Dispense Comunicazioni elettriche - Fondamenti di telecomunicazioni
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8/20/2019 Dispense Comunicazioni elettriche - Fondamenti di telecomunicazioni
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Politecnico di Bari
Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e delle
Telecomunicazioni
Appunti del modulo di
FONDAMENTI di TELECOMUNICAZIONI
Ciro Cafforio
Anno Accademico 2011-2012
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CAPITOLO 1
GeneralitĂ sui sistemi di trasmissione
1.1. Problematiche poste da un sistema di telecomunicazioni.
Lâobiettivo del corso è quello di studiare, a un livello elementare, le tecniche che si posso-no usare per far arrivare ad un utente lontano lâinformazione che intendiamo trasmettergli,ad un livello di accuratezza tale da renderla utilizzabile. Si consideri, ad esempio, il casodel servizio telefonico: lâinformazione da trasmettere è costituita dai suoni emessi dal par-latore. Tali suoni, cioĂŠ le onde di pressione, devono essere trasformati da un opportuno âtrasduttoreâ (microfono) in segnali elettrici che è poi possibile far propagare lungo unopportuno mezzo trasmissivo, eventualmente dopo averli opportunamente amplificati. Inricezione il segnale in arrivo viene ritrasformato, mediante un altro trasduttore (altoparlan-te ), in onde di pressione intellegibili dallâorecchio dellâutente. Naturalmente la qualitĂ delsuono riprodotto dipende dalla fedeltĂ con cui operano i due trasduttori, ma di importanzafondamentale è anche il comportamento del mezzo trasmissivo interposto. In qualsiasi si-stema di trasmissione il segnale ricevuto non è mai esattamente identico a quello trasmesso:sarĂ sempre presente una certa degradazione.
Nel seguito si ipotizzerĂ che il mezzo trasmissivo sia lineare , cioĂŠ che per esso valgail principio di sovrapposizione degli effetti e che le sue proprietĂ non cambino col tempo,
o lo facciano lentamente. Un mezzo trasmissivo ideale è caratterizzato da una funzionedi trasferimento con modulo costante e con fase lineare, almeno nella banda in cui sonocontenute tutte le componenti spettrali del segnale da trasmettere. Un tale mezzo riproponein uscita un segnale identico a quello immesso al terminale trasmittente, solo di ampiezzaridotta (attenuato) e ritardato. In realtĂ , nessun mezzo trasmissivo è esattamente ideale:il modulo della funzione di trasferimento non sarĂ mai costante in banda ed anche lacaratteristica di fase sarĂ ben lungi dallâessere lineare con la frequenza. Di conseguenza ilsegnale ricevuto risulterĂ non solo attenuato e ritardato; sarĂ sostanzialmente diverso daquello trasmesso.
Idealmente, il ricevitore può correggere gli effetti del mezzo non ideale, una volta chegli siano noti, mediante un filtraggio âinversoâ: si può, cioĂŠ equalizzare il canale. Basta
amplificare di piĂš le componenti che risultano piĂš attenuate e meno quelle che lo sono dimeno e tutto torna a posto!
Quando le cose sembrano andare a posto troppo bene bisogna sempre diffidare. Infatti,la procedura descritta può funzionare solo a patto che nessuna delle componenti spettralidel segnale venga attenuata troppo. Se la funzione di trasferimento del mezzo che si vuoleequalizzare avesse uno zero di trasmissione in banda, il ricevitore dovrebbe provvedereunâamplificazione infinita a quella frequenza! E ciò è chiaramente impossibile.
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4 1. GENERALITĂ SUI SISTEMI DI TRASMISSIONE
La realtà è ancora piÚ complicata: il segnale ricevuto è costituito non solo da una copiaattenuata ed eventualmente distorta (distorsione spettrale e, quindi, lineare) di quello tra-smesso, ma anche da altri segnali indesiderati (disturbi ) che gli si sovrappongono. Diversepossono essere le cause di tali disturbi. Possono esserci delle
interferenze provocate da altri
segnali che si propagano lungo il mezzo contemporaneamente al nostro; possono esserci deidisturbi provocati da sistemi di natura diversa, ma che emettono radiazioni nellâintervallodi frequenze interessato (ad es. motori, impianti industriali e simili). Un disturbo che nonmanca mai e che è intrinseco in ogni sistema di trasmissione è il rumore termico generatosia nel mezzo trasmissivo, sia nelle apparecchiature.
In ogni caso, al segnale ricevuto è sovrapposto del rumore ed esso sarĂ caratterizza-to, esattamente come il segnale, da un suo spettro. Lâonnipresente rumore termico sarĂ distribuito su tutte le frequenze. Questo vuol dire che la procedura di equalizzazione giĂ descritta diventa ancora piĂš delicata, in quanto non ci sarĂ da fare i conti solo con lâampli-ficazione infinita (o comunque molto alta). Bisogna tener conto della presenza del rumore
ed evitare di amplificare troppo quelle componenti del segnale che risultassero tanto atte-nuate da essere diventate di ampiezza paragonabile o addirittura inferiore alle componentidel rumore. Inutile sarebbe la pretesa equalizzazione del segnale se poi al supposto segnaleindistorto risultasse sovrapposto un disturbo di ampiezza ben maggiore!
Compare in questo discorso una quantitĂ che costituisce un parametro fondamentaledi tutti i sistemi di trasmissione: il rapporto segnale/rumore . Inteso in forma integrale,come potenza di segnale su potenza di rumore, o come funzione della frequenza, comerapporto tra le densitĂ spettrali di potenza del segnale e del rumore, esso giocherĂ un ruolofondamentale in tutte le successive considerazioni.
Risulta evidente, a questo punto, che in nessun caso il segnale ricevuto può essereesattamente uguale a quello trasmesso (si tenga presente che in nessun caso attenuazione e
ritardo vanno considerati come causa di differenze). Diventa necessario stabilire un limiteoltre il quale le prestazioni del sistema diventano inaccettabili. Tale limite non può essereunico, nĂŠ univocamente determinato: ingegneristicamente si stabilisce in modo che lâutentesia ragionevolmente soddisfatto. Se il sistema funziona meglio nessuno si lagnerĂ , trannechi dovrĂ pagare le spese, in quanto ovviamente prestazioni migliori si accompagnano acosti maggiori. In tale situazione il dimensionamento viene fatto in modo che lâutenzasia soddisfatta, ma nulla di piĂš, tranne un sovradimensionamento dovuto esclusivamentea motivi di affidabilitĂ (qualcosa di molto simile ai coefficienti di sicurezza dellâingegneriacivile).
Chi o cosa sia da intendersi per utente dipende dal particolare segnale che si sta con-
siderando. Tornando allâesempio del telefono, un livello di prestazione accettabile è quelloche mediamente permette ad una preassegnata percentuale di utenti di effettuare una te-lefonata senza eccessivo âfastidioâ. Ognuno di noi può sperimentare che, anche in assenzadi âparlatoâ da parte del corrispondente, câè sempre un certo fruscio nel ricevitore del mi-crotelefono. Naturalmente il livello accettabile del disturbo varia in funzione della suanatura: diverso è lâeffetto prodotto da un fruscio, diverso quello prodotto da unâaltra con-versazione in sottofondo. Di conseguenza, per ogni tipo di disturbo va stabilito il relativorapporto segnale/rumore minimo tollerabile. Le soglie di tollerabilitĂ vanno poi stabilite,
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1.2. IL RUMORE 5
quando non sia possibile fare altrimenti, con campagne di opinione su un campione signi-ficativo dellâutenza. Per i servizi giĂ consolidati, i requisiti di qualitĂ vengono raccolti inraccomandazioni emesse da organismi internazionali come lâITU.
Non sempre in ricezione si ha interesse a ricostruire il piĂš fedelmente possibile il segna-le trasmesso. Tra i possibili formati che lâinformazione da trasmettere può assumere câèquello numerico: si pensi, ad esempio, ad un collegamento tra calcolatori. In questo casolâinformazione elementare da trasmettere è la cifra binaria ed in ricezione poco importaricostruire le forme dâonda (peraltro note) che in trasmissione sono state usate per rappre-sentare lo 0 o lâ1: basta essere in grado di decidere, con la maggiore affidabilitĂ possibile,quale cifra binaria è stata effettivamente trasmessa. Questo porterĂ , come vedremo, a defi-nire in modo particolare il rapporto segnale/rumore da utilizzare per valutare le prestazionidi tali sistemi.
Le considerazioni fatte valgono per qualunque mezzo trasmissivo, sia esso ad onde con-vogliate (doppino telefonico, cavo coassiale, fibra ottica) o ad onde irradiate (mezzo radio).
Una differenziazione notevole tra i diversi mezzi trasmissivi è rappresentata dallâintervallodi frequenze entro il quale deve essere compresa la banda di un segnale perchĂŠ esso pos-sa essere trasmesso. Il doppino telefonico è un mezzo passa-basso, cosĂŹ come lo è il cavocoassiale, anche se con una banda passante ben maggiore. Il mezzo trasmissivo radio, in-vece, è passa-banda, cioĂŠ lascia propagare un segnale con uno spettro che parte da unafrequenza diversa da zero (meglio se il rapporto fra frequenza massima e minima è piccolo).Tale caratteristica è ancora piĂš evidente per le fibre, dove lo spettro di un segnale deveessere compreso nelle frequenze ottiche per potersi propagare. Questo vuol dire che lâap-parecchiatura trasmittente non può essere costituita da un semplice amplificatore, comenellâesempio di collegamento telefonico: è necessario che il segnale da trasmettere vengamodificato in modo da potersi propagare e questo, normalmente, richiede la âmodulazione
di una portanteâ.
1.2. Il rumore
In base a quanto già detto dovrebbe essere evidente che in un sistema di trasmissionenon è importante il livello assoluto del segnale ricevuto. In assenza di qualunque disturbo,se gli amplificatori fossero in grado di amplificare un segnale senza sovrapporgli del rumore,il segnale ricevuto potrebbe raggiungere valori estremamente piccoli, dal momento chebasterebbe una successiva amplificazione a riportarlo a valori accettabili. Nella realtà ,però, bisogna fare i conti con il rumore che immancabilmente si sovrappone al segnaleutile. Tale rumore viene in parte generato nel mezzo trasmissivo ed in parte generato
internamente allâapparato ricevente.1.2.1. Rumore termico. Ricordiamo brevemente i due tipi piĂš comuni di rumore con
statistica gaussiana. Il primo è il rumore dovuto allâagitazione termica degli elettroni in unconduttore e, quindi, in un resistore. Ă noto che ai morsetti di un resistore di valore R, postoa temperatura assoluta T , è rilevabile una tensione casuale generata, appunto, dal motocaotico degli elettroni in agitazione termica allâinterno del resistore. La tensione termica,essendo il risultato della sovrapposizione di un gran numero di contributi elementari, ha
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6 1. GENERALITĂ SUI SISTEMI DI TRASMISSIONE
statistica gaussiana; il suo valor medio è nullo e la sua densitĂ spettrale (monolatera) èpari a 4kT R [V2/Hz]. Ne consegue che il valore efficace della tensione di rumore, misuratacon uno strumento che "non carichiâ il resistore ed abbia una banda equivalente di rumore
di B Hz, è pari a
â 4kTRB.
eff
T
R v v = 4kTRBn n
Figura 1.2.1. Tensione di rumore ai capi di un resistore.
