Determinazione delle sollecitazioni nel telaio - · PDF filemodulo di elasticità...

GRUPPO SISMICA S.R.L. Manuale teorico 3DMgeo

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Manuale teorico

ver. 111018.01


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Indice

1 INTRODUZIONE .................................................................................................................................. 4

2 CARATTERIZZAZIONE DEI TERRENI ........................................................................................... 4

2.1 Il comportamento dei terreni. Condizioni drenate e non drenate .................................................... 4

2.2 Parametri fisici e meccanici dei terreni ........................................................................................... 7

2.3 Modulo di elasticità tangenziale G ................................................................................................. 7

2.4 Peso specifico efficace ................................................................................................................... 8

2.5 Caratteristiche meccaniche del terreno per il calcolo dei cedimenti in fondazione ........................... 8

2.5.1 Caratteristiche meccaniche dei terreni in condizioni drenate ....................................................................... 9

2.5.2 Caratteristiche meccaniche dei terreni in condizioni non drenate .............................................................. 11

3 LE FONDAZIONI SUPERFICIALI NASTRIFORMI .................................................................... 13

4 VERIFICHE AGLI STATI LIMITE ULTIMI (SLU) ...................................................................... 14

4.1 Verifiche di sicurezza (SLU.GEO.A) e (SLU.GEO.B). ........................................................................ 15

5 COLLASSO PER CARICO LIMITE DELL’INSIEME FONDAZIONE-TERRENO. VERIFICHE

SLU.GEO.A ................................................................................................................................................... 17

5.1 Carico limite in condizioni non sismiche ....................................................................................... 17

5.1.1 La formula di Brinch-Hansen (1970-74) ....................................................................................................... 17

6 COLLASSO PER SCORRIMENTO SUL PIANO DI POSA. VERIFICHE (SLU.GEO.B). ........ 27

6.1 La resistenza allo scorrimento ...................................................................................................... 28

6.1.1 Compressione semplice ............................................................................................................................... 28


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6.1.2 Pressoflessione in piccola eccentricità ......................................................................................................... 29

6.1.3 Pressoflessione in grande eccentricità ......................................................................................................... 29

6.1.4 Riepilogo dei risultati ottenuti ..................................................................................................................... 31

7 VERIFICHE AGLI STATI LIMITE DI ESERCIZIO (SLE.GEO). ................................................ 32

7.1 Combinazioni di carico ed indicazioni della normativa .................................................................. 32

7.2 Terreni a grana grossa ................................................................................................................. 34

7.2.1 Metodo di Schmertmann ............................................................................................................................. 34

7.2.2 Metodo di Burland & Burbidge .................................................................................................................... 36

7.3 Terreni a grana fine ..................................................................................................................... 38

7.3.1 Il metodo edometrico .................................................................................................................................. 38

7.3.2 Metodo di Padfield & Sharrock .................................................................................................................... 41

7.3.3 Metodo di Skempton e Bjerrum .................................................................................................................. 42

8 SIMBOLI UTILIZZATI ..................................................................................................................... 48

9 BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................. 50


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1 Introduzione

Nel presente manuale si illustrano i principi teorici che stanno alla base del modulo

3DMgeo, preposto alle verifiche geotecniche, in conformità alle norme tecniche di cui al

D.M. 14.01.2008 e s.m.i.. L’attuale versione del modulo 3DMgeo permette la verifica agli

stati limite di fondazioni superficiali nastriformi.

2 Caratterizzazione dei terreni

2.1 Il comportamento dei terreni. Condizioni drenate e non drenate

Il comportamento meccanico di un terreno dipende dalla velocità con cui vengono applicati

i carichi e dalla sua permeabilità. In generale un processo di carico avviene in condizioni

drenate o in condizioni non drenate, per un dato terreno, a seconda della velocità di

applicazione dei carichi stessi.

Se il carico viene applicato lentamente l’acqua ha il

tempo di allontanarsi dal volume di terreno

considerato mentre il carico viene applicato. Non vi

sono, quindi, variazioni delle pressioni interstiziali ed i

cambiamenti di volume avvengono

contemporaneamente all’applicazione del carico.

L’incremento di tensione efficace è, in ogni istante,

pari all’aumento di tensione totale applicata.

In tal caso si dice che il processo di carico è in

condizioni drenate:

a) le pressioni interstiziali rimangono costanti e pari

al valore di regime u0;

b) si ha un incremento delle tensioni efficaci pari a

quello delle tensioni totali;

c) la fase transitoria del processo di carico avviene

con variazione di volume.


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Se il carico viene applicato velocemente l’acqua non ha il

tempo di allontanarsi dal terreno ed il volume del terreno

durante l’applicazione del carico rimane costante. Il

carico provoca un aumento della pressione interstiziale

(detta sovrappressione interstiziale u ), mentre le tensioni

efficaci non variano.

In tal caso si dice che il processo di carico avviene in

condizioni non drenate:

a) le pressioni interstiziali variano mentre rimangono

costanti le tensioni efficaci.

b) la fase transitoria del processo di carico avviene a

volume costante.

Al temine dell’applicazione del carico in condizioni non

drenate la pressione interstiziale è pari alla pressione

interstiziale di regime u0 più il valore della

sovrappressione interstiziale u causata dall’applicazione

del carico che risulta u = La sovrappressione

innesca un processo di filtrazione del terreno tale da provocare l’espulsione progressiva

dell’acqua. A tale fenomeno è associata una diminuzione delle pressioni interstiziali, che

progressivamente tornano al loro valore iniziale con una conseguente e progressiva

diminuzione di volume. Il processo continua fino a che le sovrappressioni non sono

completamente dissipate e cioè fino a quando la pressione dell’acqua al contorno del terreno

non coincide con le pressioni interstiziali. Questo processo di carico viene detto di

consolidazione in cui avviene una dissipazione delle sovrappressioni interstiziali

accompagnata da variazioni di volume. La consolidazione è quindi un fenomeno di

compressione accoppiato ad uno di filtrazione.

La variazione di volume finale è la medesima a quella che si otterrebbe ad applicare lo

stesso aumento di tensioni totali con velocità tali da rimanere in condizioni drenate.


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La velocità di applicazione del carico che distingue le condizioni drenate da quelle non

drenate varia al variare del tipo di terreno. Infatti la velocita’ di filtrazione dell’acqua in un

terreno è governata dal coefficiente di permeabilita’ k che varia al variare del tipo di terreno

(a differenza del moto dell’acqua in una condotta, quello nel terreno è affetto da una

resistenza maggiore dovuta alla presenza dei grani solidi).

Si definisce gradiente idraulico (o cadente piezometrica) la variazione delle pressione

nell’unità di spazio:

La legge che governa il moto di filtrazione dell’acqua in un mezzo poroso (come il terreno)

è la legge di DARCY:

V= k i

La velocità V del fluido è proporzionale al gradiente idraulico e la costante di

proporzionalità è il coefficiente di permeabilità k (ha le dimensioni di una velocità). Tale

coefficiente dipende essenzialmente dalle dimensioni degli spazi intergranulari e, pertanto,

dalle dimensioni dei granuli. In tabella sono riportati valori tipici di tale coefficiente.

I terreni a grana grossa (GHIAIA-SABBIA) hanno una elevata permeabilità (k>10-6 m/s):

l’eventuale sovrappressione interstiziale si dissipa in tempi brevissimi. Il comportamento di

tali materiali può, in generale, analizzarsi in condizioni drenate, trascurando il moto di

filtrazione transitorio necessario alla dissipazione delle sovrappressioni dell’acqua

interstiziale.

I terreni a grana fine (LIMI – ARGILLE), invece, hanno permeabilità ridotte (k<10-6 m/s),

e si comportano inizialmente come un sistema chiuso senza moti di filtrazione (condizioni


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non drenate). Successivamente si instaura un flusso in regime transitorio (processo di

consolidazione) durante il quale si hanno variazioni delle caratteristiche di resistenza,

deformabilità e dello stato di tensione efficace. Tutto questo fino alla completa dissipazione

delle sovrappressioni interstiziali.

Quanto detto può essere assunto come corretto quando la velocità di applicazione dei carichi

non si avvicina troppo agli estremi dei valori riportati nella tabella sottostante.

2.2 Parametri fisici e meccanici dei terreni

Al fine di caratterizzare le proprietà fisiche e meccaniche di un terreno in fondazione è

necessario definire il peso specifico naturale del terreno , il peso specifico efficace del

terreno , il modulo di elasticità tangenziale G.

Per i terreni in condizioni non drenate è necessario definire la coesione non drenata uc e,

relativamente al calcolo dei cedimenti in fondazione, il modulo edometrico edE .

Per i terreni in condizioni drenate la coesione efficace 'c e l’angolo di attrito interno ' .

2.3 Modulo di elasticità tangenziale G

Il modulo di elasticità tangenziale G si può misurare attraverso prove di laboratorio su

campioni indisturbati oppure da indagini in situ attraverso la misura delle velocità delle

onde sismiche nel terreno (MASW, down-hole, cross-hole, etc…).

