Dalla Geometria alle Dalla Geometria alle GeometrieGeometrie

Brunetto Piochi (Università di Firenze)Brunetto Piochi (Università di Firenze)

Da Euclide (300 a.C.) Da Euclide (300 a.C.)

a Bolyai-Lobacevskij (XIX secolo)a Bolyai-Lobacevskij (XIX secolo)

a Hilbert (XX secolo)a Hilbert (XX secolo)

Incontrando Aristotele, Dante, Kant,…Incontrando Aristotele, Dante, Kant,…

ARISTOTELE (384-322 a.C.)ARISTOTELE (384-322 a.C.)e la SCIENZAe la SCIENZA

ARISTOTELE :ARISTOTELE :la SCIENZA e la la SCIENZA e la DimostrazioneDimostrazione

* Nozioni Comuni* Nozioni Comuni

* Regole generali di Dimostrazione * Regole generali di Dimostrazione

* Termini primitivi Definizioni* Termini primitivi Definizioni

* Assiomi / Postulati Proposizioni* Assiomi / Postulati Proposizioni

“ “EVIDENTI” EVIDENTI” (Teoremi) (Teoremi)

EUCLIDE (circa 300 a.C.)EUCLIDE (circa 300 a.C.)

Euclide nel dipinto di Raffaello "La scuola di Atene", 1509

EUCLIDE (circa 300 a.C.)EUCLIDE (circa 300 a.C.)

Nozioni comuniNozioni comuni I. Cose uguali a una medesima cosa I. Cose uguali a una medesima cosa sono uguali anche tra di loro.sono uguali anche tra di loro.II. Se cose uguali vengono aggiunte a II. Se cose uguali vengono aggiunte a cose uguali, gli interi sono uguali.cose uguali, gli interi sono uguali.III. Se cose uguali vengono sottratte III. Se cose uguali vengono sottratte da cose uguali, i resti sono uguali.da cose uguali, i resti sono uguali.IV. Cose che coincidono l’una con IV. Cose che coincidono l’una con l’altra sono uguali l’una con l’altra.l’altra sono uguali l’una con l’altra.V. L’intero è maggiore della parte.V. L’intero è maggiore della parte.

EUCLIDE (circa 300 a.C.)EUCLIDE (circa 300 a.C.)

Alcuni TerminiAlcuni Termini Primitivi Primitivi I. Punto è ciò che non ha parti.I. Punto è ciò che non ha parti.

II. Linea è lunghezza senza larghezza.II. Linea è lunghezza senza larghezza.IV. Retta è la linea che giace IV. Retta è la linea che giace ugualmente rispetto ai suoi punti.ugualmente rispetto ai suoi punti.XXIII. Rette parallele sono quelle che, XXIII. Rette parallele sono quelle che, essendo nello stesso piano e venendo essendo nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dall’una e prolungate illimitatamente dall’una e dall’altra parte, non si incontrano tra dall’altra parte, non si incontrano tra loro da nessuna delle due parti. loro da nessuna delle due parti.

EUCLIDE (circa 300 a.C.)EUCLIDE (circa 300 a.C.)

I PostulatiI Postulati

I. Si può tracciare una retta da un punto I. Si può tracciare una retta da un punto qualsiasi a un punto qualsiasi.qualsiasi a un punto qualsiasi.II. Si può prolungare indefinitamente II. Si può prolungare indefinitamente una retta finita.una retta finita.III. Si può descrivere un cerchio con un III. Si può descrivere un cerchio con un centro qualsiasi e un raggio qualsiasi.centro qualsiasi e un raggio qualsiasi.IV. Tutti gli angoli retti sono uguali.IV. Tutti gli angoli retti sono uguali.

EUCLIDE (circa 300 a.C.)EUCLIDE (circa 300 a.C.)Il V PostulatoIl V Postulato

V. Se una retta che interseca due altre V. Se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli rette forma dalla stessa parte angoli interni inferiori a due angoli retti, le due interni inferiori a due angoli retti, le due rette, se prolungate indefinitamente, si rette, se prolungate indefinitamente, si incontrano da quella parte dove gli incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due angoli retti.angoli sono inferiori a due angoli retti.

La Prima ProposizioneLa Prima ProposizioneEsiste un Triangolo EquilateroEsiste un Triangolo Equilatero

Tracciato un segmento AB, si traccia la Tracciato un segmento AB, si traccia la circonferenza di centro A e raggio AB e la circonferenza di centro A e raggio AB e la circonferenza di centro B e raggio AB; sia C circonferenza di centro B e raggio AB; sia C uno dei due punti in cui le due circonferenze si uno dei due punti in cui le due circonferenze si intersecano. Risulta che il triangolo ABC è intersecano. Risulta che il triangolo ABC è equilatero dal momento che i tre lati sono equilatero dal momento che i tre lati sono raggi di una delle due circonferenze che hanno raggi di una delle due circonferenze che hanno raggi uguali per costruzione. raggi uguali per costruzione.