Un modo comodo di rappresentare il comportamento rumoroso di un resistore reale è
quello di considerare un resistore "ideale" non rumoroso di identico valore e di mettergliin serie un generatore di tensione che imponga una tensione casuale con caratteristichestatistiche uguali a quelle della tensione termica. In modo del tutto equivalente si puòconsiderare un resistore non rumoroso con in parallelo un generatore di corrente casuale. Lastatistica di questa corrente di rumore è facilmente determinabile poichÊ la rappresentazioneparallelo deve essere del tutto equivalente a quella serie: la corrente impressa deve averestatistica gaussiana, valor medio nullo e densità spettrale pari a 4kT G [A2/Hzl, con G =1/R.
La densitĂ spettrale di potenza disponibile di rumore, cioĂŠ la densitĂ spettrale dellapotenza reale che un resistore a temperatura T erogherebbe su un carico resistivo di pari
valore (carico adattato), vale hn = kT [W/Hz] (k = 1, 38 ¡ 10â23
Joule/Kelvin).1.2.2. Rumore granulare. Un rumore con caratteristiche statistiche uguali a quelle
del rumore termico si genera con il passaggio di corrente elettrica mediante portatori dicarica elementare (ad es. elettroni e lacune nei semiconduttori), attraverso una barriera dipotenziale (come quella presente in corrispondenza di una giunzione). Lâistante in cui unelettrone (o lacuna) attraversa la zona di carica spaziale è casuale ed indipendente dagliistanti in cui la barriera è attraversata dagli altri portatori. Se la corrente ha valor medio I [A] e la carica elementare vale q [Coulomb], il numero medio di attraversamenti per unitĂ di tempo vale n = I/q . La fluttuazione statistica intorno al valore I ha densitĂ spettrale(monolatera) che vale 2qI [A2/Hzl e, se considerata in una banda limitata, è, anche qui,
somma di un numero elevato di contributi indipendenti ed ha, perciò, densità di probabilità delle ampiezze gaussiana.
1.2.3. Scostamenti dalla densitĂ spettrale costante. Entrambe le densitĂ spet-trali considerate sono costanti con la frequenza e costituiscono, quindi, unâapprossimazionevalida solo fino ad una certa frequenza. Una densitĂ spettrale costante implicherebbe, in-fatti, una potenza infinita. Se il calcolo della densitĂ spettrale di potenza disponibile dirumore per un resistore viene effettuato tenendo in conto fenomeni quantistici, si ottiene
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1.2. IL RUMORE 7
che tale densitĂ vale:
hn = hf
exp(hf/kT ) â 1che per f
â0 tende ad hn = kT , ma che poi, correttamente, tende a zero per f
â â. h
è la costante di Planck e vale 6, 625 ¡ 10â34 joule¡s.Nel caso del rumore granulare la riduzione della densitĂ spettrale in alta frequenza è
dovuta al fatto che ogni portatore produce un impulso di corrente di area q , ma di durata Ď non infinitesima, poichĂŠ ha bisogno di un tempo finito per attraversare la giunzione. Si puòdescrivere tale situazione come un filtraggio degli impulsi mediante un filtro la cui rispostaha la forma del singolo impulso di corrente. La densitĂ spettrale di potenza risultantepuò allora, come noto, ottenersi moltiplicando la densitĂ spettrale ottenuta ipotizzandoimpulsi di corrente ideali, per il modulo al quadrato della funzione di trasferimento delfiltro in questione. La densitĂ spettrale della corrente sarĂ , perciò, sagomata come lospettro di energia del singolo impulso ed avrĂ uno zero intorno alla frequenza 1/Ď . La
densitĂ spettrale della corrente granulare, quindi, è costante solo per frequenze 1/Ď .Nei dispositivi reali possono generarsi altri tipi di rumore, oltre al rumore termico ed alrumore granulare. Questi disturbi hanno densitĂ spettrali non costanti, ma, soprattutto,non hanno statistica gaussiana. Per maggiori dettagli è consigliabile consultare un buonlibro di elettronica.
1.2.4. Composizione di piĂš termini di rumore. Nella composizione di piĂš terminidi rumore è sempre necessario decidere se essi sono incorrelati o, in tutto o in parte, corre-lati. Eâ evidente che quando due contributi di rumore sono il risultato di due realizzazionidistinte, anche di uno stesso processo (ad es. tensioni di rumore ai capi di due resistenze),essi sono indipendenti e, quindi, vanno âsommati in potenzaâ.
Esempio. Si calcoli la tensione di rumore ai capi di due resistori in serie, il primo divalore R1 ed a temperatura T 1, il secondo di valore R2 a temperatura T 2.
2
R
R
1
2
= +1
v
n
n
T
Tv
v v vn n n2
2
1
1
Figura 1.2.2. Tensione di rumore ai capi di due resistori in serie.
Ovviamente le tensioni di rumore ai capi dei due resistori sono statisticamente indipen-denti. La totale tensione di rumore vn è, istante per istante, somma dei due termini ed ilsuo valore quadratico medio vale:
E
v2n
= E
(vn1 + vn2)2
= E
v2n1
+ E
v2n2
+ 2 E [vn1 ¡ vn2]
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8 1. GENERALITĂ SUI SISTEMI DI TRASMISSIONE
PoichĂŠ lâultimo termine ha valore nullo per la statistica indipendenza delle due variabili,il valore quadratico medio della somma risulta uguale alla somma dei valori quadratici medidei due addendi. Di conseguenza, la densitĂ spettrale della tensione risultante a vuoto aicapi delle due resistenze in serie vale:
hn = 4kT 1R1 + 4kT 2R2 = 4kT 1R1 + T 2R2
R1 + R2(R1 + R2) = 4kT eq(R1 + R2)
Evidentemente, T eq = T se T 1 = T 2 = T , perchĂŠ in tal caso le due resistenze devono essereequivalenti ad una sola resistenza di valore R1 + R2 a temperatura T .
Questo discorso, come è noto, si può generalizzare: se in una rete passiva reciprocatutti gli elementi dissipativi sono alla stessa temperatura, la tensione di rumore ad unacoppia di morsetti della rete si può calcolare tenendo in conto la parte reale dellâimpedenza(genericamente funzione della frequenza) presentata dalla rete a quei morsetti.
Esempio. Si consideri un resistore, di valore R a temperatura T , in parallelo ad uncondensatore di valore C . Le perdite nel condensatore siano trascurabili. Qual è il valoreefficace della tensione di rumore presente ai loro capi?
________
Un primo modo di procedere è quello di rappresentare la rumorosità del resistore con ungeneratore equivalente di corrente di rumore in parallelo, di calcolare la densità spettraledella tensione di rumore e, integrandola, calcolare il valore efficace della tensione di rumore.
C vn eff
4kTG
R
Figura 1.2.3. Tensione efficace di rumore ai capi di un RC.
Lâimpedenza del parallelo R-C vale R/(1+ ĎC R). La densitĂ spettrale della tensione siricava moltiplicando la densitĂ spettrale della corrente in ingresso per il modulo al quadratodellâimpedenza. Perciò:
v2neff = â0
4kT R
R2
1 + Ď2C 2R2 df = 2kT
ĎC [arctan x]â0 = kT C
Eâ immediato verificare che lo stesso risultato si ottiene se si considera la parte realedellâimpedenza e si integra la densitĂ spettrale della tensione di rumore cosĂŹ ottenuta: â
0
4kT Re
R ¡ (1 â ĎC R)
1 + Ď2C 2R2
df =
kT
C
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1.3. RUMORE IN CATENE DI AMPLIFCAZIONE 9
1.3. Rumore in catene di amplifcazione
Si consideri ora un sistema di comunicazione in cui il segnale viene ricevuto con so-vrapposto del rumore gaussiano bianco. Si suppone che lâadattamento tra i vari elementi
sia perfetto, per cui si considererĂ sempre la potenza disponibile di rumore e la relativadensitĂ spettrale.
Il rumore che arriva giĂ sovrapposto al segnale (ad es. rumore captato) si può evi-denziare mediante un generatore equivalente di rumore con densitĂ spettrale di potenzadisponibile pari a kT g. Lâamplificatore che ha il compito di aumentare il livello del segnalericevuto, normalmente troppo basso, è realizzato con dispositivi attivi ed introduce altrorumore. Eâ comodo evidenziare tutti i contributi di rumore dovuti alle apparecchiature conun rumore equivalente sommato al segnale allâingresso di un amplificatore non rumoroso(in modo del tutto equivalente a quanto fatto per un resistore). LâentitĂ di questo rumoreaddizionale viene espresso tramite una temperatura equivalente di rumore, oppure tramiteun âfattore di rumoreâ.
La temperatura equivalente di rumore di un apparato (T a) indica lâentitĂ del rumoreche, sommato al segnale allâingresso di un ideale apparato non rumoroso, produce allâuscitaun rumore identico a quello effettivamente prodotto dallâapparato rumoroso. La somma delrumore giĂ presente in ingresso e di quello dovuto agli apparati, cioĂŠ il totale rumore cheviene sovrapposto al segnale nel particolare sistema considerato, ha densitĂ spettrale chevale k(T g + T a) [W/Hz]. Alla temperatura T s = T g + T a viene dato il nome di temperaturaequivalente di rumore del sistema.
oh = FkT nh = k(T + T )
T A
T
g
a
T Ao
F
g a n
Figura 1.3.1. RumorositĂ di un amplificatore quantificata mediantetemperatura equivalente e fattore di rumore.
La temperatura equivalente di rumore esprime correttamente il rumore introdotto da-gli amplificatori mediante un termine additivo. Il fattore di rumore, invece, rappresentala rumorositĂ degli apparati con un fattore moltiplicativo che, applicato alla densitĂ spet-trale del rumore presente in ingresso, esprime la densitĂ spettrale del rumore totale. Il
rumore generato negli amplificatori non dipende, però, dal rumore iniettato dal generatoredâingresso, bensĂŹ dalle condizioni di funzionamento degli stessi. Ad evitare che il valoredel fattore di rumore di un amplificatore venga a dipendere dalla temperatura di rumoredel generatore, esso è definito per un ben preciso valore di tale temperatura: di solito siassume temperatura ambiente (T o = 293 K).
