DINAMICA DEI TERRENI Lezione n. 7 -...

DINAMICA DEI TERRENI

Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria CivileA.A. 2009‐2010

DINAMICA DEI TERRENI

Lezione n. 7

Giacomo Simoni

Via Santa Marta 3 50139 FirenzeVia Santa Marta 3, 50139 FirenzeTel +39 055 4796434Fax +39 055 [email protected]://www.dicea.unifi.it/geotecnica/index.php/index.php

DINAMICA DEI TERRENI – Lezione n. 7

INDICE

1. Misura dei parametri dinamici in laboratorio1 1 Fi lità ti i di di i h1.1 Finalità e tipi di prove dinamiche1.2 Principali caratteristiche delle prove dinamiche e cicliche di laboratorio

2. Prove ad impulsi (PT)3 Prova di taglio semplice ciclico (CSS)3. Prova di taglio semplice ciclico (CSS)

3.1 Apparecchiatura3.2 Modalità di prova3.3 Interpretazione delle misurep

4. Prova triassiale ciclica (CTX)4.1 Apparecchiatura4.2 Modalità di prova4 3 I i d ll i4.3 Interpretazione delle misure

5. Prova di colonna risonante (RC)5.1 Apparecchiatura5 2 Modalità di prova5.2 Modalità di prova5.3 Interpretazione delle misure

6. Prova di taglio torsionale ciclico (CTS)7. Considerazioni sugli errori nella misura di ξ con l’amplitude decay methodg ξ p y


1. MISURA DEI PARAMETRI DINAMICI IN LABORATORIO1.1 FINALITÀ E TIPI DI PROVE DINAMICHE

Le prove dinamiche sono finalizzate:- allo studio del comportamento dei terreni in presenza di carichi dinamicimonotoni e ciclicimonotoni e ciclici;-alla determinazione in sito e in laboratorio dei parametri meccanici.

In relazione al tipo di problema geotecnico e ai livelli deformativi in gioco possonoIn relazione al tipo di problema geotecnico e ai livelli deformativi in gioco possonointeressare parametri diversi, quali:- i valori iniziali del modulo di taglio G0 e del rapporto di smorzamento D0;- le leggi di variazione di G e D in funzione dell'ampiezza della deformazione dile leggi di variazione di G e D in funzione dell ampiezza della deformazione ditaglio γ ;- la resistenza ultima in condizioni di carico monotono τdyn e/o ciclico τcyc;- le leggi di variazione di G, D, e della pressione interstiziale u con l'ampiezza dellale leggi di variazione di G, D, e della pressione interstiziale u con l ampiezza delladeformazione di taglio e con il numero di cicli ;G = G(γ, N), D = D(γ, N), u = u(γ, N)- la resistenza ciclica τcyc in funzione del numero dei cicli N.cyc


LIVELLI DEFORMATIVI INTERESSATI DA PROVE DINAMICHE E TERREMOTI

C l di i h i it i d t i l i l i i i i li d lCon le prove dinamiche in sito, si possono determinare solo i valori iniziali delmodulo di taglio G0 . Alcuni ricercatori si stanno recentemente concentrando sullapossibilità di stimare anche il rapporto di smorzamento iniziale D0 a partire dairisultati di prove dinamiche in sitorisultati di prove dinamiche in sito.Con diverse prove dinamiche di laboratorio si possono ricavare tutti i parametridinamici sopracitati.


Prove dinamiche in sito(10-5 < γ < 10-3 %) ⇒ misura di G0 :

1) diretta

pro a do nhole

• IN FORO

- prova downhole

- prova crosshole

- prova con cono sismico p

- prova con dilatometro sismico

- suspension logging (*)

IN SUPERFICIE

- prova SASW

prova sismiche a rifrazione• IN SUPERFICIE - prova sismiche a rifrazione

- prova sismiche a riflessione

2) stima indiretta mediante correlazioni empiriche (SPT, CPT, DMT)


(*) SUSPENSION P-S VELOCITY LOGGING METHOD (SLM)

È una tecnica di indagine in sito poco conosciuta e poco utilizzata in Italia. Moltoutilizzata in alcuni paesi (ad es in Giappone)utilizzata in alcuni paesi (ad es. in Giappone) .

SCHEMALa prova viene eseguita all’interno di ununico foro di sondaggio non rivestito ecompletamente riempito di acqua. Sia la

t i h d i it isorgente meccanica che due ricevitori sonoinglobati in una sonda che viene calataall’interno del foro.

ATTREZZATURASonda da foroSorgente di onde acustiche

Ricevitori

SorgenteSorgente di onde acusticheTrigger2 Ricevitori (2-D)Sistema d’acquisizioneq


Prove dinamiche in laboratorio(10-4 < γ < 1 %) ⇒ misura1) di tt di t i di i i1) diretta di parametri dinamici a

• piccole e medie deformazioni

(10-4 < γ < 10-1 %): - prova di colonna risonante

G0, D0, G(γ), D(γ) - prova triassiale ciclica

• deformazioni elevate

(10-4 < γ < 1 %)

- prova di taglio torsionale ciclico

- prova di taglio semplice ciclico(10 < γ < 1 %)

G(γ, N), D(γ, N), u(γ, N), τ(N)

prova di taglio semplice ciclico

- prova triassiale ciclica

2) stima indiretta dei parametri dinamici (età geologica, prove di classificazione, proprietà indici, prove edometriche)


Le principali caratteristiche delle prove di laboratorio sono:

provini di piccole dimensioni;- provini di piccole dimensioni;

- possibilità di riprodurre (almeno parzialmente) le condizioni iniziali in sito ele condizioni di carico ⇒ per ogni applicazione deve essere scelto il tipo dile condizioni di carico ⇒ per ogni applicazione deve essere scelto il tipo diprova più adatto;

- poiché non tutti i fattori presenti in sito e influenti sul comportamento dinamicopoiché non tutti i fattori presenti in sito e influenti sul comportamento dinamicopossono essere riprodotti in laboratorio è importante limitare il più possibile ildisturbo dei campioni da cui i provini sono ricavati.

Le prove impiegate per caratterizzare il terreno a bassi e medi livelli dideformazione sono caratterizzate da frequenze del carico ciclico medio alte(10 ÷ 200 Hz); quelle impiegate per caratterizzare il terreno a elevati livelli di( ); q p g pdeformazione sono caratterizzate da frequenze del carico ciclico basse (0.01 ÷1 Hz).


In tabella sono ricordate per ciascuna delle principali prove dinamiche di

1.2 PRINCIPALI CARATTERISTICHE DELLE PROVE DINAMICHE E CICLICHE DILABORATORIO

In tabella sono ricordate, per ciascuna delle principali prove dinamiche dilaboratorio, le deformazioni investigate, le frequenze di prova ed i parametrimeccanici da esse desumibili.

