Diagrammi di Bode

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm

(versione del 5-12-2012)

2

Funzioni di trasferimento

● Le funzioni di trasferimento (f.d.t) dei circuiti lineari tempo invarianti sono funzioni razionali (cioè rapporti tra due polinomi) a coefficienti reali della variabile j

● Per evitare di trattare esplicitamente quantità immaginarie, si introduce una variabile s j detta frequenza complessa

● I valori di s per cui si annulla il polinomio N(s) sono detti zeri della f.d.t

● I valori di s per cui si annulla il polinomio D(s) sono detti poli della f.d.t

012

2

012

2

)()()(

)()()(

)(

)()(

ajajaja

bjbjbjb

j

jj

nn

mm

D

NH

012

2

012

2

)(

)()(

asasasa

bsbsbsb

s

ss

nn

mm

D

NH

3

Funzioni di trasferimento

● Si indicano con m0 e n0 i numeri di zeri e di poli nulli della f.d.t. m1 e n1 i numeri di zeri (z1,..., zm1) e di poli (p1,..., pn1) reali diversi da

zero della f.d.t. m2 e n2 i numeri di coppie di zeri (z1,..., zcm1) e di poli (p1,..., pcn1)

complessi coniugati della f.d.t. La f.d.t può essere posta nella forma

21

21

00

21

21

00

1

2

cc2

1

1

2

cic2

1)(

1

*cc

1

1

*cc

1)(

)Re(2)(

)Re(2)(

))(()(

))(()()H(

n

iii

n

ii

m

ii

m

ii

nm

n

m

n

iii

n

ii

m

iii

m

ii

nm

n

m

pspsps

zszszss

a

b

pspsps

zszszss

a

bs

4

Funzioni di trasferimento

● Dall’espressione precedente si può ottenere la forma canonica

dove

i

ii

i

ii

iiii

ii

ii

z

z

p

p

zp

zp

c

c

c

c

c0c0

ReRe

11

21

21

00

120

2

01

12

0

2

01)(

211

211

)H(n

i ii

in

ii

m

i ii

im

ii

nm

sss

sss

Kss

21

21

1

20

1

1

20

1

1

1

n

ii

n

i i

m

ii

m

i i

n

m

a

bK

5

Note

● Se m0n0 0, K rappresenta il valore di H(s) per s 0 (e quindi per 0) cioè è il valore in continua delle funzione di trasferimento

● Si può notare che, affinché un termine quadratico del tipo

corrisponda a una coppia di poli o zeri complessi coniugati, occorre che sia negativo il discriminante

Quindi deve essere soddisfatta la condizione

20

2

0

21

s

s

01

20

20

2

6

Risposta in frequenza

● La risposta in frequenza può essere riottenuta sostituendo s con j

● L’andamento di H(j) viene rappresentato mediante due grafici (diagrammi di Bode) che riportano

il modulo (in dB) risposta in ampiezza

l’argomento (in gradi o radianti) risposta in fase

in funzione della pulsazione o della frequenza (in scala logaritmica)

21

21

00

120

2

01

12

0

2

01)(

211

211

)()(n

k iii

n

ki

m

k iii

m

ki

nm

jj

jj

jKjH

7

Note

● Nella rappresentazione della frequenza (o della pulsazione) in scala logaritmica si mettono in evidenza intervalli di frequenza caratterizzati da un rapporto costante tra la frequenza superiore f2 e la frequenza inferiore f1

● In particolare si chiama decade un intervallo per cui f2 10f1 si chiama ottava un intervallo per cui f2 2f1

● Normalmente le fasi vengono rappresentate nell’intervallo oppure

8

Funzioni elementari

● La forma fattorizzata della funzione di trasferimento rende agevole la costruzione dei diagrammi di Bode, infatti

Il valore in dB del modulo di H è dato dalla differenza tra le sommatorie dei valori in dB dei moduli dei fattori del numeratore (incluso K) e dei fattori del denominatore

L’argomento H è dato dalla differenza tra le sommatorie degli argomenti dei fattori del numeratore (incluso K) e dei fattori del denominatore

I diagrammi possono essere ottenuti sommando i contributi di termini corrispondenti alle funzioni elementari

1

20

2

0

1

1

21)(1)(

)()(

jjjj

jjKj

HH

HH

9

Fattore costante

Kj )(H

)(log20)( 10dBKj H

0180

00)(arg

K

Kj

per

perH

)( jH )(arg jH

10

Zero nell’origine

90)(arg jH

jj )(H

)(log20)( 10dBjH

dB0)(1dB jH

+20 dB/decade

H(j

)(d

B)

arg

H(j

)

11

Polo nell’origine

jj

1)(H

)(log20)( 10dBjH

90)(arg jHdB0)(1dB jH

H(j

)(d

B)

20 dB/decade

arg

H(j

)

12

Zero reale - ampiezza

● Posto 0 1, si possono individuare due asintoti

retta orizzontale con ordinata nulla

retta con pendenza +20 dB/decade (= +6 dB/ottava) che interseca l’asse delle ascisse per 0

jj 1)(H

2210dB

1log20)( jH

01log20)( 10dB0 jH

0101020

2

10dB0 loglog20log20)(

jH

13

Zero reale - ampiezza

● L’andamento del modulo di H può essere approssimato con un diagramma formato da due semirette che si incontrano per (approssimazione asintotica)

● Per il modulo di H vale

● Questo valore rappresenta anche il massimo errore introdotto dalla rappresentazione asintotica

dB32log20)( 10dB0 jH

14

Zero reale - ampiezza

+20 dB/decade

0

H(j

)(d

B)

