La cosmologia studia la struttura, l'origine e l'evoluzione dell'universo.Il fondamento della cosmologia moderna il cosiddetto principio cosmologico (Milne 1933). Secondo tale principio l'universo deve essere fondamentalmente omogeneo (il suo aspetto non dipende dal punto diosservazione) edisotropo(ilsuoaspetto ilmedesimointutte ledirezioni)sugrandescalae soggetto ovunqueallestesseleggifisiche, inmodotalecheunqualsiasiosservatore, posto inun qualsiasi punto di esso, sia in grado di osservarne le medesime caratteristiche e di giungere ai medesimi risultati.Si tratta, se vogliamo, di un'estensione del principio copernicano secondo il quale la terra non un luogo privilegiato del nostro sistema solare.Il principio cosmologico non una legge dimostrabile, ma un'esigenza razionale del nostro intelletto, il quale non potrebbe fare oggetto di una conoscenza di tipo scientifico un universo non soggetto ovunque alle medesime leggi di natura.Unadirettaconseguenzadelprincipiocosmologicochel'universo, per rispettarelecondizionidi omogeneitedisotropia, deveesserestaticoocaratterizzatodaunmoto(espansioneocontrazione) omogeneo.I dati sperimentali raccolti negli anni '20 confermano tale previsione dimostrando che l'universo si trova in uno stato di espansione omogenea. Il termine "omogenea" non si riferisce alla velocit di espansione (che in effetti, come vedremo, diminuisce con il tempo), ma al fatto che l'espansione interessa in modo uniforme l'intero universo (non vi una porzione che si espande pi velocemente di un'altra).LA RECESSIONE DELLE GALASSIE: RED-SHIFT E LEGGE DI HUBBLEQuandoosserviamoglispettri provenientidacorpiinmotorelativorispettoanoiessiciappaiono deformati. Inparticolarelerigherisultanospostateversolunghezzed'ondamaggioriselasorgente luminosa possiede un moto relativo di allontanamento, mentre risultano spostate verso lunghezze d'onda minori se la sorgente animata da un moto relativo di avvicinamento.Poich nello spettro visibile le lunghezze d'onda maggiori corrispondono al rosso, mentre le lunghezze d'onda minori corrispondono al blu, il fenomeno di "dilatazione" della lunghezza d'onda proveniente da un corpo in allontanamento indicato come spostamento verso il rosso o red-shift, mentre il fenomeno di"compressione"dellalunghezzad'onda proveniente da un corpo in avvicinamento indicato come spostamento verso il blu o blu-shift.Naturalmentecinonsignificacheunaradiazionechehasubitounred-shift o unblu-shiftciappaia effettivamenterossao blu, significasolocheci appareconunalunghezzad'ondarispettivamente maggiore o minore di quella che possedeva al momento di emissione.L'intensit del fenomeno tanto maggiore quanto maggiore la velocit radiale di allontanamento o di avvicinamento.Il fenomeno analogo, come fece notare Doppler nel 1842 e come dimostr sperimentalmente Fizeau nel1848, aquellochesiproducenelleondeacustiche. E' notoinfatticheunasorgentesonorain avvicinamentoproduceunsuonopiacuto, mentreinallontanamentoproduceunsuonopigrave (effetto Doppler).Supponiamooracheunasorgenteluminosaemetta ondeelettromagnetichedi periodoTechela sorgente si stia allontanando dall'osservatore ad una velocit v.Dopoaver emessolaprimacresta, lasecondaverremessadopountempoT. ManeltempoT compreso tra un'emissione e la successiva la sorgente si allontana di uno spazio vT.Questadistanzaaumentailtemporichiestoperchlasecondacrestaraggiungal'osservatorediuna quantit vT/c.L'osservatore dunque non misurer pi un periodo T, ma un periodo pi lungo. Il tempo compreso tra l'arrivo di una cresta e l'arrivo di quella successiva sar infatti pari aT1 = T + vT/cIn base a tale nuovo periodo l'osservatore calcoler una lunghezza d'onda pari a