Se T g = T o le due rappresentazioni devono coincidere:
F kT o = k(T o + T a) e quindi T a = (F â 1)T o
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10 1. GENERALITĂ SUI SISTEMI DI TRASMISSIONE
Se piĂš apparati vengono messi in cascata, è abbastanza ovvio che il rumore generatoda quelli che ricevono in ingresso il segnale al livello piĂš basso sarĂ dominante. Infattiil segnale verrĂ degradato sempre meno da un rumore di entitĂ fissata man mano cheesso viene amplificato. Tale osservazione rende conto in modo molto semplice del perchĂŠ,nel calcolare la temperatura equivalente di rumore di una catena di amplificatori, ognicontributo di rumore va pesato per lâinverso della totale amplificazione esistente a montedellâeffettivo punto di iniezione. Si consideri, ad esempio, la catena di tre amplificatori difigura 1.3.2.
3A A A
a1 a2 a3
1 2
Figura 1.3.2. Catena di amplificatori rumorosi.
La rumorositĂ dei dispositivi è evidenziata mediante il rumore equivalente (kT an) som-mato in ingresso ad ogni stadio. La temperatura equivalente di rumore della catena diamplificatori (cioĂŠ quella che moltiplicata per k dĂ la densitĂ spettrale di potenza disponi-bile del rumore da sommare allâingresso degli amplificatori non piĂš rumorosi per ottenerelo stesso risultato) vale:
T a = T a1 + T a2A1
+ T a3A1A2
Il calcolo si può effettuare anche usando il fattore di rumore. In tal caso conviene semprericordarne la definizione e, nel calcolare il fattore di rumore complessivo, considerare latemperatura del generatore pari a T o. Il primo amplificatore porta la densità spettrale
o
A A A1 2 3
kTo
1 (F â1)kT2 3(F â1)kTo o (F â1)kT
Figura 1.3.3. Catena di amplificatori: uso del fattore di rumore.
equivalente del rumore in ingresso al valore F 1kT o. Il successivo introduce un rumore cond.s.p. pari a (F 2 â 1)kT o che, per essere riportata allâingresso del primo, va divisa per A1.Il fattore di rumore complessivo vale, perciò:
F = F 1 + F 2 â 1
A1+
F 3 â 1A1A2
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1.3. RUMORE IN CATENE DI AMPLIFCAZIONE 11
Attenuatore passivo. Eâ interessante calcolare il peggioramento di prestazioni, interrmini di rumorositĂ del sistema complessivo, prodotto da un attenuatore passivo postotra il generatore di segnale ed il primo stadio di amplificazione. Tale schema descrive ilcaso in cui tra lâantenna e le apparecchiature riceventi venga inserito un tratto di cavo odi guida dâonda.
Il dispositivo abbia unâattenuazione Îą (lâattenuazione è lâinverso di un guadagno edè > 1 quando il livello del segnale in uscita è piĂš basso di quello in ingresso) e sia atemperatura fisica ambiente. Se il generatore, che si suppone adattato, ha temperaturaequivalente di rumore T o, in base a quanto ricordato in precedenza (rete passiva reciprocacon elementi dissipativi tutti a uguale temperatura) il rumore in uscita si può calcolareusando la parte reale dellâimpedenza dâuscita. La densitĂ spettrale di potenza disponibiledi rumore a valle dellâattenuatore vale quindi, solo se T g = T o, hnu = kT o.
Questo rumore è scindibile in due contributi:(1) il rumore proveniente dal generatore e ripresentato attenuato in uscita;
(2) il rumore generato allâinterno dellâattenuatore e la cui entitĂ si può esprimeremediante la temperatura equivalente di rumore T att dellâattenuatore.
Per spostare un termine di rumore dallâuscita allâingresso dellâattenuatore bisogna molti-plicarne la densitĂ spettrale per lâattenuazione in potenza del dispositivo. La d.s.p. dirumore in ingresso si può scrivere come:
kT o + kT att = ÎąkT o
dalla quale si ricava che la temperatura equivalente di rumore dellâattenuatore passivo atemperatura T o vale:
T att = (Îą â 1) T o
Ricordando il legame esistente tra temperatura equivalente e fattore di rumore, si verificaimmediatamente che lâattenuatore ha un fattore di rumore numericamente uguale alla suaattenuazione.
Esempio. Si consideri un sistema nel quale T g = 100 K e T a = 150 K. Calcolareil peggioramento nelle prestazioni del sistema se il collegamento tra antenna e ricevitoreviene effettuato con un tratto di linea che attenua 1 dB e 2 dB rispettivamente.
ââââLa temperatura di sistema in assenza di perdite tra antenna e ricevitore vale:
T s1 = T g + T a = 250 K.
Con 1 dB di perdite la temperatura di rumore del sistema diviene (ricordando che 1 dB âĄ100,1 âź= 1, 26):
T s1 = T g + T att + ÎąT a = 100 + 0, 26 ¡ 293 + 1, 26 ¡ 150 = 365 K.Con 2 dB di attenuazione (âź= 1, 58) la temperatura di rumore del sistema diventa addiritturadi 507 K.
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12 1. GENERALITĂ SUI SISTEMI DI TRASMISSIONE
Esempio. Uno stesso rumore viene inviato contemporaneamente a due filtri. La densitĂ spettrale del rumore iniettato nel singolo filtro sia costante e pari ad hn. I due filtri abbianofunzioni di trasferimento reali e siano: un passa-basso ideale con frequenza di taglio f 1 ilprimo; un passa-banda con frequenze di taglio
f 2 ed
f 3 il secondo. Si calcoli la densitĂ
spettrale di potenza disponibile risultante dalla somma delle uscite dei due filtri.
f
h nuh n
1
1
f 1
f 2 3
Figura 1.3.4. Esercizio su termini di rumore correlati e non.
âââ-I casi possibili sono due:
(1) f 2 > f 1. Le due uscite non hanno componenti spettrali ad una stessa frequenza:ovviamente, la densitĂ spettrale sarĂ la somma delle due perchĂŠ, frequenza perfrequenza, o câè un segnale o câè lâaltro.
(2) f 2 < f 1. In questo caso i due segnali allâuscita dei filtri non si possono sommare nĂŠ âin potenzaâ nĂŠ âin tensioneâ perchĂŠ i due segnali sono parzialmente correlati. Nel
caso in questione, però, è banale separare i segnali in termini incorrelati e terminiuguali:
⢠nella banda 0 < f < f 2 câè contributo solo da un segnale (il primo);⢠nella banda f 2 < f < f 1 i due segnali sono uguali e, quindi, la loro somma avrĂ
densitĂ spettrale quadrupla di quella di ognuno dei due;⢠nella banda f 1 < f < f 3 di nuovo câè contributo solo da uno dei segnali (il secondo).
Si ottiene, in definitiva, una d.s.p. in uscita che nei due casi ha gli andamento seguenti:Nel caso piĂš generale di due filtri con funzioni di trasferimento generiche H 1(f ) ed
H 2(f ), il calcolo va fatto partendo dalla definizione di d.s.p. come trasformata della au-tocorrelazione del segnale. Siano s1(t) ed s2(t) due segnali ottenuti per filtraggio di uno
stesso segnale s(t). La densitĂ spettrale della loro somma vale, comâè abbastanza agevoleverificare1:hs1+s2 = F {E [(s1(t) + s2(t)) (s1(t + Ď ) + s2(t + Ď ))]} =
= F {E [s1(t)s1(t + Ď )]} + F {E [s2(t)s2(t + Ď )]} ++F {E [s1(t)s2(t + Ď )]} + F {E [s2(t)s1(t + Ď )]} =
= hs(f )|H 1(f )|2 + |H 2(f )|2+ 2Re {H 1(f )H â2(f )}
1Si ricordi che: E s(t â Îą)h(Îą) dÎą ¡ s(t + Ď â β )h(β ) dβ = rss(Ď ) â h(Ď ) â h(âĎ ).
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1.3. RUMORE IN CATENE DI AMPLIFCAZIONE 13
1° caso
n
f 1
f 2
f 3
f 3
f 2
f 1
hn
hn4
2° caso
h
Figura 1.3.5. Soluzione del problema proposto in figura 1.3.4
dove F {¡} indica lâoperatore trasformata di Fourier. Eâ immediato verificare che la formulaprecedente conferma la soluzione, ottenuta per via intuitiva, dellâesercizio precedente.
1.3.1. Misura del fattore di rumore. La misura del fattore di rumore, o dellatemperatura equivalente di rumore, di un apparato può essere effettuata abbastanza sem-plicemente se si hanno a disposizione due sorgenti a temperatura nota. Nel caso di appa-recchiature funzionanti a frequenze molto elevate, queste sorgenti sono realizzate con uncarico adattato tenuto a temperatura ambiente o raffreddato, ad esempio, con elio liquido.
Nel caso in cui lâapparato sia chiuso sulla terminazione a temperatura ambiente, lapotenza che si misura in uscita vale:
P onusc = F kT oA pBeq
Per determinare F sarebbe necessario misurare, oltre che P onusc, anche il guadagno inpotenza A p e la banda equivalente di rumore Beq, misure queste due ultime che non è
semplice effettuare con sufficiente precisione.Se si ha la possibilitĂ di portare la terminazione in ingresso ad una nuova temperaturaT 1, però, con solo due misure di potenza allâuscita dellâapparato si può determinare F .Infatti, con la terminazione a temperarura T 1, la potenza che si misura in uscita vale:
P 1nusc = k [T 1 + (F â 1) T o] A pBeq.Il rapporto tra le potenze misurate in corrispondenza delle due temperature del carico (chesi suppone non cambi la sua impedenza con la temperatura, ovviamente!) non dipende nĂŠda A p nĂŠ da Beq, ma solo dallâincognito F e dalle due temperature della terminazione, chedevono essere note. Si ricava facilmente che:
F =
1
âT 1/T o
1 â P 1nusc/P onusc .Ricavare eventualmente la temperatura equivalente di rumore è, ora, banale. Eâ ovvio chei conti potevano essere direttamente eseguiti utilizzando, per rappresentare la rumorositĂ dellâapparato, la temperatura equivalente di rumore al posto del fattore di rumore.
Un altro metodo, sostanzialmente equivalente, viene utilizzato quando è possibile usareun generatore di rumore la cui temperatura equivalente può essere variata con continuità .Un tale generatore può essere realizzato con un resistore in parallelo ad un generatore
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14 1. GENERALITĂ SUI SISTEMI DI TRASMISSIONE
di rumore granulare. Il resistore può essere usato per polarizzare il diodo e deve essererealizzato con tecnologia che eviti la generazione di altri termini di rumore a causa dellacorrente continua che lo attraversa (ad es. rumore âl/fâ). In tal modo si finisce con lâottenereun generatore di rumore con resistenza interna
R e densitĂ spettrale di corrente di rumore
4kT o/R + 2qI . La misura viene effettuata collegando il generatore con I = 0, cioĂŠ il soloresistore a temperatura ambiente, e misurando la potenza in uscita dallâapparato in prova.Poi si dĂ corrente al diodo e se ne aumenta il valore fin quando la potenza in uscita nonrisulta raddoppiata: sia IĚ il valore della corrente in questo caso. Adattando le formule giĂ utilizzate si può scrivere:
2 = F kT o + q IĚR/2
F kT oe, quindi:
F = q ĚIR
2kT o.