Tipo di ProvaDeformazioni e

frequenze investigateParametri dinamici

γ [%] f [Hz] Rigidezza Smorzamento Rottura

Bender elements < 10−3 > 100VS → G0

- -

Colonna risonante10-4 ÷ 1 > 10 f0 → G0, G(γ) D0, D(γ) (con SS1 o AD2) -

Colonna risonante

Taglio torsionale ciclico10-4 ÷ 1 0.01 ÷ 1 τ(γ) → G0, G(γ) (∆W 3, W 4) → D0, D(γ)

-

Taglio semplice ciclico > 10-2 0.01 ÷ 1 τ(γ) → G0, G(γ, N) (∆W, W) → D0, D(γ, N) τ/σ' (N)Taglio semplice ciclico (γ) 0, (γ, ) ( , ) 0, (γ, ) τ/σ v(N)

Triassiale ciclica > 10-2 0.01 ÷ 1 q(εa) → G0, G(γ, N) (∆W, W) → D0, D(γ, N) q/p'(N)

1 SS = metodo Steady State 3 ∆W = area del ciclo d'isteresi1 SS = metodo Steady State 3 ∆W = area del ciclo d isteresi2 AD = metodo Amplitude Decay 4 W = energia elastica


2. PROVE AD IMPULSI (PT)

In questo tipo di prova, un’onda elastica viene generata da un trasduttorepiezoelettrico posto ad un’estremità del provino ed è ricevuta all’altra estremità daun analogo trasduttore. Misurando la distanza tra i due trasduttori, L, ed il temponecessario all’onda elastica per percorrere tale distanza, t, è possibiledeterminare la velocità di propagazione dell’onda di taglio, VS, mediante larelazione VS = L/t. Nota la velocità di propagazione delle onde di taglio e ladensità del mezzo, ρ, è quindi possibile determinare il modulo di taglio iniziale

di t l l i G V 2mediante la relazione G0 = ρ·VS2.

Generalmente vengono impiegati dei trasduttori costituiti dall’accoppiamento didue cristalli piezoelettrici a polarizzazione contrapposta (bender) in grado difunzionare da sorgente e ricevitore delle onde di tagliofunzionare da sorgente e ricevitore delle onde di taglio.Un materiale piezoelettrico è un materiale che si deforma, quando sottoposto adun campo elettrico e, viceversa, che produce una tensione, se deformatomeccanicamente Tale proprietà caratteristica di alcuni materiali naturali come imeccanicamente. Tale proprietà, caratteristica di alcuni materiali naturali come icristalli di quarzo e di tormalina, è spesso ottenuta artificialmente medianteparticolari ceramiche quali il titanato zirconato di piombo, il titanato di bario e iltitanato di piombo L’applicazione di un campo elettrico continuo attiva le proprietàtitanato di piombo. L applicazione di un campo elettrico continuo attiva le proprietàpiezoelettriche delle ceramiche che si dicono polarizzate.


I trasduttori di tipo bender sono costituiti da due elementi sottili di piezoceramicarigidamente uniti mediante una lamina metallica. Due sottili strati di materialeconduttore sono poi collegati alle due superfici esterne del trasduttore (cfr. figura).p g p ( g )La polarizzazione del trasduttore prodotta da una differenza di potenzialeapplicata agli elettrodi causa una flessione dell’intero elemento. Generalmente itrasduttori utilizzati come sorgente e come ricevitore si differenziano per il tipo dicollegamento elettrico, serie o parallelo, delle piezoceramiche.


Le dimensioni tipiche di trasduttori di tipo bender sono dell’ordine dei 20mm dilunghezza, 10mm di larghezza e 0.5mm di spessore. Il metodo di misuraconsiste nell’eccitare il trasmettitore con un unico impulso sinusoidale epnell’individuare il primo arrivo al ricevitore dell’onda generata.Il modesto costo della strumentazione elettronica, la semplicità della misura, e lapossibilità di eseguire le misure nel corso di altre prove meccaniche rendono lep g ptecniche ad impulsi particolarmente interessanti.


3. PROVA DI TAGLIO SEMPLICE CICLICO (CSS)

La prova di taglio semplice ciclico (Cyclic Simple Shear – CSS) è la prova diLa prova di taglio semplice ciclico (Cyclic Simple Shear CSS) è la prova dilaboratorio che simula meglio lo stato di sollecitazione presente in sito incondizioni sismiche (propagazione in direzione verticale di onde di taglioorizzontali).orizzontali).

Finalità- caratterizzare il comportamento dinamico del terreno ad alti livelli dipdeformazione (γ > 10-2%) mediante la determinazione di G(γ, N), D(γ, N, ), u(γ, N)- determinare la resistenza ultima del terreno in condizioni dinamiche (τdyn) ecicliche (τcyc), soprattutto per lo studio di problemi di liquefazione.y

Principio di funzionamentoLa prova consiste nell’applicare ad un provino di terreno, cilindrico o prismatico asezione quadrata e di altezza limitata, preventivamente saturato e consolidato,una sollecitazione di taglio orizzontale dinamica e ciclica sulla base superiore oinferiore, misurando la risposta del provino alla sollecitazione applicata.


3.1 APPARECCHIATURA

Deriva da quella impiegata nelle prove di taglio semplice di tipo statico, conopportune modifiche per l’applicazione del carico orizzontale ciclico e per laregistrazione di sollecitazioni, deformazioni e pressioni neutre.Si compone di tre parti fondamentali:1-la cella di pressione;2-il sistema di generazione del carico ciclico;3-il sistema di acquisizione dati.L tt t d l ti d f i t ll t iLe attrezzature possono essere del tipo a deformazione controllata o a caricocontrollato (queste ultime sono meno costose).

1 Cella di pressione1-Cella di pressioneEsistono sostanzialmente due tipi di celle, ottenute modificando l'apparecchio ditaglio semplice statico:la prima è ottenuta dall'apparecchio di taglio sviluppato da alcuni ricercatori della prima è ottenuta dall apparecchio di taglio sviluppato da alcuni ricercatori delNorwegian Geotechnical Institute (NGI) e consiste in una cella a sezionecircolare, nella quale il provino viene avvolto in una membrana di gommarinforzata con un filo metallico avvolto a spirale (essendo impedite lerinforzata con un filo metallico avvolto a spirale (essendo impedite ledeformazioni laterali la consolidazione avviene in condizioni K0).


Il pistone per l’applicazione del carico verticale può trovarsi nella parte superioreo inferiore della cella. In alcune versioni modificate è possibile utilizzare intorno alprovino una normale guaina di gomma per prove triassiali. Ciò consente diconsolidare il provino con qualsiasi combinazione di carico orizzontale everticale.

Il d ti di ll di i è tt t d ll' hi t il tIl secondo tipo di cella di pressione è ottenuto dall'apparecchiatura sviluppatainizialmente da Roscoe e da altri ricercatori della scuola di Cambridge nel 1951 econsiste in una scatola di taglio a sezione quadrata con pareti rigide incernieratealla base Il pistone per l’applicazione del carico verticale è disposto nella partealla base. Il pistone per l’applicazione del carico verticale è disposto nella parteinferiore della cella. Questo tipo di prova comporta una disomogeneità degli sforzie delle deformazioni all'interno del provino: lo sforzo di taglio è applicato sullebasi ma non sulla superficie laterale e quindi il momento prodotto dalle forze dibasi, ma non sulla superficie laterale e quindi il momento prodotto dalle forze ditaglio deve essere bilanciato da una distribuzione non uniforme degli sforzinormali e di taglio. Questi effetti possono essere ridotti aumentando il rapportodiametro/altezzadiametro/altezza.