DANTE e la DANTE e la MatematicaMatematica

LOGICALOGICA

Francesco venne poi, com' io fu' morto,Francesco venne poi, com' io fu' morto,per me; ma un d'i neri cherubiniper me; ma un d'i neri cherubinili disse: "Non portar: non mi far torto.li disse: "Non portar: non mi far torto.

Venir se ne dee giù tra ' miei meschiniVenir se ne dee giù tra ' miei meschiniperché diede 'l consiglio frodolente,perché diede 'l consiglio frodolente,dal quale in qua stato li sono a' crini;dal quale in qua stato li sono a' crini;

ch'assolver non si può chi non si pente,ch'assolver non si può chi non si pente,né pentere e volere insieme puossiné pentere e volere insieme puossiper la contradizion che nol consente"per la contradizion che nol consente"

(INFERNO 27: Guido da Montefeltro)(INFERNO 27: Guido da Montefeltro)

LOGICA e GRANDI LOGICA e GRANDI NUMERINUMERI

Io li credetti; e ciò che 'n sua fede era,Io li credetti; e ciò che 'n sua fede era,vegg' io or chiaro sì, come tu vedivegg' io or chiaro sì, come tu vediogni contradizione e falsa e vera.ogni contradizione e falsa e vera.

(PARADISO 6 : i dogmi di fede)(PARADISO 6 : i dogmi di fede)

L'incendio suo seguiva ogne scintilla;L'incendio suo seguiva ogne scintilla;ed eran tante, che 'l numero loroed eran tante, che 'l numero loropiù che 'l doppiar de li scacchi s'inmilla.più che 'l doppiar de li scacchi s'inmilla.

(PARADISO 28: il numero degli Angeli)(PARADISO 28: il numero degli Angeli)

OTTICA GEOMETRICAOTTICA GEOMETRICA

Come quando da l'acqua o da lo Come quando da l'acqua o da lo specchiospecchiosalta lo raggio a l'opposita parte,salta lo raggio a l'opposita parte,salendo su per lo modo parecchiosalendo su per lo modo parecchio

a quel che scende, e tanto si dipartea quel che scende, e tanto si dipartedal cader de la pietra in igual tratta,dal cader de la pietra in igual tratta,sì come mostra esperïenza e arte;sì come mostra esperïenza e arte;

così mi parve da luce rifrattacosì mi parve da luce rifratta

(PURGATORIO 15)(PURGATORIO 15)

FILOSOFIA, LOGICA, FILOSOFIA, LOGICA, GEOMETRIAGEOMETRIA

Non ho parlato sì, che tu non posseNon ho parlato sì, che tu non posseben veder ch'el fu re, che chiese sennoben veder ch'el fu re, che chiese sennoacciò che re sufficïente fosse;acciò che re sufficïente fosse;

non per sapere il numero in che ennonon per sapere il numero in che ennoli motor di qua sù, o se li motor di qua sù, o se necessenecessecon contingente mai con contingente mai necessenecesse fenno; fenno;

non non si est dare primum motum essesi est dare primum motum esse,,o se del mezzo cerchio far si puoteo se del mezzo cerchio far si puotetrïangol sì ch'un retto non avesse.trïangol sì ch'un retto non avesse.

(PARADISO XIII : Salomone)(PARADISO XIII : Salomone)

GEOMETRIA: MODELLO di GEOMETRIA: MODELLO di SAPERESAPERE

O cara piota mia che sì t'insusi,O cara piota mia che sì t'insusi,che, come veggion le terrene mentiche, come veggion le terrene mentinon capere in trïangol due ottusi,non capere in trïangol due ottusi,

così vedi le cose contingenticosì vedi le cose contingentianzi che sieno in séanzi che sieno in sé

(PARADISO 17 : Cacciaguida)(PARADISO 17 : Cacciaguida)

Qual è 'l geomètra che tutto s'affigeQual è 'l geomètra che tutto s'affigeper misurar lo cerchio, e non ritrova,per misurar lo cerchio, e non ritrova,pensando, quel principio ond' elli indige,pensando, quel principio ond' elli indige,

tal era io a quella vista novatal era io a quella vista nova(PARADISO 33: La Trinità)(PARADISO 33: La Trinità)

EUCLIDE (circa 300 a.C.)EUCLIDE (circa 300 a.C.)

I PostulatiI Postulati

I. Si può tracciare una retta da un punto I. Si può tracciare una retta da un punto qualsiasi a un punto qualsiasi.qualsiasi a un punto qualsiasi.II. Si può prolungare indefinitamente II. Si può prolungare indefinitamente una retta finita.una retta finita.III. Si può descrivere un cerchio con un III. Si può descrivere un cerchio con un centro qualsiasi e un raggio qualsiasi.centro qualsiasi e un raggio qualsiasi.IV. Tutti gli angoli retti sono uguali.IV. Tutti gli angoli retti sono uguali.

