Costruzioni marittime

Costruzioni Marittime

Luigino Zovatto1

8 luglio 2001

1Author’s address: Department of Civil Engineering, University of Trieste, PiazzaleEuropa 1, 34127 Trieste, Italia. e-mail:[email protected]

Indice

0.1 Programma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170.1.1 Generalita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170.1.2 Moto ondoso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170.1.3 Sollecitazioni su opere marittime . . . . . . . . . . . . . . . . 190.1.4 Strutture di difesa delle sponde e contenimento delle terre . . 200.1.5 Dinamica dei litorali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200.1.6 Modelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210.1.7 Valutazione del rischio da intrusione marina . . . . . . . . . . 210.1.8 Cenni di lesgilazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

0.2 Lezione 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220.2.1 Proprieta fondamentali dell’acqua di mare . . . . . . . . . . . 220.2.2 Comportamento di alcuni materiali nei confronti dell’acqua di

mare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230.3 Lezione 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

0.3.1 Movimenti del mare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250.3.2 Onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

0.4 Lezione 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290.4.1 Maree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290.4.2 Alcune osservazioni preliminari. . . . . . . . . . . . . . . . . . 290.4.3 Teoria statica di Darwin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300.4.4 Superficie di equilibrio delle maree . . . . . . . . . . . . . . . 340.4.5 Teoria Armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

0.5 Nomenclature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370.5.1 Sesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380.5.2 Modi di oscillazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390.5.3 Moti transitori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400.5.4 Moti di trasporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

0.6 Lezione 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420.6.1 Ipotesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420.6.2 Strumenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420.6.3 Onde progressive

Teoria onde di piccola ampiezza . . . . . . . . . . . . . . . . . 420.7 Lezione 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3

4 INDICE

0.8 Lezione 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

0.8.1 Campi di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

0.8.2 Pressioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

0.9 Lezione 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

0.9.1 Campi di moto (Riepilogo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

0.9.2 Condizione di acque profonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

0.9.3 Sovrapposizione e linearita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

0.9.4 RIFLESSIONE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

0.10 Lezione 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

0.10.1 Energia di un’onda periodica progressiva non stazionaria . . . 65

0.10.2 Forme d’onda complesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

0.11 lezione 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

0.11.1 ESERCIZIO 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

0.11.2 ESERCIZIO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

0.11.3 ESERCIZIO 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

0.11.4 ESERCIZIO 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

0.12 lezione 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

0.12.1 Onde d’ampiezza non piccola.Teoria dell’onda trocoidale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

0.12.2 Alcuni cenni sul metodo perturbativoEsempio: moto vario in una tubazione. . . . . . . . . . . . . . 76

0.12.3 LA SOLUZIONE PERTURBATIVA. . . . . . . . . . . . . . . 78

0.12.4 Teorie di ordine superiore:Teoria di Stookes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

0.13 Lezione 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

0.13.1 ONDA SOLITARIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

0.14 Lezione 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

0.14.1 Trasformazione delle onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

0.14.2 RIFRAZIONE DELLE ONDE . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

0.14.3 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

0.15 Lezione 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

0.15.1 Rifrazione su coste di forma compositaProcedimento grafico, noto come metodo delle ortogonali. . . 94

0.15.2 Rifrazione su coste di forma compositaMetodo R/J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

0.16 DIFFRAZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

0.17 lezione 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

0.17.1 Metodi approssimati per il calcolo dell’onda diffratta. . . . . . 100

0.17.2 RIFLESSIONENell’ipotesi di dissipazione nulla. . . . . . . . . . . . . . . . . 105

0.18 lezione 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

INDICE 5

0.18.1 RIFLESSIONENel’ipotesi di dissipazione non nulla . . . . . . . . . . . . . . . 108

0.18.2 FRANGIMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1090.18.3 Previsione delle onde di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . 111

0.19 lezione 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1140.19.1 GENESI E DECADIMENTO DI UN CAMPO D’ONDE . . . 1140.19.2 Meccanismo di genesi delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . 1150.19.3 Onde capillari (increspature) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1170.19.4 Approccio probabilistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

0.20 lezione 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210.20.1 Onde caratteristiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210.20.2 Inferenza sulle caratteristiche d’onda . . . . . . . . . . . . . . 1210.20.3 Caratteristiche del vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1230.20.4 Scale dei venti e dei mari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

0.21 Lezione 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1250.21.1 Determinazione delle caratteristiche del vento e delle onde . . 1250.21.2 Il metodo SMB.

Mari profondi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1290.21.3 Il metodo SMB.

Mari poco profondi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1300.22 Lezione 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

0.22.1 Previsione delle caratteristiche dell’onda per fetch corti e ventiforti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

0.22.2 ESERCIZIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1310.23 Lezione 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

0.23.1 Osservazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1340.23.2 FRANGIMENTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

0.24 lezione 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1360.24.1 Posizionamento della struttura nei confronti dell’onda. . . . . 1360.24.2 RUNUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1360.24.3 Fattore K per gli effetti di scala . . . . . . . . . . . . . . . . . 1370.24.4 OVERTOPPING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1380.24.5 Trasmissione del moto ondoso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

0.25 Lezione 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1420.25.1 ESERCIZIO 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1420.25.2 ESERCIZIO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1440.25.3 ESERCIZIO 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

0.26 lezione 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1480.26.1 SFORZI SUI PALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1480.26.2 Gruppi di pali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510.26.3 Pali inclinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1520.26.4 Onde frangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6 INDICE

0.26.5 sollecitazioni laterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1530.27 lezione 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

0.27.1 SPINTE SU PARETI VERTICALI . . . . . . . . . . . . . . . 1540.27.2 Onde non frangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1540.27.3 Il metodo approssimato di Sainflou . . . . . . . . . . . . . . . 1550.27.4 Onde frangenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1580.27.5 Onde fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

0.28 lezione 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1610.28.1 Ricapitolando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

0.29 Secondo ordine da fare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1630.29.1 ESERCIZIO 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

0.30 lezione 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1670.30.1 ESERCIZIO 2 Spinta dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1670.30.2 ESERCIZIO 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

0.31 lezione 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1720.31.1 DIFESE IN MATERIALI GRANULARI SCIOLTI

Scogliere artificiali di massi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1730.31.2 Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1750.31.3 Tipi di sezioni trasversali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1750.31.4 Sezione a tre strati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

0.32 Lezione 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1790.32.1 BERME DI FONDAZIONE

Scogliere di protezione al piede . . . . . . . . . . . . . . . . . 1790.32.2 Presenza alla asportazione per correnti

Correnti di marea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1800.32.3 Possibilita di danneggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1810.32.4 Cedimenti tipici di un’opera a gettata. . . . . . . . . . . . . . 1820.32.5 STRUTTURE DI DIFESA SPONDALE E CONTENIMENTO

DELLE TERRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1830.33 lezione 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

0.33.1 Velocita di accosto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1860.34 I PORTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

0.34.1 ubicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1880.34.2 Tipologia/utilizzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1880.34.3 Classificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1880.34.4 Disposizione delle opere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1890.34.5 Sistema portuale di accesso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

0.35 LEZIONE 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1900.35.1 Muro di sponda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1900.35.2 Muro di sponda a cassoni autoaffondanti . . . . . . . . . . . . 1900.35.3 Muro di sponda a palancole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1910.35.4 Banchina su pali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

INDICE 7

0.35.5 arredo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1920.36 lezione 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

0.36.1 Bacini di carenaggio e conche per la navigazione fluviale . . . 1930.37 lezione 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

0.37.1 DINAMICA DEI LITORALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1990.37.2 Correnti litoranee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

0.38 lezione 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2030.38.1 Tensioni radianti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2030.38.2 La velocita di long-shore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

0.39 lezione 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2080.40 Lezione 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

0.40.1 Protezione del litorale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2150.41 Lezione 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

0.41.1 Metodo di Galvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2210.41.2 Bilancio dei sedimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

0.42 Lezione 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2240.42.1 Interventi di stabilizzazione delle coste . . . . . . . . . . . . . 225

0.43 Lezione 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2290.43.1 PENNELLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

0.44 π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2320.44.1 Similitudine; condizione di esistenza . . . . . . . . . . . . . . . 2370.44.2 Similitudine dei fluidi perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2390.44.3 Similitudine dei fluidi reali non soggetti alla gravita . . . . . . 2400.44.4 Similitudine dei fluidi comprimibili . . . . . . . . . . . . . . . 2410.44.5 Similitudine dei fenomeni di colpo d’ariete . . . . . . . . . . . 2420.44.6 Similitudine nei fenomeni a pelo libero . . . . . . . . . . . . . 2430.44.7 Similitudine nei moti di filtrazione . . . . . . . . . . . . . . . . 244

0.45 Lezione 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2460.45.1 MODELLI FISICI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2460.45.2 SCALA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2470.45.3 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

0.46 Lezione 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2520.46.1 Valutazione del rischio da intrusione marina. . . . . . . . . . 252

8 INDICE

Elenco delle tabelle

1 Periodo a seconda del tipo di onde; se T > 30′′ abbiamo onde lunghe se

T ≤ 30′′ abbiamo onde corte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Principali componenti armoniche della marea astronomica. . . . . . . . . 363 Coefficienti per la clasificazione della marea . . . . . . . . . . . . . . . . 374 configurazione astrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 nomenclatura maree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 Esempi di ampiezza massima in metri di marea. . . . . . . . . . . . . . . 387 campi di moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 Celerita di gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 Esempio di determinazione dei valori

ci+1

ci. . . . . . . . . . . . . . . . . 94

10 Scala del vento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12411 Scala dello stato del mare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12412 Termini per la correzione della velocita del vento. . . . . . . . . . . . . . 12513 Termini per la correzione della velocita del vento in funzione della temperatura12714 Calcolo del Fecth paraggio: Punta Sabba . . . . . . . . . . . . . . . . . 13215 Relazione tra tipologia dell’opera ed stato dell’onda. . . . . . . . . . . . . 13316 Valore di r al variare delle caratteristiche delle opere. (Natura delle superfici)13817 Caratteristiche dell’onda es. 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14418 Verifica della posizione della struttura rispetto al frangimento . . . . . . . 14519 Determinazione del run-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14620 Run-up di secondo tentativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14721 Run-up di terzo tentativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14722 campi di validita delle varie teorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15123 Coefficiente di drag ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15124 Coefficiente di massa CM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15225 Valori esericio n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16426 dida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16727 dida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16828 dida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16929 Costipazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17330 Tipologie materiali naturali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17331 Tipologie materiali artificiali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17332 Valori indicativi di KD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9

10 ELENCO DELLE TABELLE

33 Materiale e campo di variazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17734 Materiale e campo di variazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17835 coefficienti di dimensionamento in funzione del rischio . . . . . . . . . . 18236 Performances dei vari approcci per la determinazione del trasporto solido. 21737 Legame direzione-mareggiata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22038 Variazioni di Fo = Fo(H). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22239 Variazioni di pendenza della spiaggia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22240 Legame Pendenza litorali-Diametro granuli. . . . . . . . . . . . . . . . . 22441 Gruppi adimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24842 Esempi effetti scala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24843 Relazioni Scala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Elenco delle figure

1 Termini caratteristici di un’onda sinusoidale . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Schema interazione Terra-Astro. Si puo facilmente intuire che nell’arco di

una giornata si generano due alte maree e due basse maree. . . . . . . . . 303 Equilibrio del sistema Terra-Luna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 Forze agenti su un volume elementare d’acqua. . . . . . . . . . . . . . . 335 Ortogonalita tra la superficie idrica e la risultante delle forze agenti. . . . 356 schema di bacino a) chiuso b) aperto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 Schema di correnti indotte per convezione. . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 Schema di corrente indotta in una baia. La corrente litoranea induce una

corrente circolare nella baia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 Schema di corrente indotta per variazione brusca della batimetria. . . . . 4210 Volume di controllo, con evidenziate le grandezze in direzione x. . . . . . 4311 Forze di pressione sulla superficie di separazione. . . . . . . . . . . . . . 4712 Le velocita delle molecole d’acqua appartenenti alla superficie di seprazione

non possono avere compomenti normali alla stessa. . . . . . . . . . . . . 4713 medesimo treno d’onda in due diverse sezioni. . . . . . . . . . . . . . . . 5314 Traiettorie al variare della profondita e della tipologia del fondale. . . . . 5615 Andamento qualitativo, per acque basse, della pressione. . . . . . . . . . 5616 sovrapposizione di due onde con periodo diverso. (Onda Composita) . . . 6017 Modulazione primaria di periodo T. La linea trattegiata ne rappresenta

l’inviluppo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6118 Schema riflessione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6219 Rilessione perfetta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6320 Treno d’onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6521 Volume di controllo per la valutazione dell’energia. . . . . . . . . . . . . 6622 Limiti di applicabilita delle varie teorie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7323 confronto tra i profili di un un’onda sinusoidale (linea tratteggiata) e un’onda

di profilo non sinuisoidale (line continua) . . . . . . . . . . . . . . . . . 7424 confronto dei profili di medesima ampiezza con un’onda sinuisoidale e con

un’onda di tipo trocoidale (linea grossa). Il valore zf rappresenta il nuovo

“livello medio”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7525 limite di frangimento per l’onda trocoidale → cicloide. . . . . . . . . . . 7626 traiettoria di una particella secondo la teoria di Stookes. . . . . . . . . . 83

11

12 ELENCO DELLE FIGURE

27 Onda solitaria, si osservino le traiettorie delle particelle al passaggio dell’onda. 8428 Schema di onda cnoidale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8629 Variazione del fondale, l’onda varia le sue caratteristiche (celerita, lunghezza). 8830 Fenomeno di rifrazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

31 Rifrazione: andamento delle linee di flusso . . . . . . . . . . . . . . . . . 8932 Determinazione delle linee di flusso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9133 Schema di calcolo semplificato per la valutazione della diffrazione, quando

le isobate sono parallele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9234 Individuazione dell’isobata media e del punto O, polo di rotazione del regolo

stesso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9535 Individuazione della direzione mediante rotazione del regolo, finche l’inter-

sezione tra la tangente e l’asse del regolo individuano il valoreci

ci+1. . . . . 95

36 Individuazione del punto B affinche AP1 = P1B. . . . . . . . . . . . . . . 9637 Metodo R/J. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9638 Esempio di diffrazione con ostacoli di dimensioni finite. . . . . . . . . . . 9739 Coordinate angolari rispetto lo spigolo dell’ostacolo. . . . . . . . . . . . . 98

40 Diffrazione generata da una barriera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9941 Schema di riferimento per applicare l’equazione 283. . . . . . . . . . . . . 10042 Schema per la determinazione della diffrazione secondo Larras. . . . . . . 10143 Andamento di h in funzione di r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10144 Schema diffrazione bocca portuale. Per Stevenson abbiamo creste circolari. 102

45 Schema diffrazione bocca portuale. Per Chapon abbiamo creste che tendono

alla forma elittica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

46 Schema per l’utilizzo della formulazione secondo Lacombe. . . . . . . . . 10347 Spirali di Cornu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10448 Utilizzo dei normogrammi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10449 Schema di diga foranea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10550 Comportamento dei nodi e degli antinodi in un fenomeno di riflessione. . . 106

51 Bacino chiuso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10752 Bacino aperto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

53 Andamento di

[Ho

Lo

]

maxin funzione di β; va notato che per 0 < β < 10

ho il massimo incremento di

[Ho

Lo

]

max. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

54 Fasi del frangimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

55 Campi diagonali creati dal vento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11556 Schema secondo il modello Helmotz-Klein. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11557 Flussi di energia a cui e soggetta la superficie dell’onda. . . . . . . . . . . 11758 Funzione densita di probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

59 Probabilita di non superamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11960 Schema di carta sinottica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12661 Direzione dei venti in presenza di area anticiclonica A e area ciclonica B. . 127

ELENCO DELLE FIGURE 13

62 Interazione vento oragrafia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

63 Inversione termica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

64 Determinazione del fecth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

65 Individuazione delle zone di frangimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

66 Schema di riferimento per la determinazione del Runup. . . . . . . . . . . 136

67 Runup ed Overttoping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

68 Schema di struttura emersa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

69 Schema di struttura immersa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

70 Esempio spiaggia es. 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

71 Schema spiaggia-struttura es. 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

72 Esempio di sponda composita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

73 Schema secondo Saville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

74 Profilo assegnato es.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

75 Schema di calcolo per la vcalutazuione della spinta su palo. . . . . . . . . 148

76 Gruppi di pali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

77 Pali inclinati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

78 Schema di parete verticale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

79 Andamento delle pressioni secondo Sainflou. . . . . . . . . . . . . . . . . 155

80 Schema di parete verticale (cresta). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

81 Schema di parete verticale (cavo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

82 Schema di calcolo delle sollecitazioni per onda con altezza maggiore della

struttura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

83 Schema di calcolo delle sollecitazioni per struttura appoggiata su berma di

fondazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

84 Schema proposto da Minikin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

85 Diagrammi di spinta effettivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

86 Schema di calcolo delle sollecitazioni per piede della struttura sommerso. . 160

87 Schema di calcolo delle sollecitazioni per piede della struttura emerso. . . 161

88 Schema esercizio 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

89 Andamento delle pressioni esercizio 1 caso A. . . . . . . . . . . . . . . . 165

90 Andamento delle pressioni esercizio 1 caso B. . . . . . . . . . . . . . . . 166

91 Distibuzione delle pressioni esercizio 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168



94 Spinta delle terre sulle opere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

95 Struttura di riparo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

96 Stacco dei blocchi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

97 schema di equilibrio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

98 Materiali utilizzati per le diverse sezioni trasversali. . . . . . . . . . . . . 176

99 Sezione a tre strati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

100 Tipologie di opere di coronamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179


101 Tipologie di Berme di fondazione. Nel primo caso il terreno di fondazione

none ottimale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180102 Andamento della tensione critica in funzione di Reynolds. . . . . . . . . . 181103 tipologie di cedimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183104 Schema spinta delle terre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183105 Ormeggio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184106 Schema di rotazione del natante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187107 Paraborodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188108 Muro di sponda costituito da massi ciclopici. . . . . . . . . . . . . . . . 190109 Tipologie di casssone autoaffondante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191110 Banchina su pali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191111 Tipologie di scale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192112 Anello di ancoraggio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192113 Esempio di bacino di carenaggio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193114 Esempi di conca i navigazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194115 Schema idraulico di una conca di navigazione. . . . . . . . . . . . . . . . 196116 Bacino di carenaggio mobile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198117 Schema per detreminazione del trasporto di massa. . . . . . . . . . . . . 199118 Schema tensioni radianti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203119 Traiettoria. La particella segue una traiettoria rettilinea piu una di deriva

costante nell’altro verso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207120 Sollecitazioni sul volume di fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208121 pendenza della spiaggia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209122 Diagramma delle velocita long shore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210123 Andamento della funzione η. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213124 Formazione di ”barra costiera”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214125 Schema di ripascimento e trasporto solido al largo. . . . . . . . . . . . . 215126 Formazione delle ripples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216127 CD = CD(Re) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221128 bilancio sedimenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222129 Bilanci di sedimento lungo la costa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224130 palizzata alta 30 50 cm. Al crescere della duna la palizzata dovra essere

innalzata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226131 Schema di pennello. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226132 Schema di molo aggettante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227133 Schema di diga frangi flutti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227134 Possibili metodi di dragaggio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228135 Dimensioni del pennello. Andamento del ripascimento. . . . . . . . . . . 229136 Pennello in palancole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230137 Tipologia di palancole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230138 Pennello stagionale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230139 Scogliera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

ELENCO DELLE FIGURE 15

140 Stramazzo in parete larga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247141 Scabrezza di forma per una duna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250142 Per prevenire si puo ricorrere ad arginature. . . . . . . . . . . . . . . . . 252143 Andamento dei valori estremi secondo Gumbel. . . . . . . . . . . . . . . 253


“Avviso per i naviganti”. Va sottolineato il fatto che questa la bozzadi appunti nasce utilizzando il “lavoro didattico” svolto dal docente chemi ha preceduto (Prof. Caroni) a cui vanno i miei ringraziamenti. Infattisfruttando gli appunti dei corsi precedenti sto meditando di dare al corsodi Costruzioni-Idraulica-Marrittime una veste tipografica che nel tempospero possa maturare e modificarsi in maniera efficace per gli utenti . Rin-grazio l’Ing. Castellarin che mi ha messo a disposizione i suoi appunti el’Ing. Andreella per avermi dato una prima mano nella redazioni di questenote.Quindi mi scuso per l’inesattezze e gli strafalcioni di italiano chein questa seconda versione abbonderrano1.Inoltre debbo ricordare che la parte lesgilativa e stata redatta dalla Dott.Anna Carnielli a cui vanno i miei migliori auguri per un’attivita Forensedi successo.

.

1 Spero inferiori rispetto alla prima versione

0.1. PROGRAMMA 17

0.1 Programma

0.1.1 Generalita

• Caratteristiche acqua di mare

– temperatura

– densita

– salinita

– comportamento del cemento,ferro e legno in acqua di mare.

• Movimenti del mare:

– periodici (onde, marea, sesse)

∗ Onde: progressive, stazionarie, classificazione

∗ Maree: teoria statica di Newton/Darwin, contraddizioni;

∗ Sesse: cause, modi di oscillazione

– transitori (tsumani)

∗ Tsumani: caratteristiche

• Trasporto: correnti (di convenzione, di compensazione, di deriva)

– Convenzione: es. di flusso interno per diverse salinita;

– Deriva: caratteristiche (Coriolis);

– Compensazione: caratteristiche

0.1.2 Moto ondoso

• Onde periodiche: teoria delle onde di piccola ampiezza:

– Equazione della conservazione della massa;

– Equazione della continuita per fluido incomprimibile;

– Teorema della quantita di moto ed equazioni di Eulero;

– Potenziale di velocita (moto irrotazionale);

• Trattazione bidimensionale:

– Equazione di Laplace;

– Trattazione sull’equazione di Eulero lungo x e lungo y per giungere all’e-quazione del moto:

– Definizione di potenziale φ


– Integrazione dell’equazione di Laplace con le condizioni al contorno;

– Espressione di φ ed η

– Relazioni c2 = T/kTh(kd) e L = gT 2/(2π)Th(kd). L’onda tende a man-tenere il periodo.

– Gruppo d’onde (T = costante), superficie libera, traiettoria, ellisse;

• Campi di moto

– andamento in acque basse, di transizione e profonde

– pressioni sotto un’onda di piccola ampiezza; condizioni di acque profonde;

– Sovrapposizioni di onde;

– Riflessione;

– Celerita di gruppo;

– Energia di un’onda periodica progressiva;

– Forme d’onda complessiva;

• Onda d’ampiezza non piccola

– Trocoide, condizione di frangimento, cicloide,;

– Teorie di ordine superiore (metodi perturbativi)

– Onda solitaria;

– Teoria onde assoidali (equazione di Kelengan-Patterson)

– Campi di validita delle diverse teorie

• Rifrazione delle onde

– Ipotesi, coefficiente di approdo o di , coefficiente , legge di Snell

– Procedimento grafico (metodo delle ortogonali);

– Metodo R/J

• Diffrazione delle onde

– Ipotesi, soluzione, sovrapposizione rifrazione diffrazione

– Metodi di approssimazione per il calcolo dell’onda diffratta

• Riflessione delle onde

– Coefficiente di riflessione, coefficiente di trasmissione, esempio diga fora-nea, modi

– antinodi, periodo di risonanza (bacini aperti e chiusi)

0.1. PROGRAMMA 19

– Riflessione da spiagge

• Frangimenti:

– Limite di frangimento, abachi per determinare Profondita,ALtezza di Fran-gimento

– Strumenti di misura.

• Meccanismo di genesi delle onde

– Modello di instabilita, eta dell’onda

– Onde capillari;

– Metodo energetico di S-M;

– Altezza d’onda significativa secondo M;

– Distribuzione di Rayleigh

• Caratteristiche del vento

– Misure dirette;

– Carte sinottiche;

– Fetch;

– Metodo SMB (per mari profondi);

– Metodo (fetch corti e venti forti) (SMB semplificato)

– Metodo B semplificato

• Effetti di marea

– due maree di progetto (alta e bassa)

– Frangimenti;

– Run up;

– Overtopping;

– Trasmissione del moto ondoso.

0.1.3 Sollecitazioni su opere marittime

• Sforzi sui pali

– Onde non frangenti

– Onde frangenti

– Gruppi di pali


• Spinte su pareti verticali

– Onde non frangenti

– Frangimento: metodo di

– Onde infrante.

• Scogliere artificiali di massi

– Dimensionamento

– Tipi di sezioni trasversali

• Berme (Scanno o Imbasamento) di fondazione:

– Dimensionamento

• Resistenza all’esposizione di correnti (di marea)

– Possibilita di danneggiamento;

– Danno percentuale per un evento critico

0.1.4 Strutture di difesa delle sponde e contenimento delle

terre

• Porti;

• Porti di interesse turistico;

• Bacini di carenaggio;

• Conche di navigazione (navigazione interna).

0.1.5 Dinamica dei litorali

• Correnti litoranee (long-shore)

• Tipi di coste ed effetti di instabilita

• Protezione del litorale

• Trasporto solido litoraneo

• Tendenza dei litorali

– A) Metodo dello sforzo radiante

– B) Metodo di Galvin

• Bilancio dei sedimenti

• Interventi di stabilizzazione delle coste

0.1. PROGRAMMA 21

0.1.6 Modelli

• Modelli fisici;

• Modelli numerici;

0.1.7 Valutazione del rischio da intrusione marina

• Probabilita di superamento dell’altezza di marea.

0.1.8 Cenni di lesgilazione


0.2 Lezione 1

0.2.1 Proprieta fondamentali dell’acqua di mare

Caratteristiche acqua di mare.E aggressiva nei confronti delle costruzioni.In presenza di una superficie idrica senza moto avremo solamente problemi statici, maessendoci variazioni d livello e necessario tenerne conto per il calcolo delle struttureanche gli effetti dinamici.La temperatura: bisogna tener conto dell’alto calore specifico dell’acqua. Le acquedegli oceani sono un fattore climatico notevolissimo. La temperatura dell’acqua dimare in superficie subisce una ”variazione diurna” di un grado centigrado e circa dicinque gradi centigradi verso le coste poco profonde perche influenzata dalla terra.Inoltre esiste un ”effetto stagionale” che e debole ai poli ed alle fasce equatoriali paria circa due gradi centigradi, mentre e di 5/10 gradi centigradi per le alte latitudini edi 15/20 gradi centigradi per i mari interni.La densita e variabile con la temperatura in generale. La densita massima si ha allatemperatura di circa quattro gradi centigradi. La massima variazione di temperatura,sia nell’escursione diurna che stagionale e di questo tipo2:

∆T = H(z + 300) ∗ (z + 300) ∗ α (1)

Salinita quantita in peso di sali contenuta in un volume unitario di acqua di mare. Ilvalore medio e di 0.13÷0.46 %o. La densita dell’acqua degli oceani e stimata attornoai 1010 kg/m3 e costituisce il 98 % dell’acqua sulla terra. Nei mari chiusi si hanno forticoncentrazioni di sali (vedi Mar Morto ). La presenza dei sali produce una densita cherispetto alla densita dell’acqua distillata e maggiore. Esistono formule semiempiricheper passare dalla densita (densita differenziale σ) alla salinita (S) concentrazione diCloro (Cl). Se si definisce un termine del tipo:

S = 0.03 + 1.805Cl (2)

σ = (ρmare − ρacqua) ∗ 1000 (3)

σ = 0.069 + 1.407 ∗ Cl − 0.0157 ∗ Cl2 + 3.98 ∗ 10−5Cl3 (4)

Questa differenza di densita e fondamentale nel determinare la spinta sui natanti,cioe si puo avere una diversa linea di galleggiamento. Il sale preponderante nell’acquadi mare e il cloruro di sodio (80%), e il cloruro di magnesio (11%), solfato di calcio(gesso), carbonato di calcio, eccetera. Questo fa sı che si abbia una certa aggressivitadell’acqua di mare nei confronti delle costruzioni. Si hanno anche fenomeni di tipoelettrochimico e fenomeni di aggressione meccanica tipo moto ondoso.

2 H(x) e la step function vale 1 se x > 0 0 se x < 0 quindi H(z + 300) = 0 se z < −300

0.2. LEZIONE 1 23

0.2.2 Comportamento di alcuni materiali nei confronti del-l’acqua di mare

Leganti idraulici: Il cemento e attaccato dall’acqua di mare da un punto di vistachimico. Si hanno diverse fasi dell’aggressione

• Prima fase: (fenomeno legato alla combinazione solfato di magnesio con la calceidrata nel cemento).

• Seconda fase: maggiore infiltrazione dell’acqua marina che provoca la idrata-zione della calce libera, cioe acquista molecole d’acqua producendo un rigonfia-mento con conseguente maggior intrusione di acqua marina.

• Terza fase: formazione di un sale costituito da3:

1Allulmina + 3Calce + 3Gesso + 30Acqua (5)

Risultato: saltano i copriferri!

Di conseguenza l’acciaio viene a contatto con l’acqua di mare e il cloro puo tran-quillamente manifestare tutta la sua aggressivita. Siccome il fenomeno e evidenziatodalla presenza calce libera e di alluminia, si deve cercare di limitarli ricorrendo adadditivi.Un tempo si usava la pozzolana che proviene dalla disgregazione delle rocce. E’ moltoimportante per una costruzione marittima il modo in cui vengono effettuati i getti!La pozzolana e stata usata anche per i porti romani come Civitavecchia che tuttoravengono utilizzati. Pero per velocizzare i lavori si ricorre ad additivi chimici. Si usanocementi Portland o d’alto forno che contengono delle ceneri che abbattono la calcelibera. Grande attenzione va posta nel rimescolamento e nella posa in opera.

Ferro: Viene colpito principalmente per via elettrolitica. Le strutture fuoridall’acqua sono le piu aggredite perche la presenza simultanea di sali ed ossigenoinnesca tale fenomeno. Importante e la pittura che fa da protezione. Ci sono materialiche ossidandosi si proteggono con il proprio ossido.

• Tipico e lo zinco, solitamente si fanno le cosiddette zincature. Un altro siste-ma per proteggere la struttura metallica e ricoprirla con camicie di un altromateriale (i copriferri nelle costruzioni marittime arrivano fino a 5 cm).

• Superfici bituminose sono buoni sistemi protettivi tipicamente per i tubi. Sieffettuano poi le protezioni catodiche sia imponendo un certo potenziale proprio,sia disponendo dei pozzi a perdere collegati galvanicamente alle tubazioni o allestrutture in acciaio.

3L’allumina e un minerale che in laboratorio si ottiene per calcificazione dell’idrossido di alluminioche e una componente fondamentale della bauxite.


• Una novita e l’introduzione di resine di tipo plastico: Pero non si ha ancora unasufficiente esperienza nel tempo tale da essere sicuri del loro effetto. Devonoessere protetti anche dall’azione dei raggi solari.

Legno: Impiegato nelle costruzioni medio piccole. Resiste molto bene all’azionedell’acqua marina se e completamente immerso. Nella zona di escursione delle ondesoffre di aggressione di tipo ”biologico”. Infatti si formano dei micro organismi edei fanghi che si nutrono del legno (vivono lı perche c’e alternanza di ossigeno, sale,acqua). L’immersione dei pali in acqua salmastra consente di ridurre l’attacco di talibatteri. Si puo anche eseguire delle iniezioni di agenti chimici in pressione e ad altatemperatura che impregnano il legno e lo difendono.

0.3. LEZIONE 2 25

0.3 Lezione 2

0.3.1 Movimenti del mare

ClassificazioneSuperficie: (cioe alterazione dei livelli)Moti periodici: onde (periodo di circa dieci secondi), maree (12 ore), sesse (periodipiu lunghi)

Sesse: moti oscillatori in bacini chiusi che si producono al cessare di unacausa forzante. Nel mare Adriatico la differenza di pressione atmosferica ela causa forzante. Quando non c’e piu tale differenza di pressione si generala sessa. Esse possono essere provocate anche dai venti. La variazione dipressione e un fatto occasionale cioe e un transitorio.

Moti transitori: Tsunami(innalzamento del livello del medio mare)

Tsunami: moti ondosi caratterizzati da onde solitarie provocate da feno-meni tellurici Quindi sono occasionali e percio transitori. Sono onde bassema viaggiano a notevole velocita ed in prossimita della costa assumonodimensioni rilevanti.

Trasporto: (di masse d’acqua) Correnti moti di tipo semipermanente dovuti a:

• moti di convezionedovuti a differenza di temperatura o a differenze di pressione

• moti di derivalegati alla nascita di accelerazioni di tipo di Coriolis

• moti di compensazionegradienti di livello che distribuiscono l’acqua nei vari livelli (vedi foce dei fiumi)

0.3.2 Onde

Il moto ondoso in ”mare aperto” rappresenta un sistema confuso come sovrapposizionedi onde di diversa lunghezza d’onda, diversa frequenza, diversa direzione; quindihanno diverse celerita. E necessario sottolineare che i movimenti di superficie sono ditipo ondulatorio e quindi non danno luogo a trasporto di massa. Si hanno molti vorticiche portano alla formazione di areosol e schiuma. In ”mari chiusi”, con presenza diventi si possono individuare treni d’onda ben definiti. La distanza tra le diverseonde e circa costante e i fenomeni di accavallamento sono meno rilevanti. Per le ondeperiodiche (treni d’onda) la forzante dominante e ”l’azione del vento”. Le dissipazioni


avvengono sia all’interno per attrito viscoso (turbolenza, vortici) ma molto di piu alcontorno (nei frangimenti dell’onda) ed al fondo se le velocita sono sufficienti peravere dissipazione per attrito (tipicamente nei fondali poco profondi, mentre in quellipelagici non si hanno).

CLASSIFICAZIONE

Onde progressive Mantengono la stessa forma e si spostano con celerita data dal

rapporto∆x

∆t. In prima approssimazione le molecole d’acqua oscillano attorno al

punto di equilibrio e si ha spostamento della forma ma non della massa4.Onde stazionarie Mantengono la posizione, cioe la forma non progredisce. Una

caratteristica importante e data dal periodo di oscillazione: tempo intercorrente affin-che in un fissato punto del campo di moto si manifestino due configurazioni successiveaventi medesime proprieta geometriche/fisiche (se ci sono piu intervalli si prende inconsiderazione il piu piccolo). Possiamo classificare l’onda valutando lo ”spettro ener-getico complessivo” per i diversi tipi di oscillazione che si manifestano negli oceani“graficando” in funzione della frequenza l’energia totale, le onde si marea hanno inpratica due picchi !

Figura 1: Termini caratteristici di un’onda sinusoidale

• Cresta: punto piu alto dell’onda.

• Cavo: punto piu basso dell’onda.

• Altezza d’onda [a]: distanza verticale dal cavo alla cresta.

• Ampiezza d’onda [H]: meta della distanza verticale dal cavo alla cresta.

4 Leonardo ...sfrutta l’analogia di un campo di grano le cui spighe sono mosse dalle folate delvento, quindi le molecole si muovono rispetto una posizione media

0.3. LEZIONE 2 27

• Lunghezza d’onda [L]: distanza orrizontale tra due creste consecutive

• Periodo [T]: intervallo temporale fra due creste successive

• Celerita5 [c]: rapporto fra lunghezza d’onda e periodo d’onda

• Escursione [η]: sopraelevazione rispetto al livello d’acqua calma

Di solito si preferisce classificare le diverse onde in funzione del periodo.

Tabella 1: Periodo a seconda del tipo di onde; se T > 30′′ abbiamo ondelunghe se T ≤ 30′′ abbiamo onde corte.

riferimento tipologia periodo

a) intramaree > 24hb) lungo periodo [5′, 24h]

c) subgravitazionali [30′′, 5′]d) gravitazionali [30′′, 1′′]e) ultragravitazionali [1′′, 0, 1′′]f) capillarita [0.1′′, 0.000′′]

Il fattore generante e rappresentato da:

• attrazione siderale

• da fronti meteorici

• da movimenti tellurici (si generano onde a bassissima frequenza quindi a lungoperiodo e sono molto lunghe)

• dal ventosviluppo delle onde

– superficie liscia senza increspature

– da increspature a maretta a onde vive

– cavalloni “pienamente sviluppati”

– trasformazione in onda lunga

Per quanto riguarda i fattori smorzanti essi sono:

• Gli attriti viscosi all’interno della massa d’acqua ed al contorno (si pensi allecoste).

5 e detta anche velocita di fase


• La forza che produce “il richiamo ” (in analogia con la molla). Per le onde ditipo a,b il fattore di richiamo e l’accelerazione di Coriolis.

• La dissipazione in superficie data dal frangimento.

• Dalla gravita per le onde c,d,e,f cioe quelle provocate dal vento (generalmenteonde corte).

Altri fenomeni da considerare sono:

• la rifrazione;

• la riflessione;

• la diffrazione.

Le onde gravitazionali sono quelle che piu ci interessano per il progetto di una costru-zione marittima.

0.4. LEZIONE 3 29

0.4 Lezione 3

0.4.1 Maree

I movimenti delle grandi masse d’acqua contenute negli oceani sono dovuti principal-mente alla forza di attrazione che viene su di esse esercitata dal Sole e dalla Luna.Bisogna tener presente pero che esse non risentono solamente di queste attrazioni,ma anche degli effetti della topologia costiera e dei fondali, di fenomeni di risonanzain prossimita di baie ed in corrispondenza di estuari e della stessa forza di rotazioneterrestre: tutti questi elementi fanno sı che non sia possibile studiare i fenomeni dimarea in termini di causa ed effetto. Un primo tentativo di descrizione in terminimatematici del fenomeno delle maree e dovuto a Darwin, il quale, nel 1898, presentola sua teoria, secondo la quale causa prima delle fluttuazioni di marea sarebbero statele forze di attrazione siderali. Sebbene questa teoria non sia rigorosa, in quanto peravere una descrizione realistica dei moti di marea si dovrebbero considerare anchegli aspetti dinamici legati ai movimenti del mare all’interno dei bacini oceanici e glieffetti della rotazione terrestre, essa presenta dei risultati apprezzabili da un puntodi vista qualitativo. Le mare sono ”generate” fondamentalmente all’attrazione degliastri.Vediamo un approccio non molto corretto (non tiene conto degli effetti dinamici).

0.4.2 Alcune osservazioni preliminari.

La seguente relazione rappresenta l’interazione tra la terra ed un astro:

F = GMAstroMTerra

R2Astro T erra

(6)

Consideriamo un’idrosfera ricoperta da un piccolo strato d’acqua uniforme ed l’inte-razione astro. Il punto 2 e soggetto ad una maggiore forza di attrazione perche e piuvicino all’astro, distanza R- 2r. Il punto 1 (distanza R+r) risente meno questa attra-zione.. pero aumentano gli effetti centrifughi. Considerando l’attrazione specifica peri due punti abbiamo6

F1 =MAstro

(R + r)2=

MAstro

R2−MAstro

2r

R3(7)

F2 =MAstro

(R − r)2=

MAstro

R2+ MAstro

2r

R3(8)

Per cui il surplus di attrazione Fs e ∝ MAstror

R3. La teoria di Newton ci permette

di valutare l’influenza degli astri piu vicini Luna e Sole: Msole = 26, 5 ∗ 106Mluna,

6Viene fatto uno sviluppo in serie 1(R+r)2 = 1

(R+r)2 |r=0 − r 2(R−r)(R+r)2 |r=0 + ...


Figura 2: Schema interazione Terra-Astro. Si puo facilmente intuire che

nell’arco di una giornata si generano due alte maree e due basse maree.

Rterra−sole = 386Rterra−luna.L’innalzamento, ragionando in termini del surplus di attrazione e proporzionale a:

∆h ∝mastro

R3distanza astro

(9)

ne segue ∆hluna = 2, 2 ∗∆hsole

Ragionando allo stesso modo risultano ininfluenti sulle maree tutti gli altri astri.In posizione di quadratura, cioe sole- luna- terra sullo stesso asse si hanno i massimidislivelli.

0.4.3 Teoria statica di Darwin.

Nella teoria proposta da Darwin, il problema della genesi dei moti di marea venivageneralizzato, riconducendo il tutto ad un problema di interazione tra due corpi, dicui uno veniva considerato coperto da uno strato uniforme d’acqua; si osservava cosıcome l’altro corpo, esercitante una forza attrattiva sul primo, venisse a deformare lasuperficie di equilibrio su cui si era disposta primariamente l’acqua, trasformandolain una seconda superficie, la cui configurazione era costante nel tempo. In tale sche-matizzazione, le maree risultavano essere semplicemente le fluttuazioni di livello cheun osservatore poteva osservare muovendosi a latitudine costante. Il ragionamento,pensato appositamente per le interazioni tra Terra e Luna, si e rivelato qualitativa-mente valido per ogni sistema di corpi in grado di produrre maree.Consideriamo quindi un sistema a due corpi in cui il primo rappresenta la Terra comeuna sfera ruotante attorno al suo asse; in assenza di altri corpi, le acque che ricopronotale sfera vengono a distribuirsi su di una superficie sferica uniforme. L’interventodi un secondo corpo, ad esempio la Luna, fa sı che questo strato venga deformatoverso una nuova superficie di equilibrio. Notiamo che in questa maniera vi sarannounicamente variazioni nella superficie d’acqua nel senso della longitudine agli occhidi un osservatore che si muova a latitudine costante. Proveremo ora che la rotazionepropria della Terra attorno al suo asse non provoca variazioni di livello in funzione

0.4. LEZIONE 3 31

della longitudine e che le uniche forze che devono esser tenute in considerazione so-no quelle implicate nel processo di rivoluzione di Terra e Luna attorno ad un assecomune. Gli effetti su di una massa unitaria d’acqua dovuti alla rotazione terrestreattorno al proprio asse constano di una forza centrifuga, fc , uscente dalla superficieterrestre. Il modulo di tale forza vale

fc = Ω2rT cos(φ) (10)

essendo:

• Ω la velocita angolare di rotazione terrestre

• rT il raggio della Terra

• φ la latitudine 7.

Gli effetti della rotazione terrestre attorno al suo asse danno quindi una rispostache non varia a latitudine costante e che non appaiono quindi come variazioni dimarea ad un osservatore sulla terra. L’unica cosa quindi che si deve considerare e larivoluzione di Terra e Luna attorno ad un asse comune; a tal fine possiamo considerarela Terra a meno del suo moto di rotazione attorno al suo asse.

Figura 3: Equilibrio del sistema Terra-Luna.

Le forze centrifughe che tendono ad allontanare Terra e Luna sono bilanciatedalle forze di mutua attrazione tra i due corpi. I due contributi, ovviamente, devonobilanciarsi, poiche la mutua posizione dei due satelliti non varia. Dall’equilibrio delsistema Terra - Luna, si ricavano le seguenti tre equazioni, che ci consentono dideterminare i valori di ω, lT , lL :

• un’equazione di equilibrio sulla Terra8:

MTω2lT = GMT ML

R2(11)

7Tale forza risulta quindi costante per ogni latitudine8G = 6.67×10−11NM2/Kg2


• un’equazione di equilibrio sulla Luna:

MLω2lL = GMTML

R2(12)

• un vincolo sulle distanze:

R = lT + lL (13)

essendo:

• ML la massa della Luna

• MT la massa della Terra

• lL la distanza dell’asse di rivoluzione del sistema dal centro della Luna

• lT la distanza dell’asse di rivoluzione del sistema dal centro della Terra

• G la costante di gravitazione universale

• w la velocita angolare di rivoluzione del sistema attorno al suo asse

Dall’imporre MLω2lL = MLω2(R− lT ) = MTω2lT si ricava il valore

lT =R

1 +MT

ML

(14)

Una volta ricavato ω, si puo determinare il periodo T di rivoluzione di Terra eLuna attorno al loro asse comune:

T =2π

ω= 2π

√√√√√√R3

GML

[1 +

MT

ML

] (15)

Sostituendo in queste espressioni i valori numerici, si prova che la quantita e paria 2900 miglia, e che quindi l’asse di rivoluzione del sistema Terra − Luna e internoalla Terra. Inoltre si prova che il periodo di rivoluzione del sistema, T , e pari a 27.3giorni. Poiche, come si e precedentemente provato, la rotazione della Terra attornoal suo asse non produce effetti di marea, possiamo quindi valutare la deformazionedella superficie di equilibrio delle acque unicamente in funzione della presenza dellaLuna, supposto il moto della Terra irrotazionale rispetto al suo asse. Consideriamola situazione ritratta in figura 4, ed analizziamo le forze che agiscono su di un volumeelementare d’acqua.

Esso sara quindi deformato dalle seguenti forze:

0.4. LEZIONE 3 33

Figura 4: Forze agenti su un volume elementare d’acqua.

