Rita Procesi Rosaria Rota

ELEMENTI

DI

GEOMETRIA

E

ALGEBRA LINEARE

ACCADEMICA

Prof.ssa Rita Procesi Dipartimento di Matematica “Guido

Castelnuovo” Università di Roma “La

Sapienza”

Piazzale Aldo Moro. 5 - 00185 Roma

Prof.ssa Rosaria Rota

Dipartimento di Matematica

Università di Roma Tre

Largo Murialdo, 2 - 00146 Roma

Copyright © 2011 by Accademica S.r.l., Roma Quest'opera è soggetta a copyright. I diritti di traduzione, di memorizzazione

elettronica. di riproduzione e di adattamento totale o parziale con qualsiasi

mezzo (compresi i microfilm e le copie fotostatiche) sono riservati per tutti i

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www.accademica.it

e-ISBN 978-88-85929-63-0 ISBN 978-88-85929-14-1

Procesi, Rita – Rota, Rosaria: ELEMENTI DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE

Prefazione

Questo libro e stato scritto per offrire uno strumento agile e di facileconsultazione per gli studenti di Ingegneria. Abbiamo cercato il piu possi-bile di pensare alle difficolta che lo studente maggiormente incontra nellacomprensione degli argomenti trattati; a tale scopo il linguaggio usato evolutamente semplice. Per aiutare poi lo studente nella fase iniziale dellostudio, sono stati forniti numerosi esempi.

Alla domanda che spesso lo studente si pone: ‘a cosa servono l’algebralineare e la geometria’ possiamo rispondere che, anche volendo soltanto ac-cennare ad alcune delle applicazioni possibili, gli argomenti svolti in questolibro sono alla base della trattazione di temi quali ad esempio: la teoria deicodici correttori, la descrizione del moto di un punto vincolato a muoversisu una curva, la determinazione delle reazioni vincolari di una struttura,etc... . Ci auguriamo pertanto che, nel corso degli studi, lo studente ritroviin questo testo, di volta in volta, gli argomenti di cui avra bisogno.

LISTA DEI SIMBOLI

alfa= α,A beta= β, B gamma= γ,Γ delta= δ,∆epsilon= ε, E zeta = ζ, Z eta= η,H teta= ϑ = θ,Θiota= ι, I kappa= κ,K lambda=λ,Λ mi(mu)=µ,Mni(nu)=ν, N csi= ξ,Ξ omicron=o,O pi=π,Πro=ρ, P sigma = σ,Σ tau= τ, T upsilon= υ,Υfi=ϕ,Φ chi= χ,X psi= ψ,Ψ omega= ω,Ω

⇒ implica ⇔ se e solo se/ tale che : tale che∃ esiste ∃! esiste unico∀ per ogni ∅ insieme vuoto− differenza fra insiemi ∈ appartenente∈ non appartenente contenente⊆ sottoinsieme ⊂ sottoinsieme proprio≥ maggiore o eguale ≤ minore o eguale= diversoN numeri naturali Z numeri interi relativiQ numeri razionali R numeri realiC numeri complessiA+ positivi in A (A=Z,Q,R) A− negativi in A (A=Z,Q,R)A* A\0 mZ multipli interi di ma | b a divide ba ≡ b mod(m) (a ≡m b) a congruo a b modulo mZm classi resto modulo m

Indice

1 TEORIA DEGLI INSIEMI 11.1 OPERAZIONI FRA INSIEMI . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 APPLICAZIONI FRA INSIEMI . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 RELAZIONI DI EQUIVALENZA . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 SPAZI VETTORIALI 232.1 PRIME DEFINIZIONI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 DIPENDENZA E INDIPENDENZA

LINEARE. BASE. DIMENSIONE . . . . . . . . . . . . . . 26

3 MATRICI E DETERMINANTI 353.1 MATRICI: PRIME DEFINIZIONI E PROPRIETA . . . . 353.2 DETERMINANTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 MATRICE INVERSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4 RANGO DI UNA MATRICE . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5 POLINOMI DI MATRICI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 APPLICAZIONI LINEARI 614.1 APPLICAZIONI LINEARI: PRIME

DEFINIZIONI E PROPRIETA . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 APPLICAZIONI LINEARI E

DIPENDENZA LINEARE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3 APPLICAZIONI LINEARI E

MATRICI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4 CAMBIAMENTI DI BASE.

