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Diagrammi di Bode e Nyquist

Parole chiave: Tracciamento del diagramma di Bode approssimato; diagramma di Bode del sistema conritardo; errore del diagramma di Bode approssimato; sistema a sfasamento minimo; diagrammi di Bodedi aggregati; diagramma di Nyquist.

Diagramma di Bode

In questo capitolo impareremo a tracciare i diagrammi di Bode.Cominciamo con l’introdurre alcune definizioni.

Esempio di diagramma di Bode delmodulo e della fase di un sistemadinamico lineare:

10�2 10�1 100 101

�20

00

w (rad/s)

ampl

itude

(dB)

Diagramma di Bode del modulo

10�2 10�1 100 101

�90

0

w (rad/s)

phas

e(d

egre

es)

Diagramma di Bode della fase

⌅ Definizione: Decibel|G(iw)|dB := 20 log10 |G(iw)|.

⌅ Definizione: Diagramma di Bode del moduloIl diagramma di Bode del modulo della funzione di trasferimentoF(s) e’ il diagramma del modulo |F(iw)|, per w 2 (0, •), con

• ascissa espressa in scala log10

• ordinata espressa in decibel.

⌅ Definizione: Diagramma di Bode della faseIl diagramma di Bode della fase e’ il diagramma della fase ]F(iw),con ascissa espressa in scala log10 e ordinata espressa in gradi.

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80 appunti di automatica

⌅ Definizione: Funzione di trasferimento in forma standard per ildiagramma di BodeConsideriamo un sistema con

• poli reali �pi,

• zeri reali �zi,

• poli complessi coniugati �xiwn,i ± iwn,i

q1 � x

2i , con |x| < 1

• zeri complessi coniugati �ziwn,i ± iwn,i

q1 � z

2i , con |z| < 1.

Per tracciare il diagramma di Bode e’ opportuno scrivere lafunzione di trasferimento N(s)

D(s) nella seguente forma standard:

µ

sh

(1 + sz1)(1 + s

z2) · · · (1 + 2z1s

wn,1+ s2

w2n,1) · · ·

(1 + sp1)(1 + s

p2) · · · (1 + 2x1s

wn,1+ s2

w

2n,1) · · ·

L’intero h e’ detto il tipo del sistema, µ e’ il guadagno (a voltechiamato guadagno generalizzato, se h 6= 0).

Ricordiamo che, dato un termine conradici immaginarie (s + a + ib)(s + a �ib), abbiamo

(s+ a+ ib)(s+ a� ib) = s2 + 2as+ a2 + b2,

quindiwn =

pa2 + b2,

x =ap

a2 + b2.

La pulsazione naturale e’ pari almodulo delle radici complesse, losmorzamento e’ il rapporto tra la partereale e il modulo.

Ora, facendo riferimento alla forma standard introdotta qui so-pra, vediamo come possiamo approssimare i termini polinomialicorrispondenti a radici reali o complesse al variare di w.

F Osservazione su modulo e fase, radice realePrendiamo la funzione di trasferimento in forma standard, econsideriamo singolarmente ciascun termine (1 + s

c ).Il modulo del termine e’ circa pari a

• s per s >> c,

• 1 per s << c.

La fase del termine e’ circa pari a

• 90� per s >> c, se c > 0,

• �90� per s >> c, se c < 0,

• 0 per s << c.

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diagrammi di bode e nyquist 81

F Osservazione su modulo e fase, radice complessaPrendiamo la funzione di trasferimento in forma standard, econsideriamo singolarmente ciascun termine

h1 + 2xs

wn+ s2

w

2n

i.

Il modulo del termine e’ circa pari a

• s2

w

2n

per s >> wn,

• 1 per s << wn.

La fase del termine e’ circa pari a

• ±180� per s >> wn,

• 0 per s << wn.

Lo sfasamento introdotto da unacoppia di radici complesse coniugate e’asintoticamente pari a ±180�, a causadel termine dominante s2/w

2n, che e’

reale negativo quando valutato in iw.Nelle sezioni seguenti sara’ pero’ utilecapire se i 180� di sfasamento sonoraggiunti con una rotazione del vettorecomplesso in senso orario o antiorario.