1. la forza centrifuga , dovuta alla rotazione di Terra e Luna, e sempre parallelaalla congiungente i centri dei due corpi e disposta in direzione uscente rispettoalla Luna; tale forza in modulo vale:

fc = ω2lT (16)

in virtu dell’equazione (11), essa puo anche essere scritta come

fc =GML

R2(17)

ora, poiche la forza di gravita agente su di una massa unitaria sulla Terra valeg:

g =GMT

r2T

(18)

segue, ricavando da quest’ultima equazione un’espressione per G, che

fc = g[ML

MT

] [rT

R

]2

(19)

2. la forza fa di attrazione della Luna e sempre diretta verso il centro della Luna,e vale:

fa =GML

s2− g

[ML

MT

] [rT

s

]2

(20)

essendo s la distanza della particella d’acqua dal centro della Luna.

3. la forza di attrazione esercitata dalla Terra sul volume unitario d’acqua e l’ac-celerazione di gravita, ed e orientata verso il centro della Terra.


Risolvendo il tutto in termini di componenti radiali e tangenziali, il sistema diforze mostrato in figura 4 risulta essere pari a:

Fr = −fg − fccos(θ) + facos(θ + β) (21)

il che equivale a

Fr = −g + g[ML

MT

]r2T

[cos(θ + β)

s2− cos(θ)

R2

](22)

mentre la componente tangenziale risulta essere pari a:

Fθ = fcsin(θ)− fasin(θ + β) (23)

ovvero

Fθ = gML

MTr2T

[sin(θ)

R2− sin(θ + β)

s2

](24)

Nella 22 si puo trascurare il secondo termine poiche risulta essere meno di un milio-

nesimo di g. Invece sviluppando in serie l’espressione 24 rispetto arT

R, ricordando

che s2 = R2 + r2 − 2RrT cos(θ) e trascurando sia gli elementi di ordine superiore alsecondo sia β rispetto a θ, si ottiene la seguente equazione:

Fθ ∝ gML

MT

(rT

R

)3

[sin(2θ)] (25)

Il tutto puo quindi essere scritto nella forma:

Fr = −g (26)

Fθ ∝ gML

MT

(rT

R

)3

[sin(2θ)] (27)

0.4.4 Superficie di equilibrio delle maree

La superficie di equilibrio dello strato di acqua sotto l’azione delle forze espresse nelprecedente sistema puo essere trovato imponendo la condizione di ortogonalita tra lasuperficie d’acqua e la risultante delle forze, punto per punto (figura 5).

Analiticamente, il tutto puo essere espresso con la condizione:

dη

dθ

1

rT=

dη

dx= −Fθ

Fr∝ ML

MT

[rT

R

]3

sin(2θ) (28)

0.4. LEZIONE 3 35

Figura 5: Ortogonalita tra la superficie idrica e la risultante delle forze

agenti.

Questa equazione puo essere integrata e il suo integrale ci dara punto per puntol’altezza della superficie di equilibrio:

η ∝ rTML

MT

(rT

R

)3

[cos(2θ) + C] (29)

dove C e una costante di integrazione che viene determinata imponendo la condi-zione di costanza sulla quantita d’acqua presente prima e dopo la deformazione.

0.4.5 Teoria Armonica

Una teoria alternativa a quella proposta da Darwin venne formulata nel 1922 daDoodson. La sua analisi si basava su alcune osservazioni fatte nel 1872 da Kelvin,il quale aveva provato a compiere un’analisi della forza di marea attraverso dellecomponenti armoniche, dovute all’esistenza di periodi costanti e definiti nel moto diSole e Luna.

Dati quindi i periodi Tn =2π

σn, la forza di marea risulta esprimibile mediante una

serie di componenti di ampiezza variabile con la latitudine, del tipo:

~f =N∑

n=1

~fn (30)

essendo

~fn = ~ancos(σnt + ∂n) (31)

siccome le velocita angolari non sono in genere in rapporto tra di loro, ~f vienedetta funzione vettoriale quasi periodica. Il numero N di componenti armoniche, inteoria infinito, e limitato alle ampiezze significative; l’analisi compiuta da Doodsonha messo in evidenza piu o meno 100 componenti a lungo periodo, 160 a periodo


diurno, 115 periodo semidiurno, 14 a periodo prossimo ad otto ore. Ogni componentearmonica di marea, individuata unicamente dalla sua frequenza o dal suo periodo, hanella tradizione una sigla che ne ricorda l’origine. Fatta uguale a 100 l’ampiezza dellacomponente principale lunare M2 , vi sono 63 componenti con ampiezza minore di0.5; le sette componenti piu significative sono elencate nella tabella 2: quattro sonosemidiurne (portano l’indice 2), tre sono diurne (indice 1).

Tabella 2: Principali componenti armoniche della marea astronomica.

Componente T (h) σ[α

h

]σ

[rad

h

]a

M2 lunare semidiurna principale 12.4206 28.9841 0.505868 100.0

S2 solare semidiurna principale 12.0000 30.0000 0.523599 46.6N2 lunare semidiurna ellittica maggiore 12.6583 28.4397 0.496367 19.2K2 lunisolare declinazione semidiurna 11.9672 30.0821 0.525032 12.7

K1 lunisolare declinazione diurna 23.9345 15.0411 0.262516 58.4O1 lunare diurna principale 25.8193 13.9430 0.243352 41.5P1 solare diurna principale 24.0659 14.9589 0.261083 19.4

La marea η(t) eccitata nell’oceano dalla forza 30 e anch’essa esprimibile come

somma di componenti armoniche, con gli stessi periodi Tn della forza ~f ma conampiezze e fasi diverse, funzioni del luogo considerato:

η(~x, t) =N∑

n=1

ηn(~x, t) (32)

essendo

ηn( ~x, t) = Hn( ~x)cos σnt + φn(~x) (33)

A seconda dei rapporti relativi tra le ampiezze delle diverse componenti, l’aspettocomplessivo della marea lunisolare registrata in un dato porto cambia notevolmente.Indicata l’ampiezza di una componente con la sua sigla, si usano definire i rapporti

F =K1 + O1

M2 + S2A =

K1 + O1

M2(34)

usati rispettivamente dai francesi e dagli americani; in base al loro valore numerico sipuo classificare la marea nei tipi (si veda tabella 5):

Conclusioni.

L’approccio mediante la teoria di Newton/Darwin e contraddetta dalle osservazionidirette sulle maree. Infatti i dislivelli valutati con tale teoria risultano decisamente

0.5. NOMENCLATURE 37

Tabella 3: Coefficienti per la clasificazione della marea

semidiurno F < 0.25 A < 0.5

misto 0.25F < 1.25 0.5 < A < 2diurno F > 1.25 A > 2

maggiori rispetto a quelli che in realta mediamente si verificano, ad esempio l’ampiezzamedia in Adriatico dell’onda di marea e 50 cm. Inoltre la variazione dei livelli siverifica con un certo ritardo rispetto al passaggio dell’astro. Infatti l’idrosfera non puoassumere lo schiacciamento in maniera istantanea, quindi la trattazione statica nonbasta. Vanno quindi tenuti in considerazione gli aspetti dinamici, che generalmenteprovocano la riduzione dell’onda di marea.

• l’accelerazione dovuta a Coriolis (principale disturbo)

• la decelerazione dovuta ad attriti

• .......

Un approccio puo essere sperimentale, infatti attraverso un’analisi temporale dell’an-damento dei livelli possiamo attraverso al traformata di Fourier individuare i perioditipici delle marea. In certi luoghi l’analisi dello spettro porta ad individuare fino a 20armoniche significative. Un’altro approccio e quello delle onde progressive cioe contrasporto di massa. Questo porta al fatto che la celerita c (velocita di avanzamentodel fronte d’onda) e funzione di d (profondita). Le onde di marea vengono quindi in-fluenzate dal fondale marino. Occorre percio integrare le equazioni dell’idrodinamicacon le condizioni al contorno:

• fondali

• coste (riflessione, rifrazione)

• ........

Quindi il fenomeno e molto piu complesso e non puo essere trattato con la sempliceteoria statica. Ad esempio nell’Alto Adriatico la corrente di marea provoca un flussoche gira in senso anti-orario (si pensi alla celerita).

0.5 Nomenclature

Nelle seguenti tabelle sono riportate una serie di termini che comunemente si possonotrovare in letteratura.

Ricordiamo che:

• “vivo d’acqua” → Maree con creste e cavi molto pronunciati.


Tabella 4: configurazione astrale

Astri definizione angolo escursione

Sole-Luna-Terra Congiunzione 0 “vivo d’acqua”Sole-Terra-Luna Opposizione 180 “vivo d’acqua” deboleSole-Terra-Luna Quadratura 90 “morto d’acqua”

• “morto d’acqua” → La superficie del mare e praticamente uno specchio, piccoleanzi piccolissime escursioni.

Tabella 5: nomenclatura maree

diurna una alta e una bassa marea x die

semidiurna due alte e due basse maree x diemista due alte e due basse maree x die, ma sensibilmente diverse tra loro

Sizigie

CongiunzioneOpposizione

(35)

Tabella 6: Esempi di ampiezza massima in metri di marea.

Baia di Funy (Canada) 19.6 Fitzroy (Australia) 14.7Rio Gallegos (Argentina) 19.6 Serven (Inghilterra) 14.0

B. Frobiser (Canada) 17.4 Fitzroy(Australia) 14.7Potishead (Inghilterra) 16.3 Bhawnagra(India) 12.5

Granville (Francia) 14.7 R. Colorado (Messico) 12.1

0.5.1 Sesse

Le maree sono talvolta condizionate dalla presenza di sesse che si possono classificarecome onde stazionarie di lungo periodo. Sono tipiche dei bacini marini ma si possonoosservare anche in bacini lacuali, e un fenomeno che si puo osservare con una certafrequenza in montagna osservando la superficie di un lago dopo un evento meteoricoin presenza di vento. La causa forzante puo essere dovuta:

• variazioni di pressione, di vento (n.b. vento e differenza di pressione sonoassociate)


• differenza di livello, ad esempio in un bacino chiuso quando l’oceano vicino creaun dislivello

Il periodo di queste onde e legato alla fondamentalmente lunghezza del bacino.

0.5.2 Modi di oscillazione

Un bacino mareale puo essere schematizzato come uno specchio chiuso ad entrambele estremita oppure aperto ad una estremita.

Figura 6: schema di bacino a) chiuso b) aperto

Il numero di modi e legato al numero di armoniche:

E possibile aumentare l’ordine dell’armonica aggiungendo ogni volta un nodo. Il”periodo di oscillazione naturale” si calcola in maniera diversa nei due casi sopraesposti:

2Tn =2LB

n√

gd(36)

2Tn =2LB

(1 + 2n)√

gd(37)

dove:

• n=numero

• d=profondita del bacino

E possibile considerare il bacino aperto come mezzo bacino chiuso utilizzando solole armoniche dispari perche queste inducono il modo al centro. Il fenomeno tende adesaltarsi quando ha la stessa frequenza di oscillazione del bacino.


0.5.3 Moti transitori.

Un esempio di moti transitori sono i tsunami sono dei ”treni” di onde che attraversanogli oceani senza venire smorzati con celerita di propagazione fino a 200 metri al secon-do e mediamente di 100. Negli oceani aperti hanno un’altezza limitata (dell’ordine dei30 cm). L’altezza dell’onda e la distanza tra il cavo e la cresta: La lunghezza d’ondae notevolissima, dell’ ordine di circa 150 chilometri. In prossimita delle coste, questeonde raggiungono altezze notevolissime (fino a 30 metri). A seconda della geometriadel bacino si possono avere fenomeni di risonanza e di amplificazione dell’onda. Illoro impatto sui litorali non ha solo implicanze dinamiche ma anche bio-chimiche, sipensi alla salinita dell’acqua, 30 kg di NaCl per m3.

0.5.4 Moti di trasporto

CORRENTI: Sono legate in maniera semipermanente al trasporto di massa. Ledistinguiamo in correnti di:

• ConvezioneSono legate a differenze di pressione o di densita-temperatura oppure da misce-lazione di acque diverse. Vediamo ora cosa accade all’estuario (ad esempio unfiordo dove la linea di costa e ben definita)

Figura 7: Schema di correnti indotte per convezione.

– ρ e la densita a cui associamo salinita nulla.

– S1,2 salinita nelle due diverse zone di mare:

– Q1 portata da 1 a 2


– Q2 portata da 2 a 1

La corrente piu leggera galleggia sopra all’altra piu pesante. In condizioni per-manenti la salinita in 1 risulta S1 mentre in 2 S2 posso imporre un’equazionedi continuita per il contenuto salino Q1S1 = Q2S2. Inoltre possiamo sfrutta-re la continuita della portata Q + Q2 = Q1 Mettendo a sistema le precedentiequazioni otteniamo:

Q1 = QS2

S2 − S1

Q2 = QS1

S2 − S1

(38)

Se la salinita e diversa si crea un flusso interno.

• DerivaSono legate ad un’azione prolungata del vento. Si creano treni d’onda nella di-rezione del vento ma poi si genera anche una corrente della direzione del vento.La particella e trasportata con un vettore velocita w, quindi risente ”dell’ac-celerazione di Coriolis” (soprattutto negli strati profondi). Tale accelerazioneproduce un avvitamento del vettore velocita in senso orario nel nostro emisfero,antiorario nell’altro.

• Compensazione

Figura 8: Schema di corrente indotta in una baia. La corrente litoranea

induce una corrente circolare nella baia.

Si tratta di correnti secondarie indotte da una corrente primaria. Se esisteuna corrente costiera che viaggia a raso di una costa dove c’e una baia, questaprovoca un moto rotatorio. (esempio il Golfo di Trieste)Puo avvenire anche in una sezione verticale, ad esempio quando una correnteinveste una soglia essa provoca un’accelerazione, mentre nella parte riparata sicrea una corrente di compensazione indotta dalla corrente primaria che sfila insuperficie


Figura 9: Schema di corrente indotta per variazione brusca della

batimetria.

0.6 Lezione 4

Delle onde periodiche studieremo in particolare quelle gravitative che si sviluppanocon il massimo di energia quando hanno un periodo che va tra 1 e 30 secondi. Lacausa della loro formazione e l’instabilita dell’atmosfera e/o la presenza del vento.

0.6.1 Ipotesi

• fluido ideale, omogeneo, incompressibile

• effetti della forza di Coriolis e della tensione superficiale trascurabili

• forze viscose trascurabili

• assenza di correnti esterne al moto ondoso

• fondo rigido, impermeabile, piano (fondo orizzontale)

• moto piano (onde bidimensionali)

0.6.2 Strumenti

• equazione di continuita

• equazione del bilancio della quantita di moto

• condizioni al contorno

dinamiche

cinematiche

0.6.3 Onde progressive

Teoria onde di piccola ampiezza

Continuita

Ricostuiamo ora le equazioni fondamentali delle onde di piccola ampiezza sfruttandofigura (10). Consideriamo ora le ”equazioni di conservazione della massa”. Che segueda uno sviluppo in serie arrestato al primo ordine (nella faccia uscente sono presentisolo i termini del primo ordine).

0.6. LEZIONE 4 43

Figura 10: Volume di controllo, con evidenziate le grandezze in direzione

x.

[−

∂(ρu)

∂x−

∂(ρv)

∂y−

∂(ρw)

∂z

]dxdydz (39)

Puo avvenire nell’intervallo di tempo considerato una variazione di massa interna:Valutiamo ”l’ingresso netto di massa nel tempo ”

∂ρ

∂tdxdydz (40)

Il flusso di massa deve essere uguale alla variazione di massa interno, eguagliandoquindi i due termini:

ρ

[∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z

]+

Dρ

Dt= 0 (41)

e l’equazione di conservazione della massa. Per le ipotesi fatte, possiamo consi-derare la densita uguale a costante (fluido incomprimibile). In pratica si annulla laderivata sostanziale e l’equazione di continuita per un fluido incomprimibile diventa:

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0 (42)

Inoltre si e ipotizzato di trascurare gli effetti viscosi all’interno della massa. Inquesto modo e possibile utilizzare un’equazione dinamica semplificata; quindi le uni-che forze di superficie sono le sole pressioni che sono normali, non vi sono quindi forzetangenziali, inoltre le forze di massa sono rappresentate dalla gravita.

Conservazione della quantita di moto

Applicando il ”teorema della quantita di moto”:

Πx + ρGx = max = ρDu

Dtdxdydz

Πx = −∂p

∂xdx[dydz]

ρGx = ρgxdxdydz

(43)


Si giunge all’espressione:

1

ρ

∂p

∂x− gx +

Du

Dt= 0 (44)

che rappresenta l’equazione di Eulero. Un’altra caratteristica importante del motodei fluidi e la rotazione. La velocita di rotazione vale (vorticita):

ω =1

2

[∂w

∂x−

∂u

∂z

]= ∇× ~V (45)

Se il moto nasce da movimenti irrotazionali ed il fluido non e viscoso, il motorimane irrotazionale. In ipotesi di moto irrotazionale e possibile ipotizzare l’esistenzadi un potenziale di velocita. Si tratta quindi di trovare una funzione tale che risulti:

u =∂φ

∂xv =

∂φ

∂yw =

∂φ

∂z(46)

E in modo compatto:

~V = grad(φ) (47)

Utilizzando l’equazione 46 l’equazione 45 diventa:

ω =1

2

[∂2φ

∂z∂x− ∂2φ

∂z∂x

]= 0 (48)

Quindi il moto a potenziale di velocita e irrotazionale (in pratica ω = 0). Talecondizione, oltre ad essere necessaria, e anche sufficiente.

0.7. LEZIONE 5 45

0.7 Lezione 5

L’equazione di continuita in due dimensioni diventa:

∂u

∂x+

∂w

∂z= 0 (49)

Se il moto ammette potenziale, cioe e irrotazionale, allora si puo scrivere sfruttano laprecedente relazione e l’equazione 46:

∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂z2= 0 (50)

E l’equazione di Laplace (e l’equazione di continuita espressa mediante la funzionepotenziale). Vediamo ora come si modificano le ”equazioni del moto”. Siano gli assix e z in un riferimento gravitazionale:

gx = 0

gz = −g(51)

E possibile esplicitare le equazioni di Eulero nelle due direzioni:

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ w

∂u

∂z+

1

ρ

∂p

∂x= 0 (52)

∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ w

∂w

∂z+

1

ρ

∂p

∂z+ g = 0 (53)

Le precedenti equazioni nell’ipotesi di moto a potenziale della velocita (in condi-zioni di irrotazionalita) diventano:

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ w

∂w

∂x+

1

ρ

∂p

∂x=

∂u

∂t+

1

2

∂u2

∂x+

1

2

∂w2

∂x+

1

ρ

∂p

∂x= 0 (54)

∂w

∂t+ u

∂u

∂z+ w

∂w

∂z+

1

ρ

∂p

∂z+ g =

∂u

∂t+

1

2

∂u2

∂z+

1

2

∂w2

∂z+

1

ρ

∂p

∂z+ g = 0 (55)

Osserviamo inoltre che l’equazione lungo x diventa (introducendo la funzione poten-ziale):

∂2φ

∂t∂x+

1

2

∂u2

∂x+

1

2

∂w2

∂x+

1

ρ

∂p

∂x= 0 (56)

E possibile mettere in evidenza l’operatore di derivazione rispetto a x (fluidoincomprimibile):


∂

∂x

[∂φ

∂t+

u2 + w2

2+

p

ρ

]= 0 (57)

Analogamente per z

∂

∂z

[∂φ

∂t+

u2 + w2

2+

p

ρ+ gz

]= 0 (58)

Integrando otteniamo:

∂φ

∂t+

u2 + w2

2+

p

ρ+ = F (z, t) (59)

ed

∂φ

∂t+

u2 + w2

2+

p

ρ+ gz = G(x, t) (60)

Osservazione sulle funzioni G ed F

Sottraendo la seconda (eq. 59) dalla prima (eq. 60): otteniamo:

F (z, t)−G(x, t) = −gz (61)

Nei problemi da noi analizzati g non dipende da x ..... vale a dire che G(x, t) nonpuo dipendere da x. Nel caso del moto permanente non c’e dipendenza dal tempo∂φ

∂t= 0 ed G(t) = K .... riotteniamo l’equazione di Bernoulli:

.. +u2 + w2

2+

p

ρ+ gz = K (62)

Invece nel moto vario per un fluido non viscoso e irrotazionale, abbiamo le dueequazioni sopra indicate eq. 59, 60 e bisogna risolvere l’equazione ∆φ = 0 per risalirealle velocita. Noto il campo di velocita posso passare all’equazione del moto perricavare il valore della pressione in ogni punto, essendo nota la funzione G(t). 9

Riscrivendo le equazioni del moto:

∂φ

∂t+

u2 + w2

2+

p

ρ+ gz = 0 (63)

Se si analizzano solo le onde di piccola ampiezza allora i termini cinetici (sononon lineari) sono trascurabili rispetto ai restanti, allora l’equazione si puo esprimerein termini lineari:

9 Nelle equazioni di Eulero la velocita e influenzata dal gradiente della pressione, cioe c’e dipen-denza dalla differenza di pressione (questo si vede anche nell’equazione di Bernoulli). Una voltafissato l’istante, t diventa una costante e si puo inglobare nel potenziale di φ.

0.7. LEZIONE 5 47

∂φ

∂t+ ...... +

p

ρ+ gz = 0 (64)

Condizione dinamica

Figura 11: Forze di pressione sulla superficie di separazione.

Sulla superficie libera agisce la pressione atmosferica, se utilizziamo l’equazione62 possiamo scrivere:

∂φ

∂t+

u2 + w2

2+

patmoferica

ρ+ gη = 0 (65)

Se al solito implodiamo “patmoferica

ρ ” nella φ otteniamo:

∂φ

∂t+ .......

u2 + w2

2+ gη = 0 (66)

La precedente equazione rappresenta la condizione dinamica sulla superficie e trascu-rando i temini cinetici:

∂φ

∂t+ .. + gη = 0 (67)

Condizione cinematica

Figura 12: Le velocita delle molecole d’acqua appartenenti alla superficie

di seprazione non possono avere compomenti normali alla stessa.

E’ evidente che una molecola appartenete alla superficie di separazione non puoavere componenti di velocita normali alla supeficie stessa.

~v× ~n = 0 ! (68)


Se indichiamo con F l’equazione della superficie e ricordando che il gradiente di F eproporzionale ad ~n otteniamo:

u∂F

∂x+ v

∂F

∂y+ w

∂F

∂z= 0 (69)

Nel nostro caso F vale in superficie F = z − η(x, t) ed nel fondale F = z + d per cui

w − u∂η

∂x= 0 in superficie

w = 0 sul fondo(70)

Siamo in grado ora di costruire un sistema differenziale “ben posto” per il motoondoso nel piano bidimensionale (x,z). Prendiamo come schema un braccio di marecon asse z con origine nel medio mare e con asse x in direzione arbitraria (positivanel senso di avanzamento delle onde); ipotizzando che il moto ondoso si manifesti cononde tutte uguali sia in lunghezza L sia in altezza H .Ricordiamo

• η(x, t) livello dell’onda rispetto ad un piano di riferimento

• cavo punto di massima depressione dell’onda

• cresta punto di massima elevazione dell’onda

Se l’onda si muove con velocita c, allora definiamo il periodo T come tempotrascorso per passare da una cresta all’altra:

• k =2π

Lnumero d’onda

• σ =2π

Tfrequenza angolare d’onda

• c =L

Toppure c =

σ

kcelerita

L’equazione da integrare e:∆φ = 0 (71)

Tale equazione e integrabile in maniera chiusa quando il dominio ha una forma re-golare 10. Nel nostro caso invece non c’e un contorno definito, ma possiamo definir-lo sfruttando le proprieta di periodicita spaziale dell’onda . Al fondo, sfruttando lacondizione cinematica, possiamo scrivere:

w(−d) =∂φ

∂z z=−d= 0 (72)

10 rettangolare, circolare, ovoidale

0.7. LEZIONE 5 49

mentre in superficie sfruttando la condizione dinamica:

∂φ

∂t z=η+ gη = 0 η = −

1

g

∂φ

∂t z=η(73)

Vediamo di introdurre alcune semplificazioni: per le onde di piccola ampiezza e

trascurabile η quindi possiamo calcolare∂φ

∂tsull’asse del medio mare. Scriviamo il

sistema di equazione:

∆φ = 0∂φ

∂z= 0 per z = −d

η =1

g

∂φ

∂tper z = 0

(74)

Cerchiamo la soluzione con la tecnica di separazione delle variabili . Costruiamouna funzione potenziale pensata come prodotto di tre funzioni ognuna dipendenti dauna sola variabile:

φ(x, z, t) = f1(x)f2(z)f3(t) (75)

Sostituiamo nell’equazione di Laplace:

f1(x)′′f2(z)f3(t) + f1(x)f2(z)

′′f3(t) = 0 (76)

Supponendo che il potenziale non sia nullo e dividendo per φ(x, z, t):

f1(x)′′

f1(x)+

f2(z)′′

f2(z)= 0 (77)

Ottengo:

f1(x)′′

f1(x)= −f2(z)

′′

f2(z)= −m2 (78)

in pratica:

f1(x)

′′+ m2f1(x) = 0

f2(z)′′ −m2f2(z) = 0

(79)

Il precedente sistema di equazioni ha soluzione generale del tipo:

f1(x) = Acos(mx) + Bsin(mx)

f2(z) = Cekz + De−kz (80)


Il potenziale11 potra avere quattro formulazioni principali ed implodendo tutte lecostanti in una sola ottengo:

φ1 = A1

[Cekz + De−kz

]cos(kx)cos(σt)

φ2 = A2

[Cekz + De−kz

]sin(kx)sin(σt)

φ3 = A3

[Cekz + De−kz

]sin(kx)cos(σt)

φ4 = A4

[Cekz + De−kz

]cos(kx)sin(σt)

(81)

Sono quattro possibili soluzioni, ma anche la loro combinazione lineare e soluzio-ne del problema. Inseriamo ora le condizioni al contorno. Condizione al contornocinematica:

∂φi

∂z z=−d= 0 = Ai(Cke−kd −Dkekd)... (82)

Deve essere nullo Cke−kd − Dkekd = 0 indipendentemente da x e da t quindi C =Dke2kd

Riscrivo il potenziale:

φ1 = A1Dekd[ek(z+d) + e−k(z+d)

]cos(kx)cos(σt) (83)

ovvero:

φ1 = 2A1DekdCh[k(z + d)]cos(kx)cos(σt) (84)

Il termine A1Dekd e costante, per cui sfruttando la condizione al contorno dina-mica:

η = −1

g

∂φi

∂t z=0=

2

gA1DekdCh[kd]cos(kx)σsin(σt) (85)

Il valore massimo di η vale H/2 (semiampiezza d’onda). Questo massimo si haquando il prodotto delle funzioni sinusoidali e unitario:

H

2=

2

gA1DekdCh[kd]σ (86)

ovvero:

gH

2Ch[kd]σ= 2A1Dekd (87)

Il potenziale risulta:

φi =H

2

g

σ

Ch[k(d + z)]

Ch(kd)cos(kx)cos(σt) (88)

11 Osservazione: funzioni sinusoidali in x devono avere m = k cioe la stessa lunghezza d’onda dellasuperficie vedi equazione 73. Inoltre avremo anche una fluttuazione temporale, essa cioe sara deltipo cos(σt) o sin(σt)

0.8. LEZIONE 6. 51

0.8 Lezione 6.

Osservando che sguenti espressioni sono entrambi soluzione dell’equzione differenziale:

φi =H

2

g

σ

Ch[k(d + z)]

Ch(kd)

cos(kx)cos(σt)sin(kx)sin(σt)

(89)

La differenza delle due funzioni e ancora soluzione del problema infatti:

φ1 − φ2 =H

2

g

σ

Ch[k(d + z)]

Ch(kd)cos(kx− σt) (90)

12

Ne segue che:

η = −1

g

[∂φ

∂t

]

z=0

=H

2sin(kx− σt) (91)

Come possiamo vedere un’onda di piccola altezza si presenta come un’onda ditipo sinusoidale, sia in riferimento ad una posizione prefissata (nello spazio), sia adun certo istante (nel tempo). Diamo un’ulteriore definizione di celerita:

• velocita di un osservatore che vede l’onda immobile.“Questo avviene quando l’argomento della funzione seno e una costante.”

Se mi trovo nella posizione:

x =σ

kt + xo

13 (92)

Allora la celerita e data da:

c =σ

k(93)

La celerita e dipendente dalla profondita ?Per rispondere a questa domanda consideriamo il movimento del mare. Definiamo lavelocita verticale in un punto come segue:

w =dη

dt=

∂η

∂t+

∂η

∂x

∂x

∂t(94)

Per le onde di piccola di ampiezza posiamo ipotizzare∂η

∂x= 0 esse sono mol-

to lunghe quindi il profilo si presenta circa orizzontale, allora, utilizzando questaapprossimazione otteniamo il termine w da:

w =dη

dt=

∂η

∂t(95)

12cos(a− b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)13 il termine xo che e la costante non puo essere nullo


ma:

η = −1

g

[∂φ

∂t

]

z=0

w =

[∂φ

∂z

]

z=0

(96)

Eguagliando: [∂φ

∂z

]

z=0

= −1

g

[∂2φ

∂t2

]

z=0

(97)

Il potenziale ha espressione eq. 90, quindi derivando e sostituendo z = 0 ottenia-mo:

H

2

g

σkSh[k(d)]

Ch[kd]cos(kx− σt) = −H

2

g

σ

1

gσ2cos(kx− σt) (98)

Rimane:

σ2 = kgTh[kd] (99)

Dividendo per k2:

c2 =σ2

k2=

g

kTh[kd] (100)

Si puo affermare che un’onda di assegnata lunghezza viene alterata nella sua ce-lerita dalla profondita del mare.

Possiamo ottenere una analoga relazione anche per la lunghezza d’onda:

c2 =L2

T 2=

gL

2πTh[kd] (101)

14 Rimane:

L =gT 2

2πTh[kd] (102)

Tale relazione lega celerita, lunghezza d’onda, periodo e profondita. Quindi ab-biamo tre gradi di liberta: lunghezza d’onda, celerita, periodo. Tuttavia abbiamodue relazioni 100, 102, in realta rimane quindi un solo grado di liberta. Analizziamocosa succede ad un gruppo d’onde che transita su fondali a profondita d decrescente.Contiamo il numero di creste d’onda che passano nella sezione 1 nell’intervallo:

N1 =∆T

T1(103)

Nella sezione 2:

N2 =∆T

T2(104)

14 k =2π

L

0.8. LEZIONE 6. 53

Figura 13: medesimo treno d’onda in due diverse sezioni.

Se T1 6= T2 al tendere di ∆T a ∞ comporta che |N1 − N2| =∆T

T1 − T2tende a ∞

un assurdo.15 quindi il periodo per un’onda e un invariante Quindi al variare di dpossono variare la lunghezza d’onda e la celerita di propagazione.Richiamo sulle funzioni iperboliche

• Si nota che in prossimita dello 0 si puo confondere la tangente iperbolica con ilsuo argomento

• Si nota che in prossimita dello 0 si puo confondere il seno iperbolica con il suoargomento

• Th[∞] = 1

• Ch[ε] = 1

Ne segue che per bassi fondali

c2 =g

kkd (105)

quindi:

c =√

gd (106)

Possiamo inoltre valutare:

u =∂φ

∂x= −H

2

g

σkCh[k(d + z)]

Ch(kd)sin(kx− σt) (107)

Analogamente le velocita orizzontali (sono una funzione sinusoidale del tempo edella posizione).

w =∂φ

∂z=

H

2

g

σkSh[k(d + z)]


Possiamo ricavare le accelerazioni orbitali:

15Si pensi ad una fila inifinita di persone che stanno salendo le scale che portano da un pianoall’altro, ognuna riduce la sua velocita man mano che i scalini aumentano ma il numeno di personeche passano da un piano all’altro rimane invariato.


ax =∂u

∂t=

Hg

2kCh[k(d + z)]


az = ... (110)

Questo per quanto riguarda l’accelerazione orizzontale. Queste sono ”accelerazioniorbitali” per una data quota z. Possiamo valutare le traiettorie (orbite) delle particellecome segue:

X =[∫

udt]

rispetto ad una z mediaZ =

[∫wdt

]

rispetto ad una z media(111)

nell’ipotesi di onde di piccola, e rispetto ad un valore medio di z; infatti anche zdipende dal tempo e la velocita della particella dipende anche da z. Integrando:

X =H

2

gk

σ2

Ch[k(d + z)]

Sh(kd)cos(kx− σt) (112)

Z =H

2

gk

σ2

Sh[k(d + z)]

Sh(kd)sin(kx − σt) (113)

Se si sommano i quadrati delle due espressioni si ottiene l’equazione di un’ellisse.

X

A= sin(kx− σt)

Z

B= cos(kx− σt)

(114)

Con A e B semiassi dell’ellisse. Le equazioni dei semiassi in maniera compatta sonodate da 16:

A =H

2

Ch[k(d + z)]

Sh[kd]

B =H

2

Sh[k(d + z)]

Sh[kd]

(115)

0.8.1 Campi di moto

Notiamo che in ”acque basse” il semiasse A non dipende dalla profondita, cioe c’e unflusso e riflusso su tutta la profondita. Mentre per il coefficiente B: variazione linearedella semiampiezza verticale dell’oscillazione, che vale H/2 per z = 0 e vale 0 perz = −d, cioe particelle che strisciano sul fondo in maniera alternata. Giustichiamo icoefficienti A,B per le ”acque profonde” vado ad espandere l’espressione di A eq.115:

A =H

2

ekdekz + e−kde−kz

ekd − e−kd(116)

16 σ2 = gkTh[kd]

0.8. LEZIONE 6. 55

Tabella 7: campi di moto

Acque basse transizione profonde

d

L=

kd

2π<

1

20

1

20< .... <

1

2>

1

2

AH

2kd

H

2

Ch[k(d + z)]

Sh[kd]

H

2ekz

BH

2

d + z

d

H

2

Sh[k(d + z)]

Sh[kd]

H

2ekz

c√

gd

√g

kTh[kd]

√g

k

Se d e molto grande, dividendo per ekd:

A =H

2

ekz + e−2kde−kz

1− e−2kd=

H

2ekz (117)

ricordando che z e negativo verso il fondo del mare. Per B in maniera analogaotteniamo:

B =H

2ekz (118)

Quindi in un fondale illimitato, cioe dove l’onda non risente del fondale, le orbite sonocircolari infatti A=B. Nel caso di acque di transizione, sul fondo vi sono moti di unacerta ampiezza poiche:

A =H

2

Ch[k(d− d)]

Sh[kd]=

H

2

1

Sh[kd](119)

0.8.2 Pressioni

Sono date dall’equazione di Bernoulli:

p

ρ= −

∂φ

∂t− gz − ....... (120)


Figura 14: Traiettorie al variare della profondita e della tipologia del

fondale.

17 Sostituendo:p

ρ= g

H

2

Ch[k(d + z)]

Ch[kd]sin(kx− σt)− gz (121)

p

ρ= g

Ch[k(d + z)]

Ch[kd]η − gz (122)

Ovvero

p = γ

[Ch[k(d + z)]

Ch[kd]η − z

](123)

Rispetto a p = γ(η − z) che e la pressione idrostatica ho un termine correttivo datodal rapporto dei coseni parabolici.

Figura 15: Andamento qualitativo, per acque basse, della pressione.

17 φ =H

2

g

σ

Ch[k(d + z)]

Ch(kd)cos(kx− σt)

0.9. LEZIONE 7 57

0.9 Lezione 7

0.9.1 Campi di moto (Riepilogo)

La celerita di propagazione vale inacque di transizione:

±√

g

kTh[kd] (124)

Il verso della celerita e stabilito dai segni di k e σ nell’argomento (kx− σt); se:

• k e σ hanno stesso segno la celerita e verso le x decrescenti

• k e σ hanno segno discorde la celerita e verso le x crescenti

Per acque basse Th[kd] = kd la quindi la celerita e data da:

±√

gd (125)

Dove le onde sono basse, acque basse e onde lunghe. Per acque profonde Th[kd] = 1allora la celerita tende a:

±√

g

k(126)

Che stabilisce un’ulteriore legame tra celerita, lunghezza d’onda e periodo.

0.9.2 Condizione di acque profonde

Le grandezze che si riferiscono ad acque profonde sono indicate con il pedice o:

c2o =

g

ko=

gLo

2π(127)

E utile considerare una relazione con il periodo, in quanto questo e una costante delmoto (non varia al variare del fondale).

co =1

co

gLo

2π=

T

Lo

gLo

2π(128)

Ottengo:

co =gT

2π(129)

Quindi posso esprimere la celerita generica (quella della transizione) con la forma:

c = co

√Th[kd] (130)

La lunghezza d’onda vale:Lo = coT (131)


ovvero:

Lo =gT 2

2π(132)

Ad esempio le lunghezze d’onda che vanno dai 2 metri fino a piu di 200 metrihanno dei periodi che vanno da da 1 a 10 secondi. Per le acque basse o sottocostale celerita non sono date dal periodo dell’onda ma solo dalla profondita. Poiche ilperiodo e un’invariante le lunghezza d’onda devono diminuire. In pratica partendo daacque profonde ed andando verso acque basse (non varia il periodo) le creste d’ondadevono avvicinarsi, producendo un accumulo di energia e generando onde piu ripideal limite del frangimento.

0.9.3 Sovrapposizione e linearita

I moti a potenziale godono della linearita e della addittivita. Se si ha un campo dimoto complesso, si puo pensare di scomporlo in una somma di effetti elementari:

φT =∑

i

φi (133)

Ricordiamo che per la superficie vale:

η = −1

g

[∂φ

∂t

]

z=0

(134)

Ma data la linearita dell’operatore derivata il livello risulta essere la somma, istanteper istante, dei vari contributi:

ηT =∑

i

ηi (135)

Stessa cosa vale per le orbite delle particelle (si pensi come sono state ricavate). Lepressioni di un capo di moto sono:

p

ρ= −

∂φ

∂t− gz (136)

Per la linearita di∂

∂tle pressioni totali al fondo saranno:

p

ρ= −

∑

i

∂φi

∂t− gz (137)

18

CASI PARTICOLARI1) Due onde monocromatiche nella stessa direzione.

18 posso vedere gz come il potenziale di riferimento in assenza di onde

0.9. LEZIONE 7 59

Ipotesi: d=costanteIl livello totale vale:

ηT =H1

2sin(k1x − σ1t + ψ 1) +

H2

2sin(k2x− σ2t + ψ 2) (138)

Dove ψ rappresenta l’angolo di sfasamento. Uno dei due angoli di sfasamen-to puo essere scelto arbitrariamente perche dipende dalla scelta dell’origine. Alloraprendendo ψ 1 = 0 er cui rimane ψ 2 6= 0 che e lo sfasamento delle seconda ondadall’origine.

Ipotesi 1 : Le due onde hanno lo stesso periodo, cio implica che lunghezza d’ondae celerita devono essere uguali eq.130.

L

T= co

√

Th[2π

Ld]

= co

√Th[kd]

ÃL = costantec = costante

(139)

Ma possono essere diverse le altezze inoltre lo sfasamento ψ 2 6= 0. La costanza diL e T permette di ricavare:

σ = costantek = costante

(140)

Si ottiene quindi , utilizzando le formule di addizione trigonometriche: 19

ηT = −sin(kx − σt)2∑

i=1

Hi

2cos(ψ i)− cos(kx− σt)

2∑

i=1

Hi

2sin(ψ i) (141)

Se si pone:

2∑

i=1

Hi

2cos(ψ i) = rcos(α)

2∑

i=1

Hi

2sin(ψ i) = rsin(α)

[2∑

i=1

Hi

2cos(ψ i)

]2

+

[2∑

i=1

Hi

2sin(ψ i)

]2

= r2

2∑

i=1

Hi

2sin(ψ i)

2∑

i=1

Hi

2cos( ψ i)

= tg(α)

(142)Dove i termini di sinistra sono noti e quelli di destra incogniti. Si puo risolvere

questo sistema in r ed α. Sostituendoli ottengo:

ηT = −rsin(kx− σt + α) (143)

Se le onde hanno lo stesso periodo si ottiene un’onda con stessa celerita e lunghez-za d’onda con una fase che e la combinazione delle fasi; ottengo ancora un’ondamonocromatica.

19sin(α − β) = sin(α)cos(β) − sin(β)cos(α)


Ipotesi 2 . Le due onde abbiano periodo diverso; l’equazione del profilo non e piuarmonica perche non si ha piu una soluzione dello stesso tipo riportato nell’ipotesi1, essa puo pero essere periodica. L’ipotesi 2 implica che:

σ1 6= σ2

k1 6= k2(144)

Figura 16: sovrapposizione di due onde con periodo diverso. (OndaComposita)

Osservando il disegno quando 3L1 = 4L2 ci si ritrova nella stessa condizione dipartenza. Si viene ad avere un periodo complessivo:

T = nT1 = mT2 (145)

dove n ed m sono i valori piu piccoli interi che soddisfano alla precedente uguaglianza.Quindi rimane questo periodo T che si trasla nel tempo. Va ricordato che esistono deivalori per T1 ed T2 per cui l’equazione 145 puo non essere soddisfatta. Nell’equazionedel profilo (eq. 138) si nota che le due onde per qualche valore di t risultano esserein contrasto di fase20. Se l’altezza e simile, cioe H1 ≈ H2 in opposizione di fase siha una annullamento dell’onda. Allora in questi casi si ha in alcuni punti ηmax = 0,l’oscillazione si annulla. Questi punti sono detti nodi, sono caratteristici dei trenid’onda che viaggiano nella stessa direzione ma con celerita diversa.21

20 sin(k1x− σ1t + ψ 1) ≈ 1.0 ed sin(k2x− σ2t + ψ 2) ≈ −1.021 Una discussione piu corretta e riportata nelle lezioni successive

0.9. LEZIONE 7 61

Figura 17: Modulazione primaria di periodo T. La linea trattegiata ne

rappresenta l’inviluppo.

2) Due onde monocromatiche in direzione opposta.Si pongano le origini tali che ψ 1 = 0:

ηT = −H1

2sin(k1x− σ1t + ...)−

H2

2sin(k2x + σ2t + ψ 2) (146)

22 se |σ1| = |σ2| allora k1 = k2 = k, allora:

ηT = −H1

2sin(kx− σt)−

H2

2sin(kx + σt)cos( ψ 2)−

H2

2cos(kx + σt)sin(ψ 2) (147)

Quindi si genera un campo di moto che e la sovrapposizione di tre onde elementari:

• la prima nel verso positivo con ampiezzaH1

2

• la seconda nel verso negativo con ampiezzaH2

2cos(ψ 2)

• la terza nel verso negativo con ampiezzaH2

2sin( ψ 2) sfasata di 90 gradi rispetto

la seconda perche una e in seno e l’altra in coseno.

Esistono processi fisici che generano onde uguali in direzione opposta ad esempio nellariflessione.

0.9.4 RIFLESSIONE.

Supponiamo di avere una parete rigida e consideriamo l’altezza H2 dell’onda riflessa,la parete fa si che ci sia un legame H2 = H1Kr dove H1 e l’altezza dell’onda incidente.L’urto puo essere elastico o anelastico, ma in generale possiamo ipotizzare la conser-vazione della quantita di moto. Se Kr = 1.0 allora la riflessione e pura o perfetta. In

22+σ2t il segno + e dovuto al fatto che la seconda onda si propaga in senso opposto alla prima


Figura 18: Schema riflessione.

generale Kr ≤ 1.0.Supponiamo che un moto ondoso incontri in x = b una parete rigida e impermeabile.Allora le velocita saranno nell’ipotesi di riflessione perfetta si ha H2 = H1:

uT =H

2

g

σkCh[k(d + z)]

Ch(kd)[sin(kx− σt)− sin(kx + σt + ψ )] (148)

nell’ipotesi di profondita costante, se uT e la velocita lungo x in qualunque puntoed in qualunque istante deve annullarsi in x = b allora:

sin(kb− σt)− sin(kb + σt + ψ ) = 0 (149)

La soluzione si ottiene espandendo i termini della precedente equazione

sin(kb)cos(σt)−cos(kb)sin(σt)−sin(kb+ ψ )cos(σt)−cos(kb+ ψ )sin(σt) = 0 (150)

ed eguagliando i termini in cos(σt) ed sin(σt):

sin(kb) = sin(kb + ψ )cos(kb) = −cos(kb + ψ )

(151)

La soluzione del precedente sistema fornisce l’angolo di fase ψ = (2n + 1)π − 2kb.Sostituendo poi ψ nell’eq. 147 (sfruttando alcune identita trigonometriche [1, p. 43])si ottiene il livello del moto perfettamente riflesso:

ηT = Hsin(kb − σt)cos(kx− kb) (152)

Si noti che si ricava una funzione in cui le componenti temporale e spaziale sonoindipendenti; inoltre c’e un istante t (kb − σt = nπ) particolare tale in cui il senotende a zero; in quell’istante lo specchio liquido diventa piatto per ogni x. Viceversa

ci sono alcuni punti dello spazio (kx− kb =π

2+ nπ), dove il coseno tende a zero; per

ogni t quindi, l’elevazione risulta essere nulla. va evidenziato che “l’agitazione” delmare va da H, a -H, con un’escursione di 2H , cioe raddoppia la sua altezza. Uno deinodi dove si ha l’oscillazione massima e proprio b, dove il conseno e uguale a 1.0.