Val la pena di notare che il primo metodo richiede un misuratore di potenza con scalatarata, mentre il secondo può utilizzare qualunque strumento non tarato, se in uscita sidispone, però, di un attenuatore tarato da 3 dB. La misura si ripete inserendo lâattenuatoreed aumentando I finchĂŠ non si ottiene la stessa lettura: in questo modo non è importantela taratura dello strumento. Altre osservazioni sono ovvie: la misura deve essere fatta in untempo sufficientemente breve perchĂŠ la corrente IĚ non possa cambiare la temperatura dellaterminazione resistiva. Infine, tutti i discorsi relativi al tempo di transito dei portatori neldispositivo che genera il rumore granulare vanno tenuti in conto quando la misura vieneeffettuata a frequenze elevate.
Esempio. Si abbia un televisore con un fattore di rumore F T V = 10 dB ed un cavo didiscesa, che lo collega allâantenna, che attenua 3 dB. Qual è il fattore di rumore del sistemaricevente? Come si può abbassarlo a 6 dB?
______________
= 3 dB F = 10 dBTVÎą
Figura 1.3.6. Schema di sistema ricevente TV completo di linea di discesa dâantenna.
Il fattore di rumore del sistema ricevente vale, ricordando che per un attenuatore pas-sivo a temperatura ambiente il fattore di rumore ha un valore coincidente con la suaattenuazione:
F tot = Îą + F T V â 1
1/Îą = 2 +
10 â 10, 5
= 20 â 13 dBRidurre lâentitĂ di questo rumore non è possibile, ma si può fare in modo che il suo
effetto sia minore aumentando il livello del segnale che ci si deve confrontare. Questo vuol
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1.3. RUMORE IN CATENE DI AMPLIFCAZIONE 15
dire che il modo per tentare di ridurre il fattore di rumore del sistema complessivo è quellodi utilizzare un preamplificatore, del quale interessano i parametri guadagno (A) e fattoredi rumore (F A).
= 3 dBA, FA F = 10 dBTVÎą
Figura 1.3.7. Sistema ricevente TV con preamplificatore dâantenna.
Il fattore di rumore complessivo diventa:
(1.3.1) F tot = F A + Îą â 1
A +
F T V â 1A/Îą
= F A + 19
A ⤠4
dalla quale si ricavano le infinite coppie di valori A, F A che permettono di ottenere il
risultato richiesto.Consideriamo adesso due possibili amplificatori, con guadagni e fattori di rumore di-versi, che soddisfano la (1.3.1). Quale preferire? Ovviamente quello che ha un guadagnopiĂš basso, perchĂŠ rende meno problematici possibili effetti di saturazione dellâamplificatorea causa di segnali adiacenti.
Avendo acquisito i concetti necessari a valutare il livello del rumore sovrapposto alsegnale, si può ora passare al dimensionamento di sistemi di trasmissione.
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CAPITOLO 2
Canale trasmissivo passa basso
2.1. Introduzione
Lâobiettivo di un sistema di trasmissione è quello di far giungere un segnale al destina-tario nel modo piĂš fedele possibile. Lo schema di principio è il seguente
A
s(t) P
hn
ÎąT
xT s(t)^
Rx
Figura 2.1.1. Schema a blocchi di un sistema di trasmissione.
Non è importante al momento indagare sul funzionamento delle apparecchiature ditrasmissione Tx e di ricezione Rx. Esse servono esclusivamente a forzare lâinformazionein una forma che si possa propagare lungo il mezzo trasmissivo. Considereremo il mezzotrasmissivo come un sistema lineare caratterizzato da una attenuazione Îą e da una tempe-ratura equivalente di rumore T o, che quantifica la rumorositĂ presente allâuscita del mezzo
trasmissivo stesso, inevitabilmente sovrapposta al segnale utile.In ricezione si avrĂ , sovrapposta alla forma dâonda desiderata, una forma dâonda inco-gnita che costituisce un disturbo. Tale disturbo può essere di diverso tipo: sicuramente èsempre presente del rumore termico, dovuto al moto casuale degli elettroni nei conduttorie alla natura granulare della corrente che attraversa i dispositivi attivi. Questo discorsoporta alla conclusione che, alla fine del collegamento, è sempre indispensabile effettuare unbilancio di potenza. Se P T è la potenza trasmessa, la potenza ricevuta sarĂ
(2.1.1) P R = P T
Îą ââ P R|dBm = P T |dBm â a|dB
Se la temperatura equivalente di rumore ai morsetti di uscita del mezzo trasmissivo è
T o, la potenza di rumore al terminale ricevente sarĂ (2.1.2) P N = kT oB
essendo B la banda di misura, che naturalmente non può che essere la banda occupata dalsegnale. Il rapporto segnale-rumore allâuscita del mezzo trasmissivo è allora
(2.1.3) S
N
o
= P RkT oB
17
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18 2. CANALE TRASMISSIVO PASSA BASSO
essendo hn = K T o la densitĂ spettrale di potenza di rumore. Esso rappresenta il rapportosegnale-rumore che in teoria il mezzo trasmissivo potrebbe fornire. In realtĂ bisogna tenerconto dellâapparecchiatura ricevente, che introduce ulteriore rumorositĂ quantificabile me-diante il fattore di rumore
F . Il rapporto segnale rumore ottenibile allâuscita del sistema
trasmissivo è allora
(2.1.4) S
N =
P RF kT oB
Prima di proseguire il discorso facciamo la seguente osservazione. Consideriamo duecanali di trasmissione identici e supponiamo di effettuare la trasmissione contemporanea-mente su entrambi.
T
P
h
xR
n
ÎąT
xT
P
h
xR
n
ÎąT
xT
s(t)
s(t)^
s(t)^
s (t)
Figura 2.1.2. Due sistemi di trasmissione in parallelo.
Studiamo le uscite dei due canali separatamente e vediamo in che modo lâoperazionedi somma modifica il rapporto segnale-rumore. I due canali sono identici, per cui le uscitesaranno uguali. Sappiamo giĂ che, allâuscita del singolo canale, si avrĂ
(2.1.5) S
N
o
= P R
FkToB
Naturalmente si ha sT (t) = 2sĚ(t). La potenza di segnale ricevuta in totale sarĂ alloraP sT = 4P R, essendo PR la potenza in uscita dal singolo canale. Il rumore subirĂ sorteanaloga al segnale, con la sostanziale differenza che lâandamento temporale della tensionedi rumore allâuscita dei due ricevitori sarĂ diverso, al contrario di quanto avviene per ilsegnale. La tensione di rumore complessiva è data dalla somma delle due tensioni di rumore
(2.1.6) nT (t) = n1(t) + n2(t)
essendo n1(t) ed n2(t) rispettivamente la tensione di rumore allâuscita del canale superiore
e quella allâuscita del canale inferiore.I rumori nei due canali sono realizzazioni fisicamente distinte dello stesso fenomeno, traloro statisticamente indipendenti. Di conseguenza la potenza media della somma sarĂ parial doppio della potenza allâuscita del singolo canale. Si ha cioè
(2.1.7) P nT = 2P N
In seguito si userà la dicitura somma in tensione per indicare la somma di segnali ugualie congruenti istante per istante. In questo caso la potenza della somma è pari al quadruplo
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2.3. SISTEMA DI TRASMISSIONE SU CAVO COASSIALE 19
della potenza del singolo termine. Si userĂ la dicitura somma in potenza quando, come nelcaso del rumore nellâesempio che si sta considerando, la potenza della somma è pari allasomma delle potenze. Si ottiene in definitiva che il rapporto segnale-rumore complessivo è
(2.1.8) S N
T
= 4P R2P N
= 2 P RP N
= 2 S N
S
ed è quindi pari al doppio del rapporto segnale-rumore allâuscita del singolo canale. Dâaltraparte la potenza trasmessa è 2P T (P T per ogni canale). Si può allora giungere allo stessorisultato semplicemente trasmettendo potenza doppia su un unico canale.
2.2. Mezzi trasmissivi passa basso
Esistono due famiglie di mezzi trasmissivi: mezzi a onde convogliate o guidate e mezzi a onde irradiate . I primi impediscono alla potenza iniettata dal trasmettitore di diffondere. Il
mezzo è comunque dissipativo e lâattenuazione varia esponenzialmente con la distanza, cioĂŠin modo lineare con la distanza se misurata in unitĂ logaritmiche. La potenza in uscita dalmezzo è legata alla potenza trasmessa tramite un fattore che diminuisce esponenzialmentecon la distanza. A questa famiglia appartengono tutti i mezzi in rame (piĂš genericamentein materiale conduttore) e le fibre ottiche. Delle fibre si parlerĂ in un capitolo apposito.Per i cavi in rame la variazione dellâattenuazione con la frequenza è del tipo
(2.2.1) Îą (f ) = Îąs
f
f s(unitĂ logaritmiche)
essendo as lâattenuazione specifica a frequenza f s e Îą lâattenuazione specifica a frequenza
f . Tale dipendenza dellâattenuazione dalla frequenza è dovuta al fatto che allâaumentaredella frequenza è sempre piĂš sensibile lâeffetto pelle. La formula (2.2.1), infatti, non valefino alla continua, ma solo per frequenze sufficientemente elevate da rendere dominantelâeffetto pelle.
2.3. Sistema di trasmissione su cavo coassiale
Consideriamo un cavo lungo l chilometri con attenuazione di Îą dB per unitĂ di lun-ghezza ad una frequenza fissata (ad esempio Îą = 2 dB/km @ 1MHz). Consideriamo latrasmissione analogica nel sistema schematizzato in figura 2.1.1.
Supponiamo che s(t) abbia densitĂ spettrale hs costante in banda
B
hS
Figura 2.3.1. DensitĂ spettrale del segnale.
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20 2. CANALE TRASMISSIVO PASSA BASSO
In ricezione si ha, sovrapposto al segnale, un rumore con densitĂ spettrale hn, dovuto inparte al rumore generato nel cavo e in parte alla rumorositĂ dellâapparecchiatura ricevente.Naturalmente, dato che il cavo ha unâattenuazione che cresce con la frequenza, la densitĂ spettrale del segnale in uscita dal cavo sarĂ diversa da quella in ingresso. Allâingressodellâapparecchiatura ricevente abbiamo un rumore bianco con densitĂ spettrale hn e unsegnale la cui densitĂ spettrale è stata distorta. Nel punto A di figura 2.1.1 si ha lasituazione rappresentata in figura 2.3.2
S
segnale B
h
h n
rumore
Figura 2.3.2. DensitĂ spettrale di rumore e segnale allâuscita del cavo.