Con riferimento alle indagini in situ la teoria della propagazione delle onde elastiche in un

mezzo elastico indica che:

2

sG V

dove


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/sat g è la densità del mezzo bifase del terreno

'sat w è il peso specifico di terreno in condizioni di saturazione,

w è il peso specifico dell’acqua

g è l’accelerazione di gravità.

2.4 Peso specifico efficace

Per calcolare il peso specifico efficace del terreno si può ricorrere alle formule che

correlano le caratteristiche fisiche del terreno. In particolare misurando:

il peso specifico naturale del terreno ,

il peso specifico dei grani del terreno s ,

il contenuto naturale d’acqua w,

è possibile calcolare il peso secco dell’unità di volume d del terreno

1d

w

Noto d è possibile calcolare la porosità n

1 d

s

n

Il peso specifico del terreno in condizioni di saturazione risulta pari a

(1 )sat s wn n

essendo w il peso specifico dell’acqua. Il peso specifico efficace del terreno risulta pari a

' sat w

2.5 Caratteristiche meccaniche del terreno per il calcolo dei cedimenti in fondazione

Per un mezzo elastico ed isotropo il modulo di elasticità tangenziale G risulta legato al

modulo di elasticità normale E ed al coefficiente di Poisson :

2 1

EG

(2.1)

Con riferimento alle indagini geofisiche il modulo di elasticità risulta

22 (1 )sE V


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Il coefficiente di Poisson può essere ricavato

2

2

0.5 / 1

/ 1

p s

p s

V V

V V

(2.2)

in cui pV e sV sono rispettivamente le velocità delle onde di compressione (o primae) e di

taglio (o secundae).

2.5.1 Caratteristiche meccaniche dei terreni in condizioni drenate

Con riferimento ad un terreno in condizioni drenate, il coefficiente di Poisson si può

ricavare dalla relazione

0

0 1

k

k

(2.3)

dove 0k è il coefficiente di spinta a riposo che si può esprimere (Kulhawy et al, 1989):

sin

0 1 sink OCR (2.4)

in cui

0 è l’angolo di attrito interno

OCR è il grado di consolidazione, cioè il rapporto tra la massima tensione effettiva

verticale cui il terreno è stato assoggettato nel corso della sua storia precedente, e la

presente tensione effettiva verticale in sito.

Stima di OCR da Vp

Dalle (2.2) è possibile ricavare il coefficiente di Poisson e dalle (2.3) e (2.4) è possibile

stimare il grado di sovraconsolidazione OCR per un fissato valore della velocità delle onde

primae Vp e di angolo di attrito interno . Infatti dalla (2.3) è possibile ricavare il

coefficiente di spinta a riposo

01

k

(2.5)

Sostituendo il valore di 0k ottenuto dalla (2.5) nella (2.4) si ottiene una stima del grado di

sovraconsolidazione

1/sin

0

1 sin

kOCR

(2.6)

In tal caso le velocità delle onde primae Vp dovranno essere maggiori di:


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2p sV V

Infatti se il coefficiente di Poisson assume il valore limite 0 accade che dalla (2.2)

2

12

0.5

p

s

Vr

V

(2.7)

e quindi

2p s sV V r V

Se il coefficiente di Poisson assume il valore limite superiore 0.5 si ha dalla (2.7)

r e quindi pV . La derivata prima della funzione ( )r risulta

2

2( ) 0

2 1r

La funzione ( )r risulta crescente come rappresentata in Figura 1. In definitiva risulta

2 r ed i valori ammissibili delle velocità delle onde primae risultano 2p sV V .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

100

200

300

400

500

600

r

Figura 1 – Relazione tra il rapporto r ed il coefficiente di Poisson .

Stima di Vp da OCR

Viceversa è possibile ricavare dalle (2.3) e (2.4) il coefficiente di Poisson e stimare la

velocità delle onde primae Vp per un fissato valore di OCR e di angolo di attrito interno .

Infatti calcolando il coefficiente di spinta a riposo dalla (2.4) è possibile ricavare il

coefficiente di Poisson dalle (2.3). Sostituendo quest’ultimo valore nella (2.2) è possibile

calcolare il rapporto 2

/p sr V V

0.5 1 1

1 0.5

rr

r

(2.8)

2


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Noto r e Vs è possibile stimare il valore di Vp

p sV V r

In tal caso il valore di OCR dovrà essere compreso tra

1/sin

10

1 sinOCR

Infatti se il coefficiente di Poisson assume il valore limite 0 accade dalla (2.5) che

0 0k e quindi dalla (2.6) risulta OCR = 0. Se invece il coefficiente di Poisson assume il

valore limite 0.5 accade dalla (2.5) che 0 1k e quindi dalla (2.6) si ottiene

1/sin

1

1 sinOCR

È bene precisare che le relazioni analitiche sopra riportate devono essere sempre

confermate da prove sperimentali eseguite in situ.

2.5.2 Caratteristiche meccaniche dei terreni in condizioni non drenate

Per un mezzo elastico poroso in condizioni non drenate ed in termini di tensioni totali

accade che 0 e 0.5u , e quindi dalla (2.1) risulta

3

uEG

in cui con uE si è indicato il modulo di deformazione non drenato. Quest’ultimo parametro

viene utilizzato nell’ambito del calcolo dei cedimenti dei terreni coesivi a grana fine. È

possibile stimare il valore del modulo di deformazione non drenato uE dai risultati delle

indagini geofisiche attraverso la seguente formula

23 3u sE G V

In alternativa esistono in letteratura delle correlazioni empiriche tra la coesione non drenata

cu ed il modulo di deformazione non drenato Eu in funzione dell’indice di plasticità Ip

Il modulo edometrico edE , parametro richiesto per il calcolo dei cedimenti in fondazione, si

può misurare in laboratorio su campioni indisturbati attraverso la prova edometrica oppure


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da indagini in situ attraverso la misura delle velocità delle onde sismiche nel terreno

(MASW, down-hole, cross-hole, etc…).

Con riferimento alle indagini in situ la teoria della propagazione delle onde elastiche in un

mezzo elastico indica che:

2

ed pE V

dove

pV è la velocità delle onde primae

è la densità del mezzo bifase del terreno


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3 Le fondazioni superficiali nastriformi

Con riferimento alle fondazioni superficiali nastriformi la normativa italiana, di cui al D.M.

14.01.2008 e s.m.i., prescrive le seguenti verifiche:

Verifiche agli stati limite ultimi (SLU) (cfr. § 6.4.2.1 D.M. 14.01.2008)

o SLU di tipo geotecnico (GEO):

(SLU.GEO.A) collasso per carico limite dell’insieme fondazione-

terreno;

(SLU.GEO.B) collasso per scorrimento sul piano di posa;

(SLU.GEO.C) stabilità globale;

o SLU di tipo strutturale (STR):

raggiungimento della resistenza negli elementi strutturali;

Verifiche agli stati limite di esercizio (SLE) (cfr. § 6.4.2.2 D.M. 14.01.2008)

o Verifica di compatibilità degli spostamenti e delle distorsioni

o Verifiche allo stato limite di danno (SLD) (cfr. § 7.11.5.3.1 D.M. 14.01.2008)

Il modulo 3DMgeo esegue le verifiche geotecniche secondo i metodi teorici più attuali della

geotecnica classica. In particolare esegue la verifica della capacità portante del terreno di

fondazione (SLU.GEO.A), calcolando il carico limite con la formula di Brinch-Hansen, sia

in condizioni drenate (terreni coesivi) e non drenate (terreni incoerenti o debolmente

coesivi), in cui è possibile considerare l’eventuale presenza di una falda in fondazione. Con

riferimento alle verifiche in condizioni sismiche è possibile scegliere per il calcolo del

carico limite tra le teorie di Paolucci e Pecker (1997) e di Cascone, Carfì, Maugeri e Motta

(2004).

Le verifiche di collasso per scorrimento sul piano di posa (SLU.GEO.B), sono eseguite

calcolando la resistenza allo scorrimento del terreno di fondazione secondo un modello

resistivo basato sul legame alla Mohr-Coulomb. Nelle verifiche per scorrimento è possibile

considerare l’influenza del momento flettente nel piano e fuori piano trasmesso dalla parete

in elevazione che determina una parzializzazione della superficie di contatto con il terreno

di fondazione.

Nell’attuale versione non sono previste le verifiche di stabilità globale (SLU.GEO.C) del

complesso fondazione-terreno-pendio. Le verifiche agli SLU di tipo (STR) vengono


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eseguite direttamente dal modulo principale del software 3DMacro durante le analisi non

lineari.

Le verifiche allo SLE sono eseguite utilizzando le teorie classiche per il calcolo dei

cedimenti in fondazione. Per ciascuna fondazione è possibile definire una stratigrafia

rispetto a cui effettuare il calcolo dei cedimenti. Ciascuno strato è caratterizzato da un

particolare tipo di terreno.