Per entrambe i tipi di celle di pressione, sia il piedistallo su cui viene disposto ilprovino, sia la piastra di ripartizione del carico verticale, sono dotati di condotti diprovino, sia la piastra di ripartizione del carico verticale, sono dotati di condotti didrenaggio.


Apparecchio di taglio del Norwegian Geotechnical Institute


Apparecchio di taglio ciclico di Roscoe


2-Sistema di generazione del carico ciclicoÈ costituito da :- un generatore elettrico di funzioni di varia forma con valori di ampiezza eun generatore elettrico di funzioni di varia forma con valori di ampiezza efrequenza prefissati;- un amplificatore-convertitore del segnale elettrico prodotto dal generatore;- un attuatore elettro-pneumatico.p

3-Sistema di acquisizione dei datiÈ costituito da :- una serie di trasduttori (per la misura degli spostamenti, dei carichi, dellepressioni neutre) collegati a un sistema di controllo elettronico;- una serie di condizionatori-amplificatori collegati ai trasduttori;- una serie di registratori per la memorizzazione del segnale: un registratoregrafico continuo (che traccia l’andamento nel tempo del carico, delladeformazione e delle pressioni neutre), un registratore grafico X-Y (che traccial’andamento dei cicli sforzi-deformazioni), una unità di acquisizione automaticacollegata ad un computer.


3.2 MODALITÀ DI PROVA

In relazione ai parametri dinamici di interesse la prova può essere eseguita inIn relazione ai parametri dinamici di interesse la prova può essere eseguita indue o quattro fasi.

PRIMA FASE:il provino (previa saturazione) è sottoposto a consolidazione isotropa (σ’a=σ’r) oanisotropa (σ’a ≠ σ’r).SECONDA FASE:in condizioni non drenate, viene applicato al provino un carico ciclico orizzontaledi ampiezza prefissata, ∆τc (che varia generalmente con legge armonica). Ilcarico può essere applicato per un numero di cicli prefissato o fino a rottura.(TERZA FASE):il provino è sottoposto a “riconsolidazione” per consentire la dissipazionedell’eventuale eccesso di pressioni interstiziali.(QUARTA FASE)(QUARTA FASE):il provino viene portato a rottura con carico orizzontale applicatomonotonicamente.


3.3 INTERPRETAZIONE DELLE MISURE

I risultati della prova di taglio semplice ciclico sono qualitativamente analoghi aquelli che si ottengono con la triassiale ciclica e vengono rappresentati nellostesso modo. Come nella prova triassiale ciclica si hanno due tipi dirappresentazione dei risultati:- l'andamento nel tempo degli sforzi di taglio, delle deformazioni e delle pressioni

interstiziali;- i cicli di isteresi rappresentati sul piano (τ,γ ).

Mediante tali risultati è possibilericavare:- i parametri dinamici, G e D, ad alti

livelli deformativi (‘property tests’)(in questo caso non occorrepassare da E a G e da εa a γ comenelle prove triassiali);

- le curve di resistenza al taglio(‘failure tests’).


Rappresentazione deirisultati di una provaCSS:

(a) percorsi tensionalinel pianoτ/σc-σv’/σc’;

(a) cicli di isteresi neli /piano τ/σc-γ;

(b) andamento dellasovrappressioneinterstiziale con ilinterstiziale con ilnumero di cicli dicarico, ∆u-N;

(c) andamento della(c) andamento delladeformazione ditaglio con il numerodi cicli di carico γ-Ndi cicli di carico γ N.


Un recente sviluppo della prova di taglio semplice ciclico è costituitodall’apparecchiatura con doppio provino (DSDSS).


0 125

0

0.125

0.25

r st

ress

, τ (k

Pa) Gs=55.4 MPa

D = 1.6 %(a)

0 28

0

0.28

0.56Gs=54.8 MPa

D = 1.8 %(b)

40

60

s, G

s (M

Pa)

-0.0004 -0.0002 0 0.0002 0.0004-0.25

-0.125

She

ar γc=0.00038%

1 05

2.1

(kPa

)

Gs=54.5 MPa

D 1 9 %

-0.001 -0.0005 0 0.0005 0.001-0.56

-0.28

2 8

5.6Gs=53.5 MPa

γc=0.00098%

20

40

shea

r m

odul

u

Santa Barbara clay #1

Santa Barbara clay #2

-2.1

-1.05

0

1.05

Shea

r st

ress

, τ (

γc=0.0038%

D = 1.9 %(c)

-5.6

-2.8

0

2.8

γc=0.01%

D = 2.1 %(d)

0.0001 0.001 0.01 0.1 1Cyclic shear strain amplitude, γc (%)

0Seca

nt s

σ'vc = 400 kPa

-0.0038 -0.0019 0 0.0019 0.0038

0

9

18

ress

, τ (

kPa) Gs=44.1 MPa

D = 4.8 %(e)

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01

0

17

34Gs=32.6 MPa

D = 8.6 %(f) 20

25

(%) (b)

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04-18

-9

Shea

r st

r

60

a)

γc=0.039%

Gs=19.9 MPa90

G =8 9 MPa

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1-34

-17 γc=0.10%

10

15

mpi

ng r

atio

, D

-30

0

30

She

ar s

tres

s, τ

(kP

γc=0.28%

sD = 14.7 %

(g)

-45

0

45

γc=0.92%

Gs=8.9 MPa

D =19.1 %

(h)

0.0001 0.001 0.01 0.1 1C li h t i lit d (%)

0

5Dam

-0.3 -0.15 0 0.15 0.3Shear strain, γ (%)

-60

S

-1 -0.5 0 0.5 1Shear strain, γ (%)

-90 Cyclic shear strain amplitude, γc (%)

Risultati di una prove DSDSS (D’Elia, Lanzo, Pagliaroli, 2003).


4. PROVA TRIASSIALE CICLICA (CTX)

È la prova di laboratorio più diffusa (per la sua flessibilità e la ripetibilità deiÈ la prova di laboratorio più diffusa (per la sua flessibilità e la ripetibilità deirisultati ottenuti) per la misura delle proprietà dinamiche del terreno ad alti livellidi deformazione e della resistenza a rottura in condizioni di carico dinamico eciclico.ciclico.

Finalità-caratterizzare il terreno ad alti livelli di deformazione (γ > 10-2%) mediante la(γ )determinazione di G(γ, N), D(γ, N, ), u(γ, N)-determinare la resistenza ultima del terreno in condizioni dinamiche (τdyn) ecicliche (τcyc);cyc

-analizzare il comportamento post-ciclico.