Chiamiamo c(w) il numero com-plesso 1 + 2xs

wn+ s2

w

2n

, funzione di w.Notiamo che, a causa del termineimmaginario 2xs

wn, quando w varia da 0

a •, ]c spazza i valori dell’intervallopositivo [0, 180] se x > 0 (quindi sela parte reale di c e’ negativa), mentrespazza i valori dell’intervallo negativo[�180, 0] se x < 0 (quindi se la partereale di c e’ positiva).

Quindi: per x > 0, c(w) ruota insenso orario, per x < 0 ruota in sensoantiorario.Nel complesso, possiamo raccogliere le affermazioni precedenti in

un semplice teorema.

⌥ TeoremaL’approssimazione di F(iw) intorno a qualsiasi valore w 2 [0, •)

puo’ essere composta iterativamente, a partire dal limite w ! 0,come segue:

• per w ! 0, F(iw) ' µ

(iw)h

• al crescere di w da 0 a •, ogni volta che w attraversa il valoredel modulo di una radice, si aggiunge all’approssimazione diF(iw) un termine iw

z se la radice e’ uno zero reale in �z, piw se

la radice e’ un polo reale in �p, (iw)2

w2n

se la radice e’ una coppia

di zeri complessi coniugati di modulo wn, w

2n

(iw)2 se la radice e’una coppia di poli complessi coniugati di modulo wn.

Visto che l’approssimazione di F(iw) intorno a qualsiasi valoredi w puo’ essere composta iterativamente, possiamo sviluppare unaprocedura iterativa per il tracciamento del diagramma di Bode diquesta approssimazione. Per arrivare a formulare questa procedura,cominciamo con l’osservare come il grafico di modulo e fase dell’ap-prossimazione di F(iw) si modifica quando w attraversa il valore delmodulo di una radice. L’affermazione sull’andamento di

|c(iw)n| si deduce facilmente provandoa tracciare la funzione per punti, conun arbitrario valore di c e n, negli assidi Bode.F Osservazione sul diagramma di Bode di µ

(iw)h

Il diagramma di Bode del modulo di µ

(iw)h e’ una retta con penden-za �20h dB/decade, indipendentemente dalla costante µ, mentreil diagramma di Bode della fase e’ costante e pari a a �90h seµ > 0, �90h � 180 se µ < 0.

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F Osservazione sul diagramma di Bode di F(iw) ·⇣

iwc

⌘n

Moltiplicando F(iw) per un termine⇣

iwc

⌘n, il diagramma di Bode

del modulo cambia pendenza di 20n dB/decade, il diagramma diBode della fase cambia valore di 90n se c > 0, �90n se c < 0.

Possiamo finalmente formulare la procedura iterativa di traccia-mento dei diagrammi di Bode approssimati di modulo e fase.

⌅ Definizione: Regole per il tracciamento del diagramma di Bodeapprossimato del modulo

Possiamo tracciare il diagramma da sinistra a destra, procedendocome segue.

1. pendenza per w ! 0: Il tipo della funzione di trasferimentodetermina la pendenza in w ! 0. Per sistemi di tipo h 6= 0 ildiagramma parte con una pendenza di �20h dB/decade

2. modulo per w ! 0: Per sistemi di tipo 0 (h = 0) il diagrammaparte dal valore |µ|, in dB. Per sistemi di tipo h 6= 0 il diagram-ma parte con asintoto passante per il punto di ascissa w = 1 eordinata |µ| in dB.

3. cambi di pendenza: Spostandoci verso destra, ogni volta chew coincide con il modulo di una o piu’ radici della funzio-ne di trasferimento, la pendenza del diagramma cambia di�20dB/decade per ogni polo, e di +20dB/decade per ognizero.

Il diagramma esatto passa leggermen-te al disotto di quello approssimatoquando la pendenza decresce, legger-mente al disopra quando la pendenzacresce

⌅ Definizione: Regole per il tracciamento del diagramma di Bodeapprossimato della fase

1. fase per w ! 0: Il diagramma parte con fase �90h se µ > 0,�90h � 180 se µ < 0,

2. cambi di fase: Spostandoci verso destra, ogni volta che w coin-cide con il modulo di una o piu’ radici della funzione di tra-sferimento, la fase cambia di �90� per ogni polo stabile o zeroinstabile, e di +90� per ogni polo instabile o zero stabile.