1 = cT1mentre la lunghezza d'onda in partenza in relazione con il periodo originario T = cTDividendo membro a membro le due ultime relazioni si ottiene1+ c TvTccT( )da cui semplificando11 +vced infine 1 vc 1 vienecomunementeindicatocome'z',parametrodired-shift.Sidimostradunquechesez dovuto ad effetto Doppler esso pari al rapporto tra la velocit relativa del corpo emittente e la velocit della luce.Poichpiuttostosemplicecalcolarediquantoaumentataodiminuitalalunghezzad'ondadiuno spettro a righe, confrontandolacongli spettri standard dei vari elementi e composti ottenuti in laboratorio, rimane di conseguenza subito determinata la velocit di allontanamento o di avvicinamento espressa come percentuale della velocit della luce.Seadesempiomisuriamounaumentodellalunghezzad'ondadellerighespettralidell'idrogenoche costituisce una galassia dell'1%, possiamo dedurne che tra la terra e tale galassia esiste un movimento di allontanamento reciproco che avviene ad una velocit dell'1% di quella della luce (v/c = 0,01), pari a 3.000 km/s.Determinando il parametro di red-shift (z) di alcuni corpi celesti sono stati calcolati valori superiori ad 1. Cinonpunaturalmentesignificarechetalicorpipossiedonovelocitsuperioriaquelledellaluce. Significainvececheessisiallontananoconvelocittalmenteprossimeaquelledellaluce(velocit relativistiche) che necessario utilizzare una relazione relativistica per il calcolo di z.Nella relativit speciale z legato alla velocit di allontanamento v dalle seguenti relazioni2 zc vc v+1e ( )( ) 1 11 122+ + +zzcvNel 1925 Slipher aveva misurato i red-shift di 45 galassie. Ad eccezione di Andromeda e di poche altre galassie che avevano evidenziato uno spostamento verso il blu, e quindi un moto relativo di avvicinamento, tutte le altre mostravano uno spostamento verso il rosso pi o meno marcato.Nel 1929Hubble, lavorandosui dati raccolti da Slipher, giunse a definire una relazione che legava la distanza delle galassie all'entit del loro red-shift e quindi, in definitiva, alla loro velocit di allontanamento. v =H Ddove v la velocit di allontanamento in km/s, D la distanza in megaparsec (Mpc) e H una costante di proporzionalit, detta costante di Hubble, alla quale si d oggi il valore di 55 km/(s Mpc). Secondo tale relazione dunque tutte le galassie, ad eccezione di alcune a noi vicine che presentano moti locali,manifestano unavelocit diallontanamento o recessione che risulta direttamente proporzionale alla loro distanza.Per esemplificare, una galassia che dista da noi 1 Mpc si allontana a 55 Km/s, una che dista 2 Mpc si allontana a 110 Km/s e cos via.Introducendo il parametro di red-shift 'z' ( dove z = / = v/c), la relazione diventazc = H DIn tal modo la misura del red-shift di ciascuna galassia diventa una misura, oltre che della sua velocit di recessione v, anche della sua distanza D. E' in questo modo che gli astronomi hanno calcolato la distanza degli oggetti celesti pi remoti, come radiogalassie e quasar.Anche se apparentemente pu sembrare il contrario, la legge di Hubble perfettamente coerente con il principio cosmologico.Per dimostrarlo prendiamo in considerazione cinque galassie, A, B, C, D, E, poste su di una retta ad intervalli regolari di 1 Mpc.Poniamo ora di trovarci nella galassia B e di osservare il moto delle altre quattro galassie. 1 casoSe il moto non seguisse la legge di Hubble e tutte e quattro le galassie si allontanassero da B non con una velocit direttamente proporzionale alla loro distanza, ma con la stessa velocit, poniamo 50 km/s, l'osservatore posto inBavrebbel'impressionedi essereal centro di unmoto di espansione. Ma l'osservatore posto in C vedrebbe le galassie Ded E ferme rispetto a lui, la galassia B che si allontana a 50 Km/s e la galassia A che si allontana a 100 Km/s. I risultati dell'osservazione non sono dunque gli stessi se l'osservazione viene compiuta in luoghi diversi dell'universo e l'osservatore posto in C potrebbe per di pidedurre chenell'universoesiste unluogo privilegiato, il centro Bda cui tutto si sta allontanando. 