Si rende, quindi, necessaria una equalizzazione del mezzo trasmissivo. In altri terminiin ricezione è necessario un amplificatore il cui guadagno vari con la frequenza in modo taleda "spianare" la densitĂ spettrale del segnale. Se la funzione di trasferimento in potenzadel mezzo è del tipo exp(â2Îą (f )), lâamplificazione dovrĂ essere del tipo(2.3.1) A(f ) = k exp(2Îą (f ))
con k coefficiente moltiplicativo arbitrario e Îą (f ) dato dalla (2.2.1).
In questo modo ritroviamo il segnale come era stato trasmesso, ma sovrapposto ad essotroviamo un rumore amplificato, soprattutto nelle componenti in alta frequenza.
Ciò può creare problemi o meno a seconda dellâapplicazione. Nel caso di un segnaletelevisivo, per esempio, non ci sono grossi problemi perchĂŠ lâocchio è meno sensibile alrumore in alta frequenza, mentre la situazione può essere inaccettabile nel caso di segnaletelefonico multiplo a divisione di frequenza. Per ottenere un rapporto segnale-rumorecostante in frequenza, basta fare in modo che il segnale arrivi nel punto in cui il rumore èa densitĂ spettrale costante con tutte le componenti spettrali ad un livello relativo ugualea quello che avevano in partenza. Per far ciò basta effettuare una preenfasi del segnale,amplificandone le componenti in alta frequenza prima della trasmissione. A questo punto
lâamplificatore in ricezione può essere piatto in banda.Queste considerazioni sono sempre necessarie quando si usa un mezzo trasmissivo nonideale (attenuazione non costante in banda) per la trasmissione di segnali analogici.
Normalmente è necessario usare sistemi di comunicazione complessi, costituiti dallacascata di piÚ sistemi elementari. Se i sistemi in cascata sono tutti uguali tra loro siottengono sistemi multitratta del tipo in figura 2.3.3.
Vediamo come valutare il rapporto segnale-rumore allâuscita dellâultima tratta. Sup-poniamo di equalizzare il segnale in ricezione. Gli andamenti delle densitĂ spettrali che il
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2.3. SISTEMA DI TRASMISSIONE SU CAVO COASSIALE 21
7
hn1
AÎą
h
AÎą
h
AÎą
n2 n3
1 32 4 5 6
Figura 2.3.3. Schema a blocchi di un sistema multitratta con tratte uguali.
segnale ed i vari termini di rumore assumono nei vari punti del sistema sono schematizzatiin figura 2.3.4.
7
s(t)
h n1
h
h
n2
n3
1 3 42 5 6
Figura 2.3.4. DensitĂ spettrali di segnale e rumore in un sistemamultitratta con tratte identiche.
In definitiva si osserva che il segnale che emerge alla fine della catena è identico aquello trasmesso. Per quanto riguarda il rumore, esso viene iniettato in tutti i punti incui il segnale si trova con le componenti in alta frequenza attenuate. Allâuscita dellâultimatratta si ottengono tutti i termini di rumore che, indipendentemente da dove siano statiiniettati, si presentano con la stessa densitĂ spettrale. Di conseguenza, il segnale in uscitaè uguale a quello in ingresso e anche a quello che si otterrebbe con una sola tratta; perquanto riguarda il rumore, si ottengono tanti termini quante sono le tratte in cascata.Quindi il dimensionamento di un sistema multitratta con tratte tutte identiche tra lorosi può effettuare in modo analogo a quello di un sistema con una sola tratta, a pattodi modificare la schematizzazione del sistema come indicato in figura 2.3.5, essendo m ilnumero di tratte.
n
s(t)xT
s(t)^RxÎą(f)
m h
Figura 2.3.5. Schematizzazione equivalente di un sistema con m tratte identiche.
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22 2. CANALE TRASMISSIVO PASSA BASSO
Il rapporto segnale-rumore allâuscita è
S
N =
hsB
B0
m hnA(f )df
essendo A(f ) dato dalla (2.3.1).In alternativa possiamo fare in modo che il segnale si presenti con la sua densitĂ
spettrale originaria nei punti di iniezione del rumore, effettuando unâenfasi del segnalein trasmissione.
Equalizzazione passiva. Lâequalizzazione del mezzo trasmissivo si può ottenere met-tendo in cascata al cavo, che ha attenuazione non costante in frequenza, un filtro passivoche attenui maggiormente le componenti in bassa frequenza (meno attenuate dal cavo) e,in misura minore, quelle componenti che sono giĂ state attenuate dal cavo.
Il cavo abbia impedenza caratteristica Ro. In uscita presenterĂ una densitĂ spettraledi potenza di rumore disponibile kT o. In cascata si pone un filtro passivo, adattato inimpedenza sia in ingresso che in uscita e che abbia tutti i dispositivi passivi a temperaturafisica T o. Se si ipotizza che anche il generatore in trasmissione abbia unâimpedenza interna,anchâessa a temperatura T o, che garantisca lâadattamento con la linea, ci si trova con ununico dispositivo passivo in cui tutti gli elementi dissipativi sono alla stessa temperaturaT o. In questo caso, e solo in questo caso, la temperatura equivalente di rumore allâuscitadi tutta la catena è ancora T o ed il filtro non modifica la densitĂ spettrale di potenza dirumore in uscita dal mezzo trasmissivo, che resta la stessa sia in presenza, sia in assenza delfiltro. In questo caso il discorso risulta piĂš semplice, perchĂŠ il segnale non ha piĂš bisognodi equalizzazione. Naturalmente è necessario aumentare la potenza trasmessa.
Tutto il discorso è basato sul fatto che, con lâuso del filtro passivo in cascata e conle condizioni di adattamento, si riesce a rendere lâattenuazione del cavo costante senzamodificare la sagomatura del rumore in uscita.
Esempio. Bisogna garantire un rapporto segnale-rumore pari a S/N=50 dB, definitocome rapporto tra potenza picco-picco del segnale e potenza media del rumore. La bandadel segnale è B = 5 MHz. Il cavo ha una attenuazione ι = 2 dB/km @ 1MHz. InoltreF = 10 e l = 100 km.
Calcoliamo la potenza necessaria in trasmissione per ottenere il rapporto segnale-rumorerichiesto. La potenza di rumore è
P N = F kT oB â 10 â 174 + 67 = â97 dBmDi conseguenza
P pp = 50 â 97 = â47 dBmDobbiamo ora calcolare la potenza necessaria in trasmissione per ottenere in ricezione
-47 dBm. Calcoliamo lâattenuazione del cavo lungo l = 100 km, equalizzato passivamente.
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2.3. SISTEMA DI TRASMISSIONE SU CAVO COASSIALE 23
Dato che lâattenuazione cresce esponenzialmente con la frequenza, dobbiamo considerarela frequenza massima che è 5 MHz.
Îąs(5MHz) = 4.5dB/km
Lâattenuazione totale è allora
Îą = l Îąs = 450dB
Di conseguenza la potenza da trasmettere è
P T = 403dBm â 1040,3mWTale potenza è troppo elevata. Dividendo il collegamento in due tratte otteniamo in
uscita lo stesso segnale, ma il rumore raddoppia. Di conseguenza è necessario aumentaredi 3 dB la potenza trasmessa P T . Dâaltra parte lâattenuazione della singola tratta diventa225 dB e, quindi, la potenza richiesta al singolo trasmettitore sarĂ
P SR = 403 + 3 â 225 = 181dBmSi è scoperto che si può risparmiare potenza da trasmettere dividendo il collegamento
in piĂš tratte uguali. Bisogna decidere quante tratte è conveniente usare. Se si spezza ilcollegamento nella cascata di n tratte uguali, allâuscita dellâultima tratta si sovrappongonon termini di rumore ed è necessario richiedere allâuscita della singola tratta un rapportosegnale-rumore n volte maggiore. Deve cioĂŠ essere (unitĂ logaritmiche)
(2.3.2) S
N
S
= S
N
T
+ 10 log10n
essendo S/N|
S il rapporto S/N allâuscita della singola tratta ed S/N|
T il rapporto S/Nallâuscita dellâultima tratta.
Lâultimo addendo tiene conto degli n termini di rumore. Il rapporto S/N ottenibilesulla singola tratta è
S
N
ott
= P RhnB
cioè
(2.3.3) S
N
ott
= P T |dBm â Îą
n
dB
â F kT oB|dBmessendo Îą lâattenuazione complessiva del collegamento e, quindi, Îą/n (in dB) lâattenuazione
della singola tratta. Il dimensionamento del sistema si ottiene imponendo che il rapportosegnale/rumore richiesto alla singola tratta sia minore, o al piĂš uguale, a quello ottenibile.CioĂŠ
S
N
S
⤠S N
ott
(2.3.4) S
N
T
+ 10 log10n ⤠P T |dBm â Îą
n
dB
â F kT oB|dBm
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24 2. CANALE TRASMISSIVO PASSA BASSO
Se P T = 100 mW50 + 10 log10n ⤠20 â 450/n + 97
cioĂŠ
n ⼠45067 â 10 log10n
che può essere risolta iterativamente considerando lâuguaglianza. Si ottiene n = 7, 74.Naturalmente si arrotonda ad n = 8. Verifichiamo il risultato.
Per n = 7, dalla (5.5.1) si ottiene che il rapporto segnale rumore richiesto allâuscitadella singola tratta è 50 + 10 log107 = 58.5 dB. Il rapporto segnale rumore ottenibile èinvece (dalla (2.3.3)) pari a 52.7 dB e la (2.3.4) non è verificata .
Si può facilmente verificare che, invece, con n = 8 il rapporto segnale/rumore richiestovale 59 dB e quello ottenibile 60, 75 dB e la (2.3.4) è soddisfatta.
Nellâesercizio si è ipotizzato di utilizzare n tratte tutte rigorosamente uguali, e questoimplica che tutti i componenti (mezzo trasmissivo compreso) abbiano in ogni istante lostesso comportamento, qualunque sia la tratta considerata. Ciò è sensato esclusivamenteper mezzi ad onde convogliate, che sono sotto il nostro controllo.
Vediamo cosa succede nel caso in cui le tratte siano diverse tra loro.
T
hn1
AÎą
h
AÎą
n2
1 2 2
h
A
nN
Îą ÎąN33
P
Figura 2.3.6. Schema a blocchi di un sistema multitratta con tratte diverse.
Lâobiettivo è, naturalmente, calcolare il rapporto segnale-rumore allâuscita (S/N|T ) infunzione della potenza trasmessa P T , essendo S/N|T = P S /P N con P S = potenza delsegnale e P N = potenza del rumore allâuscita dellâultima tratta. Vediamo separatamentecosa succede al segnale e cosa succede al rumore (abbiamo a che fare con elementi linearie quindi è possibile separare i due discorsi).
