Dispense del Modulo di Fisica “Cinematica”

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A. A. 2017-2018

Dispense del Modulo di Fisica “Cinematica”

Prof. A. Taibi

A. A. 2017-2018 Prof. A. Taibi

Unità di Misura

� La fisica è una scienza sperimentale.

� Le caratteristiche quantitative degli eventi osservati sono definite grandezze. � Ogni grandezza è composta da un numero e da un’unità (es.: 10 m, 500 g, 15 cm …)

� Esistono moltissime grandezze utilizzate nella fisica.

� Tutte sono riconducibili a sette grandezze fondamentali.

fattore prefisso fattore prefisso 1018 E (exa) 10-1 d (deci) 1015 P (peta) 10-2 c (centi) 1012 T (tera) 10-3 m (milli) 109 G (giga) 10-6 µ (micro) 106 M (Mega) 10-9 n (nano) 103 K (chilo) 10-12 p (pico) 102 h (etto) 10-15 f (femto) 101 da (deca) 10-18 a (atto)

Tabella dei prefissi e dei fattori utilizzati per le unità di misura.

grandezza unità lunghezza metro (m) tempo secondo (s) massa chilo (kg) int. di corrente Ampere (A) temperatura Kelvin (K) int. luminosa Candela (Cd) Quantità di

materiale chilomol (kmol)

Tabella delle unità di misura adottate dal Sistema Internazionale.

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Posizione e sistema di riferimento

La posizione di un corpo viene indicata mediante il vettore di posizione che ha inizio nell’origine delle coordinate e finisce nel punto considerato P.

Il vettore di posizione ha coordinate e si misura in metri (m).

Nel moto si modifica la posizione del punto e quindi il vettore di posizione è una funzione del tempo:

Moto di un corpo e sua posizione istantanea rispetto al sistema di riferimento.

Determinazione della posizione mediante il vettore di posizione.

P

Cammino di P


P1

P2

2

1

Cammino di P

La velocità e il moto rettilineo uniforme

Si ha un moto rettilineo uniforme quando, su una traiettoria rettilinea, vengono percorsi spazi uguali in tempi uguali. Il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato a percorrerlo è detto velocità. Durante un moto rettilineo uniforme la velocità è costante.

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La velocità istantanea

Durante un moto non uniforme la velocità varia ad ogni istante ed è una funzione del tempo: Nota la traiettoria del corpo, si definisce velocità istantanea il vettore L’unità di misura della velocità è m s-1. La pendenza della tangente della traiettoria nell’istante considerato individua la direzione del vettore .

Cammino di P

Tangente


L’accelerazione

Si definisce accelerazione la variazione della velocità nell’unità di tempo . L’unità di misura dell’accelerazione è m s-2.

Si definisce inoltre accelerazione istantanea il vettore

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Casi particolari: il moto rettilineo uniforme

Si ha un moto rettilineo uniforme quando, su una traiettoria rettilinea, vengono percorsi spazi uguali in tempi uguali. La velocità è quindi costante, e la velocità istantanea coincide con quella media. Poiché la velocità non varia, l’accelerazione è nulla. Valgono le seguenti relazioni: Da un punto di vista geometrico ciò significa che:

�  per qualsiasi intervallo di tempo l’area complessiva che si trova sotto il grafico (v-t) corrisponde allo spazio percorso;

�  il grafico (v-t) è una retta con pendenza ;

�  il grafico (a-t) è una retta con pendenza .

0


Casi particolari: il moto uniformemente accelerato

Si ha un moto uniformemente accelerato quando il corpo si muove con un’accelerazione costante nel tempo. La velocità e il vettore spostamento variano nel tempo secondo le seguenti leggi orarie: Da un punto di vista geometrico ciò significa che:

�  il grafico (r-t) è una parabola;

�  il grafico (v-t) è una retta con pendenza ;

�  il grafico (a-t) è una retta con pendenza 0.

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Esempio: il moto di caduta libera

Il moto di caduta libera si ha quando un corpo cade per effetto della gravità. E’ un moto uniformemente accelerato ( = 9.81 ms-2 accelerazione di gravità) unidimensionale, che avviene lungo un asse verticale. Applicando le equazioni del moto uniformemente accelerato si ottiene:

Da cui si evince che due oggetti di massa diversa, lasciati cadere dalla stessa altezza al medesimo istante, raggiungono il suolo contemporaneamente e con uguale velocità.

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A. A. 2017-2018

Dispense del Modulo di Fisica “Dinamica”

Prof. A. Taibi


Principio di inerzia: un corpo libero (cioè un corpo che non interagisce con alcun altro corpo) permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme. Quando su un corpo agisce una forza (interazione con un altro corpo) si ha una variazione della sua velocità e quindi un’accelerazione. Tale forza è proporzionale all’accelerazione ed il fattore di proporzionalità è detto massa m.

F = m a

Principio di azione e reazione: se un corpo A esercita su un corpo B una forza, allora anche il corpo B esercita una forza uguale ma contraria sul corpo A.

Leggi di Newton

1.

2.

3.

a

v = 0 a = 0

2


L’equazione F = m a significa che F è la forza necessaria per imprimere ad un corpo di massa m un’accelerazione a. Pertanto la sua unità di misura, il Newton,

1 N = 1 kg m s-1

è definito come la forza necessaria per imprimere ad una massa unitaria un’accelerazione unitaria.

Le forze

Tipi di forze

Forze di contatto. Hanno un raggio di azione molto limitato dovuto all’interazione delle singole molecole (10-11-10-10 m). Es.: forze di compressione, d’urto, di coesione e di attrito.

Forze ad effetto a distanza. Hanno un raggio di azione infinito (anche se la loro azione diminuisce all’aumentare della distanza). Es.: forze gravitazionali, elettriche e magnetiche.