MATRICI SIMILI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5 SISTEMI LINEARI 815.1 DEFINIZIONI E TEOREMI . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

i

ii INDICE

5.2 RISOLUZIONE DI UN SISTEMALINEARE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6 DIAGONALIZZAZIONE 896.1 PRIME DEFINIZIONI E

PROPRIETA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.2 POLINOMIO CARATTERISTICO

E AUTOVALORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3 FORMA CANONICA DI JORDAN

FUNZIONI DI MATRICI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7 PRODOTTI SCALARI 1077.1 PRODOTTI SCALARI SU UNO

SPAZIO VETTORIALE REALE . . . . . . . . . . . . . . . 1077.2 DIAGONALIZZAZIONE DEGLI

ENDOMORFISMI SIMMETRICI . . . . . . . . . . . . . . 114

8 LO SPAZIO DEI VETTORIGEOMETRICI 1178.1 VETTORI GEOMETRICI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9 GEOMETRIA AFFINEDEL PIANO E DELLOSPAZIO 1279.1 GEOMETRIA AFFINE

DEL PIANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1279.2 GEOMETRIA AFFINE

DELLO SPAZIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

10 GEOMETRIA EUCLIDEADEL PIANO E DELLOSPAZIO 15510.1 IL PIANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.2 LO SPAZIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

11 CONICHE DEL PIANO EUCLIDEO 16711.1 CIRCONFERENZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16811.2 ELLISSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17011.3 IPERBOLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17211.4 PARABOLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17511.5 CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE . . . . . . . . . . 178

12 IL TENSORE DOPPIO 185

CAPITOLO 1

TEORIA DEGLIINSIEMI

1.1 OPERAZIONI FRA INSIEMI

Intuitivamente diremo che un insieme e una collezione di oggetti oelementi; denoteremo gli insiemi con lettere maiuscole. Se A e un insieme,per indicare che un elemento x appartiene all’insieme A scriveremo x ∈ A;per descrivere un insieme se ne possono elencare gli elementi, e in tal caso siscrivera per esempio A = 1, 3, 5, 7. Si scrivera A = x : P (x) e vera segli elementi dell’insieme sono tutti e soli quelli soddisfacenti alla proprietaP ; ad esempio A = x ∈N: x e dispari, 1 ≤ x ≤ 7.Definizione 1.1.1 Diciamo che un insieme S e contenuto in un insieme A,e scriveremo S ⊆ A, se ogni elemento di S e anche elemento di A; si diceche S e contenuto propriamente in A, e si scrive S ⊂ A, se ogni elementodi S e anche elemento di A ed esiste almeno un elemento di A che nonappartiene ad S, ovvero S ⊆ A e S = A.

Definizione 1.1.2 Un insieme S si dice sottoinsieme di un insieme A seS ⊆ A e si dice sottoinsieme proprio di A se S ⊂ A. Diremo poi che dueinsiemi A e B sono uguali se A ⊆ B e B ⊆ A, ovvero se ogni elemento di Ae anche elemento di B ed ogni elemento di B appartiene anche ad A.

Esempio 1.1.1 Siano A = 3,−2 e B = x/x3 − x2 − 6x = 0; A e unsottoinsieme di B poiche 3 e -2 sono radici dell’equazione x3 − x2 − 6x = 0e quindi 3,−2 ∈ B. Inoltre A e un sottoinsieme proprio poiche 0 ∈ B, ma0 /∈ A.

4 Lezioni di algebra lineare e geometria

Esempio 1.1.9 Siano A =R e B = x / x2 + 1 = 0; poiche non esistealcun numero reale x tale che x2 + 1 = 0, si ha che A ∩ B = ∅ ovvero A eB sono disgiunti.

Per quanto riguarda le proprieta soddisfatte dalle operazioni di unionee di intersezione di insiemi, vale la seguente proposizione:

Proposizione 1.1.2 Se A, B e C sono tre insiemi, si ha:1) A ∪A = A , A ∩A = A idempotenza2) A ∪B = B ∪A , A ∩B = B ∩A proprieta commutativa3) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪C , A ∩ (B ∩C) = (A ∩B) ∩ C

proprieta associativa4) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C),

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) proprieta distributive5) A ∪ ∅ = A , A ∩ ∅ = ∅ .

Dimostrazione - Verifichiamo una delle precedenti proprieta, ad esempio laseconda delle 4), lasciando allo studente la dimostrazione delle altre.