0.10. LEZIONE 8 63

Figura 19: Rilessione perfetta.

0.10 Lezione 8

Con riferimento alla figura 17 ricordiamo che:

• T = TB periodo di modulazione di queste ampiezze tale che sia un multiplointero dei periodi iniziali

• TB = nT1 = mT2 e detto periodo di battuta (o batimento).

Quando si hanno i nodi?Ipotizziamo di avere due onde di eguale ampiezza e siano inoltre in fase; l’oscillazionetotale vale:

ηT =H

2sin(k1x − σ1t) +

H

2sin(k2x − σ2t) (153)

Poiche per ipotesi l’ampiezza e medesima sfruttando la relazione sin(α) + sin(β) =

2sin(α + β

2)cos(

α− β

2); l’oscillazione complessiva sara:

ηT = Hsin(k1 + k2

2x− σ1 + σ2

2t)cos(

k1 − k2

2x− σ1 − σ2

2t) (154)

Si ottiene un’onda sinusoidale che si muove con un numero d’onda medio e conuna frequenza angolare media rispetto le frequenze delle onde di partenza. I terminik1 − k2

2e

σ1 − σ2

2sono piu piccoli dei termini

k1 + k2

2e

σ1 + σ2

2(se, k1 > k2 allora,

σ1 > σ2 inoltre cos(a) = cos(−a)) quindi il termine del coseno puo essere visto omeun modulatore dell’ampiezza. Quando l’argomento del coseno va a zero, l’oscillazionevale H, che e doppia di quella di una singola onda, in quanto una singola onda oscillatra +H e -H . I nodi sono posti dove i coseni sono uguali a zero cioe dove:

k1 − k2

2x− σ1 − σ2

2t = (2m + 1)

π

2(155)


x =σ1 − σ2

k1 − k2t +

2m + 1

k1 − k2π (156)

Considerando t costante, al variare di m trovo le posizioni dei diversi nodi.

Va osservato che la loro distanza e costante nel tempo e vale ∆x =2π

k1 − k2. E’

evidente che Il termineσ1 − σ2

k1 − k2rappresenta la velocita di traslazione del nodo, e la

celerita con cui si muove il gruppo di onde. Si nota che la celerita della singola ondavale:

c1 =σ1

k1c2 =

σ2

k2(157)

Mentre il gruppo d’onde si muove con celerita:

cg =σ1 − σ2

k1 − k2(158)

che rappresenta la celerita di gruppo, questa e diversa da c1 ed c2; e legata al mododi sovrapporsi delle due onde monocromatiche. Anche un’ onda monocromatica peropuo avere una sua celerita di gruppo.Ricordando che la lunghezza d’onda e legata al periodo T, nell’ipotesi che σ1 → σ2

allora k1 → k2 sfruttando la definizione di c per un’onda monocromatica

cg =dσ

dk=

d(kc)

dk= c + k

dc

dk(159)

conviene pero scrivere:

cg = c +k

2c

dc2

dk(160)

inoltre:c2 =

g

kTh(kd) (161)

otteniamo derivando:

cg = c− k

2c

g

k2Th(kd) +

c

c

k

2c

g

k

d

Ch2[kd](162)

cg = c− c

2+ c

1

2c2

g

k

kd

Ch2[kd]=

c

2+ c

1

2g

kTh(kd)

g

k

kd

Ch2[kd](163)

cg = c1

2

[1 +

2kd

Sh(2kd)

]= cn (164)

I limiti nei diversi campi di moto sono riportati tabella 8.Vediamo cosa vuol dire associare ad un’onda una celerita di gruppo. Dobbiamo

ricorrere a concetti energetici. Sia una canaletta con un battionde che produce unacerta agitazione; l’ampiezza dell’onda generata dal battionde e quella di regime. La

0.10. LEZIONE 8 65

Tabella 8: Celerita di gruppo

Acque profonde cg =co

2

Acque basse cg =√

gd

prima onda che parte si trova davanti un bacino di acqua ferma, di conseguenza tendecedere energia all’acqua, quindi la sua ampiezza diminuisce. Dopo un po’ di tempoabbiamo un settore in cui si trovano onde ad uguali ampiezze (zona di regime), unsettore di transizione in cui le onde diminuiscono la loro ampiezza perche trasferisconoenergia all’acqua che si trova davanti a loro, infine un settore ad ”acqua ferma”.

Figura 20: Treno d’onde.

L’onda viaggia con una velocita c ma il treno d’onda effettivo sta ritardando, infattiesso si muove con una celerita cg. Quindi esiste un legame con l’energia dell’onda.

0.10.1 Energia di un’onda periodica progressiva non stazio-

naria

Le forme di energia sono :

• potenziale legato alla superficie idrica:

• cinetica legata al moto ondoso che fornisce velocita ai singoli elementi fluidi

Istante per istante si ha trasformazione da energia potenziale in energia cinetica (sipensi al moto di un pendolo). Allora non ha senso valutare l’energia potenziale equella


cinetica in un dato volume di controllo e in un dato istante. Sono piu rappresentativii valori medi, perche periodicamente si presenta la stessa configurazione geometricofisica. La media verra fatta relativamente ad un periodo e ad una lunghezza d’on-da. Valutiamo ora il contenuto energetico in una colonna d’acqua di profondita d edi larghezza unitaria. Ci interessa l’energia data dal moto ondoso, cioe l’energia

Figura 21: Volume di controllo per la valutazione dell’energia.

potenziale depurata dal potenziale idrostatico che avrebbe con il volume in quiete.

dEρ = gρ(d + η)d + η

21 dx (165)

Per ricavare il valore medio (al netto del potenziale idrostatico che vale −γd2

2) e

necessario integrare l’equazione 165 lungo la lunghezza d’onda e per tutto un periodo:

Eρ =γ

2LT

∫ x+L

x

∫ t+T

t(d + η)2dxdt− γ

d2

2(166)

Con η =H

2sin(kx− σt) ed e funzione sinusoidale, ricordando pero che:

∫ t+T

tsin(m[kx − σt])dt =

∫ t+T

tcos(m[kx− σt])dt = 0 (167)

23 eγ

2LT

∫ x+L

x

∫ t+T

td2dtdx =

γd2

2(168)

il quale si semplifica con il potenziale idrostaticoγd2

2, resta da integrare la parte

quadratica:

Eρ =γ

2LT

∫ x+L

x

∫ t+T

t

[H

2sin(kx− σt)

]2

dxdt = ...... (169)

23 con m intero

0.10. LEZIONE 8 67

ovvero:

Eρ =γ

2LT

∫ x+L

x

∫ t+T

t

H2

8[1− cos[2(kx− σt)]] dxdt =

γH2

16(170)

Sia a la semiampiezza d’onda:

Eρ =γa2

4(171)

Si noti che il potenziale non si annulla, per effetto della compensazione, anche seall’onda ha andamento sinusoidale; questo e dovuto alla forma quadratica dell’energia.Valutiamo ora l’energia cinetica:

dEc = ρu2 + w2

2dx 1 dz (172)

Allora l’energia cinetica sulla colonna vale:

Ec =ρ

2

∫ 0

d(u2 + w2)dz (173)

Ricercando il valore medio su una lunghezza d’onda e su un periodo:

Ec =ρ

2LT

∫ x+L

x

∫ t+T

t

∫ 0

d(u2 + w2)dzdxdt (174)

Con:

u2 =H2g2k2

4σ2

Ch2[k(d + z)]sin2[kx− σt]

Ch2[kd]∝ Ch2[k(d + z)]sin2[kx− σt]

w2 =H2g2k2

4σ2

Sh2[k(d + z)]cos2[kx − σt]

Ch2[kd]∝ Sh2[k(d + z)]cos2[kx− σt]

(175)

Proprieta:

Ch2x =1 + Ch(2x)

2

Sh2x = −1− Ch(2x)

2cos2x + sin2x = 1cos2x − sin2x = cos(2x)

(176)

per cui !!!

u2 + w2 ∝Ch[2k(z + d)]− cos[2(kx− σt)]

2(177)

24 Infine dall’integrale eq.174 si ottiene:

Ec =ρH2g2k

32σ2

Sh(2kd)

Ch2(kd)=

γH2gk

32σ2

2Ch(kd)Sh(kd)

Ch2(kd)=

γH2gk

16σ2Th(kd) (178)

24 Il termine cos[2(kx− σt)] non da’ contributo all’integrale eq. 174


ma c2 =g

kTh(kd) quindi

σ2

k2=

g

kTh(kd) ne segue che σ2 = gkTh(kd) L’energia

cinetica media del campo d’onde vale:

Ec =γH2

16(179)

L’Energia totale risulta:

ETot =γH2

8(180)

Il tasso di trasferimento di energia attraverso una superficie verticale di larghezzaunitaria si calcola come:

P = ETotcg = ETotc n (181)

L’energia puo essere diversa passando dal largo a sottocosta al largo essa dipende

soloγH2

8

co

2=

γH2

8

gT

4πdal periodo mentre sottocosta solo dalla profondita

γH2

8

√gd.

Nelle acque di transizione abbiamo: P = P (T, d)

0.10.2 Forme d’onda complesse

Se la forma d’onda e periodica, e possibile esprimerla in serie di Fuorier:

ηx(t) =∞∑

n=1

ancos(nσt) + bnsin(nσt) (182)

dove al solito σ =2π

Te legato al periodo dell’onda complessiva (e il periodo di battuta)

n e intero e da’ origine alle diverse armoniche dell’onda complessa.Attraverso l’analisi di Fourier si puo definire lo spettro complesso:

ηx(n) =an − ibn

2ηx(−n) =

an + ibn

2(183)

componente spettrale ennesima nel campo complesso. Per cui

ηx(t) =∞∑

n=−∞ηx(n)einσt (184)

e una funzione nel campo dei tempi. Teorema di Parseval afferma:

σ

2π

∫ πσ

−πσ

η2x(t)dt =

∞∑

n=−∞|ηx(n)|2 (185)

Si puo dimostrare che se si considera un gruppo d’onde di frequenza diversa,l’energia potenziale vale:

Ep =∑

i

Ep,i (186)

su tutto il periodo T.

0.11. LEZIONE 9 69

0.11 lezione 9

0.11.1 ESERCIZIO 1

Sia un’onda monocromatica di periodo T uguale a 10 secondi che si propaghi su unfondale inclinato profondo d = 180 m fino ad arrivare alla costa con un fondale di 3metri. Quesiti:

• a) Nella zona al largo siamo in condizioni di acque profonde ?

• b) Valutare la celerita e la lunghezza d’onda nel sito A e nel sito B.

Quesito a)Si puo scrivere:

c2 =gL

2πTh

[2πd

L

](187)

c =gT

2πTh

[2πd

L

](188)

co =gT

2π= 15.6 m/s (189)

Lo =gT 2

2π= 156 m (190)

Valutando quindi il rapporto:

d

L=

180

156= 1.15 >

1

2(191)

quindi siamo in acque profonde !

Il numero d’onda vale k =2π

Lo= 0.04 Verifichiamo ora che la condizione d/L sia

valida, calcoliamo quindi Th(kd) = .99999 in pratica e possibile approssimare la Thad 1 con un errore di 10−6 , il risultato quindi e corretto.

Quesito b) E necessario valutare c,L , in acque basse, nell’ipotesi di invarianza delperiodo:

c

co= Th(kd) = Th

[2πd

L

]=

L

Lo(192)

Si ottiene quindi:

d

Lo=

d

LTh

[2πd

L

]kod = kdTh[kd] (193)


La precedente equazione e non lineare essa va risolta con metodi numerici tipoNewton , dicotomico, regula Falsi. Si ottiene una lunghezza d’onda pari a L = 53 m

Da Th[kd] = 0.342 si ottiene una celerita pari a

c = coTh[kd] = 5.33 m/s (194)

Si nota inoltre che d/L = 3/53 ≈ 1/18 ..... siamo al limite delle acque basse.Infatti in acque basse, la celerita d’onda vale:

c =√

gd = 5.43 m/s (195)

Che e di poco superiore a eq. 194 .Si nota inoltre che la celerita e diventata 1/3 diquella che si ha in acque profonde, analogamente anche la lunghezza d’onda diventa1/3 . 25

0.11.2 ESERCIZIO 2

Data un’onda su un fondale di 13 metri, essa abbia un’altezza di 3 metri ed un periododi 10 secondi; l’altezza d’onda in acque profonde vale Ho = 3.15 m.Quesiti:

• a) Si calcolino gli spostamenti, cioe i semiassi A e B per z = 0 e per z = -d(siamo in transizione)

• b) In condizione di acque profonde si calcoli il massimo spostamento che si haper per z = −7.5 m (A=B).

• c) Valutare se A e trascurabile per z =Lo

2.26

a) Dall’esercizio precedente si ha: Lo = 156 m e ko = 0.040

Usando la formulad

Lo=

d

LTh

[2πd

L

]o kod = kdTh[kd] otteniamo:

kod = kdTh[kd] = 0.04 ∗ 13 = .52Utilizzando poi le tabelle: d/Lo = kod/2π = .0828 Da tabella d/L = 0.126 otteniamokd = 0.792 Calcoliamo ora i semiassi

25 Tenere presenti le equazioni

d

Lo=

d

LTh

[2πd

L

](196)

kod = kdTh[kd] (197)

26 Quest’ultima verifica e equivalente dire che dLo

= 12 , cioe che siamo in acque profonde.

0.11. LEZIONE 9 71

A =H

2

Ch[k(d + z)]

Sh[kd]

B =H

2

Sh[k(d + z)]

Sh[kd]

(198)

z = 0m

A = 2.25 mB = 1.5 m

(199)

z = −13m

A = 1.71 mB = 0.0 m

(200)

Tale onda produce un moto al fondo che ( in avanti ed indietro) lungo la direzionedel moto e che produce una certa dissipazione di energia.

b) Con Lo = 156 m ed z = −7.5 m per acque profonde si ha:

A = B =H

2ekoz = 1.11 m (201)

c) A = 0.07 m significa che essa e trascurabile se z = −Lo/2.

0.11.3 ESERCIZIO 3

Una sonda di prsessione e posta ad una profondita a 0.6 m sopra il fondo in un fondaledi 13 m. Misura un’onda monocromatica con una frequenza f = 0.067 s−1 ed unapressione massima relativa p = 130 kPa .Si determi l’ampiezza d’onda corrispondente.Il pzeriodo e dato da:

T =1

f= 15 s (202)

valutiamo la condizione di acque profonde

ko =2π

Lo=

2π

gT 22π =

4π2

gT 2= 0.01788 m−1 (203)

Dalla relazione kod = kdTh[kd] ricavo k = 0.03859 m−1 da cui

L =2π

k= 112.81 m (204)

d

L= 0.07958 m (205)

quindi siamo in acque di transizione. Ricavo la pressione come:

p

γ=

Ch[k(d + z)]

Ch[kd]η − z (206)

per z = −d + d′ = −12.4 m; η = 1.128 ∗ .6 = 0.68 m


0.11.4 ESERCIZIO 4

Sia un’onda con: T = 10 s, L = 156 m, c0 = 15.6 m/s. In condizioni di acqueprofonde sia inoltre Ho = 1.5 m, essa si muova verso riva procedendo ortogonalmentealle batimetriche (linee ad eguale profondita), cioe l’onda non subisce fenomeni dirifrazione; inoltre la spiaggia sia completamente assorbente in modo tale da non averefenomeni di riflessione. Trascurando le perdite d’attrito al fondo. Quesiti

• a) E’ possibile ricavare una relazione che leghi l’altezza d’onda alla profondita?27

• b) Ricavare l’altezza d’onda su un fondale di 3 metri.

• c)Determinare il tasso di trasporto di energia verso riva per un metro di spiaggiae l’energia totale rilasciata sulla spiagga per la durata di un’ora.

a) All’interno del volume segnato non e possibile avere ne accumuli ne perdite dienergia in condizioni di moto permanente. Allora il flusso di energia che passa per Asezione ( per metro di larghezza) deve essere uguale a quello che passa per B sezione.Se avessimo attrito sul fondo allora sarebbe PA > PB. Sfruttando la relazione 192possiamo scrivere:

PA = EAnAcA = γH2

8

1

2

[1 +

2kd

Sh(2kd)

]coTh(kd) (207)

Se in B siamo in mare aperto:

PB = EBnBcB = Eoco/2 = γH2

o

8

1

2co (208)

Dal rapporto:

H2

H2o

=noco

nc=

[(1 +

2kd

Sh(2kd)

)Th(kd)

]−1

(209)

H

Ho=

√noco

nc=

[(1 +

2kd

Sh(2kd)

)Th(kd)

]−1/2

= Ks (210)

Ks e detto coefficiente di Shoaling o di approdo28. Il flusso di energia sulla riva euguale a quello al largo dove sappiamo calcolarlo.

b) Dalla relazione kod = kdTh[kd] ricavo k = 0.0402 m−1 da cui H = HoKs =1.5 ∗ 1.236 = 1.85 m

c) Per la ”potenza” invece:

P = ET cn =γH2

8cono =

10000 ∗ 1.52

815.6

1

2(211)

P = ET ∗ ore = 21937.5 ∗ 3600 = 7.9 ∗ 107N/s (212)

27 sfruttiamo la conservazione dell’energia28 Indica di quanto si riduce l’onda al ridursi della batimetria.

0.12. LEZIONE 10 73

0.12 lezione 10

Figura 22: Limiti di applicabilita delle varie teorie.

0.12.1 Onde d’ampiezza non piccola.

Teoria dell’onda trocoidale

E un metodo piuttosto datato che ha carattere geometrico e che funziona bene manon trova accordo da un punto di vista dinamico (occorre usare una teoria d’ordinesuperiore). Vediamo cosa succede al di sotto di un’onda in termini di:

ηvelocita′

accelerazione(213)

per un’orbita circolare (acque profonde) possiamo osservare che


∆ = (kx − σt)

η ∝ H

2sin(∆)

u ∝ sin(∆)w ∝ −cos(∆)ax ∝ −cos(∆)

(214)

Figura 23: confronto tra i profili di un un’onda sinusoidale (linea

tratteggiata) e un’onda di profilo non sinuisoidale (line continua)

Ci si accorge immediatamente che il profilo (linea continua) dell’onda non e sinu-soidale perche dovrebbe passare per i centri delle orbite per ∆ = 0 e ∆ = π. La curvatratteggiata e sinusoidale si nota lo scostamento fra le due curve che si intersecanosolo in due punti. Si nota che la fase di cresta e piu stretta, mentre quella di cavosi allunga. Tale curva e descritta geometricamente dalla Trocoide o curva trocoidale.Essa puo essere pensata come generata da un cerchio di raggio R nel rotolare senzascivolare sopra un piano. Realizza quindi un rotolamento completo di una lunghezzad’onda e il profilo e disegnato da un punto solidale col cerchio posizionato ad unadistanza del centro pari a r.

R =L

2π=

1

k

r =H

2

(215)

Il punto mobile e descritto dalle seguenti leggi, ricordando che a e b sono le distanze

0.12. LEZIONE 10 75

Figura 24: confronto dei profili di medesima ampiezza con un’onda si-

nuisoidale e con un’onda di tipo trocoidale (linea grossa). Il valore zf

rappresenta il nuovo “livello medio”.

dagli assi x ed y:

~P

x = a +H

2ekbsin(ka + σt)

z = b− H

2ekbcos(ka + σt)

(216)

Possiamo definire il medio mare quel livello del mare per cui la distanza dei cavie uguale alla distanza delle creste. Se nelle onde lunghe il livello medio mare daun bilanciamento di massa tra quello che sta sopra e quello che sta sotto (perche ilprofilo e descritto da una sinusoide), per la trocoide invece non ho tale bilanciamentodi massa. Cioe il medio mare non coincide piu con il medio mare in acque calme.Quindi esiste un effetto di sopraelevazione del “medio mare” rispetto alla quiete. Perle onde sinusoidale zf = 0 per la trocoide invece la sopraelevazione dal medio mare

vale zf =πH2

4L=

πH

2

1

2

H

L.

Il termineH

Le detto ripidita dell’onda. Se le onde tendono a farsi molto ripide, allora

si raggiunge una condizione limite che non e superabile ed e data dalla congruenzatra le velocita orbitali e la celerita. Finche c > |~v| le particelle rimangono internealla forma d’onda; se c < |~v| le traiettorie superano la forma d’onda ... si genera ilfrangimento. Il modulo delle velocita orbitali (onde di piccola ampiezza eq. 107,108)

ricordando che i acque profonde c =L

T=

gT

2πvale:

|~v| =gH

2

k

σ=

gH

2

T

L=

πH

T(217)

Al limite |~v| = c ... abbiamo frangimento; ma |~v| =πH

Lc = c cioe quando

H

L=

1

π

(ricodiamo cheH

Le la ripidita dell’onda). Per come e stata generata la trocoide, tale

condizione e equivalente a R = r ; infatti

r =H

2=

L

2π=

1

k= R (218)


La trocoide degenera in una cicloide, in questo caso la sopraelevazione vale zf =H

4.

Figura 25: limite di frangimento per l’onda trocoidale → cicloide.

OSSERVAZIONE: questo approccio e solo geometrico e non tiene conto deglieffetti dinamici all’interno della massa fluida. Inoltre tale teoria parte dall’ipotesidi orbite circolari che non sono compatibili con le condizioni dinamiche. Calcoli piuapprofonditi su questo effetto fanno riferimento a teorie di ordine superiore. La teorialineare va sotto il nome di teoria di Airy. La teoria sulla trocoide va sotto il nomedi teoria di Von Gerstner. La teoria trocoidale e utile per valutare zf , ad esempio sesi ha una H = 5 m, allora, H/2 = 2.5 m ma non sul medio mare. Inoltre il motogenerato da un’onda trocoidale e rotazionale !!

0.12.2 Alcuni cenni sul metodo perturbativoEsempio: moto vario in una tubazione.

Il moto vario in una tubazione e retto dall’equazione di continuita:

∂H

∂T+ U

∂H

∂X+

c2

g

∂U

∂X= 0 (219)

e dall’equazione della conservazione della quantita di moto:

∂U

∂T+ U

∂U

∂X+ g

∂H

∂X+ f

U |U |2D

= 0 (220)

Dove:

• H= quota piezometrica (m)

• U= velocita (ms−1) della corrente, media nella sezione

• T= variabile temporale (s)

• X= variabile indipendente spaziale (m); ascissa curvilinea in asse condotta

• c= celerita di propagazione (ms−1)

• g= accelerazione gravitazionale(ms−2)

0.12. LEZIONE 10 77

• D= diametro (m) della condotta

• f = numero di resistenza (-) calcolato secondo la relazione proposta da Colebrooke White

Va sottolineato che il sistema differenziale composto dalle equazioni 219 e 220 puoessere considerato accettabile nell’ipotesi di trasformazione isoterma, che le perditedi carico possono essere espresse, con qualche approssimazione, mediante le equazio-ni proprie del moto uniforme, che le deformazioni della condotta longitudinali sianotrascurabili rispetto a quelle trasversali e che il comportamento della condotta siaelastico implicando una corrispondenza lineare tra tensioni e deformazioni. Il ter-

mine fU |U |2D

, componente fondamentale del termine resistivo, e una funzione dispari

nella variabile U, puo essere espresso per qualunque valore della scabrezza relativamediante semplice espressione polinomiale nella variabile U in cui i monomi di gradopari siano nulli. Gia un polinomio di terzo grado da una un’approssimazione piu cheaccettabile, infatti la massima differenza tra i valori di e i valori ottenuti mediante ilpolinomio approssimante e inferiore in valore assoluto a .005. Il termine resistivo perqualunque scabrezza relativa con buona approssimazione puo essere espresso dallaseguente equazione:

fU |U |2D

=AU + BU 3

2D(221)

per cui esprimendo termine resistivo mediante polinomio, l’equazione della quantitadi moto diventa:

∂U

∂T+ U

∂U

∂X+ g

∂H

∂X+

AU + BU3

2D= 0 (222)

introduciamo i seguenti termini di adimensionalizzazione:

t =T

Lc x =

X

Lu =

U

U h =Hg

cU A = A L

2DcB = BLU

2D

U

c(223)

dove:

• U = velocita a moto uniforme (ms−1)

• L= lunghezza della condotta (m)

Definendo inoltre un parametro perturbativo ε =U

cpossiamo riscrivere le equazioni

che reggono il fenomeno in forma adimensionale :

∂h

∂t+ εu

∂h

∂x+

∂u

∂x= 0 (224)

∂u

∂t+ εu

∂u

∂x+

∂h

∂x+ Au + εBu3 = 0 (225)


Il sistema differenziale composto dalle equazioni 224 e 225 puo essere risoltoappena sono note le condizioni al contorno e le condizioni iniziali.

u(1, t) = g(t)h(0, t) = s(t)

(226)

u(x, 0) = w(x)

h(x, 0) = s(0) −∫ x

0

f

D

w2(x)

2gdx

(227)

0.12.3 LA SOLUZIONE PERTURBATIVA.

Il sistema differenziale alle derivate parziali che regge il fenomeno del colpo d’arietee non lineare e non esiste una soluzione in forma chiusa. Una soluzione comunquesi puo ottenere usando la tecnica perturbativa. La tecnica perturbativa consistein un’espansione in serie dei termini non lineari dove l’ordine zero corrisponde, nelnostro caso, alla componente lineare di resistenza, mentre gli ordini maggiori sono daconsiderasi come completamento della soluzione a ordine inferiore. Il metodo consistenell’espandere le variabili velocita e quota piezometrica nelle serie perturbative:

u = u1 + εu2 + ε2u3 + .....h = h1 + εh2 + ε2h3 + .....

(228)

dove il pedice 1 si applica alle soluzioni di primo zero, 2 a quelle di secondo ordine,... e cosı via. Al nostro sistema differenziale sostituendo la 228 nell’equazioni 224ed 225 si viene a costituire una serie di sistemi differenziali, dai quali e possibileottenere le soluzioni nei vari ordini, quando per il sistema di primo ordine siano postele condizioni al contorno e iniziali, mentre per il secondo ordine (ed i successivi lecondizioni da porre sono quelle omogenee).

ε0

∂h1

∂t+

∂u1

∂x= 0

∂u1

∂t+

∂h1

∂x+ Au1 = 0

(229)

ε1

∂h2

∂t+

∂u2

∂x+ u1

∂h1

∂x= 0

∂u2

∂t+

∂h2

∂x+ Au2 + Bu3

1 + u1∂u1

∂x= 0

(230)

ε2

∂h3

∂t+ ...... + ...... = 0

∂u3

∂t+ ..... + ..... + ..... = 0

(231)

0.12. LEZIONE 10 79

La difficolta del metodo sta nell’individuare il parametro perturbativo.Si puotrovare una trattazione completa del metodo nel testo di Van Dik [3].

0.12.4 Teorie di ordine superiore:

Teoria di Stookes.

Facendo riferimento alla adimensionalizzazione riportata in [2, p.24,29] le equazioniche rappresentano il fenomeno diventano:

∂2φ

∂z2+ δ2 ∂2φ

∂x2= 0

∂φ

∂z= 0 per z = −d

η +∂φ

∂t+

1

2ε

1

δ2

[∂φ

∂z

]2

+

[∂φ

∂x

]2 = 0 per z = 1 + εη

∂φ

∂z= δ2

[∂η

∂t+ ε

∂φ

∂x

∂η

∂x

]per z = 1 + εη

(232)

dove ε valeH

ddetto parametro di ampiezza e δ vale

H

Ldetto parametro di ripidita.

Il potenziale puo essere espesso da:

φ =∞∑

n=1

εn−1φn (233)

Cioe e la somma di vari potenziali che hanno un’influenza via via minore in quantoε e una quantita piccola. Il livello del mare si puo valutare come segue:

η =∞∑

n=1

εn−1ηn (234)

In analogia al potenziale la celerita diventa:

c =∞∑

n=1

εn−1cn (235)

Per n = 1 abbiamo la teoria del primo ordine, per n = 2 abbiamo la teoria del secondoordine e cosı via. Ricordiamo che le soluzioni c1, φ1, η1 sono le soluzioni del primoordine e sono le medesime di quelle ottenute dalla teoria lineare utilizzata per le ondedi piccola ampiezza.

Per l’onda monocromatica con numero d’onda k e σ la soluzione e stata trovatada Stokes (1847):

η =

IordineH

2cos(kx− σt)

IIordineπH2

8L

Ch(kd)

[Sh(kd)]3[2 + Ch(2kd)] cos(2kx− 2σt)

(236)


Oppure ponendo F (d, k) =Ch(kd)

[Sh(kd)]3[2 + Ch(2kd)] scritta come:

η =H

2cos(kx − σt) +

πH2

8LF (d, k)cos[2(kx− σt)] (237)

Se in acque profonde F (d, k) = 2

η =H

2cos(kx− σt) +

πH2

4Lcos[2(kx − σt)] (238)

Siamo in cresta quando i due coseni valgono 1 quindi:

ηmax =H

2+

πH2

8LF (d, k) (239)

mentre siamo nel cavo invece:

ηmin = −H

2+

πH2

8LF (d, k) (240)

29

Quindi il nuovo “livello medio” e spostato diπH2

8LF (d, k). Rispetto a tale livello

il livello libero si alza di piu diH

2e si abbassa meno di

H

2. In acque profonde:

ηmax =H

2+

πH2

4L(241)

30

In acque basse la sopraelevazione aumenta di molto, tendendo ad1

2H. Cioe per

livelli bassi, l’onda tende a sopraelevarsi tutta sopra il livello di riposo. Essa viene

chiamata onda solitaria. Cioe se d → 0 allora F (d, k) → 4L

πHotteniamo un’onda

solitaria che e di sola traslazione. La soluzione di Stokes tende come limite a taleonda , ma per trattarla comunemente si preferisce usare un altro approccio.

29 il secondo coseno ha argomento doppio del primo 0 → 20 = 0 ... π → 2π

30 zf =πH2

4Lvalore gia trovato con la teoria dell’onda trocoide

0.13. LEZIONE 11 81

0.13 Lezione 11

Si considerino le onde di ampiezza finita. Le soluzioni al primo ordine e secondoordine secondo Stokes valgono:

η =

IordineH

2cos(kx− σt)

IIordine =πH2

8L

Ch(kd)

Sh3(kd)[2 + Ch(2kd)] cos(2kx− 2σt)

∆ =πH2

8L

Ch(kd)

Sh3(kd)[2 + Ch(2kd)]

(242)

Costruiamo il livello η sommando alla parte sinusoidale un termine aggiuntivo.L’aggiunta di ∆ e legata a 2θ = 2(kx− σt) e tenendo conto che η = ... + ∆cos(2θ) epossibile ricostruire il “livello medio ” zf tenendo conto che:

ηmax =H

2+ ∆ → θ = 0

ηmin = −H

2+ ∆ → θ = π

(243)

Allora il livello del medio mare e dato da ∆ rispetto a z = 0. L’asse zf e diequilibrio delle masse ed e quello assunto da Stokes. In acque profonde e possibile

confondere Ch(kd) = Sh(kd) =ekd

2per cui cui il termine 2 + Ch(2kd) =

e2kd

2,

Sh3(2kd) =e3kd

2,

Quindi e possibile valutare il termine F (d, k) come segue:

F (d, k) =

ekd

2

e2kd

2e3kd

8

= 2 (244)

In acque profonde e possibile valutare il termine ∆ come segue:

∆o =πH2

o

4Lo(245)

E necessario ora valutare la celerita e la lunghezza d’onda per onde di ordinesuperiore.31

31 Il periodo e sempre invariante !Inoltre Ψ e un termine correttivo.


T = costante

c =L

T= coTh(kd)Ψ

L = LoTh(kd)Ψ

(246)

Con l’approssimazione del secondo ordine Ψ = 1, cioe la teoria rimane quellalineare. Solo dal terzo ordine in poi si introduce una correzione data da:

Ψ = 1 +[πH

L

]2 5 + 2Ch(2kd) + 2Ch2(2kd)

8Sh2(kd)(247)

Se si assume per buona una valutazione al secondo ordine, la celerita e la lunghezzad’onda sono medesime a quelle ricavate per onde di piccola ampiezza. In particolarein mare profondo esse valgono:

co =gT

2π

Lo =gT 2

2π

(248)

Le velocita delle particelle, ponendo θ = kx− σt, valgono:

u = −∂φ

∂x= c

πH

L

Ch[k(d + z)]

Sh[k(d)]cos(2θ) + c

3

4

[πH

L

]2 Ch[2k(d + z)]

Sh4[k(d)]sin(θ)

w = −∂φ

∂z= c

πH

L

Sh[k(d + z)]

Sh[k(d)]cos(2θ) + c

3

4

[πH

L

]2 Sh[2k(d + z)]

Sh4[k(d)]sin(θ)

θ = kx− σt = 2π[x

L− t

T

]

(249)

Sono le velocita fino al secondo ordine. Se si vuole ricavare le traiettoria non epiu possibile approssimare la traiettoria facendo riferimento ad un z = cost, infatti laposizione media cambia istante per istante. E necessario integrare in t ”inseguendo”le particelle. La soluzione a questo problema e stata ottenuta da Dean-Eagleson.

X = −H

2

Ch[k(d + z)]

Sh[k(d)]sin(θ) +

H

8

πH

L

1

Sh2(kd)

[1− 3

8

Ch[2k(d + z)]

Sh2[k(d)]

]sin(2θ)

+[πH

L

]2 Ch[2k(d + z)]

Sh2(kd)

ct

2

Z = −H

2

Ch[k(d + z)]

Sh[k(d)]cos(θ) +

3H

16

πH

L

Sh[2k(d + z)]

Sh4[k(d)cos(2θ)

(250)Quindi bisogna ricordare che rispetto alla parte del primo ordine si ha un ter-

mine aggiuntivo relativo al secondo ordine che dipende dalla ripidita, da due volte

0.13. LEZIONE 11 83

la fase θ ; inoltre compare il termine di deriva dato da +[πH

L

]2 Ch[2k(d + z)]

Sh2(kd)

ct

2,

cioe un moto ondoso di trascinamento nel verso delle onde che non e periodico. In-seguendo le particelle valutiamo lo spostamento orizzontale dopo un periodo ∆x =

+[πH

L

]2 Ch[2k(d + z)]

Sh2(kd)

cT

2; di conserva si ha un tasso di avanzamento su un periodo

(dal primo ordine non ho contributo perche periodico ). Quindi possiamo definire una

velocita di deriva data da vd = +[πH

L

]2 Ch[2k(d + z)]

Sh2(kd)

c

2;

Quidi la particella al passaggio dell’onda segue una traiettoria e alla fine si ritrovaspostata di ∆x. La traiettoria non si chiude, quindi il moto complessivo e una sortadi molla o elica composta da un moto di deriva ed un’orbita ellittica (moto elicoidale).

Figura 26: traiettoria di una particella secondo la teoria di Stookes.

Correnti di deriva: nascono come effetto secondario del moto ondoso. Se tale correntesi dirige verso un fondo chiuso, essa comporta un aumento di massa al fondo con ge-nerazione di correnti di ritorno per riequilibrare il bacino. Si genera un innalzamentodel livello di equilibrio della massa. Vediamo la pressione.

p = ρ∂φ

∂t− ρgz (251)

p = ρgH

2

Ch[k(d + z)]

Ch(kd)cos(θ)− ρgz

+3

8ρg

πH2

L

Th(kd)

Sh2(kd)

[Ch[2k(d + z)]

Sh2(kd)− 1

3

]cos(2θ)

−1

8ρg

πH2

L

Th(kd)

Sh2(kd)[Ch[2k(d + z)]− 1] cos(2θ)

(252)

Rispetto alla soluzione del primo ordine c’e un altro termine periodico con periododimezzato (armonica superiore) ed una correzione al termine idrostatico che tende adiminuire. Sul fondo invece siamo in condizioni idrostatiche.OSSERVAZIONE: la teoria del secondo ordine mette in evidenza l’esistenza di diversifenomeni, come il moto di deriva, che la teoria del primo ordine non considerava.


0.13.1 ONDA SOLITARIA

Si consideri un canale , l’onda si presenta come una singola ondulazione che procedeposizionandosi tutta sopra il livello di acqua ferma. La celerita c e costante e laforma rimane inalterata nel tempo. Essendo una singola onda perdono di significatoi termini periodici T,L; non servono piu per trattare un fenomeno di questo tipo. Ladescrizione avviene solo in termini di H e d . L’andamento del profilo dell’onda vale:

η = HSech2

√3H

4d3(x− ct)

(253)

dove Sech(x) = Ch(x)−1

Figura 27: Onda solitaria, si osservino le traiettorie delle particelle al

passaggio dell’onda.

Ricordiamo che η e la parte che da l’innalzamento del profilo cioe siamo nel culminedell’onda. Tale onda parte a t = 0 per x = 0. Se ci si muove secondo la legge x = ctallora, e come se si fosse sulla cresta dell’onda. Il volume dell’onda e dato da:

V =∫ ∞

−∞ηdx =

√16

3d3H (254)

Il termine H puo raggiungere livelli paragonabili con d . Per questo non si riesce adare una valutazione teorica a c, in quanto non e un’onda di piccola ampiezza e nonpuo essere studiata correttamente con le soluzioni ai vari ordini di Stookes. Misuresperimentali [1, p. 123] determinano c come segue:

c =√

g(d + H) (255)

Vediamo ora le traiettoria delle particelle al di sotto dell’onda. Una particella sulfondo percorre un tratto piu breve di una particella sulla cresta dell’onda; allora e

0.13. LEZIONE 11 85

possibile definire una serie di traiettorie con curvatura piu accentuata salendo versola cresta. Quindi c’e uno spostamento di massa al passaggio dell’onda accentuandola deriva orizzontale che era presente della teoria del secondo ordine di Stokes. Levelocita valgono:

u = cN1 + cos(Mk(z + d)/d)Ch(Mx/d)

[cos(Mk(z + d)/d) + Ch(Mx/d)]2

w = cNsin(Mk(z + d)/d)Sh(Mx/d)

[cos(Mk(z + d)/d) + Ch(Mx/d)]2

(256)

Si noti che sul fondo z = 0 → sin(0) = 0 la componente verticale della velo-cita e nulla. M, N si ricavano da abachi in funzione del rapporto H/d . Il limite di

frangimento e stato ricavato perH

d≈ .78. Questo valore e stato ottenuto sperimen-

talmente, ma si puo ricavare da un punto di vista teorico andando a valutare umax,cioe sulla cresta dell’onda quindi t = x = 0:

umax = cN [1 + cos(M(z + d)/d)]−1

umax

c= N [1 + cos(M [d + H ]/d)]−1 = 1

(257)

32

Dalla risoluzione di questa si ricava il valore limite perH

d.

32 in condizione di frangimento c = umax


0.14 Lezione 12

Con la formulazione di Stokes al di sotto di una certa profondita, l’onda tende acrescere, ma questo comportamento dipende fondamentalmenre dalla formulazione,da cui il passaggio alla teoria dell’onda solitaria. Tra la teoria del secondo ordine diStokes e l’onda solitaria c’e un livello di transizione per onde che hanno un aspettodi treno d’onda ma sono onde lunghe. Essendo, comunque H=d ed H << L; cioe sufondali bassi ma con onde molto lunghe. In casi di questo tipo, Keulegan-Pattersondefiniscono una teoria costituita da equazioni differenziali che tengono conto di η , edi u

∂2η

∂t2= c2 ∂2η

∂x2

∂2u

∂t2= c2∂2u

∂x2

(258)

Otteniamo una soluzione nota .... teoria delle onde cnoidali che si interpongonotra Stokes e l’onda solitaria si veda figura 22. Definizione di Coseno ellittico Cn:

u =∫ ψ

0

dθ

[1−msin2(θ)]12

Cn(u|m) = cos( ψ )

(259)

Si ottiene per via ricorsiva. La forma di un’onda cnoidale e data da:

η = −a + HC2n

√

3

4

a + α

d3(x− ct);

√H

a + α

(260)

Figura 28: Schema di onda cnoidale.

Dove a e la depressione massima sul livello di equilibrio delle masse, α e il para-metro di normalizzazione (non ha significato fisico per l’onda ed ha le dimensioni diuna lunghezza); la celerita di tale onda vale:

0.14. LEZIONE 12 87

c2 = gd[1 +

H − a

d

] [1−

a

d

] [1 +

α

d

](261)

I campi di validita si valutano mediante un diagramma allegato in funzione del

parametro adimensionaleH

gT 2, e

d

gT 2, (gT 2 e un parametro noto a priori). Nella

zona in basso destra vale la teoria di Airy, che va bene per mari abbastanza profondie per onde non troppo alte, inoltre per una piccola porzione triangolare, anche per le

acque basse. La delimitazione e data da una retta empirica di espressioneL2H

d3= 26

La linea che inviluppa l’area scura e il limite del frangimento e a sinistra c’e il limiteper l’onda solitaria:

Ho

Lo=

1

πH

d= 0.78

(262)

La teoria cnoidale e nella zona colorata sovrapponendosi alla teoria del secondo,terzo, quarto ordine di Stokes. La teoria dell’onda solitaria e nella zona di mezzo traL2H

d3= 26 ed

H

d= 0.78 La celerita risente della profondita quando d < L/2 risulta:

c = coTh(kd) (263)

0.14.1 Trasformazione delle onde.

Vediamo ora cosa succede ad un’onda che si muove su un paraggio costituito da unfondale a scalino:

Si puo osservare che l’onda di lunghezza L1, una volta passato lo scalino tendediminuire la lunghezza fino a L2 . Si puo scrivere:

d

Lo=

d

LTh

[2π

d

L

]

kod = kdTh

[2π

d

L

] (264)

Dal seguente sistema possiamo ricavare k1 ed k2

kod1 = k1d1Th

[2π

d1

L

]

kod2 = k2d2dTh

[2π

d2

L

] (265)

Poiche per acque basse Th(x) ≈ x allora k2 =ko

d


Figura 29: Variazione del fondale, l’onda varia le sue caratteristiche

(celerita, lunghezza).

Possiamo osservare il comportamento di un’onda quando si porta in prossimita diuno scalino con un certo angolo di incidenza:

0.14.2 RIFRAZIONE DELLE ONDE

Ogni fenomeno “ondulatorio” che nel suo propagarsi incontra variazioni fisico e geo-metriche del mezzo (dominio in cui si propaga) subisce delle deviazioni. Per un’ondaintesa come perturbazione della superficie liquida la variazione del mezzo e legata allavariazione della battimetria. Ad esempio in un intervallo di tempo t pari al periodo ,l’onda procede di L1 (partendo dal punto B1) e nello stesso periodo un’onda procededi L2 (partendo dal punto A1 che si ritrova sul ciglio della variazione di battimetria).Congiungendo A2 con B2 trovo l’andamento delle creste, ma essendo L2 < L1, talecresta non e parallela, ma tende a ruotare e a disporsi in maniera parallela alle iso-bate, cioe alle linee di eguale profondita. Questo e il fenomeno della rifrazione delleonde per cui i fronti d’onda in prossimita della costa tendono a disporsi parallela-mente al litorale. Quindi oltre alla rotazione del fronte dell’onda, si hanno fenomenidi concentrazione o di allargamento delle linee di energia, (cio porta ad esempio aredistribuzione su un fronte piu ampio, quindi ad una diminuzione dell’energia perunita di superficie). Se pensiamo ad una linea di costa come quella in figura: Neipromontori si ha concentrazione delle linee di moto o di flusso, mentre nelle baie si hauna rarefazione. Quindi nel promontorio si hanno onde alte perche c’e piu energia,mentre in corrispondenza delle baie si ha un moto ondoso piu debole. Di conseguen-za i promotori sono maggiormente esposti. Nelle baie si ha deposizione di materialesolido eroso e costituzione di spiaggie. le ipotesi per la teoria della rifrazione sono:

0.14. LEZIONE 12 89

Figura 30: Fenomeno di rifrazione.

Figura 31: Rifrazione: andamento delle linee di flusso


• l’energia compresa tra due raggi (detti anche linee del moto) sia costante, cioenon ci sia trasmissione di energia in direzione ortogonale ai raggi33

• la direzione dei raggi paralleli a c sia ortogonale alle creste

• la celerita costante e dipendente solo dalla profondita (per un assegnato periodoT dell’onda) ; per le onde di ampizza non piccola tale ipotesi e poco accettabileperche gioca un ruolo importante la ripidita dell’onda

• variazioni del fondo siano graduali

Il calcolo della rifrazione si fa per un’onda di lunghezza assegnata:

• onde monocromatiche, cioe con periodo costante

• si trascuri l’effetto delle correnti, del vento e delle riflessioni da parte del con-torno rigido

• si consideri il fondo fisso

In un certo senso queste ipotesi costringono a lavorare con onde di piccola ampiez-

za. Se d/L > 1/2 il fenomeno della rifrazione non si instaura; in questo caso co =gT

2π.