Le forze sono grandezze vettoriali. Pertanto se su un punto agiscono una o più forse, esse vanno sommate secondo le regole vettoriali. Se la risultante (cioè la somma) di tutte le forze che agiscono su un punto è pari a zero, si ha l’equilibrio (non ha luogo alcun’accelerazione e pertanto nessuna variazione del moto). Quando la somma di tutte le forze applicate nel punto è non nulla, allora esiste una forza risultante, che comporta un’accelerazione (e quindi una variazione del moto).

Composizione di forze

φF

Fx

Fy Fx = F sin φ

Fy = F cos φ

F F F F F φ

Σ F

F1

F1

F1

F2 F2 F2

Σ F

Σ F

Esempio di somma di forze di verso opposto.

Esempio di scomposizione di una forza lungo le direzioni individuate da un sistema di assi cartesiano..

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La bambina tira la slitta su cui è posta una vasca di massa m, applicando alla fune una tensione T. A quale accelerazione a sarà soggetta la slitta? T = tensione della fune W = forza peso della slitta N = forza normale al suolo

Tx = T cos φ Ty = T sin φ

Lungo l’asse y la somma delle forze è nulla:

N + Ty – W = 0

Lungo l’asse orizzontale si ha una forza risultante:

Tx = mslitta a

T cos φ = mslitta a a = T cos φ / mslitta

Esempio di forza applicata

slitta

Tx

Ty T

La tensione può essere scomposta lungo i due assi del sistema di riferimento


Una moneta di massa m, scivola senza attrito da un’altezza h su un piano inclinato di un angolo θ con il piano orizzontale. A quale accelerazione a sarà soggetta la moneta? W = forza peso della moneta N = forza normale esercitata dal piano

È conveniente scegliere un sistema di riferimento in cui l’asse x coincida con la direzione del moto. Scomponendo la forza peso della moneta si ha:

Wx = W sin θ Wy = W cos θ

Lungo l’asse y la somma delle forze è nulla:

N – Wy = 0


Wx = W sin θ = m a a = W sin θ / m Applicando le equazioni della cinematica è ora possibile dare una completa descrizione del moto della moneta.

Esempio: il piano inclinato

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La forza gravitazionale

La forza gravitazionale, responsabile del moto dei pianeti e dei satelliti, agisce a distanza tra due qualsiasi masse. Ha un raggio di azione infinito (anche se la sua azione diminuisce all’aumentare della distanza ).

Un qualsiasi oggetto che si trovi ad un distanza r dalla terra risentirà di una forza attrattiva la cui intensità è data dalla relazione

La forza gravitazionale fa si che un oggetto inizialmente fermo precipiterà sulla terra, mentre un oggetto che possiede inizialmente una velocità non nulla subirà una variazione del proprio moto. In particolare se la componente iniziale della velocità è perpendicolare alla direzione della forza l’oggetto inizierà ad orbitare attorno alla terra compiendo un moto circolare uniforme (moto che avviene su una traiettoria circolare il cui centro coincide con il centro della terra e il cui modulo della velocità istantanea è costante nel tempo).

ME

m

x y

(ME = massa della terra)

Dove G è detta costante gravitazionale e vale


Lavoro ed energia Quando una forza applicata ad un oggetto provoca uno spostamento viene compiuto un lavoro (W). Si definisce lavoro il prodotto scalare della forza per lo spostamento

W = F ּ s = F s cosθ

L’unità di misura del lavoro è il Joule (J), che corrisponde al lavoro effettuato da una forza di 1 N per spostare un corpo di 1 m. Esempio. Quanto lavoro occorre compiere per sollevare ad un’altezza h una massa m nel campo di gravità terrestre?

W = m g h Il lavoro accumulato è detto energia.

L’energia accumulata come il lavoro di sollevamento è chiamata energia potenziale (Ep), o energia di posizione.

Il lavoro accumulato da una massa m che è stata messa in moto ad una velocità v è chiamato energia cinetica (Ek) ed è dato dalla formula Ek =

F h

m

m

F

θs

F cosθ

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Principio di conservazione dell’energia

Si definisce sistema isolato un sistema in cui l’energia totale è costante.

Per tutti i sistemi isolati vale il principio di conservazione dell’energia:

In un sistema isolato l’energia totale è costante.

Ek + Ep = cost

L’energia non si crea né si distrugge, sono possibili solo trasformazioni delle diverse forme di energia fra loro. Esempio: lancio verso l’alto di un oggetto. All’istante iniziale si ha solamente energia cinetica:

h = 0 à Ep = 0 v = v0 (vel. massima) à Ek =

Quando l’oggetto raggiunge la sua massima altezza l’energia è stata tutta trasformata in energia potenziale:

h = hmax à Ep = mghmax v = 0 à Ek = 0

All’istante finale tutta l’energia è stata nuovamente trasformata in E. cinetica. Negli istanti intermedi del moto l’energia sarà in parte cinetica ed in parte potenziale, e per il principio di conservazione dell’energia valgono le relazioni:

hmax

0

0 = mghmax = + mgh h Dove vh è la velocità

dell’oggetto ad un’altezza h.

inizio fine istante intermedio


Quantità di moto

Si definisce quantità di moto p di un oggetto il prodotto della sua massa per la velocità p = mv.

In tutti i sistemi isolati in cui la massa si conserva vale il principio di conservazione della quantità di moto:

In un sistema isolato la quantità di moto è costante (p = cost)

Esempio: urto di due palle da biliardo (caso di urto elastico, in cui non ci siano deformazioni e quindi sia conservata la massa totale del sistema)

Prima dell’urto

p1i = mv1i p2i = 0

Dopo l’urto

p1f = mv1f p2f = mv2f

Applicando la conservazione della quantità di moto si ha:

p1i + p2i = p1f + p2f mv1i = mv1f + mv2f

Applicando anche la conservazione dell’energia si ha:

Ek1i + Ek2i = Ek1f + Ek2f

Le due equazioni così ottenute caratterizzano completamente il sistema.