Il diagramma esatto cambia concontinuita’ tra i due valori asintotici.La transizione inizia circa una decadeprima della singolarita’, per terminarecirca una decade dopo.

Impariamo a tracciare un diagramma di Bode asintotico attraversodegli esempi:

Esempio 28 (Un polo). Consideriamo la funzione di trasferimento

G(s) =1

1 + 3s.

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Abbiamo

|G(iw)| =��

11 + i3w

�� =1p

1 + 3w

2

Per 3w ⌧ 1,

|G(iw)| ' 11

,

mentre per 3w � 1,

|G(iw)| ' 13w

.

Ora osserviamo che

1aw

��d

B = 20 log10(1)� 20 log10(a)� 20 log10(w),

quindi il diagramma di una funzione 1aw

e’ una retta con pendenza�20dB/decade.

Possiamo approssimare il diagramma dichendo che |G(iw)| = 11

per 3w 1 e |G(iw)| ' 13w

per 3w � 1, ottenendo una retta orizzon-tale, di intercetta pari al guadagno di G(s) per w 1/3, che diventauna retta a �20dB/decade per w � 1/3.

10�2 10�1 100 101

�20

00

w (rad/s)

ampl

itude

(dB)


10�2 10�1 100 101

�90

0

w (rad/s)

phas

e(d

egre

es)


Esempio 29 (Uno zero). Consideriamo la funzione di trasferimento

G(s) = 1 + 3s.

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Abbiamo|G(iw)| = |1 + i3w| =

p1 + 3w

2

Per 3w ⌧ 1,|G(iw)| ' 1,

mentre per 3w � 1,|G(iw)| ' 3w.

Possiamo approssimare il diagramma dichendo che |G(iw)| = 1 per3w 1 e |G(iw)| ' 3w per 3w � 1, ottenendo una retta orizzontale,di intercetta pari al guadagno di G(s) per w 1/3, che diventa unaretta a +20dB/decade per w � 1/3.

10�2 10�1 100 101

0

20

0

w (rad/s)

ampl

itude

(dB)


10�2 10�1 100 101

0

90

w (rad/s)

phas

e(d

egre

es)


Esempio 30 (Un zero e due poli, guadagno non unitario). Conside-riamo la funzione di trasferimento

G(s) = 101 + s

(1 + 100s)(1 + 0.01s).

Notiamo che, in scala logaritmica, i contributi di zeri e poli suldiagramma si sommano. Utilizzando i ragionamenti fatti prima pos-siamo tracciare il diagramma a partire da sinistra come segue:

• il guadagno e’ 10, quindi il diagramma parte come una retta oriz-zontale ad altezza 20dB,

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• in w = 1/100 c’e’ un polo, quindi il diagramma passa a pendenza�20dB/decade,

• in w = 1 c’e’ uno zero, quindi il diagramma torna orizzontale,

• in w = 100 c’e’ un polo , quindi il diagramma passa a pendenza�20dB/decade.

10�3 10�2 10�1 100 101 102 103

�40

�20

0

20

0

w (rad/s)

ampl

itude

(dB)


10�3 10�2 10�1 100 101 102 103

�90

0

w (rad/s)

phas

e(d

egre

es)


Esempio 31 (Un zero e tre poli, guadagno non unitario, tipo diversoda 0). Consideriamo la funzione di trasferimento

G(s) =�10

s1 + s

(1 + 100s)(1 + 0.01s).

L’unica differenza rispetto all’esempio precedente e’ il termine�10/s. questo termine, ignorando tutti gli altri zeri e poli, ha perdiagramma una retta a �20dB/decade, passante per il punto (w =

1, |G| = 20dB). Dunque il diagramma completo parte con �20dB/decadecome una retta passante per (w = 1, |G| = 20 , le regole per tracciarlorestano poi identiche a prima:

• in w = 1/100 c’e’ un polo, quindi il diagramma passa a pendenza�40dB/decade,

• in w = 1 c’e’ uno zero, quindi il diagramma torna a pendenza�20dB/decade,

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• in w = 100 c’e’ un polo , quindi il diagramma passa a pendenza�40dB/decade.