Per d/L < 1/20 cioe per acque basse la celerita vale c =√

gd, mentre nelle acque ditransizione invece c = coTh(kd). Fra due raggi c’e un flusso di energia in direzioneparallela ai raggi stessi (perche per ipotesi non c’e trasmissione ortogonale); esso vale:

Po = Eonocobo

Eo = γH2

o

8= Ec + Ep = γ

H2o

16+ γ

H2o

16

no =1

2

(266)

In altre acque il flusso di energia vale P = Encb, nell’ipotesi di Rayleigh dovrarimanere costante Eonocobo = P = Encb. Il rapporto delle energie origina la seguenteidentita:

E

Eo=

no

n

co

c

bo

b(267)

Il termine

√no

n

co

ce responsabile della variazione di altezza per un’onda che viaggia

perpendicolarmente alle isobate, e detto Ks, coefficiente di approdo o di Shoaling;vale:

Ks =

[(1 +

2kd

sh(2kd)

)Th(kd)

]− 12

(268)

33 Questa ipotesi e stata fatta per la prima volta da Lord Rayleigh.

0.14. LEZIONE 12 91

Il fenomeno di Shooling e presente anche quando non c’e rifrazione, la rifrazione dipen-

de dal rapporto Kr =

√b

bo. Il coefficiente di rifrazione non ha una sua formulazione

ma dipende in generale dalla geometria dei fondali esistenti. Allora bisogna eseguireun rilievo batimetrico del paraggio, conoscere le caratteristiche delle onde al largo eprocedere con procedimenti grafici o preferibilmente di tipo numerico.

Procedimento grafico. Si tracciano i raggi d’onda determinandoi valori di b e bo

. Data un’onda di periodo T, cioe monocromatica, si ricava Lo =gT 2

2πlunghezza

Figura 32: Determinazione delle linee di flusso.

d’onda (mare profondo). La profondita limite vale do =Lo

2oltre la quale l’onda non

risente del fondo. Dalle batimetriche esistenti (carte nautiche) ci si ricostruisce unalinea corrispondente alla profondita do ; si assegna poi una direzione ai raggi d’onda.Non conviene tenere conto di tutte le misurazioni ma conviene definire una batimetriamedia. Tracciato il raggio e riportato ortogonalmente il fronte, si definisce l’angoloβ; usando la legge di Snell:

sin(β)

c= costante (269)

Se le batimetriche sono abbastanza rade, e necessario utilizzare la legge di Snellipotizzando di localizzare la deviazione in prossimita dell’isobata.


0.14.3 Esempio

Sia una costa rettilinea con le batimetriche parallele ed equidistanziate. Si prenda il

Figura 33: Schema di calcolo semplificato per la valutazione delladiffrazione, quando le isobate sono parallele.

punto A sulla batimetrica di profondita limite do; si individua poi un punto B sullabatimetrica di profondita d, non interessa dove e localizzato ma l’inclinazione delfronte passante per B. Nel punto B la celerita e nota poiche vale:

c = coTh(kd) (270)

avendo calcolato k da kod = kdTh(kd) posiamo ricavare β = arcsin[

c

cosin(βo)

]

Poiche che le isobate sono parallele, segue che i raggi sono tra loro paralleli nel trattotra do e d. Data la soggettivita della dimensione di bo possiamo determinarla inmaniera tale che la sua proiezione sull’isobata do sia unitaria:

AA′ = bo

bo =1

cos(βo)(271)

A’ si muove verso A”, e poi verso un punto B” sulla direttrice d. Si individua B’dall’intersezione della line di cresta passante per B; a meno di un errore trascurabile(e un errore del II ordine) si puo verificare che:

AA′′ = BB′′

bo = AA′′cos(βo)b = BB′′cos(β) ≈ BB′

(272)

da cui:b

bo=

cos(β)

cos(βo)(273)

0.14. LEZIONE 12 93

quindi

K2r =

b

bo=

cos(β)

cos(βo)(274)

Fenomeni

RiflessioneRifrazioneDiffrazioneShoolingFrangimentoRisonanzaRun− up

(275)


0.15 Lezione 13

Si vuole ora calcolare il coefficiente di rifrazione ricordando che

H

Ho=

√E

Eo=

[(1 +

2kd

Sh(2kd)

)Th(kd)

]− 12

√bo

b(276)

dove:

E = γH2

8

Ks =

[(1 +

2kd

Sh(2kd)

)Th(kd)

]− 12

Kr =

√b

bo

Kfp =

√Pb

Pobo

(277)

0.15.1 Rifrazione su coste di forma composita

Procedimento grafico, noto come metodo delle orto-gonali.

Si realizza una tabella 9 in cui si dispongono in funzione delle profondita delle iso-bate alcune grandezze. Si consideri un’onda monocromatica, quindi e noto il periodo

T, a cui corrisponde una lunghezza d’onda Lo =gT 2

2π. Supponiamo di avere due

Tabella 9: Esempio di determinazione dei valorici+1

ci

d(m)d

Lo

c

co= Th(kd)

ci

ci+1

ci+1

ci

5 0.0321 0.4333 1.37 0.7310 0.0641 0.5914 1.18 0.8515 0.0962 0.6982 1.11 0.9020 0.1282 0.7763

isobate, sia nota la quota del primo punto A e si vuole arrivare all’altro B. Tra unacurva e l’altra possiamo pensare ad una interpolazione lineare che faccia passare daun’isobata all’altra. Allora tracciata l’isobata media prolunghiamo il raggio fino adintersecarle (media e finale) .Nel punto di intersezione tracciamo la tangente all’isobata media. Si dispone il “nor-mografo” allegato con centro per c2/c1 = 1 nel punto P ,cosı si trova il punto O. Poi

0.15. LEZIONE 13 95

Figura 34: Individuazione dell’isobata media e del punto O, polo di

rotazione del regolo stesso.

si ruota il normografo fino a quando l’intersezione tra la tangente e l’asse del “nor-mografo” non individua il rapporto c2/c1 sull’asse del normografo. In questo modosi determina la direzione del raggio uscente data dalla normale dell’asse del regolopassante per c2/c1 = 1. Per individuare B si sposta poi il raggio uscente parallelo a

Figura 35: Individuazione della direzione mediante rotazione del regolo,finche l’intersezione tra la tangente e l’asse del regolo individuano il valoreci

ci+1.

se stesso fino a che il segmento AP ′ diventa uguale a P ′B. Trovato B si procede conla successiva isobata. Il raggio viene poi regolarizzato ricavato la tangente in A e in B.E necessario poi calcolare ci+1/ci, quando di+1 > di, procedendo verso riva. Se inveceprocedendo verso riva si trova un banco, cioe di < di+1 , allora e necessario usarela colonna ci/ci+1. Questo procedimento si puo applicare per angoli di deviazionecontenuti α < 7.5.


Figura 36: Individuazione del punto B affinche AP1 = P1B.

0.15.2 Rifrazione su coste di forma composita

Metodo R/J

Si considerano due isobate ed il raggio (linea di moto) abbia una sua inclinazionerispetto le isobate (ad esempio decrescenti). Definito con J la distanza tra le dueisobate, con R il passo di discretizzazione (scelto arbitrariamente) lungo l’isobata. Dal

diagramma allegato in funzione del rapportoci+1

ci(ci+1

ci< 1 per isobate decrescenti)

e R/J ricaviamo α. Costruire una linea di moto diventa una serie di soluzioni ripetive,

ricordando che l’angolo di rotazione si applica al centro del passo. Il rapportoci+1

cie

dato da:ci+1

ci=

Th(ki+1di+1)

Th(kidi)(278)

La precedente espressione e costante su tutto l’intervallo tra le due isobate. Dal dia-

Figura 37: Metodo R/J.

0.16. DIFFRAZIONE 97

gramma si ricava un primo angolo di α, un secondo angolo e cosı via fino quando nonsi esce dal dominio individuato dalle sue isobate. Ricordiamo che R/J e noto, inoltreJ e misurato a R/2 ,dove R e il passo lungo l’isobata ricordiamo scelto arbitriamente.Il metodo R/J non ha nessuna limitazione sul valore di deviazione α a differenza delmetodo delle ortogonali.

0.16 DIFFRAZIONE

Si definisce genericamente diffrazione il processo che conduce alla esistenza di un motoondoso nella zona d’ombra a valle di un ostacolo, di dimensioni finite, che intercettaun treno d’onde incidenti. Si consideri un fronte d ’onda di caratteristiche date (L,c)che si muove contro una barriera costituita da un semipiano immerso nel mezzo. Leonde che non incontrano la barriera continuano il loro moto senza che le loro carat-teristiche iniziali siano mutate, mentre le altre subiscono una riflessione. Nella parteretrostante alla barriera si ha una redistribuzione energetica che crea delle ondulazio-ni, esse tendono ad aggirare l’ostacolo. Si nota che nelle zone lontane dall’ostacolo la

Figura 38: Esempio di diffrazione con ostacoli di dimensioni finite.

lunghezza d’onda non varia, quindic’e conservazione di energia. Avvicinandosi inveceall’ostacolo si ha una diminuzione dell’altezza dell’onda per effetto della diffrazione.Nell’intersezione si possono avere cuspidi perche le onde si sovrappongono. I raggid’onda sono tutti “deviati” per effetto della redistribuzione dell’energia su un frontepiu ampio. Per la modellazione si e ricorsi all’analogia ottica, cioe alla relazione diSommerfield della luce al bordo di uno schermo.Ipotesi per lo studio della diffrazione.

• 1. Il fluido sia ideale (non viscoso)


• 2. il moto sia irrotazionale (inizialmente esso e gia in uno stato irrotazionale) equindi sia certa l’esistenza di un potenziale di velocita tale che soddisfi ∆φ = 0

• 3. Le onde siano di ampiezza infinitesima (per ricadere all’interno della teorialineare delle onde);

• 4. La profondita sia costante, si consideri dunque sono la diffrazione. (evitiamocosı anche la sovrapposizione del fenomenp della rifrazione)

La soluzione puo essere scritta in forma complessa:

η =

(Hik

c

g

)eikctCh(kd)F (r, θ) (279)

Figura 39: Coordinate angolari rispetto lo spigolo dell’ostacolo.

Della soluzione complessa la parte che si mantiene e solo quella reale! La funzioneF (r, θ) si determina mediante la seguente equazione differenziale 34:

∂2F

∂r2+

1

r2

∂2F

∂θ2+ K2F = 0 (280)

KD = |F (r, θ)| e il parametro dell’attenuazione dell’altezza d’onda difratta; e daapplicarsi all’onda che incide sullo schermo o barriera. I fenomeni di diffrazione chehanno un certo interesse sono quelli che si generano nei bacini portuali, anche quandosi ha la presenza del fenomeno della diffrazione.

Con riferimento alla figura 40 in B si hanno onde piu basse che in A, perche c’etrasferimento di energia lateralmente alle line di moto. Tracciata la linea di motoper il punto P, si individua cosı una zona governata solo da effetti di rifrazione (zonaA). Nella zona B, di dimensioni 3− 4 L, possiamo tracciare gli andamenti dei profilid’onda nella regione soggetta a diffrazione ipotizzando che la zona esaminata sia aprofondita costante . Nella zona C abbiamo la “sovrapposizione” di tre fenomenirifrazione-approdo-diffrazione. L’andamento dell’onda nelle varie zone si valuta comesegue:

34 L’equazione 280 e l’equazione di Helmoltz scritta in coordinate polari

0.16. DIFFRAZIONE 99

Figura 40: Diffrazione generata da una barriera.

HA

Ho= KsKr

HB

Ho= KD(r, θ)

HC

Ho= KD(4L, θ)KsKr

(281)

Va segnalato che sulla costa (zona C) l’attenuazione dell’ampiezza dell’onda e rile-vante.


0.17 lezione 14

0.17.1 Metodi approssimati per il calcolo dell’onda diffratta.

Tenendo conto che il periodo T e costante e che lavoriamo a profondita d costantesegue che c ed L sono costanti. L’onda mantiene le caratteristiche di oscillazionedell’onda incidente. Cio che cambia e solo l’ampiezza dell’onda

η =h

2cos(kx− σt) (282)

dove h e l’ampiezza dell’onda diffratta h < H (se rifrazione semplice). E necessa-rio valutare il tasso di smorzamento dell’onda diffratta rispetto a quella incidente.Utilizzando l’equazione di Stevenson:

h

H=

√b

B− r

14

50

1 +

√b

B

B = βr

(283)

Figura 41: Schema di riferimento per applicare l’equazione 283.

Quindi basta definire l’angolo di apertura della bocca portuale e dare la distanzar, e ricordando che B = βr, sfruttando l’equazione 283 si e in grado di valutarel’attenuazione a distanza r la quale risulta medsima per tutti i punti che giacciono suuna circoferenza. E un metodo approssimato poiche la direzione dell’onda incidentee ininfluente. Nei bacini portuali sono tollerate al massimo altezze d’onda di 50 cm.Tale formulazione definisce in prima approssimazione il campo di utilizzo del porto

0.17. LEZIONE 14 101

da parte di navi da carico e scarico.Un altro metodo e quello basato sulla costruzione proposta dal Larras. A distanzainfinita l’altezza d’onda risulta essere:

h∞ = mH

m =1

πarccotg

8α

π=

1

2− 1

πarctg

8α

π

(284)

Dove m e detto coefficiente di attenuazione, H e l’altezza dell’onda incidente. Per quel

Figura 42: Schema per la determinazione della diffrazione secondo Larras.

che riguarda la determinazione di α si opera nella seguente maniera: si congiungonoi due punti P e B evidenziati in figura 42; presa in considerazione la linea ortogonalepassante per B a tale segmento, l’angolo α e individuato dalle rette che rappresentanole creste dell’onda e la retta perpendicolare passante per B.La valutazione di h e datadalle relazione 285:

h = (h− h∞)e−4rL + h∞ (285)

All’aumentare di r h diminuisce, ma non c’e alcuna inclinazione che la annulli; nelcaso di r →∞ si veda figura 43:

Figura 43: Andamento di h in funzione di r.


Si riesce tenere conto anche della direzione dell’onda mediante la seguente rela-zione:

h

H= m + (1−m)e−

4rL (286)

Tutto questo vale per un solo molo. Si puo tuttavia estendere la formulazione diLarras, in analogia a quella di Stevenson; nel caso di una bocca portuale. Invece lo

Figura 44: Schema diffrazione bocca portuale. Per Stevenson abbiamocreste circolari.

“Chapon” considera tracce ellittiche con fuochi alle estremita delle barriere. Il metododi Larras e approssimato ma consente di fare delle valutazioni in base alla direzionedelle onde. Un altro metodo che trae origine dall’ottica ondulatoria ed e dovutoa Lacombe. Esso e riferito ad una bocca portuale (per l’ottica e la diffrazione daun foro). Valutiamo l’effetto della diffrazione in un punto P. Si traccino le parallelealle creste d’onda passanti per A e B e si valutino le distanze PA, PB, PA1, PB1.Defininendo le seguenti quantita adimensionali:

ρA = 2

√|PA− PA1|

L

ρB = 2

√|PB − PB1|

L

(287)

Si utilizzano dei diagrammi graduati detti spirali di Cornu. Sono graduate ed al puntofinale e assegnato il valore infinito. Si distingue la spirale positiva e negativa , sivaluta la loro reciproca distanza e quella tra i centri delle spirali, quindi:

h

H=

ρA − ρB

ρ∞ − ρ−∞(288)

0.17. LEZIONE 14 103

Figura 45: Schema diffrazione bocca portuale. Per Chapon abbiamocreste che tendono alla forma elittica.

Figura 46: Schema per l’utilizzo della formulazione secondo Lacombe.


Figura 47: Spirali di Cornu.

I testi di ottica danno diverse spirali per diversi angoli incidenza ma le cose differi-scono di poco, noi consideriamo quelle incidenti ortogonalmente. Questo metodo facomparire delle bande di diffrazione non valutabili con i metodi di Larras e Steven-son. Inoltre e possibile avere altezze d’onda rifratta leggermente superiori a quelleincidenti. Esistono anche dei nomogrammi adimensionalizzati in termini di lunghezzad’onda. Ad esempio per una angolo α = 15 assegnato di incidenza, vengono dati gliandamenti delle onde e delle curve ad eguale quota. nella parte centrale, poi zoneh

H< 1, e zone

h

H> 1. Quindi tali nomogrammi forniscono l’andamento della diffra-

zione. E’ piu utile pero utilizzare metodi numerici rispetto a questo di tipo grafico,perche esso puo risultare poco attendibile.

Figura 48: Utilizzo dei normogrammi.

0.17. LEZIONE 14 105

0.17.2 RIFLESSIONENell’ipotesi di dissipazione nulla.

E un fenomeno molto importante per i bacini portuali (quasi pari alla diffrazione).Un’onda che incide su una parete tende riflettere una certa quantita di energia. Sela riflessione avviene all’interno un bacino portuale, l’energia puo venire riflessa piuvolte senza dissipazioni piu di tanto ed avere accumuli di energia. Tale situazione puogenerare agitazioni d’onda nel porto senza avere dissipazione di energia. Quindi lostesso fenomeno si puo vedere in termini di accumulo e di dissipazione di energia. Sidefinisce coefficiente di riflessione:

X =Hr

Hi(289)

Se X = 0 , non si ha completa dissipazione perche la barriera potrebbe essere porosao flessibile, allora si definisce anche il seguente coefficiente di trasmissione:

KT =Ht

Hi(290)

Ad esempio nel colpo d’ariete una certa aliquota di energia viene riflessa e risale latubazione, mentre un’altra aliquota si dissipa per effetti viscosu sulla tubazione. Con-sideriamo ora una barriera verticale impermeabile e rigida (diga foranea). In queste

Figura 49: Schema di diga foranea.

condizioni X = 1 (riflessione perfetta). Utilizzando la teoria lineare alcuni ricerca-tori avevano supposto un legame tra X e la ripidita dell’onda H/L, questo aproccioe fondamentalemente sbagliato; infatti considerando teorie di ordine superiore si edimostrato che si ottiene X = 1, per ogni H/L . Per quanto riguarda l’oscillazione:

η = ηi + ηr =Hi

2cos(kx− σt) +

Hr

2cos(kx + σt + ψ ) (291)

35 E il caso di riflessione ortogonale piana. E possibile “aggirare” l’angolo di fasescegliendo un’opportuna origine tale da avere ψ = 0. Se X = 1 allora:

η =H

2[cos(kx− σt) + cos(kx + σt)] (292)

35kx + σ segno + poiche viaggia in senso opposto


36 quindi:

η =H

2[2cos(kx)cos(σt)] = Hcos(kx)cos(σt) (293)

Si nota che l’escursione massima e 2H, non H. Inoltre esistono degli istanti in cui ilprofilo del mare e completamente orizzontale. Esistono poi dei punti x in cui H = 0,

per ogni t ad esempio x =1

k

(π

2+ nπ

). Questi punti sono di nodi, perche in tali punti

il profilo non varia. Inoltre esistono punti dove l’agitazione e massima x =1

k(nπ);

sono detti antinodi. In tali punti si annulla la derivata del profilo∂η

∂x= 0 . Quindi la

velocita orizzontale e sempre nulla u = 0. Invece nei nodi sara la componente verticalenulla w = 0. Da tali considerazioni sugli antinodi si nota che non c’e trasporto dimassa. Allora e logico ipotizzare che la posizione della barriera rigida si debba trovarein un antinodo. Da un punto di vista geometrico il tutto riportato in figura 50 Nei

Figura 50: Comportamento dei nodi e degli antinodi in un fenomeno diriflessione.

nodi e nella parte sottostante, l’acqua si muove solo orizzontalmente mentre sottogli antinodi si muove solo verticalmente. Nei punti intermedi si hanno sempre motirettilinei ma lungo una direzione inclinata. Esiste poi una particolare onda in ingressoche in un determinato bacino produce fenomeni di risonanza. Si ha quando le duebarriere opposte sono in condizione di antinodo, cioe quando la lunghezza del bacinorisulta essere:

lB =nπ

k= L

n

2(294)

Essendo:

L =gT 2

2πTh

[2πd

L

](295)

Si ottiene una condizione sul periodo che sara il periodo di risonanza di quelbacino:

36 Si ricorda che cos(a + b) = cos(a)sin(b)− cos(b)sin(a)

0.17. LEZIONE 14 107

Figura 51: Bacino chiuso.

T =

4πlB

ngTh

[nπd

lB

]

12

(296)

Quindi al variare di n si ha una serie di periodi di risonanza. Nel caso delle sessesi puo considerare la condizione di acque basse Th(a) = a, allora si puo scrivere:

T =2lB

n√

gd(297)

Per bacini aperti in comunicazione con uno specchio d’acqua se la parete d’ingressocoincide con un nodo e la barriera di fondo con un antinodo, si possono avere rilevantifenomeni di ondulazione. La lunghezza in tale condizione vale:

lB =2n− 1

4L (298)

Figura 52: Bacino aperto.


0.18 lezione 15

0.18.1 RIFLESSIONE

Nel’ipotesi di dissipazione non nulla

Coefficiente di riflessioneX = X1X2 (299)

• X1 dipende dagli elementi costitutivi della spiaggia: scabrezza: aumenta ladissipazione per attrito sul fondo; Permeabilita: aumenta la dissipazione pereffetto dei moti filtranti.Su spiagge impermeabili ( bitumate ad esempio) X1 = 0.8Su spiagge permeabili o con struttura a scalini (che fornisce scabrezza di formain aggiunta quella del materiale) X1 = 0.3÷ 0.6

• X2 legato alle caratteristiche di ripidita dell’onda e alla pendenza della spiaggia.Tali fattori possono valere.

X2 =

[Ho

Lo

]

max

Ho

Lo

(300)

Ho

Loripidita onda incidente in condizioni non disturbata dalla profondita (mare

profondo) va notato che X2 e il coefficiente che si deduce per onde che giungono

ortogonalmente e non rifratte. La ripidita di cut-off[Ho

Lo

]

max

con riferimenti alla

figura 53 vale:37

[Ho

Lo

]

max

=

[2β

π

] 12 sin2β

π(301)

dove β e la pendenza della spiaggia deve risultare quindi:

X2 = min

1;

[Ho

Lo

]

max

Ho

Lo

(302)

Le onde lunghe vengono riflesse dalla spiaggia quando risulta X2 ≈ 1.00 , e riflessecon un tasso X1. Man mano che l’onda diventa corta e ripida, essa tende sempre piu

ad attenuarsi e dissiparsi, perche X2 < 1 (in quantoHo

Loaumenta essendo l’onda piu

ripida).

37 onde piu ripide non vengono riflesse; onde meno ripide invece vengono riflesse

0.18. LEZIONE 15 109

Figura 53: Andamento di

[Ho

Lo

]

maxin funzione di β; va notato che per

0 < β < 10 ho il massimo incremento di

[Ho

Lo

]

max.

0.18.2 FRANGIMENTO

Esso e il fenomeno responsabile della riflessione. Dalla teoria di Gerstner si ottieneun valore di frangimento quando la ripidita vale:

H

L=

1

π(303)

Sperimentalmente le onde frangono per valori molto minori di1

π. Valutando la con-

dizione imposta per il frangimento umax = c, si puo trovare la spiegazione di taleincongruenza. Tale limite produce la condizione di Gerstner solo se si rimane nel-l’ambito delle traiettorie circolari, dove la velocita massima e calcolata per η = 0 ,cioe sul medio mare. Se invece si considera la teoria di Stokes del secondo ordine, sipuo notare che esiste un termine ulteriore umax = uIordine +ucorrettivo che va valutatoper η = H/2 cioe sulla cresta dell’onda. Il risultato e che le onde frangenti si possonopensare come onde solitarie ed si possono studiare con la teoria di Stokes del quartoordine dove:

Ho

Lo≈ 1

7(304)

Questo e il limite di frangimento per mare profondo. Se invece ci si trova in zone dilimitata profondita, come nel caso delle spiaggie, allora il limite di frangimento e datodalla teoria dell’onda solitaria dove:

H(d)

d= 0.78 (305)

Si noti che H = H(d) questo porta dei problemi da un punto di vista compu-tazionale. Allora vengono forniti degli abachi (allegati); si entra con le seguentigrandezze:


• b breaking wave (onda frangente)

• Ho altezza onda al largo in mare profondo

•Ho

Lo= ripidita dell’onda al largo.

• m = tan(β)= pendenza spiaggia.

Questi abchi forniscono un’altezza d’onda al frangimento. Entrando con la ripidita

mediante la curva si ricava il rapportoHb

Ho. Si nota che solo per ripidita elevate al

largo e per spiagge poco pendenti (1 : 50) , si ha cheHb

Ho= 1, cioe al frangimento si

ha la stessa altezza dell’onda al largo.

Figura 54: Fasi del frangimento.

Tipologie del frangimento.

• Spilling : formazione di un ricciolo d’acqua in prossimita della cresta; l’ondarimane compatta.

• Plunging-Collapsing: parte dell’onda tende a scivolare rispetto la sagoma del-l’onda, si ha il collasso dell’onda con getto d’acqua al di fuori della sagoma.

• Surging: si presenta come un’onda completamente turbolenta: l’onda presentatutta una struttura schiumosa.

Nel secondo diagramma deve essere gia noto Hb, e in funzione di m si ricava il

rapportodb

Hb, cioe la profondita db in cui inizia il frangimento. Si nota che per spiagge

poco pendenti, si hanno le massime profondita db , mentre esse sono piu contenute

per spiagge molto pendenti. Esistono delle espressioni analitiche del rapportoHb

Honote come relazioni di Miche:

0.18. LEZIONE 15 111

Hb

Ho=

1

3.3[Ho

Lo

](1/3)

db

Hb= 1.28

db

Hb=

1

b− aHb

gT 2

(306)

db

Hbe funzione della pendenza della spiaggia poiche:

m = tn(β)a = 43.75(1− e19 m)

b =1.56

1 + e19.5 m

(307)

Sono espressioni di approssimazione dei grafici allegati.

0.18.3 Previsione delle onde di progetto

E necessario prevedere come si formano le onde e valutare d’azione del vento. Daun punto di vista ingegneristico, per determinare le dimensioni di una certa operamarittima, occorre conoscere un’altezza d’onda su cui basarsi. Avendo tempo a di-sposizione si puo andare in situ e realizzare una statistica di questo valore. Pero lostrumento fornisce le fluttuazioni di marea e ci sono pochi strumenti che misurano H.Per avere dei dati di progetto in breve tempo si utilizzano le misure meteorologiche:Direzione ed intensita del vento; Carte sinottiche. E tramite dei modelli si definisced’altezza d’onda.

STRUMENTI DI MISURA

Essi sono classificati a seconda della variabile che misurano

• a) di livello;

• b) di lunghezza d’onda

• c) di velocita

• d) di qualita dell’acqua di mare

• e) di valutazione delle sollecitazioni su costruzioni

Strumenti


1. Asta zavorrata di FroudeE un’asta galleggiante che porta al piede un peso, in modo da essere debolmentegalleggiante, in equilibrio stabile rispetto alla spinta di Archimede (il baricentrosotto il centro di spinta ). Grazie alla delicatezza del galleggiamento e all’inerziadella massa della zavorra, l’asta non risente del movimento del mare: mediantele tacche graduate allora, si possono misurare i dislivelli.. E uno strumentoabbastanza preciso ma risente delle variazioni di densita del’acqua di mare,inoltre e a lettura visiva.

2. A galleggianteHanno forme particolari in modo da risentire di piccole escursioni: si arriva aduna tolleranza di 1-2 cm, perche prevalgono i fenomeni inerziali. Va benissimocome mareografo pero in tal caso si posiziona in bracci di mare tranquilli; ilgalleggiante poi, viene messo dentro un tubo e infilato in mare attraverso unpozzetto. L’acqua deve infatti passare attraverso dei fori; lo strumento risentequindi in maniera minore delle oscillazioni. Se e piccolo, la variazione di livelloe quasi nulla, perche risente poco delle variuazioni dei livelli.

3. A sonde resistive capacitiveUn filo percorso da corrente viene immerso nell’acqua ed a seconda della pro-fondita di immersione scarica piu o meno corrente.

4. Trasduttori di pressioneVanno bene per onde monocromatiche ma non per quelle complesse. La pres-sione da’ indicazione del livello ed legata al periodo di oscillazione dell’onda.

5. Ad ultrasuoniNon necessitano di collegamento diretto con l’acqua. Lo strumento emette unsuono ed a seconda del tempo di ritorno dell’onda esso misura l’ altezza. Possonoavere dei problemi per le onde frangenti o per quelle troppo ripide. Inoltrepossono essere influenzati dalla pressione dell’aria (o meglio della temperatura)e dal vento.

6. Boe galleggiantiMisurano le accelerazioni e, se sono abbastanza precise, si risale per integrazionealle velocita ed agli spostamenti. Non ha problemi di installazione (si butta amare e la si va a riprendere piu tardi).

7. Foto aereePermettono le misure delle lunghezza d’onda perche si misurano sulle foto ledistanze delle creste d’onda.

8. Tre misure di livello sincronizzato (tre boe non allineate)Permettono di valutare la lunghezza dell’onda.

0.18. LEZIONE 15 113

9. MulinelliI mulinelli sono disposti sotto le boe a diversa profondita per misurare le velocitaorizzontali.

10. Ci sono diversi tipi di campionatori (qualita acqua mare).

• Manuali: tipo una bottiglia aperta immersa nell’acqua che poi tramitechiusure rapide realizza il campione: Pero il campionamento puo dipenderedalla rapidita della chiusura.

11. Straingagepermettono la misura su strutture delle sollecitazioni dovute all’azione del mare.


0.19 lezione 16

0.19.1 GENESI E DECADIMENTO DI UN CAMPO D’ON-

DE

E possibile considerare il fenomeno di genesi e decadimento come bidimensionale,ricordando che l’eventuale accumulo e dissipazione di energia avvengono lungo unadirezione preferenziale. Inoltre i fenomeni hanno diversa intensita a seconda dellafrequenza delle onde stesse. Per spiegare il fenomeno di accumulo fino alla dissipa-zione, possiamo schematizzare un flusso d’energia che avviene nell’atmosfera (energiacinetica del vento) e passare poi agli effetti che provoca tale flusso nell’idrosfera. Lacelerita del flusso e la celerita di gruppo delle onde cg = nc; ricodiamo che in mare

aperto n vale1

2. In mare aperto tale trasferimento di energia avviene essenzialmente

senza dissipazione. La vera dissipazione si ha quando lo scambio avviene in zone dilimitata profondita. Qui le dissipazioni possono aversi per:

• 1. Attriti al fondo o sulle pareti;

• 2. Turbolenza e viscosita interna;

• 3. Frangimento (genera miscela di aria ed acqua, e il carattere turbolentodiventa rilevante) ed il lavoro di spostamento dei sedimenti.

Vediamo ora gli aspetti fenomenologici della genesi delle onde. Sperimentalmentesi vede che l’entita del flusso e maggiore quando:

• 1. Quanto piu grande e l’energia gia presente alla data frequenza (trasferimentopiu efficace)

• 2. Per alte frequenze (bassi periodi d’onda);

• 3. Quando la componente di velocita del vento in direzione del campo d’ondae molto vicina alla celerita dell’onda (Vvento ≈ c)

Da quest’ultima condizione notiamo che se il vento si mantiene a lungo in taledirezione, esso tende a portare la celerita dell’onda ad una velocita pari a quella delvento. La velocita del vento produce due campi di moto diagonali quando il mare eancora calmo figura 55.Tale fenomeno si dissipa rapidamente per opera del frangimento ed il moto si portanella direzione del vento stesso. Questo comportamento e profondamente legato allaregione dove avviene la generazione del vento. Le onde create sono ad alta frequenzae piccola lunghezza d’onda ma durano poco per trasformarsi in onde a frequenzapiu bassa. Alta frequenza significa bassa celerita, allora il vento tende a romperle esovrapporle in modo da creare onde a celerita maggiore e quindi la lunghezza d’onda

0.19. LEZIONE 16 115

Figura 55: Campi diagonali creati dal vento.

aumenta. Nel campo d’onda generato dal vento si hanno diversi periodi; quindi

co =gT

2πe Lo =

gT 2

2π. Una volta terminato il vento c’e una autoselezione delle onde:

• Le onde lunghe tendono ad espandersi, quindi diminuisce la densita di energia

• Avviene poi una auto-selezione delle frequenze.

Quindi con un mare non ancora agitato le onde lunghe si allontana dalla zona digenerazione e si dissipano, mentre quelle corte si stanno ancora generando.

0.19.2 Meccanismo di genesi delle onde

Esistono diverse formulazioni per spiegare la genesi delle onde (Helmotz,Klein,Lamb).Si considri una fase iniziale con due fluidi a diversa portata specifica ρ~v ma nellamedesima direzione. Dopo un certo periodo si e in condizione permanente si saraformata una superficie di ondulazione (essa si muove con celerita c). Nell’ipotesi che

Figura 56: Schema secondo il modello Helmotz-Klein.

le ondulazioni siano di ampiezza infinitesima possiamo utlizzare l’equazione ottenutada Helmotz la quale lega le varie grandezze alle celerita con cui si muove l’ondulazione:

ρ1(u1 − c)2 + ρ2(u2 − c)2 =g

k(ρ2 − ρ1) (308)


Klein perviene alla medesima equazione proponendo pero alcune osservazioni inte-ressanti. Ad esempio se i fluidi si muovono con la stessa velocita, cioe ponendou1 = u2 ≈ 0.. Espicitando c dall’equazione 308 si ottiene:

c2u=0 =

g

k

ρ2 − ρ1

ρ2 + ρ1=

g

k

1− ρ2/ρ1

1 + ρ2/ρ1(309)

Nel caso che i due fluidi siano aria ed acqua si ha co =

√g

kinfatti

ρ2

ρ1= 1.3 ∗ 10−3.

Tale soluzione e analoga a quella ricavata nell’ipotesi di onde di piccola ampiezza inacque profonde. Se esplicitiamo c direttamente dall’equazione 308 otteniamo:

c =u2ρ2 + u1ρ1

ρ2 + ρ1±

√g

k

ρ2 − ρ1

ρ2 + ρ1−

ρ1ρ2

(ρ1 + ρ2)2(u2 − u1)2 (310)

definendo c = u ± c dove:

u =ρ1u1 + ρ2u2

ρ1 + ρ2(311)

dove u velocita risulta essere media pesata in funzione della densita.

c =

√c2u=0 −

ρ1ρ2

(ρ1 + ρ2)2(u2 − u1)2 (312)

Si nota che l’argomento della radice quadrata puo essere negativo. Se esso diventaimmaginario, allora l’onda diventa instabile. Quando la differenza u2 − u1 e moltogrande si va verso condizioni di instabilita. Se si definisce u2 − u1 = u allora lacondizione di instabilita risulta:

u >1 + ρ1/ρ2√

ρ1/ρ2

g

k(313)

Ma il rapporto tra le densita eρ1

ρ2= 1.3×10−3 allora u > 28 co. Si puo definire un

parametro co/u38 che valuti lo stato di maturita dell’onda rispetto al vento che la

sta generando dove u e la velocita del vento mentre co dipende dalle caratteristichedell’onda. L’onda e instabile e continua ad aumentare la sua ampiezza fino ad un’etadi co/u < 1/28 se tale rapporto risulta superiore al limite, allora l’onda e stabile edha raggiunto la sua maturita. Le piccole increspature iniziali del mare sono dovutealla tensione superficiale dovuta alla capillarita.

38 eta dell’onda

0.19. LEZIONE 16 117

0.19.3 Onde capillari (increspature)

Hanno una lunghezza’onda limite di 1.7 cm cui corrisponde una celerita limite co =0.23 m/s. Va sottolineato che non esistono onde piu piccole, infatti, il vento devesuperare una condizione di velocita e di permanenza minime per generare una in-stabilita nellla superfice liquida. Tale velocita deve raggiungere almeno un modulopari a 6.5 m/s. Se il vento supera tale velocita, esso genera delle ondulazioni via viasempre piu marcate. La teoria si adatta bene alle misure sperimentali, dove questolimite e valutato nell’ordine di 4 ÷ 6m/s. Secondo Sverdrup-Munk, il fenomeno puoessere visto da un punto di vista energetico. I trasferimenti di energia possono essereortogonali alla superficie di contatto, cioe legati agli sforzi normali di pressione RN ,oppure essi possono avvenire attraverso azioni tangenziale di attrito RT .

Figura 57: Flussi di energia a cui e soggetta la superficie dell’onda.

Valutando un’energia su una lunghezza d’onda si ottiene un valore numericomedio:

RN =1

L

∫ L

0pzwodx

RT =1

L

∫ L

0τuodx

wo = −kH

2ccos(kx − σt)

uo = kH

2csin(kx− σt)

(314)

In una prima fase e piu importante la componente normale RN (intesa come flussodi energia), poiche l’attrito aria-acqua e trascurabile. Abbiamo poi dissipazione pereffetti viscosi ma comunque abbiamo sempre RN + RT > Rv; ne consegue lo specchio


liquido cresce in altezza 39. Per le piccole increspature40 la condizione limite e datada c/u < .37. Quando il trasferimento energia e legato alla componente tangenzialeallora c/u >= 1.37 con la condizioni limite diventa:

gH

u2= 0.26 (315)

Questo e un risultato importante perche lega l’altezza dell’onda alla velocita del vento.L’approccio di Sverdrup-Munk pero non considera gli attriti presenti sulle pareti ,quindi esso vale per mari sufficientemente profondi, cioe deve essere al solito d/L >1/2.La relazione: co/u = 1/28 consente di ricavare co , e quindi L e T, ed infine H.Questo approccio quindi implica l’esistenza di uno specchio d’acqua con onde aventicarattteristiche monocromatiche, perche si trova una sola celerita, quindi un soloperiodo ed una sola L, etc. Le osservazioni fanno dubitare di tale approccio. Perquesto motivo nel 1944 Munk definı l’altezza dell’onda significativa Hs. Essa e lamedia aritmetica di H del 33% delle onde piu alte del gruppo, registrate osservateo valutate in acque profonde. Un approccio piu moderno la valutazione Hs vieneeseguita mediante approccio probabilistico.

0.19.4 Approccio probabilistico

Allora va considerata una funzione densita di probabilita:

Figura 58: Funzione densita di probabilita

Oppure la funzione di densita cumulata detta probabilita di non superamento41:

FH =∫ h

0fH(h)dh (316)

39 L’energia di un’onda di piccola ampiezza vale γ H2

840 prevale RN41 E’ detta anche probabilita cumulata

0.19. LEZIONE 16 119

Figura 59: Probabilita di non superamento

La variabile aleatoria e definita una volta date tali funzioni42. Se utilizziamoad esempio la distribuzione di Raileigh abbiamo una funzione densita di probabilitacumulata data da:

P (H) = FH(h) = 1.0− exp

[−

(H

σ

)2]

(317)

Il parametro σ e in funzione dell’evento meteo-mareografico (e da stimare).

p(H) = fH(h) =2H

σ2exp

[−

(H

σ

)2]

(318)

43 Si puo dimostrare che σ2 e il valore atteso del quadrato delle altezze d’onda σ2 =<

H2 >=

∑H2

i

n.

Considerando il problema in termini di varianza si puo scrivere:

var(H) =< H2 −H2 >

var(H) =< H2 > −H2

var(H) = σ2 −H2

(319)

Quindi esiste un legame tra il valore atteso e la varianza. La media e il valoreatteso di H

H =< H >=

√π

2σ (320)

44

42 Ricordiamo che FH e adimensionale, mentre fH ha le dimensioni di [Lunghezza]−1

43Nella notazione usuale P(x) e la probabilita di non superamento o comulata mentre p(x) e ladensita di probabilita.

44Talvolta la distribuzione di Rayleigh e espressa come P (H) = 1.0− exp

[−π

4

(H

H

)2]

e p(H) =

π

2

H

H2 exp

[−π

4

(H

H

)2]


Sostituendo:

var(H) = σ2 −H2 =[1−

π

4

]σ2 (321)

Definizione di valore atteso:

< xi >=∫ ∞

−∞xifx(x)dx (322)

Notiamo che l’energia vale:

E =ρg

8H2 (323)

possiamo affermare che σ2 =< H2 > rappresenta l’energia media dell’eventometeomareografico che si sta analizzando.

0.20. LEZIONE 17 121

0.20 lezione 17

0.20.1 Onde caratteristiche.

Avendo adottato la distribuzione di Rayleigh, e possibile inividuare le diverse altezzedelle onde caratteristiche. Vale la pena pero ricordare che la distribuzione adottata evalida per onde di mare completamente sviluppate in acque profonde e fuori dell’areadi generazione, caratterizzate da spettri di frequenza a banda stretta.

1. Onda media onda regolare con altezza media di tutte le onde presenti nellaperturbazione ondosa considerata. La sua altezza e data da:

H1/1 = Hm = 0.886Hrms (324)

2. Onda significativa onda regolare con altezza pari all’altezza media del terzodelle onde piu alte presenti nella perturbazione ondosa considerata. La suaaltezza e data da:

H1/3 = HS =√

2Hrms (325)

3. Onda 1/10 onda regolare con altezza media del decimo piu alto delle ondeirrgolari presenti nella perturbazione ondosa considerata. La sua altezza e datada:

H1/10 = 1.27H1/3 = 1.8Hrms (326)

4. Onda 1/100 onda regolare con altezza pari all’altezza media del centesimo piualto delle onde irregolari presenti nella perturbazione ondosa considerata. Lasua altezza e data da:

H1/100 = 1.67H1/3 = 2.36Hrms (327)

5. Onda massima il valore massimo di H che si puo verificarre in una data per-turbazione ondosa (tale definizione e valida se il numero delle registrazioni emagiore di 10000) irregolari presenti nella perturbazione ondosa considerata.La sua altezza e data da:

H1/MAX = 2.22H1/3 (328)

0.20.2 Inferenza sulle caratteristiche d’onda

In statistica con il termine inferenza si intende un procedimento di generalizzazionedei risultati ottenuti dall’osservazione di un campione dell’intera popolazione da cuiil campione e stato estratto. Un problema inferenziale ha per oggetto una qualchecaratteristica ignota della popolazione (per esempio la sua media, la sua varianza,la sua dipendenza o meno da un’altra popolazione). Quindi quando si considerano


delle analisi statistiche sulle onde e limitativo considerare solo le misure dell’altezzed’onda. In particolare manca una valutazione del periodo. Un tentativo di analisi sipuo fare attraverso una serie di altezze d’onda espresse in serie di Fourier:

η(t) =∑

ajcos(ωjt− ψ j) (329)

Non c’e la dipendenza dallo spazio poiche si valuta il campione in una posizionedefinita. Se θ e la durata del periodo di osservazione45, allora ωj e definito da:

ωj =2πj

θ(330)

Se poi si riporta su un grafico la semiampiezza aj in funzione di ωj , posso indi-viduare le frequenze fondamentali che dominano il fenomeno. In un treno d’ ondapossiamo notare che l’energia e proporzionale al quadrato di η2:

< η2 >=1

2

∑a2

j (331)

46 Ma il valore atteso di η2 e il parametro di Rayleigh < η2 >= σ2. E possibilericavare una funzione spettro d’onda che in termini finiti vale:

F (ωj) =a2

j

2∆ωj(332)

indica in quali frequenze viene concentrata l’energia. Si puo ancora notare chele onde che arrivano in un punto provengono da direzioni diverse. Questo complicanotevolmente le cose perche e necessario inserire delle coordinate spaziali; espandendodi nuovo in serie:

η(x, y, t) =∑

ajcos(ωjt− ψ j − kj(xcos(αj) + ysin(αj))) (333)

47

Noi consideriamo mari pienamente sviluppati e lontani dalla zona di generazionedel moto ondoso. Per avere dei dati plausibili e necessario disporre di almeno tre puntidi rilevamento sincronizzato. Molte volte le osservazioni non sono disponibili, allorabisogna risalire alle cause di quell’evento. Il fenomeno forzate e il vento e si cerca dirisalire in termini dinamici alle caratteristiche dell’onda. Si puo fare dipendere T e H,dalla densita vento come nelle teorie precedentemente esposte (Rayleigh ...). Primadiamo pero delle indicazioni sulle caratteristiche del vento.

45 nell’ipotesi che il segnale sia periodico e di periodo pari a θ46 Si ottiene indipendentemente da ω.47 ki numero d’onda ed αi direzione

0.20. LEZIONE 17 123

0.20.3 Caratteristiche del vento

La stima della velocita del vento e fatta in atmosfera ma ai fini delle onde andrebbefatta sulla superficie del mare. Si possono fare misure dirette del vento, oppurericavare le velocita a partire da modelli di tipo meteorologico, cioe da modelli dicircolazione dell’atmosfera. Quest’ultimo approccio e piuttosto recente.

Un po’ di lessico.

• Esposizione di un paraggioE’ data dall’intensita delle agitazioni che possono giungervi per effetto dei vential largo.