1i 1f 2f = +

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Momento di una forza

Se su di un corpo rigido agiscono forze uguali e contrarie si ha, in generale, una rotazione.

L’effetto rotatorio di una forza applicata dipende quindi sia dall’intensità e dalla direzione della forza, sia dalla distanza del suo punto di applicazione dal punto di rotazione.

Tale effetto viene quantificato dal momento della forza definito come

Dove r è il vettore che va dall’asse della rotazione al punto di applicazione della forza e φ è l’angolo compreso tra r ed F. Il modulo di M vale r F sinφ.

Un corpo rigido sul quale agiscono più forze è in equilibrio rotazionale se la somma dei momenti di tutte le forze è pari a zero.

F

-F

d

F

-F

Se le due forze applicate agiscono sulla stessa linea e sono uguali ed opposte, non avviene alcuna rotazione

Se le due forze uguali ed opposte agiscono linee d iverse , s i avrà la rotazione del corpo.

La regola della mano destra per ricavare la direzione del prodotto vettoriale.

M F

F r

M

φ

M

Momento di una forza rispetto al- l’asse di rotazio-ne.


Il moto rotatorio Quando su di un corpo rigido libero di ruotare attorno ad un asse agisce un momento delle forze totale non nullo, allora il corpo entra in rotazione. La posizione istantanea del corpo viene descritta dallo spostamento angolare φ, cioè dalla posizione relativa (in radianti) di un punto del corpo esterno all’asse di rotazione, rispetto alla propria posizione iniziale. In analogia con il moto rettilineo, lo spostamento angolare per unità di tempo è detto velocità angolare ω e la variazione di velocità angolare nel tempo è chiamata accelerazione angolare α. Nonostante ogni punto del corpo possieda differenti velocità ed accelerazione istantanee, φ, ω e α sono le stesse per tutti i suoi punti, pertanto con queste tre sole grandezze è possibile caratterizzare completamente il suo moto di rotazione.

φ

ω

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Energia di rotazione

Un corpo in rotazione possiede energia cinetica. Poiché ogni punto del corpo possiede una diversa velocità istantanea l’energia totale è la somma dei contributi energetici di ogni punto.

Considerando solo l’i-esimo elemento di massa mi, velocità vi e distanza dall’asse di rotazione ri si ha:

Dove si è usato il fatto che ω = vi / ri per ogni punto. Sommando i contributi di tutti i punti si ottiene l’energia di rotazione del corpo: Si definisce momento d’inerzia I la somma L’energia cinetica di un corpo rigido in rotazione si può quindi scrivere

Δmi vi2

2Δmi ri ω2

2Eri = =

Er = Σi Eri = Σi Δmi ri ω2

2ω2

2= Σi Δmi ri

ri

ω

vi i

Σi Δmi ri

Er = Ι ω2

2


Analogia tra moto rotatorio e moto rettilineo

Moto rettilineo Moto rotatorio

spostamento s spostamento angolare φ

velocità v = ds / dt velocità angolare ω = dφ / dt

accelerazione a = dv / dt accelerazione angolare α = dω/ dt

en. cinetica di traslaz. Ek = (mv2) / 2 en. cinetica di rotazione Er = (mω2) / 2

massa m massa m

forza F = m a momento della forza M = I α

quantità di moto p = m v momento della quantità di moto

l = I ω

ω = vi

ri

α = ai

ri

Per ogni i-esimo punto del corpo rigido valgono inoltre le seguenti relazioni tra i moduli dei vettori velocità, accelerazione e raggio:

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Le forze di attrito

Fino ad ora si è sempre supposto che nei moti studiati non avvenissero fenomeni di resistenza. In realtà ad ogni movimento di un corpo intervengono sempre forze di attrito che si oppongono ad esso.

Le forse di attrito sono indispensabili alla nostra vita quotidiana, in quanto ci permettono di camminare, spostarci, accelerare, frenare, ecc. Ad es. senza l’attrito invece di camminare scivoleremmo , muovendoci di moto rettilineo uniforme, senza poter fermarci o curvare. L’attrito fra due corpi solidi è dovuto alla presenza di microscopiche rugosità sulle superfici, non apprezzabili alla vista.

Direzione del moto

W

FN Questo tipo di attrito, detto attrito radente, dipende esclusivamente dalla forza con cui vengono premuti i due corpi (forza normale FN) e dal materiale di cui essi sono costituiti. Si ha:

FR = µr FN

Dove µr è il coefficiente di attrito. È un numero adimensionale che dipende solo dal materiale. La forza di attrito è sempre applicata nel punto di contatto tra i due corpi, e ha direzione opposta a quella del moto.


La bambina tira la slitta su cui è posta una vasca di massa m, applicando alla fune una tensione T. Il corfficiente di attrito µr tra la slitta ed il suolo è noto. A quale accelerazione a sarà soggetta la slitta? T = tensione della fune W = forza peso della slitta N = forza normale al suolo

FR = forza di attrito Tx = T cos φ Ty = T sin φ

La forza di attrito vale FR = µr N Lungo l’asse y la somma delle forze è nulla:

N + Ty – W = 0


Tx - FR = m a

T cos φ � µr N = m a `

Moto in presenza di attrito

slitta

Tx

Ty T La tensione può essere

scomposta lungo i due assi del sistema di riferimento

FR

T cos φ � µr N m

a =

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A. A. 2017-2018

Dispense del Modulo di Fisica “Oscillazioni”

Prof. A. Taibi


Il moto armonico

Esempio. Una massa posta su una superficie priva di attrito viene mantenuta nella sua posizione originaria da una molla di costante elastica k. La forza di richiamo è F = - kx, con il segno negativo ad indicare che la forza agisce sempre in senso contrario allo spostamento. Il moto armonico del sistema è descritto in figura. Si noti che quando lo spostamento è massimo, anche la forza raggiunge il suo limite superiore, mentre la velocità è nulla.

