CRESCITA DI POPOLAZIONI BATTERICHE

I batteri (dal greco bacterion, piccolo oggetto) si riproducono per duplicazione. Ogni batterio produce una copia di sé stesso. Assumiamo che tutte le duplicazioni di batteri avvengano nello stesso istante (duplicazione sincrona). Indichiamo con Nk la numerosità alla k-sima generazione di batteri (dopo k eventi di duplicazione), si ha Nk = 2 Nk-1 Supponiamo che N0 =1, vale a dire che nella generazione iniziale ci sia un solo batterio, troviamo facilmente che Nk = 2k è una legge esponenziale

CRESCITA DI POPOLAZIONI BATTERICHE

Supponiamo ora che la duplicazione batterica non sia sincrona, vale a dire alcune cellule si duplicheranno prima ed altre dopo. Fissiamo un’opportuna unità di tempo, ad esempio un’ora, e sia N(t) il numero di batteri al tempo t N(t) = N(t-1) + qN(t-1)dove 0<q<1 è una costante, il termine qN(t-1) esprime la percentuale dei batteri che si sono riprodotti al passare del tempo da t-1 a t. N(t) = (1+q)N(t-1), se indichiamo con N(0)=N0

otteniamo N(t) = (1+q)t N0

….ancora una legge esponenziale (quella dell’interesse composto!)

DECADIMENTO RADIOATTIVO

Consideriamo al tempo t una massa M(t) di un isotopo radioattivo. Al tempo t+1 la massa sarà diminuita, perché parte degli atomi dell’isotopo si saranno trasformati in atomi di un altro elemento, questa diminuzione è proporzionale alla massa presente M(t+1) = M(t) - qM(t) = (1-q)M(t) , dove 0<q<1quindi 0<1-q<1ovviamente M(t+1)<M(t) M(t) = (1-q)t M0

dove M0 è la massa iniziale

FUNZIONI ESPONENZIALI

Diremo funzione esponenziale una funzione f:RR della forma f(x)=abx dove b>0 è una opportuna costante e a≠0. b è detta base della funzione esponenziale. Dalle proprietà delle potenzeab-x = a(1/b)x

abcx = a(bc)x

Si deduce che qualsiasi f(x)= abcx può essere considerata come una funzione esponenziale, a patto di scegliere una base opportuna

FUNZIONI ESPONENZIALI

La funzione esponenziale preferita dai matematici è

f(x) = ex = exp(x)

dove e=2.7182818284….. è un numero irrazionale noto come costante di Nepero (John Napier matematico scozzese 1550-1617)

e = limt+∞ (1+1/t)t = limx0+ (1+x)1/x

In generale si ha ek = limt+∞ (1+k/t)t = limx0+ (1+kx)1/x

FUNZIONI ESPONENZIALI

La successione (funzione che ha per dominio l’insieme dei numeri naturali) f(n)= (1+k/n)n , per k>0, è un esempio di funzione crescente, ma limitata, infatti si può dimostrare che

1+k<(1+k/2)2<(1+k/3)3<...<(1+k/n)n<(1+k/(n+1))n+1<...< < ek

Vedremo che ogni funzione esponenziale può essere scritta nella forma f(x)=a·exp(cx) = aecx

FUNZIONI ESPONENZIALI

Consideriamo una generica funzione esponenziale f(x)=abx di base b (b>0), poiché essa dipende da due parametri basterà conoscere due punti del suo grafico per individuare le costanti a e b, infatti assegnati (x0 ,y0), (x1,y1), dove y0 =f(x0 ), ed y1 =f(x1 ), si ha b=(y1/ y0 )

1/(x1 - x0 ) a= y0 /bx0

Osserviamo, inoltre che per ogni base b, f(0)=a

Se a>0, f(x)>0 per ogni x reale, f(x) non si annulla mai

Se a<0, f(x) <0 per ogni x reale, f(x) non si annulla mai

FUNZIONI ESPONENZIALI

Se b>1 , x0 < x1 implica bx0 < bx1 dunque se a>0, f(x)= abx risulta strettamente crescente, se a<0 risulta strettamente decrescente

Se 0<b<1, x0 < x1 implica bx0 > bx1 dunque se a>0, f(x)= abx risulta strettamente decrescente, se a<0 risulta strettamente crescente