Facciamo poi attenzione all’effetto di un guadagno negativo sul dia-gramma della fase.

10�3 10�2 10�1 100 101 102 103

�100

�40

20

80

0

w (rad/s)

ampl

itude

(dB)


10�3 10�2 10�1 100 101 102 103

�360

�270

w (rad/s)

phas

e(d

egre

es)


Attenzione! Il fatto che il guadagno sianegativo non ha alcuna ripercussionesul diagramma del modulo, identicoa quello che avremmo ottenuto perguadagno positivo.

Esempio 32 (Due poli complessi coniugati). Consideriamo la funzio-ne di trasferimento

G(s) =1

1 + s10 + s2

100

.

Abbiamo wn = 10, x = 0.5. Possiamo ripetere i ragionamenti prece-denti, ma questa volta la frequenza di taglio e’ w = wn, e avendo duepoli coincidenti la pendenza del diagramma cambia di 40dB/decade.

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10�1 100 101 102 103

�80

�60

�40

�20

00

w (rad/s)

ampl

itude

(dB)


Vedermo in una sezione piu’ avantiche per x < 1p

2il diagramma ha un

picco di risonanza vicino a wn. Nellafigura a fianco il picco si intravede,appena a sinistra della pulsazionenaturale.

10�1 100 101 102 103

�180

�90

0

w (rad/s)

phas

e(d

egre

es)


Attenzione! Il termine �tw e’ espressoin radianti, quindi equivale a �180

p

tw

gradi.

⌥ Diagramma di Bode di sistema con ritardoIl diagramma di Bode del modulo della funzione di trasferimento

F(s)e�ts

e’ uguale al diagramma di Bode della modulo di

F(s);

il diagramma della fase e’ uguale a

](F(iw))� tw.

Dimostrazione. La prima affermazione e’ conseguenza di |eiw | = 1, laseconda di ]eiw = w.

⌅ Definizione: Sistema a sfasamento minimoUn sistema e’ a sfasamento minimo se ha tutti i poli e gli zeristabili.

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F Sfasamento minimo e rapporto da diagrammi di fase e moduloIn un sistema a sfasamento minimo, il diagramma di Bode dellafase puo’ essere dedotto in maniera univoca dal diagramma delmodulo.

In altre parole, in un sistema a sfasa-mento minimo, il diagramma approssi-mato del modulo contiene da solo tuttele informazioni necessarie a ricostruirela funzione di trasferimento.

Diagrammi di Bode di aggregati

⌥ Diagramma di Bode del modulo per sistemi in cascataIl diagramma di Bode del modulo di due sistemi in cascata e’ lasomma (in dB) dei diagrammi di Bode del modulo dei due sistemi.

Dimostrazione. Il modulo in dB dell’aggregato e’

20 log10(|G1(iw)||G2(iw)|) = 20 log10(|G1(iw)|) + 20 log10(|G2(iw)|).

⌥ Diagramma di Bode della fase per sistemi in cascataIl diagramma di Bode della fase di due sistemi in cascata e’ la som-ma (in gradi) dei diagrammi di Bode della fase dei due sistemi.

Dimostrazione. La dimostrazione e’ analoga alla precedente.

Queste approssimazioni sono precisesolo fintanto che |G1(iw)| >> |G2(iw)|oppure |G1(iw)| << |G2(iw)|.

⌥ Diagramma di Bode del modulo per sistemi in paralleloIl diagramma di Bode del modulo di due sistemi in parallelo si ot-tiene prendendo, per ogni valore di w, il massimo tra i diagrammidi Bode del modulo dei due sistemi.

Dimostrazione. Il modulo in dB dell’aggregato e’

20 log10(|G1(iw) + G2(iw)|) 'max{20 log10(|G1(iw)), 20 log10(G2(iw)|)}.

⌥ Diagramma di Bode della fase per sistemi in paralleloIl diagramma di Bode della fase di due sistemi in parallelo si ot-tiene prendendo, per ogni valore di w, il diagramma della fase delsistema che ha modulo massimo.

Dimostrazione. Si dimostra utilizzando la stessa approssimazione uti-lizzata per il modulo.