La potenza del segnale in ricezione è (in unità naturali)
P S = P T A2A3 ¡ ¡ ¡ AN ι1ι2 ¡ ¡ ¡ ιN
La potenza di rumore è
P N = B
hn1
A2 ¡ ¡ ¡ AN ι2 ¡ ¡ ¡ ιN + hn2
A3 ¡ ¡ ¡ AN ι3 ¡ ¡ ¡ ιN + ¡ ¡ ¡ + hnN
Abbiamo quindi
(2.3.5) S
N
T
= 1
hn1B
P T /Îą1+
hn2B
P T A2/ (Îą1Îą2) +
hn3B
P T A2A3/ (ι1ι2ι3) + ¡ ¡ ¡
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2.3. SISTEMA DI TRASMISSIONE SU CAVO COASSIALE 25
Gli addendi al denominatore rappresentano i rapporti rumore segnale che la singola trattafornirebbe, se considerata a se stante e se al suo ingresso venisse iniettata una potenza disegnale pari a quella che effettivamente il sistema le inietta. In altri termini, la potenza iningresso alla tratta i-esima è
P T i = P T
i j=2 A jiâ1 j=1 Îą j
mentre la potenza allâuscita della tratta i-esima è
P U i = P T
i j=2 A ji j=1 Îą j
Il rapporto rumore-segnale allâuscita della tratta i-esima vale
N
S Si=
hniB
P U i
In conclusione
(2.3.6) S
N
T
= 1
N i=1
N
S
Si
Naturalmente, se tutte le tratte sono uguali, cioè se le attenuazioni sono tutte numerica-mente identiche, e se la potenza iniettata in ogni tratta è la stessa (cioè se lâamplificazioneè tale da bilanciare esattamente lâattenuazione che precede) si riottiene
S
N
T =
1
N
S
N
essendo S/N il rapporto segnale rumore che la singola tratta potrebbe fornire se consideratada sola.
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CAPITOLO 3
Canale trasmissivo passa banda
Fino a questo punto si è fatto riferimento implicitamente ad un sistema di trasmissionein banda base. Se il mezzo trasmissivo, però, permette la propagazione di segnali conspettro allocato in una banda diversa da quella in cui è allocato il segnale originario,biogna ricorrere a sistemi di trasmissione in banda traslata.
I segnali da trasmettere, infatti, molto spesso non godono di quelle proprietĂ che nerenderebbero possibile lâinvio diretto sul canale. Non è, ad esempio, ipotizzabile lâinvio
ad unâantenna del segnale proveniente da un microfono: il segnale telefonico occupa unabanda che si estende da poche decine fino a poche migliaia di hertz e le caratteristichepropagative del mezzo radio cambiano enormemente in questo intervallo di frequenze. An-che nellâipotesi di mettere insieme unâantenna capace di avere un minimo di rendimento atutte le frequenze interessate, il segnale ricevuto sarebbe inutilizzabile. LâassurditĂ di unatale ipotesi dovrebbe essere palese.
Un modo di rendere con buona approssimazione ideale il canale radio è quello di uti-lizzarlo su una banda relativa piccola. Per banda relativa si intende il rapporto tra bandaeffettivamente utilizzata e frequenza centrale del canale. In caso di banda relativa piccolasi può supporre che il canale radio abbia una caratteristica di trasferimento accettabile,anche se cammini multipli e vari fenomeni di affievolimento ne rendono il comportamentovariabile nel tempo.
Una sinusoide ha banda relativa nulla e, quindi, è il segnale ideale da trasmettere.Sfortunatamente una sinusoide non porta altra informazione che quella relativa alla suafrequenza, alla sua fase ed alla sua ampiezza; il contenuto informativo di una sinusoide è,perciò, sostanzialmente nullo. Se, però, uno o piĂš dei parametri che caratterizzano unasinusoide vengono fatti variare in accordo con il segnale da trasmettere, cioĂŠ si modulala portante sinusoidale con il segnale da trasmettere, si riesce a legare lâinformazione adun segnale in grado di propagarsi lungo il mezzo. Ă chiaro che, in questo caso, la bandarelativa non sarĂ piĂš nulla. PoichĂŠ i parametri che caratterizzano una sinusoide sonoampiezza, frequenza e fase, i tipi di modulazione che si possono realizzare sono, appunto:
modulazione dâampiezza, di frequenza e di fase. Vedremo in seguito che le modulazioni difrequenza e di fase rientrano nella piĂš vasta categoria delle modulazioni dâangolo.
27
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28 3. CANALE TRASMISSIVO PASSA BANDA
3.1. Modulazione dâampiezza
3.1.1. Modulazione dâampiezza in doppia banda laterale e portante soppres-sa (DSB-SC). Modulare dâampiezza una sinusoide âportanteâ significa renderne lâampiez-
za proporzionale, istante per istante, al segnale modulante s(t), che rappresenta lâinforma-zione da trasmettere. La sinusoide di pulsazione ĎâŚ, modulata in ampiezza dal segnale s(t),può essere espressa matematicamente come:
st(t) = s(t) ¡ cos ĎâŚt.Questo tipo di modulazione viene denominato âmodulazione dâampiezza in doppia ban-
Figura 3.1.1. Portante modulata in doppia banda laterale.
da laterale con portante soppressaâ (in terminologia inglese double side-band suppressedcarrier o DSB-SC). Lâespressione portante soppressa sta ad indicare che nello spettro dellaportante modulata non è presente un impulso alla pulsazione della portante, sempre cheil segnale modulante sia a valor medio nullo (in caso contrario nel suo spettro sarebbepresente un impulso a frequenza zero).
PoichĂŠ il prodotto gode della proprietĂ distributiva, se il segnale modulante è sommadi due segnali s1(t) ed s2(t), la portante modulata può descriversi come somma di dueportanti di pari ampiezza, frequenza e fase, modulate rispettivamente da s1(t) e da s2(t).La modulazione dâampiezza è, quindi, una modulazione lineare: se è nota la risposta delsistema ad un segnale modulante sinusoidale di frequenza qualsiasi, è nota la risposta delsistema ad un segnale modulante qualsiasi. Ă noto, infatti, che con lâanalisi di Fourier unsegnale può essere scomposto nella somma di sinusoidi.
Nel seguito si considererĂ spesso, senza perdere in generalitĂ , un segnale modulantesinusoidale. Se Ďs è la sua pulsazione, la portante modulata risulta:
(3.1.1)
cos Ďst
¡cos(Ď
âŚt + Ď) =
12 cos[(Ď⌠â Ďs)t + Ď] + 12 cos[(Ď⌠+ Ďs)t + Ď]ed è composta della somma di un termine a frequenza somma e di un termine a frequenzadifferenza, donde il termine âdoppia banda lateraleâ. Queste componenti spettrali, a fre-quenze maggiori e minori della frequenza della portante, sono dette rispettivamente âbandalaterale superioreâ e âbanda laterale inferioreâ. La presenza di queste due bande laterali fasi che un segnale modulante con banda B produca un segnale modulato con una banda 2Bcentrata intorno alla frequenza della portante.
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3.1. MODULAZIONE DâAMPIEZZA 29
Lâoperazione di prodotto che nei tempi realizza la modulazione corrisponde, nel dominiodelle frequenze, alla convoluzione tra lo spettro del segnale e quello della portante. Unasinusoide a frequenza f ⌠ha uno spettro costituito da due impulsi, uno a frequenza +f âŚed uno a frequenza
âf âŚ. Un segnale modulante generico, con spettro che si estende da
frequenza 0 a frequenza f m, quando modula una portante a frequenza f ⌠produce unsegnale con spettro come indicato in figura 3.1.2.
âf m f m â
f âŚâf âŚ
f
âŚâf
âŚ
Figura 3.1.2. Schematizzazione in frequenza della modulazione dâampiezza.
Vettori rotanti. La possibiltĂ di considerare una sinusoide come tipico segnale mo-dulante consente lâuso di una rappresentazione grafica estremamente comoda. Ă noto cheun segnale sinusoidale può essere rappresentato mediante un vettore rotante ed un vettore,rotante con velocitĂ angolare Ď nel piano complesso, mediante un esponenziale comples-so. Infatti si può porre cos(Ďt + Ď) = Re[exp{ (Ďt + Ď)}]. A condizione di presupporrelâestrazione della parte reale, lâequazione (3.1.1) può essere riscritta come:
(3.1.2) cos Ďst ¡ e j(ĎâŚt+Ď) = 12 e j[(ĎâŚâĎs)t+Ď] + 12e
j[(ĎâŚ+Ďs)t+Ď].
Nel piano complesso un esponenziale e jĎt è rappresentabile mediante un vettore di modulounitario, la cui fase aumenta linearmente nel tempo con legge Ďt.
Il piano complesso di riferimento può essere scelto nel modo che risulta piĂš utile ed inquesto caso, poichĂŠ è la portante a stabilire il riferimento di fase, è utile scegliere comeriferimento un piano che ruoti sincronamente con essa. In questo piano la sinusoide por-tante è rappresentata da un vettore fisso che può, ad esempio, identificare uno degli assicoordinati. Una sinusoide modulata dâampiezza è rappresentabile mediante un vettore ilcui modulo varia nel tempo in accordo con il segnale modulante. Se il segnale modulante ècostituito da unâaltra sinusoide, in base alla (3.1.2), la portante modulata è rappresentabilenel piano complesso mediante due vettori rotanti con velocitĂ angolari rispettivamente pariad Ď⌠â Ďs ed Ď⌠+ Ďs. Nel piano rotante con velocitĂ angolare Ď⌠tali componenti, cherappresentano le due bande laterali, diventano due vettori rotanti con velocitĂ angolaririspettivamente pari a +Ďs e âĎs. Ă facile verificare che la risultante della loro sommaè un vettore di modulo variabile nel tempo che giace sempre sullâasse che rappresenta laportante.
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30 3. CANALE TRASMISSIVO PASSA BANDA
+Ďst
âĎst
sinĎâŚt
cosĎâŚt
Figura 3.1.3. Schematizzazione mediante vettori rotanti di una portantemodulata da una sinusoide.
3.1.2. Demodulazione coerente. Per demodulazione si intende lâoperazione chepermette di recuperare il segnale modulante dalla portante modulata. La demodulazionecoerente si basa sullâipotesi che frequenza e fase della portante ricevuta siano note e sul
fatto che il prodotto di una sinusoide per unâaltra sinusoide di uguale frequenza produceun termine in continua ed un termine a frequenza doppia.
s(t) ¡ cos(Ďot + Ď) ¡ 2cos(Ďot + Ď) = 2s(t) ¡ cos2
(Ďot + Ď)
Figura 3.1.4. Effetto della moltiplicazione della portante modulata per unasimusoide coerente in frequenza e fase.
Il prodotto di una sinusoide modulata dâampiezza per unâaltra sinusoide di ugualefrequenza produce:
(3.1.3) s(t)cos(ĎâŚt + ĎâŚ) ¡ 2cos(ĎâŚt + Ď1) =
s(t)cos(Ď1 â ĎâŚ) + s(t)cos(2ĎâŚt + Ď1 + ĎâŚ).
à evidente che un filtro passa basso in grado di isolare il termine di bassa frequenza fornirà in uscita il segnale modulante desiderato s(t). Lo schema a blocchi di un demodulatorecoerente è, perciò, quello di figura 3.1.5.