Principio di funzionamentoLa prova consiste nell’applicare ad un provino cilindrico di terreno,preventivamente saturato e consolidato, un carico verticale dinamico e ciclico,misurando la risposta del provino alla sollecitazione applicata.L f d l i di i li t i t 0 1 1 HLa frequenza del carico dinamico applicato varia tra 0.1 e 1 Hz.


CC4.1 APPARECCHIATURA

L’apparecchiatura impiegata è molto simile a quella impiegata nelle prove triassialidi tipo statico con opportune modifiche per l’applicazione del carico assiale ciclicodi tipo statico, con opportune modifiche per l applicazione del carico assiale ciclicoe per la registrazione di carichi, deformazioni e pressioni neutre. Si compone di treparti fondamentali:

1- la cella triassiale (con telaio di contrasto);2- il sistema di generazione del carico ciclico;3- il sistema di acquisizione dati3 il sistema di acquisizione dati.

L’apparecchiatura può essere del tipo a deformazione controllata o a caricocontrollato (queste ultime sono meno costose).controllato (queste ultime sono meno costose).

1-Cella triassiale ciclicaÈ una cella cilindrica con pareti laterali in acciaio o in plexiglas collegatap p g gsuperiormente e inferiormente a due dischi rigidi di acciaio.Il disco superiore è forato in modo da permettere ad un’asta l’applicazione delcarico verticale al provino. Al disco inferiore è collegato un piedistallo (sul qualeviene appoggiato il provino) dotato di condotti di drenaggio che attraversano ancheil piatto di base.


Se le pareti laterali della cella sono in plexiglas i due dischi sono collegati tra loroda barre di acciaio. Il provino (che per prove a rottura deve avere un diametrominimo D=51 mm, con un rapporto H/D = 2÷2.5) è circondato da una membrana, pp )impermeabile fissata alla base e alla sommità da anelli elastici.Sulla base superiore del provino viene sistemato il partitore di carico sul quale èappoggiata l’asta di carico.pp ggLa cella è contenuta in un telaio di acciaio che fornisce il contrasto perl’applicazione del carico assiale.

2-Sistema di generazione del carico ciclicoÈ costituito da :- un generatore elettrico di funzioni di varia forma con valori di ampiezza ef fi ifrequenza prefissati;- un amplificatore-convertitore del segnale elettrico prodotto dal generatore;-un attuatore (meccanico o elettro-idraulico o elettro-pneumatico).

3-Sistema di acquisizione dei datiÈ costituito da :

una serie di trasduttori (per la misura degli spostamenti dei carichi delle- una serie di trasduttori (per la misura degli spostamenti, dei carichi, dellepressioni neutre) collegati a un sistema di controllo elettronico;- una serie di condizionatori-amplificatori collegati ai trasduttori;


- un registratore grafico continuo che traccia l’andamento nel tempo del carico,della deformazione e delle pressioni neutre; un registratore grafico x-y (chetraccia l’andamento dei cicli sforzi-deformazioni), una unità di acquisizione)automatica collegata ad un computer.


4.2 MODALITÀ DI PROVA

In relazione ai parametri dinamici di interesse la prova può essere eseguita inIn relazione ai parametri dinamici di interesse la prova può essere eseguita indue o quattro fasi.

PRIMA FASE:PRIMA FASE:il provino (previa saturazione) è sottoposto a consolidazione isotropa (σ’a = σ’r) oanisotropa (σ’a ≠ σ’r);SECONDA FASE:in condizioni non drenate, viene applicato al provino un carico assiale diampiezza prefissata, ∆σd (che varia generalmente con legge armonica). Il caricopuò essere applicato per un numero di cicli prefissato o fino a rottura;(TERZA FASE):il provino è sottoposto a “riconsolidazione” per consentire la dissipazionedell’eventuale eccesso di pressioni interstiziali;(QUARTA FASE):il provino viene portato a rottura con carico assiale applicato monotonicamente.



a) determinazione delle proprietà dinamiche

ppappad

drenatenoncondizioni

qE

=

∆=∆=

υ

εεσ

)(5.0

// ,

a

EG

+⋅=⇒+⋅

=⇒

υεγυ

)1(

)1(2

S

D

a

W

WD

⋅=⇒

π

γ

4

)(


Sforzo ciclico Deformazione assiale Sovrappressioni interstiziali ∆u [kPa]

b) determinazione della resistenza a rottura

∆σSA = ∆σd [kPa] εSA [%]interstiziali ∆u [kPa]


Curve di resistenza


5 PROVA DI COLONNA RISONANTE (RC)5. PROVA DI COLONNA RISONANTE (RC)

La prova di colonna risonante (Resonant Column - RC) è la prova dilaboratorio più importante per la misura dei parametri dinamici del terreno alaboratorio più importante per la misura dei parametri dinamici del terreno alivelli deformativi medio-bassi (γ < 10-1 %)

Finalità:G D- G0, D0 per γ < γl

- G(γ), D(γ) per γ < γv

- studio dell'influenza sul modulo di taglio e sul rapporto di smorzamento dideterminate grandezze o caratteristiche dei terreni ( ’ ; tempo di consolidazionedeterminate grandezze o caratteristiche dei terreni (σ c; tempo di consolidazione,aging; stato di addensamento iniziale; IP; storia tensionale, OCR, ecc.);- lo studio ed il confronto di comportamenti di diversi materiali (argille, sabbie,ghiaie rocce e metalli);ghiaie, rocce e metalli);- la definizione di correlazioni fra i parametri geotecnici statici, desunti da prove insito e di laboratorio di tipo corrente, e i parametri dinamici (G e D).

Principio di funzionamento- si applica ad un provino cilindrico di terreno vincolato alla base e libero in testa,preventivamente saturato e consolidato, un carico ciclico di ampiezza prefissata,preventivamente saturato e consolidato, un carico ciclico di ampiezza prefissata,variandone la frequenza in modo da ricercare la frequenza di risonanza relativa alprimo modo di vibrare;


-dalla frequenza di risonanza relativa al primo modo di vibrare (tipicamentecompresa fra 10 e 100Hz) si risale alla velocità di propagazione delle ondeall’interno del provino e da questa al valore della rigidezza; f → V → Gall interno del provino e da questa al valore della rigidezza; f → VS → G0

- variando l’ampiezza del carico si determina la rigidezza in funzione delladeformazione indotta dalla sollecitazione ciclica;- il rapporto di smorzamento può essere determinato in 2 modi: riferendosi alil rapporto di smorzamento può essere determinato in 2 modi: riferendosi alfattore di amplificazione in risonanza (Steady State Method) o al decadimentodelle oscillazioni libere una volta interrotta la sollecitazione (Amplitude DecayMethod).et od)


5.1 APPARECCHIATURA

1 – Apparecchio di Hardin (Hardin e Music, 1965)

Permette di applicare al provino oltre ad un momento torcente armonico ancheun carico verticale armonico; si può così determinare, oltre alla velocità delle; p ,onde S, anche la velocità delle onde P, e quindi anche il coefficiente di Poissone il modulo longitudinale E; tale apparecchio permette la consolidazioneanisotropa del provino.