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F Fase nell’intorno del punto |G1| = |G2|Le fasi di G1, G2, e G1 +G2 sono ovviamente definite modulo 360�.Nei punti di transizione, cioe’ ai valori w̄ in cui i moduli di G1 eG2 si intersecano, i diagrammi delle fasi di G1 e G2 devono essereallineati in modo da minimizzare il salto |]G1(iw̄)�]G2(iw̄)| trai diagrammi di G1 e G2.

Attenzione, la quantita’ |]G1(iw̄) �]G2(iw̄)| va valutata a partire daldiagramma esatto dalle funzioneG1 e G2. Nell’utilizzare i diagrammiapprossimati per il calcolo, casi criticicon |]G1(iw̄) � ]G2(iw̄)| vicino a180� potrebbero portare a conclusionierrate.

F Nel caso |]G1(iw̄)�]G2(iw̄)| = 180 l’allineamento dei diagram-mi della fase di G1 e G2 e’ indifferente (il diagramma esatto dellefasi e’ in questo caso discontinuo), ma l’errore sul diagramma delmodulo e’ infinito, infatti G1(iw̄)�]G2(iw̄) = 0

Esempio 33. Si considerino due sistemi con i seguenti diagrammi diBode:

10�1 100 101 102 103

�60

�40

�20

0

20

0

w (rad/s)

ampl

itude

(dB)


10�1 100 101 102 103

�180

�90

0

90

180

w (rad/s)

phas

e(d

egre

es)


Il diagramma di bode dei due sistemi in parallelo e’ correttamenteapprossimato come segue (diagramma in nero):

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10�1 100 101 102 103

�60

�40

�20

0

20

0

w (rad/s)

ampl

itude

(dB)


10�1 100 101 102 103

�180

�90

0

w (rad/s)

phas

e(d

egre

es)


mentre la seguente approssimazione della fase non e’ corretta

10�1 100 101 102 103

�180

�90

0

90

180

w (rad/s)

phas

e(d

egre

es)


⌥ Diagramma di Bode del modulo per sistemi in retroazioneDato un anello di retroazione negativa con ramo di andata G1(s)e ramo di retroazione G2(s), il diagramma di Bode del modulodell’anello chiuso si ottiene prendendo, per ogni valore di w, ilminimo tra i valori del diagramma del modulo di G1(s) e quellodi G2(s) riflesso attorno all’asse 0 dB.

Queste approssimazioni sono precisesolo fintanto che |G1(iw)| << 1

|G2(iw)|oppure |G1(iw)| >> 1

|G2(iw)| .

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Dimostrazione. In anello chiuso abbiamo

20 log10 |F(s)| = 20 log10

��G1(s)

1 + G1(s)G2(s)

�� = 20 log10

��1

1G1(s)

+ G2(s)

��'

8<

:20 log10 |G1(s)| quando |G1(s)| < 1/|G2(s)|20 log10

�� 1G2(s)

�� quando |G1(s)| > 1/|G2(s)|

⌥ Diagramma di Bode della fase per sistemi in retroazioneDato un anello di retroazione negativa con ramo di andata G1(s)e ramo di retroazione G2(s), il diagramma di Bode della fasedell’anello chiuso si ottiene prendendo, per ogni valore di w,

• ]G1 quando il modulo di G1 e’ minore del modulo di 1G2

• ] 1G2

= �]G2 quando il modulo di G1 e’ maggiore del modulodi 1

G2.

F Per il tracciamento del diagramma della fase nei punti di transizio-ne, dove |G1(iw)| = 1/|G2(iw)|, valgono le stesse considerazionifatte per la connessione in parallelo.

Rapporto tra diagrammi approssimati ed esatti

In realta’ in tutti i diagrammi visti finoad ora il diagramma estatto, in blu, erasovrapposto a quello approssimato, manon ne abbiamo mai parlato.

Fino a questo punto abbiamo discusso solamente del tracciamentodi diagrammi approssimati (o asintotici). In molti casi puo’ essereutile, una volta tracciato il diagramma approssimato, farsi un’ideadel possibile andamento del diagramma esatto corrispondente. Aquesto scopo possiamo usare i seguenti risultati.

Queste stime di errore sono precisequando il polo o zero si trova adalmeno due decadi di distanza da ognialtra radice.