Un sistema meccanico in grado di oscillare è costituito da una massa che, deviata dallo stato di equilibrio viene fatta tornare alla posizione originale mediante una forza di richiamo proporzionale allo spostamento. Sia ha moto armonico quando la forza di richiamo e lo spostamento sono direttamente proporzionali.

Viceversa quando la massa attraversa la posizione di equilibrio si avrà F = x = 0, e la sua velocità sarà massima.

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Se un corpo come quello in figura viene sottoposto all’azione di una forza crescente, tra allungamento e forza applicata esisterà una relazione simile a quella rappresentata nel grafico in basso.

Tratto OH: il grafico è una retta. Viene detta zona campo proporzionale o di Hooke. Cessata la forza il corpo riprende la sua configurazione originaria.

Punto E: limite della zona di elasticità.

Tratto EB: il corpo, anche dopo lo scarico, rimane + lungo che in origine.

Punto B: il punto in cui si verifica la rottura.

Nel campo proporzionale Δ l ed F sono proporzionali e vale Δ l 1 l E dove σ = è la forza per unità di area della sezione

trasversale

Legge di Hooke

regione di elasticità

Δl

F

O

H E

P

B

scarico

= σ legge di Hooke

F A


Forza elastica

Esplicitando σ la legge di Hooke si può scrivere:

F = Δ l Definiamo k = Ε Α /l (costante che dipende solo dal materiale), per cui la legge di Hooke si può scrivere

F = k s

(s = allungamento del corpo elastico)

Questa legge può essere applicata a qualsiasi corpo elastico. Il caso più semplice è quello di una molla allungata sotto l’azione di una forza esterna.

Ε Α l

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Deformazione elastica di una molla

La molla è a riposo in posizione di equilibrio.

La molla viene allungata di una quantità x. La molla tende a ritornare alla propria posizione di riposo, mediante una forza di richiamo F = - kx (negativa perché opposta allo spostamento). Per mantenerla allungata occorrerà applicare una forza esterna F’ = kx.

Nel caso di una compressione la situazione è la stessa, con i vettori diretti in verso opposto.


Il moto del pendolo (1) Una massa m è sospesa ad un filo senza peso di lunghezza l. un piano inclinato di un angolo θ con il piano orizzontale. Sulla massa m agisce verticalmente la forza peso mg. A quale accelerazione a sarà soggetta la slitta?

mg = forza peso della moneta; T = tensione del filo.

È conveniente scegliere un sistema di riferimento in cui l’asse x coincida con la direzione del moto.

Scomponendo la forza peso della moneta si ha:

mgx = mg sin θ mgy = mg cos θ

Lungo l’asse y le forze si annullano, mentre lungo la direzione x si ha una risultante F:

Approssimazio-ne valida per angoli piccoli.

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Il moto del pendolo (2)

Si definisce pulsazione ω del moto Da cui:

Si tratta quindi di un moto accelerato con accelerazione variabile proporzionale allo spostamento Da questa relazione segue che: � a è nulla quando s è 0 (quando il filo è verticale il pendolo è in posizione di riposo e rimane fermo); � a cresce proporzionalmente ad s (ciò mantiene il moto delle oscillazioni).


Analogia tra oscillazioni armoniche e moto circolare

Consideriamo un moto circolare uniforme mantenuto da una forza centripeta Fz = m r ω2 e studiamone la proiezione sull’asse verticale disegnato il figura. Per il moto proiettato valgono le relazioni: x = r sinω t

F’ = - m r ω2 sin ω t = - m r ω2 x che sono simili alle equazioni del moto oscillatorio di una molla di costante k = m ω2 . In generale ogni moto armonico sarà potrà essere descritto con le leggi orarie scritte sopra, nelle quali ω, detta pulsazione del moto, conterrà le informazioni sul sistema esaminato. (ad es.: ω2 = k/m nel caso delle oscillazioni di una massa m vincolata ad una molla di costante k; ma si ha anche ω2 = g/l nel caso delle oscillazioni di un pendolo di lunghezza l.)

a’ a’

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Moto armonico: alcune definizioni

Posizione, velocità ed accelerazione di un moto armonico mostrano, nel grafico spazio-tempo, andamenti tipici delle funzioni trigonometriche.

Elongazione: distanza dallo stato di equilibrio. Oscilla tra i valori - r e r . L’elongazione massima viene chiamata ampiezza.

L’oscillazione è periodica, cioè dopo un certo intervallo di tempo, detto periodo di oscillazione T, l’azione si ripete. L’unità di misura del periodo è il secondo.

Si definisce frequenza f il numero delle oscillazioni al secondo. Viene indicata in s-1 o in Hertz.

Valgono le relazioni: T = f = =

2π ω

1

T ω

2π

14/12/17

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LeLeveedil

CorpoUmano

Prof.AngeloTaibi

Modulo di Fisica - AA 2016/2017

DefinizionediLevaIn sta>ca per macchina s’intende un qualsiasidisposi>vo che renda possibile l’equilibrio di dueforzeaven>,ingenere,pun>d’applicazione,modulieorientazionidiversi.Lemacchinehannoloscopodiequilibrare una data forza a cui si dà il nome diresistenza,conun’altradipiùcomodaapplicazioneacuisidàilnomedipotenza.Unamacchinasempliceimportanteperinostriscopièlaleva.