2 – Apparecchio di Stokoe (Isenhower, 1979)

Consente di eccitare il campione solo con un momento torcente, e laconsolidazione può essere soltanto isotropa. Questo tipo di apparecchio è indotazione al Laboratorio Geotecnico del DICeA ed è stato adattato per poterp peseguire prove di taglio torsionale ciclico (CTS).

L’apparecchiatura può essere pensata come costituita da tre parti: 1) il sistemaelettromeccanico; 2) il sistema di eccitazione e 3) il sistema di registrazione.


Foto d’insieme dell’apparecchiatura di RC e CTS in dotazione al DICea

1 – Sistema elettromeccanico: oscillatore torsionale e cella di pressione;2 – Sistema di eccitazione: generatore di funzioni, amplificatore di

t f i tpotenza e frequenzimetro;3 – Sistema di registrazione: accelerometro, amplificatore di carica,

oscilloscopio e voltmetro.


Pannello di controllo

1 2 1. Buretta

34

2. Trasduttore di pressione CP3. Rubinetto (riempimento

serbatoio posteriore)

5 6

4. Trasduttore di pressione digitale (CP e BP)

5. Regolatore di pressione CP 6. Regolatore di pressione BP7. Rubinetto (riempimento

buretta)8 R bi tt ( l 4 CP

7

88. Rubinetto (per leggere su 4 CP

o BP)9. Rubinetto (per svuotare la

buretta)9

10 11 12

buretta)10. 11. e 12. Rubinetti per mettere

in comunicazione la base del provino alla buretta o alprovino alla buretta o al serbatoio posteriore


1. Piatto rigido superiore2 Ti f di

Camera di confinamento

2. Tirafondi3. Cilindro d’acciaio cavo4. Condotto CP5 Condotto BP1 5. Condotto BP6. Smorzatori elastici7. Cavi (2 LVD – 1 accelerometro)8 Vista interna alla camera di confinamento

1

2 8. Vista interna alla camera di confinamento7

3

4

8

4

5 6

Motore torsionale


Motore torsionale

I trasduttori di non contatto sono montati quando l’apparecchiatura è impiegataper prove di torsione ciclica (CTS).


Strumentazione di controllo e acquisizione


À5.2 MODALITÀ DI PROVA

In relazione ai parametri dinamici di interesse la prova può essere eseguita indue o quattro fasi.due o quattro fasi.

PRIMA FASE:il provino (previa saturazione) è sottoposto a consolidazione isotropa con

S ( ) (l’apparecchio di Stokoe (σ’a = σ’r) o anisotropa con l’apparecchio di Hardin (σ’a ≠σ’r);SECONDA FASE:i di i i d t i li t ll t t d l i tin condizioni non drenate, viene applicato alla testa del provino un momentotorcente di ampiezza prefissata variando la frequenza fino ad individuare quelladi risonanza (misura di G). Lasciando inalterata l’ampiezza della forzante e lafrequenza si misura D in condizioni di oscillazioni libere oppure in condizioni difrequenza si misura D in condizioni di oscillazioni libere oppure in condizioni dioscillazioni forzate. Si varia l’ampiezza della sollecitazione (ovvero di γ) e siripete la seconda fase.(TERZA FASE):(TERZA FASE):il provino è sottoposto a “riconsolidazione” per consentire la dissipazionedell’eventuale eccesso di pressioni interstiziali;(QUARTA FASE):(QUARTA FASE):il provino viene nuovamente sottoposto ad una serie cicli di carico per studiaregli effetti del pre-straining.



Modello dinamico di riferimento per l’interpretazione di misure di RC

∂∂∂z


DETERMINAZIONE DI G

Equilibrio dinamico della massa rigida:

E ilib i di i d ll’ l t di

q g

2

2

0 ),()(t

IthMtM tt ∂∂

+=θ

Equilibrio dinamico dell’elemento di volume:

∂∂z

2),(J

tzMt ∂∂ θρ

Hp: mezzo elastico lineare

∂2

)(

tJ

zt

∂⋅=

∂ρ

τ (r, z, t) = γ (r, z, t) · G

Hp: conservazione delle sezioni pianepiane

zr

∂∂

⋅=θγz∂

nelle quali r è la distanza dall’asse di rotazione di una generica sezione.


Considerando le condizioni al contorno dopo alcuni passaggi si arriva allacosiddetta equazione di frequenza:

⎞⎛⎞⎛ββωω

tantan ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

S

n

S

n

t

p

V

h

V

h

I

I

dove: ωn = 2π·fn. Ed essendo G = ρ · VS2 si ha:

22 ⎞

⎜⎛ ⋅⋅π hf

G n

Calcolo approssimato e speditivo di G nota la frequenza fn:

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

βρ f

G n

Calcolo approssimato e speditivo di G nota la frequenza fn:

It = 0.00289kg·m2 = cost (calibrazione motore torsionale della RC del DICeA)

10395.00109.02

81.32/

62.7

00

0

=⇒=⇒⎪⎪⎬

⎫

==≈

=≈

βp

I

IcmDrr

cmhh

/2000

23

00

⎪⎪⎭

⎬

=

β

ρtI

mkg


Per un dato valore del rapporto Ip / It esistono infiniti valori di β che soddisfanol’equazione di frequenza corrispondenti agli infiniti modi di vibrare del sistemameccanico. Le prove di RC sono generalmente condotte al più basso valore dellap g pfrequenza di risonanza, corrispondente al primo modo di vibrare in quanto, in talecondizione, si ha la massima risposta del sistema e la forma d’onda consenteuna più accurata stima delle deformazioni nel provino.

L’equazione della frequenza può essere risolta con metodi numerici per la ricercadelle radici di una equazione quali ad esempio il metodo della bisezione o ilmetodo di Newton

Metodo della bisezione

È detto anche algoritmo dicotomico ed è il metodo numerico più semplice per

metodo di Newton.

g p p ptrovare le radici di una funzione.

Data l’equazione:

I0)( =−⋅=

t

p

I

Itgf βββ

definita e continua nell’intervallo [a,b], tale che f (a) · f (b) < 0 è allora possibilecalcolarne un’approssimazione (Teorema degli zeri).


Si procede dividendo l'intervallo in due parti uguali e calcolando il valore dellafunzione nel punto medio di ascissa (a+b)/2.