Con riferimento ai terreni a grana fine (argille) il calcolo dei cedimenti può essere

effettuato secondo il metodo edometrico, il metodo di Skempton e Bjerrum (1957) ovvero

secondo il metodo di Padfield e Sharrock (1983). Con riferimento ai terreni a grana grossa

(limi-sabbie-ghiaie) il calcolo dei cedimenti può essere effettuato secondo il metodo di

Schmertmann (1970-1978) che utilizza i risultati di prove penetrometriche CPT, e il metodo

di Burland e Burbridge (1985) che utilizza i risultati di prove penetrometriche SPT.

4 Verifiche agli stati limite ultimi (SLU)

3DMgeo esegue le verifiche agli stati limite ultimi in condizioni sismiche e non sismiche.

Con riferimento alle verifiche agli stati limite ultimi in condizioni non sismiche si devono

considerare le seguenti combinazioni di carico (cfr. § 2.5.3, DM 14.01.2008):

g1 Gk,1 + g2 Gk,2 + q1 Qk,1 + S(qi 0i Qk,i ) (4.1)

Con riferimento alle verifiche agli stati limite ultimi in condizioni sismiche si devono

considerare le seguenti combinazioni di carico (cfr. § 2.5.3, DM 14.01.2008):

+ Gk,1 + Gk,2 + S(2i Qk,i )

essendo:

Gk,1 il valore caratteristico dei carichi permanenti strutturali

Gk,2 il valore caratteristico dei carichi permanenti non strutturali

Qk,i il valore caratteristico dei carichi variabili

qi i coefficienti parziali per le azioni nelle verifiche SLU definiti nella tabella 2.6.I

ovvero nella tabella 6.2.I del D.M.14.01.08, in funzione del gruppo A1 o A2

oi i coefficienti di combinazione definiti nella tabella 2.5.I del D.M.14.01.08.

2i i coefficienti di combinazione definiti nella tabella 2.5.I del D.M.14.01.08.


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Nella valutazione delle azioni da computare ai fini della verifica della capacità portante di

un terreno si deve comunque intendere che il terreno e l’acqua costituiscono dei carichi

permanenti (strutturali) quando, nella modellazione utilizzata, contribuiscono al

comportamento dell’opera con le loro caratteristiche di peso, resistenza e rigidezza.

Ciascuna combinazione di carico determinerà uno stato di sollecitazione nel terreno di

fondazione che potrà essere verificato in condizioni drenate (CD) o non drenate (CND).

Le verifiche agli stati limite si intendono soddisfatte se:

Ed ≤ Rd

dove Ed è la sollecitazione di calcolo e Rd la relativa resistenza di calcolo

4.1 Verifiche di sicurezza (SLU.GEO.A) e (SLU.GEO.B).

Le verifiche di sicurezza di cui ai punti (SLU.GEO.A) e (SLU.GEO.B), devono essere

effettuate impiegando uno o due gruppi di combinazioni di carico (A1 e A2), in funzione

dell’approccio adottato, associati rispettivamente a due gruppi di coefficienti parziali γF

relativi alle azioni (cfr. tab. 6.2.I). Per ciascuna combinazione di carico si avrà un valore di

calcolo dell’azione sollecitante, Ed, esprimibile in termini di sforzo normale Nsd, taglio Vsd

e momento flettente, Msd, trasmesso alla fondazione.

Il valore della resistenza di calcolo Rd può essere determinato in modo analitico, con

riferimento al valore caratteristico dei parametri geotecnici del terreno, diviso per il valore

del coefficiente parziale M specificato nella successiva Tab. 6.2.II (coefficiente parziali sui

parametri geotecnici M1 e M2). La resistenza di calcolo Rd è ulteriormente ridotta tenendo


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conto del coefficiente parziale R sulle resistenze di calcolo specificato nella Tab. 6.4.I

(coefficiente parziale sulle resistenze R1, R2 e R3).

La normativa indica due approcci di verifica distinti ed alternativi (cfr. § 6.2.3.1 del

D.M.14.01.2008).

Nel primo approccio di verifica (Approccio 1) sono previsti due diversi gruppi di

combinazioni di carico, associati rispettivamente a due gruppi di coefficienti parziali relativi

alle azioni (A), γF, ai parametri geotecnici (M), γM, e alle resistenze di calcolo (R), γR: il

primo gruppo di combinazioni è generalmente più severo nei confronti del

dimensionamento strutturale delle opere a contatto con il terreno (A1+M1+R1), mentre il

secondo gruppo di combinazioni è generalmente più severo nei riguardi del

dimensionamento geotecnico (A2+M2+R2). In definitiva si hanno i seguenti gruppi di

combinazioni:

- Combinazione 1: (A1+M1+R1) da considerare per le verifiche di resistenza degli

elementi strutturali

- Combinazione 2: (A2+M2+R2) da considerare per le verifiche di capacità

portante (SLU.GEO.A) e di scorrimento (SLU.GEO.B) del terreno di fondazione

Nel secondo approccio di verifica (Approccio 2) è previsto un unico gruppo di

combinazioni di carichi e di coefficienti, da adottare sia nelle verifiche strutturali sia nelle

verifiche geotecniche (A1+M1+R3). Nelle verifiche effettuate con l’approccio 2 che siano

finalizzate al dimensionamento strutturale, il coefficiente R non deve essere portato in

conto.


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5 Collasso per carico limite dell’insieme fondazione-terreno.

Verifiche SLU.GEO.A

5.1 Carico limite in condizioni non sismiche

Coerentemente a quanto disposto dal D.M. 14.01.2008 la verifica per carico limite

dell’insieme fondazione-terreno può essere effettuata analiticamente (cfr. § 6.2.3.1.2)

valutando il carico limite, qlim , ossia quel carico che determina uno dei possibili meccanismi

di rottura. In letteratura è possibile distinguere tre tipi di rottura del terreno:

Rottura generale;

Rottura locale;

Rottura per punzonamento.

Tipi di rottura del terreno

Il tipo di rottura è individuabile dal valore assunto dall’indice di rigidezza della fondazione.

Quest’ultimo parametro dipende dal livello di carico (cfr. § 5.1.1.7).

5.1.1 La formula di Brinch-Hansen (1970-74)

Con riferimento ad una fondazione nastriforme è possibile calcolare il carico limite

attraverso il metodo proposto da Brinch-Hansen (1970-74). La formula originariamente

proposta considerava un meccanismo globale; le modifiche apportate da Vesic (1975)

permettono di considerare il tipo di rottura del terreno attraverso l’introduzione di opportuni


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coefficienti correttivi (cfr. § 5.1.1.7). Di seguito si riportano le formule implementate per il

calcolo del carico limite.

- In condizioni drenate ed in assenza di falda

lim

1

2c c q qq B N c N qN

- In condizioni drenate ed in presenza di falda

lim

1

2c c q qq B N c N qN A D

lim

1( ) ( ) '

2c c q qq A D B D A N c N qN D A D B

lim

1'

2c c q qq B N c N qN A D B

- In condizioni non drenate ed in assenza di falda:

lim

1

2u c cq B N s c N q

- In condizioni non drenate ed in presenza di falda

lim

1

2u c cq B N s c N q A D

lim

1( ) ( ) '

2u c cq A D B D A N s c N q D A D B

lim

1'

2u c cq B N s c N q A D B

In cui:

, ,c qN N N sono i fattori di capacità portante proposti da Vesic (1975) e da Prandtl (1921)

q è la pressione totale litostatica agente alla profondità del piano di posa;

il peso specifico del terreno sotto il piano di fondazione;

sat w il peso specifico efficace del terreno sotto il piano di fondazione;

c la coesione in condizioni drenate del terreno sotto il piano di fondazione;

' l’angolo di attrito interno in condizioni drenate del terreno sotto il piano di fondazione;

uc la coesione in condizioni non drenate del terreno sotto il piano di fondazione;


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I fattori di capacità portante in condizioni drenate sono dati da

2( 1) tanqN N (Vesic, 1975)

( 1)cotc qN N (Prandtl, 1921)

tan '

q pN e K (Prandtl, 1921)

2tan 45 '/ 2pK

In condizioni non drenate i fattori di capacità portante assumono le seguenti espressioni

2sinN

2cN

, ,c q sono i fattori correttivi pari al prodotto dei fattori correttivi dovuti

all’inclinazione del carico , ,c qi i i , alla forma della fondazione , ,c qs s s , all’affondamento

, ,c qd d d , all’inclinazione del piano di fondazione , ,c qb b b , all’inclinazione del piano di

campagna , ,c qg g g , al punzonamento , ,c qp p p , al sisma , ,c qz z z .

c c c c c c c c

q q q q q q q q

i s d b g z p

i s d b g z p

i s d b g z p

5.1.1.1 Correzione dovuta all'eccentricità del carico

Se la risultante dei carichi applicati alla fondazione non passa per il baricentro O dell'area di

impronta della fondazione stessa, ma per un punto E con eccentricità eB ed eL rispetto al

baricentro O, si tiene conto di tale eccentricità considerando una fondazione di dimensioni

ridotte:

B' = B - 2eB; L' = L - 2eL

dove (cfr. Figura 8 in cap.8):

eB = ML/N; eL = MB/N

5.1.1.2 Fattori correttivi dovuti all’inclinazione del carico

I fattori correttivi dovuti all’inclinazione del carico sono (Vesic, 1970):

In condizioni drenate

1

1 0' ' 'cot '

m

Vi

N B L c


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1

0tan '

q

c q

c

ii i

N

1 0' ' ' tan '

m

q

Vi

N B L c

In condizioni non drenate

1 0' '

c

u c

m Vi

B L c N

in cui

2 2

0 0cos sinL Bm m m

2 '/ '

1 '/ 'B

B Lm

B L

2 '/ '

1 '/ 'L

L Bm

L B

2 2 2

L BV V V

0 arctan B

L

V

V

5.1.1.3 Fattori correttivi dovuti alla forma della fondazione

I coefficienti correttivi dovuti alla forma della fondazione sono:

In condizioni drenate (De Beer, 1967)

'

1 0.4'

Bs

L

'

1'

q

c

c

NBs

L N

'

1 tan ''

q

Bs

L

In condizioni non drenate (Vesic, 1970)

'

1 0.4'

Bs

L

'

1 0.2'

c

Bs

L

5.1.1.4 Fattori correttivi dovuti alla profondità della fondazione

I coefficienti correttivi dovuti alla profondità della fondazione sono:


Pag 21


1d

1

tan '

q

c q

c

dd d

N

2

2

1 2 tan ' 1 sin '

1 2 tan ' 1 sin ' arctan

q

Dse D B

Bd

Dse D B

B

In condizioni non drenate (Brinch-Hansen, 1970)

1 0.4c

Dd

B

5.1.1.5 Fattori correttivi dovuti all’inclinazione del piano di posa

I fattori correttivi dovuti all’inclinazione del piano di posa sono:


qb b

1

tan '

q

c q

c

bb b

N

2

1 tan 'qb


2

12

cb

5.1.1.6 Fattori correttivi dovuti all’inclinazione del piano di campagna

I coefficienti correttivi dovuti all’inclinazione del piano di campagna sono:


/ cosqg g

1

tan '

q

c q

c

gg g

N

2

1 tan cosqg


2

12

cg


Pag 22

5.1.1.7 Fattori correttivi dovuti al punzonamento

Vesic (1975) ha studiato in via approssimativa il fenomeno della rottura per punzonamento

di una fondazione diretta, assimilando il terreno ad un mezzo elastico-perfettamente plastico

e la rottura per carico limite all’espansione di una cavità cilindrica indefinita. Il fenomeno

risulta essere retto dall’indice di rigidezza

tanr

GI

c

dove G rappresenta il modulo di elasticità tangenziale del terreno e la tensione normale

media che si registra ad una profondità pari a z = D + B/2 dal piano di campagna:

1 2( / 2) / 2 / ( )D B D B N BL .

Vesic propone una correzione della formula trinomia per il calcolo del carico limite in

funzione del valore assunto dall’indice di rigidezza. Nel caso in cui ,r r critI I

,

1exp 3.3 0.45 cot

2 4 2r crit

BI

L

(dove ,r critI è l’indice di rigidezza critico della fondazione), la rottura sarà di tipo generale

per cui non è necessario effettuare alcuna correzione.

Nel caso in cui ,r r critI I la rottura avviene per punzonamento. Il carico limite viene ridotte

secondo oppoertuni coefficienti correttivi (Vesic):


qp p

1

tan

q

c q

q

pp p

N

3.07sin log

exp 0.6 4.4 tan1 sin

rq

IBp

L

In condizioni non drenate

1p

0.32 0.12 0.6logc r

Bp I

L

1qp


Pag 23

5.1.1.8 Fattori correttivi dovuti al sisma

La valutazione della capacità portante in condizioni sismiche può essere effettuata

secondo i metodi di Paolucci e Pecker (1997), e di Cascone et al. (2004).

Le NTC 2008 stabiliscono al § 7.11.5 i criteri e le verifiche sismiche da eseguire per le

fondazioni superficiali. In particolare il § C7.11.5 della circolare 02.02.2009 afferma che

l’azione del sisma produce accelerazioni nel sottosuolo (effetto cinematico) e nella

fondazione, per l’azione delle forze d’inerzia generate nella struttura in elevazione (effetto

inerziale).

Nell’ambito dei metodi di analisi pseudo-statica, modellando l’azione sismica attraverso la

sola componente orizzontale, tali effetti possono essere messi in conto mediante i

coefficienti sismici hik e hkk che vengono assunti pari a

hi

Vk

N max

hk s

ak

g

in cui

s coefficiente di riduzione dell’accelerazione massima attesa al sito (cfr. tab 7.11.I);

maxa accelerazione orizzontale massima attesa al sito:

max g s T ga S a S S a ;

La circolare 02.02.2009 afferma inoltre:

“L’effetto inerziale produce variazioni di tutti i coefficienti di capacità portante del

carico limite in funzione del coefficiente sismico hik e viene portato in conto impiegando le

formule comunemente adottate per calcolare i coefficienti correttivi del carico limite in

funzione dell’inclinazione, rispetto alla verticale, del carico agente sul piano di posa.”

“L’effetto cinematico modifica il solo coefficiente N in funzione del coefficiente

sismico hkk ; il fattore N viene quindi moltiplicato sia per il coefficiente correttivo


Pag 24

dell’effetto inerziale, sia per il coefficiente correttivo per l’effetto cinematico.” Tale

disposizione suggerisce di utilizzare il metodo proposto da Cascone et al (2004).

5.1.1.8.1 I Metodi di Paolucci e Pecker (1997)

I metodi di Paolucci e Pecker sono basati sull’approccio cinematico della “yield design

theory”, considerando l’eccitazione sismica applicata staticamente (approccio quasi-statico).

Gli autori hanno proposto due metodi per la valutazione della capacità portante delle

fondazioni soggette all’azione sismica.

5.1.1.8.2 Primo metodo di Paolucci e Pecker

Il primo metodo prevede la valutazione dei fattori di capacità portante sismici che

vengono determinati correggendo quelli proposti da Brinch-Hansen (1970) attraverso i

fattori correttivi zq=Nqe/ Nqs, zc=Nce/ Ncs, zγ=Nγe/ Nγs. Le espressioni di tali fattori correttivi

sono:

0.35

1tan

hq

kz z

1 0.32c hz k

Il coefficiente sismico Kh, di Paolucci e Pecker, viene identificato con il coefficiente Khk

definito nelle NTC '08:

maxh hk s

ak k

g

5.1.1.8.3 Secondo metodo di Paolucci e Pecker – terreni incoerenti

Il secondo metodo consiste in una formulazione empirica valida per i terreni privi di

coesione che approssima i risultati di un approccio cinematico tenendo in conto sia

l’eccentricità del carico che il contributo dell’inerzia del suolo. Questo approccio si basa

sulla ricerca di tre fattori, funzione della forza orizzontale, della eccentricità del carico e

della inerzia del terreno, di seguito descritti, che consentono di passare dalla capacità

portante limite in campo statico, a quella in campo sismico.

La formula risulta quindi:

lim, lim,e h e i sq q (5.1)

con i seguenti coefficienti:


Pag 25

Forza orizzontale:

10.85

h

V

N

Eccentricità del carico:

10.50

e

e

B

Inerzia del terreno:

1tan

hi

k

Ricordando che:

lim, 2

1

2s c qq B N c N qN

lim, 2

1

2e c c q qq B N z c N z qN z

La (5.1) equivale a porre:

q c h e iz z z

5.1.1.8.4 Metodo di Cascone et al (2004)

Cascone, Carfì, Maugeri e Motta (2004) hanno valutato la riduzione del carico limite di

terreni in condizioni drenate soggetti all’azione sismica attraverso il metodo delle

caratteristiche. In particolare gli autori hanno valutato la riduzione del fattore di capacità

portante Nγ dovuta all’effetto cinematico della massa di terreno coinvolta nel meccanismo di

rottura nonché all’effetto inerziale della struttura ipotizzando che γ ≠ 0 e c′ = 0 ed

assumendo che sia nullo il sovraccarico q agente ai lati della fondazione. Sotto queste

ipotesi gli autori hanno proposto una formula per il calcolo del fattore di capacità portante in

condizioni sismiche EN

E k iN N e e

in cui

N è il fattore di capacità portante in condizioni non sismiche,

ke e ie sono i fattori correttivi associati rispettivamente all’effetto cinematico e all’effetto

inerziale

0.45

1 / tank hke k


Pag 26

5

1 0.7i hie k

essendo

l’angolo di attrito interno

hik il coefficienti sismico associato all’effetto inerziale

hkk il coefficienti sismico associato all’effetto cinematico

5.1.1.8.5 Osservazioni

E’ importante notare che i metodi di Paolucci e Pecker, e il metodo di Cascone et al.

sono validi fino a che viene rispettata la disuguaglianza

tanhkk

dopodiché il coefficiente legato alla inerzia del terreno perde significato. Pertanto tali

metodi, alla luce delle NTC 2008 non risultano applicabili in certe zone sismiche per valori

di φ relativamente bassi; ad esempio per un valore di calcolo φ=10° il metodo non è

applicabile se 0.4ga g e TS =1.0, sia per sS =1,8 sia per sS =1,6; analogamente i metodi

non sono applicabili se φ=15° e 0.4ga g per TS =1.4 e sS =1,8.