⌥ Errore del diagramma di Bode approssimato del modulo, singolaradice realeIn presenza di un singolo polo [zero] reale, lontano da ogni al-tra radice, il diagramma approssimato sottostima [sovrastima] ildiagramma esatto di 3dB.

Dimostrazione. Consideriamo il sistema µ

Ts+1 . Alla frequenza di ta-glio w = 1/T il diagramma approssimato passa per l’ordinata µ (indB), il diagramma esatto ha invece ordinata

�� µ

iTw+1

�� = µ/p

T2/T2 + 1.

Abbiamo dunque 20 log10

⇣µ

µ/p

2

⌘' 3dB.

⌥ Errore del diagramma di Bode approssimato della faseIl contributo sulla fase di un polo o zero arriva al suo valoreasintotico in circa due decadi.

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L’andamento dell’errore sul diagramma del modulo introdottoda una coppia isolata di radici complesse coniugate e’ un po’ piu’complesso. Per discuterne, conviene partire da un esempio.

Esempio 34. Studiamo la risposta in frequenza dell’oscillatore armo-nico con funzione di trasferimento

w

2n

s2 + 2xwns + w

2n

al variare della pulsazione w dell’ ingresso u(t) = sin(wt).Cominciamo osservando che

limw!•

F(iw) = 0

e

limw!0

F(iw) = 1.

Quindi il sistema ha guadagno unitario, e il guadagno in frequenzatendente a 0 per frequenze sufficientemente alte (il sistema agiscecome un filtro passa basso).

Cerchiamo ora i massimi e i minimi della funzione |F(iw)| in w.Abbiamo

ddw

|F(iw)| = ddw

w

2np

w

4 + w

4n � 2w

2w

2n + 4x

2w

2nw

2=

� w

2n

4w

3 + 8x

2w

2nw � 4w

2nw

2(w4 + w

4n � 2w

2w

2n + 4x

2w

2n)

32=

� 2w

2nw

w

2 + 2x

2w

2n � w

2n

(w2 + w

2n � 2wwn + 4x

2w

2n)

32

La funzione si annulla per w = 0 e per w = wnp

1 � 2x

2. Per x

2 > 12

la funzione ha un unico massimo in 0. Per x

2 < 12 , la funzione ha un

minimo locale in 0, e un massimo in w = wnp

1 � 2x

2, che tende awn per x ! 0. Dunque, per smorzamento sufficientemente piccolo,segnali di ingresso con pulsazione vicina alla pulsazione di risonanzawn vengono amplificati.

⌅ DefinizioneIl picco identificato nella risposta in frequenza dell’esercizioprecedente si chiama picco di risonanza.

La proprieta’ di un sistema lineare (con almeno due poli complessiconiugati) di amplificare determinate frequenze permette a strumen-ti musicali (come archi e fiati) di generare suoni a frequenze benprecise a partire da segnali di ingresso (dall’archetto o dall’ancia) adampio spettro.

Ecco un esempio di diagramma di Bode per un oscillatore armo-nico con wn = 1, per diversi valori dello smorzamento.

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10�1 100 101

�40

�20

0

20

40

0

w (rad/s)

ampl

itude

(dB)


x = 0.9x = 0.5x = 0.1

x = 0.01

10�1 100 101

�180

�90

0

w (rad/s)

phas

e(d

egre

es)


x = 0.9x = 0.5x = 0.1

x = 0.01

Possiamo ora formulare il nostro teorema sul’errore in modulointrodotto da coppie di radici complesse coniugate.

⌥ Errore del diagramma di Bode approssimato, radici complesseconiugateIn presenza di una coppia di poli o zeri complessi coniugati, lon-tani da ogni altra radice, se x < 1p

2il diagramma esatto ha un

picco di risonanza in wr = wnp

1 � 2x

2, di ampiezza tendente a• per x ! 0.

Esercizio 43

1. Tracciare i diagrammi di Bode approssimati ed esatti di mo-dulo e fase di

G1(s) = 101 + s

(1 + 20s)(1 + 0.001s)

e di

G2(s) =1s2

1 � s1 + 0.1s

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2. Tracciare, utilizzando le regole descritte qui sopra i diagram-mi approssimati dei due blocchi in cascata, parallelo, e re-troazione con G1 sulla linea di andata e G2 sulla linea diretroazione

Esercizio 44

Si tracci il diagramma di Bode di

F(s) =e�2s

(s + 10)(s + 2)

Esercizio 45

Tracciamo il diagramma di Bode del sistema con funzione di tra-sferimento

1001

s2 � 10s + 100.