Per verificare che A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) occorre dimostrare, perla definizione di uguaglianza di due insiemi, che valgono le due inclusioni:

i) A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩B) ∪ (A ∩C)ii) A ∩ (B ∪C) ⊇ (A ∩B) ∪ (A ∩ C) .Allo scopo di dimostrare la i), occorre dimostrare che ogni elemento

dell’insieme a primo membro e anche elemento dell’insieme a secondo mem-bro; sia quindi x un elemento generico dell’insieme A ∩ (B ∪ C). Perdefinizione di intersezione, l’elemento x appartiene sia ad A che a B ∪ C,ovvero sia ad A che a B o a C. Pertanto l’elemento x appartiene ad A∩B oad A∩C e quindi all’unione dei due insiemi A∩B e A∩C ; la dimostrazioneappena fatta puo essere scritta in maniera sintetica come segue:x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇒ (x ∈ A) e (x ∈ B ∪ C) ⇒ (x ∈ A) e (x ∈ B o x ∈ C)⇒ (x ∈ A e x ∈ B) o (x ∈ A e x ∈ C) ⇒ x ∈ A ∩ B o x ∈ A ∩ C

⇒ x ∈ (A ∩B) ∪ (A ∩ C) .

Per quanto riguarda la verifica della ii), in modo analogo risulta:x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⇒ x ∈ A ∩ B o x ∈ A ∩ C ⇒ (x ∈ A e x ∈ B) o(x ∈ A e x ∈ C) ⇒ (x ∈ A) e (x ∈ B o x ∈ C) ⇒ (x ∈ A) e (x ∈ B ∪ C)⇒ x ∈ A ∩ (B ∪ C) .

Come si puo osservare, la dimostrazione della ii) si effettua invertendole frecce nella dimostrazione della i).

6 Lezioni di algebra lineare e geometria

Dimostrazione - Dimostriamo la 1), lasciando allo studente la dimostrazione,del tutto analoga, della 2); a tal fine verifichiamo che:

i) CA(B ∪ C) ⊆ CA(B) ∩ CA(C)

ii) CA(B) ∩ CA(C) ⊆ CA(B ∪ C).

Cominciamo con il dimostrare la i); sia x ∈ CA(B∪C) ovvero x /∈ B∪C.

Poiche /∈ B ∪ C, x non puo appartenere ne a B ne a C, ovvero xappartiene sia al complementare di B che al complementare di C e quindix ∈ CA(B) ∩ CA(C).

Per quanto riguarda la ii), sia x ∈ CA(B) ∩ CA(C) ovvero x ∈ CA(B) ex ∈ CA(C); allora x /∈ B e x /∈ C, onde x non puo appartenere a B ∪ C equindi x ∈ CA(B ∪ C).

Abbiamo cosı dimostrato che vale la doppia inclusione e quindi l’ugua-glianza dei due insiemi espressa nella formula 1). Affinche lo studente fa-miliarizzi con il linguaggio simbolico, riscriviamo la dimostrazione appenafatta utilizzando soltanto simboli matematici:

x ∈ CA(B ∪ C) ⇔ x ∈ A, x /∈ B ∪ C ⇔ x ∈ A , x /∈ B e x /∈ C ⇔

⇔ x ∈ CA(B) e x ∈ CA(C) ⇔ x ∈ CA(B) ∩ CA(C).

Definizione 1.1.10 Dati due insiemi A e B, si definisce prodotto carte-siano dei due insiemi A e B, e si denota A × B, l’insieme delle coppieordinate in cui il primo elemento e in A ed il secondo in B, ovvero:

A ×B = (x, y) / x ∈ A, y ∈ B .

Descriviamo il prodotto cartesiano A×B doveA = 1, 2, 3 e B = 1, 2:

1 2 3

1

2

(1,1) (2,1) (3,1)

(1,2) (2,2) (3,2)

• • •

• • •

Teoria degli insiemi 13

Proposizione 1.2.1 Il prodotto operatorio fra applicazioni gode della pro-prieta associativa.

Dimostrazione - Se f : A → B, g : B → C e h : C → D sono tre applica-zioni, risulta:

((h g) f)(x) = (h g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h((g f)(x)) =

= (h (g f))(x).

Al fine di chiarire la nozione di prodotto operatorio, consideriamo alcuniesempi.