Inoltre nel metodo di Cascone et al. deve risultare soddisfatta la condizione

/ 1/ 0.7 1.428hik V N

dopodiché il coefficiente ie perde significato fisico.


Pag 27

6 Collasso per scorrimento sul piano di posa. Verifiche

(SLU.GEO.B).

Nell’ambito delle verifiche allo SLU si deve verificare che per effetto dell’azione tagliante

non si determini lo scorrimento della fondazione. Tale condizione è soddisfatta se accade

che:

d dE R

dove dE ed

dR sono rispettivamente l’azione e la resistenza di calcolo.

Il DM 14.01.2008 recita al § 7.11.5.3.1:

“Per azione si intende il valore della forza agente parallelamente al piano di scorrimento,

per resistenza si intende la risultante delle tensioni tangenziali limite sullo stesso piano,

sommata, in casi particolari, alla risultante delle tensioni limite agenti sulle superfici

laterali della fondazione.

Specificamente, si tiene conto della resistenza lungo le superfici laterali nel caso di contatto

diretto fondazione-terreno in scavi a sezione obbligata o di contatto diretto fondazione-

calcestruzzo o fondazione-acciaio in scavi sostenuti da paratie o palancole. In tali casi, il

progettista deve indicare l’aliquota della resistenza lungo le superfici laterali che intende

portare in conto, da giustificare con considerazioni relative alle caratteristiche meccaniche

dei terreni ed ai criteri costruttivi dell’opera”.

La resistenza di calcolo viene valutata trascurando la resistenza lungo la superfici laterali,

per cui risulta:

Rdd

R

VR

dove RdV è la resistenza allo scorrimento ridotta del coefficiente parziale R riportato nella

Tab. 6.4.I del DM 14.01.2008 (da scegliere in funzione dell’approccio di verifica adottato,

cfr. § 4.1).

La Circolare 02.02.2009 indica al § C7.11.5.3.1 per le verifiche allo scorrimento sul piano

di fondazione, l’Approccio 2 conduce a risultati molto meno conservativi di quelli

conseguibili con l’Approccio 1. Per questo Stato limite è, pertanto, preferibile l’impiego

dell’Approccio 1.


Pag 28

6.1 La resistenza allo scorrimento

Sia lim la tensione tangenziale limite che si sviluppa nell’area di contatto tra la fondazione

ed il terreno sottostante durante un meccanismo di scorrimento. La resistenza allo

scorrimento RdV è valutabile come:

limRd

A

V dA (6.1)

essendo A l’area di contatto.

La massima tensione tangenziale, lim , associata all’attrito statico tra la fondazione ed il

terreno sottostante, è fornita dal modello alla Mohr-Coulomb secondo la relazione:

lim tanc (6.2)

in cui 0 se di compressione. Poiché lo scorrimento avviene tra terreno e terreno è lecito

assumere 'c c e ' nel caso di verifica in condizioni drenate ovvero uc c e 0

nel caso di verifica in condizioni non drenate.

6.1.1 Compressione semplice

Si consideri il caso in cui la fondazione trasmette al terreno un’azione di compressione

semplice. La tensione di contatto nella sezione di interfaccia si può assumere, a meno di

effetti di bordo, pari a: N

A = cost.

in cui A BL è l’area della superficie di contatto ed N è la componente verticale della forza

che la fondazione trasmette al terreno sottostante. Nelle espressioni seguenti la forza N si

assume essere di segno negativo in quanto determina uno stato di sollecitazione di

compressione.

La resistenza allo scorrimento RdV risulta:

( tan ) tanRd

A

V c dA c A N (6.3)


Pag 29

6.1.2 Pressoflessione in piccola eccentricità

Nel caso in cui la fondazione trasmette al terreno un’azione di pressoflessione al terreno

sottostante, nell’ipotesi di piccola eccentricità, ossia se / 6Be B ed / 6Le L , l’interfaccia

tra la fondazione ed il terreno è interamente reagente. In questo caso è possibile valutare la

tensione di contatto con la formula di De-Saint Venant applicata all’intera superficie di

contatto:

B L

B L

M MNy x

A I I

in cui / 2 / 2B x B e / 2 / 2L y L . La resistenza allo scorrimento RdV risulta:

( tan )

tan

tan

tan

Rd

A

B LRd

B LA

B LRd

B LA

B LRd

B LA A

V c dA

M MNV c y x dA

A J J

M MNV c A y x dA

A J J

M MV c A N ydA xdA

J J

D’altraparte 0; 0L B

A A

S ydA S xdA

poiché il sistema di riferimento adottato è principale di inerzia. La resistenza allo

scorrimento RdV risulta in definitiva:

tanRdV c A N (6.4)

6.1.3 Pressoflessione in grande eccentricità

6.1.3.1 Caso A: pressoflessione retta in direzione trasversale

Nel caso in cui la fondazione trasmette al terreno un’azione di pressoflessione retta al

terreno sottostante, nell’ipotesi di grande eccentricità in cui / 6Be B ed 0Le ,

l’interfaccia tra la fondazione ed il terreno non è interamente reagente. In questo caso la

superficie di contatto risulta parzializzata ed ha dimensioni pari a 3 BL u , dove

/ 2B Bu B e . Si assuma un diagramma delle tensioni normali lineare, per cui la massima

tensione di contatto risulta:

max max

1 23

2 3B

B

Nu L N

u L (6.5)

La tensione di contatto in un qualunque punto della sezione reagente risulta:


Pag 30

max

'( ', )

3 B

xx y

u

in cui 0 ' 3 Bx u e / 2 / 2L y L . La resistenza allo scorrimento RdV è data da:

max

max

max

( tan )

'tan

3

tan'

3

tan'

3

Rd

A

Rd

BA

Rd

B A

Rd

B A

V c dA

xV c dA

u

V c A x dAu

V c A x dAu

dove

2

3

9'

2

b

B

A

A u L

Lux dA

(6.6)

La resistenza allo scorrimento RdV risulta:

max

3tan

2Rd BV c A Lu (6.7)

Sostituendo l’espressione (6.5) nella (6.7) si ottiene:

tanRdV c A N (6.8)

È facile osservare che l’espressione (6.8) è formalmente identica alla (6.3) a meno dell’area

A di contatto che in questo caso risulta fornita dalla (6.6):

3 bA u L BL (6.9)

6.1.3.2 Caso B: pressoflessione retta in direzione longitudinale

Analogamente a quanto visto superiormente è possibile dimostrare che, nel caso in cui

0Be ed / 6Le L , la resistenza allo scorrimento RdV è fornita sempre dalla (6.8) a meno

dell’area A di contatto che risulta:

3 LA u B BL (6.10)

in cui / 2L Lu L e .


Pag 31

6.1.4 Riepilogo dei risultati ottenuti

In generale la resistenza allo scorrimento RdV si può esprimere attraverso la relazione

tanRd SdV c A N

dove 0SdN è la componente verticale della forza che la fondazione trasmette al terreno

sottostante ed A l’area di contatto che risulta:

/ 6 / 6

3 / 6 0, / 2

3 0 / 6, / 2

B L

b B L B B

L B L L L

BL se e B e e L

A u L se e B e e dove u B e

u B se e e e L dove u L e


Pag 32

7 Verifiche agli stati limite di esercizio (SLE.GEO).

Il modulo 3DMgeo esegue le verifiche agli stati limite di esercizio geotecnici (SLE.GEO)

secondo i più comuni approcci, presenti nella letteratura tecnica. Coerentemente a quanto

disposto dal D.M. 14.01.2008 la verifica degli stati limite di esercizio avviene (cfr. §

6.2.3.3) valutando il massimo cedimento indotto dalle azioni sollecitanti (w), e

confrontandolo con il valore limite (wamm), stabilito in funzione del comportamento della

struttura in elevazione. La verifica è soddisfatta se

w ≤ wamm

ossia se

FS = wamm / w ≥ 1

Il calcolo dei cedimenti w in terreni a grana grossa può essere eseguito secondo i seguenti

metodi:

Metodo di Schmertmann

Metodo di Burland & Burbidge

Per i terreni a grana fine è possibile valutare sia i cedimenti iniziale e che quelli di

consolidazione attraverso i seguenti metodi:

Metodo edometrico

Metodo di Padfield & Sharrock

Metodo di Skempton & Bjerrum

7.1 Combinazioni di carico ed indicazioni della normativa

Con riferimento alle verifiche agli stati limite di esercizio (in condizioni non sismiche) si

devono considerare le seguenti combinazioni di carico per la verifica agli Stati Limite di

Esercizio (cfr. § 2.5.3, D.M. 14.01.2008):

Combinazione caratteristica (rara):

Gk,1 + Gk,2 + Qk,1 + S(0i Qk,i )

Combinazione frequente:

Gk,1 + Gk,2 + 11 Qk,1 + S(1i Qk,i )


Pag 33

Combinazione quasi permanente:

Gk,1 + Gk,2 + 2i Qk,1 + S(2i Qk,i )

essendo:

Gk,1 il valore caratteristico dei carichi permanenti strutturali

Gk,2 il valore caratteristico dei carichi permanenti non strutturali

Qk,i il valore caratteristico dei carichi variabili

oi, 1i, 2i i coefficienti di combinazione definiti nella tabella 2.5.I del D.M.14.01.08.