Diagramma di Nyquist

⌅ Definizione: Diagramma polareE’ il diagramma della funzione F(iw), per w 2 [0, •), nel pianocomplesso. Lo possiamo tracciare, approssimatamente, a partiredal diagramma di Bode approssimato.

⌅ Definizione: Diagramma polare per sistemi con poli o zeri sul-l’asse immaginarioIn presenza di radici sull’asse immaginario (per cui |F(iw)| ! •o |F(iw)| ! 0) il diagramma polare e’ definito come immagineattraverso F(iw) del segmento w = [0, •), sostituendo ad ogniporzione di segmento passante per una radice un semicerchio diraggio infinitesimo, passante a destra della radice.

⌅ Definizione: Circonferenza di NyquistE’ la circonferenza ottenuta unendo i segmenti spazzati da iw perw 2 (�•, •) all’infinito nel semipiano destro. Cosi’ come nel-la definizione del diagramma polare, la circonferenza di Nyquistviene definita in maniera da escludere eventuali radici sull’asseimmaginario.

⌅ Definizione: Diagramma di NyquistE’ l’immagine nel piano complesso della circonferenza di Ny-quist attraverso la funzione F(s). E’ facilmente ottenibile daldaigramma polare per riflessione attorno all’asse delle ascisse.

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Esempio 35. Tracciamo il diagramma di Nyquist della funzione ditrasferimento

G(s) =10(1 + 3s)(1 + 10s)2

Cominciamo tracciando i diagrammi di Bode di modulo e fase:

10�2 10�1 100

0

20

0

w (rad/s)

ampl

itude

(dB)


10�2 10�1 100

�180

�90

0

w (rad/s)

phas

e(d

egre

es)


Sulla base dei diagrammi precedenti, possiamo ora tracciare ildiagramma di Nyquist

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0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

1 10

Ricavo del modello da prove sperimentali

Utilizzando quanto visto in precedenza si puo’ tentare di identificareun modello approssimato di un sistema a partire da semplici provedi risposta allo scalino e all’impulso, o a prove in frequenza.

⌅ Definizione: Ricavo del modello da prove sperimentaliLe prove tipiche sono

• prova all’impulso, u(t) = Uimp(t)

• prova allo scalino, u(t) = Usca(t)

• prova in frequenza, u(t) = U sin(wt)

Vediamo un esempio.

Esempio 36. Il diagramma di modulo e fase di un sistema sonoriportati in figura.

10�3 10�2 10�1 100 101 102

�60

�20

20

0

w (rad/s)

ampl

itude

(dB)


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10�3 10�2 10�1 100 101 102

�180

�90

w (rad/s)

phas

e(d

egre

es)


Dal diagramma del modulo vediamo che il sistema ha guadagno|µ| = 100, e due poli in 0.1 e 1, quindi la sua funzione di trasferi-mento e’ della forma

±100(±s + 1)(±10s + 1)

.

Dal diagramma della fase vediamo che lo sfasamento in 0 e’ �180o,quindi µ = �100. Lo sfasamento successivamente decresce, perpoi tornare a crescere, quindi il primo polo deve essere instabile.Abbiamo quindi

G(s) =�100

(�10s + 1)(s + 1)

Esercizi

Esercizio 46

Dato un sistema con funzione di trasferimento

5s � 5(1 + s)(50 + s)(1 + 0.1s)

1. Si identifichino il polo dominante e il tempo di assestamentodel sistema.

2. Si traccino i diagramma di bode approssimato ed esatto.

3. Si dica se il sistema e’ a sfasamento minimo

4. Si valuti l’uscita del sistema a transitorio esaurito per ingressou(t) = 3 + sin(t) + 2 sin(200t).

5. Si tracci il diagramma di Nyquist.

Esercizio 47

Si traccino i diagrammi di Bode e Nyquist del sistema con funzio-ne di trasferimento

2s + 1(10s + 1)(0.1s + 1)

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