32casoponiamo ora che il moto di espansione segua la legge di Hubble e che l'espansione avvenga in modo che lavelocitdellegalassierisultidirettamenteproporzionalealladistanzacheledivide.E' facileallora verificarechedovunquenoispostiamoilpuntodiosservazionelemisurazionisulmovimentodelle galassie esterne danno lo stesso risultato. Tutti gli osservatori avranno l'impressione di essere al centro di unmoto di espansioneenessunopotr individuareuncentro effettivodell'universo, unluogo privilegiato.Possiamoimmaginarel'universocomeunfogliodigommachevengastiratouniformemente. Sead esempio prendiamo tre punti A, B e C posti sulla circonferenza di un cerchio di gomma con A che dista 2 cm da B e 5 cm da C, e poi raddoppiamo in un secondo le dimensioni del cerchio, tutte le distanze al suo interno verranno raddoppiate. Cos ora A dister 4 cm da B e 10 cm da C. L'osservatore posto in A misurer per B una velocit di allontanamento di 2 cm/s mentre per C una velocit di allontanamento di 5 cm/s, tanto maggiore quanto maggiori sono le distanze che inizialmente li separano.4

Inrealt il moto di recessionedellegalassienonandrebbeconsiderato comeunvero e proprio movimento, infatti ci che si dilata nell'universo lo spazio-tempo. Le galassie possono essere ritenute ferme rispetto ad uno spazio tempo in fase di dilatazione. Questo consente di accettare tra l'altro velocit di recessione, per le galassie pi lontane, maggiori di quelle della luce e di interpretare il parametro z di red-shift non pi come dovuto ad effetto Doppler, ma connesso alla dilatazione che anche le lunghezze d'ondasubisconoquandolospazio-tempo siespande.Cossel'universo raddoppia lesuedimensioni anchetutte lelunghezzed'ondadellaradiazioneelettromagneticavengonoraddoppiate. Siparlain questo caso di red-shift cosmologico. Se ad esempio Re il raggio dell'universo al momento in cui viene emessa una radiazione di lunghezza d'onda e, la lunghezza d'onda o percepita ora (Ro) soddisfa la seguente relazionezR RRo eeo ee Se, ad esempio, z = 1 significa che Ro = 2Re e che stiamo percependo una radiazione emessa quando le dimensioni dell'universo erano la metdelle attuali. z = 2 significa invece che Ro= 3Ree che stiamo percependo una radiazione emessa quando le dimensioni dell'universo erano un terzo delle attuali.In definitiva l'universo presenta ora una dimensione z + 1 volte maggiore di quella che aveva quando stata emessa la radiazione che ora percepiamo con red-shift z.Larelazionecheinquestocasolegazavverrottenuta dopoaver analizzatoleequazioniche descrivono la dinamica dell'espansione cosmica e la metrica dello spazio-tempo.Unavoltaaccettata laleggedi Hubblecomeconseguenzadel moto di espansionedell'universo possibile fare alcune interessanti considerazioni.

Se infatti la galassia C che si trova ad 1 Mpc da B si sta allontanando da quest'ultima alla velocit di 50 Km/s, ricordando che v = s/t,potremmo affermare che al tempo s KmMpct/ 501le due galassie si trovavano unite.Lo stesso ragionamento pu essere fatto anche per la galassia D che si trova a 2 Mpc e che si allontana da B a 100 Km/s. Potremmo affermare che B e D erano unite al tempo5s KmMpct/ 1002Ilvaloreottenutoevidentementelostessoedilragionamentosipufareper qualsiasicoppiadi galassie.Possiamoinaltreparoleaffermarechetuttelegalassiesitrovavanoconcentrateinunsolo punto in un tempo t, calcolabile come rapporto tra distanza e velocit di allontanamento.Ricordando ora che la legge di Hubble v = HD, semplice verificare che il rapporto tra D e v risulta pari al reciproco della costante di Hubble e tale valore una stima dell'et dell'universoetDv Huniverso= =1Per un valore di H attualmente stimato in 55 Km/(s Mpc) (1,78 10-18 s), l'et dell'universo si aggirerebbe sui 18 miliardi di anni. Si tenga presente che il valore di H non certo, ma si ritiene che esso debba collocarsi tra 50 e 100 km/(s Mpc). Per un valore di H di 50 Km/(s Mpc) (1,62 10-18 s), l'et dell'universo diviene circa 20 miliardi di anni, mentre per un valore di H di 100 Km/(s Mpc) (3,24 10-18 s), l'et dell'universo diviene circa 10 