• Settore di traversiaAngolo comprendente tutte le direzioni da cui possono provenire le agitazioniondose

• Venti e mari regnantiQuelli che sono piu frequenti nell’anno, o distintamente, nelle singole stagioni

• Venti e mari dominantiQuelli che sono i piu forti

• Venti e mari prevalentiQuelli che producono i maggiori effetti. Sono responsabili del trasporto dimateriali solidi che deetrmina lungo le rive.

Va ricodato che per effetto della varia configurazione, profondita ed estensionedel mare dinanzi al paraggio e del vario regime locale dei venti, non sempre sonodominanti i mari sollevati dai venti piu forti, ne sempre prevalenti i mari dominanti.Generalmente i mari piu violenti provengono da direzioni comprese in una partesoltanto del settore di traversia, la quale costituisce il settore di traversia principale;la rimannete parte forma il settore di traversia secondaria.

0.20.4 Scale dei venti e dei mari.

Per una descrizione molto grossolana si possono adottare le scale riportate nelle tabelleseguenti 10,11


Tabella 10: Scala del vento

Forza del vento Denominazione velocitain gradi Beaufort del vento (km/h)

0 Calma < 11 Bava di vento 1÷ 52 Brezza leggera 6÷ 113 Brezza tesa 12 ÷ 194 Vento moderato 20 ÷ 285 Vento teso 29 ÷ 386 Vento fresco 39 ÷ 497 Vento forte 50 ÷ 618 Burrasca 62 ÷ 749 Burrasca forte 75 ÷ 8810 Tempesta 89÷ 10211 Tempesta violenta 103÷ 11712 Uragano > 118

Tabella 11: Scala dello stato del mare

Forza del Denominazione Altezza delle ondemare del vento (m)

0 Calmo 01 Quasi Calmo 0÷ 0.12 Poco mosso 0.1÷ 0.53 Mosso 0.5÷ 1.254 Molto mosso 1.25÷ 2.55 Agitato 2.5÷ 4.06 Molto agitato 4.0÷ 6.07 Grosso 6.0÷ 9.08 Molto grosso 9.0÷ 14.09 Tempestoso > 14.0

0.21. LEZIONE 18 125

0.21 Lezione 18

0.21.1 Determinazione delle caratteristiche del vento e delle

onde

I venti provenienti dal largo (foranei) possono cosı classificarsi anche in questa ma-niera:

• venti regnati:presentano un’alta frequenza di apparizione (oltre 50% dei casi)

• venti dominanti:sono caratterizzati da alte velocita

La velocita del vento puo essere determinata con:

• 1. Misure diretteMisure dirette; puo essere preferibile ma generalmente sono fatte a terra, alloranecessitano di una correzione. Se si indica come:

– V velocita del vento in mare aperto;

– VT velocita del vento a terra (con scarsi effetti orografici).

Il fattore di correzione VT /V ed e dato in funzione

– 1. Della posizione dell’anemometro;

– 2. Della direzione del vento. Si nota che il vento a terra e minore di quelloin mare perche ci sono maggiori resistenze. Le misure in mare aperto sonorare e danno dati di piu difficile interpretazione.

Tabella 12: Termini per la correzione della velocita del vento.

posizione anemomtro direzione VT

V

3÷ 5 Km dalla costa verso mare verso terra 1.03÷ 5 Km dalla costa verso mare verso mare 0.8÷ 0.9sulla costa verso terra 0.9sulla costa verso mare 0.78÷ 16 Km nell’interno verso terra 0.78÷ 16 Km nell’interno verso mare ??

• 2. Carte sinottiche.Ad esempio si ha un punto di alta pressione A (anticiclone) e uno di bassa pres-sione B (ciclone), le isobare si trovano attorno, come delle linee equipotenziali,


ai due punti sopracitati. Quindi si genera un passaggio della sorgente al pozzo,cioe si instaura un flusso di massa d’aria tale da livellare le pressioni. Perol’effetto di Coriolis non e piu trascurabile e quindi tale accelerazione fa deviareil flusso di massa d’aria rispetto a questo andamento.

Il gradiente di pressione∂p

∂se praticamente in equilibrio con l’accelerazione di

Figura 60: Schema di carta sinottica.

Coriolis. Qualora ci sia perfetto equilibrio si parla di vento geostrofico, che hala caratteristica di essere parallelo alle isobare. Nel nostro emisfero esso e taleda lasciare a sinistra il punto di bassa pressione B. Si puo valutare la velocitadel vento geostrofico conoscendo l’intensita del gradiente di pressione:

Vg =1

ρaf

∂p

∂n(334)

dove

– f = 2ωsin(φ) coefficiente di Coriolis;

– ω = 7.292 ∗ 10−3rad/s velocita angolare di rotazione terrestre;

– φ latitudine.

– ρa densita dell’aria.

C’e scarsa comunicazione tra l’atmosfera australe e quella boreale perche e no-tevole la componente geostrofica nel piano equatoriale. La somma vettorialerisente dell’angolo di inclinazione delle isobate. Quindi si e in grado di valutarel’ intensita del vento geostrofico. La velocita sulla superficie puo essere calcolatacome segue:

Vsuperficie = 60÷ 75% Vatmosfera libera (335)

Ed un angolo di attacco alle isobate (o di deviazione) di 10, 20 verso la bassapressione B. Il vento di gradiente, cioe la componente ortogonale all’andamento

0.21. LEZIONE 18 127

Figura 61: Direzione dei venti in presenza di area anticiclonica A e area

ciclonica B.

isobarico, e piu intenso presso il punto di alta pressione A. Si puo dare unaprima stima delle velocita del vento:

V ′ = Vg per isobare rettilineeV ′ = Vg anticiclonicaV ′ = 0.9Vg ciclonica

(336)

Non vi sono correzioni nella direzione. Questa e una prima stima in atmosfe-ra. Per passare alle superfici del mare devo seguire la legge di variazione chedipende dalla turbolenza dell’aria. La turbolenza dipende dalla differenza ditemperatura mare e aria:

Tabella 13: Termini per la correzione della velocita del vento in funzione

della temperatura

τmare − τariaVT

V

≤ 0 0.60÷ 10 C 0.6510÷ 20 C 0.75> 20 C 0.9

Ci sono condizioni tra vento di superficie e vento in quota in cui non c’ecorrelazione. Questo avviene per:

– 1. Effetti orografici (figura 62)

– 2. Inversione termica (figura 63). Avviene quando la superficie del mare eparticolarmente fredda ed il passaggio dell’aria genera tale inversione.

E’ necessario valutare anche la:

• 1. Durata del vento;


Figura 62: Interazione vento oragrafia.

Figura 63: Inversione termica.

• 2. Dimensione del braccio di mare su cui il vento e attivo.

– Lunghezza d’azione del vento (in funzione di θ) fecth F 48

Si possono valutare le direzioni dominanti per quel paraggio e si collegano i punti pervalutare le direzioni principali. Per paraggi “chiusi” si effettuano delle correzioni

Figura 64: Determinazione del fecth.

48 Il fecth puo essere definito come la zona di mare in cui il vento spira con intensita e direzionesostanzialmente costanti.Nelle direzioni verso terra il fetch e nullo.

0.21. LEZIONE 18 129

sul fetch, costruito da una media pesata nell’intorno di θ (direzione avente massimalunghezza dove l’azione del vento fa sentire i suoi effetti).

F ′(θ) =1

β

α=45∑

α=−45Xαcos(θ − α) (337)

β =α=45∑

α=−45cos(θ − α)

Xα = Fαcos(θ − α)

(338)

49 Un’analisi va fatta per angoli discreti con incrementi ∆α = 5±6; piu corettamentesi dovrebbe eseguire un’integrazione. Definito tale parametro, in dipendenza delladurata del vento dalle dimensioni del braccio di mare (fetch), ricaveremo l’altezzad’onda ed il suo periodo, nonche la sua celerita. Si considerano come parametri He c; si vogliono esprimere in funzione della velocita del vento V, del fetch F, delladurata del vento t, l’accelerazione di gravita g (le onde sono di piccola ampiezza).Dal teorema Π ottengo dei gruppi adimensionali che uguaglio a zero:

c = f1(V, F, t, g)H = f2(V, F, t, g)

(340)

0 = F1(c

V,gF

V 2,gt

V)

0 = F2(gH

V 2,gF

V 2,gt

V)

(341)

0.21.2 Il metodo SMB.

Mari profondi.

Sfuttando il metodo siglato SMB dagli autori Sverdrup-Munk-Bertschneider:

gH

V 2= 0.283Th

[0.0125

(gF

V 2

)0,42]

c

V=

gT

2πV= 1.20Th

([0.077

gF

V 2

)0,25]

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−gt

V= kexp

[Aln2

(gF

V 2

)− Bln

(gF

V 2

)+ C

]1/2

+ DgF

V 2

(342)

49Alcuni autori propongono le seguenti relazioni:

β =

α=45∑

α=−45

cos(θ − α)γ

Xα = Fαcos(θ − α)γ

(339)

con γ compreso tra 4÷ 5


L’ultima equazione del sistema di equazioni 342 e detta relazione di condizionamento,ricordiamo che i coefficienti valgono:

k = 6.5882A = 0.0161B = 0.3692C = 2.2094D = 0.08798

(343)

La relazione di condizionamento mette in evidenza le relazioni tra il fetch F e ladurata del vento t, mentre le prime due relazioni come si puo evincere non leganofetch con durata del vento. Dalle prime due si ricavano H e T, una volta noti F e V.Per usare la relazione di condizionamento si inserisce il fetch reale, allora si ottienela durata t*, che puo essere vista come la durata minima perche si instauri un marecompleto su quel fetch. Quindi si verifica la condizione t > t∗ allora si calcola il fetchreale se invece t < t∗ si inverte la la relazione di condizionamento, si ricava F* datot, poi con questo valore si calcolano H e T. Queste soluzioni del metodo valgono solonelle condizioni di mare profondo.

0.21.3 Il metodo SMB.

Mari poco profondi.

Per mari di profondita limitata la terza equazione non varia ma cambiano la prima ela seconda (e necessario correggere per tenere conto della profondita) come segue:

gH

V 2= 0.283Th

0.530

(gd

V 2

)0,75 Th

0.0125(

gFV 2

)0.4

Th[0.530

(gdV 2

)0.75]

c

V= 1.2Th

0.8333

(gd

V 2

)0,375 Th

0.077(

gFV 2

)0.25

Th[0.833

(gdV 2

)0.375]

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−gt

V= kexp

[Aln2

(gF

V 2

)− Bln

(gF

V 2

)+ C

]1/2

+ DgF

V 2

(344)

0.22. LEZIONE 19 131

0.22 Lezione 19

0.22.1 Previsione delle caratteristiche dell’onda per fetch cor-

ti e venti forti

Se l’evento mareografico non riesce ad instaurarsi completamente il metodo di Sverdrup-Munk-Bertschneider non funziona bene. Allora Bertschneider fornisce delle formuledimensionali per mari aventi fecth corti:

H = k1

√V 2F

T = k24√

V 2F−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−F ′

tmin= k3

4√

V 2F = k4T

(345)

L’ultima equazione rappresenta un coefficiente di correzione fetch con la durataminima, dove:

V in nodi (0.5114 m/s)H in piedi (0.304 m)T in seconditmin in oreF in miglia nautiche (1 n.mi = 1.852 Km)

(346)

I coefficienti valgono:

k1 = 0.0555k2 = 0.050k3 = 0.57k4 = 1.14

(347)

Inoltre se F’calcolato e minore di F (oppure utilizzando F ′ = F calcolare tmin ese tmin > t), allora dobbiamo rideterminare H e T mediante le equazioni 345 usando

F’ determinato attraverso laF ′

tmin= k4T .

0.22.2 ESERCIZIO

Calcoliamo il fecth per il paraggio Punto Sabba, ∆θ = 6, dapprima si tracciano lelinee di contorno e per ogni angolo di ∆θ = 6.

Da carta nautica in scala 1 : 750000 si calcola β =α+45∑

α=−45

cos(α); in realta bisogna

prendere i valori da 30 a 357 ma le linee incontrano immediatamente dei paraggi.Calcoliano H e T con il metodo SMB e di Bretschneider. Utilizziamo un vento diLibeccio con caratteristiche:


Tabella 14: Calcolo del Fecth paraggio: Punta Sabba

θ Fecth (n. mi.) Fecth (Km)159 32 24165 32 24

177 40 30183 38 28.5189 309 234

195 194 220.4201 276 207

207 250 187.5213 245 184219 2225 169

225 170 127.5231 172 129237 165 124

V = 15 m/st = 5 hθ = 231

(348)

Da tabelle per θ = 231, si ricava un Fecth di lunghezza pari a 129 Km (“nonefficace”). Sfruttiamo il metodo SMB:

gT

2πV= 1.20Th

[0.077

gF

V 2

0.25]

= 0.6994 (349)

Si usa subito questa relazione perche si ricava la lunghezza d’onda da cui si valuta

se l’onda si genera .. ricavo T = 6.7 s ed Lo =gT 2

2π= 70.5 m. La profondita limite

valedlim

Lo=

1

2per cui dlim = 35 m 50

Dalla carta si ha in direzione 230 una profondita media di 25 m. Allora lagenerazione delle onde avviene il mari di profondita limitata, cioe occorre utilizzarele formule di SMB modificate.Utilizzando le relazioni di Bretschneider otteniamo:T = 5.97 s ed H = 1.95 m; tmin ≈ 20 h > t5h

da cui F ′/t5h = 6.225 F ′ = 31.12 n.mi.Usando F’ ottengo ed H = 7.84 ft T = 3.28 s51

50 Controllo per assicurami di essere in acque profonde.51 A Trieste si valutano due direzioni per il fetch: il Libeccio (sud est) e lo Scirocco.

0.23. LEZIONE 20 133

0.23 Lezione 20

L’analisi per ricavare H e T talvolta si preferisce valutare il fecth solo su alcunedirezioni dominanti del vento. La valutazione che si ottiene e di un mare strettamentemonocromatico, cioe si stima il valore atteso proprio come quel valore < H2 >= H2.Allora avendo adottato come distribuzione probabilistica quella di Rayleigh abbiamoσ = H ; ma si preferisce usare l’altezza d’onda significativa HS = 1.416σ. Ora traonde e strutture si realizzano delle sollecitazioni e quindi possiamo valutare in baseal tipo d’onda il tipo di struttura necessario a contrastarne le azioni (tabella 15).Al contatto dell’onda con tali strutture l’onda puo cambiare il suo “assetto”. Potrebbe

Tabella 15: Relazione tra tipologia dell’opera ed stato dell’onda.

tipo onda Non frangente Frangente Franta(Surf zone)

tipo struttura muro continuo su pali in materiali scioltiimpermeabile permeabile permeabile

continua discreta continua/elastica

frangere direttamente sulla struttura; oppure potrebbe frangere al largo ed arrivarealla struttura in condizioni di dissipazione energetica iniziata. Rispetto agli sforzitrasmessi dall’onda vanno computate altre forze.Forze aggiuntive sono:

• 1. Attrito per correnti: scalzamento del materiale piu fine.

• 2. Spinta delle terre: se la struttura e di contenimento di materiali verso mare.

• 3. Impatti: dovuti alle navi.

• 4. Tiri: dovuti agli ancoraggi.

• 5. Azioni dovute al ghiaccio: nei mari del Nord.

Rispetto all’onda ci sono fenomeni aggiuntivi che devono essere considerati.Fenomeni complementari:

• 1. Run-up:l’onda ormai fratta diventa un’onda di trasmissione di massa d’acqua ed il fluidorisale la superficie della struttura diffondendo energia cinetica e potenziale perattrito e per risalita;

• 2. Overtopping:superamento delle strutture di contenimento da parte di una quantita d’acqua(puo generare delle portate che superano la struttura provocando, durante lamareggiata, l’inagibilita della stessa);


0.23.1 Osservazione.

L’altezza dell’onda che si sta indagando e definita rispetto ad un livello di marea;allora e necessario valutare gli effetti di marea . In condizioni di alta marea l’ondapotrebbe essere piu alta, ma in caso di bassa marea essa potrebbe frangere, il chepotrebbe comportare degli effetti dinamici sulle strutture. Quindi le verifiche sullestrutture vanno condotte tenendo presenti entrambe le situazioni:

2 maree di progetto

alta mareabassa marea

A seconda della struttura pero puo non essere sufficiente considerare l’altezza d’on-da significativa, ma considerare anche le altezze d’onda superate nel 10% o nell’ 1%dei casi (e un approccio che e analogo al tempo di ritorno). Piu la struttura e ri-gida nell’interfaccia con le fondazioni e piu risente anche delle onde piccole; mentrele strutture in materiale sciolto modificano il loro assetto perche hanno una grossariserva elastica. Per le strutture rigide conviene valutare un’altezza d’onda con bassepercentuali di superamento.

0.23.2 FRANGIMENTI

La condizione di frangimento vale per db = 1.28Hb52,ma nelle condizioni reali esistono

due livelli βHb < db < HbαDove α e β sono diagrammati nell’abaco allegato 1. Noti Ho e T , e possibile risalire

tramite nell’abaco allegato 2 all’altezza dell’onda frangente Hb; nell’abaco allegato 1si delimita una fascia entro la quale avviene il frangimento. Inoltre e importantevalutare la distanza percorsa prima che si esaurisce il frangimento53:

Xp = τHb = (4.0− 9.25m)Hb (350)

m e la tangente dell’angolo di pendenza della spiaggia; se m = 0 allora Xp = 4.0Hb

Questo ci permette di disporre la struttura nei confronti del frangimento. SeH > Hb , allora un’onda sicuramente non frangera. Se il fondale e nell’intervalloαHb < db < βHb allora bisogna aspettarsi l’impatto dell’onda contro la struttura. Sed = βHb pero l’opera marittima e situata all’interno della distanza Xp e comunque“colpita” dall’onda che pero e ancora frangente. Se la struttura e a distanza maggioredi Xp sara raggiunta da un’onda che ha esaurito quasi completamente la sua energia.Quindi a seconda della posizione dell’opera esistono diverse condizioni di sollecitazionesu di essa. Se l’ onda si infrange contro la struttura, quale sara l’altezza dell’ondadi progetto?Si ipotizza che un’onda abbia ampiezza Hb , su una profondita d = βHb e dimezzi ad

52 Dalle relazioni di Miche 306; dove db e la profondita di frangimento mentre Hb e l’altezza difrangimento

53 La relazione e stata determinata da Galvin

0.23. LEZIONE 20 135

Figura 65: Individuazione delle zone di frangimento.

una distanza Xp = τHb, ipotizzando un decremento lineare dell’altezza d’onda tra i

due valori Hb edHb

2. Possiamo comunque considerare in questa ipotesi una relazione

tra la profondita e altezza d’onda del tipo:

d = (β −mτx

Xp)Hb (351)

Dall’abaco allegato 3 ricaviamods

gT 2dove ds e la profondita al piede della struttura

adimensionalizzato rispetto a gT 2 (ricordiamo che l’abaco e funzione della pendenzadella spiaggia).


0.24 lezione 21

0.24.1 Posizionamento della struttura nei confronti dell’on-

da.

Ricapitolando:

• Se il fondale in prossimita della struttura e tale che βHb < d < αHb abbiamofrangimento.

• Se d > αHb l’onda non puo frangersi. Se a partire da d = βHb , la struttura sisitua entro la distanza Xp essa viene raggiunta da un’onda che ha gia iniziatoil frangimento. In questo caso si e in condizioni di frangimento ma con menoenergia figura 66.

• Se si e al di la della distanza Xp, la struttura sara raggiunta da un’onda che haperso gran parte della sua energia.

Se l’onda si infrange proprio davanti alla struttura qual’e all’altezza di progetto?Nelle condizioni intermedie si ipotizza un’altezza d’onda che diminuisce linearmente.Sfruttando l’abaco allegato e definendo ds profondita al piede della struttura e intro-

ducendo il parametrods

gT 2profondita adimensionalizzata siamo in grado di ricavare

i limiti di profondita oltre i quali l’onda frange.

0.24.2 RUNUP

Per determinare il RUNUP bisogna partire dal livello medio del mare in condizionedi burrasca avendo gia sommato il contributo dovuto alle assimetrie delle onde. Allargo l’ampiezza sia al solito Ho.

Figura 66: Schema di riferimento per la determinazione del Runup.

0.24. LEZIONE 21 137

Nel caso in cui il runup sia superiore alla struttura stessa si ha il fenomeno diovertopping. Sia Q la portata di overtopping . Il runup e da un punto di vista teoricodi difficile valutazione, esistono solo dati sperimentali di risultati di tipo empiricoricavati da modelli di laboratorio. In realta i modelli non funzionano sempre bene.

Figura 67: Runup ed Overttoping.

Partendo dai modelli si puo desumere il runup come segue:

run-up di laboratorio×K relativo =Run-up presunto

Per pareti molto ripide si va verso sinistra dal grafico 7-11, estrapolando i valorie fidandosi del fatto che l’andamento sia costante.

0.24.3 Fattore K per gli effetti di scala

La figura allegata 7.13 restituisce il fattore correttivo K per modelli di grande scalacon un’altezza d’onda H = 0.5 ± 1.5 m, sia in funzione della tangente che dellacotangente. Il fattore di scala e stato misurato tra modelli di piccola e grande scala.Ricordiamo che le superfici non sono tutte liscie. Fattori correttivi del fenomeno delrunup sono :

• Fattore di scala K

• Natura superfici


Tabella 16: Valore di r al variare delle caratteristiche delle opere.(Natura delle superfici)

superficie Realizzazione r

liscia impermeabile 1blocchi di cemento la superficie e abbastanza liscia 0.9basalto di cava scabrezza maggiore 0.85÷ 0.9

terra inerbita 0.85÷ 0.9strato di pietrame 0.8pietre di cava sistemate 0.75÷ 0.8

pietre di cava a caso 0.60÷ 0.65unita di cls a caso 0.45÷ 0.5

54 Per realizzazione intendiamo come viene fatta le posa in opera.Una stima del runup e data da:

R = RmodelloKr (352)

Nel caso di onde irregolari l’ampiezza d’onda H segue la distribuzione di Rayleigh.Data l’ipotesi di non superamento si ha Hp = σ(−ln(p))1/2. La stessa legge si puoapplicare alla altezza di runup.

Infatti se facciamo l’ipotesiH

R= costante e σ =

Hs√2

ricordando che la probabilita di

non superamento per l’onda valeHp

Hs=

√−ln(p)

2possiamo ipotizzare che la proba-

bilita di non superamento per l’altezza di runup con riferimento all’onda significativavalga:

Rp

Rs=

Hp

Hs=

√−ln(p)

2(353)

0.24.4 OVERTOPPING

Anche questo fenomeno viene risolto sperimentalmente55:

Q = (gQ∗H3o )1/2e−

0.217α Th−1[hs−ds

R ] (354)

E’ evidente che dobbiamo trovarci nelle condizoni: R > hs − ds e hs − ds > 0I parametri Q* ed α adimensionali determinati empiricamente sono legati al tipodi struttura e alla “geometria” dell’onda incidente mentre hs e ds sono dimensioniproprie della struttura si veda figura(67). Questa formula e valida a patto che α e

54 unita di cls .. blocchi di forma particolare per avere aggancio (tretrapodi) tra blocco e bloccocon spazi vuoti pari al 50%

55 La relazione e dovuta a Saville.

0.24. LEZIONE 21 139

Q siano in corrispondenza dei punti sperimentali. Figura allegata 7 − 21 la curvae approssimata ed e in corrispondenza del limite di frangimento. L’overtopping econdizionato sicuramente dalla presenza di vento che spinge verso terra.

Fattore correttivo di Q.

K ′ = 1 + w(hs − ds

R+ .01)sin(α)

w = 2 V > 110 km/hw = .05 60 > V > 30 km/hw = 0 V < 30 km/h

(355)

Nel caso di onde irregolari muta l’argomento della Th−1. Si pone come argomento

della Th−1 → hs − ds

Rs

Rs

Rpdove Rs e inteso come valore significativo.

0.24.5 Trasmissione del moto ondoso.

Nel caso di

• Struttura sommersa

• Struttura completamente emersa.

ipotesi

• la struttura verticale

• la trasmissione non avvenga per fenomeni di overtopping.

Figura 68: Schema di struttura emersa.


Struttura sommersa

Se l’ostacolo e una soglia di fondo poca energia viene riflessa mentre molta vienetrasmessa.

HT

Hi=

√√√√1− 2khs + sinh(2khs)

2kds + sinh(2kds)(356)

Nel caso di acque basse:HT

Hi=

√

1− hs

ds(357)

Nel caso di acque profonde:

HT

Hi=

√1− e−2k[ds−hs] (358)

Possiamo affermare che le strutture sommerse sono efficienti per la dissipazionedell’energia del moto ondoso.

Formule di Jeffris

Figura 69: Schema di struttura immersa

ipotesi hs < ds

HT

Hi=

1 +

[0.25ds

ds − hs

]1/2

−0.25(ds − hs)

ds

2

sin2 2πb√

g T

√1

ds − hs

1/2

(359)

Quando hs > ds la trasmissione avviene per

• Porosita

0.24. LEZIONE 21 141

ipotesi hs > ds

HT

Hi= 0.5

1− sin

[π

2α

(hs − ds

Hi+ β

)](360)

se b = ds α = 2.2 β = 0.4se b e trascurabile rispetto a ds α = 1.8 β = 0.1

Le condizioni di validita di tali coefficienti sono 0.016 <d

gT 2< 0.08. Tali strutture

si posizionano nella zona di transizione cioe per 0.14 < d/L < 0.5


0.25 Lezione 22

0.25.1 ESERCIZIO 1

Figura 70: Esempio spiaggia es. 1

In che zona si ha frangimento su una spiaggia di pendenza 1 : 20. Con ∆ indichia-mo livello medio del mare il condizione di mare calmo. Dal largo arriva una burrascacon onde di periodo T=10 s e altezza H=1.60 m.

a) Determinare la sopraelevazione del livello medio del mare a causa della burrasca;usando la teoria delle onde trocoidali la sopraelevazione vale

∆ =πH2

4L(361)

Utilizzando l’altezza e la lunghezza d’onda relative al mare profondo ed ipotizzandoche dopo un certo tratto la spiaggia passi improvvisamente a profondita illimitata.

Lo =gT 2

4π= 156 m (362)

∆o =π2H2

2gT 2= 1, 3 cm (363)

X1 =∆

m= 0.26 m (364)

b) Condizione di frangimento Noto Ho → Hb → α β Entriamo nell’abaco conHo

gT 2= 0.0016 e con m = 0.05 otteniamo

Hb

Ho= 1.62 quindi Hb = 2.6m.

Questo grafico va bene solo quando il paraggio e soggetto solo allo shooling, cioeall’approdo senza tenere conto di fenomeni di rifrazione. Se c’e questo fenomeno enecessario operare una correzione. Dalla figura 7-2

0.25. LEZIONE 22 143

Hb

gT 2= 0.0026

α = 1.5 =d1

Hb

β = 0.94 =d2

Hb

d1 = 3.90d2 = 2.44

(365)

si ottiene una distanza dalla costa che ha valore massimo x1 = d1m−1 = 7.8

m ed uno minimo x2 = d2m−1 = 4.9 m. In questa fascia di profondita avviene il

frangimento dell’onda.Valutiamo ora la distanza percorsa dall’onda a partire dal primo frangimento:

Xp = τpHb = (4− 9.25m)Hb = 9.20 m (366)


0.25.2 ESERCIZIO 2

Figura 71: Schema spiaggia-struttura es. 2.

Si consideri una struttura con profondita al piede ds = 2.5 m, con spiaggia aventependenza pari a m = 0.005 . Su tale spiaggia si possono verificare onde con periododi T=6 s, e di T=10 s. Si calcolino i valori di Xp estremi per i due periodi. Dalgrafico 7-4 costruiamo la tabella 17. Possiamo osservare che onde a periodo piu

Tabella 17: Caratteristiche dell’onda es. 2.

T=6 s T=10 sds

gT 20.0069 0.0025

Hb

ds1.1 1.28

Hb 2.75 3.2

lungo hanno frangimenti piu elevati. Verifica della posizione della struttura rispettoal frangimento tabella 18: L’onda si frange a 10 m dalla struttura e la raggiunge incondizioni di frangimento. In ogni caso le condizioni peggiori si hanno per onde piulunghe.

0.25. LEZIONE 22 145

Tabella 18: Verifica della posizione della struttura rispetto alfrangimento

T=6 s T=10 sHb

gT 20.0078 0.0032

β 1.08 0.95

db 2.97 m 3.04 mXp 10.5 m 10.7 m

0.25.3 ESERCIZIO 3

Figura 72: Esempio di sponda composita.

Calcolo del runup su una sponda a profilo composito. Nel caso di profilo compo-sito si usa una approssimazione fatta da Saville:

Sponda composita sponda piana uniforme inclinata determinata dallacongiungente al fondo del frangimento al punto di massimo runup.

Figura 73: Schema secondo Saville.


Esempio sponda composita

Non conoscendo la posizione del punto di massimo run-up e necessario effettuare unprocedimento iterativo.Consideriamo la prima scarpata come illimitata. Prima e necessario valutare se ilrunup e contenuto dentro la prima scarpata. Se cade fuori si ottiene un primo valoredi tentativo su cui fare delle iterazioni.

Figura 74: Profilo assegnato es.3 .

Alcuni dati:

Onda in alto mare T = 8 s Ho = 1.5m il rapportods

Hovale ≈ 1 e negli abachi 7-8 ed

7-11 e necessario interpolare il runup ricordando cheHo

gT 2= .0024 ed cotg(θ) = 3

Tabella 19: Determinazione del run-up

ds

Ho0.00 2.0

R

Ho1.5 2.8

Si assumano come valore medioR

Ho= 2.2 a cui compete un R1 = 3.3m. Allora

il runup si posiziona 1.5 m sopra la prima berma. Valutiamo ora la profondita difrangimento; la profondita di frangimento vale:

0.25. LEZIONE 22 147

Ho

gT 2= 0.0024 →

Hb

Ho= 1.4800 → Hb = 2.22 m (367)

Quindi si ha il frangimento ad una distanza (db − 1.2)/m = 16 m. Si individuacosı il punto Acotg(θ1) = (16 + 9 + 7 + 4.5)/(2 + 3.3) = 6.9. Entriamo nuovamente nei grafici 7-8 ed7-11

Tabella 20: Run-up di secondo tentativo.

ds

Ho0.0 2.0

R

Ho1.1 1.3


Ho= 1.2 a cui compete un R2 = 1.2m; siamo sul

ciglio della prima berma. Si nota che il punto A, una volta determinato non varia macambia soltanto l’angolo.cotg(θ1) = (16 + 9)/(1.8 + 2) = 6.6. Rientrando nei grafici:

Tabella 21: Run-up di terzo tentativo.

ds

Ho0.0 2.0

R

Ho1.15 1.35


Ho= 1.25 a cui compete un R3 = 1.9 m. Quindi

il runup supera la prima scarpata, scorre sulla berma e raggiunge di poco la se-conda scarpata, cioe il runup non ha la forza di supererarlo, cioe non si puo avereovertopping.56

56Avremmo dovuto utilizzare la figura 7-13 per la correzione del runup a causa del fattore di scala.Per 3 < cotg(θ) < 7 corrisponde un 5÷ 15% di altezza di runup in piu.


0.26 lezione 23

0.26.1 SFORZI SUI PALI

I pali possono essere utilizzati per consentire il passaggio e l’esercizio delle attrezza-ture per in carico e lo scarico delle petroliere, le quali hanno un grosso pescaggio.Consideriamo la trasmissione degli sforzi su un palo in condizioni di non frangimento.

Onde non frangenti.

Figura 75: Schema di calcolo per la vcalutazuione della spinta su palo.

Consideriamo un palo a sezione circolare (diametro D), sia d la profondita del me-dio mare in corrispondenza del palo. Esso viene investito da un’onda di caratteristicheH e L. Ipotizzando che:

• D << L in modo tale che l’onda non venga caratterizzata dalle dimensionigeneriche del palo.

• palo isolato, in modo tale che un’eventuale luce tra i pali non influenzi l’onda.

L’ipotesi che D << L porta alla non trascurabile conseguenza che l’onda non ecaratterizzata dalle dimensioni generiche del palo; inoltre e possibile trascurare anchegli effetti di attrito onda palo. Consideriamo un elemento alto dz, a profondita -z evalutiamo le forze che agiscono su di esso

• 1. Effetti inerziali

• 2. Effetto dovuto all’attrito nel mezzo: avremo infatti una certa resistenza delmezzo

0.26. LEZIONE 23 149

Allora:

dF = dFinerziale + dFattrito (368)

I singoli contributi valgono:

dFi|x = CMρπD2

4dz

du

dt(369)

CM coefficiente correttivo di massa, in quanto se considero il filo (palo) in movi-mento, questo crea una scia che e massa in movimento.

dFa|x = ρu|u|dzca

2D (370)

L’attrito va con il quadrato della velocita, ma per tener conto del verso si e intro-

dotto il valore assoluto u|u|, mentreca

2rappresenta il coefficiente di attrito.

Ipotesi: u e misurato in prossimita dell’asse del palo, cioe come se il palo non ci fosse,si trascurano cosı le dimensioni del palo (che sono le ipotesi di partenza); questa ap-prossimazione vale finche D/L < 0.05. Dovremo integrare gli sforzi sulla profondita;mi interessa, nei vari cicli, considerare il lavoro dell’onda sul palo. Supponiamo dilavorare con onde ad andamento sinusoidale:

η =H

2cos(σt) (371)

Togliendo la dipendenza dalla posizione x dell’onda (se considero un punto fisso diriferimento). La velocita per onde di transizione vale:

u =H

2

gT

L

Ch[k(d + z)]

Ch(kd)cos(σt) (372)

La derivata totale di u la si considera solo relativa alla parte non convettiva:

du

dt= gπ

H

L

Ch[k(d + z)]

Ch(kd)sin(σt) (373)

Queste due espressioni vanno sostituite in dFi e dFa; la componente della forzalungo x vale:

Fx =∫ η

−d[dFi + dFa] (374)

In maniera analoga e possibile valutare il momento sul palo supponendolo incastroperfetto (nel fondo):

Mp =∫ η

−d[dFi + dFa] (z + d) (375)

Potendo assumere Cm , ca costanti lungo la verticale si ottengono delle funzioniperiodiche del tipo:


Fi = Fi maxsin(−σt)Fa = Fa max|cos(−σt)|cos(−σt)

(376)

I valori massimi possono essere scritti in modo compatto; per tener conto dell’in-tegrazione in z introduciamo un termine che abbia a che fare con l’altezza dell’onda:

Fi max = CMρgπD2

4Hki

Fa max =ca

2ρgDH2ka

(377)

dove:

• ki : coefficiente che tiene conto dell’integrazione tra η ed −d per Fi max

• ka : tiene conto dell’integrazionetra η ed −d per Fa max

• ki ka : sono tabellati.

Per i momenti si ha solo il termine in z in piu, quindi e possibile effettuare lostesso approccio salvo una correzione fatta per i bracci:

Mi max = Fi maxSidMa max = Fa maxSad

(378)

Si ed Sa termini correttivi; per H ≈ 0, cioe nella teoria di Airy delle onde dipiccola ampiezza si considerano orbite circolari e l’ integrale ha estremi 0 ed −d icoefficienti valgono:

ki =1

2Th(kd)

ka =1

8

[1 +

2kd

Sh(2kd)

]=

1

4n ← celerita′ di gruppo

Si =

[1 +

1−Ch(kd)

kdSh(2kd)

]

Sa =1

2+

1

2n

[1

2+

1− Ch(2kd)

2kdSh(2kd)

]

(379)

Si noti la periodicita delle forze e dei momenti. Per quest’ultimi abbiamo la stessaperiodicita delle forze perche i bracci non risentono del termine periodico. La for-

za d’inerzia e massima in un senso o nell’altro quando σt =π

2quindi sui quarti di

periodo. Ma η =H

2cos(σt) allora siamo al livello del medio mare in cui si han-

no le massime accelerazioni ma a velocita nulla. La forza d’attrito e massima percos(σt) = ±1 siamo in condizioni di cresta o di cavo dell’onda. Il problema e trovarela condizione peggiore sovrapponendo le due condizioni:

F = Fi maxsin(−σt) + Fa max|cos(σt)|cos(σt) (380)

0.26. LEZIONE 23 151

Di questa funzione e necessario trovare il massimo in funzione del tempo. La soluzione

non e unica ma dipende dal rapportoFi max

Fa max. Analogamente per il momento:

M = Fi maxsin(−σt)Sid + Fa max|cos(σt)|cos(σt)Sad (381)

Per trovare il massimo conviene usare il metodo numerico della bisezione. La soluzioneanalitica e molto complessa. Vedendo il diagramma dei campi di separazione fra lediverse teorie tabella 22. Da queste due condizioni si ricava Hb che quindi si possono

Tabella 22: campi di validita delle varie teorie.

H

d= 0.78

d

gT 2< 0.02 onda solitaria

Ho

Lo= 0.14

d

gT 2> 0.08 Stookes IV ordine

usare i grafici. La soluzione analitica di F ed M valeσt = arcsin

(− A

2B

)con A = Fi max; B = Fa max

oppure:A = Fa maxdSi e B = Fa maxdSa :

Valori numerici per CM e ca

Tali coefficienti risentono dell’importanza degli effetti viscosi attorno al palo e quindi

assume importanza il numero di Reynolds Re =umaxD

ν, dove ν viscosita cinematica.

Dopo aver cosı definito il numero di Reynolds valutiamo ca

Tabella 23: Coefficiente di drag ca

Re ca

.. < 2 105 1.2

2 105 < .. < 5 105 alog(Re) + b5 105 < .. 0.75

Per il coefficiente CM si veda tabella 24.

0.26.2 Gruppi di pali

Solitamente si valutano gli sforzi su un palo come indipendenti tra uno e l’altro sem-pre che questi non siano troppo ravvicinati. Cioe diventa importante l’area offerta


Tabella 24: Coefficiente di massa CM

Re CM

.. < 2 105 2.02 105 < .. < 5 105 2.5− Re/(5 105)

5 105 < .. 1.5

Figura 76: Gruppi di pali

dai pali al fronte di avanzamento dell’onda. Puo essere interessante valutare le forzescaricate sulla struttura di collegamento dei pali. Se ∆L (interasse tra i pali) e diversodalla lunghezza d’onda si hanno diverse sollecitazioni dei pali sulla struttura. Si ge-nerano degli sforzi di taglio sui pali che a volte portano alla loro ”scapitozzatura”. Lestrutture a pali vanno bene per onde piccole, dove essi vengono dimensionati piu perla sovrastruttura che per l’azione delle onde. Si possono fare pali di grosse dimensioniper strutture in mare aperto, in questo caso e necessario considerare l’azione di taglio.

0.26.3 Pali inclinati

Se li palo e debolmente inclinato, cioe per ∆ (distanza ) piccoli rispetto alla lunghezzad’onda, e possibile calcolare il palo come se fosse verticale. Se invece il palo ha ∆elevato e interessato da lunghezza d’onda piccole, allora il procedimento precedente-mente proposto non va bene.Considero le sezioni come pali virtuali di spessore dz (in pratica tanti dischi) e inciascuna di esse si hanno diverse caratteristiche d’onda.

0.26.4 Onde frangenti

Va considerato in piu un effetto di tipo dinamico dovuto all’impatto delle onde fran-

genti sul palo. In acque profonded

L>

1

2tale effetto puo essere trascurato perche

0.26. LEZIONE 23 153

Figura 77: Pali inclinati.

l’onda frangente e ininfluente rispetto alla profondita del palo.Comunque la sollecitazione puo essere espressa globalmente da:

Fa max =ca

2ρgDH2KDM (382)

dove KDM e u opportuno coefficiente correttivo. In acque basse Fi ≈ 0.0 mentre Fa

si puo dimostrare che e approssimata57 da Fa = 0.88 ρgDHb.

0.26.5 sollecitazioni laterali

Nell’abaco allegato per valori del numero di Keulegan− Carpenter = UTD

inferiori a

4, non c’e coefficiente di portanza laterale. Se tale numero aumenta e cosıH

gT 2allora

il coefficiente CL va valutato e fornisce una forza deviata sul palo data da:

FL max =CL

2ρgDH2ka (383)

57Va ricordato che tale valore e per unita di lunghezza del palo.


0.27 lezione 24

0.27.1 SPINTE SU PARETI VERTICALI

Figura 78: Schema di parete verticale.

0.27.2 Onde non frangenti

Corrisponde al caso di d > 1.5H. L’approccio piu vetusto e quello proposto daSainflou (1928), e un metodo semplificato e porta ad una sovrastima delle spinte. Aridosso della parete si stima un livello del mare in condizioni di agitazione ridotto di:

∆ =πH2

LTh

[2πd

L

] =kH2

2Th(kd)(384)

∆ tiene conto della riflessione dell’onda, l’altezza dell’onda ricordiamo e due voltel’altezza dell’onda incidente. Si hanno due condizioni:

• 1.) Arrivo sulla parete della cresta dell’onda;

• 2.) Arrivo sulla parete del cavo dell’onda.

Saintflou considera un andamento idrostatico delle pressioni alla parete. Se anche lepressioni agenti hanno andamento triangolare allora:

po = γ(d−∆)p1 = γ(d + H/2)p2 = γ(d−H/2)

(385)

I diagrammi ottenuti dalle equazioni 386 sono eccessivi sia per la sovrapressionecausata dalla cresta dell’onda, sia per la sottopressione causata dal cavo dell’onda.

pcresta = γ(H/2 + ∆)pcavo = −γ(H/2−∆)

(386)

0.27. LEZIONE 24 155

Figura 79: Andamento delle pressioni secondo Sainflou.

Ricordiamo che Hr = Hi(1+X) con X coefficiente di riflessione. Nella realta abbiamoun andamento delle pressioni che tende a quello idrostatico; infatti:

p = ρgH

2

Ch[k(d + z)]

Ch(kd)cos(kx + σt)− ρgz (387)

Questo mette in evidenza l’approssimazione del metodo di Sainflou. Si dovrebbe in-tegrare la pressione fino al secondo ordine o piu. Una soluzione numerica e stataproposta da Miche-Rundgren (1958) (vedi grafici allegati).Quando si progetta si uti-lizzano coefficienti di riflessione pari a X = 1.0 , o X = 0.9. Dagli abachi allegati siricavano la forza ed il momento come segue:

F = costγd2

M = costγd3 (388)

La costante si trova dai grafici in funzione dell’onda incidente (la sua ripidita) e dalrapporto H/d. Il grafico e diviso in due parti:

• 1.) Struttura sollecitata dalla cresta dell’onda;

• 2.) Struttura sollecitata dal cavo dell’onda.

Il grafico 7− 164 fornisce, data l’altezza dell’onda incidente, un’altezza dell’ondaal largo Ho che sollecita la struttura stessa. Nei grafici 7 − 165/7 − 166 si evince ilvalori delle costanti da introdurre nelle 388 per X = 0.9

0.27.3 Il metodo approssimato di Sainflou

Si utilizzano dei diagrammi di spinta della pressione che sono lineari con le profonditaz, ma non idrostatici. Cioe all’altezza del medio mare58 e sul fondo si ipotizza di avere

58 Va intesa come altezza di medio mare il valore medio che assumono le orbite delle particelleche costituiscono l’onda ”Clapotis”


Figura 80: Schema di parete verticale (cresta).

la pressione effettiva. In condizione di cresta si aggiunge la pressione:

p1 = γ(

1 + X

2

)Hi

Ch(kd)(389)

In figura 80 abbiamo: ∆H =(

1 + X

2

)Hi e p1 rappresenta la pressione al piede del

diagramma effettivo di spinta.L’altezza delle pareti puo arrivare a 15 ÷ 20 m. In condizione di cavo d’onda siottiene sempre un diagramma di spinta composto da una parte triangolare e unatrapezioidale. E necessario fare attenzione a come un’onda va ad interessare lasuperficie della parete. Un’onda potrebbe avere un run-up superiore al livello dellastruttura, quindi la parte d’onda che va oltre non spinge sulla struttura; in tal casosi considera una parete limitata e si utilizza un diagramma alla Sainflou ”ridotto”perdendo solo la parte che non si scarica sulla struttura. Se invece abbiamo unaberma con massi ciclopici . Se i massi sono filtranti, allora essendo p2 la sovrapressionerispetto alla pressione idrostatica al livello delle fondazioni, allora si ha una pressioneal di sotto della struttura del tipo:

po = γH

2=

1 + X

2Hi

p2 = p1 + (po − p1)γdf

d

(390)

0.27. LEZIONE 24 157

Figura 81: Schema di parete verticale (cavo).

Figura 82: Schema di calcolo delle sollecitazioni per onda con altezzamaggiore della struttura.


Figura 83: Schema di calcolo delle sollecitazioni per struttura appoggiata

su berma di fondazione.