Per avere il massimo segnale in uscita, sarĂ necessario imporre che Ď1 = ĎâŚ. Un erroredi fase tra portante da demodulare ed oscillazione locale dĂ luogo ad una diminuzione nel-lâampiezza del segnale demodulato. Va da sĂŠ che un errore di frequenza âf , rappresentandoun errore di fase che cresce linearmente col tempo, darĂ luogo ad un segnale demodulatola cui ampiezza cambia nel tempo proporzionalmente ad una sinusoide di frequenza âf .
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3.1. MODULAZIONE DâAMPIEZZA 31
st(t) Ă
2cos ĎâŚt
Figura 3.1.5. Schema a blocchi del demodulatore coerente.
Nel caso di segnale modulante sinusoidale la formula (3.1.3) può essere riscritta eviden-ziando i contributi delle due bande laterali:
(3.1.4)
cos(Ďst) cos(ĎâŚt + ĎâŚ) ¡ 2 cos(ĎâŚt + Ď1) == 1
2{cos[(Ď⌠+ Ďs)t + ĎâŚ] + cos[(Ď⌠â Ďs)t + ĎâŚ]} ¡ 2cos(ĎâŚt + Ď1) =
= 12 cos(Ďst + Ď⌠â Ď1) + 12 cos(âĎst + Ď⌠â Ď1)+
+
1
2 cos([2Ď⌠+ Ďs]t + Ď1 + ĎâŚ) + 1
2 cos([2Ď⌠â Ďs]t + Ď1 + ĎâŚ).Graficamente lâoperazione di demodulazione può essere descritta come la proiezione,
lungo la direzione che individua frequenza e fase dellâoscillazione locale, dellâampiezza istan-tanea del vettore che rappresenta la portante modulata. In questa operazione le due bandelaterali possono essere considerate separatamente, sommando successivamente i contributidi ciascuna, oppure esse possono essere sommate vettorialmente per calcolare poi la pro-iezione della loro risultante sulla retta passante per lâorigine che rappresenta lâoscillazionelocale. La situazione è esemplificata in figura.
+Ďst âĎst
sin(ĎâŚt+ĎâŚ)
cos(ĎâŚt+ĎâŚ)
Figura 3.1.6. Schematizzazione geometrica della demodulazione coerente.
3.1.3. Calcolo del rapporto segnale/rumore. Rimane da considerare lâeffetto delrumore. Note che siano la potenza in ricezione della portante modulata e la densitĂ spet-trale di rumore equivalente in ingresso al ricevitore, il calcolo del rapporto segnale/rumoredopo demodulazione è semplice. Bisogna tenere ben presente che le bande laterali gene-rano, per battimento con lâoscillazione locale, termini di bassa frequenza che sono tra loroidentici e che si sommano âin tensioneâ. Il rumore, dâaltro canto, genera termini tra loroincorrelati e che, quindi, si sommano in potenza. Ă noto che filtrando lo stesso rumoretermico con due filtri le cui funzioni di trasferimento non si sovrappongono si ottengono
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32 3. CANALE TRASMISSIVO PASSA BANDA
due segnali incorrelati (e, poichĂŠ gaussiani, indipendenti). Lâoperazione di demodulazionecoerente riporta in banda base i termini spettrali di rumore rispettivamente a destra ed asinistra della portante. Ne consegue lâincorrelazione e la somma in potenza.
Un sistema di trasmissione utilizzante la modulazione dâampiezza può essere schema-tizzato come in figura.
s(t)
Ă
cos ĎâŚt
mezzotrasmissivo
T +
n(t)
Ă
Ěs(t)
demodulatore
2cos ĎâŚt
Figura 3.1.7. Schema di un sistema di trasmissione che usa la modulazione dâampiezza.
Lâampiezza dellâoscillazione locale inviata al demodulatore è stata arbitrariamente postauguale a 2, come in (3.1.3). Tale valore è comodo, ma, dâaltro canto, un valore diversomodificherebbe sia lâampiezza del segnale allâuscita del demodulatore, sia lâampiezza delrumore riportato nello stesso punto. Il rapporto segnale/rumore risulterebbe esattamentelo stesso.
Ipotizzando completa coerenza tra oscillazione locale e portante da demodulare, a valledel demodulatore coerente lo spettro del segnale avrà una densità spettrale di potenzapari a 4 volte quella di una banda laterale del segnale da demodulare, mentre il rumore inuscita avrà densità spettrale doppia di quella che aveva in ingresso. Calcolare il bilanciotra potenza di segnale e potenza di rumore prima e dopo demolulazione è, con questepremesse, estremamente semplice.
Uno schema a blocchi come quello di figura si usa per descrivere il âsistemaâ e pervalutarne le prestazioni, prescindendo da problemi di implementazione circuitale. Ă leci-to, perciò, evidenziare i livelli assoluti dei segnali solo in punti chiave, come lâuscita deltrasmettitore e lâingresso del ricevitore, in modo da poter calcolare il rapporto S/N. NellarealtĂ i circuiti avranno bisogno di livelli minimi di segnale per poter funzionare e sarĂ necessario introdurre opportune amplificazioni. Per effettuare correttamente il calcolo delrapporto S/N è sufficiente che, nel punto dove si inietta il rumore equivalente introdottodal sistema, il livello di potenza del segnale sia quello giusto. In sede di progetto delleapparecchiature non sarĂ possibile fare a meno di considerare lâeffettivo livello del segnalenei vari punti dello schema a blocchi; qui basta tener conto in modo equivalente allâingresso
del ricevitore di tutto il rumore supplementare introdotto dalle apparecchiature.Esercizio. Un generico segnale s(t) modula dâampiezza una portante e la potenza
media che il trasmettitore invia sul mezzo trasmissivo è di 1 W. Il mezzo trasmissivo haunâattenuazione costante pari a 90 dB e le apparecchiature riceventi hanno un fattore dirumore F pari a 12 dB. Calcolare il rapporto tra potenza media di segnale e potenza mediadi rumore allâuscita del demodulatore per una banda del segnale modulante pari a 10 kHz.
ââââ
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3.1. MODULAZIONE DâAMPIEZZA 33
La potenza media trasmessa (punto T dello schema a blocchi di figura 3.1.7) P T =30 dBm, attenuata di 90 dB, produce una potenza media ricevuta pari a P R = â60dBm. Il rumore che si somma al segnale ricevuto ha una densitĂ spettrale di potenzapari a
â174dBmW/Hz
+ 12dB
= â162 dBmW/Hz. Dopo il demodulatore tale densitĂ
spettrale sarĂ doppia e darĂ una potenza di rumore pari a â162+3+10l og10 104 = â119dBm. La portante modulata, ricevuta ad un livello di potenza media pari a â60 dBm,darĂ luogo ad un segnale demodulato la cui potenza media sarĂ il doppio (si ricordi chelâoscillazione locale si suppone di ampiezza 2). Ciò è dovuto al fatto che se un segnale s(t), dibanda ipoteticamente molto inferiore alla frequenza della portante, modula dâampiezza unasinusoide, la potenza media del segnale s(t)cos Ďt sarĂ pari a s2(t)/2. Dopo demodulazionesi riottiene il segnale s(t), la cui potenza media vale s2(t).
Il rapporto segnale/rumore ottenibile da un tale sistema vale, perciò:
S N
o
=
â60dBm + 3dB
â(
â119dBm) = 62dB.
3.1.4. Modulazione dâampiezza in banda laterale unica. Ă evidente, da un con-fronto tra le equazioni (3.1.3) e (3.1.4), che il segnale modulante può essere correttamentericostruito, una volta note frequenza e fase della portante, da una sola delle due bandelaterali. Si può, perciò, eliminare una delle due bande laterali dimezzando la banda occu-pata dalla portante modulata. Una modulazione di questo tipo si dice in âbanda lateraleunicaâ (BLU) o, con terminologia inglese, in Single Side Band (SSB). Si può usare solo labanda laterale superiore (USB) o solo quella inferiore (LSB).
Il calcolo delle prestazioni di un tale sistema di modulazione si può eseguire moltosemplicemente tenendo in conto i discorsi giĂ fatti a proposito della modulazione dâampiezza
in doppia banda laterale (DSB-SC). Il calcolo del rapporto segnale/rumore si era effettuatotenendo in conto come si componevano, dopo il modulatore, le componenti di segnale edi rumore. Nel caso di banda laterale unica câè un solo termine di segnale e, perciò, ladensitĂ spettrale del segnale demodulato è uguale a quella del segnale da demodulare (sisuppone, al solito, unâoscillazione locale di ampiezza 2). Se prima del moltiplicatore èinserito un filtro che elimina il rumore che cade fuori banda, la stessa situazione si verificaper il rumore. Ne consegue che i rapporti S/N prima e dopo demodulazione sono uguali.Lâassenza di un filtro prima del demodulatore può far peggiorare il rapporto S/N di 3 dB.Tale filtro, però, è da ipotizzare sempre presente perchĂŠ se si affronta il costo aggiuntivodi un sistema in SSB, ciò è normalmente dovuto alla necessitĂ di sfruttare al massimo la
banda disponibile. Di conseguenza lâassenza del filtro produrrebbe non solo un raddoppiodel rumore a valle del demodulatore, ma anche interferenza con un canale adiacente.3.1.4.1. Equivalenza tra DSB-SC ed SSB ai fini del rapporto S/N. Le modulazioni
dâampiezza in banda laterale singola ed in doppia banda laterale sono sostanzialmenteequivalenti. Se un sistema in doppia banda laterale trasmette una potenza media P T perottenere un assegnato rapporto S/N, un sistema in SSB ha bisogno esattamente della stessapotenza media per ottenere in ricezione lo stesso rapporto S/N. Una giustificazione imme-diata discende dallâosservazione che trasmettere in DSB significa usare due canali in SSB,
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34 3. CANALE TRASMISSIVO PASSA BANDA
sui quali si ripartisce la potenza disponibile. Allâuscita del singolo canale si ottiene un certoS/N. Sommando le uscite dopo demodulazione si ottiene per il segnale un quadruplicamen-to della potenza, per il rumore un raddoppio. Il tutto equivale ad un miglioramento di 3dB, esattamente quello che si sarebbe ottenuto concentrando tutta la potenza su uno solodei due canali disponibili. Questo discorso vale esclusivamente se si considerano potenzemedie. Il legame tra potenza di picco in caso di modulazione in DSB e potenza di piccocon modulazione in SSB non è immediato e dipende dal particolare segnale modulante.