miliardidianni.Comesipuvedere piccole variazioni di H possono modificare in modo sensibile le nostre stime sull'et dell'universo.L'et dell'universo calcolata come reciproco della costante di Hubble tuttavia un limite superiore. Essa infatti calcolatanell'ipotesi cheH abbia sempre avuto lo stesso valore e che quindi l'universo si sia espanso anche in passato con la stessa velocit con cui si sta espandendo ora. Ci non evidentemente accettabile poich la presenza di materia deve aver frenato l'espansione che in passato deve essere perci stata pi rapida. L'et dell'universo deve quindi essere certamente inferiore a 1/H.Per poter stimare l'entit di questo effetto frenante necessario possedere una funzione R(t) che metta in relazioneilraggioRdell'universoconiltempot echeci descrivaindefinitivalecaratteristiche cinematiche dell'espansione.Il formalismomatematico chepermette di descrivere ladinamicae lacinematica dell'universo costituito dalle equazioni della relativit generale. E' per notevole che applicando all'universo la teoria newtonianadellagravitazionesigiunga, come dimostrarono E.A. MilneeW.H. McCrea nel1934, a risultati formalmente analoghi, anche se dal significato fisico diverso.COSMOLOGIA NEWTONIANA6Primadel '900 non si era mai tentato di applicare lameccanica newtoniana all'intero universo, essenzialmente perch vi era la ferma convinzione che l'universo fosse infinito e statico. E' invece facile verificare chese l'universo soggettoad un'unica forza attrattiva (la forza gravitazionale), su grande scala, questa non pu che provocarne la "caduta" verso il centro e quindi un movimento di contrazione.Inoltre applicando le equazioni di Newton ad un universo infinito si va incontro al cosiddetto paradosso gravitazionale, per il quale la forza gravitazionale a cui soggetto un corpo presenta un valore diverso a seconda del procedimento usato per calcolarla.Immaginiamoadesempiodicostruireintorno adunpuntomaterialePunaserie disuperficisferiche concentriche che inglobino porzioni via via maggiori di universo (che ipotizziamo formato da un fluido materiale uniformemente distribuito).E' facile dimostrare che l'attrazione gravitazionale netta che ciascun guscio di materia esercita sul punto , per ragioni di simmetria, nulla. Se immaginiamo di costruire infiniti gusci intorno al punto P, la forza gravitazionale che ne scaturir sar comunque nulla.Seoraproviamoacostruireinostri guscisfericiinmodocheilpuntorimangasempresullaloro superficie, otterremoIn tal caso il punto P di massa m subisce una forza gravitazionale diretta verso il centro dei gusci che risulta direttamente proporzionale alla massa Mcontenuta in ciascun guscio e inversamente proporzionale al quadrato del raggio del guscio7f GM mrg 2In questo modo, se costruiamo infiniti gusci la forza gravitazionale risultante risulta essere infinita.Il procedimento che porta a risultati fisicamente accettabili quello di porre il punto sulla superficie di un guscio e di costruire i gusci esterni, in modo che siano concentrici al primo.Per unaproprietdellaforzagravitazionalegidimostratadallostessoNewton, igusciesterninon esercitano (per ragioni di simmetria) nessuna attrazione netta sul punto P, il quale "sente" solo la massa contenuta nel guscio interno, come se essa fosse interamente concentrata nel centro.Immaginiamo dunque l'universo come una sfera di raggio R, volume V=433R e massa M uniformemente distribuita. Si consideri ora una galassia di massa m posta sulla superficie di tale sfera, dotata di una velocit di recessione, secondo la legge di Hubble, pari a1)v HR La sua energia cinetica sar pari a2) E mvc 122e la sua energia potenziale3)E GmMRp Per ilprincipiodi conservazionedell'energia, l'energiatotale(cinetica+potenziale) deverimanere costante durante l'espansioneE E E ttot c p + cos4) E mv GmMRtot 122La relazione 4) ci permette di individuare 3 casi che producono 3 differenti modelli cosmologici1E E Ec p tot> > 0