0.27.4 Onde frangenti

L’impatto dell’onda frangente su una struttura continua diventa molto rilevante ri-spetto al caso dei pali dove bastava un semplice coefficiente correttivo. L’effettodell’onda frangente realizza un andamento delle pressioni di tipo idrostatico (se l’ar-gomento del Ch(kd) puo essere poco rilevante, va bene considerare la pressione idro-statica, in quanto in questo si valutano anche gli effetti dinamici). Tale condizionepero e di sottostima in quanto alla superficie si hanno degli effetti pulsanti di pres-sione che sono molto rilevanti. Il metodo risolutivo e stato proposto da Minikin, checonsidera una componente dinamica da aggiungere a quella idrostatica figura 84. Talecomponente dinamica ha valore massimo nel medio mare ed ha una distribuzione adarchi di parabola che annulla la pressione in corrispondenza della cresta e del cavodell’onda. Sono parabole ad asse verticale. La pressione massima vale:

pmax = 101γHb

L

ds

d(d + ds) (391)

dove d e la profondita di mare dove inizia il frangimento di L lunghezza d’onda. Ildiagramma complessivo vale e riportato in figura 84 e 85.

L’azione dinamica vale Fd = pmaxHb

3mentre il momento dinamico invece Md =

Fdds, la risultante della forza e riportato in figura 85.

Ftot = Fd +γ

2

(ds +

Hb

2

)2

(392)

0.27. LEZIONE 24 159

Figura 84: Schema proposto da Minikin.

ed il momento totale:

Mtot = Md +γ

6

(ds +

Hb

2

)3

(393)

Figura 85: Diagrammi di spinta effettivo.

La componente dinamica puo essere molto elevata, addirittura di un’ordine supe-riore ad un’onda che arriva alla struttura senza infrangersi.

0.27.5 Onde fratte

Giungono dal largo e arrivano nella condizione di frangimento alla struttura. Eimportante valutare il piede della struttura rispetto al medio mare.


Piede della struttura sommerso.

Figura 86: Schema di calcolo delle sollecitazioni per piede della strutturasommerso.

Abbiamo una componente idrostatica dovuta all’arrivo di un’onda che frange aduna profondita db > ds e che al frangimento abbia altezza’onda pari ad Hb. Neltrasferirsi alla profondita ds si suppone Hc = 0.78 Hb ottenendo percio una pressione

idrostatica. Si sovrappone un effetto dinamico ad andamento rettangolare pm = γdb

2.

Dal diagramma (di pressione) totale di spinta si ricava:

Ftot =γdb

2Hc +

γ

2(ds + Hc)

2

Mtot =γdb

2Hc

(ds +

Hc

2

)+

γ

2(ds + Hc)

2 1

3(ds + Hc)

(394)

0.28. LEZIONE 25 161

0.28 lezione 25

Piede della struttura emerso.

Figura 87: Schema di calcolo delle sollecitazioni per piede della strutturaemerso.

Bisogna valutare se la parete sia investita dal runup, altrimenti non ha sensoparlare di costruzione marittima di difesa o di contenimento. Prendiamo l’altezzadell’onda al di sopra del medio mare che vale a Hc = 0.78Hb. Il frangente risalela spiaggia stessa fino ad una altezza asse consentiva vale a due volte all’altezza delfrangente; supponiamo un andamento lineare tra Hc ed 2Hb. Risulta:

x1 =zs

m

x1 + x2 =2Hb

m

x2 =2Hb

m− x1

(395)

L’altezza di struttura interessata dall’onda vale:

h′ = Hc

(1− x1

x1 + x2

)= Hc

(1− zs

2Hb

)(396)

L’impatto dell’onda contro la struttura puo essere parametrizzato sfruttando laquantita di moto in funzione della velocita di traslazione dell’onda. In condizioni diinizio frangimento la velocita ricordiamo vale u ≈

√gdb. Supponendo un rallenta-

mento dell’onda il prossimita della battigia59 avremo una spinta data dalla velocita

59questo perche nella teoria dell’onda solitaria u ≈√

g [db + Hb]


u′ che e data da u′ = u(1−

x1

x1 + x2

)≈

√gdb

[1−

zs

2Hb

]. La spinta fornisce una

pressione di tipo dinamico stimabile come:

pdinamica = γu′2

2g=

γ

2db

(1− zs

2Hb

)2

(397)

Tale pressione dinamica viene considerata ad andamento rettangolare, cioe costan-te indipendentemente dall’altezza . Possiamo ricavare una forza agente sulla pareteche viene a valere :

F =γ

2dbHc

(1− zs

2Hb

)3

+γ

2H2

c

(1− zs

2Hb

)2

(398)

ricordando che h′ = Hc

(1−

zs

2Hb

)ed h′2 = H2

c

(1−

zs

2Hb

)2

; possiamo valutare Il

momento:

M =γ

4dbH

2c

(1− zs

2Hb

)4

+γ

6H3

c

(1− zs

2Hb

)3

(399)

0.28.1 Ricapitolando

Dei tre casi di piu frequente il secondo dove si valuta una spinta diretta sulla pareteoppure l’onda puo frangere al largo comportando due diverse soluzioni a seconda dellaposizione del piede della struttura rispetto al livello del medio mare. Si nota comequeste analisi vanno fatte per diverse direzioni di vento.Quindi valuto Ho in modo tale che si tenga conto della rifrazione. L’altezza d’ondaHo viene corretta per rifrazione in funzione di una probabilita di superamento.

Determiniamo quindi:

La profondita di frangimento minima βHb. Confrontiamo la profonditadella struttura con ds >< βHb . Per farlo e necessario ricavare Hb , che efunzione di m (pendenza della spiaggia), dell’indice di rifrazione (1 + X)

e della ripidita dell’onda incidente al largoHo

gT 2.

• i) Se ds > αHB non c’e frangimento.

• ii) Se βHB < ds < αHB frangimento diretto delle onde contro la struttura (casopeggiore).

• iii) Se ds < βHB onde fratte verso la struttura.

• iiii) Se 0 < zs < HB onde lungo il percorso di runup.

Le soluzioni sono rispettivamente:

0.29. SECONDO ORDINE DA FARE. 163

• i) Sainflou; Miche-Rundgren (abachi); Sainflou modificato

• ii) Minikin

• iii) Impulso con diagramma applicato ad Hc

• iiii) Distribuzione rettangolare delle pressioni applicato ad h′

0.29 Secondo ordine da fare.


0.29.1 ESERCIZIO 1

Si abbiano delle onde comprensive di parte riflessa e incidente di altezza: H=1.5 ml’altezza della struttura sia ds = 3.0 m sotto il medio mare. Si considerino due ondecon periodo T=6 s ed T=10 s. Calcolare la spinta dell’onda il termini di forza e dimomento. La struttura e sopraelevata rispetto al medio mare in modo da prevenirel’overtopping (puo essere ad esempio una struttura di diga foranea). Mare interno

Figura 88: Schema esercizio 1.

il condizioni di:

• 1.) Mare calmo

• 2.) Onde trasmesse

E necessario valutare se l’onda puo frangere oppure no. Utilizzando il diagrammaallegato

Tabella 25: Valori esericio n1

T=6 s T=10 sH

gT 20.0042 0.0015

d

gT 20.0084 0.0030

stato non frangente non frangente

Supponiamo di usare il metodo approssimato di Sainflou. Percio supponiamo una

sovrapressione sul fondo maggiorata rispetto quella idrostatica data da p1 < γH

2per

cui la pressione sul fondo vale pfondo = γds + p1.

Secondo la teoria lineare di Airy p1 =γ

2

H

Ch[kd]

0.29. SECONDO ORDINE DA FARE. 165

Caso A

Figura 89: Andamento delle pressioni esercizio 1 caso A.

Mare calmo a ridosso della struttura, le pressioni idrostatiche si trovano all’inter-no:

ko =2π

Lo=

4π2

gT 2= 0.112 (400)

in acque basse ricordiamo (valore di tentatico per k):

kod = kdTh(kd) = (kd)2

kod = k2d2

k = 0.205(401)

Per T=6 s →ko = 0.112 →kod = 0.336 →k = 0.205 →kd = 0.615 →p2 = 7.5 KPa →P1 = 6.3 KPa Da cui:

F =p1 + p2

2ds +

1

2p2

H

2= 23.5 kN/m

M =d + H/6

4p2H +

d2

2p1 +

1

2(p2 − p1)d

2

3d = 41 kNm/m

(402)

Caso B

Moto ondoso riflesso all’interno del bacino. Supponiamo una lunghezza della strutturadell’ordine della profondita b ≈ d; allora si puo scrivere:


Figura 90: Andamento delle pressioni esercizio 1 caso B.

Ht

Hi= 0.5

1− sin

[π

4.4

(h− d

H/2+ 0.4

)]= 0.49 (403)

Ricaviamo ora l’altezza Ht dell’onda trasmessa; Ht = 0.49Hi = 0.73 m. La condizionepeggiore e quella di onda in cresta all’esterno e in fase di cavo all’interno.

p3 =γ

2

Ht

Ch(kd)(404)

Il periodo e lo stesso tra onda incidente e onda trasmessa, quindi si hanno la stessalunghezza d’onda; e noto Ch(kd) dal caso precedente.

0.30. LEZIONE 26 167

0.30 lezione 26

OSSERVAZIONE: Soluzione:

kod = kdTh(kd) → c = xTh(x) (405)

Si puo scrivere F = xTh(x) − c. La tangente Th(x) + x[1 − Th2(x)] in zero eorizzontale, quindi non posso usare il metodo di Newton nell’origine infatti:

xi+1 = xi−F (xi)

F ′i

(406)

F ′i in zero vale zero, abbiamo una forma indeterminata. Allora abbiamo due

possibilita:

• 1.) Per valori di xo = c (valori c elevati)

• 2.) Per valori di xo =√

c (valori bassi)

Si puo aggirare il problema implementando un programma di ricerca degli zeri inmaniera dicotomica.

0.30.1 ESERCIZIO 2 Spinta dinamica

La struttura si pone ad una profondita d, rispetto al medio mare e si supponga che, incerte condizioni di marea, le onde arrivano frangere contro la struttura. Sia m = 0.05d=2.3 ed il periodo T = 6 s T = 10 s . Trovare le forze risultanti dalla spinta e imomenti, considerando il frangimento sulla parete. Usiamo la figura 7-4. Dobbiamo

Tabella 26: dida

T=6 s T=10 sd

gT 20.0065 0.0023

Hd

d1.12 1.3

Hb 2.6 m 3 m

realizzare un diagramma di pressioni, pero prima e necessario ricavare la profondita acui avviene il frangimento, quindi dal grafico 7.2: Frangimento su profondita uguali.Dobbiamo calcolare la lunghezza d’onda, usiamo la seguente relazione.

d

Lo=

d

LTh(d/L)

d = 2.8

Lo =gT 2

2π= 56 e 156m

dLo

= 0.05 0.018

(407)


Tabella 27: dida

T=6 s T=10 sHb

gT 20.0073 0.003

dd

Hb1.08 0.95

db 2.8 2.85

Figura 91: Distibuzione delle pressioni esercizio 2.

0.30. LEZIONE 26 169

Dagli abachi si ricava:

Tabella 28: dida

T=6 s T=10 sd

L0.00942 0.0546

DL 29.7 m 51.3 mdb 3.8m 4.9 m

pmax 320 kPa 196 Kpa

La forza totale sulla parete vale:

F = Ftot + Fdim = gρ[d +

Hb

2

]2 1

2+ pmax

Hb

3(408)

per T=6s F = 64.8 + 277.3 = 342 kN/m per T=10 s F = 72.2+ 196 = 268 kN/mSono piu temibili le onde frangenti piu ripide. Inoltre si nota una differenza di ordinitra le componenti dinamiche e quelle statiche.Calcolo del momento ribaltante

Mo = Mstatico + Mdinamico =ρg

6

[d +

Hb

2

]3

+ Fdinamicod (409)

per T=6s M = 77.8 + 637.1 = 715 kNm/m per T=10 s M = 91.5 + 450.8 = 542kN/m

Si nota la grossa differenza di momento data dalle due componenti.

0.30.2 ESERCIZIO 3

Spinta e momenti su una struttura emersa rispetto alla linea di spiaggia, cioe a quotaz=0, sopra la minima bassa marea; l’escursione di marea sia pari a ∆hm = 1.3m;inoltre Hb = 3 m, zs = 0.6 m T=6 m. Quali sono le condizioni peggiori per lastruttura? Se c’e bassa marea il frangimento avviene al largo e l’onda fratta arrivasulla struttura.Per l’alta marea invece l’onda potrebbe infrangersi. Dalla figura 7-2

Hb

gT 2= 0.0085

db

Hb= 1.1 (410)

Profondita di frangimento db = 3.3 m; marea minima xb = 3.3/0.05 = 66 mmentre xp = (4 − 9.25)Hf = 10.6 m, Hc = 0.78Hb = 2.35 m, uc =

√gdb = 5.7 m/s

(velocita di traslazione), x1 = 12 m x1 + x2 = 120 m. Si ricava l’altezza che investela struttura pari a:

h′ = Hc

[1− x1

x1 + x2

]= 2.1 m U ′ = Uc

[1− x1

x1 + x2

]= 5.1 m/s (411)



La pressione vale:

pd = ρU ′2

2= 13.4 kPa

F = pdh′ + ρg h′2

2= 28.1 + 22.3 = 50.4 kN/m

(412)

Si ottiene una componente dinamica dello stesso ordine di quella statica ! Il momentoM = pd

h′2

2+ gρh′3

6= 29.5 + 15.6 = 45.1 kNm/m

Marea massima xb = (db − ds)/m = 52 m, con ds = ∆hm − zs = 1.3 − 0.6 = 0.7m, xb profondita con xp = (4− 0/25)Hf = 10.6 m.


0.30. LEZIONE 26 171

pd = ρg db

2= 16.7 kPa

Hc = 0.78Hb = 2.35 kPa

F = Fstatica + Fdinamica = ρg 12 [ds + Hc]

2 = 47 + 39.2 = 86.2 kN/mM = Fstatica [ds + Hc/2] + Fdinamica [ds + Hc] /3 = 88.1 + 39.8 = 128 kNmM

(413)


0.31 lezione 27

Abbiamo definito le forze ed i momenti per determinare e valutare le reazioni su unmuro di sponda. Rispetto ai muri di geotecnica esiste un sovraccarico aggiunto datodalla spinta dell’acqua che tende a farlo ribaltare verso la terra, quindi la spinta dellaterra risulta essere favorevole. Va fatta la verifica a stabilita globale di resistenza

Figura 94: Spinta delle terre sulle opere.

della sovrastruttura di riparto delle onde. Le opere marittime sono grossolane da unpunto di vista strutturale perche dovrebbero ammettere delle riserve di resistenza talida garantire la sicurezza anche in condizioni diverse da quelle di progetto.

Figura 95: Struttura di riparo.

0.31. LEZIONE 27 173

0.31.1 DIFESE IN MATERIALI GRANULARI SCIOLTIScogliere artificiali di massi

Il comportamento globale dipende dalle mutue interazioni ”granulo-granulo”, quindipoco esprimibile in termini analitici, di conseguenza occorre affrontare il problemamediante un approccio di tipo applicativo-sperimentale. Bisogna “capire” 60 il tipodi materiale da usare, il modo di realizzare tali opere, i dati statistici sulle opereesistenti61 in modo da avere informazioni sui massi (dimensioni)

Tabella 29: Costipazione.

Strati

Massi versati casoCon ordine preciso

Materiale:

Tabella 30: Tipologie materiali naturali.

Naturale

Tout venant : misto di cava (materiale arido)Pietrisco : pezzature selezionatePietrame : pezzature selezionateBlocchi : in pietra naturale tipo basalto

Tabella 31: Tipologie materiali artificiali.

Artificiali

calcestruzzo, blocchi parallelepipeditetrapodiquadripodi (trepiedi sulla base)tribar tre cilindri collegati da una stella a 3 puntedolos sono vuoti all′interno

E’ evidente che cambiando il peso varia la dimensione dell’elemento. Versati acaso, cio favorisce la dissipazione dell’energia nei vuoti. Una disposizione ordinatadiminuisce i vuoti e riduce la dissipazione, pero si ha una migliore resistenza allastruttura poiche i blocchi si incastrano tra loro . Se l’obiettivo del progetto e anchequello di diminuire l’effetto di riflessione, i blocchi vanno disposti a caso pero avendominor resistenza del complesso, si usano blocchi piu grossi. Il blocchi posti a diretto

60dipende anche la diponibilita del materiali quindi costi ect..61 eventuali ammaloramenti


contatto con il mare, avranno una pezzatura piu elevata perche saranno sottopostiad una azione diretta del moto ondoso. I blocchi possono essere soggetti:

Figura 96: Stacco dei blocchi.

• a) Franamento in massa

• b) Distacco di singoli blocchi, possono risalire lungo la struttura per effetto delleonde, generando abrasioni e urti contro gli altri blocchi figura 96.

Tipicamente non avvengono mai dissesti totali dell’opera ma e piu frequente undistacco locale. Pero in quest’ultima condizione ritroviamo una nuova configurazio-ne di equilibrio. Evidentemente a mareggiata conclusa si puo e si deve ripristinarel’opera. Abbiamo dei criteri dimensionati per determinare il peso del blocco tipo(Irribarren-Hudson):

W = γsH3

(γs−γ

γ

)3 tg(θ)1

KD(414)

dove:

• H : altezza onda caratteristica

• γs − γ

γ: coefficiente peso immerso

• θ: angolo scarpata

• KD: coefficiente di sicurezza

KD dipende da:

• Tipo di materiale, numero di strati, disposizione del materiale, onda frangenteo meno, posizione planimetrica nella struttura

• Lo spessore degli stati e valutato nel numero di elementi sovrapposti

• La scogliera e lineare, pero e diverso calcolare le sollecitazioni per il corpo cheper le estremita e puo variare tra 1.7 e 15 , come mostrato in tabella.

0.31. LEZIONE 27 175

0.31.2 Equilibrio

Figura 97: schema di equilibrio.

Cerchiamo di dare una spiegazione approssimativa della relazione di Hudson conriferimento alla figura 97 Per l’equilibrio deve essere Pt = Fa la forza d’attrito deveessere uguale alla componente tangenziale della forza peso.

KoL3(γs − γa)sin(θ) = f(Picos(θ)− R) (415)

Ricordiamo che K e un coefficiente di forma per cui KoL3 = volume mentre R e

l’effetto, in fase di riflusso, dell’onda che frange ed e diretto perpendicolarmente allascarpata. Approssimativamente R = K1L

2γaH da cui:

KoL(γs

γa− 1)(fcos(θ)− sin(θ)) = fK1H (416)

Eleviamo entrambi membri al cubo e moltiplicandoli per γs otteniamo:

P = γmL3Ko = γmKo

fK1H

Ko(γs

γa− 1)(fcos(θ)− sin(θ))

3

(417)

Da cui P = W = W

(H3, θ, γs, γa, K =

K31

K2o

)

0.31.3 Tipi di sezioni trasversali.

Il livello della prima sella e alla minima marea meno all’altezza d’onda lato mare).La sella sinistra e sotto la minima marea di 1.5 H (lato interno)

G : materiale del nucleoE : materiale di copertura che proteggere il nucleo in fase costruttiva.

Poi si realizza la copertura superiore. Servono due rinfianchi di materiale F. Se-gue la seconda copertura di materiale D. Infine l’ultimo strato di copertura e dato


Tabella 32: Valori indicativi di KD

Materiale disp. strati corp. B corp NB test. B test. NB cot(theta)Pietramearrotondato random 2 2.1 2.4 1.7 1.9 1.5TetrapodiQuadrapodi random 2 7.2 8.3 5.5 6.1 2Tribar random 2 9 10.4 7.8 8.5 2.0

Dolos random 2 22 25 15 16.5 2.0

Figura 98: Materiali utilizzati per le diverse sezioni trasversali.

0.31. LEZIONE 27 177

da materiale di tipo C per la parte di base, materiale B piu pregiato dal lato mare,materiale piu pregiato di tipo A che copre completamente la scogliera. Il corona-mento della scogliere deve essere tale da contenere nelle condizioni di massima mareal’altezza d’onda.

Tabella 33: Materiale e campo di variazione

posizione peso variazione strato osservazioniA W 75÷ 125% copertura pimariaB W/2 75÷ 125% copertura secondariaC W/15 75÷ 125% copertura secondariaD W/10 70÷ 130% primo substratoF W/300 70÷ 130% primo substrato materiale piccolo

e ben selezionatoE W/200 50÷ 150% secondo substrato

G W/50000 30÷ 170% nucleo pochi vuoti perun buon sostegno

0.31.4 Sezione a tre strati

Figura 99: Sezione a tre strati.

dove:C Berma del secondo stratoB Eventualmente si puo usare materiale diverso


Tabella 34: Materiale e campo di variazione

posizione peso variazione strato

A W 75 ÷ 125% copertura pimaria o strato esternoB W ÷W/2 75 ÷ 125% copertura secondariaC W/15 ÷W/20 30 ÷ 120% primo substratoD W/200÷W/5000 50 ÷ 150% nucleo

Per il nucleo devo assicurare il peso W/200 e il W/500 con il granulo medio diuna certa geometria: pietrisco misto di cava con W relativo al D50

Dimensioni. La dimensione della cresta, B, e atta a prevenire l’overtopping,cioe che le onde scavalchino la struttura ed inoltre deve tener conto dei criteri di rea-lizzazione della scogliere stessa, devono passare contemporaneamente due automezzi

affiancati, B ≥ n(

Wγs

)1/3dove n rappresenta numero di unita (n=3). Per quel che

riguarda lo spessore degli strati e in funzione del numero di elementi previsti per la

costruzione dello strato so = ns

(Wγs

)1/3

Pendenze

Le scogliere sono tipicamente fatte simmetriche a meno che non ci siano problemiconnessi con la navigazione.

• 1/3÷ 2/3 parte esterna

• 2/3 parte interna (il paramento e riparato quindi meno sollecitato)

L’angolo di scarpata interviene nel calcolo del peso del singolo blocco; scarpate piuripide necessitano di blocchi di dimensioni maggiori. Si puo calcolare il numero dielementi da impiegare per unita di superficie: si sviluppa planimetricamente la partecoperta dai blocchi valutando:

N

A≈ ns

(γs

W

)2/3

(1− p) (418)

• p percentuale dei vuoti

• p=0.4 per pietrisco blocchi di cave.

• p=0.5 blocchi in calcestruzzo; tetrapodi, quadripodi etc.

• p=0.55 tribar

• p=0.63 dolos ....

Un altro parametro e quello di danneggiabilita dell’opera, cioe posso realizzare un’o-pera meno costosa ma periodicamente deve essere aggiustata e/o rimaneggiata.

0.32. LEZIONE 28 179

0.32 Lezione 28

Dopo aver analizzato i criteri di costruzione delle scogliere artificiali, resta da definireun elemento di sommita (coronamento) che permetta il transito dei mezzi di trasportoe che leghi i massi situati nella parte superiore. Tale elemento si realizza per colata equindi si puo perdere del materiale tra i fori; si possono realizzare due getti:

• a) Uno di minor pregio per occludere i fori

• b) Il secondo definitivo per favorire la resistenza.

Questa procedura puo pero comportare degli svantaggi:

• a) La maggior rigidezza puo trasferire dei cedimenti localizzati a tutta la strut-tura;

• b) Una eventuale caduta di massi provoca un foro che a causa del coronamentorigido rende difficili le operazioni di ripristino.

Puo essere realizzato un frangiflutti in modo da contrastare il runup e l’overtoppingverso il mare interno per non dover realizzare grosse scogliere.

Figura 100: Tipologie di opere di coronamento.

0.32.1 BERME DI FONDAZIONE

Scogliere di protezione al piede

Creano una ripartizione degli sforzi in modo da migliorare la qualita delle fondazioni;Anche se il piede puo essere di qualita geotecnica buona quando il fondale e basso,la velocita in superficie e circa uguale quella sul fondo e questo puo generale uno


Figura 101: Tipologie di Berme di fondazione. Nel primo caso il terreno

di fondazione none ottimale.

scalzamento della struttura; allora si realizza una parte grossolane di protezione. Ilpeso del masso usato per la gittata e dato dalla relazione:

W =γs

N 3s

H3

γs−γγ

(419)

N 3s : numero di stabilita (coefficiente di sicurezza). Dal diagramma allegato, abbiamo

l’andamento di tale coefficiente in funzione del rapporto di immersione, d1 profonditaberma, ds profondita struttura rispetto al fondale davanti alla berma. L’ampiezzaB della berma e della scogliera sono date da B = 0.4ds. Per un granulo sferico

W = γsπ

6D3 . Si prendera il diametro mediano cioe il 50%, che mi da’ il 50% di

trattenuto e il 50% di passante. Il peso dell’elemento massimo deve essere Wmax < 3Wmentre quello dell’elemento minimo Wmin > W/4.

0.32.2 Presenza alla asportazione per correnti

Correnti di marea

Si valuta la velocita caratteristica delle correnti e valutando il trasporto con il dia-gramma di Shields. La velocita della corrente di marea e data da:

vmarea =4π

3

∆h

Tm(420)

Tm : periodo ∆h: escursione

Il criterio di Shields mette in conto la tensione tangenziale sul fondo dei canali:

τo = γRj j = −dE

ds(421)

Se si usa la formula di Chezy per le resistenze nel caso del coefficiente adimensiona-

0.32. LEZIONE 28 181

lizzato vale:

v = c√

gRj

Rj =v2

c2g

τo = ρv2

c2

(422)

v e velocita media corrente. Ricordiamo invece che v/c = v∗ e la velocita d’attritomentre τo forza che tende a muovere il granulo sul fondo del canale per unita disuperficie.Il peso invece tende a stabilizzare il granulo e puo essere parametrizzato come segue:

peso granulo

superficie= (γs − γ)

D3

D2(423)

Shields ha introdotto un criterio di stabilita dato dal rapporto di tali numeri:

τ∗ =τo

(γs − γ)D(424)

Possiamo vedere nel sguente grafico l’andamento di τ∗ in funzione del numero diReynolds (con riferimento al granulo).

Figura 102: Andamento della tensione critica in funzione di Reynolds.

Quindi e possibile fare una verifica se il diametro del sedimento e tale da resistere allacorrente.

0.32.3 Possibilita di danneggiamento

Si potrebbe realizzare una struttura che puo essere danneggiata solo dal massimo dimareggiata, oppure sottodimensionare la struttura in modo da definire una successio-ne di interventi. Cosı facendo si puo avere dei costi minimi ma un’opera meno costosainvece di un’opera completa a maggior costo con una spesa di manutenzione nulla.

V AN =T∑

i

(Rn − Sn)(1 + i)n (425)


dove i e il tasso di interesse, Rn e il ricavo, VAN e il valore attuale. Pero non si sache danni provochera una mareggiata, allora sara necessario riferirsi a stime relativealle probabilita di una mareggiata. In questo modo il valore attuale diventa unavariabile aleatoria, interessa pero di piu la percentuale di danni per evento. Dannopercentuale per evento critico se prendiamo una tabella di cui riportiamo coefficientidi dimensionamento della scogliera in funzione del rischio accettato: Si ricorda che:

Tabella 35: coefficienti di dimensionamento in funzione del rischio

rischio % 0÷ 5 5÷ 10 10÷ 15 15÷ 20 20÷ 30 30 ÷ 40 40 ÷ 50

pietrame levigato 1 1.25 1.5 1.7 2.12 2.8 3.6

pietrame grezzo 1 1.25 1.65 2.0 2.50 3.10 3.8tetrapodiquadripodi 1 1.3 1.6 1.9 2.30 2.8 3.4tribar 1 1.3 1.85 2.5 3.4 4 4.9

W =γs

KD

H3

(γs−γ

γ

)3 tg(θ) (426)

La tabella da’ un coefficiente α di correzione tra KD e KDo a rischio zero: α =KD

KDo

E una tabella di tipo empirico basata su una statistica di casi avvenuti. Permettedi diminuire le dimensioni del materiale impiegato stabilendo poi tutta una serie diinterventi successivi.“Questo approccio non si puo applicare con l’attuale situazione amministrativa ita-liana. ”

0.32.4 Cedimenti tipici di un’opera a gettata.

Le principali modalita di danneggiamento di una diga a gettata e le relative necessarieverifiche di stabilita sono riportate in figura 103.

1. rimozione o rottura degli elementi della mantellata

2. perdita di massi dallo strato filtro sottostante la mantellata e di materiale finedel nucleo

3. rosione della berma al piede della mantellata

4. spostamento o rottura del massicio di coronamento (muro paraonde)

5. tracimazione o sormonto dell’opera

0.32. LEZIONE 28 183

Figura 103: tipologie di cedimento.

6. perdita degli elementi del paramento interno

7. rottura o cedimento della fondazione

8. erosione del fondale al piede dell’opera

9. eccessivi cedimenti sotto carico di struttura e fondazione

0.32.5 STRUTTURE DI DIFESA SPONDALE E CONTE-

NIMENTO DELLE TERRE

Figura 104: Schema spinta delle terre.

• Spinta delle terre


• Spinta dovuta al sovraccarico

Il sovraccarico sulla struttura risulta essere di stabilita..

• q: entita del sovraccarico per unita di superficie

• θ: angolo di attrito

La spinta del sovraccarico vale:

spinta sovracarico = qhtg2(45− θ/2)spinta terre = 0.5γth

2tg2(45− θ/2)(427)

Bisogna fare attenzione al peso specifico del terreno perche la falda sara comeminimo al livello del medio mare. Se la struttura e di attracco dei navigli si avrannodegli urti alla struttura, oppure dei tiri agli ormeggi (sforzi orizzontali). Si dispon-

Figura 105: Ormeggio.

gono degli elementi di assorbimento degli urti. Se l’urto rimane in campo elastico nonci sono deformazioni permanenti, mentre se l’urto e forte, il materiale entra in campoplastico povocando danneggiamenti all’opera. La dissipazione dell’energia puo avve-nire anche per rotazione della nave e per turbolenza legata allo schiacciamento delcuscino d’acqua interposto con il ”muro” di sponda. La forza d’urto viene valutatain pre-progetto come:

F = 25 ÷ 30 t/m = 250÷ 300 kN/m (428)

Se l’accosto non e sulla banchina ma sui pali isolati (ad esempio nei porti pertrasporto di idrocarburi):

F = 2000÷ 3000 kN/m (429)

Il tiro alle bitte e valutato come:

T = 500÷ 1000 kN/bitta (430)

0.32. LEZIONE 28 185

La distanza tra le bitte e di ∆ = 20 ÷ 30 m. Una volta che la nave e ormeggiatasi deve prevedere una azione dovuta al vento valutabile come:

F =S′′w2

16(431)

dove S” e la superficie della nave emersa dall’acqua in direzione ortogonale a quelladel vento. e w la velocita del vento. Tale forza puo essere di tiro sulle bitte o dicompressione sulla banchina. Se il porto e soggetto a correnti allora avremo unaforza:

F =1

2cDρS ′u2 (432)

dove u e la velocita della corrente, cD coefficiente spinta aerodinamica, S’ sezioneimmersa della nave ortogonale alla corrente.


0.33 lezione 29

0.33.1 Velocita di accosto

Se si vuole garantire una velocita U al natante i motori devono garantire una forza Fpari a:

F =c

2ρSU2 (433)

Dove S e la sezione di deriva (sezione maestra) il coefficiente c puo essere ricavatodalla relazione:

1

c= 0.25 +

[1.9

p′

d

]2

(434)

Con p’ pescaggio; d profondita bacino; p tirante sotto carena si veda figura (105). Dalteorema della quantita di moto si ottiene che la massa del naviglio M piu la massaaggiunta M’ (acqua spostata dal naviglio) per la variazione di velocita delle essereuguale alla forza esterna in regime di moto permanente:

(M + M ′)dU

dt= F − R (435)

Nei porti abbiamo velocita limitata e profondita limitate, allora la massa aggiuntapuo essere valutata con un’espressione:

M ′

M≈ 0.20 + 0.12

d

p(436)

Se si ammette che la resistenza possa essere espressa dalla stessa relazione cheesprime la forza F. In prossimita del molo i motori vengono spenti, quindi le forzesono uguali a zero, inoltre se si ipotizza assenza di getti laterali per frenare il naviglio,si ottiene l’andamento della velocita pari a:

U(x) = Uo

√e−x/X (437)

Con X =cmM

cρScostante ed cm coefficiente di massa aggiuntiva ricavabile come

cmM = M + M ′ cm =M + M ′

M= 1 +

M ′

M(438)

Se l’arresto dei motori avviene a distanza L dalla banchina, l’impatto avviene conuna velocita:

UL = Uo

√e−L/X (439)

Che avra energia cinetica pari a:

Ec =1

2(M + M ′)U 2

L (440)

Energia Ec e detta energia cinetica d’accosto. Viene assorbita come:

0.33. LEZIONE 29 187

• a) Lavoro di deformazioni della banchina;

• b) Rotazione del naviglio;

• c) Schiacciamento di cuscini d’acqua che dissipano energia per attrito viscoso.

Figura 106: Schema di rotazione del natante.

Pressione che produce un momento quindi rotazione del naviglio rispetto al ba-ricentro. Se si trascura gli effetti di rollio, l’energia da assorbire e data dalla solaenergia di rotazione data da:

E∗ ≈ 1

2(M + M ′)U 2

L

[R2 + r2cos(γ)

R2 + r2

](441)

Una stima puo ossere ottenuta semplicemente da:

E∗ ≈1

2Ec (442)

Questa energia deve essere dissipa per lavoro dai parabordi. I parabordi sono didiverse tipologie. Il piu utilizzati hanno difese in gomma costituite da elementi cilindri(spesso vuoti all’interno o riempiti da materiali piu deformabili della gomma) e sospesida catene appena sopra il pelo dell’acqua. Le loro dimensioni dipendono dalla stanzadel naviglio (si puo arrivare ad un diametro di 2 metri). Le imbarcazioni piccole siportano i parabordi a bordo.


Figura 107: Paraborodo.

0.34 I PORTI

0.34.1 ubicazione

• a) Porti interni

• b) Porti esterni

0.34.2 Tipologia/utilizzo

• a) Porti militari

• b) Porti di rifugio (per modesti natanti colti da tempeste)

• c) Porti commerciali

• d) Porti industriali

• e) Porti da pesca

• f) Porti turistici

0.34.3 Classificazione

• a) Porti naturali: l’insenatura della costa e tale da realizzare un vero e proprioporto.

• b) Porti con difese: moli radicati a riva e dighe foranee.

• c) Porti interni. Scavati sulla costa e collegati con canali. Un esempio e il portodi Ravenna: era all’epoca dei romani sulla costa e per successive interruzioniora e situato a qualche chilometro all’interno della costa.

Tipicamente i moli sono esposti in modo da opporsi agli eventi legati al fetch princi-pale; inoltre puo essere costruito un molo secondario per limitare le agitazioni ondoseall’imboccattura del porto.

0.34. I PORTI 189

0.34.4 Disposizione delle opere

• a) Porti difesi da un’unica o piu dighe parallele alla costa (Trieste)

• b) Porti difesi da un’unica diga radicata alla costa (Savona)

• c) Porti difesi da due dighe convergenti (Ravenna)

• d) Porti difesi da due dighe parallele (porto canale di Cesenatico)

• e) Porti difesi da due dighe una principale ed una secondaria (Napoli)

Le caratteristiche principali dei bacini portuali sono:

• Profondita;

• Dimensioni;

• Disposizione degli accosti.

0.34.5 Sistema portuale di accesso.

• Canale di accesso.E’ tracciato secondo una rotta prestabilita che tiene conto della navigazione diuna nave esposta ai venti, alle onde ed alle correnti.

• Imboccatura.Deve garantire un sufficiente margine di larghezza e di profondita per la navi-gazione col moto ondoso presente.

• Bacino di evoluzione. E’ posto preferibilmente nell’avanporto immediatamentea ridosso dell’imboccatura; deve essere protetto dall’azione delle onde e dellecorrenti e tener conto dei venti prevalenti.


0.35 LEZIONE 30

0.35.1 Muro di sponda

Figura 108: Muro di sponda costituito da massi ciclopici.

Costituiti da massi ciclopici appoggiati uno sopra d’altro dopo averli realizzati ilcalcestruzzo in cantiere. Va verificata la resistenza alla spinta su ogni blocco. Nelblocco di testa c’e anche la bitta di ancoraggio che va verificata. Inoltre ci deve essereun cunicolo dove passano le condotte di rifornimento (acqua, elettricita, drenaggio,telefono, eccetera.). Il riempimento del muro si fa tramite uno ”scarico” di materialegrossolano e poi si riempie con materiale meno pregiato ma tale da resistere ai cantierisituati superiormente.

0.35.2 Muro di sponda a cassoni autoaffondanti

Sono celle in calcestruzzo vuote, con uno zoccolo di fondazione. Le celle sono a piantaquasi quadrata. Sono aperti nella parte superiore. Vengono realizzati nei bacini dicarenaggio in modo che quando sono completati il bacino viene allagato e il cassone vain galleggiamento. Si realizza cioe una verifica a sfondamento. Poi vengono portati sulposto e con una pompa riempiti d’acqua per affondarli. Si riempiono d’acqua perche seci sono problemi si puo riportarlo in galleggiamento. Arrivato nella posizione definitaviene riempito con materiale sciolto (anche materiale poco costoso). Lo spessoredeve essere maggiore di 30 cm perche i copriferri devono essere almeno di 5 cm.L’operazione e onerosa sia per il trasporto che per il calcestruzzo e dell’acciaio usato.Il vantaggio e la realizzazione in serie ed inoltre il trasporto via mare e limitato.Il cordolo e realizzato in pietra naturale per resistere allo sfregamento. Verifica digalleggiamento durante il trasporto per evitare che si rovesci. Ciascun cassone portauna bitta di ancoraggio. E sempre da sistemare il fondo.

0.35. LEZIONE 30 191

Figura 109: Tipologie di casssone autoaffondante.

0.35.3 Muro di sponda a palancole

Il materiale del fondo deve consentire l’infissione della palancola. Puo essere tirantata.In testa va sempre realizzata la bitta ed il cunicolo servizi.

0.35.4 Banchina su pali

Figura 110: Banchina su pali.

Realizzato disponendo una serie di pali collegati da travi in senso longitudinale etrasversale. Poi viene realizzata una soletta con compiti di irrigidimento e di assorbi-mento a terra delle spinte orrizontali (vanno verificate come carico di punta). Inoltreper i tiri devono resistere alle forze di trazione ma non potendo calcolare la soletta simettono anche dei pali trasversali. La banchina e di facile realizzazione e necessitadi poco spostamento di terreno. E onerosa per la realizzazione della soletta. Il palodeve garantire continuita sulla profondita di infissione (prove non distruttive che ne


valutano la vibrazione). Invece nella palancola si possono affiancare dei pali per larealizzazione di un paramento continuo.

0.35.5 arredo

Figura 111: Tipologie di scale.

Come arredo, oltre alle bitte servono:

• a) Scalette di risalita dei muri di sponda, inserite ad esempio in nicchie perevitare danni; oppure scalette in muratura per l’accosto di piccole imbarcazionio per chi e caduto in acqua.

• b) Anelli di ancoraggio

• c) Per gli incendi ci sono piccole imbarcazioni che prelevano l’ acqua con delleidrovore e lo sparano sul fuoco.

• d) Altre imbarcazioni hanno il compito di pulizia, cioe di recupero del materialeflottante.

Figura 112: Anello di ancoraggio.

Vedere testi sui marinas (piccoli porti) per vedere la loro realizzazione. Pontili fissi ogalleggianti nel caso di forte escursione di marea.

0.36. LEZIONE 31 193

0.36 lezione 31

0.36.1 Bacini di carenaggio e conche per la navigazione flu-

viale

Figura 113: Esempio di bacino di carenaggio.

Per i bacini si mette a secco un’imbarcazione, mentre per le conche si deve a variareil pelo libero. Quindi esiste un parallelismo tra le due opere. I bacini vengono realiz-zati scavando una zona costiera chiusa da un portale figura 113. Con lo svuotamentotramite idrovore, la nave si appoggia sui sostegni, e e sottoposta a manutenzione. Avasca vuota tutta la spinta idrostatica e assorbita dalle pareti. Quando la nave epronta per uscire, si lascia aperto l’acquedotto facendo entrare per gravita l’acqua.Per la conca di navigazione si fanno due portali opposti Per superare lo scalino enecessario chiudere le porte al di sotto e riempire il bacino per gravita fino al livellodel canale superiore. Per scendere e invece necessario far uscire l’acqua da sotto finoal livello del canale inferiore. A differenza del bacino, la conca puo funzionare senzaorgani di pompaggio. La conca ha un notevole uso giornaliero, mentre il bacino eusato meno perche una volta sistemata la nave, questa e soggetta a manutenzioneche pero dura diverso tempo. In quest’ultimo caso si preferisce non usare le portevinciane ma usare dei portoni autoaffondanti che assicurano una miglior tenuta, perosono di piu difficile realizzazione. A bacino vuoto ci sono sottospinte che tendonofar galleggiare la struttura. Quindi si deve assicurare un notevole peso proprio perevitare il galleggiamento. L’acquedotto e lo strumento che consente l’entrata e l’u-scita dell’acqua, cioe lo vuotamento e il riempimento del bacino o della conca. Tale


Figura 114: Esempi di conca i navigazione.

0.36. LEZIONE 31 195

acquedotto deve soddisfare dei requisiti relativi alla velocita di riempimento. Perle conche di navigazione i tempi previsti sono dell’ordine della mezz’ora e dipendo-no anche dalle condizioni del traffico del canale. Eccessive portate entranti possonogenerare dei vortici e delle ondulazioni che sono spiacevoli. Bacini e conche hannoorgani di ormeggi per tenere la chiatta in posizione ma in ogni caso sono da evitarele ondulazioni. I modi per far entrare l’acqua sono:

• a) Apertura nella porta stessa: efflusso libero o rigurgitato a seconda del livellodi valle; pero questo produce dei getti;

• b) Acquedotto di testata: che immette direttamente l’acqua lateralmente allaconca.

• c) Acquedotto longitudinale: laterali o sul fondo in modo da distribuire l’acqualungo il bacino. Questo schema idraulico assicura che l’ acqua sia distribuita inmaniera uniforme, quindi le feritoie devono essere progettate in modo da darela stessa portata lungo tutto l’asse della condotta.

La conca e preceduta o seguita da bacini di attesa (mandracchio), che sono allarga-menti del canale, che permettono la sosta delle imbarcazioni in attesa di passare perla conca di navigazione. Se la conca funziona solo per gravita, bisogna valutare che laportata del canale sia tale da garantire le manovre. Per farlo si valuta il volume mas-simo V = A∆h dove A area della conca . La portata necessaria e data da Q = ηtV/tdove V e il volume ηt il numero delle concate, t il tempo die 86400 s. Si nota chepiu aumenta il dislivello ∆h, piu aumenta la portata da introdurre. Se si supera lacapacita del canale, non ci sara piu riempimento per caduta libera e sara necessariodisporre degli organi di pompaggio. Tali organi possono attingere a monte o a valleoppure ad un serbatoio apposito che permette di integrare il volume che manca percaduta libera con quello del serbatoio stesso. Non e necessario avere un serbatoio cheriempia completamente la conca, perche si utilizza per riempire la parte mancante diportata. Cosı facendo si riducono costi di realizzazione dell’opera.

Problemi idraulici

Il problema e disporre tali feritoie in modo da avere portata costante lungo tuttala condotta. Considerando le feritoie come un’unica feritoia equivalente distribuitalungo la conca abbiamo:

Q =∫ L

0q(x)dx (443)

Deflusso sotto battente q(x) = cqA√

2g∆h dove cq e il coefficiente di portata chetiene conto anche delle perdite di carico per sbocco ed imbocco.

All’estremo la portata e praticamente nulla, la cadente piezometrica j = −dE

dxdeve essere orizzontale. L’andamento del carico piezometrico sotto riportato in figura


Figura 115: Schema idraulico di una conca di navigazione.

115 quindi abbiamo carichi maggiori sul fondo che sulla testa del canale. L’am-piezza delle feritoie si puo modulare in modo da avere la pressione costante q(x) =

cqA(x)√

2g∆h dove cq e il coefficiente di deflusso. Un altro problema e definire laportata dell’acquedotto che consenta di fissare il riempimento in un tempo limiteprefissato.

2) Portata dell’acquedotto di testata.

Per una conca prismatica la portata puo essere scritta come:

Q =dV

dt= A

dh

dt(444)

Invece la portata data dall’acquedotto vale Q = cqΩ(t)√

2g(H − h) dove H e il caricodi monte ed h il livello del bacino mentre Ω e la sezione del condotto Solitamente si

impone una manovra di apertura lineare vale a dire Ω(t) ∝t

t1Si ottiene un sistema

di equazione differenziali che puo essere ridotto facendo dei cambiamenti di variabili:

y =H − h

H − ho

ho = h|t=0

τ =t

T

τ1 =t1T

α =Q0T

A(H − ho)

Qo = cΩ√

2g(H − ho)

q =Q

Qo

(445)

dove:

0.36. LEZIONE 31 197

• T tempo definitivo riempimento (incognito)

• Q0 e una portata di riferimento

• h0 e la quota iniziale el bacino.

