@�F [x; y; z; �] = x2 + y2 + z2 � 1:

L�equazione @F=@z = 0 implica z 6= 0 e 2� = �1=z. Le altre equazioniimplicano8<: y � x=z = 0;

x� y=z = 0;x2 + y2 + z2 = 1;

8<: xyz = x2;xyz = y2;x2 + y2 + z2 = 1;

xyz = x2 = y2 =�1� z2

�=2;

Se y = �x si ottiene z = �1. Quindi le soluzioni sono x = y = 0 e z = �1,(0; 0; 1) è il massimo e (0; 0;�1) il minimo.

3 - Calcolare il volume dell�ellissoide in 4 dimensioni con semiassi a, b, c, d,��xa

�2+�yb

�2+�zc

�2+�wd

�2� 1�:

128

Z Z Z Zf(x=a)2+(y=b)2+(z=c)2+(w=d)2�1g

dxdydzdw

= abcd

Z Z Z Zfx2+y2+z2+w2�1g

dxdydzdw

= abcd

Z +1

�1

Z Z Zfx2+y2+z2�1�w2g

dxdydz

!dw

= abcd

Z +1

�1

�4

3��1� w2

�3=2�dw =

�2

2abcd:

4 - Trovare il potenziale, se esiste, della forza�y; x2

�. Poi calcolare il lavoro

di questa forza lungo l�ellisse (x=a)2 + (y=b)2 = 1 percorsa in senso antiorario.

Si ha @y=@y 6= @x2=@x, quindi non c�è il potenziale.

Parametrizzando l�ellisse�x = a cos(#)y = b sin(#)

:

Zf(x=a)2+(y=b)2=1g

ydx+ x2dy

= �abZ 2�

0

sin2(#)d#+ a2b

Z 2�

0

cos3(#)d# = ��ab:

Oppure, applicando Gauss-Green:Zf(x=a)2+(y=b)2=1g

ydx+ x2dy =

Z Zf(x=a)2+(y=b)2�1g

(�1 + 2x) dxdy = ��ab:

5 -�d3y=dx3 + dy=dx = 1;y(0) = 1; y0(0) = 0; y00(0) = 0:

La soluzione generale dell�equazione di¤erenziale è

x+A+B cos(x) + C sin(x):

Se y(0) = 1, y0(0) = 0, y00(0) = 0, allora A+B = 1, C = �1, B = 0. Quindi

y(x) = x+ 1� sin(x):


+1n=1

della soluzione dell�equazione del calore8>>><>>>:@

@tu(t; x) =

@2

@x2u(t; x) se t > 0 e 0 < x < 1,

u(t; 0) = u(t; 1) = 0 se t > 0,

u(0; x) =

�x se 0 � x � 1=2,

1� x se 1=2 � x � 1.

129


u(t; x) =+1Xn=1

�2

Z 1

0

u(0; y) sin (n�y) dy

�exp

��2n2t

�sin (n�x)

=+1Xn=1

"2

Z 1=2

0

y sin (n�y) dy + 2

Z 1

1=2

(1� y) sin (n�y) dy#exp

��2n2t

�sin (n�x)

=+1Xn=1

4 sin (n�=2)

n2�2exp

��2n2t

�sin (n�x) :

La serie converge uniformemente ed assolutamente in �1 < x < +1 et � 0.

130



1 - Determinare il vettore normale ed il piano tangente nel punto (1; 2; 3)alla super�cie x2 � y4 + z2 + 6 = 0.

Il vettore normale è proporzionale al gradiente

(@=@x; @=@y; @=@z)�x2 � y4 + z2 + 6

�=�2x;�4y3; 2z

�:

Nel punto (1; 2; 3) la tangente è (2;�32; 6) =p1064 e il piano tangente è

2 (x� 1)� 32 (y � 2) + 6 (z � 3) = 0;x� 16y + 3z + 22 = 0:

2 - Determinare le simmetrie, i massimi relativi ed assoluti ed i punti di selladella funzione

F (x; y; z) =x2 + y2 + z2

2� x

4 + y4 + z4

4:

La funzione è simmetrica e pari rispetto alle variabili x, y, z, quindi è suf-�ciente studiarla nel settore 0 � z � y � x. Inoltre F (x; y; z) ! �1 se(x; y; z)!1, quindi non ci sono minimi assoluti, ma ci sono massimi assoluti.266664

@

@x@

@y@

@z

377775 =24 x� x3y � y3z � z3

35 =24 �x (x� 1) (x+ 1)�y (y � 1) (y + 1)�z (z � 1) (z + 1)

35 ;

26666664@2

@x2@2

@x@y

@2

@x@z@2

@y@x

@2

@y2@2

@y@z@2

@z@x

@2

@z@y

@2

@z2

37777775 =24 1� 3x2 0 00 1� 3x2 00 0 1� 3x2

35 :

Nel settore 0 � z � y � x il gradiente si annulla in (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1),(1; 1; 1). In (0; 0; 0) la matrice delle derivate seconde ha autovalori f1; 1; 1g,quindi l�origine è un minimo relativo. In (0; 0; 1) e (0; 1; 1) gli autovalori sonof1; 1;�2g e f1;�2;�2g, in questi punti c�è una sella. In (1; 1; 1) gli autovalorisono f�2;�2;�2g, questo punto è un massimo assoluto.

3 - Trovare il baricentro del tetraedro fx; y; z > 0; x+ y + z < 1g.

131

Per simmetria basta calcolare solo l�ascissa.

Z Z Zfx;y;z>0; x+y+z<1g

xdxdydzZ Z Zfx;y;z>0; x+y+z<1g

dxdydz

=

Z 1

0

�Z 1�x

0

�Z 1�x�y

0

dz

�dy

�xdxZ 1

0

�Z 1�x

0

�Z 1�x�y

0

dz

�dy

�dx

=1=24

1=6= 1=4:

Il baricentro del tetraedro è (1=4; 1=4; 1=4).

4 - Trovare le soluzioni dell�equazione di¤erenziale x2y00 � 2xy0 + y = 1.Si suggerisce di cercare le soluzioni dell�equazione omogenea della forma

y = x�.

Sostituendo y = x� nell�equazione si ottiene (� (�� 1)� 2�+ 1)x� = 0, dacui si ricava � =

�3�

p5�=2.

y = 1 +Ax3�

p5

2 +Bx3+

p5

2 :

5 - Un corpo di massa 1 si muove in un campo di forze (y;�1). Al tempot = 0 il corpo parte da (0; 0) con velocità (�; �) ed al tempo t = 1 raggiunge ilpunto (1; 1). Qual�è la velocità iniziale (�; �)?

Dall�equazione del moto forza = massa� accelerazione,( ��x = y;��y = �1;

(x(0) = 0;

�x(0) = �;

y(0) = 0;�y(0) = �:

Si può trovare prima y e poi x.( ��y = �1;y(0) = 0;

�y(0) = �:

y = �t2=2 + �t:( ��x = �t2=2 + �t;x(0) = 0;

�x(0) = �:

x = �t4=24 + �t3=6 + �t:

Se al tempo t = 1 si ha (x; y) = (1; 1), allora � = 3=2 e � = 19=24.

6 - Calcolare lo sviluppo in serie di Fourier rispetto al sistema ortonormale�1;p2 cos (�nx)

+1n=1

della funzione x nell�intervallo 0 � x � 1. Determinare

132

poi se la serie converge, se converge uniformemente, se converge assolutamente.In�ne, calcolare

+1Xn=0

(2n+ 1)�4:

x =

Z 1

0

ydy ++1Xn=1

�2

Z 1

0

y cos (�ny) dy

�cos (�nx)

=1

2++1Xn=1

2 cos(�n)� 2�2n2

cos (�nx)

=1

2� 4

�2

+1Xk=0

cos ((2k + 1)�x)

(2k + 1)2 :

La serie converge assolutamente ed uniformemente per ogni �1 < x < +1.In�ne, Z 1

0

x2dx =

��Z 1

0

ydy

��2 + +1Xn=1

��p2Z 1

0

y cos (�ny) dy

��21

3=1

4+2

�4

+1Xn=1

��cos(�n)� 1n2

��2 = 1

4+8

�4

+1Xn=0

(2n+ 1)�4

+1Xn=0

(2n+ 1)�4 =�4

8

�1

3� 14

�=�4

96:

133



1 - Dimostrare che per ogni (x; y) nel campo di de�nizione della funzionexy � log

�1� x2 � y2

�si ha

xy � log�1� x2 � y2

�� 0:

log�1� x2 � y2

�� x2 � y2 � xy:

In alternativa, si può cercare di dimostrare che il minimo della funzionexy � log

�1� x2 � y2

�è 0. La funzione è pari, è de�nita in

�x2 + y2 < 1

,

tende a +1 sul bordo del dominio. Quindi c�è un minimo assoluto all�interno.8>><>>:@

@x

�xy � log

�1� x2 � y2

��= y +

2x

1� x2 � y2 =2x+ y � yx2 � y31� x2 � y2 ;

@

@y

�xy � log

�1� x2 � y2

��= x+

2y

1� x2 � y2 =x+ 2y � x3 � xy21� x2 � y2 :�

2x+ y � yx2 � y3 = 0x+ 2y � x3 � xy2 = 0

�2x2 + xy � yx3 � xy3 = 0xy + 2y2 � yx3 � xy3 = 0

�x2 = y2

x = y = 0:

Il punto (0; 0) è un minimo ed in questo punto la funzione si annulla. Quindi,xy � log

�1� x2 � y2

�� 0.

2 - Disegnare la super�cie z = xy in un intorno del punto (0; 0; 0) e calcolarel�area di

�z = xy; x2 + y2 < 1

.

Paraboloide iperbolico z = xz: Le sezioni conpiani verticali ax+ by = c sono parabole e lesezioni con piani orizzontali z = c sono iperboli.

Z Z q1 + (@z=@x)

2+ (@z=@y)

2dxdy

=

Z Zfx2+y2<1g

p1 + y2 + x2dxdy

=

Z 1

0

Z 2�

0

p1 + �2�d�d# = 2�

2p2� 13

:

134

3 - Trovare l�equazione in coordinate polari della cardioide�x2 + y2 � x

�2= x2 + y2:

Poi calcolare l�area racchiusa.

Se (x; y) = (� cos (#) ; � sin (#)), allora��2 � � cos (#)

�2= �2, cioè � = �1 +

cos (#). Queste due equazioni, con � positivi o negativi, descrivono la stessacurva. L�area è Z

dxdy =

Z�d�d#

=

Z +�

��

Z 1+cos(#)

0

�d�

!d# =

1

2

Z +�

��

�1 + 2 cos (#) + cos2 (#)

�d# =

3

2�

4 - Risolvere il problema di Cauchy�dy=dx = y (x+ y) ;y(0) = 1:

Determinare l�intervallo su cui la soluzione è de�nita.

È un�equazione di Bernoulli dy=dx = xy + y2. Posto z = y�1, si ha

�dz=dx = �xz � 1;z(0) = 1;

z = exp��x2=2

��1�

Z x

0

exp�t2=2

�dt

�;

y =exp

�x2=2

�1�

Z x

0

exp (t2=2) dt

:

La soluzione è de�nita sull�intervallo (�1; a), conZ �

0

exp�t2=2

�dt = 1,

� = 0; 874:::

5 - Trovare tutte le soluzioni di y0000 + y0 = x.

y = x2=2+A+B exp(�x)+C exp(x=2) cos�p3x=2

�+D exp(x=2) sin

�p3x=2

�:

6 -X+1

n=0n exp

��nx2

�a) Per quali x la serie converge?b) La serie converge uniformemente in 0 < x < 1?c) La serie converge uniformemente in 1 < x < +1?d) Sei capace di sommare esplicitamente questa serie?

135

+1Xn=0

n exp��nx2

�= exp

��x2

� +1Xn=0

n�exp

��x2

��n�1=

exp��x2

�(1� exp (�x2))2

:

La serie converge per ogni x 6= 0.La serie non converge uniformemente in 0 < x < 1, perché diverge in 0.La serie converge uniformemente in 1 < x < +1, perché

+1Xn=0

n exp��nx2

�<

+1Xn=0

n exp (�n) < +1:

136

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