F

R P

ModulodiFisica-AA2016/2017 Prof.A.Taibi

14/12/17

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TipidiLevaE’cos>tuitadauncorporigidodipesotrascurabilee di forma oblunga, girevole aQorno ad un assefisso deQo fulcro. La diversa posizione del fulcrorispeQo ai pun> d’applicazione della potenza edallaresistenzadàluogoatre>pidileve.

ModulodiFisica-AA2016/2017

1° genere 2° genere 3° genere

Lelevepossonoessere:

Vantaggiose

Svantaggiose

se bP è > di bR

se bP è < di bR

P < R allora..

allora.. P > R

R x b = P x b

momento momento

Equilibrio di una leva: i momenti meccanici delle forze applicate sono uguali ed opposti.


14/12/17

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1° genere

2° genere

3° genere

Prof.A.Taibi

Lelevedelcorpoumano

1° genere 2° genere 3° genere

ModulodiFisica-AA2016/2017 Prof.A.Taibi

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A. A. 2017-2018

Dispense del Modulo di Fisica “Onde meccaniche”

Prof. A. Taibi


Onde Molti dei fenomeni che noi vediamo attorno a noi sono in realtà onde. Spesso cose che crediamo essere completamente diverse sono in realtà così simili da poter essere descritte quasi nello stesso modo.

Le onde si possono dividere essenzialmente in 2 gruppi:

Onde meccaniche quali ad esempio: onde d’acqua, onde sonore, onde su corde, su membrane, che vengono provocate dal moto oscillatorio delle particelle

Onde elettromagnetiche quali ad esempio: onde radio, radiazione termica, raggi X, luce che sono caratterizzate da oscillazioni del campo magnetico.

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t

y

Periodo T: E’ l’intervallo di tempo necessario per

compiere una vibrazione completa. Si misura in secondi

Frequenza f : E’ il numero di vibrazioni complete che

avvengono in un secondo. Si misura in hertz ( Hz ). Il

"range" di udibilità dell’orecchio umano è compreso

tra i 20 e i 20000 Hz.

Grandezze fisiche

t = Tempo y = Spostamento della particella

Lunghezza d�onda λ: E’ la distanza percorsa dall’onda

in un periodo.

Perciò, se "v" è la velocità di propagazione , λ = v . T

oppure λ = v / f. Si misura in metri ( m ).

Ampiezza A0: lo spostamento massimo delle molecole

d’aria che oscillano intorno alla posizione di equilibrio al

passaggio della perturbazione acustica.

x

y

x = distanza y = spostamento della particella


Tipi di moti di onde

Le onde piane si dicono trasversali o

longitudinali a seconda che la direzione di

oscillazione sia parallela o perpendicolare

rispetto alla direzione di propagazione.

Un'onda longitudinale può essere solo

meccanica: essa risulta infatti da successive

compressioni (stati di densità e pressione

massimi) e rarefazioni (stati di densità e

pressione minimi) del mezzo. Le onde sonore

ne sono un esempio tipico.

Esempi di onde trasversali sono invece quelle

che si propagano ad esempio lungo una corda

tesa

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Lunghezza d’onda, frequenza e velocità

X

Y

v

A0

λ

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=−= tkxAvtxkAtxy ωsinsin),( 00

y(x,t) rappresenta lo spostamento della corda nella posizione x e nell�istante t

λπ2=k

πω2

1 ==T

f

fv

ftvt

Nvt ===λ

Il numero d�onda k è 2π volte il numero d�onde nell�unità di lunghezza

La frequenza è l�inverso del periodo

Se supponiamo di far vibrare la corda con la frequenza f per un tempo t, in questo

intervallo di tempo il numero di onde generato è N = f t. La prima onda generata

percorre una distanza vt. Il rapporto fra questa distanza e il numero di onde

contenute in questa distanza è la lunghezza d�onda λ


Onde sferiche

Fino ad ora abbiamo analizzato un�onda che si propaga lungo una retta in una direzione. Ci

sono casi (ad esempio un sasso lanciato nell�acqua) in cui le onde si propagano in modo

regolare in tutte le direzioni. In questo caso si parla di onde sferiche.

Nella propagazionde dell�onda sferica nello spazio, i

massimi e i minimi si trovano su superfici chiamate

fronte d�onda. La direzione di propagazione (raggio)

è radiale verso l�esterno perpendicolarmente a detti

fronti d�onda.

Sorgente

Fronti d�ondaRaggi

λ

4


Il suono può essere definito come la sensazione suscitata dai fenomeni che stimolano il “senso

dell’udito”. Dal punto di vista fisico il suono è un’onda elastica longitudinale che si propaga in un

mezzo quale un gas, un liquido, un solido.

La caratteristica fisica che produce il suono è la vibrazione del mezzo, ossia l’oscillazione di ogni

particella in vibrazione attorno ad una sua posizione media fissa.

Nel caso dell’aria, attorno alla sorgente, ad esempio un martello che picchia su un incudine, si

formano una serie di stati di alta e bassa pressione.

Vibrando, l’oggetto (sorgente) crea un flusso continuo di alta e bassa pressione, formando un

andamento periodico e di tipo ondoso.

Il suono

Rappresentazione schematica di come il suono si

propaga solo in presenza di un mezzo.


Velocità del suono: è la velocità con cui il suono si propaga nel mezzo attraversato e dipende sia dalla densità del mezzo che dalle proprietà elastiche e si puo� esprimere come

Velocità del suono

ρMc=

SOSTANZA v (m/s ) Aria 344 Anidride Carbonica 259 Alcool Etilico 1207 Acqua 1498 Rame 3750 Ferro 5120 Vetro 5170

In aerodinamica si dice che un aereo supera il muro o la barriera del suono quando, raggiunta la velocità di 1000 kilometri orari, produce il caratteristico bang.