L’equazione 444 da’ luogo ad un’equazione differenziale adimensionalizzata:62

α

τ1τ√

y = −dy

dτ(452)

Con la condizione iniziale τ = 0 corrisponde y = 1 sfruttando il metodo dellaseparazione delle variabili si arriva alla soluzione generale:

y =

(1− ατ 2

4τ1

)2

q =τ

τ1

√y

τ ≤ τ1

(453)

Se τ > τ1 cambia il sistema dando luogo alla soluzione:

y =(1−

α

4(2τ − τ1)

)2

q =√

yτ > τ1

(454)

Si puo notare che per τ = τ1 le due soluzioni sono coincidenti. Se si pone un certotempo limite T per la nostra operazione ed un tempo t1 per l’apertura della valvola(sono parametri dati) si definisce la condizione per avere la portata massima, infattisfruttando la seconda delle equazioni 453 abbiamo:

qmax →d

dτ(τ√

y) = 0 (455)

62

α =Q0T

A(H − ho)(446)

Adh

dt= Q =

t

t1cΩ

√2g(H − h) (447)

Q

Qo=

τ

τ1

√y (448)

dy = − dh

H − hoTdτ = dt (449)

−A(H − ho)

TQ0

dy

dτ=

Q

Q0(450)

− 1

α

dy

dτ=

τ

τ1

√y = q (451)


Da’ luogo all’equazione:

√y +

τ

2√

y

dy

dτ= 0 (456)

Dividendo per√

y:

1 +τ

2y

dy

dτ= 0 (457)

Introducendo dy/dτ = ...y = .. si ricava:

1 +τ

2

(1− ατ 2

4τ1

)2 2

(1− ατ2

4τ1

)4ατ

4τ1= 1− 3

4

ατ 2

τ1= 0 (458)

1− 3

4

αqτ(1−

ατ2

4τ1

) = 1− 3

4

αqτ(

2

3

) = 0 (459)

Che fornisce il tempo adimensionale corrispondente alla portata massima:

τ∗ = 2

√τ1

3α

q∗ =4

3√

3τ1α

(460)

Dati α e τ ricavo q∗ da cui Q e quindi il diametro della condotta necessario. Quando

Figura 116: Bacino di carenaggio mobile.

si hanno notevoli dislivelli e quindi grosse portate, si realizzano dei veri e propriascensori meccanici come in figura 114. Per ridurre le spese energetiche le conchepossono venire accoppiata tramite un sistema funicolare. Invece di ascensori sonodei piani inclinati che pero occupano una maggiore estensione, a vantaggio c’e peroil fatto che non serve costruire grosse opere verticali. Per i bacini di carenaggio sipossono realizzare delle opere galleggianti che facendo entrare la nave, si svuotano esi fanno le operazioni: un certo vantaggio e non avere una disposizione fissa ma poteressere sistemati secondo le necessita.

0.37. LEZIONE 32 199

0.37 lezione 32

0.37.1 DINAMICA DEI LITORALI

Fattori che determinano la formazione di spiaggie:

• Franamenti diretti

• Depositi fluviali

Se non ci fossero azioni delle correnti marine il materiale trasportato dai fiumisedimenterebbe alla foce dando luogo cumulo e di conseguenza la ricerca di altre viedi sfogo del sistema fluviale 63. Il trasporto solido fluviale determina:

Figura 117: Schema per detreminazione del trasporto di massa.

• deposito alla foce.

• trasporto per opera delle correnti marine.

Le correnti litoranee sono le principali cause di prelevamento e di erosione deilitorali. Non ci interessano le grandi correnti, quelle pelagiche, che si sviluppano sufondali profondi interessando per lo piu gli strati superficiali d’acqua, dove avvengonola maggior parte degli scambi energetici con l’atmosfera. Allora trattiamo le correntiche si sviluppano in acque basse, in coincidenza dei litorali, perche sono le causeprincipali del trasporto solido.

63Chioggia e sorta su un deposito alluvionale generato da un’unica piena del fiume Brenta. Lebocche della laguna veneziana inizialemente erano 4 (Cavallino-Treporti) ma probabilmente si efavorito l’occlusione grazie ai materiali che il Piave generosamente portava a valle


0.37.2 Correnti litoranee

Tali correnti nascono da fenomeni ondosi. Per analizzarle dobbiamo fare riferimentoal flusso di quantita di moto indotto dal moto ondoso. Su un fondale di profonditad , si consideri un prisma di controllo e si fissino le coordinate x,y,z. La pressionevale po = −ρgz. La spinta complessiva e ottenuta integrando su una faccia ma eindifferente quale perche x e y sono uguali:

Fx,y =∫ 0

−dp0dz =

∫ 0

−d−ρgzdz = γ

d2

2(461)

Le forze (specifiche) indipendenti da x,y e z. In tale condizione c’ e equilibrio perchela medesima spinta agisce su facce opposte. In un moto ondoso si puo definire laquantita moto come segue:

~quantita′ di moto = p + ρv2 (462)

La risultante delle forze esterne deve eguagliare il flusso della quantita di moto,questo termine e detto sforzo di Reynolds . La tensione radiante durante il motoondoso indica l’eccesso di sforzo rispetto al caso idrostatico. E’ quindi dovuta alflusso di quantita di moto per il fatto che sono presenti le onde. Cerchiamo ora dideterminare le componenti di tale elemento di tensione radiante facendo l’ipotesi diessere in presenza di onde di piccola ampiezza. In questo caso Le orbite possonoessere considerate ellittiche con semiassi:

A =H

2

Ch[k(d + z)]

Sh(kd)

B =H

2

Sh[k(d + z)]

Sh(kd)

η =H

2cos(kx− σt)

(463)

Le componenti della velocita dovuta al moto ondoso sono:

u = Aσcos(kx− σt)v = 0w = Bσsin(kx − σt)

(464)

Per avere la spinta totale devo integrare la funzione tra il fondo e la superficiedell’onda:

Fxx =∫ η

−d(p + ρu2)dz (465)

Avendo definito lo sforzo radiante possiamo scrivere:

Sxx =∫ η

−d(p + ρu2)dz −

∫ 0

−dpodz (466)

0.37. LEZIONE 32 201

Va sottolineato che la componente idrostatica non dipende dal tempo, mentre latensione radiante dipende dal tempo. Togliendo la dipendenza da z, rimane quelladel tempo da cui dipendono η, p, u. La corrente litoranea non produce forze impulsive,allora interessa un valore medio di Sxx, in un ciclo T dell’onda:

Sxx =< Sxx(t) >=<∫ η

−d(p + ρu2)dz > −

∫ 0

−dpodz (467)

Il valore atteso gode della proprieta addittiva cosı anche l’integrale, allora possiamoscrivere:

Sxx =<∫ η

−dρu2dz > + <

∫ 0

−d(p− po)dz > + <

∫ η

0pdz > (468)

Il valore atteso e un operatore lineare, quindi e equivalente fare prima l’integrale o ilvalore atteso. Analizzando i singoli integrali:

• 1)∫ η

−dρu2dz. Considero l’integrale

∫ 0

−dρu2dz cioe trascuro il tratto tra 0 ed η,

l’errore e un infinitesimo di ordine superiore.

• 2) <∫ 0

−d(p − po)dz > La pressione in un punto non dipende dalla direzione.

Valuto il termine < p > −po usando il teorema della quantita di moto indirezione verticale infatti < p − ρw2 >= −ρgz = po

64, sviluppando otteniamo< p > −po = −ρ < w2 >. Quindi mediamente su un ciclo la pressione mediae minore di quella idrostatica, perche ottengo una differenza che e negativa. Iprimi due termini danno quindi luogo a :

(1) + (2) =∫ 0

−dρ < u2 − w2 > dz = ρg

H2

8

2kd

Sh(2kd)(469)

Acque profonde: orbite circolari → u2 ≈ w2

Acque basse: preponderante il termine u2 inoltre posso confondere Sh(kd) ≈ kd.

Quindi e in media due volte l’energia cinetica, ρgH2

8infatti e l’energia totale

dell’onda Allora (1) + (2) = ρgH2

8.

acque basse Sxx = 2Ec = Etotale onda

• 3): per valutare il contributo del terzo integrale faccio la seguente ipotesi: an-damento pressioni paragonabile a quella idrostatica tra 0 e η p = ρg(η − z)L’integrare diventa:

ρg∫ η

0(η − z)dz = ρg

[ηz − z2

2

]η

= ρgη2

2(470)

64deve bilanciare il peso dell’elemento di fluido


Se consideriamo il valore atteso:

<∫ η

0pdz >=

ρg

2< η2 > (471)

Sono da integrare in un periodo di 2π65 allora:

ρg

2< η2 >= ρg

H2

16(472)

e pari alla densita di energia potenziale dell’onda ed pari ad 1/2Etotale onda .

La soluzione generale, cioe la spinta totale Sxx, e data dalla somma dei terminiappena calcolati: In acque basse Sxx = 3/2Etotale onda

Corollario: sforzo radiante in direzione y

Syy =∫ η

−d(p + ρv2)dz −

∫ 0

dpodz (473)

Seguendo lo stesso procedimento possiamo notare che il primo termine e nullo, perche

v=0;[∫ 0

−d−ρ < w2 > dz

]< 0 e

[1/2ρg < η2 >

]> 0

assemblando si ottiene:

Syy = ρgH2

8

kd

Sh(2kd)(474)

Rimane da valutare le componenti di taglio, date dalle velocita ortogonali allepareti. In assenza di sforzi viscosi valgono:

Sxy = Syx =∫ eta

−ddz = 0 (475)

Quindi si e generato uno sforzo radiante Syy ortogonale al moto, questo e nullo inmare profondo mentre in acque basse raggiunge un’energia totale dell’onda. Abbiamocosı definito un tensore degli sforzi radianti di dimensione [2×2].

S = Tensore degli sforzi radianti =

ρgH2

8

[2kd

Sh(2kd+

1

2

]0

0 ρgH2

8

kd

Sh(2kd)

(476)La genesi della corrente litoranea e quindi influenzata dalla presenza di tale tensore.

65 sono funzioni di seno o coseno

0.38. LEZIONE 33 203

0.38 lezione 33

0.38.1 Tensioni radianti

Figura 118: Schema tensioni radianti.

Il moto circolatorio indotto dal moto ondoso puo essere assimilato al fenomenodella turbolenza dove le oscillazioni intorno al punto medio diventano a carattere de-terministico. Il tensore degli sforzi radianti permette di voltare le componenti dellaquantita di moto all’interno di un prisma di area unitaria che si riferisce ad una parti-colare sezione del mare. Consideriamo una spiaggia rettilinea con pendenza uniformefigura 118.Le onde arrivano dal largo con inclinazione θo, poi cambiano caratteristiche per effettodella variazione della profondita e della rifrazione. Con la profondita variano quindiθ, c, L, H. Se le caratteristiche della spiaggia sono indipendenti dalla coordinata lo-gitudinale y, allora tutte le quantita che variano sono una funzione della coordinatax.Vale la legge di Snell:

sin(θ)

c= cost. (477)

In particolare ricordiamo c = σ/k e σ = 2π/T . Ne segue ksin(θ) = kostLa celerita pero puo essere scritta in forma esplicita in funzione della profondita

c =g

σTh(kd) (478)

Inoltre da un punto di vista energetico ha una sua importanza la celerita digruppo:

cg =σ

2k

[1 +

2kd

Sh(2kd)

](479)


L’energia totale e il flusso di energia nella direzione di approdo (spiaggia) valgono:

E =1

8gρH2

Fx = Ecgcos(θ)(480)

Dalla costanza di E si valuta la variazione dell’altezza d’onda andando versoriva. C’e una zona di frangimento dove si innesca un fenomeno di dissipazione cheriduce l’altezza dell’onda H → Hb → 0. La dissipazione avviene per trasformazionedell’energia in calore e in altre forme di energia meccanica. Tale fattore e determinanteper la genesi delle correnti litoranee. Consideriamo la spinta radiante che attraversauna superficie parallela alla costa lungo y cioe Sxy. Per valutare tale spinta si usa unsistema locale di riferimento ruotato di θ, (χ1, χ2). Per il nuovo riferimento il tensorevale:

S =∑

i,j

Si,j∂x

∂χ1

∂y

∂χ2(481)

Nel nostro caso avremo una matrice diagonale perche ho zero nei termini relativi alriferimento secondario:

S =

[cos(θ) −sin(θ)sin(θ) cos(θ)

]T

E

[2kd

Sh(2kd+

1

2

]0

0kd

Sh(2kd)

[cos(θ) −sin(θ)sin(θ) cos(θ)

]

(482)ad esempio Sxy = S11sin(θ)cos(θ) + S22[−sin(θ)]cos(θ).

Quindi ho una spinta in direzione y che vale E

[1

2+

2kd

Sh(2kd)

]cos(θ)sin(θ).

Definito n =

[1

2+

2kd

Sh(2kd)

]otteniamo:66

Sxy = Encos(θ)sin(θ) = Fxsin(θ)/c = Fxsin(θo)/co (483)

Quindi il flusso di energia in direzione y che attraversa una sezione lungo x eproporzionale alla spinta Sxy. Vediamo come varia Sxy procedendo dal largo versoriva:

x → −∞ Sxy =1

2Ecos(θo)sin(θo)

x → 0 Sxy ≈ 0(484)

Sxy ≈ 0 il flusso verso riva deve essere nullo.Se analizzano il flusso di quantita di moto esterno alla zona di frangimento questo

e costante, quindi il flusso netto e nullo, e una condizione di equilibrio poiche la

66 legge di Snellcg = cn

0.38. LEZIONE 33 205

quantita di moto che entra in un qualsiasi volume di controllo e medesiam a quellache se ne esce. Invece sul piano x = xb entra un flusso Sxy = 1

2Ecos(θo)sin(θo).Mentre sulla parete x = 0 ho Sxy = 0, quindi deve ”esistere” una forza Gy che deveequilibrare questo deficit.

Sxy + Gy = 0 (485)

Le cause della Gy sono da ricercarsi nelle cause che inducono al parrallelismo dellacorrente alla costa, risulta evidente che le correnti sono poi dissipate per attrito alfondo.

Gy = −1

2Ecos(θo)sin(θo) = −E

4sin(2θo) (486)

Tale formulazione ci permette di vedere quanto Gy e massimo o minimo. Se θ = 0, π/2i fronti si dissipano e non originario nulla. Il massimo si ha per θ = ±π/4. Percalcolare le velocita della corrente dobbiamo scomporre la spinta in tensioni localisapendo che:

Gy =∫ 0

xb

τydx (487)

Quindi per capire le correnti di long-shore devo scomporre la Gy:

τy =∂Gy

∂x= −∂Sxy

∂x= −∂Fx

∂x

sin(θo)

co(488)

La variazione di flusso di energia dice quanto si sta dissipando tra una sezione x ex+dx .

N.B. Le Sxy sono funzione della profondita, allora anche le τ sono funzioni dellaprofondita (valori medi).

Entrando in zona di frangimento le onde hanno una semiampiezza data daH

2≈ αd,

con α compreso tra 0.3÷ 0.6 allora H = (0.3÷ 0.6)d; inoltre in acque basse kd << 1la celerita vale c = cg =

√gd. Inoltre possiamo bene approssimare cos(θ) ≈ 1. Con

queste posizioni il flusso di energia verso riva vale:

Fx =1

2ρg

(H

2

)2

cg =1

2ρg(3/2)d(1/2)

(H

2

)2

=1

2ρg(3/2)α2d(5/2) (489)

Quindi risulta essere solo funzione della profondita d. Questo ci consente dicalcolare la facilmente la τ .

τy = −sin(θo)

co

∂Fx

∂x= −

sin(θo)

co

1

2ρg(3/2)α25

2d(3/2)∂d(x)

∂x(490)

Nel nostro modello la profondita d = d(x) in maniera generica e d = d(x, y). Se

indico con jf = ∂d(x)∂x la tensione tangenziale diventa:

τy = −sin(θo)

co

5

4ρg(3/2)α2d(3/2)jf = −sin(θ)

c

5

4ρα2 (gd)(3/2) jf (491)


In acque basse:

τy = −5

4ρα2 (gd) jfsin(θ) (492)

Al largo∂Fx

∂x→ 0, cioe in acque profonde la derivata e nulla.

OSSERVAZIONE

Nelle orbite abbiamo una velocita orizzontale massima in acque basse pari a umax =H

2kdσ. Al frangimento H/2 = αd quindi umax = ασ/k = αc = α

√gd. Allora τy puo

essere riscritto come:

τy = −5

4ρu2

maxjfsin(θ) (493)

Che puo essere vista come l’espressione di un’energia cinetica per unita di massa.E un valore medio su un certo numero di cicli d’onda. Adesso dobbiamo valutare lavelocita della corrente di long-shore. Per questo dobbiamo valutare il meccanismo didissipazione della che e legato all’attrito sul fondo. Esiste sicuramente una forza ~Blegata all’attrito che espressa per unita di superficie vale:

~B = −caρ|~u|~u (494)

dove ca e coefficiente di attrito.67 Con la teoria lineare 68 per onde non frangentima in transizione, il suo valore medio e globalmente nullo cioe < B >= 0. Pressoriva, cioe in zona di frangimento ~u = ux

~i. 69

0.38.2 La velocita di long-shore

Le correnti lungo riva sono generate dalle componenti del moto ondoso che raggiun-gono la costa obliquamente; esse corrono parallelamente alla linea di riva e sonoristrette fra la zona dei frangenti e la riva. La loro importanza e massima nei processidi spiaggia, nonostante la loro piccola velocita, poiche esse scorrono per periodi ditempo molto lunghi, traportando i sedimenti messi in moto dal frangimento delle on-de. Possiamo definire la velocita di long-shore ~vL = vL

~j. Va ricordato che la velocitavL e piu piccola della velocita orbitale massima; il modulo della velocita totale vale|~u| = | ~ux + ~vL| ≈ ux quindi e poco influenzato da vL , pero cambia la direzione. Ladeviazione e pari ad un angolo β pari a β = atn(vL/ux)

Quindi in prossimita della riva < B >6= 0 la componente non e fluttuante ma vasempre nella stessa direzione. Con una corrente long-shore la particella segue una

67 segno meno perche l’attrito si oppone al moto68 onde di piccola ampiezza69 ~i versore asse x

0.38. LEZIONE 33 207

Figura 119: Traiettoria. La particella segue una traiettoria rettilinea piu

una di deriva costante nell’altro verso

traiettoria rettilinea piu una di deriva costante nell’altro verso.Il valore medio di By vale < By >= caρ < |ux| >< vL >. Il valore medio del modulodi ux vale 2/π 70. Ne segue che < By >= caρumax < vL > 2/π

Se combiniamo l’equazioni che esprimono la τy e le equazioni attrito By otteniamol’equazione del moto. Ricordiamo che il coefficiente attrito assume iseguenti valorica = 0.01 ÷ 0.02 .

70 ipotizzando andamento sinusoidale


0.39 lezione 34

Figura 120: Sollecitazioni sul volume di fluido.

Consideriamo le equazioni del moto mediate sul periodo dell’onda per potersi ri-ferire a condizioni mediamente stazionarie in direzione y. Quindi consideriamo ilmoto ondoso alla stregua di un moto turbolento e considerando l’osservazione perun periodo maggiore di quello dell’onda, l’equazione non dipende dal tempo. Inol-tre l’equazione del moto dipende sostanzialmente da x e non da y. Nell’elementoinfinitesimo si ha:

τy sulla parete, < By > sul fondo.Oltre a questi due effetti ce ne sono di continuita tra le varie colonne, tali intera-

zioni hanno carattere viscoso di tipo turbolento. Allora e possibile scrivere:

τy +

∂

[N

∂ < v >

∂x

]

∂x− < By >= 0 (495)

• τy: spinta lungo y dovuta alle onde frangenti

• < By >: resistenza dovuta ad attrito sul fondo

•∂

[N

∂ < v >

∂x

]

∂xe una forza che nasce per la variazione della velocita della

corrente long-shore; N e detto coefficiente di mescolamento.

1.) Se si ipotizza

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂

[N +

∂ < v >

∂x

]

∂x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

<< |τy| ne segue che τy =< By >. Ripren-

dendo le loro espressioni si puo scrivere:

0.39. LEZIONE 34 209

Figura 121: pendenza della spiaggia.

5

4ρu2

maxjfsin(θ) =2

πcaρumax < v > (496)

Si ricava l’equazione della velocita della corrente long-shore:

< vL >=5π

8caumaxjfsin(θ) (497)

• jf : pendenza fondo spiaggia;

• θ : angolo attacco della direzione di provenienza onde rispetto alla direzioneverso riva.

Quindi per uno stesso angolo θ e per una stessa pendenza, la velocita della cor-rente long-shore e direttamente proporzionali alla velocita orbitale in direzione x.L’espressione di < v − L > si puo esplicitare in funzione della profondita 71:

< vL >=5π

8

α

cajfgd

sin(θ)

c(498)

Ma per la legge di Snellsin(θ)

c= costante e quindi risulta essere direttamente pro-

porzionale alla profondita del paraggio della zona dei frangenti (se la spiaggia haprofondita costante). Se consideriamo una spiaggia uniformemente degradante con

pendenza tale che la zona dei frangenti sia x = xb, ed a profondita db per cui j =dB

xB;

d = −jx e j = costante. La velocita massima lungo la linea di inizio frangenti vale:

vo =5π

8

α

cajgdB

sin(θb)

co(499)

E se si indica con ∆v =vo

dB, allora si ottiene < v >= dχ∆v con

χ = 1 per d ≤ dB

χ = 0 per d > dB(500)


Figura 122: Diagramma delle velocita long shore.

Puo essere utile conoscere la portata Q =∫

vdxdz. Lungo z la velocita e co-stante perche abbiamo una velocita media, allora rimane Q =

∫vdxdz; quindi Q =

13voxBdB

72, stima della portata della corrente long-shore. Si nota una discontinuitadella funzione velocita per x < xB , infatti nel diagramma della velocita si nota unoscalino in tale funzione.

2.) Siccome non e plausibile una discontinuita di questo tipo, si puo ipotizzare chela velocita effettiva nella zona dei frangenti sia calcolabile come una velocita mediadelle velocita che si realizzano all’interno di una lunghezza di mescolamento. Seper x = −xB risulta Lm << xB, cosa che si puo facilmente ammettere, allora che

veff ≈1

2(vo + φ) =

vo

273. Si puo porre come lunghezza di mescolamento Lm = γ|xB|

dove γ < 1, tale che per j = cost la velocita effettiva vale veff (−xB) = βvo e β vale

β =1− γ

2+

γ2

6Questo ci permette di modificare l’andamento della velocita in prossimita di x =

−xB , supponendo di conoscere Lm.3.) Si considera l’intera equazione differenziale; N sia una costante ad esempio

N = µd, quindi funzione della profondita. L’equazione completa diventa allora:

τy +

∂

[µd

∂ < v >

∂x

]

∂x− < By >= 0 (501)

dove µ e il coefficiente di viscosita turbolenta [ρLv]. Come lunghezza caratteristicadella spiaggia prendiamo |x| e come velocita caratteristica prendiamo la celerita dellepiccole onde c =

√gd.

Allora possiamo scrivere µ = Rρx√

gd. Con R costante adimensionale (0÷0.016). Se

71 Ricordiamo che umax = ασ/k = αc = α√

gd72 Si puo ottenere osservando che la portata puo essere valutata calcolando il volume dato dalla

piramide di base rettangolare con dimensioni vo dB e origine O73 φ e il contributo a sinistra della linea dei frangenti

0.39. LEZIONE 34 211

si riscrive tale equazione nella 501 e pongo d = −jx, con le seguenti posizioni s = −xe d = js otteniamo otteniamo 74:

5

4α2(gd)3/2j

sin(θ)

c+ R

∂

[√

gjjs5/2 ∂v

∂s

]

∂s−

2α

πca(gd)1/2v = 0 (502)

e in forma semplificata:

Rg1/2j3/2

∂

[s5/2 ∂v

∂s

]

∂s− 2α

πca(gjs)1/2v = Σ (503)

s > −xB Σ = −5

4α2g3/2j5/2 sin(θ)

cs3/2

s < −xB Σ = 0(504)

Per risolvere la precedente equazione differenziale e necessario eseguire le seguentiposizioni:

• Dividere per2cα

πg1/2j1/2

• Osservare che il membro a destra dell’uguaglianza assomiglia molto a vB

• Introdurre i coefficienti adimensionali:Ascissa: χ = s/xB

Velocita: η = v/vo

L’equazione differenziale 503 prende una forma piu contratta:

Γ

∂χ5/2 ∂η

∂χ∂χ

− χ1/2η =

−χ3/2

0(505)

Con Γ =πR

2caα, Γ e indipendente da χ e tiene conto dell’attrito al fondo, dove R

e il parametro legato al rimescolamento turbolento, dove α e il parametro legato alprofondita di frangimento. Senza rimescolamento R = 0 avremmo la soluzione sem-

plificata: η = χ allora v = vos

xB. Se R 6= 0 dobbiamo imporre le condizioni al

contorno:

χ → 0, η = 0 Velocita nulla sulla costa;χ →∞, η = 0 Velocita nulla lontano dalla costa.

74Si veda equazione 492 e si ricordi che α√

gd


Introduciamo due valori per η 75 ηs ed ηd continui in χ = 1, cioe che non si ab-bia discontinuita per x = −xB. Per risolvere l’equazione differenziale alle derivateparziali possiamo pensare nella regione delimitata da 0 < χ < 1 un primo contribu-

to76 alla soluzione dato da η′ = ∆χ con ∆ =(1 − 5

2Γ

)−1. Chiaramente deve essere

Γ 6= 2/5, altrimenti ∆ → ∞. Una soluzione completa si ottiene introducendo unafunzione complementare η′′ che per qualunque χ soddisfi l’equazione 505 e tale che:

ηd = η′′ + η′ χ < 1ηs = η′′ χ > 1

(506)

inoltre deve essere garantita la continuita della derivata prima in χ = 1; η′′ ha comeespressione η′′ = Ωχλ 77. Infatti sostituita nella 505 fornisce:

Γ∂χ5/2Ωλχλ−1

∂χ− χ1/2Ωχλ = 0 (507)

sviluppata la derivata otteniamo:

Γ (3/2 + λ) Ωλχ1/2+λ −Ωχλ+1/2 = 0 (508)

Deve essere:Γλ(λ + 3/2)− 1 = 0 (509)

Che fornisce l’equazione di secondo grado:

λ2 +3

2λ− 1/Γ = 0 (510)

Che ha due soluzioni reali:

λ1 = −3

4+

(9

16+

1

Γ

)1/2

λ2 = −3

4−

(9

16+

1

Γ

)1/2 (511)

La costante Ω e determinata in base alla condizione per χ = 1. Possiamo percioscrivere:

η = η′ + η′′ = ∆χ + Ω1χλ1 0 < χ < 1

η = η′′ = Ω2χλ2 χ > 1

(512)

Per χ = 1 si valutano le due relazioni continuita e conitinuita della derivata prima:

∆ + Ω1 = Ω2

∆ + Ω1λ1χλ1−1 = ∆ + Ω1λ1 se χ = 1

Ω2λ2χλ2−1 = Ω2λ2 se χ = 1

(513)

75 a destra e sinistra della kinea di frangimento76 Soluzione particolare77 ηs = Ω2χ

λ2 e ηd = Ω1χλ1 + ∆χ

0.39. LEZIONE 34 213

Se imponiamo Ω2λ2 = ∆ + Ω1λ178 allora:

Ω2λ2 = ∆ + Ω1λ1

∆ + Ω1 = Ω2(514)

Da questo sistema si ricavano i coefficienti Ω1 e Ω2:

Ω1 = −∆1− λ2

λ1 − λ2

Ω2 = ∆λ1 − 1

λ1 − λ2

(515)

Si nota che se λ1 > 1, osservando il gradiente presso riva (χ = 0). Infatti:

Figura 123: Andamento della funzione η.

dη

dχ|χ=0 = ∆ + Ω1Λ1χ

λ1−1

= ∆ λ1 > 1= ∞ λ1 < 1

(516)

Se tale gradiente tende ad∞, la velocita della corrente long-shore puo essere qualsiasi;cioe la presenza della riva non influenza la corrente. Quindi le condizioni:

λ1 > 1Γ < 2/5

(517)

sono limiti fisici affinche la costa abbia un controllo sulla corrente di long-shore. Mapoiche la costa esercita tale controllo i due vincoli sono solo limiti analitici derivantida una condizione fisica.

78Viene impsta la continuita della derivata prima


0.40 Lezione 35

Il moto ondoso attacca la spiaggia in entrambe le direzioni a seconda dell’angolo diattacco. La zona della corrente e limitata alla zona del frangenti e a distanza xB dallacosta. Le coste ripide, tipicamente rocciose, sono caratterizzate da un altro tipo dicorrenti. Hanno una dinamica lenta perche procede per erosione della roccia. Le

Figura 124: Formazione di ”barra costiera”.

coste sabbiose hanno pendenze trasversali piu ridotte che aumentano l’instaurarsi dicorrenti litoranee con portate notevoli che generano fenomeni di erosione, trasporto,deposizione. Questo fenomeno ciclico puo essere incrementato nella fase di trasportoe deposizione qualora sia presente l’immissione di un fiume . Il trasporto puo dareluogo ad un allontanamento in zone profonde dove il materiale deposita. Il trasportoad opera delle correnti long-shore puo essere diviso in:

• Sospensione: la tendenza alla sedimentazione del materiale viene contrastatadall’agitazione turbolenta della corrente; il materiale piu grossolano sedimentaprima mentre quello piu fine rimane piu a lungo in sospensione e viene depositatopiu al largo.

• Al fondo: c’e una dinamica dei sedimenti che dipende dalla direzione verso co-sta. Infatti nella teoria del secondo ordine di Stokes esiste un termine convettivoche non fa chiudere le orbite. Cioe il moto ondoso tende a spingere il materialeverso la spiaggia. Se analizziamo cio che accade sulla linea del frangenti, l’on-da scarica una notevole turbolenza nella zona dove arriva, andando ad eroderedel materiale nella zona stessa figura 124. Si viene cosı a realizzare una barracostiera, cioe un andamento del fondo non piu lineare. Quindi c’e un trasportotrasversale che ha lo scopo di mantenere la forma del fondo a barra ed un tra-sporto dovuto alle onde long-shore che danno luogo ad una rettificazione dellecoste. Quando le onde arrivano quasi parallele alla costa si possono generarecorrenti litoranee nella stessa direzione a velocita diversa che danno luogo a fe-nomeni di instabilita figura 125. Quando ci sono due correnti a diversa velocita,questo provoca un accumulo con conseguente getto verso il largo.

0.40. LEZIONE 35 215

Figura 125: Schema di ripascimento e trasporto solido al largo.

0.40.1 Protezione del litorale

Bisogna individuare un treno migratorio della linea di costa, cioe valutare quale effettotra l’erosione, il trasporto e la deposizione prevale. Ci interessera valutare quale e il:

• 1) Trasporto solido della corrente litoranea;

• 2) Flussi netti di trasporto solido attraverso la linea del frangenti;

• 3) Profilo tendenziale della spiaggia:

• 4) Inclusione di un’opera su materiale granulari.

Trasporto. Nella zona dei frangenti il trasporto e sia di fondo che in sospensione.Nella zona al largo il trasporto e tipicamente di fondo con migrazione di ripples (cresteche si formano su un fondo granulare indotto da una corrente) Il ripples avanza nelladirezione del moto generando un trasporto solido figura 126.

Sabbie:

• quarzitiche: elemento fondamentale e il silicio con rapporto di peso immersopari a ∆ = 1.65;

• carbonatiche: per dissoluzione dei carbonati con rapporto di peso immerso paria ∆ = 1.9;

Granulometria: Se e necessario fare un riempimento e meglio disporre di una notevolediversita di granuli. La porosita della sabbia permette maggiori moti di filtrazione conmaggiore dissipazioni e perdite energetiche da parte dell’acqua. Ci interessa vederequale e la velocita al fondo che da’ luogo al trascinamento del materiale. Indichiamo


Figura 126: Formazione delle ripples.

con uf = umax(d) =H

T

π

Sh(kd)velocita orbitale al fondo. Partendo dalle correnti

litoranee abbiamo visto che l’andamento della particella e di tipo alterno nella dire-zione θ dell’onda ed a cui si somma una deriva data dalla corrente litoranea. Per unasabbia quarzitica un ordine di grandezza potrebbe essere ufcrit = 0.3 m/s. Ricordan-do il criterio di Shields che mette in conto le caratteristiche della granulometria delmateriale:

τ∗ =τo

(γs − γ)ds(518)

Per i canali τo = γRH inoltre sempre per un canale u∗2 = gRj =u2

C2

Il coefficiente C dipende dalla granulometria ed e adimensionale. Nota la velocitamassima orbitale uf si calcola la u∗ corrispondente e si ricava:

τ∗ =ρu∗2

(γs − γ)ds=

u∗2

∆gds≤ τ ∗critico (Re) (519)

Che va confrontato con un τ∗ critico che dipende dal numero di Reynolds, ma essendoil campo turbolento puo essere considerato con buona approssimazione costante. Sipuo utilizzare le formule alla Einstein79 per valutare il trasporto solido per effetto diuna certa corrente. introduciamo delle definizioni sul trasporto solido annuo, cioe unvalore medio valutato su un lungo periodo: G . Con G indichiamo una portata ditrasporto solido litoraneo;se ci riferiamo ad un asse litoraneo y positivo se a dx di unosservatore , e possibile definire il trasporto lordo GL:

GL =1

t

∫ t

0|G(τ )|dτ = Gdx + Gsx (520)

Si puo definire una portata alla destra e alla sinistra della sezione y, dove si ecalcolato GL come:

Gdx =1

t

∫ t

0max(G(τ), 0)dτ

Gsx =1

t

∫ t

0−min(G(τ ), 0)dτ

(521)

79 figlio !!

0.40. LEZIONE 35 217

Risulta un trasporto netto tale che:

GN =1

t

∫ t

0G(τ)dτ = Gdx −Gsx (522)

GL mi dice l’intensita dei fenomeni della dinamica costiera. Introduciamo ora un

rapporto direzionale χ =Gsx

Gdx. Otteniamo cosı GL = GN

1 + χ

1− χ; dimensionalmente

G = [m3/anno].Con queste definizioni possiamo valutare il trasporto solido litoraneo. Si possono

usare diversi tipi di approccio:

• 1) Misure dirette: Trappole immerse e raccolte dopo un certo arco di tempoper avere una stima del solido raccolto. Pero e una misura puntuale, quindi ilpunto scelto deve essere rappresentativo della situazione globale.

• 2) Estrapolazione di valori misurati in un sito limitrofo. Valutazione degli effettidi modificazione del paraggio: effetti tanto piu visibili quanto piu il trasportonetto e diverso da zero (situazione non equilibrata)

• 3) Stime da modelli concettuale: valutazione di tipo analitico sulle nazioni dellecorrenti litoranee.

– Applicazione formule di trasporto solido

– Metodo del flusso energetico;

– Metodo di Galvin: stima la profondita la portata del trasporto solidopartire dal valore dell’altezza dei frangenti.

Tabella 36: Performances dei vari approcci per la determinazione deltrasporto solido.

tipo bonta costo

1 *** ***2 ** **3 * *


0.41 Lezione 36

Metodo dello sforzo radiante: Lo sforzo che attraversa una sezione a x=cost lungo yvale:

Sxy =1

2Ensin(2θ)

E =1

2ρg

H2

4Energia totale

(523)

dove θ e angolo d’attacco del fronte d’onda, n coefficiente di gruppo. Il flusso dienergia nella direzione y, cioe parallelo alla costa vale:

Fy = Sxyc =1

2Ecgsin(2θ) (524)

dove c e la celerita onde, mentre cg e la celerita di gruppo.Per acque basse, situazione in cui i litorali si trovano, n ≈ 1 ed cg =

√gd; se le

onde non sono infinitesime, allora la celerita e data da cq =√

g(H + d). Nella zonadi frangimento abbiamo:

Fyb =1

4ρg

H2b

4cgsin(2θ) (525)

Flusso nella direzione di frangimento. Prima di arrivare al frangimento e pos-sibile valutare il flusso energetico Fy che sara pero costante e non da’ contributoalla spinta della corrente long-shore H = HoKr dove il coefficiente di rifrazione vale

Kr =

√√√√cos(θo)

cos(θ)

In acque profonde si ha cg =co

2ed Fy =

1

8ρg

H2b ∗K2

r

4cosin(2θo)

Questo flusso rimane costante fino a quando non iniziano processi di dissipazioneenergetica che generano le correnti long-shore.

Mettiamo in conto le seguenti quantita:

1. Legge di Snellsin(θ)

c= cost =

sin(θo)

co(526)

2. Variazione celerita con la profondita:

c

co= cost = Th(kd) (527)

3. Variazione della lunghezza’onda:

kod = kdTh(kd) (528)

0.41. LEZIONE 36 219

4. Determinare la profondita del frangimento:

d

H= 1.28 (529)

(il frangimento avviene sotto costa)

5. Variazione altezza d’onda:

H

Ho=

√noco

nc


cos(θ)(530)

6. Definizione del coefficiente n:

n =1

2

[1 +

2kd

Sh(2kd)

](531)

Quindi sono presenti 6 equazione che forniscono le incognite d,H, c, k, θ, n:Deve essere dato:

• a) Il periodo dell’onda;

• b) Angolo attacco al largo delle onde;

• c) Altezza delle onde al largo.

Dato T si ricava co, Lo, ko =4π2

gT 2

Dalla posizione 1) e 5), usando la 2) si giunge ad un sistema sole tre equazioni:

sin(θ)

sin(θo)= Th(kd)

kodH

Ho= 1.28

Ho

Lo= ........... =

kdTh(kd)

2π


cos(θ)

√√√√√√Th(kd)

1 +2kd

Sh(2kd)

(532)

Le uniche incognite sono θ e kd. Si risolve assumendo al primo passo un valoreragionevole di Kd:

• (i) kd;

• (ii) Dalla b si ricava cos(θ) quindi θ;

• (iii) Dalla a si ricava kd;

• (iiii) Con qualche ciclo si arriva alla convergenza.


Questo sistema permette di ottenere le caratteristiche di frangimento e quindi ilflusso energetico che e la causa forzante della corrente long-shore. Ora e possibilecalcolare la Fyb [W/m] e cercare una correlazione con la portata solida G [m3/anno].Espressioni empiriche forniscono G = 1.3 ∗ 103Fyb, quindi esiste una proporzionalitadiretta tra G ed Fyb.G e dovuto al mare che proviene dalla direzione θo e con altezza Ho, che e l’altezzamedia nella distribuzione di Rayleigh che quindi vale Ho = σ Ed e quindi minoredell’onda significativa poiche Hs = 1.4σ. Infatti si metterebbe in conto un’energiadoppia H2

s = (1.4σ)2 = 1.42σ2 ≈ 2σ2. Per un’assegnata direzione θo avremo diversemareggiate con H diversa. Il trasporto totale nell’arco dell’anno si ottiene in termini

Tabella 37: Legame direzione-mareggiata

H01 H02 H03

θ01 f11 f12 f31

θ02 f21 f22 f32

discreti come:GTot =

∑Gijfij (533)

dove:

• Gij trasporto nella direzione i-esima con altezza j-esima;

• fij frequenza nell’arco dell’anno, di quel tipo di mare.

Quindi sono necessarie osservazioni dirette abbastanza dettagliate. Ci sono for-mule empiriche di origine anglosassone. Formule approssimate per Fyb:

Fyb∗ = 32.1 ∗H5/2b sin(2θb)

Fyb∗ = 18.3 ∗H5/3b cos(θo)

1/4sin(2θo)Fyb∗ = 20.5 ∗ T ∗H2

b cos(θo)sin(2θo)

Fyb∗ = 100.6 ∗H3b cos(θo)

1

T

(534)

Unita di misura: H = Piedi T = Secondi Fyb = Libbre/piedesecondoAllora:

G = 5.7 ∗ 103Fyb ∗ [m3/anno] (535)

Si nota che il flusso ha un senso e quindi G ha un segno. Allora andando a fare lasommatoria si ottiene un trasporto netto perche le Gij mantengono il proprio segno.Se si vuole il trasporto lordo e necessario mettere i valori assoluti:

GTot =∑|Gij|fij lordo (536)

0.41. LEZIONE 36 221

0.41.1 Metodo di Galvin

Si applica solo al trasporto lordo e quindi non da’ indicazioni sulla direzionali deltrasporto. Il trasporto e dato solo in funzione dell’altezza dell’onda:

GL = 1.6 ∗ 106H2b [m3/anno] (537)

Serve solo a livello di pre-esame delle condizioni del trasporto. Tendenza dei litorali:Si potrebbe operare una previsione di tendenza sulla dinamica dei litorali. Questeprevisioni sono date da varie osservazioni:

1. Presenza di barre litoranee: indica stabilita; La loro assenza puo portare aprevisioni di erosione.

2. Effetto della ripidita delle onde: Criterio noto nel 1950. Dove si hanno ripiditaHo

Lo> 0.025 si e in condizioni di erosione. Se

Ho

Lo< 0.02 invece ripascimento

della spiaggia. Poi si e notato che l’erosione dipende anche da Ho, cioe dalledimensioni dell’onda e non solo dalla sua forma.

3. Confronto delle velocita orbitali e le velocita di caduta dei granuli. Si puo

calcolare la sguente entita Fo =Ho

TwD:

dove wD velocita caduta dei granuli; in acqua ferma vale wD =1√CD

√4

3g∆D

∆ e il rapporto di peso immerso; CD coefficiente di resistenza. Si nota chedipendono dalla temperatura. Esperienze di laboratorio hanno mostrato che:

Figura 127: CD = CD(Re)

4. Pendenza della spiaggia (estremita lato mare): La stabilita e data da pendenzeconsolidate in un campo limitato. Questa tendenza dipende dalle dimensionidei granuli e in maniera minore dall’altezza delle onde che investono la spiaggia:


Tabella 38: Variazioni di Fo = Fo(H).

H

1 cm1.5 m

Fo < 0.7 stabilita ′

Fo ≈ 1÷ 1.5 criticheFo > 1.5 instabili

Tabella 39: Variazioni di pendenza della spiaggia.

js ↑ quando D ↑js ↓ quando H ↑

In tabella 39 l’ultima legame e meno sicuro perche c’e piu dispersione dei datidi laboratorio. Comunque vedere figura allegata.

0.41.2 Bilancio dei sedimenti

Figura 128: bilancio sedimenti.

Schematizziamo con un blocco la zona costiera e quella del frangenti; si deduce checi sono flussi di trasporto che passano per le zone confinanti per effetto delle correntilitoranee (long-shore):

La parte piu consistente e data dalle correnti litoranee. E necessario poi distin-guere le diverse azioni:

0.41. LEZIONE 36 223

• Puntuali → fase fluviale

• Distribuite → vento → sormonto


0.42 Lezione 37

Figura 129: Bilanci di sedimento lungo la costa.

Tabella 40: Legame Pendenza litorali-Diametro granuli.

Tipo di spiaggia Diametro Gradi di pendenzagranelli (mm) della spiaggia

Sabbia molto fine 0.0625-0,125 1

Sabbia fine 0.125-0,25 3

Sabbia 0.25-0,5 5

Sabbia grossolana 0.5-1 7

Sabbia molto grossolana 1-2 9

Sabbia a granuli 2-4 11

Sassolini 4-64 17

Ciottoli 64-256 24

Il bilanci sono relativi ad una zona di controllo, che nel nostro caso si limita aduna zona geografica su cui si applica il principio di conservazione della massa. Quindiil bilancio si estende su un’area specifica ed un certo tempo (esempio un anno). Si puofare anche un bilancio previsionale che esprima una tendenza media. Si puo esprimereil bilancio come:

∆V

∆t=

∑Qi (538)

La condizione di stabilita e data da∆V

∆t= 0; invece se

∆V

∆t6= 0 la spiaggia e

soggetta ad erosione o a ripascimento. Solitamente il bilancio viene scritto in termini

0.42. LEZIONE 37 225

adimensionalizzati:∆V

∆t= GL

∑ki (539)

dove GL: portata lorda mentre ki =Qi

GLtermini adimensionali.

Si puo valutare una lunghezza B della spiaggia e quindi, moltiplicato per la portata

per unita di lunghezza, si ricava il coefficiente adimensionale diventa ki =qiB

GLLe

cause che rientrano nel bilancio sono rappresntate in figura 129. La protezione dellitorale impone una definizione dei criteri di stabilita. Se la spiaggia non e stabile, cioec’e una azione del mare che tende a mantenerla, e necessario definire degli interventiper stabilizzare la costa.