EUCLIDE (circa 300 a.C.)EUCLIDE (circa 300 a.C.)Il V PostulatoIl V Postulato

V. Se una retta che interseca due altre V. Se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli rette forma dalla stessa parte angoli interni inferiori a due angoli retti, le due interni inferiori a due angoli retti, le due rette, se prolungate indefinitamente, si rette, se prolungate indefinitamente, si incontrano da quella parte dove gli incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due angoli retti.angoli sono inferiori a due angoli retti.

Proposizioni Equivalenti al Proposizioni Equivalenti al V Postulato V Postulato

Gli angoli interni, da una stessa parte, formati da Gli angoli interni, da una stessa parte, formati da due rette parallele con una trasversale sono due rette parallele con una trasversale sono supplementari (supplementari (TolomeoTolomeo II secolo d.C.) II secolo d.C.)

Se una retta incontra una di due rette parallele, Se una retta incontra una di due rette parallele, incontra anche l'altra (Proclo 412-485)incontra anche l'altra (Proclo 412-485)

Due rette parallele ad una terza sono parallele tra Due rette parallele ad una terza sono parallele tra di loro (Proclo, 412-485 d.C.)di loro (Proclo, 412-485 d.C.)

Dato un triangolo qualsiasi, si può sempre Dato un triangolo qualsiasi, si può sempre costruirne un altro simile (cioè con gli stessi costruirne un altro simile (cioè con gli stessi angoli) ad esso, di grandezza arbitraria (angoli) ad esso, di grandezza arbitraria (WallisWallis 16161616--17031703).).

La somma degli angoli di un triangolo è uguale a La somma degli angoli di un triangolo è uguale a due angoli retti (Saccheri 1667-1733).due angoli retti (Saccheri 1667-1733).

Proposizioni Equivalenti al Proposizioni Equivalenti al V Postulato V Postulato

Esiste un rettangolo (Saccheri 1667-1733)Esiste un rettangolo (Saccheri 1667-1733)Data una retta ed un punto non appartenente ad Data una retta ed un punto non appartenente ad

essa, esiste ed è unica una retta passante per essa, esiste ed è unica una retta passante per il punto e parallela alla retta data (Playfair, il punto e parallela alla retta data (Playfair, 1748-1819)1748-1819)

Per un punto interno ad un triangolo passa Per un punto interno ad un triangolo passa sempre una retta secante ambo i lati sempre una retta secante ambo i lati dell'angolo (dell'angolo (LegendreLegendre 17521752--18331833))

Per tre punti non allineati passa sempre una ed Per tre punti non allineati passa sempre una ed una sola circonferenza (una sola circonferenza (BolyaiBolyai 17751775--18561856))

Si può costruire un triangolo di area maggiore di Si può costruire un triangolo di area maggiore di qualunque numero assegnato (Gauss 1777-qualunque numero assegnato (Gauss 1777-1855)1855)

Negare il V Postulato Negare il V Postulato Postulato 5 (Playfair)Postulato 5 (Playfair)  Data una retta ed un punto non Data una retta ed un punto non

appartenente ad essa, esiste ed è unica appartenente ad essa, esiste ed è unica una retta passante per il punto e parallela una retta passante per il punto e parallela alla retta dataalla retta data

N1.  N1.  Data una retta ed un punto non Data una retta ed un punto non appartenente ad essa, esistono almeno 2 appartenente ad essa, esistono almeno 2 (infinite) rette passanti per il punto e (infinite) rette passanti per il punto e parallele alla retta data.parallele alla retta data.

N2.  N2.  Data una retta ed un punto non Data una retta ed un punto non appartenente ad essa, non esiste alcuna appartenente ad essa, non esiste alcuna retta passante per il punto e parallela alla retta passante per il punto e parallela alla retta data.retta data.

Negare il V Postulato Negare il V Postulato

Sostituendo il  quinto postulato con una Sostituendo il  quinto postulato con una delle proposizioni equivalenti: delle proposizioni equivalenti:

In un triangolo la somma degli angoli In un triangolo la somma degli angoli interni è di 180°interni è di 180°

si ha che le negazioni N1 e N2 diventano: si ha che le negazioni N1 e N2 diventano:    

N1.N1.  In un triangolo la somma degli   In un triangolo la somma degli angoli interni è minore di 180°angoli interni è minore di 180°

N2.  N2.  In un triangolo la somma degli In un triangolo la somma degli angoli interni è maggiore di 180°angoli interni è maggiore di 180°

Negare il V Postulato Negare il V Postulato

KANT: “Critica della KANT: “Critica della ragion pura” (1781)ragion pura” (1781)

I I giudizi giudizi a prioria priori sono indipendenti dall'esperienza sono indipendenti dall'esperienza e derivano dal pensiero in se stesso, si e derivano dal pensiero in se stesso, si distinguono per la loro necessità e universalità.distinguono per la loro necessità e universalità.