Esempio 1.2.13 Se f e g sono le applicazioni di Z in Z dell’esempio 1.2.9,e possibile definire sia g f che f g e risulta:

(g f)(x) = g(f(x)) = g(x2) = x2 + 4,

(f g)(x) = f(g(x)) = f(x + 4) = (x+ 4)2 .

Da questo esempio appare chiaro che il prodotto operatorio non godedella proprieta commutativa.

Esempio 1.2.14 Siano h : Z → R e k : R → R definite rispettivamenteponendo h(x) = 3

√x e k(x) = x2 + 1; in questo caso e possibile soltanto

definire k h e risulta:

(k h)(x) = k(h(x)) = k( 3√x) = ( 3

√x)2 + 1 .

Proposizione 1.2.2 Se f : A → B e biiettiva e f−1 : B → A e la suainversa, risulta f f−1 = iB e f−1f = iA ; inoltre f iA = f e iB f = f .Infine se f : A → B e g : B → A sono due applicazioni biiettive tali cheg f = iA e f g = iB , allora f = g−1 e g = f−1.

Dimostrazione - La prima parte della dimostrazione e conseguenza delledefinizioni di prodotto operatorio, inversa e identita; per quanto riguardala seconda parte risulta:

f = f iA = f (g g−1) = (f g) g−1 = iB g−1 = g−1.

In modo analogo si dimostra che g = f−1.

14 Lezioni di algebra lineare e geometria

Esempio 1.2.15 Verifichiamo se l’applicazione g : R → R tale che g(x) == x3−6x2+12x−1

2 , ∀x ∈R e l’inversa dell’applicazione f : R → R definitaponendo, ∀x ∈R, f(x) = 3

√2x− 7 + 2.

L’applicazione g e l’inversa di f se, e solo se, risulta gf = iR e fg = iR;se verifichiamo risulta:

(g f)(x) = g(f(x)) = g( 3√

2x− 7 + 2) =

=( 3√

2x− 7 + 2)3 − 6( 3√

2x− 7 + 2)2 + 12( 3√

2x− 7 + 2) − 12

=

=2x− 7 + 6 3

√(2x− 7)2 + 12 3

√2x− 7 + 8

2+

+−6( 3

√(2x− 7)2 + 4 3

√2x− 7 + 4) + 12 3

√2x− 7 + 24− 1

2= x = iR(x)

e

(f g)(x) = f(g(x)) = f(x3 − 6x2 + 12x− 1

2) =

= 3√x3 − 6x2 + 12x− 1 − 7 + 2 = 3

√(x− 2)3 + 2 = x− 2 + 2 = x = iR(x)

onde f e g sono funzioni una inversa dell’altra.

Proposizione 1.2.3 Se f : A → B e g : B → C sono due applicazionibiiettive allora (g f)−1 = f−1 g−1.

Dimostrazione - Si ha (g f) (f−1 g−1) = g (f f−1) g−1 == g iB g−1 = g g−1 = iC ; in modo analogo si dimostra che iA == (f−1 g−1) (g f), onde, per la prop. 2, f−1 g−1 = (g f)−1 .

Esempio 1.2.16 Per chiarire la proposizione precedente consideriamo leapplicazioni f : R→ R e g : R→ R tali che f(x) = x − √

2 e g(x) = 3√x ;

innanzitutto, per definizione di prodotto operatorio, si ha (g f)(x) == g(f(x)) = g(x−√

2) = 3√x−√

2 e quindi, per come e definita l’applica-zione inversa, risulta (g f)−1(x) = y tale che (g f)(y) = 3

√y −√

2 = x,onde y − √

2 = x3 da cui y = x3 +√

2. D’altra parte f−1(x) = x +√

2e g−1(x) = x3 e pertanto (f−1 g−1)(x) = f−1(g−1(x)) = f−1(x3) == x3 +

√2.

Per verificare le proprieta precedentemente esposte, consideriamo il se-guente esempio fondamentale, che sara utilizzato anche in seguito.