Se risulta:0.035

Se risulta:

0.0150.0200.0250.030

)

f (b1)

02

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + ba

f

‐0.0050.0000.0050.010

f(β)

f (a1)

f (b2)

⎠⎝allora (a+b)/2 è la radicecercata; altrimenti tra i dueintervalli:

‐0.015‐0.0100.005

0.00

0.03

0.05

0.08

0.10

0.13

0.15

0.18

0.20

0.23

0.25

f (a1)

f (a2)intervalli:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

bba

eba

a ,22

,

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

β⎦⎣⎦⎣ 22

si sceglie quello ai cui estremi la funzione assume segno opposto. Si ripete perquesto intervallo il procedimento di dimezzamento e, così continuando si ottieneuna successione di intervalli dei quali ognuno è incluso nel precedente [a1, b1],[a2, b2], …. [an, bn]. Il criterio d’arresto può essere di due tipi: 1-quando l’ampiezzadell’intervallo (an - bn) è minore di una certa tolleranza ε; 2-quando la funzione:

⎞⎛ ε≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2nn ba

f


Operativamente, fissata l’ampiezza della sollecitazione torsionale si opera sulfrequenzimetro per individuare la fn. Quando la frequenza è quella fondamentalesul monitor dell’oscillascopio in scala XY (X - ampiezza forzante, Y - ampiezzai t ) l’ lli di L j i di ti l t (l f t l i trisposta) l’ellisse di Lyssajou si dispone verticalmente (la forzante e la risposta

risultano sfasate di φ = 90°).L'oscilloscopio (dotato di memoria) può funzionare anche nella scala dei tempi. Intal caso sul display si vedono sovrapposte le oscillazioni della sollecitazionetal caso sul display si vedono sovrapposte le oscillazioni della sollecitazione(sinusoidale) e della risposta. Quando si interrompe l'eccitazione, agendosull’interruttore della forzante, si possono osservare le oscillazioni libere smorzate.In questo caso si deve attivare la memoria dell'oscilloscopio in modo da poterIn questo caso si deve attivare la memoria dell oscilloscopio in modo da poterdeterminare D.


DETERMINAZIONE DI γ

Deformazione di taglio rappresentativa (Hardin e Drnevich, 1972):

max3

2 γγ =rif

Oss: la forma d’onda relativa alprimo modo di vibrare è conbuona approssimazione lineare: ∂

∂z

Indicando con ∆u l’arco di

∂z

hR Oθγ ⋅=max

Indicando con ∆ua l arco dicirconferenza percorsodall’accelerometro si ha:

acca

aO ARCF

r

u⋅=

∆=θ

dove: RCF è un fattore di calibrazione del movimento torsionale e Aacc èl’ampiezza della risposta dell’accelerometro misurata in condizioni di risonanza.


R2

questa relazione è nella pratica corrente impiegata per la valutazione speditivad ll d f i di t li I f tti d RCF 3 296/f 2 d h 4R

accrif ARCFh

R⋅⋅⋅=

3

2γQuindi, sostituendo si ha:

della deformazione di taglio. Infatti, essendo RCF = 3.296/f02, assumendo h = 4Red esprimendo il valore della deformazione di taglio in percentuale, la relazionevista si semplifica nella seguente espressione:

⎤⎡⎤⎡2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅=

10001000933.54

2

accOrif

ATγ

dove T = 1/f è il periododove T0 = 1/f0 è il periodoin condizioni di risonanzamisurato espresso inmillisecondi Utilizzando ilmillisecondi. Utilizzando ilgrafico riportato di fianco èquindi possibile, entrandocon le due letture (una alcon le due letture (una alvoltmetro ed una alfrequenzimetro)determinare l’ordine dideterminare l ordine digrandezza delladeformazione di taglio.


DETERMINAZIONE DI DDETERMINAZIONE DI D

Il valore del rapporto di smorzamento D può essere determinato nel corso di prove di RC utilizzando due diversi metodi: - metodo del decremento logaritmico (amplitude decay method) in condizioni di oscillazioni libere;

- metodo della funzione di amplificazione dinamica (steady state method) in condizioni di oscillazioni forzate.

Amplitude decay methodAmplitude decay method

In condizioni di oscillazioni libere, F(t) =0, l’equazione di moto è la seguente:

dividendo per la massa m ed utilizzando le definizioni ω2 ≡ k/m e ξ ≡ c/(2mω) siottiene l’eq a ione di moto nella s a forma standard

0=++ kxxcxm &&&

ottiene l’equazione di moto nella sua forma standard:

02 2 =++ xxx ωξω&&& (1)

Per un’ordinaria equazione differenziale lineare e omogenea a coefficientiPer un ordinaria equazione differenziale lineare e omogenea a coefficienticostanti, può essere assunta una soluzione del tipo:


dove C è una costante che risulterà avere scarso interesse mentre λ è un

(2)tCetx ⋅= λ)(

dove C è una costante che risulterà avere scarso interesse mentre λ è unautovalore da determinare. La sostituzione della (2) nella (1), trascurando lasoluzione banale, C = 0, nel caso x < 1 porta a determinare:

(3)( ) ( )11 2/12 ξξξλ i

Le due soluzioni lineari e indipendenti della (1), x1(t) e x2(t), per la (3) sono:

(3)( ) ( )11 2/122,1 <−⋅±⋅−= ξξωωξλ i

i )( ξ

ti

ti

s

s

eCtx

eCtx⋅⋅−⋅−

⋅⋅+⋅−

=

=)(*

12

)(11

)(

)(ωωξ

ωωξ

La soluzione generale x(t) è quindi una combinazione lineare di queste due epuò essere espressa nella seguente forma trigonometrica:

(4)

Le costanti A0 e ϕ sono determinate mediante le condizioni iniziali del moto:

( )ϕωωξ −⋅⋅= ⋅⋅− teAtx st cos)( 0

0 ϕ

)0()0( xx &


e può essere dimostrato che assumono i valori espressi dalle seguenti relazioni: 2/12

002 xxA ⎥

⎤⎢⎡ ⎞

⎜⎛ ⋅⋅+ ωξ&

00

00200

tanxx

xAs

⋅⋅+

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ ⎠

⎜⎜⎝

+=

ωξϕ

ωξ

&

Le funzioni inviluppo delle ampiezze nella (4), ovvero le funzioni ±A0e-ξωt,delimitano l’oscillazione Il decadimento dell’oscillazione è governato dalla

0

00tanxs ⋅

=ω

ξϕ

delimitano l oscillazione. Il decadimento dell oscillazione è governato dallafunzione inviluppo delle ampiezze A(t):

teAtA ⋅⋅−⋅= ωξ0)( (5)eAtA 0)( (5)

Teoricamente, prendendo in considerazioneuna coppia qualsiasi di picchi, chiamando Aipp q p , i

ed Ai+n le relative ampiezze per la (5) si ha:

itii eAAtA ⋅⋅−⋅== ωξ

0)(

nitnini eAAtA +⋅⋅−

++ ⋅== ωξ0)(


Osservando che il tempo intercorrente tra i due picchi presi in considerazione,ti+n-ti, è pari ad n volte il periodo di oscillazione del sistema, 2π/ωs, segue che ilrapporto tra i due valori assunti dall’ampiezza è:rapporto tra i due valori assunti dall ampiezza è:

)(

)(

)(ini tt

i

i etA

tA −⋅⋅

+

+= ωξ

Definendo il decrementologaritmico δ come il logaritmo

t l d l t t l

)( nitA +

naturale del rapporto tra leampiezze diviso n:

⎤⎡ )(1 tA

è possibile determinare il valore

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

+ )(

)(ln

1

ni

i

tA

tA

nδ

è possibile determinare il valore del rapporto di smorzamento:

2δ224 δπ

δξ+

== D


Steady state methods

Anche nel caso di oscillazioni forzate è possibile determinare il rapporto dismorzamento nel corso di prove di RC. I diversi metodi esistenti in letteratura pervalutare il rapporto di smorzamento in condizioni di oscillazioni forzate a regime,steady state hanno in comune di basarsi sull’analisi di una funzione di

famplificazione dinamica. Di seguito si ricordano soltanto le basi teoriche chestanno alla base di uno dei più diffusi metodi steady state utilizzati in letteratura:l’half power method.Il t d i b ll’ i h l’ i di b d ( i è l diff tIl metodo si basa sull’osservazione che l’ampiezza di banda (cioè la differenza tradue frequenze che corrispondono allo stesso valore di risposta del sistema incondizioni di oscillazioni forzate) è in relazione con lo smorzamento del sistemastessostesso.