Il DM 14.01.2008 al § 6.4.2.2 stabilisce che si devono calcolare i valori degli spostamenti e

delle distorsioni per verificarne la compatibilità con i requisiti prestazionali della struttura in

elevazione (§§ 2.2.2 e 2.6.2), nel rispetto della condizione:

Ed ≤ Cd

dove Ed è l’effetto delle azioni e Cd è il prescritto valore limite dell’effetto delle azioni.

Quest’ultimo deve essere stabilito in funzione del comportamento della struttura in

elevazione.

La circolare 02.02.2009 al § C6.4.2.2 definisce il cedimento differenziale, distinguendo

i cedimenti immediati da quelli differiti:

Si definisce cedimento differenziale la differenza dei cedimenti tra punti di una stessa

fondazione, di fondazioni distinte con sovrastrutture comuni e di fondazioni distinte con

sovrastrutture staticamente indipendenti.

In base alla evoluzione nel tempo si distinguono i cedimenti immediati e i cedimenti

differiti. Questi ultimi sono caratteristici dei terreni a grana fine, poco permeabili, e dei

terreni organici.

La circolare 02.02.2009 al § C6.4.2.2 non indica quali metodi analitici possono essere

utilizzati per la valutazione dei cedimenti:

I cedimenti e gli spostamenti delle fondazioni e del terreno circostante possono essere

valutati con metodi empirici o analitici.

La circolare 02.02.2009 al § C6.4.2.2 indica quali prove permettono di caratterizzare i

parametri che regolano la deformabilità del terreno di fondazione:

Nel caso di terreni a grana fine, i parametri che caratterizzano la deformabilità sono di

regola ottenuti da prove di laboratorio su campioni indisturbati. Nel caso di terreni a grana

media o grossa, i parametri anzidetti possono essere valutati sulla base dei risultati di


Pag 34

indagini geotecniche in sito. I valori delle proprietà meccaniche da adoperare nell’analisi

sono quelli caratteristici e i coefficienti parziali sulle azioni e sui parametri di resistenza

sono sempre unitari.

La circolare 02.02.2009 al § C6.4.2.2 stabilisce che la verifica dei cedimenti risulta

soddisfatta se tali cedimenti non determinano un superamento dei limiti imposti dal

progettista in funzione del comportamento statico e della funzionalità del manufatto:

Sulla base della previsione dei cedimenti deve esprimersi un giudizio sulla loro

ammissibilità con riferimento ai limiti imposti dal comportamento statico e dalla

funzionalità del manufatto. Qualora il manufatto in progetto possa influire sul

comportamento statico e sulla funzionalità di manufatti adiacenti, il giudizio di

ammissibilità deve essere esteso a questi ultimi.

7.2 Terreni a grana grossa

7.2.1 Metodo di Schmertmann

Schmertmann (1970) ha proposto un metodo di origine sperimentale, per il calcolo dei

cedimenti, basato sui risultati di prove in piccola scala su terreni incoerenti e sui risultati di

analisi ad elementi finiti con adatte leggi costitutive. In particolare Schmertmann ha

osservato che le deformazioni unitarie z aumentano con la profondità sino ad una

profondità compresa tra B/2 e B, essendo B la larghezza della fondazione. Sulla base di

queste osservazioni Schmertmann ha proposto di calcolare il cedimento secondo la seguente

formula:

,

1 2

1

nz i

i

i i

Iw C C q z

E

(7.1)

dove:

q rappresenta il carico netto applicato dalla fondazione al terreno e risulta q = p - 'v0;

Ei è il modulo di deformabilità del terreno in corrispondenza dello strato i

considerato nel calcolo;

zi rappresenta lo spessore dello strato i-esimo

C1, C2 sono due coefficienti correttivi.

p è il carico trasmesso dalla trave di fondazione al terreno e risulta p = Nsd / A;

'v0 è la pressione effettiva litostatica alla profondità del piano di posa;

'vp è la pressione effettiva litostatica alla profondità B al di sotto del piano di posa;

Nsd è il valore di calcolo del carico verticale trasmesso dalla trave di fondazione al

terreno


Pag 35

A è l'area di interfaccia tra la trave di fondazione ed il terreno sottostante

Il coefficiente Iz,i relativo allo strato i-esimo è fornito dalla seguente relazione

Iz = Iz0 + (Iz,max - Iz0) * z / zmax se 0 < z < zmax

Iz = Iz,max - Iz,max (z - zmax) / (zmin - zmax) se zmax < z < zmax

Iz = 0 se z > zmax

in cui:

z è la profondità del punto baricentrico dello strato i-esimo

Iz,max = 0.5 + 0.1 (q /'vp)0.5

Iz0 = 0.1 se L/B=1

Iz0 = (0.1 + 0.1 / 9 * (L / B - 1)) * B se 1 ≤ L/B ≤ 10

Iz0 = 0.2 se L/B ≥ 10

inoltre si ha

zmax = B/2 se L/B=1

zmax = (0.5 + 0.5 / 9 * (L / B - 1)) * B se 1 ≤ L/B ≤ 10

zmax = B se L/B ≥ 10

infine

zmin = 2B se L/B=1

zmin = (2 + 2 / 9 * (L / B - 1)) * B se 1 ≤ L/B ≤ 10

zmin = 4B se L/B ≥ 10

Il coefficiente correttivo C1 tiene conto della profondità del piano di posa e risulta:

C1 = 1- 0.5 ('v0 / q) ≥ 0.5

Il coefficiente correttivo C2 tiene conto delle deformazioni differite nel tempo per effetto

secondario e vale:

C2 = 1+ 0.2 lg ( t /0.1)

nella quale t rappresenta il tempo, espresso in anni dopo il termine della costruzione, in

corrispondenza del quale si calcola il cedimento.

Il metodo è valido per sabbie normalmente consolidate e tende ad essere alquanto

cautelativo, nel senso che in genere i cedimenti vengono sovrastimati. Schmertmann ha


Pag 36

suggerito una riduzione del 50% se si ha motivo di ritenere che i terreni siano

sovraconsolidati.

7.2.2 Metodo di Burland & Burbidge

Burland & Burbidge (1985) hanno sviluppato un metodo su base sperimentale per la

previsione dei cedimenti di strutture fondate su terreni a grana grossa. La formula proposta è

stata ottenuta dall'osservazione del cedimento di oltre 200 opere in vera grandezza (edifici,

serbatoi, rilevati), ed assume la seguente forma:

w = C1 C2 C3 [(q - 2/3 'v0) B0.7

Ic ]

con il cedimento espresso in millimetri, la larghezza della fondazione in metri ed il carico e

le tensioni in kPa. I simboli utilizzati hanno il seguente significato:

q rappresenta il carico totale (non netto) applicato alla fondazione e risulta q = p ;

p è il carico trasmesso dalla trave di fondazione al terreno;

'v0 è la pressione effettiva litostatica alla profondità del piano di posa;

B è la larghezza della fondazione;

C1 è un coefficiente correttivo che tiene conto della forma della fondazione

C2 è un coefficiente correttivo che tiene conto dello spessore dello strato

deformabile;

C3 è un coefficiente correttivo che tiene conto dell'effetto del tempo;

Ic è un indice di compressibilità.

Il metodo resta valido se risulta q > 'v0 . Il valore dell'indice di compressibilità è legato ai

risultati dello SPT dalla relazione:

Ic = 1.706 / Nav1.4

nella quale Nav è il valore medio di N nell'ambito della profondità Z di influenza della

fondazione. Tale profondità si ottiene dalla tabella 9.1 se i valori di N sono all'incirca

costanti o crescenti con la profondità; si pone invece Z = 2B se i valori di N decrescono con

la profondità.


Pag 37

Tabella 9.1 - Valori della profondità d'influenza Z della fondazione.