3.1.4.2. Generazione di un segnale modulato in banda laterale unica. Il modo piĂš di-retto e piĂš usato per generare un segnale SSB è quello di usare un modulatore bilanciato(moltiplicatore) per modulare la portante in doppia banda laterale ed eliminare successi-vamente con un filtro la banda laterale indesiderata. Al filtro si richiederĂ una curva diselettivitĂ con un fianco molto ripido dalla parte della banda laterale che si vuole eliminare.Questo modo di procedere, che è poi quello piĂš usato in pratica, fa capire che la modula-zione dâampiezza in banda laterale unica può essere adottata solo con segnali modulanti
il cui spettro non si estenda fino a frequenza zero. Con segnali che hanno uno spettroche parte dalla continua o da frequenze estremamente basse (esempi tipici sono il segnaletelevisivo ed alcuni tipi di segnali usati per la trasmissione numerica) si adotta un metododi modulazione molto simile, noto come âmodulazione in banda vestigialeâ di cui si parlerĂ piĂš avanti.
s(t)
cos ĎâŚt
ĎâŚ
filtro USB
sUSB(t)
Figura 3.1.8. Modulatore SSB con filtraggio.
Se il filtro utilizzato ha i fianchi della curva di selettività asimmetrici, può essere uti-lizzato per realizzare un solo tipo di SSB (solo USB, come in figura, o solo LSB). Se ilfiltro ha fianchi simmetrici può essere usato per eliminare la banda laterale superiore oquella inferiore: è sufficiente in questo caso modificare opportunamente la frequenza dellaportante inviata al modulatore.
Domanda Come è possibile ottenere una modulazione in banda laterale inferiore, pur avendo a disposizione un filtro con fianco ripido solo allâestremo inferiore della sua banda passante (come quello in figura)? (Suggerimento: si consideri lâuso di un convertitore di
frequenza.)
Un segnale in banda laterale unica può ottenersi anche con un altro sistema, eliminandola banda laterale indesiderata con una tecnica di bilanciamento. Si consideri lo schema ablocchi di figura 3.1.9.
Il funzionamento del circuito in oggetto è facilmente descrivibile in termini di vettorirotanti. Bisogna osservare che i due filtri sfasatori puri non presentano uguale livello di
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3.1. MODULAZIONE DâAMPIEZZA 35
1
e Ď2
2
e Ď2
Ă
Ă+
s(t)
sin ĎâŚt
Figura 3.1.9. Modulatore SSB a sfasamento.
difficoltĂ : mentre quello che deve ruotare di 90⌠la fase della portante è quasi banale,non altrettanto semplice è la realizzazione dellâaltro filtro. Questâultimo, infatti, deveruotare di 90⌠tutte le componenti spettrali del segnale s(t) ed è un filtro la cui funzionedi trasferimento non è realizzabile esattamente, ma può solo essere approssimata (un pò
come il filtro passa basso ideale).Si supponga, per semplicitĂ che il segnale s(t) che modula la portante seno sia una
cosinusoide di pulsazione Ďs e fase Ďs; il segnale che modula la portante sin(ĎâŚt + Ď/2) =cos ĎâŚt deve, allora, essere una cosinusoide di pulsazione Ďs e fase Ď + Ď/2. I segnali a valledei due moltiplicatori saranno, perciò:
1 cos(Ďst + Ďs) ¡ sin(ĎâŚt) 2 sin(Ďst + Ďs) ¡ cos(ĎâŚt)Nel piano rotante a velocitĂ angolare ĎâŚ, essi sono rappresentabili mediante vettori
rotanti:
+Ďst + Ďs
âĎst â Ďs
sinĎâŚt
cosĎâŚt 1
âĎst â ĎsĎst + Ďs
sinĎâŚt
cosĎâŚt 2
Ă allora evidente che se i segnali in 1 ed in 2 sono sommati tra loro, la banda laterale
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36 3. CANALE TRASMISSIVO PASSA BANDA
superiore della portante sin ĎâŚt verrĂ cancellata; ad essere cancellata sarĂ quella inferiorese tra i due segnali si effettua la differenza.
La struttura di questo modulatore può essere ricavata in maniera molto semplice sesi considera lâeffetto del filtro che elimina una delle due bande laterali. Ancora una voltasi consideri un segnale modulante sinusoidale, in modo da poter utilizzare la simbologiadei vettori rotanti. Quando le due bande laterali sono presenti, esse danno luogo ad unarisultante che è rappresentabile con un vettore di direzione assegnata, ma di modulo e versoche cambiano nel tempo in accordo con il segnale modulante. Quando una delle due bandelaterali viene soppressa, uno solo dei due vettori rotanti è presente. Esso è descrivibilecome somma vettoriale delle sue componenti lungo lâasse coseno e lungo lâasse seno, cioĂŠ,con riferimento alla figura:
+Ďst + Ďs âĎst â Ďs
sinĎâŚt
cosĎâŚtDSB
âĎst â Ďs
sinĎâŚt
cosĎâŚtLSB
DSB: cos(Ďst + Ďs) ¡ cos ĎâŚt
LSB: 12 cos[(Ď⌠â Ďs)t â Ďs] == 1
2 cos(Ďst + Ďs)cos ĎâŚt + 12 sin(Ďst + Ďs)sin ĎâŚt.
Esattamente in accordo con lo schema di modulatore a sfasamento giĂ descritto.3.1.4.3. Demodulazione di un segnale in banda laterale unica. La demodulazione coe-
rente di un segnale SSB si può ottenere con una tecnica del tutto analoga a quella utilizzataper demodulare un segnale in doppia banda laterale. Lâunica differenza rispetto al casogiĂ trattato sta nel fatto che ci sarĂ il contributo di una sola banda laterale, come giĂ accennato quando si è parlato di equivalenza tra SSB e DSB. Ciò, però, ha conseguenzenotevoli per quanto riguarda lâeffetto di un errore tra fase (o frequenza) dellâoscillazionelocale e fase (o frequenza) della portante modulata. Mentre nel caso di doppia banda late-
rale un errore di fase Ď provocava una diminuzione nellâampiezza del segnale demodulatodi un fattore cos Ď, nel caso di segnali SSB un errore di fase provoca una variazione dipari entitĂ nella fase di tutte le componenti spettrali del segnale demodulato. Similmenteun errore di frequenza (errore di fase con andamento lineare nel tempo) provoca uno spo-stamento in frequenza dello spettro del segnale. In entrambi i casi il segnale demodulatorisulta distorto in modo inaccettabile, tranne che nel caso di trasmissione di segnale vocalecon qualitĂ telefonica. In tal caso lâutente (lâorecchio) è sensibile soprattutto alla distribu-zione spettrale della potenza del segnale: infatti un errore di fase non produce nel segnale
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3.1. MODULAZIONE DâAMPIEZZA 37
demodulato cambiamenti apprezzabili allâascolto ed anche un contenuto errore di frequenza(âź 10 Hz) può essere tollerato senza degradazione sensibile nella qualitĂ del servizio.
3.1.5. Effetto di un filtro interposto tra modulatore e demodulatore. La mo-
dulazione dâampiezza è una modulazione lineare e questo fatto rende estremamente sem-plice il calcolo degli effetti del mezzo trasmissivo (supposto lineare anchâesso e descrivi-bile mediante una funzione di trasferimento) frapposto tra trasmettitore (modulatore) ericevitore (demodulatore).
Si consideri una generica componente sinusoidale di pulsazione Ď del segnale s(t) chemodula una portante di pulsazione ĎâŚ: nello spettro del segnale modulato questa compo-nente genererĂ due righe spettrali a pulsazioni Ď⌠â Ď ed Ď⌠+ Ď. Allâuscita del mezzotrasmissivo, la riga spettrale relativa alla banda laterale superiore risulterĂ moltiplicataper H t(Ď⌠+ Ď), quella relativa alla banda inferiore per H t(Ď⌠â Ď).
Il prodotto di s(t) per una sinusoide corrisponde nelle frequenze a prendere lo spettroS (f ) e spostarlo, centrandolo intorno alla pulsazione (positiva e negativa) della portante.Lo spettro centrato a pulsazione Ď⌠è, quindi, quello relativo al segnale che modula laportante. Allâuscita del mezzo trasmissivo esso risulta modificato rispetto a quello originale:è possibile definire una funzione di trasferimento equivalente che lega i segnali âmodulantiâprima e dopo lâattraversamento del mezzo:
(3.1.5) H eq(Ď) = S out(f )
S in(f ) = H t(Ď⌠+ Ď).
La funzione di trasferimento (3.1.5) non gode necessariamente di quelle proprietĂ di sim-metria che garantiscono una risposta allâimpulso reale.
La mancanza di simmetria nella H t(f ) sbilancia le due bande laterali in modo che laloro risultante non giace piĂš sullâasse della portante. Il vettore risultante può, però, esserescomposto in due componenti, una lungo la direzione seno ed unâaltra lungo la direzionecoseno: s1(t)cos ĎâŚ(t) ed s2(t)sin ĎâŚ(t). In base a questa osservazione e tenendo conto che ⥠exp( Ď/2), il segnale s(t)cos ĎâŚ(t), dopo essere transitato per il mezzo trasmissivo, puòessere rappresentato come:
Re {[s1(t) â s2(t)] ¡ exp[ Ďo(t)]} = Re {sĚu(t)exp[ ĎâŚ(t)]}con sĚu(t) genericamente complesso.
Se H eq(âĎ) = H âeq(Ď) la risposta allâimpulso del filtro è reale ed il segnale allâuscita delmezzo trasmissivo è ancora costituito dalla portante modulata da un segnale con spettroS (Ď)¡H eq(Ď). PerchĂŠ ciò accada è necessario (basta considerare lâeq. 3.1.5) che H t(f âŚâf ) =H ât (f ⌠+ f ), cioĂŠ che la parte reale di H t abbia simmetria pari intorno al punto Ď = ĎâŚ, e laparte immaginaria simmetria dispari. Questa condizione è molto restrittiva, perchĂŠ implicache la parte immaginaria di H t(f ) sia nulla alla frequenza della portante. In caso contrario,per descrivere il segnale allâuscita del mezzo trasmissivo sono necessarie due portanti inquadratura, modulate ognuna da un segnale diverso, ma ottenibile da s(t) mediante unoperatore lineare.
Due portanti distinte sono però, veramente necessarie per descrivere il segnale allâuscitadel mezzo trasmissivo solo qualora si generi una modulazione di fase della portante (cioĂŠ
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38 3. CANALE TRASMISSIVO PASSA BANDA
nel caso che il vettore risultante dalla somma delle due bande laterali cambi la sua direzionenel tempo). Lâassenza di modulazione di fase è lâelemento determinante per la mancatacomparsa di una portante in quadratura.
Se H t(f âŚ) = H âŚ
e θ⌠, la funzione di trasferimento equivalente relativa al segnale modu-lante si può scrivere come:
H eq(f ) = H âŚe θ⌠¡ H t(f )eâ θâŚ
H âŚ= H âŚe θ⌠¡ HĚ eq(f ).
Se HĚ eq(f ) = HĚ âeq(âf ), la portante allâuscita del mezzo trasmissivo risulta modulata da
o
so
|H(f +f )|so
soH(f +f )
1 1
H(f âf )o s
Ď