FUNZIONI ESPONENZIALI: LIMITI

Abbiamo detto che la successione (1+k/n)n , quando k>0, tende crescendo a ek ; in particolare risulta ek > 1+kQuindi per k+∞ , 1+k tende a +∞ e quindi anche ek essendo più grande non può che tendere a +∞Avremo quindi: limx+∞ ex = +∞

limx-∞ ex = limy+∞ e-y = limy+∞ 1/ey = 0

FUNZIONI ESPONENZIALI

TEOREMA DEL CONFRONTO

In particolare il Teorema del confronto (noto come teorema dei due carabinieri) dice che se, per ogni x vicino a x0 , si ha

g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)

limxx0 g(x)=limxx0 h(x)=L allora anche limxx0 f(x)=L

FUNZIONI ESPONENZIALI: LIMITI

Poiché si è detto che ogni funzione esponenziale può essere scritta nella forma f(x)=a·exp(cx) = aecx, corrisponde a c>0 una base b>1, mentre a c<0 una base 0<b<1Avremo i seguenti limiti: Per b>1 limx+∞ abx = +∞ se a>0, limx+∞ abx = ∞ se a<0limx-∞ abx = 0 sia per a>0 che per a<0

Per 0<b<1limx+∞ abx = 0 sia per a>0 che per a<0limx-∞ abx = +∞ se a>0, limx-∞ abx = ∞ se a<0

FUNZIONI ESPONENZIALI: base >1

FUNZIONI ESPONENZIALI: base <1

FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENI DI SATURAZIONE

Le funzioni della forma

f(x) = a(1- exp(-k(x-x0)) + b

sono utili ogni volta che si voglia rappresentare una

quantità che -assume un valore specificato b in un punto specificato

x0

-inizia a crescere in maniera quasi lineare per x>x0

- al crescere di x, tende ad appiattirsi verso il valore

limite a+b

FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENI DI SATURAZIONE

Le funzioni della forma

f(x) = a/(1+ exp(-k(x-x0)) + b

sono utili ogni volta che si voglia rappresentare una

quantità che non ha un punto di partenza preciso, ma per

la quale sappiamo che può variare da un valore limite

minimo ad un valore limite massimo, vale a dire che si

vuol esprimere un fenomeno di saturazione sia per x

tendente a +∞ , che per x che tende a -∞

FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENI DI SATURAZIONE

f(x) = a/(1+ exp(-k(x-x0)) + b

Avremo:

limx+∞ f(x)=a+b

limx-∞ f(x)=b

f(x0)= b + a/2

Questo tipo di funzioni sono chiamate logistiche, sono tipiche anche nell’ambito di dinamica di popolazioni, ad esempio una curva di tipo logistico approssima molto bene la crescita del numero di Drosophila allevate in laboratorio.

FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENI DI SATURAZIONE

Le funzioni logistiche hanno un andamento quasi lineare

vicino al punto x0 . Avremo modo di mostrare, in

seguito, che nell’intervallo [ x1 , x2] , dove x1 , x2 sono

gli unici punti in cui la funzione logistica assume i

valori

b + a/2 ± a/4, la funzione logistica differisce da una

funzione lineare per meno di un decimo della variazione

totale a

FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENI DI SATURAZIONE

Esercizio: la quantità di semi, calcolata in percentuale, che germinano entro una settimana dalla semina G dipende dalla temperatura T del terreno supponiamo che G(T) sia del tipo : G(T) = a/(1+ exp(-k(T-T0)) + b In questo caso il limite inferiore deve essere necessariamente 0, quindi b=0; il limite superiore deve essere 100, quindi a+b=100 e dunque a=100.Come scegliere T0?

FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENI DI SATURAZIONE

T0 deve essere tale che G(T0 ) = b +a/2 = 50Supponiamo di avere i dati sperimentali G(21)=36 e G(26) =71Poiché a/2 -a/4 =25 e a/2 + a/4 = 75, essendo i valori 36 e 71 compresi tra 25 e 75, l’intervallo [21, 26] è contenuto nell’intervallo dove la funzione logistica è quasi lineare; quindi possiamo stimare T0 dalla relazione lineare G(T)= 7T - 111, imponendo 7T0 -111= =50, da cui T0 = 23.Rimane da determinare k o, equivalentemente e-k

FUNZIONI ESPONENZIALI E FENOMENI DI SATURAZIONE

Poniamo e-k = q, abbiamo G(T) = 100/ (1+ qT-23 ).Poiché si ha G(21) =36, possiamo porre 36 = 100/(1+q-2) da cui ricaviamo q=3/4