L'energiacineticasuperal'energiagravitazionale. Laforzagravitazionalenoningradodifermare l'espansione la quale continuer indefinitamente. L'universo si dice aperto.2E E Ec p tot 0

8L'energia gravitazionale eguaglia l'energia cinetica. Ci troviamo in una situazione di perfetto equilibrio. La forza gravitazionale non in grado di fermare l'espansione. La velocit di espansione continuer a diminuire, tendendo a zero senza per annullarsi. Anche in questo caso l'universo si dice aperto.3E E Ec p tot< < 0

L'energia gravitazionale supera l'energia cinetica. La forza gravitazionale ingrado di fermare l'espansione. L'universo raggiunger un punto di massima espansione, si fermer e inizier a contrarsi. L'universo si dice chiuso.Possiamo osservare la stretta analogia con un proiettile che viene lanciato dalla terra. Se la sua energia cinetica supera oeguaglia l'energiagravitazionale esso in grado di sfuggire al campo gravitazionale terrestre, in caso contrario destinato a ricadere sulla terra. Se la sua energia cinetica eguaglia l'energia gravitazionale entra in un'orbita parabolica intorno alla terra, trovandosi in una situazione di perfetto equilibrio dinamico.Lavelocitcheilproiettiledeveavereinquest'ultimocasodettavelocitdi fugaesi calcola facilmente dalla condizione di eguaglianza tra Ec ed Ep5) 122mv GmMR 6) vGMRf2Anche per l'universo possiamo calcolare una velocit di fuga. Non conoscendo la massa totale M ed il raggio Rdell'universo pi conveniente esprimere tale velocit in funzione di variabili accessibili alla misura come la densit di materia e la costante di Hubble 7) MVMR433Sostituendo nella 6) e ricordando che per la 1) v H R2 2 2 si ottiene 8)H Gc283 relazione che contiene solo variabili ( H e ) misurabili.clacosiddettadensitcritica, cioladensitchel'universodovrebbepossedereaffinchlasua energia cinetica (misurata dal valore di H) in un certo istante eguagli l'energia gravitazionale (misurata da). SeorasostituiamoadHilvaloreattualmentemisurato(Ho)otteniamoilvaloreattualedella densit critica. 9)c oGH 382Per un valore di Ho = 55 km/(s Mpc) la densit critica presenta un valore attuale di 5,67 10-30 g/cm3Utilizzando i valori estremi di Ho (50 e 100 km/s Mpc) la densit critica assume i valori 4,70 10-30 g/cm3 e 1,88 10-29 g/cm3.Inlineadiprincipiopotremmo pertantosapere se l'universo aperto o chiuso confrontando il valore della densit critica con quello della densit effettiva attuale (o).9Il modo pi semplice per misurare la densit effettiva contare il numero di galassie per unit di volume e moltiplicare per la massa media di una galassia.Ilnumeromediodigalassieper unitdivolumesembraaggirarsiintornoa210-2per megaparsec cubico, pariacirca2galassieogni100Mpc3. Lamassamediadiunagalassiapuesseredesunta partendo dall'ipotesi che vi sia una proporzionalit tra luce emessa e massa della galassia. Assumendo per le galassie una magnitudine assoluta media M = - 21 e ricordando che il sole (la cui luminosit viene presa come unit di misura ed indicata come L = 3,8 1033erg/s) presenta una magnitudine assoluta pari a M = 4,9, la luminosit intrinseca media di una galassia pari a circa 2 5 2 2 1026 10, , L .Se poniamo uguale ad 1 il rapporto Massa-Luminosit del sole (M /L= 1) troviamo che tale rapporto vale mediamente per le galassie circa 10. Tale coefficiente ci permette di trasformare la luminosit media di una galassia in massa media, espressa in masse solari. La massa media di una galassia deve pertanto valere approssimativamente 2,2 1011 M . Moltiplicando tale valore per il numero medio di galassie per unit di volume otteniamo una densit, espressa in masse solari, pari a circa 4 4 109, M /Mpc3. RicordandoinfinecheM =21033geche1Mpc3= 2,934 1073cm3, possiamo calcolare la densit effettiva in g/cm3. Essa risulta essere pari a circa 3 10-31 g/cm3 (valore gi trovato da Oort nel 1958).Tale valore naturalmente un limite inferiore della densit effettiva poich