B (m) Z (m)

2 1.63

3 2.19

5 3.24

10 5.56

30 13.00

50 19.86

100 34.00

Per sabbie fini e/o limose al di sotto della falda si applica la correzione di Terzaghi e Peck:

N' = 15 + 0.5 ( N - 15 )

Se il terreno è costituito da ghiaia o sabbia e ghiaia al di sotto della falda i valori misurati di

N vengono incrementati del 25%

Il coefficiente correttivo C1 che tiene conto della forma della fondazione si esprime:

C1 = ( 1.25 L/B) / ( L/B + 0.25)

Il coefficiente correttivo C2 che tiene conto dello spessore H dello strato deformabile si

esprime:

C2 = H/Z ( 2 - H / Z)

e si applica solo per H < Z

C3 = 1+ R3 + Rt lg ( t / 3 )

dove:

t ≥ 3 è il tempo, espresso in anni dopo il termine della costruzione, in corrispondenza

del quale si calcola il cedimento;

R3 = 0.3 per carichi costanti nel tempo;

Rt = 0.2 per carichi costanti nel tempo.


Pag 38

7.3 Terreni a grana fine

Nei terreni a grana fine i cedimenti avvengono in parte all'atto dell'applicazione del carico

per effetto di deformazioni a volume costante (cedimento immediato o non drenato w0) ed in

parte gradualmente nel tempo, a seguito dell'espulsione di acqua e della conseguente

dissipazione delle sovrappressioni neutre (cedimento di consolidazione o volumetrico wc). Il

cedimento finale wf (o a fine consolidazione) è quello che si manifesta quando si sono

dissipate le sovrappressioni neutre:

wf = w0 + wc

7.3.1 Il metodo edometrico

Il metodo edometrico, sviluppato da Terzaghi, è uno dei primi procedimenti proposti in

letteratura per il calcolo dei cedimenti in terreni a grana fine. Il metodo si basa sulle seguenti

ipotesi semplificative, verificate con approssimazione tanto migliore quanto più è piccolo il

rapporto H/B tra lo spessore H dello strato deformabile e la larghezza della fondazione B:

le deformazioni avvengono solo in direzione verticale, senza contrazioni o espansioni

orizzontali;

la sovra pressione dei pori iniziale u è pari all’incremento di tensione verticale

totale v indotta dai carichi.

Figura 2 – Metodo edometrico


Pag 39

Il metodo permette la valutazione del cedimento finale, senza alcuna possibilità di

discernere tra cedimento immediato e cedimento di consolidazione. L'espressione per il

calcolo dei cedimenti si esprime:

0

( )

( )

H

ed

ed

zw dz

E z

(7.2)

in cui H è l’altezza dello strato di terreno deformabile. Supponendo che il terreno di

fondazione sia costituito da n strati di terreni a grana fine

1

1

( )

( )

i

i

n z

edz

i ed

zw dz

E z

(7.3)

in cui zi è la profonidità dello strato rispetto al piano di posa della fondazione:

1 2 3 10, , , ..., ,n nz z z z z H

dove edE è il modulo di elasticità edometrico e ( )z è l’incremento di tensione indotto

dall’applicazione del carico q al netto della tensione litostatica sul piano di posa 0 ( )v D

valutata alla profondità del piano di posa della fondazione. Supponendo che in ciascuno

strato si ha

, 1( )ed ed i i iE z E z z z (7.4)

gli integrali nelle (7.3) diventano

1

1 ,

( )i

i

n z

edz

i ed i

zw dz

E

(7.5)

Considerando la soluzione di Steinbrenner (1934) del problema di Boussinesq esteso ai

carichi ripartiti che fornisce l’incremento di tensione alla profondità z in corrispondenza di

uno spigolo di una fondazione rettangolare di lati B ed L

2 2

1 1( ) arctan

2

q LB LBzz

cz c m n

(7.6)

dove 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2c L B z m L z n B z

sostituendo la (7.6) nella (7.5) si ottiene

1 ,2

ni

ed

i ed i

Iqw

E

(7.7)

dove Ii è il fattore di deformazione dello strato


Pag 40

1

2 2

1 1arctan

i

i

z

iz

LB LBzI dz

cz c m n

Risolvendo si ottiene

32 2

1 11

1 32 21 1 1 1

arctan arctan ln ln2

i i ii i

i i i

i i i i i i i i i

B z c L c Lc B c BBL BL BI z z L

z c z c c B c B B z c L c L

(7.8)

Il cedimento della fondazione in corrispondenza di un vertice dell’area di carico è fornito

dalla (7.7). Sotto l’ipotesi dei piccoli spostamenti è possibile applicare il principio di

sovrapposizione degli effetti per calcolare il cedimento in un qualunque altro punto

attraverso la soluzione (7.7): l’incremento di tensione '(z) lungo una verticale qualsiasi si

ottiene scomponendo l'impronta della fondazione in quattro areole elementari. Per ciascuna

areola si valuta l'incremento delle tensioni indotte passante per il vertice M comune a tutte

le areole. Si distinguono due casi:

Caso a) il punto M è interno all'area di carico ABCD: le tensioni risultano dalla somma delle

tensioni indotte in M dalle quattro areole (1), (2), (3), (4), ciascuna con vertice M:

'zM (ABCD) = 'zM (1) +'zM (2) +'zM (3) +'zM (4)

Caso b) il punto M è esterno all'area di carico ABCD: le tensioni risultano dalla somma

algebrica delle tensioni indotte da rettangoli opportunamente scelti, sempre con vertice in

M;

'zM (ABCD) = 'zM (AB'D'M) -'zM (BB'C''M) -'zM (DC'D'M) +'zM (CC'C''M)

A B

C D

M

(1) (2)

(3) (4)

Caso a)

A B

C D

M

Caso b)

D’ C’’

C’

B’


Pag 41

Con riferimento alle combinazioni di carico non sismiche le verifiche agli stati limite di

esercizio sono eseguite in corrispondenza del punto baricentrico 0,0O e dei punti di

estremità della fondazione 0, / 2I L , 0, / 2J L . Nella seguente tabella si riportano le

dimensioni delle areole elementari in funzione dei punti di verifica indicati superiormente:

Punto di verifica xM yM L1 B1 L2 B2 L3 B3 L4 B4

0 = punto baricentrico 0 0 L/2 B/2 L/2 B/2 L/2 B/2 L/2 B/2

1 = punto di estremità I 0 -L/2 0 0 L B/2 L B/2 0 0

2 = punto di estremità J 0 L/2 L B/2 0 0 0 0 L B/2

Figura 3 – Sistema di riferimento della fondazione

Il cedimento della fondazione in corrispondenza di un qualunque punto interno all’area di

carico è fornito ancora dalla (7.7). In tal caso il fattore di deformazione dello strato Ii risulta

4

, 1

1

( , , , )i i j j j i i

j

I I L B z z

(7.9)

dove Ii,j è il fattore di deformazione dello strato relativo alla j-esima areola di carico

1

2 2

,

1 1arctan 0

0 0

i

i

z j j j j

j jz

i j

j j

L B L B zdz L B

cz c m nI

L B

(7.10)

7.3.2 Metodo di Padfield & Sharrock

Padfield & Sharrock (1983), dopo un ampio esame di tests sperimentali, suggeriscono di

valutare il cedimento immediato w0 ed il cedimento di consolidazione wc come aliquote del

cedimento edometrico wed, fornendo le seguenti indicazioni:

I J

B

L

x

y O


Pag 42

Per argille sovraconsolidate:

w0 = (0.5 ÷ 0.6) wed

wc = (0.4 ÷ 0.5) wed

wf = wed

Per argille normalmente consolidate:

w0 = 0.1 wed

wc = wed

wf = 1.1 wed

Il cedimento edometrico in corrispondenza di un punto di verifica è fornito dalla relazione

(7.7) qui riscritta nel seguente modo:

,

1 1 ,2

n ni

ed ed i

i i ed i

Iqw w

E

(7.11)

dove wed,i è il cedimento edometrico relativo allo strato i-esimo, Ii è il fattore di

deformazione dello strato calcolato utilizzando la (7.9).

Il cedimento immediato w0,i dello strato i-esimo si pone pari a:

w0,i = r0,i wed,i (7.12)

Il cedimento immediato w0 della fondazione risulta

0 0, 0, , 0, 0,

1 1 1 1, ,2 2

n n n ni i

i i ed i i i

i i i ied i ed i

I Iq qw w r w r r

E E

(7.13)

Analogamente il cedimento di consolidazione wc,i dello strato i-esimo si pone pari a:

wc,i = rc,i wed,i (7.14)

Il cedimento immediato w0 della fondazione risulta

, , , , ,

1 1 1 1, ,2 2

n n n ni i

c c i c i ed i c i c i

i i i ied i ed i

I Iq qw w r w r r

E E

(7.15)

Il cedimento finale è fornito dalla relazione

0 0, ,

1 ,2

ni

f c i c i

i ed i

Iqw w w r r

E

(7.16)

7.3.3 Metodo di Skempton e Bjerrum

Cedimento istantaneo

Skempton e Bjerrum suggeriscono di calcolare il cedimento istantaneo (o non drenato)

ricorrendo alla teoria dell’elasticità ed operando in termini di tensioni totali. Il terreno viene


Pag 43

caratterizzato da un coefficiente di Poisson νu e da uno o più valori del modulo non drenato

Eu. Con riferimento ad una fondazione di larghezza B soggetta ad un carico uniforme q su di

uno strato deformabile di spessore H, il cedimento istantaneo è fornito dalla seguente

espressione:

00 0

0.5( )H H z x y

z

u

w dz dzE

Assumendo che il modulo Eu sia costante, ed adimensionalizzando le tensioni rispetto a q e

le lunghezze rispetto a B, si ottiene:

0 w

u

qBw I

E

in cui il coefficiente di influenza Iw si definisce come:

0

0.5i

z x y

w iI dq

dove z

B e i

i

z

B

Christian e Carrier (1978), propongono di calcolare il coefficiente di influenza wI come

prodotto di due coefficienti 1 2wI I I separando così l’influenza dell’altezza dello strato

deformabile H dall’affondamento della fondazione, D.