Teoria degli insiemi 15

Esempio 1.2.17 Siano A = 1, 2, 3 e S3 l’insieme delle applicazioni biiet-tive di A in A; allora l’insieme S3 e costituito dalle seguenti sei applicazioni:

idA : A→ A f1 : A→ A f2 : A→ A1 → 1 1 → 2 1 → 32 → 2 2 → 3 2 → 13 → 3 3 → 1 3 → 2

f3 : A→ A f4 : A→ A f5 : A→ A1 → 2 1 → 3 1 → 12 → 1 2 → 2 2 → 33 → 3 3 → 1 3 → 2

Descriviamo innanzitutto l’insieme S3 in modo piu compatto scrivendole applicazioni come tabelle in cui, nella seconda riga, sotto ogni elementodella prima riga scriviamo la sua immagine:

idA =(

1 2 31 2 3

), f1 =

(1 2 32 3 1

), f2 =

(1 2 33 1 2

),

f3 =(

1 2 32 1 3

), f4 =

(1 2 33 2 1

), f5 =

(1 2 31 3 2

).

Con semplici calcoli si puo allora verificare che f2 = f−11 , f3 = f−1

3 ,f4 = f−1

4 , f5 = f−15 ; inoltre, ad esempio, (f1 f3)(1) = f1(f3(1)) =

= f1(2) = 3, (f1 f3)(2) = f1(f3(2)) = f1(1) = 2 e (f1 f3)(3) == f1(f3(3)) = f1(3) = 1, onde f1 f3 = f4 .

Lo studente si eserciti a calcolare gli altri prodotti possibili.

Definizione 1.2.11 Se A = 1, 2, . . . , n e un insieme con n elementi sidice permutazione sugli n elementi di A una biiezione di A in A; l’insiemedi tutte le permutazioni sugli elementi di A si denota con Sn .

Definizione 1.2.12 In una permutazione f ∈ Sn si ha uno scambio se, pera, b ∈ A tali che a < b, risulta f(b) < f(a); diremo che f e di classe pari(dispari) se presenta un numero pari (dispari) di scambi.

Esempio 1.2.18 Data la permutazione f =(

1 2 3 4 55 3 1 2 4

)∈ S5 verifichia-

mo se f e di classe pari o dispari; si ha:

16 Lezioni di algebra lineare e geometria

prima riga seconda riga scambio

1 < 2 5 = f(1) > 3 = f(2) si1 < 3 5 = f(1) > 1 = f(3) si1 < 4 5 = f(1) > 2 = f(4) si1 < 5 5 = f(1) > 4 = f(5) si2 < 3 3 = f(2) > 1 = f(3) si2 < 4 3 = f(2) > 2 = f(4) si2 < 5 3 = f(2) < 4 = f(5) no3 < 4 1 = f(3) < 2 = f(4) no3 < 5 1 = f(3) < 4 = f(5) no4 < 5 2 = f(4) < 4 = f(5) no

e quindi la permutazione f e di classe pari perche presenta sei scambi.

Definizione 1.2.13 Sia Sn l’insieme delle permutazioni sugli elementi del-l’insieme A = 1, 2, . . . , n e sia sgn : Sn → 1,−1 l’applicazione definitaponendo, ∀ f ∈ Sn, sgn(f) = 1 se f e di classe pari e sgn(f) = −1 sef e di classe dispari; si definisce allora segno di f, e si denota con sgn(f),l’immagine, tramite l’applicazione sgn, della permutazione f .

Esempio 1.2.19 Nell’insieme S3 dell’esempio 1.2.17 idA non presenta scam-bi e quindi e di classe pari. La permutazione f1 e di classe pari poichepresenta due scambi; infatti 1 < 3, mentre f1(3) = 1 < f1(1) = 2 e 2 < 3,mentre f1(3) = 1 < f1(2) = 3. In modo analogo si vede che f2 presentadue scambi, f3 uno scambio, f4 ne presenta tre e f5 uno. Pertanto in S3

le permutazioni di classe pari sono idA, f1 e f2, mentre f3, f4 e f5 sono diclasse dispari. Osserviamo poi che, considerate due permutazioni, una diclasse pari e una di classe dispari, ad esempio f1 e f3, risulta f1f3 = f4 chee una permutazione di classe dispari e che, considerate due permutazioni diclasse pari, ad esempio f1 e f2, il loro prodotto e f1 f2 = idA che e di classepari; infine, considerate due permutazioni di classe dispari, ad esempio f3e f4, si ha f3 f4 = f2 che e di classe pari.

1.3 RELAZIONI DI EQUIVALENZA

Definizione 1.3.1 Se A e un insieme, si dice relazione su A un sottoin-sieme del prodotto cartesiano A ×A.