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La percezione del suono L' organo del senso dell'udito é l’orecchio ed agisce

come una interfaccia tra il mondo esterno ed il

cervello, passando i messaggi ricevuti al sistema

neuronale, che li interpreta come sensazioni.

L’orecchio esterno, costituito dal padiglione auricolare

e dal condotto uditivo, riceve e incanala i suoni

dell’ambiente in direzione della membrana timpanica.

I suoni, che definiremo onde sonore, giungono al

timpano, membrana simile alla pelle di un tamburo, e

lo fanno vibrare.

Tali vibrazioni vengono trasmesse dapprima alla catena degli ossicini (denominati martello, incudine,

staffa) situati nella cavità dell’orecchio medio, poi all’orecchio interno. Nell’orecchio interno c’è un

organo importantissimo a forma di chiocciola: la coclea. E’ qui che le vibrazioni sonore sono trasformate

in impulsi elettrici che vengono inviati al cervello tramite il nervo acustico. Solo quando il segnale

elettrico arriva al cervello noi sentiamo e siamo in grado di apprezzare i caratteri dei suoni: la frequenza

grave o acuta, l’intensità debole o forte, il timbro piacevole o sgradevole.


Soglia di udibilità La soglia di udibilità e��l’intensità del campo sonoro minima percepibile dall�orecchio umano. Come si può notare la sensibilità dell'orecchio umano varia profondamente al variare della frequenza e si estende da circa 16-20 Hz a 16-20 kHz. La linea che delimita inferiormente la superficie relativa all'intero campo sonoro rappresenta la soglia di udibilità media umana, (i suoni che giacciono al di sotto di questa linea non sono mediamente percepibili). La linea che delimita la stessa superficie superiormente rappresenta la soglia del dolore, cioè i suoni che appartengono ad essa provocano una sensazione di dolore mentre quelli al di sopra provocano danni permanenti all'organo auditivo. Agli estremi sinistro (16-20 Hz) e destro (16-20 kHz) le due linee si fondono in una sola, vale a dire che i suoni che si trovano in quella posizione provocano dolore quando raggiungono un'intensità sufficiente per essere uditi. Il campo dei suoni considerati musicali è quindi costituito da suoni relativamente lontani dagli estremi del campo auditivo. Il campo centrale si riferisce ai suoni che riguardano l'uso della parola, che si colloca nella zona dove le capacità di analisi dell'orecchio sono maggiori.

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Corde vocali

Trachea

Laringe

Corde vocali

L’organo vocale umano

L ’o r g a n o v o c a l e u m a n o è f o r m a t o essenzialmente dal la laringe per la produzione delle vibrazioni e dalla bocca, dalla gola e dalla faringe che selezionano parte delle vibrazioni prodotte e ne attenuano altre. Quando parliamo, l’aria viene pressata dalla glottide della laringe formata da due parti elastiche che vengono ravvicinate l’una contro l’altra. A causa di queste forze elastiche, la via dell’aria viene in un primo momento bloccata. In questo modo si crea una pressione che allontana le corde vocali fra loro producendo un flusso d’aria. Per effetto del flusso d’aria, attraverso il restringimento si crea una depressione, che richiude le corde vocali e tutto ricomincia da capo. La bocca la gola e la faringe costituiscono un sistema di risonanza. La vibrazione prodotta dalle corde vocali produce nelle cavità una risonanaza. In questo modo si formano, per le frequenze a cui è possibile una risonanza, ampiezze di oscillazione molto alte. Il sistema di risonanza amplifica determinate frequenze delle oscillazioni ricche di toni alti delle corde vocali.


Effetto Doppler

In qualsiasi moto di una fonte sonora o di un osservatore relativamente al mezzo di propagazione del suono si riscontra una variazione di frequenza del suono percepito.

L�effetto Doppler, però non si limita alle onde sonore ma si estende a tutti i tipi di onde. Esso viene utilizzato per esempio in astronomia per determinare dallo spostamento verso il rosso la velocità con cui si allontanano lontani sistemi stellari.

Com�è noto, quando passa un�ambulanza e suona la sirena, il suono più alto (durante l’avvicinamento) cambia in un suono piu� basso (durante l’allontanamentto) quando arriva all�altezza dell�osservatore. Questo effetto è noto come effetto Doppler. La frequenza del suono

diminuisce (<300 Hz)La frequenza del suonoaumenta (>300 Hz)

La sirena emette unSuono a 300 Hz

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Effetto Doppler: osservatore in movimento

Osservatore fermo

Sorgente ferma

Sorgente ferma

Osservatore in movimento

La sorgente è ferma ed emana un suono con frequenza f0 e lunghezza d�onda λ = v/ f0 . Se l�osservatore è fermo, in un tempo t egli riceve vt/ λ onde. Se l�osservatore si muove verso la sorgente, egli riceve nello stesso tempo, v0t/ λ onde in piu� Poichè la frequenza f� del suono da esso udito è il numero di onde ricevute per unità di tempo:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+=+=vvft

tvvtf 00

0 1//' λλ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=vvff 0

0 1"

In maniera analoga si dimostra che se l�osservatore si allontana dalla sorgente:


Effetto Doppler: sorgente in movimento

Quando è la sorgente a muoversi verso un osservatore fisso, l�effetto è un accorciamento della lunghezza d�onda. Questo perchè la sorgente segue le onde che emette, e i massimi e i minimi di queste quindi si avvicinano. Se la frequenza emessa è f0 e vs la velocità della sorgente, allora questa durante ogni vibrazione completa avanza di un tratto vs/f0 e ciascuna lunghezza d�onda è accorciata di questo valore. Quindi la lunghezza percepita dall�osservatore è:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−==

svvvfvf 0

''λ

e di conseguenza00

'fsv

fv −=λ

Nel caso la sorgente si allontani dall�osservatore:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=

svvvff 0"

1


Dispense del Modulo di Fisica “Meccanica dei Fluidi”

Prof. A. Taibi


Stati della materia

solido:gli atomi hanno posizioni fisse, quindi forma e volume non possono variare.

liquido:le molecole possono spostarsi liberamente, e la sostanza assume la forma del recipiente in cui viene posta. Le forze intermolecolari mantengono costanti le distanze tra molecole, impedendo variazioni di volume del liquido.

gassoso:le molecole sono libere e non esercitano alcuna forza di coesione fra di loro, quindi un gas può espandersi o comprimersi riempiendo qualsiasi volume.