1 2( / ) ( / )w iI I D B I H B

Figura 4 – Coefficiente di influenza I1 per il calcolo del cedimento istantaneo (Christian e Carrier, 1978)

1I

/D B


Pag 44

Figura 5 – Coefficiente di influenza I2 per il calcolo del cedimento istantaneo (Christian e Carrier, 1978)

Nel caso di terreno stratificato, con un estensione dell’ipotesi di Steinbrenner, potrà porsi:

1

0

1 ,

nw i w i

i u i

I z I zw qB

E

dove n è il numero degli strati.

Cedimento di consolidamento

Skempton e Bjerrum propongono di calcolare il cedimento di consolidazione con il metodo

edometrico, ipotizzando che il campo di deformazioni sia unidirezionale (solo deformazioni

verticali) e che la sovrappressione neutra sia valutata con l’espressione di Skempton (1954):

0 3 1 3u A

si ha allora:

3 1 30

0 0

H H

c

ed ed

Auw dz dz

E E

Da questa relazione, ipotizzando che Eed sia costante, si ottiene:

c edw w

dove edw è fornito dalla (7.2)

(1 )A A 3

0

10

H

H

dz

dz

I valori del coefficiente correttivo sono riportati nella Figura 6 seguente in funzione dei

valori del coefficiente di Skempton A, della forma e rigidezza della fondazione.

2I

/H B


Pag 45

Figura 6 – Coefficiente

Nel caso di terreno stratificato, con un estensione dell’ipotesi di Steinbrenner, potrà porsi:

inf inf sup sup

, , ,

1 1

n n

c c i i ed i i ed i

i i

w w w w

(7.17)

dove

sup inf

, ,,ed i ed iw w sono i cedimenti edometrici dello strato i-esimo valutati rispettivamente alla

profondità zi e zi+1

1sup inf

, ,0 0

, ,

( ) ( ),

i iz z

ed i ed i

ed i ed i

z zw dz w dz

E E

(7.18)

sup inf,i i sono i coefficienti correttivi di Skempton-Bjerrum relativi allo strato i-esimo

sup / , , /i i iz B A fondazionerigida deformabile

inf

1 / , , /i i iz B A fondazionerigida deformabile


Pag 46

zi è la profonidità rispetto al piano di posa della fondazione

1 2 3 10, , , ..., ,n nz z z z z H

H è lo spessore dello strato deformabile.

Considerando la soluzione di Steinbrenner (1934) del problema di Boussinesq esteso ai

carichi uniformemente ripartiti, che fornisce l’incremento di tensione alla profondità z in

corrispondenza di uno spigolo di una fondazione rettangolare di lati B ed L

2 2

1 1( ) arctan

2

q LB LBzz

cz c m n

(7.19)

dove 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2c L B z m L z n B z

Sostituendo la (7.19) nelle (7.18) si ottiene

sup infsup inf

, ,

, ,

,2 2

i ied i ed i

ed i ed i

I Iq qw w

E E (7.20)

in cui sup inf,i iI I sono i fattori di deformazione dello strato i-esimo valutati rispettivamente alla

profondità zi e zi+1 sup inf

1( ) ( )i i i iI I z I I z

e

2 20

1 1( ) arctan

iz

i

LB LBzI z dz

cz c m n

Sostituendo le espressioni (7.20) nella (7.17), il cedimento di consolidazione, valutato in

corrispondenza di uno spigolo della fondazione, risulta

inf inf sup sup

1 ,2

ni i i i

c

i ed i

I Iqw

E

(7.21)

Figura 7 – Sistema di riferimento della fondazione e punti di verifica

Volendo calcolare il cedimento in corrispondenza di un punto M interno all'area di carico, di

coordinate (xM, yM), in maniera analoga a quanto già descritto per il metodo edometrico (cfr.

§ 7.3.1), si suddivide l'area di impronta della fondazione in quattro areole rettangolari in

modo che ciascuna areola abbia un vertice coincidente con il punto M.

I J B

L

x

y O

z


Pag 47

In tal caso il fattore di deformazione dello strato risulta:

4

,

1

( ) ( , ,0, )i i j j j i

j

I z I L B z

(7.22)

dove Ii,j è il fattore di deformazione dello strato relativo alla j-esima areola di carico

2 20,

1 1arctan 0

0 0

iz j j j j

j j

i j

j j

L B L B zdz L B

cz c m nI

L B

(7.23)

L'intergale presente nelle (7.23), ammette la seguente soluzione:

2 20

32 2

00

32

0 0

1 1arctan

arctan ln ln2

iz j j j j

j i j j ij jj j ij jj j

i j

i ij j j ij j j j ij j

L B L B zdz

cz c m n

B z c L c Lc B c BL B Bz L

z c c B c B B c L c L

dove 2 2 2 2

ij j j ic L B z , 2 2 2

0 j j jc L B

Con riferimento alle combinazioni di carico non sismiche le verifiche agli stati limite di

esercizio sono eseguite in corrispondenza del punto baricentrico 0,0O e dei punti di

estremità della fondazione 0, / 2I L , 0, / 2J L (cfr. Figura 7) .

A B

C D

M

(1) (2)

(3) (4)


Pag 48

8 Simboli utilizzati

B la larghezza della fondazione;

L la lunghezza della fondazione;

N l’azione verticale sul terreno di fondazione;

LV l’azione orizzontale sul terreno agente rispetto all’asse longitudinale della fondazione;

BV l’azione orizzontale sul terreno agente rispetto all’asse trasversale della fondazione;

2 2

B LV V V l’azione orizzontale risultante sulla fondazione;

LM l’azione flessionale sul terreno agente rispetto all’asse longitudinale della fondazione;

BM l’azione flessionale sul terreno agente rispetto all’asse trasversale della fondazione;

LJ il momento di inerzia della sezione di interfaccia tra il terreno e la fondazione, valutato

rispetto all’asse longitudinale della fondazione;

BJ il momento di inerzia della sezione di interfaccia tra il terreno e la fondazione, valutato

rispetto all’asse trasversale della fondazione;

/B Le M N l’eccentricità trasversale;

/L Be M N l’eccentricità longitudinale;

' 2 BB B e la larghezza efficace della fondazione;

' 2 LL L e la lunghezza efficace della fondazione;

q il sovraccarico dovuto al terreno ai lati della fondazione;

il peso specifico del terreno;

sat w il peso specifico efficace del terreno sotto il piano di fondazione;

c la coesione in condizioni drenate del terreno sotto il piano di fondazione;

uc la coesione in condizioni non drenate del terreno sotto il piano di fondazione;

ca l’adesione del terreno sotto il piano di fondazione 'ca c ;

' l’angolo di attrito interno in condizioni drenate del terreno sotto il piano di fondazione;

arctanV

N l’angolo di inclinazione dell'azione verticale N per effetto del taglio V;

0 arctan B

L

V

V l’angolo di inclinazione del taglio rispetto all’asse della fondazione;


Pag 49

l’angolo di inclinazione del carico rispetto alla verticale;

l’angolo di inclinazione del piano di campagna;

l’angolo di attrito fra terreno e fondazione;

tanr

GI

c

l’indice di rigidezza della fondazione;

,r critI l’indice di rigidezza critico della fondazione;

Figura 8 – Schema geometrico e convenzione dei simboli

i j

VL

VB

MB

ML

B

L

x

y z


Pag 50

9 Bibliografia

[1] C. Viggiani “Fondazioni”, Hevelius, 1999

[2] R.Paolucci – A.Pecker: “Seismic bearing capacity of shallow strip foundation on dry

soil”, Soil and Foundation, Vol. 37, No.3, pp.95-105, 1997

[3] E. Cascone, G. Carfì, M. Maugeri, E. Motta, “Effetto dell’inerzia del terreno sul

fattore di capacità portante Nγ”, Incontro Annuale dei Ricercatori di Geotecnica 2004

- IARG 2004, Trento, 7-9 luglio 2004

[4] Brinch – Hansen: “A revised and extended formula for bearing capacity”. Danish

Geoth. Inst. Bull., 28, 1970.

[5] Associazione Geotecnica Italiana – Aspetti Geotecnica della Progettazione in Zona

Sismica – Linee guida; Marzo 2005

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