0.42.1 Interventi di stabilizzazione delle coste

1. Muri e argini di contenimentoSalvaguardano solo l’entro-terra protetto. Vanno tenuti conto comunque i feno-meni di runup e overtopping. Possono essere utilizzati come muri di sostegno.I problemi principali riguardano le fondazioni. Il piede dell’opera e facilmentescalzabile e soggetto ad erosione (escavazioni localizzate perche la struttura erigida mentre il terreno di fondazione non lo e sicuramente)

2. Spiaggie artificiali protetteNecessitano di molto materiale. Solitamente realizzata con ripascimenti artifi-ciali, il materiale deve essere recuperato da zone di cava. Occorre realizzare dellecondizioni che permettano la stabilita delle spiaggie per non essere nuovamen-te attaccate. Quindi sara necessario agire sulle caratteristiche granulometrichedella sabbia e sulla pendenza.

3. Protezione dell’entroterraIl muri d’argine che proteggono dal runup e dall’overtopping. Si puo ricorrereanche a delle dune. Devono essere effettuate operazioni di stabilizzazione delledune tramite:

• Vegetazione

• Siepi artificiali

– tavolati di legno

– teli in materiale vegetale e/o sintetico

4. Produrre artificialmente del trasporto litoraneoQuesto per evitare l’eccessivo costo delle spiaggie artificiali. Si possono realiz-zare dei pennelli.


Figura 130: palizzata alta 30 50 cm. Al crescere della duna la palizzata

dovra essere innalzata.

Prevengono un’erosione dovuta alle onde e vi si intrappolano le correnti litora-nee. Il pennelli non devono arrivare alla zona di frangimento. Una indicazionedi massima per la lunghezza e data da:

Lpennello ≈1

3Lfrangenti (540)

Figura 131: Schema di pennello.

5. Moli a protezione delle bocche portualiQuando e presente un canale navigabile collegato con il mare aperto, in corri-spondenza della bocca, puo verificarsi il fenomeno della sedimentazione. Essequindi, periodicamente, vanno sottoposte ad azioni di dragaggio. Per eliminareil problema o meglio per ridurlo si possono disporre dei pennelli figura 132. Peronel tempo si realizza una nuova spiaggia, si sposta la linea del frangenti, e lacorrente gira attorno ai moli. Il molo di protezione puo essere anche solo uno,posto dalla parte di arrivo della corrente long-shore.

0.42. LEZIONE 37 227

Figura 132: Schema di molo aggettante.

6. Dighe frangifluttiPossono essere lasciate anche al di sotto del medio mare. Con la diga si hauna dissipazione concentrata dell’energia sul frangiflutti. La spinta al trasportolitoraneo diminuisce, quindi si realizza una sedimentazione della spiaggia ver-so la barriera fino ad occludere lo spazio tra la spiaggia e la barriera stessa,realizzando un vero e proprio pennello ”naturale”.

Figura 133: Schema di diga frangi flutti.

7. Sistemi di dragaggio.Il sistema di dragaggio puo essere montato su chiatte che cosı il materiale esca-vato puo essere portato dove e necessario avere il ripascimento. Per via d’acqua


Figura 134: Possibili metodi di dragaggio.

ci sono dei natanti a fondo apribile, il materiale stivato viene scaricato medianteapertura del fondo una volta giunti al luogo dello scarico. Sulla draga possonoessere montato delle gru dotate di pala:

• a ganascia;

• a cucchiaione.

Comunque per una trattazione piu esaustiva vedere Manual Protection Off-Shore ariguardo delle spiaggie artificiali.

0.43. LEZIONE 38 229

0.43 Lezione 38

0.43.1 PENNELLI

Figura 135: Dimensioni del pennello. Andamento del ripascimento.

Su una linea di costa e possibile prevedere un pennello di lunghezza massima del-l’ordine di 1/3 della distanza dalla linea dei frangenti cioe lmax = xb

3. La spaziatura

tra i pennelli e importante perche se si mettono troppo distanti la corrente puo ri-formarsi ed attaccare la spiaggia. Se sono troppo vicini, a parte il costo, non si haintrusione di materiale perche la corrente e tenuta al largo. Di norma la distanza trai pennelli deve essere contenuta entro il valore di yp = (2 ÷ 3)lpennello.Un alto problema e definire la lunghezza di avanzamento del pennelli all’interno dellacosta per evitare una possibile erosione.Nella fase iniziale si ha un attaccamento della linea della costa, solo in una fase suc-cessiva si ha il ripascimento per linee parallele a questo nuovo profilo. Nel profilolongitudinale dobbiamo posizionare i pennelli ad una quota data dal runup; La fasesuccessiva ha pendenza da 1 ÷ 100 1 ÷ 1000. Salvo calcolare a lato mare con pen-denza come una testa di scogliera. Tale profilo dipende anche dal materiale con ilquale e realizzato il pennello. Quest’ultimo potrebbe essere realizzato in legno conpali esterni e tavole interne con le palancole interne che definiscono il vero elementodi contenimento.Se le palancole sono metalliche (tipo Larsen), queste vengono collegate e all’internomediante un getto in calcestruzzo.

Altri pennelli sono quelli a pali di tipo stagionale, cioe con una ”parete” estraibilea seconda della stagione, cioe dall’erosione delle onde nei diversi periodi: I problemiper questa tipologia di opera sono vari:

• Estrazione della palancola

• Problemi strutturali dei pali per la loro scarsa resistenza a taglio.


Figura 136: Pennello in palancole.

Figura 137: Tipologia di palancole.

Figura 138: Pennello stagionale.

0.43. LEZIONE 38 231

• Stabilita dei pali

Nel caso della scogliera si puo pensare ad una berma di materiale piu fine e soprail pennello con una protezione in materiale granulare di grossa pezzatura. Puo essererealizzata una gettata in sommita.I massi vanno calcolati per il lato mare che e il piu soggetto all’azione delle onde.

Figura 139: Scogliera.


0.44 π

Il seguente scritto non ha la presunzione di essere una trattazione completa della si-militudine, ma una semplice guida allo studio. Di fronte all’esigenza di esaminare oprevedere il comportamento di una corrente fluida in particolare condizioni, e possi-bile studiare il fenomeno su modello, ovvero in una scala diversa da quella originalee piu agevole per le indagini da svolgere. Il prototipo ed il modello devono essere fraloro in similitudine in modo tale che il fenomeno fisico che si realizza sia medesimoe che quindi i risultati trovati sul modello possano essere opportunamente attribuitial reale senza che se ne alteri l’attendibilita. I tipi di similitudine che si possonorealizzare vengono identificati attraverso parametri adimensionali da costruire dopoaver opportunamente riscritto le equazioni che reggono il fenomeno stesso. In altricasi si puo far uso del metodo dell’analisi dimensionale basato sul teorema π; con essoe possibile ricavare i gruppi adimensionali caratteristici di un certo fenomeno senzaconoscere le equazioni che lo reggono a patto di identificare correttamente tutte legrandezze fisiche da cui esso dipende. Ma prima di introdurci in un’analisi dei gruppiadimensionali e loro applicazione alla meccanica dei fluidi vale la pena di fare un ex-cursus al fine di evidenziare il concetto di dimensione, la struttura dimensionale dellegrandezze, il teorema di π o V lachy, condizione di esistenza. Possiamo dire, nell’i-potesi deterministica che sta alla base della fisica classica, che un qualsiasi fenomenoe retto da una equazione completa e dimensionalmente omogenea, la quale rimaneinvariata alle variazioni di unita di grandezza cioe:

f (a2, a1, ........., an) = 0

dove ai sono le grandezze fisiche che entrano in gioco. Le grandezze fisiche possonoessere suddivise in due grandi famiglie grandezze primarie o fondamentali e quelle del-le grandezze derivate. Le grandezze primarie sono riconoscibili attraverso le seguentiproprieta: possono essere misurate direttamente, possono essere scelte indipenden-temente dalle altre grandezze, la loro unita di grandezza e arbitraria. Una primaosservazione va fatta sulla struttura dimensionale delle grandezze derivate, infatti sesi assume l’ipotesi che il rapporto di due valori assunti da una grandezza e indipen-dente dal sistema di misura utilizzato, ne segue che questa non puo essere qualunquema come vedremo e un prodotto di potenze . Siano infatti la misura e la strutturadimensionale della grandezza derivata A date da:

mis A = f (x2, x1, ........., xn)

dove i valori xi rappresentano le misure delle grandezze primarie che compongonola grandezza A:

[A] = g ([x1] , [x2] , ........., [xn])

dove i valori rappresentano le dimensioni delle grandezze primarie. Va osservatoche la la funzione g deve avere la stessa espressione analitica della funzione f, se

0.44. π 233

cosı non fosse non ci potrebbe essere corrispondenza biunivoca tra unita di misura estrutttura dimensionale. Ora se consideriamo il rapporto due valori di misura dellagrandezza A, rispettivamente A’ e A” valutati una prima volta mediante un sistemadi unita di misura x′i e una seconda volta mediante il sistema di unita di misuraottenuto dal precedente moltiplicato per uno scalare cioe bix

′i per quanto detto deve

essere:

mis A′

mis A′′ =f (x′1, x

′2, ........., x

′n)

f (x′′1, x′′2, ........., x

′′n)

=f (b1x

′1, b2x

′2, ........., bnx

′n)

f (b1x′′1, b2x

′′2, ........., bnx′′n)

e in forma piu compatta:

f (bix′i) = f (bix

′′i )

f (x′i)

f (x′′i )

se deriviamo la precedente relazione rispetto a b1 (l’operatore di derivazione elineare) otteniamo:

x′1∂f (bix

′i)

∂ (b1x′1)= x′′1

∂f (bix′′i )

∂f (b1x′′1)

f (x′i)

f (x′′i )

poiche la precedente relazione e vera comunque assumiamo per i coefficienti bi unvalore unitario;

x′1∂f (x′i)

∂ (x′1)= x′′1

∂f (x′′i )

∂f (x′′1)

f (x′i)

f (x′′i )

inoltre possiamo osservare:

x′1∂f (x′i)

∂ (x′1)

1

f (x′i)= x′′1

∂f (x′′i )

∂f (x′′1)

1

f (x′′i )→ cos tan te

che rappresenta un’equazione differenziale che risolta da:

∂f

f= C

∂x1

x1→ ln [f ] = ln [x1] + cos t

ora se ripetiamo pari il procedimento per tutti i valori xi otteniamo:

f = kxC11 xC2

2 ........xCnn

e quindi per analogia:

g = k [x1]C1 [x2]

C2 ........ [xn]Cn

va ricordato che gli esponenti Ci sono detti dimensioni di A. Molte grandezzehanno struttura dimensionale, fissate le tre grandezze primarie quali massa, tempo,lunghezza, del tipo:


A = LunghezzaαTempoβMassaγ

inoltre se: a >< 0 e b = 0 g = 0 la grandezza e detta geometrica a >< 0 e b >< 0e g = 0 la grandezza e detta cinematica a >< 0 e b >< 0 e g <> 0 la grandezza edetta dinamica a = 0 e b = 0 e g = 0 la grandezza e adimensionale

Abbiamo visto che la struttura dimensionale di una grandezza e un prodotto dipotenze, se consideriamo la dimensione della grandezza ottenuta dal prodotto di tregrandezze

A = XaY bZc

ora se e possibile determinare i valori degli esponenti diversi da zero in manierache la grandezza A sia adimensionale allora le tre grandezze X,Y,Z sono tra lorodipendenti nel caso contrario indipendenti. Possiamo osservare che le grandezze v(velocita m/s=L/t), l (lunghezza m = L) e ρ (densita kg/m3 = M/L3) sono grandezzetra loro indipendenti infatti:

A = Lat−aLbM cL−3c → La+b−3ctbM c

quindi i valori da dare agli esponenti a,b,c possiamo ottenerli dal seguente sistema:

1 1 −30 1 00 0 1

abc

=

000

il quale ammette un’unica soluzione che pero e quella banale, ne consegue chev,l, e ρ sono grandezze tra loro indipendenti. Va comunque osservato che il numerodi grandezze primarie deve essere uguale al numero delle grandezze indipendenti, secosı non fosse non sarebbe possibile ricavare univocamente la struttura dimensionaledelle seconde attraverso le prime e viceversa. Infatti se per esempio consideriamo lavelocita e l’accelerazione, queste dimensionalmente sono, se consideriamo la grandezzaL (lunghezza) e t (Tempo):

v =L

ta =

L

t2

viceversa possiamo esprime dimensionalmente la lunghezza ed il tempo in funzionedi v (velocita) e a (accelerazione) otteniamo:

t =v

aL =

v2

a

Si definisce equazione completa e dimensionalmente omogenea un’espressione fun-zionale che ”regge” o meglio rappresenta un dato fenomeno fisico e che rimane in-variata al variare delle unita di grandezza. In tale espressione le grandezze possonocomparire in gruppi aventi le stesse dimensioni. Il teorema di π dimostra che le

0.44. π 235

grandezze possono essere raggruppate in gruppi adimensionali il cui numero e pari alnumero delle grandezze che compaiono nel funzionale diminuito del numero di gran-dezze indipendenti presenti. Per semplicita supponiamo che un fenomeno sia rettodalla funzione omogenea:

f (a2, a1, ........., an) = 0

dove le grandezze dimensionali sono in numero di n, delle quali p siano indipendentie che vengono chiamate di base (ordinate in maniera tale che le prime p siano propriole variabili indipendenti) ; costruiamo i seguenti gruppi:

Π1 = aX1,1

1 aX2,1

2 ..........aXp,1

p am1

p+1

Π2 = aX1,2

1 aX2,2

2 ..........aXp,2

p am2

p+2

.................Πn−p = a

Xn−p,2

1 aXn−p,2

2 ..........aXp,n−p

p amn−p

n

ora ogni grandezza avra una struttura dimensionale espressa mediante p grandezzeprimarie:

aj = bα1,j

1 bα2,j

2 .........bαp,jp

quindi il gruppo i puo essere scritto come:

Πi = b[X1,iα1,1+X2,iα1,2+....α1,p+imi]1 ........b[X1,iαp,1+X2,iαp,2+....αp,p+imi]

p

Affinche il precedente gruppo sia dimensionale gli esponenti devono essere nulli,ma se osserviamo il sistema nelle Xij ed mi e omogeneo ed ha p+1 incognite e pequazioni quindi ammette infinite soluzioni. Infatti la matrice dei coefficienti aij hadeterminate diverso da zero; questo e assicurato dal fatto che le grandezze di basescelte sono indipendenti. Quanto detto ci assicura che il fenomeno fisico puo essererappresentato da una relazione di gruppi adimensionali:

Ω (Π1, Π2, ...........Πq) = 0

Va osservato che il teorema di π ci permette di illuminare aspetti veramente inte-ressanti: per esempio suggerisce la rappresentazione dei risultati sperimentali inoltrene facilita il confronto.

Consideriamo l’applicazione del teorema π alla meccanica dei fluidi, una relazionesufficientemente completa dei fenomeni che interessano l’idraulica e data da:

f (L, ρ, v, γ, p, E, µ, t, T ) = 0

dove:

• L=lunghezza di riferimento

• v= velocita


• t=tempo

• T=tensione superficiale

• ρ=densita

• γ=peso specifico

• µ=viscosita

• E=modulo di elasticita

• p=pressione

Imponendo che ρ,v,l siano le grandezze di base ricaviamo abbastanza agevolmentela relazione in funzione di (9-3)=6 gruppi adimensionali

Ω

(vtL

Strouhl,

ρv2

Lγ

Froude,

ρvLµ

Reynolds,

ρv2

∆p

Eulero,

ρv2

E

Mach,

ρv2LT

Weber

)= 0

Va sottolineato che nella scelta dei gruppi vige una indicazione legata al fattoche le grandezze che possono variare piu agevolmente figurino in un solo gruppo. Seteniamo presenti le tre grandezze di base sono v ρ l, possiamo individuare dei 6 gruppiadimensionali il loro significato fisico come vedremo solo il primo ha un significatopuramente cinematico, mentre gli altri hanno un significato puramente dinamico.Possiamo a tale scopo osservare:

St =vt

L=

vLt

→ velocita′

velocita′ del sistema inerziale

Fr =ρv2

Lγ=

ρv2

Lγ

L2

L2=

ρL3 v2

L

L3γ→ forza dinerzia

forza peso

Re =ρvL

µ=

ρvL

µ

vLL2

vLL2

=ρL3 v2

L

µ vLL2

→forza dinerzia

forza vis cos a

Eu =ρv2

∆p=

ρvL

∆p

L2

L2=

ρL3 v2

L

∆pL2→ forza dinerzia

forza di pressione

We =ρv2L

T=

ρv2L

T

L

L=

ρL3 v2

L

TL→

forza dinerzia

forza legata alla tensione superficiale

Ma =ρv2

E=

ρv2

E

L2

L2=

ρL3 v2

L

EL2→

forza dinerzia

forza elastica

0.44. π 237

Si deve pero osservare che i gruppi trovati non sono gli unici possibili, infatti ancheil gruppo ottenuto o da una potenza di un gruppo o dal prodotto di due gruppi o piugruppi e ancora accettabile. Infatti degli ultimi 5 gruppi possiamo utilizzare la formasotto radice quadrata , che rimane un gruppo ancora adimensionale, (talvolta sonodefiniti come indici di Eulero, Froude ...), ma che possono assumere un significatopuramente cinematico infatti:

Fr =v√gL

→ velocita′

velocit di unonda di gravita′

We =v√TLρ

→ velocita′

velocit dovuta alla tensione sup erf iciale

Ma =v√Eρ

=→ velocita′

velocit di unonda elastica

Va sottolineato che per il numero di Eulero e Reynolds assumemere un significatocinematico risulta un po forzato in questo caso allora:

Eu =v√∆pρ

→ velocita′

”velocita′ di un′onda di pressione”

Re =v√µρLv

→ velocita′

”velocita′ di decremento viscosa”

Analogamente la combinazione monomia di uno o piu gruppi adimensionali eancora un gruppo adimensionale infatti il gruppo adimensionale ne e un esempio:

2Al =cv

gh=

√Eρ

v︸︷︷︸Mach−1

ρv2

∆p︸︷︷︸Eulero (fluido pesante)

=c

v

ρv2

∆p= ρ

cv

∆p= ρ

cv

γh=

cv

gh

il precedente gruppo e detto numero di Allievi.

0.44.1 Similitudine; condizione di esistenza

Consideriamo un fenomeno retto dalla funzione:

f(X1, X2, ........., XN) = 0

Si abbia un secondo fenomeno retto dalla medesima funzione ma le grandezze checompaiono nell’argomento anche nel primo sono moltiplicate da uno scalare ki:

f (k1X1, k2X2, ........., kNXN) = 0


Allora i due fenomeni sono in similitudine e lo scalare ki e detto rapporto disimilitudine. Possiamo osservare che la funzione f non puo essere qualsiasi, ma deveavere delle gravi limitazioni infatti se deve essere soddisfatta da una serie di valori edalla medesima serie di valori moltiplicati da uno scalare qualsiasi. Infatti

f(Xi) = 0 e f(kiXi) = 0 ⇒ f (kiXi) = φ(ki)f (Xi)

quindi la funzione deve in qualche maniera essere una funzione a ”variabili sepa-rabili”. Ora se indichiamo

Xoi = kiXi

possiamo scrivere:

f(Xoi ) = φ(ki)f(Xi)

quindi derivando rispetto a ki otteniamo:

∂f (Xoi )

∂k1=

∂φ(ki)

∂k1f(Xi) →

∂f(Xoi )

∂Xo1

∂Xo1

∂k1= X1

∂f(Xoi )

∂Xo1

=∂φ(ki)

∂k1f (Xi)

Siccome quanto scritto e vero per qualsiasi valore ki ,per esempio ki = 1, ottenia-mo:

X1∂f(Xi)

∂X1= f(Xi)

∂φ(ki)

∂k1

∣∣∣∣∣ki=1

ma∂φ(ki)

∂ki

∣∣∣∣∣ki=1

e una costante α1 e quindi la precedente relazione risulta essere una equazione diffe-renziale del tipo:

∂f

f= α1

∂X1

X1

la cui soluzione e data da:

f = C1Xα11

ripetendo l’operazione per tutti i ki otteniamo:

f = KXα11 Xα2

2 ........XαNN

Se ne deduce che per avere similitudine di un fenomeno nel piu ampio caso possibilesolo se la funzione che regge il fenomeno e un prodotto di potenza. Supponiamo orache la nostra funzione f sia omogenea e le N grandezze Xi siano organizzabili in Mgruppi di potenza, cioe:

0.44. π 239

f(Xi)i=1......N = P φ(PJ(Xi))j=1......M

dove P e un gruppo che puo eventualmente essere messo in evidenza, ora l’esi-stenza della similitudine e data da:

φ(PJ(Xi)) = φ(PJ(Ki)PJ(Xi)) = 0

E evidente che affinche la precedente relazione sia comunque soddisfatta deveessere:

PJ(Ki) = 1

inoltre la differenza (N-M) viene definita grado di liberta infatti rappresenta quantirapporti di similitudine possono essere fissati arbitrariamente.

Se un fenomeno (prototipo) si conoscono i gruppi adimensionali che lo reggono,in maniera formale possiamo scrivere:

f(Π1, .........., Πm) = 0

le condizioni di similitudine con un fenomeno analogo , ma che avviene ad esempio

con diversa scala in un laboratorio (modello) λ =Lmodello

Lprototipo, si ottengono imponendo:

Πj(Ki) = 1

il che equivale a porre:

Πi︸︷︷︸modello

= Πi︸︷︷︸prototipo

A seconda delle grandezze di cui si rispetta la similitudine si parla di un modelloper le grandezze geometriche, di un modello per le grandezze dinamiche e di unmodello per le grandezze cinematiche.

0.44.2 Similitudine dei fluidi perfetti

Possiamo ipotizzare che la equazione che regge il fenomeno sia data da:

f (l, ρ, v, p) = 0

risulta evidente che se al solito ipotizziamo l,ρ,v le grandezze indipendenti otte-niamo:

φ

[∆p

ρv2

]= 0

e quindi:


∆pmodello

ρmodellov2modello

=∆pprototipo

ρprototipov2prototipo

→ ∆pmodello

∆pprototipo=

ρmodello

ρprototipo∗ v2

modello

v2prototipo

→ K∆p = KρK2v

essendo N=4 ed M=1 i gradi di liberta sono tre quindi se impieghiamo lo stessofluido otteniamo:

K∆p = Kρ︸︷︷︸=1

K2v

in pratica uno dei due rapporti puo essere fissato indipendentemente dalla scaladel modello

0.44.3 Similitudine dei fluidi reali non soggetti alla gravita


f (L, ρ, v, µ, p) = 0


φ

[∆p

ρv2,vL

ν

]= 0

e quindi:

∆pmodello

ρmodellov2modello

=∆pprototipo


vmodelloLmodello

νmodello=

vprototipoLprototipo

νprototipo

essendo N=5 ed M=2 i gradi di liberta sono tre quindi se impieghiamo lo stessofluido otteniamo:

K∆p = Kρ︸︷︷︸=1

K2v

Kv = Kµ︸︷︷︸=1

1

λ→ K∆p =

1

λ2

Possiamo concludere che nel modello la velocita deve essere aumentata di quantevolte e la stata la riduzione geometrica, inoltre necessitano pressioni (prevalenze)maggiori. Se i fenomeni dissipativi non sono trascurabili la similitudine geometricadeve interessare anche le pareti, in modo da mantenere inalterata la scabrezza relativa,quindi la linea dell’energia deve rispettare:

0.44. π 241

imodello =fmodello

Dmodello

v2modello

2giprototipo =

fprototipo

Dprototipo

v2prototipo

2g

quindi:

Ki = KfK2

v

KD= Kf︸︷︷︸

=1

1

λ3

se pero la scala di riduzione e piccola potrebbe essere non possibile il rispetto dellascabrezza relativa, quindi modello soffre di effetto scala (maggior scabrezza).

0.44.4 Similitudine dei fluidi comprimibili


f (L, ρ, v, µ, p,E) = 0


φ

∆p

ρv2,vL

ν,v2

Eρ

= 0

e quindi:

∆pmodello

ρmodellov2modello

=∆pprototipo


vmodelloLmodello

νmodello=


νprototipo

v2prototipo

Eprototipo

νprototipo

=v2

modelloEmodelloνmodello

→v2

prototipo

c2prototipo

=v2

modello

v2modello

essendo N=6 ed M=3 i gradi di liberta sono tre quindi otteniamo:

Kv = Kc

K∆p = KρK2v

Kv = Kµ [Kρ]−1 1

λ

Kv = Kc


se utilizziamo lo stesso fluido ne consegue che:

Kc =

√KE

Kρ= 1 → Kv = 1

e quindi λ deve essere uguale a 1, quindi non e possibile studiare su modello se noncon la medesima scala del reale a meno che non si utilizzi un fluido diverso (sorgonodei problemi di tipo termodinamico). Se pero il numero di Mach diventa molto grandeil numero di Reynolds puo essere considerato ininfluente e quindi il modello puo esserestudiato su scala ridotta imponendo la similitudine dei numeri di Mach ed Eulero.

0.44.5 Similitudine dei fenomeni di colpo d’ariete


f (L, ρ, v, t, p,E) = 0


φ

∆p

ρv2,vt

L,v2

Eρ

= 0

dalla precedente relazione notiamo la mancanza del numero di Reynolds, infattiquesto fenomeno e studiato di solito trascurando le perdite di carico e quindi:

∆pmodello

ρmodellov2modello

=∆pprototipo


vmodellotmodello

Lmodello=

vprototipotprototipo

Lprototipo

v2prototipo

Eprototipo

νprototipo

=v2

modelloEmodello

νmodello

→v2

prototipo

c2prototipo

=v2

modello

v2modello

essendo n=6 ed m=3 i gradi di liberta sono tre quindi otteniamo:

Kv = Kc

K∆p = KρK2v

Kv = λ1

Kt

se utilizziamo lo stesso fluido ne consegue che:

0.44. π 243

Kc =

√KE

Kρ= 1 → Kv = 1

e quindi Kt deve essere uguale a λ, quindi e possibile studiare su modello anchecon scala ridotta il fenomeno ma intervengono velocita e pressioni che nella pratica dilaboratorio sono spesso inaccettabili. Se pero il numero di Mach diventa molto piccolo(v molto piccola o fluido incomprimibile) lo studio puo essere comunque essere svoltosu modello ma si ricade nell’ipotesi di fluido incomprimibile.

0.44.6 Similitudine nei fenomeni a pelo libero


f (L, ρ, v, µ, i, e, g) = 0


φ

[vL

ν,

v2

√gL

,e

L, i

]= 0

e quindi:

vmodello√gLmodello

=vprototipo√gLprototipo

vmodelloLmodello

νmodello=


νprototipoeprototipo

Lprototipo=

emodello

Lmodello

imodello = iprototipo

essendo N=7 ed M=(3+1) i gradi di liberta sono tre (la pendenza della lineadell’energia e gia un gruppo adimensionale) quindi nell’ipotesi di utilizzare lo stessofluido possiamo scrivere:

Kv =√

λ

Kv =1

λ

Ke = λ

Ki = KfKv2

KD= Kf︸︷︷︸

=1

1

λ3


i rapporti di similitudine impongono che λ deve essere pari all’unita, quindi sevogliamo studiare il modello in scala diversa dal reale possiamo ipotizzare che laturbolenza sia ”decisamente sviluppata ” e quindi la dipendenza da Reynolds vienea cadere infatti siamo in condizioni di parete scabra se:

u∗modelloemodello

νmodello>= 70

quindi:

u∗modelloemodello

νmodello

u∗prototipoeprototipo

νprototipo

>=70


νprototipo

⇒ u∗modello

u∗prototipo

emodello

eprototipo>=

70u∗prototipoeprototipo

νprototipo

nell’ipotesi di ritenere valido il rapporto di similitudine dato dal numero di Froudeotteniamo:

√λ︸︷︷︸

Kv=√

λ

λ >=70


νprototipo

⇒ λ >=

70u∗prototipoeprototipo

νprototipo

2/3

tale equazione talvolta impone una scala al modello inaccettabile dal punto divista esecutivo-tecnico-economico e quindi si tralascia la condizione di turbolenza inpresenza di parete scabra, accettando che il modello e condizionato da effetti scala.Poiche la relazione piu utilizzata per valutare le perdite di carico e quella di Gaukler-Strikler dobbiamo valutare il rapporto di similitudine del coefficiente Ks

vmodello

vprototipo=

Ks modello R2/3H mod ellloi

1/2modello

Ks prototipo R2/3H prototipoi

1/2prototipo

⇒√

λ = KKsλ2/3 → KKs = λ−1/6

va osservato che Ki = 1 infatti:

0.44.7 Similitudine nei moti di filtrazione


f (D, ρ, v, n, µ, τ ) = 0

dove: D= diametro dei granuli n= porosita risulta evidente che se al solitoipotizziamo l,ρ,v le grandezze indipendenti otteniamo:

φ

[τ

ρv2,vD

ν,n

]= 0

0.44. π 245

se esplicitiamo il primo gruppo adimensionale dalla precedente relazione ottenia-mo:

Πτ =τ

ρv2= ϕ

[vD

ν, n

]=

ψ [n]vDν

nell’ipotesi che il valore di Reynolds sia molto elevato, risulta trascurabile il suoeffetto quindi otteniamo:

Πτ =τ

ρv2= ϕ

[vD

ν, n

]= ψ [n]

nei casi intermedi alcuni autori propongono di utilizzare:

Πτ =τ

ρv2= ϕ

[vD

ν, n

]=

2

n6

[.001 +

1

<

]

quindi in generale la relazione funzionale e data da:

Πτ = ϕ [<, n]

allora abbiamo similitudine se :

nmodello = nprototipo

vmodelloLmodello

νmodello=


νprototipo

va ricordato che in molti casi esiste una superficie libera quindi risulta necessarioimporre anche l’uguaglianza della pendenza della linea dell’energia:

imodello = iprototipo

quindi nell’ipotesi di medesimo fluido abbiamo:

Kn = 1Kv = 1

λ

Kv2 = KiλKi = 1

ci si accorge immediatamente che affinche il precedente sistema ametta soluzioneλ (inteso come rapporto del dimetro dei granuli del mezzo permeabile) deve essereuguale a 1. Tale trattazione ha senso solo per valori Reynolds prossimi allo zero, seReynolds e nullo il fenomeno di filtrazione ammette potenziale di velocita e quindi puoessere studiato piu comodamente con un modello analogico (Hole-Shaw) o addiritturada modelli matematici.


0.45 Lezione 39

0.45.1 MODELLI FISICI

Nell’ambito delle strutture idrauliche la modellazione fisica in scala 1:1 non esiste(risulta economicamente impossibile), come invece si potrebbe fare in campo mec-canico, quindi e necessario usare scale piuttosto elevate. Si cercato di concentrare ilaboratori in grossi centri nazionali (vedi Olanda,Inghilterra e Danimarca). I modellifisici80 vengono usati sempre meno perche la modellazione matematica risulta menocostosa sia in termini economici sia in tremini temporali, visto il notevole sviluppodelle macchine da calcolo. Nelle condizioni migliori si lavora con entrambi i metodied in particolare quello matematico viene saggiato da quello fisico. Modelli fisici sonoancora attuali per strutture una certa importanza: interazione struttura fluido, fondimobili; permettendo lo sviluppo di teorie e modelli sintetici (si pensi al diagrammadi Moody). Il teorema di Buckingam procede usufruendo di varie grandezze fisicheprincipali:

1. Massa xM

2. Lunghezza xL

3. Tempo xT

4. Temperatura xK

x....= misura sul prototipo. Le misure effettuate sono xA che hanno un legame dipartenza con le precedenti:

xA = xMAMM xMAL

L xMATT xMAK

K (541)

Rimane invariato nell’unita di misura se gli esponenti sono tutti nulli. Quindisia nel modello sia nel reale sono presenti le stesse unita: cioe xA e invariante alloraMAi = 0 per ogni i. E possibile inserire altri gruppi purche posseggano una dellevariabili fondamentali, cioe al sistema fondamentale e possibile sostituirne uno de-rivato (ρ, v, L, T ) . E’ possibile introdurre gruppi adimensionali in modo da averedelle relazioni tra quantita invarianti. Il teorema di Buckingam afferma che, se unagrandezza e legata ad una funzione che leghi n variabili tra di loro:

x1 = f1(x1, ......., xN).........xN = fN(x1, ......., xN)

(542)

puo essere rappresentata, sempre, da un legame analitico con un numero ridotto diunita fondamentali. Questo numero ridotto e tale da essere M = N − 4 dove N eil numero delle variabili adimensionali. Questo teorema permette di ottenere dellerelazioni in termini adimensionali che non variano al variare della scala.

80 Per una trattazione piu estesa si consiglia di vedere ”Principles of River Engineering”. Thenon-tidal alluvial river. Jansen pag. 306-321

0.45. LEZIONE 39 247

0.45.2 SCALA

Supponiamo che la quantita z sia nel prototipo z’, e nel modello z”; allora si definiscescala il rapporto:

nz =z′

z′′(543)

Quando si pone la scala per quattro grandezze fondamentali, dal teorema di Buckin-gam, tutte le altre sono messe in scala, questa e la via per: Analisi dimensionaleper la definizione delle scale. C’e un’altra via: Rappresentazione matemati-ca delle leggi fisiche. Che e da preferire perche permette di capire che il fatto diridurre la scala, comporta una distorsione del modello. Quindi permette di capire glieffetti di scala , cioe le distorsioni introdotte.

0.45.3 Esempio

Efflusso sopra uno stramazzo in parete larga.

Figura 140: Stramazzo in parete larga.

Carico totale:

H = h +v2

2g(544)

Le variabili in gioco sono quattro: lunghezza, velocita, accelerazione, viscosita cine-matica. Al variare del numero di Froude e del numero di Reynolds nel modello siottiene lo stesso rapporto che nel prototipo.

Questo puo comportare dei problemi, vediamo perche. Innanzitutto tra modelloe prototipo vi sono le ”condizioni di scala”:

ng = 1nν = 1

(545)

Cioe stesse accelerazioni di gravita e stessa viscosita. Se imponiamo i due gruppiadimensionali uguali tra modello prototipo:


Tabella 41: Gruppi adimensionali

4 4− 2 (2 → lunghezza e tempo)

lunghezza velocita Fr =U√gh

accelerazione viscosita Re =Uh

ν

nFr = 1nRe = 1

(546)

la precedente posizione genera dei problemi qualora si dia una regola per il calcolodelle scale.

OSSERVAZIONE

Se consideriamo una legge che dice che la grandezza z e prodotto z = xayb il fattoredi scala per z deve valere nz = na

xnby. Cioe la legge si traduce in una legge di scala.

Per le leggi di tipo addittivo se:

z = x + yse nx = ny → nx = ny = nz

se nx 6= ny → ...(547)

.... intervengono effetti di scala che non dipendono solo da nx ny, ma anche dalledimensioni del modello. Si osservi la tabella 42. Quindi nFr = 1 e nRe = 1 possono

Tabella 42: Esempi effetti scala.

nF r = 1 nh = n2ν nF r =

n2u

ngnh1 =

n2u

1nh

nRe = 1 nh = n−1u nRe =

nunh

nν1 =

nunh

1

essere soddisfatte se e soltanto se nh = 1 e nu = 1. Cioe per soddisfare Reynolds eFroude devo fare un modello grande quanto il prototipo. Quindi e importante capirese il fenomeno che si sta osservando e dominato da:

Fr =forze di inerzia

forze di massa(548)

Re =forze di inerzia

forze viscose(549)

0.45. LEZIONE 39 249

Quindi risulta importante la valutazione dei dati che si osservano. Nel caso dellostramazzo se gli effetti di stramazzo (turbolenza attrito con parete) sono trascurabili,si costruisce il modello sulla base del numero di Froude. Ad esempio si puo assumerenh = 100 le velocita vengono definite da nu =

√nh = 10.0, ne segue che le misure di

velocita sul modello devono essere moltiplicate per 10 per avere il valore che la stessagrandezza avrebbe nel prototipo. La scala dei tempi sara data da:

nT =nL

nu=

nL√nL

=√

nL (550)

Quindi la scala dei tempi e valutata come la radice della scala delle lunghezze. Ladistorsione e introdotta perche si trascura il numero di Reynolds che tiene contodegli effetti di capillarita, dell’accelerazione di Coriolis, etc; ma questo va bene se taligrandezze sono trascurabili rispetto ad altre. Nel caso dello stramazzo vediamo oral’effetto di scala nel trascurare il numero di Reynolds. Il rapporto tra la scala delcarico e la scala del carico piezometrico:

nH

nh=

H ′

H ′′

h′

h′′

=

H ′

h′

H ′′

h′′

=1 +

s′

h′

1 +s′′

h′′

=1 +

nss′′

nhh′′

1 +s′′

h′′

(551)

dove s indica il carico cineticoU 2

2g. Quindi il rapporto tra le scale energetiche risulta

essere funzione:

nH = f(nh, ns,s′′

h′′) (552)

Doves′′

h′′e la misura effettuata → effetto di scala.Si puo notare che:

ns

nh=

U ′2

2gU ′′2

2g

h′′

h′=

U ′2

2gh′

U ′′2

2gh′′

= n2Fr (553)

dove n2Fr e la scala del numero di Froude al quadrato.

Dalla fotocopia allegata si nota la deviazione tra i rapporti di scala tra i carichienergetici in funzione del rapporto s′′/h′′. Tale valore deve essere dell’ordine di qualche

per-cento. Per non avere grosse variazioni dins

nh, nel campo di variazioni di n2

Fr si

veda tabella 43.Consideriamo un’altro esempio relativo alla legge di Chezy U = C

√gRj suppo-

niamo di rispettare il numero di Froude, la scabrezza nel modello deve rispettare delleleggi affinche quello che avviene nel modello sia significativo di quello che avviene nelprototipo:

nν = nCn1/2R n

1/2j (554)


Tabella 43: Relazioni Scala.

Relazioni di scala

leggi : sono tassative perche′ il fenomenofisico sia significativo di quello che avviene nella realta′

condizioni

j e adimensionale, cioe dovrebbe essere nj = 1 , ma puo accadere di voler realizzaremodelli con distorsione (x,y), in modo da accentuare, ad esempio le altezze rispettoalle lunghezze, quindi nj 6= 1 . Se nj = 1 allora nC = 1 cioe la stessa scabrezza;

altrimenti nC = n−1/2j In genere e necessario aumentare la scabrezza (vedi blocchetti

sul fondo del canale nella fotocopia).

Nel caso di un modello marittimo (estuario fluviale) n2C =

ny

nxdove ny e nx sono le

scale di lunghezza orizzontale e verticale. Quindi nv =√

ny e nu =√

ny = nv infattiil numero di Froude mette in conto la profondita del canale. Invece la scala dei tempiva rivista, cioe e diverso il tempo misurato per la fluttuazione verticale rispetto aquella orizzontale. Se prendiamo un’onda di marea il periodo T :

T =X

U→ nT =

nx

nu=

nx√ny

=√

nynx

ny(555)

dovenx

nye il rapporto di distorsione che puo far variare nT .

Altri effetti possono essere dati dalle forme di fondo ad esempio le dune. Si definisceuna resistenza al moto:

j = Fr2

[1

Kln

(b

h

kB

)]−2

+1

2

Λ

h

(∆

K

)2 (556)

dove k = 0.4 e la costante di Von Karman kB e la scabrezza assoluta e b vale ≈ 5.5.

Il secondo termine A =1

2

Λ

h

(∆

K

)2

e dato da una scabrezza di forma della parete

Figura 141: Scabrezza di forma per una duna.

stessa della duna. Questo fa sı che ci sia un rapporto di scala:

ny

nx=

2.5ln(5.5z′)−2 + A′

2.5ln(5.5z′′)−2 + A′′ =2.5ln(z′′ny/nD)−2 + nAA′′

2.5ln(5.5z′′)−2 + A′′ (557)

0.45. LEZIONE 39 251

dove nD e la scala granuli del fondo. Questo comporta un determinato valore delledimensioni dei granuli infatti:

nD =

(√nx

ny

)α

→ (3e−0.005Re2D − 2) < α < 1 (558)

dove ReD e il numero di Reynolds del sedimento. Abbiamo una valutazione del pesospecifico del sedimento:

ngammas =n2

y

nxnD(559)

Solitamente il materiale e noto, quindi si conosce ngammas , e si controlla che nD sianei termini limite. Un’altra relazione e:

nx = nmy (560)

con 1 < m < 32 .

Queste quattro relazioni 557 → 560 devono essere soddisfatte per garantire la scalacorretta a tutte le grandezze in gioco. Nella fotocopia allegata relazioni sperimentalirelative alle dune. Diagramma di Schields relativo a dati piu aggiornati.


0.46 Lezione 40

0.46.1 Valutazione del rischio da intrusione marina.

Forti escursioni di marea

Per una certa escursione di marea l’occupazione o zona di allagamento e piccola se laspiaggia ha forte pendenza:

Figura 142: Per prevenire si puo ricorrere ad arginature.

Per prevenire questo si puo ricorrere alle arginature.Questo e un problema tipico delle coste friulane:l’intrusione si ha per effetto della

marea che rientra nella laguna. Il problema si puo porre in termini probabilisticidefinendo la probabilita superamento dell’altezza di marea.

Probabilita superamento dell’altezza di marea

Cio che determina il massimo livello di marea e il sovrapporsi alla marea astronomi-ca (deterministico) di altri fenomeni (deriva, moto ondoso, risonanza etc.). Quindisono gli effetti meteoclimatici che producono un ulteriore innalzamento definendo unandamento non del prevedibile, si ricorre quindi ad uno studio di tipo probabilistico.E necessario introdurre una variabile aleatoria ”Altezza di marea massima in un annosolare” H . Possiamo valutare la probabilita che H essa sia inferiore ad un livello chesi determina (ad esempio nel Golfo di Trieste all’altezza di marea e inferiore ad 1 m)prob(H ≤ h) E’ possibile scegliere un metodo statistico.

OSSERVAZIONE

Metodi probabilistici: sono modelli legati alla globalita dei casi possibili, cioe si rife-riscono tutto lo spazio di probabilita. E una serie di teoremi, lemmi, etc. che leganola probabilita alla teoria.Metodi statistici: fanno riferimento all’inferenza statistica che, basandosi su un cam-pione di esame opera una stima per valutare le proprieta probabilistiche di un feno-meno:campione → stima → proprieta′ probabilistiche

0.46. LEZIONE 40 253

Si puo considerare e ricorrere alla teoria del valore estremo, studiata e proposta daGumbel. Fa riferimento a dei picchi che si realizzano in un certo periodo di osserva-zione. Queste proprieta hanno degli andamenti quasi indipendenti dalla variabile dipartenza (cioe dal suo andamento).

Ci sono 3 tipi di valore estremo F (z) = e−e−z

variabile ridotta.

Figura 143: Andamento dei valori estremi secondo Gumbel.

Con il terzo tipo si ha una limitazione superiore. Solitamente si ha una distribuzionedel valore estremo del primo tipo:

hTR = ho − aln[ln

(TR

TR − 1

)](561)

E la formula di inversione del doppio esponenziale, dove TR tempo di ritorno, prob(H >hTR) = 1

TR

ricordiamo che TR ha la dimensione di un tempo (puo essere un anno) . Esiste uncriterio di massima verosimiglianza per risolvere ed indagare il problema.

OSSERVAZIONE

Tempo di ritorno TR La probabilita di superamento e prob(H > h) =1

TRquindi

quella di non superamento vale prob(H < h) = 1− 1

TR.

Tali proprieta sono entrambe valutate per un singolo periodo di osservazione (unitadi misura per TR). Ci si potrebbe chiedere la probabilita che H > h , per due pe-riodi di osservazione: prob(H > h| 2 periodi di osservazione) = ? Esistono quattropossibilita:

• Si supera in un anno e nell’altro no

• Si supera l’altro anno ed il primo no;

• Non si supera in entrambi gli anni;

• Si supera il entranti gli anni


E’ necessario fare un’ipotesi di indipendenza degli eventi: se il fatto che si verifichiun evento, non altera la probabilita che si verifichi il successivo, allora la probabilitae il prodotto delle singole probabilita

prob(H < h| 2 periodi di osservazione) =(1− 1

TR

) (1− 1

TR

)=

(1− 1

TR

)2

Questa probabilita e riferita a tre casi su quattro perche si considera quelli per cuiavviene almeno un superamento. Al limite su un periodo pari a TR periodi si ha che:

prob(H < h, in TR) =(1− 1

TR

)TR

(562)

Per TR →∞⇒(1− 1

TR

)TR

→ 1

e≈ 1

3

La probabilita di non avere superamento nel stesso e1

3, negli altri

2

3dei casi c’e

almeno un superamento. TR e quindi un livello di rischio.

Bibliografia

[1] Arthur T. Ippen, Estuary And Coastline Hydrodynamics, McGraw-Hill BookCompany,Inc,1966



255

Costruzioni marittime

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