La casualità nello spazio o nel tempo: la distribuz ione di Poisson

� Cosa potrebbero rappresentare questi punti?

o Organismi o eventi presenti in una certa area � Per esempio, ci interessa capire come avviene un processo di colonizzazione � Per esempio, ci interessa capire se gli avvistamenti di una specie sono distribuiti

casualmente nello spazio geografico

� Potrebbero essere anche osservazioni lungo una linea, un volume, o nel tempo � Per esempio, ci interessa studiare il posizionamento di uccelli lungo il filo della luce � Per esempio, ci interessa capire se esistono disomogeneità non casuali in volumi � Per esempio, ci interessa capire come sono distribuiti nel tempo eventi di estinzione,

mutazioni, incidenti, avvistamenti, ecc.

� Ma possiamo anche pensare all’esempio visto con i nidi e gli uccellini sopravvissuti se i singoli nidi non avessero lo stesso n, ovvero lo stesso valore massimo per la variabile o Lo spazio qui è rappresentato dall’insieme di tutti i nidi

� In pratica, consideriamo per esempio una situazione nella quale l’interesse è rivolto verso la posizione di un certo numero di organismi in una certa area, e suddividiamo l’area in sotto-aree uguali

ORA:

� se la probabilità di presenza di un individuo è la stessa in ogni infinitesimo punto dello spazio, e

� se il fatto che ci sia un individuo in un infinitesimo punto dello spazio non modifica la probabilità che ce ne sia un altro nello stesso punto o nelle vicinanze

� allora la distribuzione di frequenza del numero di individui osservati in un campione di sotto-

aree uguali definite nell’area studiata tenderà alla distribuzione di Poisson

� La distribuzione di Poisson ha la seguente funzione

dove X è la variabile numero di osservazioni per sotto-area, λ è il numero medio di individui per sotto-area, ed e è la base dei logaritmi naturali. � E’ una distribuzione discreta � E’ il limite della distribuzione binomiale quando n tende ad infinito e π tende a 0

o Immaginiamo che ogni sotto-area sia composta da infinite posizioni dove si può trovare un individuo, e che in ciascuna di queste infinite posizioni ipotetiche si possa al massimo osservare un solo individuo e con probabilità bassissima.

� Varia tra 0 e infinito � E’ definita da un solo parametro, la media λ � Si può approssimare con la distribuzione gaussiana per valori di λ non troppo piccoli (>10), sempre facendo attenzione che la gaussiana è continua e Poisson è discreta

E’ fondamentale capire l’analogia delle sotto-aree con frazioni di una curva o di una retta, con porzioni di volume o con intervalli di tempo

� Più in generale, possiamo dire che la distribuzione di Poisson descrive il numero di successi in intervalli spaziali o temporali quando i successi si verificano indipendentemente l'uno dall'altro e con uguale probabilità in ogni punto dello spazio o del tempo

� il successo nell’esempio visto è la presenza di ciascun individuo per sotto-area

� gli intervalli nell’esempio di prima sono le sotto-aree

� cosa sono successi e intervalli in atre situazioni?

� Esempi di 3 diverse distribuzioni di Poisson

� La differenza tra la distribuzione di Poisson e la gaussiana con stessa media e varianza

� Altre variabili che dovrebbero seguire la distribuzione di Poisson se intervenisse solo il caso nel definire il valore che assume la variabile in diverse osservazioni

o numero di semi di una pianta infestante per unità di volume di terriccio in vendita o numero di mutazioni per intervallo di tempo o numero di casi di influenza in un paese per settimana o numero di incidenti stradali mortali al mese in una città o numero di figli per individuo o numero di pezzi difettosi al giorno, o all'ora, prodotti da una fabbrica

� Quali sarebbero in questi casi le diverse osservazioni?

o un certo numero di unità di volume di terriccio o un certo numero di intervalli di tempo o un certo numero di settimane nelle quali sono stati registrati i casi di influenza o Ecc.

Esempio numerico di goodness-of-fit dove applicare la poissoniana I dati osservati sono i seguenti:

� La variabile potrebbe essere

o pulcini sopravvissuti per nido, osservata in 20 nidi (il nido è l'unità campionaria) oppure o numero di piante per metro quadro, osservata in 20 sotto-aree di 1 m2 (la sotto-area è

l'unità campionaria)

Tabella di frequenza:

Attenzione alle numerosità attese troppo piccole!

Altro esempio di goodness-of-fit test con la poisso niana

Attenzione anche qui alle numerosità attese troppo basse quando si applica il test di χ quadrato