Dividendo per la massa m ed utilizzando le

( )tPkxxcxm ⋅Ω=++ cos&&&

definizioni ω 2 ≡ k/m e ξ ≡ c/(2mω) si ottienel’equazione di moto nella sua forma standard:

( )tP

xxx Ω=++ cos2 2ωξω&&& ( )tm

xxx ⋅Ω=++ cos2 ωξω


Trascurando il transitorio, e quindi, concentrandosi sulla soluzione particolare nelcaso di 0 < ξ < 1 e ω > 0, la soluzione a regime è:

)cos()( φΩ= tAtx

dopo alcuni passaggi si trova infine la così detta funzione di amplificazionedinamica Mf :

)cos()( φ−⋅Ω= tAtxp

f

2/1222

21

1

/⎥⎤

⎢⎡ ⎞

⎜⎛ Ω

+⎞

⎜⎜⎛ Ω

==

ξkP

AM f

2 21⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ ⎠

⎞⎜⎝⎛+

⎠⎜⎜⎝

−ω

ξω

Osservando che, la derivataprima rispetto a Ω / ω, siannulla per un valore dellafrequenza circolared ll’ it i di idell’eccitazione dinamicacorrispondente al valore dirisonanza:

221 ξω −⋅=Ωs


si ha che, il valore massimo del fattore di amplificazione dinamica è espressodalla relazione:

1M

2max,12 ξξ −⋅

=fM

Imponendo un valore del fattore di amplificazione dinamica pari a 2/max,fMla larghezza di banda del rapporto tra le frequenze circolari, mostrata in figura,può essere approssimata come:

21 ξξβ ≈

,f

22

1

1

1

ξξβ

ξξβ

−+≈

−−≈

quindi sottraendo β a β siquindi, sottraendo β2 a β1 siottiene che il rapporto dismorzamento è dato dalla metàdella larghezza di banda:della larghezza di banda:

212 ββξ −

≈= D2


6. PROVA DI TAGLIO TORSIONALE CICLICO (CTS)

Principio di funzionamentoPrincipio di funzionamento

- la prova viene eseguita con un’apparecchiatura molto simile a quella di RC- il principio di funzionamento è analogo a quello della RC, ma anziché ricercarep p g q ,la condizione di risonanza viene misurata la deformazione prodotta da unmomento torcente ciclico armonico di frequenza prefissata e ampiezza via viacrescente

Le frequenze adottate sono molto più basse delle frequenze di risonanza evariano generalmente tra 0.01 e 1Hz.

Attrezzatura

C ll di RC i di t ti f d t liCome quella di RC si compone di tre parti fondamentali:1- il sistema elettromeccanico2- il sistema di eccitazione3 il sistema di registrazione3- il sistema di registrazione


1-Sistema elettromeccanicoÈ uguale a quello di RC con l’aggiunta di 2 trasduttori di non contatto per lamisura delle deformazioni angolari sulla testa del provino.

2 Si t di it i2-Sistema di eccitazioneÈ uguale a quello di RC.

3-Sistema di registrazioneÈ costituito da un acquisitore capace di registrare contemporaneamente 3È costituito da un acquisitore capace di registrare contemporaneamente 3segnali: quello della forzante, proveniente dal generatore, e i 2 segnali provenientidai trasduttori di non contatto.Molto delicata è la fase di taratura per ricavare il valore del momento torcenteMolto delicata è la fase di taratura per ricavare il valore del momento torcentedalla tensione fornita al motore torsionale.

Registratore Yokogawa (TTC)


DETERMINAZIONE DI G, γ e D

Riferendosi alla figura ed al significato dei termini in essa riportati, la deformazione di taglio nel piano z x a distanza r dall’asse del provino vale:di taglio nel piano z-x a distanza r dall asse del provino vale:

(1)rhzx ⋅=ϑγ

tM

per l’equilibrio alle rotazioni dellasezione libera del provino dovràvalere la relazione:

R θr

provinovalere la relazione:

(2)∫ ⋅⋅=A

zxt dArM τ h γγ

z

xτzx

zx

Per l’ipotesi di omogeneità eisotropia del materiale il valore delmodulo di taglio è costante; mentre,

A γy

zx

g ; ,per l’ipotesi di elasticità lineare delmezzo,

(3)G γτ ⋅=base fissa

(3)zxzx G γτ ⋅=


per la (1) segue che la tensione tangenziale nel piano d’interesse vale:

(4)rG ⋅⋅=ϑτ (4)

Sostituendo la (4) nella (2) e integrando, si ottiene l’equazione di equilibrio per ilprovino cilindrico in condizioni fixed-free rappresentato in figura:

rh

Gzx ⋅⋅=τ

provino cilindrico in condizioni fixed free rappresentato in figura:

(5)∫ ∫∫⋅

⋅⋅

=⋅⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅=⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅=

R

A

tR

h

Gdrdrr

hGdArr

hGM

0

2

0

42

2

π πϑαϑϑ⎠⎝⎠⎝A 0 0

Facendo riferimento al valore assunto dalla deformazione di taglio ad una distanza dall’asse pari a r = 2R/3, dalle relazioni (4) e (5) segue che:

J

MR t⋅=3

2τ (6)

Poiché nel corso della prova di CTS l’angolo di rotazione della testa ϑ vienep gmisurato direttamente, il valore della deformazione tangenziale è determinatomediante la relazione:

R2 ϑγ ⋅⋅=h

R

3

2(7)


La (6) e la (7) permettono di tracciaresul piano τ−γ ciascun ciclo di isteresi equindi determinare per ciascuno di essi iquindi determinare per ciascuno di essi ivalori del modulo di taglio secante, ed ilrapporto di smorzamento.