Teoria degli insiemi 17

Se ρ denota una relazione su A, ovvero ρ ⊆ A × A, per indicare che lacoppia (x, y) appartiene al sottoinsieme ρ si scrive generalmente xρy e sidice che x e in relazione ρ con y.

Esempio 1.3.1 Un esempio di relazione e quello che si ottiene conside-rando come insieme A l’insieme delle rette del piano e come sottoinsiemedi A × A l’insieme costituito dalle coppie di rette parallele, ovvero ρ == (r, r′) ∈ A ×A / r ‖ r′. Per denotare tale relazione scriveremo:

r, r′ ∈ A, rρr′ def⇐⇒ r ‖ r′ .Nello stesso insieme possiamo considerare anche un’altra relazione σ cosı

definita:

r, r′ ∈ A, rσr′def⇐⇒ r ⊥ r′

dove la retta r e in relazione con la retta r′ se, e solo se, r e perpendicolarea r′.

Le proprieta di cui puo godere una relazione su un insieme A sono leseguenti:

1) ∀ x ∈ A⇔ xρx (riflessiva),2) ∀ x, y ∈ A : xρy ⇔ yρx (simmetrica),3) ∀ x, y,∈ A : xρy e yρx ⇔ x = y (antisimmetrica),4) ∀ x, y, z ∈ A : xρy e yρz ⇔ xρz (transitiva).Per quanto riguarda le relazioni definite nell’esempio precedente possia-

mo dire che ρ e una relazione riflessiva simmetrica e transitiva mentre σ esolamente simmetrica.

Osservazione 1.3.1 Se ρ e una relazione su A che verifica sia la proprietasimmetrica che quella antisimmetrica, allora ρ e la relazione identica, cioela relazione definita al modo seguente: xρy ⇔ x = y. Infatti, se x, y ∈ Asono tali che xρy, allora per la proprieta simmetrica risulta yρx e quindi,per la proprieta antisimmetrica, x = y.

Esempio 1.3.2 In N la relazione di divisibilita:

n,m ∈ N, nρmdef⇐⇒ ∃ k ∈ N : m = kn.

gode della proprieta riflessiva poiche n = 1 · n, della proprieta transitivapoiche m = kn e s = hm implica s = hkn e della proprieta antisimmetrica;infatti risulta che:

nρm e mρn ⇒ m = kn e n = hm⇒ m = khm⇒

18 Lezioni di algebra lineare e geometria

⇒ hk = 1 ⇒ h = k = 1 ⇒ m = n

e pertanto tale relazione gode della proprieta antisimmetrica.

Definizione 1.3.2 Una relazione ρ su un insieme A si dice relazione diequivalenza se verifica le tre proprieta: riflessiva, simmetrica e transitiva.

Definizione 1.3.3 Se A e un insieme, ρ una relazione di equivalenza su Ae x un elemento di A, si dice classe di equivalenza di x, e si denota [x] ( o xo ρ(x) ), l’insieme degli elementi di A che sono in relazione con x, ovvero:

[x] = y ∈ A / xρy ;l’elemento x prende il nome di rappresentante della classe [x].

Esempio 1.3.3 Sia A =Z e sia ρ la relazione definita al modo seguente:

xρy ⇔| x |=| y | .Ovviamente tale relazione gode delle proprieta riflessiva, simmetrica e

transitiva e quindi e di equivalenza; se x ∈Z, [x] = x,−x, poiche dueinteri differenti hanno lo stesso modulo se, e solo se, sono uno l’oppostodell’altro.

Esempio 1.3.4 In R×R si consideri la relazione:

(x, y)ρ(z, w) ⇔ x = z

verifichiamo che ρ e una relazione di equivalenza; ρ gode ovviamente dellaproprieta riflessiva e della proprieta simmetrica. Per quanto riguarda laproprieta transitiva si ha che:

(x, y)ρ(z, w), (z, w)ρ(u, v) ⇒ x = z, z = u⇒ x = u⇒ (x, y)ρ(u, v).

La relazione ρ e quindi di equivalenza e la classe di equivalenza della coppia(x, y) e:

[(x, y)] = (x, k)/k ∈ R.

Definizione 1.3.4 Si dice insieme quoziente di A rispetto alla relazionedi equivalenza ρ, e si denota con A/ρ, l’insieme delle classi di equivalenzadegli elementi di A, cioe:

A/ρ = [x] / x ∈ A.