Elasticità e durezza

Elasticità •  L’elasticità è la caratteristica che ha un corpo di riacquistare la sua forma originaria a seguito di una deformazione temporanea. •  Ogni corpo ha una sua elasticità che si manifesta entro opportuni limiti

•  La teoria dell’elasticità è la generalizzazione di F = - k x

•  Se il tempo necessario a riacquistare la propria posizione iniziale non è immediato si parla di ritardo elastico ed il corpo non può essere considerato perfettamente elastico •  Le molle sono dispositivi che amplificano artificialmente l’elasticità propria di ogni corpo. Le molle si costruiscono con materiali già molto elastici. •  Normalmente al cessare della deformazione il corpo non ha memoria della forza a cui è stata sottoposta e riacquista la sua forma iniziale.

Vari tipi di deformazione

•  La deformazione è il cambiamento di volume o di dimensione di un solido. Tale deformazione è la conseguenza dell’applicazione di una forza esterna o di un cambiamento di temperatura. •  Nella deformazione gli atomi del reticolo si spostano dalla loro posizione di equilibrio dando origine ad una forza elastica che controbilancia le forze esterne •  Osserviamo tre tipi di deformazioni: Deformazione longitudinale, deformazione per scorrimento e deformazione volumetrica

longitudinale scorrimento Compressione uniforme

Elasticità •  La curva riportata a lato mostra

l’andamento dello sforzo, F/A (intensità della forza applicata su superficie perpendicolare), in funzione della deformazione ΔL/L (variazione relativa alla lunghezza del campione).

rottura

Deformazione (ΔL/L)

Sfor

zo (F

/A)

def. permanente

def. lineare

Si distinguono tre tipi di deformazioni.

• Nel primo tratto il corpo si deforma, ma finita la sollecitazione ritorna alla forma originaria: deformazione elastica.

• Nel secondo tratto finita la sollecitazione il corpo non assume la sua forma originaria, la deformazione è permanente (plastica)

• Infine, un’ulteriore più intensa deformazione, causa la rottura del corpo.

Forza Elastica (legge di Hooke) Nel tratto rettilineo della curva sforzo-deformazione si può scrivere una relazione nota come legge di Hooke F = ke Δl

1*10-3 2*10-3

75

100 F (N)

Δl (m)

Deformazione di un filo di acciaio: lungo 2 m e diametro 1 mm (ke = 75 N/m)

F/A è lo sforzo ed è il rapporto fra la forza applicata su una superficie perpendicolare alla direzione della forza. Allora

AlkY

llY

ll

Alk

ll

Alk

AF

eee 0

00

0

0

0 =Δ

=Δ

=Δ

=

Y = modulo di Young è una costante caratteristica del materiale e non dipende dalla forma

Elasticità e deformazione nei liquidi In realtà si distinguono solo le deformazioni cubica e di forma

Liquido Comprimibilità (20 ° e 1 atm)

Benzolo 8,9 x 10-10 m2/N

Alcool Etilico 9,0 x 10-10 m2/N

Glicerina 2,2 x 10-10 m2/N

Mercurio 0,38 x 10-10 m2/N

Acqua 5,0 x 10-10 m2/N

Acqua di mare

6,3 x 10-10 m2/N

Nel caso della deformazione cubica, si tratta di pressione idrostatica che agisce perpendicolarmente su tutta la superfice del campione, pertanto ΔP = - B ΔV/V0 dove B è una costante positiva nota come modulo di elasticità cubico. Nel caso dei liquidi la comprimibilità è molto piccola, dell’ordine dei 10-10 m2/N (vedi tabella)

Elasticità di forma •  Se la sollecitazione è di taglio il corpo cambia la forma senza cambiare il suo volume. •  Supponiamo di avere un parallelepipedo con la base fissa mentre una forza F// agisce sulla faccia opposta (vedi figura a lato). •  La misura della deformazione è il rapporto dd’/da = tg φ o semplicemente φ se l’angolo è piccolo. • La legge di Hooke sarà espressa da

φSAF

=//

•  Si parla di scorrimento plastico, se un corpo cede alle sollecitazioni di taglio in tempi lunghi: vetro, pece, cera .etc.

La torsione

Supponiamo di avere un tubo sottile, fisso ad una estremità e con l’altra sottoposta ad una coppia τ = RF. Dividendo il tubo in anelli sottili di spessore ΔR e larghezza Δx, tracciando una serie di piani passanti per x potremo costruire una serie di parallelepipedi su cui è applicato uno sforzo di taglio simile alla deformazione appena descritta e quindi avremo che il modulo elastico tangenziale è:

θπτ

θπ

θπ

φ

RRl

RR

RRFlS

lRS

RRFS

AF

Δ=

Δ=

=Δ

=

32 2

2

2

Bilancia  di  torsione  

Questo calcolo permette di trovare la coppia necessaria a far ruotare un cilindro pieno di modulo elastico tangenziale S

drrl

Sd 3 2 θπτ =

Integriamo tutti i cilindretti di spessore infinitesimo fra 0 < r < R ed avremo la coppia necessaria a torcere di un angolo φ il cilindro

xkFlSR

lSRd

mΔ−===

==∫

a simile 2

torsionedi costante la è che a aleproporsion è coppia la

4

2

0

4

0

0

0

4

θττπ

τ

ττ

θτθπ

τ

Deformazione longitudinale Le deformazioni elastiche indipendenti sono solo due la dilatazione cubica e la deformazione di taglio. Nel caso di una sbarra isotropa sottoposta a trazione o a compressione avremo la deformazione longitudinale che è la contemporanea variazione della forma e del volume. Il coefficiente di proporzionalità σ è il rapporto di Poisson ed compreso fra 0,25 e 0,45

trazione

compressione

00 ll

dd Δ

−=Δ

σ

l0

l+ Δl0

d0

d+ Δd0

Caso di una variazione di volume

( )( )( )1

000

000

0

−Δ+Δ+Δ+

=Δ

hdlhhddll

VV

Nel caso di una sbarra soggetta a sforzo longitudinale avremo che il volume varierà secondo la relazione:

e sapendo che la forma varia secondo

( )

AF

YVV

llY

AF

ll

ll

ll

VV

ll

hh

dd

σ

σσ

σ

21

avremo che ricordando e

21111

0

0

0

2

000

000

−=

Δ

Δ=

Δ−≅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ+=

Δ

Δ−=

Δ=

Δ

Nel caso di pressione idrostatica P

( )σ

σ

213 quindi e

213

0

0

−=

Δ−=Δ

Δ−

−=Δ

YBVVBP

PYV

V

Modello  atomico  molecolare

I solidi si dividono in solidi cristallini e solidi amorfi. Nel caso di un solido cristallino gli atomi oscillano intorno a ben definite posizioni. Nel caso di figura si tratta di una struttura cubica a facce centrate. E questo ci permette di costruire semplici modelli che possono essere interpretati utilizzando la legge di Hooke. Cerchiamo un modo per mettere in relazione il Modulo di Young con la struttura atomica. Immaginiamo ora che il solido abbia una superficie A e sia lungo l0 .

Modulo  di  Young  e  stru4ura  atomica Se i di versi atomi sono posti a distanza x0 allora il numero di atomi nel solido sono n = 1/x0

3 e il numero di atomi di una catena sono nl = l0/x0 e il numero di catene sono nc= A/x0

2. La forza media sarà f = F/nc = kx e la variazione di lunghezza è

00

00

0

0 ll

xk

AF

kxl

AF

kf

xlxnl l

Δ====Δ

Da cui possiamo ricavare il modulo di Young per il cristallo modellizzato

knn

xlkA

kAlk

xk

Yl

cc

c

!!"

#$$%

&====

00

0

0

Notare che conoscendo la densità del materiale e la massa degli atomi si può calcolare la distanza iniziale di separazione fra gli atomi e quindi k

Definizione dei vari sforzi

• Nel  caso  della  Trazione  (o  compressione)  lo  sforzo  F/A.  F/A  =  E  (ΔL/L).  Dove  E  è  il  modulo  di  Young  [M-­‐1KS-­‐2].    

 • Nel  caso  del  Taglio  lo  sforzo  e  la  deformazione  sono  legate  come  F/A  =  G(Δx/L).  G  è  il  modulo  di  taglio  ed  ha  le  stesse  dimensioni  dello  sforzo.  

 • Nella  Compressione  Uniforme  lo  sforzo  è  la  pressione  uniforme  p.  La  deformazione  è  la  variazione  di  volume  percentuale  p  =  B  (ΔV/V).  B  è  il  modulo  di  comprimibilità  ed  ha  le  dimensioni  della  pressione  

Deformazione e modulo di Young •  Lo stress σ è una quantità fisica definita da σ = dFel/dS è può essere normale o tangenziale dando origine alla compressione o al taglio •  la misura della deformazione è Δx/x chiamata anche unità di stress. •  La legge di Hook dice che lo stress σ in una deformazione elastica è proporzionale all’unità di stress. Ovvero σ = K Δx/x dove K è l’inverso della deformabilità. •  Quando K = E si chiama modulo di Young

SEFll

KSF

ll

ll

xx

K=Δ→=

Δ→

Δ=

Δ=

1σ

•      Il  modulo  di  Young  è  uguale  allo  stress  quando  la  lunghezza  si  raddoppia  Δl  =  l•  Il  modulo  di  Young  è  pari  allo  stress  cioè    E  =  F/S  =  σ .  

Come  avviene  la  dilatazione  termica  

r

V (r) Il potenziale che tiene insieme gli atomi in un solido ha la forma riportata in figura. Per basse temperature gli atomi vibrano in modo armonico attorno ad r0 e la distanza media fra gli atomi e’ ancora r0. A temperature piu’ alte le oscillazioni sono anarmoniche e la distanza media degli atomi aumenta: r0’ = r0 + dr

r0

Potenziale di Lennard – Jones V(r) = 4ε[(a/r)12 – (b/r)6]

Dilatazione termica •  Il riscaldamento di un corpo determina un aumento dell’energia

vibrazionale delle molecole da cui consegue un aumento del volume. •  L’aumento nelle tre dimensioni è direttamente proporzionale alle

lunghezze di ciascuna dimensione: così che ΔV/V = β ΔT ΔL/L = α ΔT

• Dove β ed α sono i coefficienti di dilatazione volumica e lineare