W∆

pp

ppeqG

γτ

=W

WD

⋅∆

=π4


7. CONSIDERAZIONI SUGLI ERRORI NELLA MISURA DI ξ CON L’AMPLITUDE DECAYMETHOD

Errata interpretazione del valore di n nella definizione di δA partire dallo schema meccanico del modello visco-elastico di Kelvin-Voigt, nelcaso di oscillazioni libere, si è visto che il rapporto di smorzamento passa

tt l d fi i i d l d t l it i δ

Errata interpretazione del valore di n nella definizione di δ

attraverso la definizione del decremento logaritmico δ :

⎥⎤

⎢⎡

=)(

ln1 itAδ

nella quale: A(ti) ed A(ti+n) sonol i d i i hi l

⎥⎦

⎢⎣ + )(

lnnitAn

δ

le ampiezze dei picchi altempo ti e ti+n mentre n è ladistanza tra i picchi. Noto δ, ilrapporto di smorzamento D sirapporto di smorzamento, D, sidetermina mediante laseguente relazione:

22

2

4 δπδξ

+== D


Se ad esempio ad n* viene erroneamente dato il significato di numero di periodicompresi tra i due picchi presi in esame meno uno, si ha n*= n-1.C i l à l d l d l i i i *Conseguentemente risulterà un valore del decremento logaritmico maggiore, δ * >δ, e quindi un valore maggiore del rapporto di smorzamento, ξ * > ξ.

I ti l il l di ξ * i lt à t t i t i è il l diIn particolare, il valore di ξ , risulterà tanto maggiore quanto minore è il valore din. Se per la determinazione di ξ si utilizzassero coppie di picchi sempre diversi,ovvero coppie diverse per ciascun livello deformativo, considerato che ad ampilivelli deformativi l’oscillazione libera è visualizzata sull’oscilloscopio moltolivelli deformativi l oscillazione libera è visualizzata sull oscilloscopio moltoappiattita e che quindi non è possibile fare riferimento a coppie di picchi moltodistanti, ovvero n è piccolo, si troverebbe che l’errore commesso utilizzando n* alposto di n è tanto maggiore quanto maggiore è il livello deformativo a cui siposto di n è tanto maggiore quanto maggiore è il livello deformativo a cui silavora.

A titolo di esempio si riporta il caso in cui ξ è determinato facendo riferimento ad nA titolo di esempio si riporta il caso in cui ξ è determinato facendo riferimento ad n= 2, picco 1 e picco 3, mentre ξ * è determinato facendo riferimento all’ampiezzadegli stessi due picchi ma utilizzando un valore n* = 1.


25S6C1

S6C1*

15

20

ento

D [

%] S6C2

S6C2*

S9C1

S9C1*

10

15

di s

mo

rzam

e

S10C1

S10C1*

S10C2

S10C2*

5rap

po

rto

S10C2*

0

0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1

deformazione di taglio, γ [%]

L’esempio mostra che l’errore commesso su n porta ad una sovrastimasignificativa del rapporto di smorzamento ( 50%)significativa del rapporto di smorzamento (∼ 50%).


50.5

D [

%]

49.5

50.0

00 x

(D

*-D

)/D

49.0

mes

so ∆

D =

1

S6C1

48.0

48.5

erro

re c

om

m

S6C1

S6C2

S9C1

S10C1

47.5

0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1

e

S10C2

L’errore commesso sulla stima di D utilizzando un errato valore di n è

deformazione di taglio, γ [%]

costantemente dell’ordine del 50% a bassi livelli deformativi, ed ha valori cherimangono inaccettabili (> 47%) per tutti i livelli deformativi investigati.


E t i i d ll i di i hi di if i t

Oscillazioni libere smorzate a piccoli livelli deformativi

Errato impiego della coppia di picchi di riferimento

ms

]

A 1

interruzione eccitazione

os

ta [

mV

rm

A 1A 2 A 3 A 4 A 5

a d

ella

ris

po

Tempo [ms]

Am

pie

zza

2πω inviluppo delle ampiezzeωs inviluppo delle ampiezze

( ) nitA

tA

nt

ni

iniis , cost

)(

)(ln

1 cost , ∀=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⇒=

++δω


Oscillazioni libere smorzate a grandi livelli deformativi: effetti della non linearità

rms

]

interruzione eccitazione

tteA ⋅⋅− ωξ )(0

L’effetto della nonlinearità fa si che,soprattutto a grandi

sp

os

ta [

mV

r

teA ⋅⋅− ωξ120

eA0livelli deformativi, ladissipazione di energiasia rapida per effettod li lti l i d ll

Tempo [ms]ezz

a d

ella

risdegli alti valori dello

smorzamento interno. Ilsistema si riassestanella posizione iniziale Tempo [ms]

Am

pie

2πωs(t)

nella posizione inizialedopo poche oscillazioni.Il periodo dellaoscillazione si riduce neloscillazione si riduce neltempo.

( ) NNs t 1131211312 ... ... cost ξξξδδδω >>>⇒>>>≠


Il valore della deformazione di taglio in oscillazione libera ed a partire da grandideformazioni diminuisce rapidamente. In pochissimi cicli il provino torna nellaposizione iniziale ed il modello di Kelvin Voigt non interpreta più in manierap g p psoddisfacente il comportamento del terreno.Il rapido recupero della posizione iniziale fa si che, durante l’oscillazione libera, siabbia un recupero di rigidezza con conseguente recupero delle proprietàelastiche a scapito di quelle dissipative. In altre parole il decremento logaritmicodecresce così come lo smorzamento.Il modello costitutivo perinterpretare il fenomenoè ad esempio unsistema ad un grado dilibertà visco elastico conelasticità non linearedella molla (Duffing):

oxxkxcxm =⋅++ )(&&&


Esempio: valori di D determinati facendo riferimento a diverse coppie di picchi (1-2, 1-3, 1-4 e 1-5) in una prova di RC condotta su un campione prelevato nellafrazione di Roio Piano nel Comune dell’Aquila (2009).

14

16

D(1-2) [%]

D(1 3) [%]

10

12

D [%

]

D(1-3) [%]

D(1-4) [%]

D(1-5) [%]

6

8

2

4

0

0.0001 0.001 0.01 0.1 1γ [%]

Prendendo come riferimento picchi distanti (anziché i primi due) si sottostima ilPrendendo come riferimento picchi distanti (anziché i primi due), si sottostima ilvalore di D per effetto della non linearità del comportamento del mezzo,nell’esempio riportato l’errore massimo è dell’ordine del 23%.


1.4 ξ = 18 8%

Esempio dei risultati della sperimentazione condotta su due campioni prelevati nel Comune di Senigallia (AN) – 2007.

θol θo

1.2

/Go

[-]

δ12

ξ12,max = 18.8%

θol θovS6C1

ol θovS10C2

0.8

1.0

δ [-

]; G

/ δ12

δ13

δ14

δ15

0.6

δ15

δ12

δ13

δ14

0.2

0.4 δ14

δ15ξ15,max = 12.5%

0.0

1.00E-06 1.00E-05 1.00E-04 1.00E-03 1.00E-02 1.00E-01θ0 [rad]θ0 [rad]

In questo caso l’errore massimo nella sottostima di ξ è dell’ordine del 50%.

DINAMICA DEI TERRENI Lezione n. 7 -...

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