2


Condizione di riposo di un liquido

Ogni liquido a riposo ha una superficie che è sempre perpendicolare alla forza che vi agisce. Nell’esempio in figura a) sull’acqua contenuta in un bicchiere agisce la forza peso dell’aria PA.

Se sulle molecole del liquido agisce una forza non ortogonale alla sua superficie, esse cominciano a scorrere per effetto della componente parallela della forza finché la superficie del liquido non torna ad essere perpendicolare alla forza.Ciò succede per esempio se incliniamo un bicchiere pieno d’acqua, come mostrato nelle figure b) e c).

PA

PA

PA

a)

b)

c)


La pressione idrostatica

Ogni liquido in quiete agisce con una certa forza sulle pareti del contenitore. Tale forza è perpendicolare alle pareti. In caso contrario si osserverebbe uno scorrimento del liquido contro le pareti.

È evidente che la forza che le molecole esercitano sulla parete di un contenitore è proporzionale alle dimensioni della superficie. Viene quindi considerata la forza per unità di superficie, che viene definita pressione p. L’unità di misura della pressione è il Pascal, che è definito come una forza unitaria (1N) applicata su di una superficie unitaria (1 m2).

P = F / A

a)

Δ A

Δ F

b)

a) la forza esercitata dal fluido su d i u n c o r p o i m m e r s o è perpendicolare in ogni punto alla superficie del corpo. b) la forza del fluido sulle pareti del recipiente è perpendicolare alle pareti in ogni punto.

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Variazione della pressione con la profondità

Anche per effetto della forza gravitazionale su un liquido si crea pressione. Consideriamo un fluido a riposo in un contenitore. Notiamo che tutti i punti alla stessa profondità devono trovarsi alla stessa pressione. Diversamente qualche elemento del fluido non sarebbe in equilibrio.

Consideriamo un volumetto di liquido di sezione A e di altezza dx. La forza Fu sul fondo del cilindo e diretta verso l’alto vale PA, mentre la forza verso il basso è Fu = (P + dP)A.

Definendo la densità del fluido ρ = m / V (rapporto tra massa e volume) si ha che il peso dell’elemento considerato di fluido è dW = ρ g dV = ρ g A dx.

Poiché l’elemento è in equilibrio nel fluido, la forza risultante deve essere nulla, per cui

Σ Fu = PA - (P + dP)A - ρ g A dx = 0

- dPA = ρ g A dx

dP dx

che integrata dà la legge di Stevino Ph = Pa +ρ g h

dx

A F0

Fu

x = 0 dW

= - ρ g

La pressione Ph ad una profondità h al di sotto della superficie dei un liquido sottoposto alla pressione atmosferica è maggiore di una quantità ρ g h rispetto a quest’ultima.


Pressione atmosferica

Nella legge di Stevino Ph = Pa +ρ g h

Ph è la pressione atmosferica, cioè la pressione esercitata dalla colonna d’aria sopra di noi.

La misura della pressione atmosferica può essere eseguita con il barometro inventato da Torricelli.

Un lungo tubo chiuso ad un’estremità viene riempito con del mercurio e poi rovesciato in una bacinella piena di mercurio (figura a sinistra). All’estremità chiusa del tubo si forma un vuoto spinto e perciò la pressione può essere considerata nulla. Ne segue che

Pa =ρ g hdove:ρ = densità del mercurioh = altezza della colonna di mercurio

h

P = 0

Disegno originale del primo barometro di Torricelli.

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Spinta e principio di Archimede

Ogni corpo immerso parzialmente o totalmente in un fluido viene spinto verso l’alto da una forza. Il valore della spinta è uguale al peso del fluido spostato dal corpo.

Verifica.•  Si consideri un volumetto di liquido in equilibrio (fig. a). Esso agisce

con una forza W pari al suo peso sul liquido sottostante. Poiché il fluido è in equilibrio il liquido sottostante agisce con una spinta B uguale ed opposta a W.

•  Sostituiamo il cubo di liquido con un cubo dello stesso volume di materiale più pesante (es. acciaio, fig. b). La spinta B del liquido verso l’alto è la stessa del caso precedente perché il volume di liquido spostato non è variato. Il peso W dell’oggetto è invece aumentato, pertanto si ha W - B > 0, cioè esisterà una forza risultante diretta verso il basso che farà affondare il corpo.

•  Utilizziamo ora un cubo di materiale avente densità inferiore a quella del fluido (fig. c).Si avrà W - B < 0, e il corpo galleggerà, cioè risalirà fino alla superficie del liquido rimanendovi immerso solo parzialmente.

BW

BW

BW

a)

b)

c)

W = mliquido g = ρliquido g V

W = macciaio g = ρacciaio g V


La Pressione Sanguigna

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Il moto dei fluidi

1. Moto laminare. Si ha quando ogni particella che passa in un particolare punto si muove lungo la stessa traiettoria seguita dalla particella che è passata in precedenza. Ogni particella del fluido si muove su una traiettoria detta linea di corrente. Le diverse linee di corrente

non possono intersecarsi tra loro ed in ogni punto coincidono con la direzione della velocità in quel punto. Es.: flusso stazionario attraverso un tubo strozzato

2. Moto turbolento.

Si tratta di un moto irregolare che il liquido ha al di sopra di una certa velocità ed in prossimità di superfici che possono causare

una variazione di velocità. In questo moto disordinato le traiettorie dei punti del fluido sono dette vortici.