15

Zero reale - fase

● Se si ha Se si ha

● In questo caso si hanno due asintoti orizzontali

● L’andamento della fase può essere approssimato mediante una spezzata formata da due semirette orizzontali, corrispondenti agli asintoti, e da un segmento obliquo

● Il diagramma per 0 si può ottenere ribaltando attorno all’asse delle ascisse quello tracciato per 0

arctg)(arg jH

45)arctg(

90)arctg(lim

0)arctg(lim

0

0

45)arctg(

90)arctg(lim

0)arctg(lim

0

0

16

Zero reale - fase

● Per tracciare il segmento obliquo si possono utilizzare vari criteri

● Approssimazione 1:

Si collegano i due asintoti mediante la retta tangente alla curva nel punto

Si può dimostrare che le intersezioni di questa retta con gli asintotisi trovano in corrispondenza delle pulsazioni

● Approssimazione 2:

Si collegano gli asintoti mediante la retta che li interseca per

In questo modo il massimo scostamento risulta di circa 5.8° ed èinferiore al massimo errore che si ottiene con l’approssimazione 1

02

0202

01 5e2.0e

0201 101.0

17

Zero reale - fase

0

arg

H(j

)

approssimazione 1

approssimazione 2

0

18

Zero reale - fase

0

arg

H(j

)

approssimazione 1

approssimazione 2

0

19

Polo reale

● Dato che

i diagrammi del modulo e dell’argomento di questa funzione si ottengono ribaltando attorno all’asse delle ascisse i diagrammi corrispondenti alla funzione 1 j

jj

1

1)(H

jj

jj

1arg1

1arg

1log201

1log20 1010

20

Polo reale - ampiezza

20 dB/decade

0

H(j

)(d

B)

21

Polo reale - fase

0

arg

H(j

)

approssimazione 1

approssimazione 2

0

22

Zeri complessi coniugati - ampiezza

● Si individuano due asintoti

retta orizzontale con ordinata nulla

retta con pendenza +40 dB/decade (+12 dB/ottava) che interseca l’asse delle ascisse per 0

20

2

0

21)(

j

jH

2

0

2

20

2

10dB

21log20)(

jH

01log20)( 10dB0 jH

0101040

4

10dB0 loglog40log20)(

jH

23

Zeri complessi coniugati - ampiezza

● In questo caso, in prossimità della pulsazione 0 l’andamento del modulo di H può discostarsi sensibilmente dal diagramma asintotico

● In particolare la curva può presentare un minimo se esiste un valore reale R della pulsazione per cui si annulla la derivata di |H|

Questo avviene se

in questo caso si ha anche

In queste condizioni la risposta è detta risonante o sottosmorzata

Altrimenti la risposta è detta non risonante o sovrasmorzata

20R

2

0

2

20

2

2102

1

d

d

2

2

2R 12)( jH

24

Zeri complessi coniugati - ampiezza

+40 dB/decade

0

H(j

)(d

B)

25

Zeri complessi coniugati - fase

● Se si ha Se si ha

0220

0

0

0220

0

)sgn(180)(

2arctg

)sgn(90

)(

2arctg

)(arg

per

per

per

jH

90)(arg

180)(arglim

0)(arglim

0

0

j

j

j

H

H

H

90)(arg

180)(arglim

0)(arglim

0

0

j

j

j

H

H

H

26

Zeri complessi coniugati - fase

● Anche in questo caso si può approssimare l’andamento della fase mediante una spezzata formata collegando i due asintoti con un segmento obliquo, che può essere tracciato in più modi

● Per esempio si può utilizzare la retta tangente alla curva per 0

● Si può dimostrare che questa retta interseca gli asintoti per

● Il diagramma della fase per si ottiene ribaltando attorno all’asse delle ascisse il diagramma ottenuto per

02

0202

01 5e5e

27

Zeri complessi coniugati - fase

0

arg

H(j

)0

28

Poli complessi coniugati

● I diagrammi del modulo e della fase di H(j) possono essere ottenuti ribaltando attorno all’asse delle ascisse i grafici ottenuti per la funzione precedente

1

20

2

0

21)(

j

jH

29

Poli complessi coniugati - ampiezza

40 dB/decade0

H(j

)(d

B)

30

Poli complessi coniugati - fase

0

arg

H(j

)

0

31

Esempio 1

● Tracciare i diagrammi di Bode della f.d.t.

● La f.d.t. ha uno zero nell’origine e due poli

● Si riscrive la funzione in forma canonica

● Si tracciano i diagrammi asintotici dei moduli e delle fasi delle funzioni 150, j, 11j200, 11j104 e si sommano i loro contributi

642

4

1041004.22

108)(

ss

ssH

44

4

4

4

4

101

2001

50

1

101

2001

102002

108

)10)(200(2

108)(

sss

sss

ss

ssH

4

44684

21 10

200

2

1098.01002.1

2

108100404.11002.1,

pp

32

Esempio 1 – diagramma del modulo

33

Esempio 1 – diagramma della fase

34

Esempio 1 – confronto con i diagrammi esatti

35

Esempio 2

● Tracciare i diagrammi di Bode della f.d.t.

● La f.d.t ha uno zero per s 20, un polo semplice per s 104 e un polo doppio per s 500

● Si tracciano i diagrammi asintotici dei moduli e delle fasi delle funzioni 2, 1+j11j500, 11j104 e si sommano i contributi

● I grafici di 11j500 si ottengono moltiplicando per 2 il modulo e l’argomento di 11j500

4

2

101

5001

201

2)(ss

s

sH

36

Esempio 2 – diagramma del modulo

37

Esempio 2 – diagramma della fase

38

Esempio 2 – confronto con i diagrammi esatti