I I giudizi empiricigiudizi empirici o o a posterioria posteriori derivano derivano dall'esperienza, pertanto non sono universali ma dall'esperienza, pertanto non sono universali ma contingenti, particolari, dipendono da fatti contingenti, particolari, dipendono da fatti specifici.specifici.

I I giudizi analiticigiudizi analitici sono quelli contenuti sono quelli contenuti implicitamente nel soggetto di cui si parla, implicitamente nel soggetto di cui si parla, pertanto non ampliano la nostra conoscenza.pertanto non ampliano la nostra conoscenza.

I I giudizi sinteticigiudizi sintetici sono quelli che aggiungono al sono quelli che aggiungono al soggetto di cui si parla qualcosa che non era già soggetto di cui si parla qualcosa che non era già pensato in esso, pertanto ampliano pensato in esso, pertanto ampliano effettivamente la nostra conoscenza.effettivamente la nostra conoscenza.

GIUDIZIGIUDIZI A prioriA priori empiriciempirici

analiticianalitici Analitici a prioriAnalitici a priori

Nessun celibe è Nessun celibe è sposatosposato

Non esistonoNon esistono

sinteticisintetici Sintetici a prioriSintetici a priori

La GEOMETRIA La GEOMETRIA EUCLIDEAEUCLIDEA

Sintetici Sintetici empiriciempirici

Tutti voi siete Tutti voi siete nati dopo il nati dopo il 19901990

KANT afferma che :KANT afferma che :

Per mezzo di giudizi analitici la nostra Per mezzo di giudizi analitici la nostra conoscenza non può estendersi punto, ma conoscenza non può estendersi punto, ma può invece essermi reso esplicito e può invece essermi reso esplicito e intelligibile il concetto che già posseggo; intelligibile il concetto che già posseggo;

Nei giudizi sintetici io ho bisogno, oltre che del Nei giudizi sintetici io ho bisogno, oltre che del concetto del soggetto, di qualcos'altro concetto del soggetto, di qualcos'altro ancora (X), su cui si appoggi l'intelletto per ancora (X), su cui si appoggi l'intelletto per riconoscere che gli appartiene un predicato riconoscere che gli appartiene un predicato non compreso nel concetto.non compreso nel concetto.

Le vere e proprie proposizioni matematiche Le vere e proprie proposizioni matematiche sono sempre giudizi a priori e non empirici, sono sempre giudizi a priori e non empirici, poiché portano con sé una necessità che poiché portano con sé una necessità che non può essere presa dall'esperienza: non può essere presa dall'esperienza: es. es. Postulato IV di EuclidePostulato IV di Euclide

Geometrie Non Geometrie Non euclidee e Modellieuclidee e Modelli

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Ma allora… quale è Ma allora… quale è VERA?VERA?

““Che cosa penso della domanda: la Che cosa penso della domanda: la geometria euclidea è vera? Essa non ha geometria euclidea è vera? Essa non ha significato. È come chiedersi … se la significato. È come chiedersi … se la geometria delle coordinate cartesiane è geometria delle coordinate cartesiane è vera e quella delle coordinate polari è vera e quella delle coordinate polari è falsa. falsa. Una geometria non può essere più vera Una geometria non può essere più vera di un’altra; essa può essere solo più di un’altra; essa può essere solo più conveniente.”conveniente.”

H. Poincaré, La scienza e l’ipotesi, la H. Poincaré, La scienza e l’ipotesi, la Nuova Italia, FirenzeNuova Italia, Firenze

Nella Matematica attuale…Nella Matematica attuale…

Gli Assiomi non sono “proprietà” degli Gli Assiomi non sono “proprietà” degli oggetti (che non si conoscono !) ma oggetti (che non si conoscono !) ma “definiscono” le relazioni a cui essi devono “definiscono” le relazioni a cui essi devono soddisfare.soddisfare.

Dunque non si richiede più l’Dunque non si richiede più l’evidenzaevidenza (Aristotele) ma la (Aristotele) ma la non-contraddittorietànon-contraddittorietà (Hilbert).(Hilbert).

I modelli servono a garantire la non-I modelli servono a garantire la non-contraddittorietà (relativa) ma: contraddittorietà (relativa) ma:

NON ESISTE UNA NON-CONTRADDITTORIETA’ NON ESISTE UNA NON-CONTRADDITTORIETA’ ASSOLUTA (Godel 1931)ASSOLUTA (Godel 1931)