Es.: il flusso attorno ad una pallina da golf in volo è stazionario al di sopra ed al di sotto di essa, mentre è turbolento dietro.

Quando un fluido è in movimento, il moto può essere caratterizzato in due diversi modi:

Definizione di Portata


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Equazione di Continuità



Teorema di Bernoulli

Definizione di fluido ideale:1. Non viscoso (non sono presenti forze di attrito interne tra strati

adiacenti di liquido)2. Incomprimibile (densità costante)3. Il moto del fluido è stazionario (velocità, densità e pressione in

ogni punto non variano col tempo).4. Il moto del fluido non è turbolento.

Quando un fluido ideale è in movimento lungo un tubo a sezione e quota variabile la pressione cambia lungo il tubo.

Bernoulli, basandosi unicamente sulla conservazione dell’energia dimostrò che la somma della pressione (P), dell’energia cinetica per unità di volume (1/2 ρ v2 ) e dell’energia potenziale per unità di volume (ρ g h) è costante in tutti i punti di una linea di corrente. Ciò viene espresso dalla relazione

P + ρ v2 + ρ g h = costante12

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Teorema di Bernoulli

Definizione di fluido ideale:1. Non viscoso (non sono presenti forze di attrito interne tra strati

adiacenti di liquido)2. Incomprimibile (densità costante)3. Il moto del fluido è stazionario (velocità, densità e pressione in

ogni punto non variano col tempo).4. Il moto del fluido non è turbolento.

Quando un fluido ideale è in movimento lungo un tubo a sezione e quota variabile la pressione cambia lungo il tubo.

Bernoulli, basandosi unicamente sulla conservazione dell’energia dimostrò che la somma della pressione (P), dell’energia cinetica per unità di volume (1/2 ρ v2 ) e dell’energia potenziale per unità di volume (ρ g h) è costante in tutti i punti di una linea di corrente. Ciò viene espresso dalla relazione

P + ρ v2 + ρ g h = costante12


Applicazione del teorema di Bernoulli

Spinta dell’aria sull’ala di un aereoplano.

Assumiamo che la forma dell’ala sia tale da non causare vortici.Dalla figura in alto si nota che le linee di corrente sopra l’ala sono più dense di quelle sotto. Ciò significa che l’aria al di sopra dell’ala scorre più velocemente di quella al di sotto.

Applicando il teorema di Bernoulli

P + ρ v2 + ρ g h = costante

si ricava che la pressione al di sopra dell’ala è minore di quella al di sotto e viene a crearsi una forza risultante diretta verso l’alto.La spinta comunque dipende da vari fattori come la velocità dell’aereo e l’inclinazione dell’ala. Quando queste aumentano il flusso turbolento aumenta, riducendo la spinta prevista dall’effetto Bernoulli.

v2

v1

F2

F1

12

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Viscosità

I liquidi reali scorrono sempre in presenza di attrito. Nello scorrimento in una conduttura uno strato sottilissimo di liquido aderisce alla superficie della parete e gli strati più interni scorrono via via uno dentro l’altro. La forza di attrito dipende dalla estensione della superficie del liquido considerato e dalla differenza di velocità tra gli strati vicini. I due strati di area A (fig. a destra) si muovono rispettivamente con velocità v e v + dv. Per spostare lo strato superiore sopra quello inferiore è necessaria una forza F data da

dove η è il coefficiente di viscosità definito da η = e la cui unità di misura è Pa s.

Piano stazionario

v + dv

dz FA

dvdz

= η (legge di Newton)

FA

dvdz

Elemento di volume di un fluido viscoso.

P rof i lo d i ve loc i tà in una conduttura cilindrica.


La tensione superficiale (1)

Le forze superficiali si creano per effetto di un’asimmetria delle forze che agiscono su una molecola in prossimità della superficie.

All’interno di un liquido, entro il loro raggio d’azione, agiscono su ogni molecola forze di attrazione intermolecolari, in tutte le direzioni e con la stessa intensità (vedi figura). Se però una molecola si trova al limite una parte delle forze non viene compensata, provocando una forza risultante perpendicolare alla superficie del liquido. Le molecole di superficie vengono attratte verso l’interno, spingendo su quelle sottostanti e producendo una pressione.

strato limite

nessuna forza risultante

Per aumentare la superficie di un liquido si devono portare ulteriori molecole alla superficie, vincendo la loro attrazione molecolare. Occorre produrre lavoro, che viene accumulato nella superficie ingrandita.

L’energia superficiale specifica, o tensione superficiale, è definita da

γ =

e si misura in N m-1.

lavoro di formazione di una nuova superficie (ΔW)area della nuova superficie (ΔA)

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La tensione superficiale (2)

La tensione superficiale può essere ricavata anche in un altro modo. Se si vuole aumentare la superficie di un liquido, ad esempio allargando una lamella di liquido (fig. a destra) viene svolto il lavoro

ΔW = F Δs

La superficie viene aumentata di 2 l Δs per cui l’aumento di energia superficiale è 2 γ l Δs. Per la conservazione dell’energia si ha:

F Δs = 2 γ l Δs

da cui

γ = . .F2 l

ds

l


Esempi di tensione superficiale in natura

Le gocce d’acqua non scivolano dalla foglie a causa della tensione superficiale.

Zanzara sulla superficie dell’acqua. La zanzara comprime leggermente la superficie dell’acqua che, deformata, produce una forza verso l’alto che compensa il peso della zanzara.

Dispense del Modulo di Fisica “Cinematica”

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