tiene conto solamente della materia visibile.Le misure di densit effettiva danno dunque valori che si aggirano su 1/100 della densit critica. Se ci fossevero l'energiacineticasupererebbel'energiagravitazionalee l'universo sarebbedestinato ad espandersi per l'eternit.Vi sono comunque diverse obiezioni a questa conclusione.In primo luogo il valore della densit critica dipende dal valore misurato di Hoche, come abbiamo gi detto presenta un'elevata incertezza ( 50 - 100 km/s Mpc). In secondo luogo la densit effettiva che noi misuriamotieneconto per lopidellamateriavisibile, quellacheemette luce. Potrebbeesistere nell'universo, e la maggior parte degli astronomi ne convinta, parecchia materia non emittente (materia oscura) che potrebbe contribuire in modo decisivo ad innalzare il valore di o.Gliastronomisonosolitiindicareladensitdell'universotramiteilparametrodi densit , parial rapporto tra la densit effettiva e la densit critica.co Naturalmente potr assumere i seguenti valori< 1Universo aperto in espansione perpetua= 1Universoaperto in espansione perpetua (critico)> 1Universo chiuso destinato a collassareGlieffettidellamateriapresentenell'universopossonoesseredescrittiancheattraversol'entitdella decelerazioneprodotta. Taledecelerazionevieneespressaincosmologiatramiteunparametrodetto parametro di decelerazione q.Il parametro di decelerazione misura in pratica la velocit con cui il valore di H diminuito al passare del tempo. In altre parole q pari alla derivata di H rispetto al tempo e si pu dimostrare che esso risulta legato al parametro di densit dalla relazione 21q10Cerchiamodiottenereunarelazionecheleghi R al tempo (leggeoraria) per i 3 modellidiuniverso. Dall'equazione 4), riordinando10) 2 22EmvGMRtotla quantit al primo membro una costante. PonendokEmtot 2 la 10) diventa11) vGMRk22 Il valore di k pu variare in funzione delle unit di misura usate, ma non il suo segno. Infatti se Ep > Eck > 0Ep = Eck = 0 Ep < Eck < 0 In genere, per uniformare le diverse trattazioni si restringono i possibili valori di k a +1, 0, -1Esprimiamo ora anche nella 10) la Massa e la Velocit in termini di variabili misurabili( e H).12) ,_

2 238H G R k La relazione 12) analoga a quella che descrive lo spazio-tempo nella relativit generale. La differenza sostanziale sta nell'interpretazione fisica di R, k e .Nell'approccio newtoniano R il raggio dell'universo esprimibile attraverso unit di misura di lunghezza, la densitdi materia e k una misura dell'energia totale di una particella materiale, il cui segno ci permette di prevedere se essa o meno gravitazionalmente legata.Nell'approccio relativistico R il fattore di scala, k l'indice di curvaturadello spazio-tempo e la densitdella massa-energia.Di tali differenze parleremo in seguito, dopo aver analizzato il comportamento dinamico dell'universo nei tre casi individuati. Per ora si osservi che, essendo R sempre necessariamente positivo, sar sufficiente calcolare il segno della quantit tra parentesi nella 12) per conoscere il segno di k (segno che dipende dai valori attualmente misurati di e H). Vediamo ora come evolve l'universo nei tre casi1)Ep > Eck > 0 > 1 Perkpositivoladifferenzaasecondomembro nella 11) sarpositiva perR moltopiccolo (equindi 2GM/R molto grande). Man mano che il raggio dell'universo aumenta, la differenza a secondo membro si fa pi piccola (e con essa la velocit di espansione al primo membro).Ad un certo punto R raggiunge un valore massimo che azzera la velocit. Per v = 0 si ha13)RGMkmax 2Quando la velocit di espansione si azzerata (e con essa l'energia cinetica) l'energia gravitazionale libera di invertire l'espansione inducendo una diminuzione di R. L'universo si contrae fino ad azzerare nuovamente il suo raggio. La curva che si ottiene una cicloide.112)Ep = Eck = 0= 1Per k nullo la 11) diventa14) vGMR22ricordando che la velocit la derivata dello spazio rispetto al tempovdRdt , possiamo riscrivere la 14) 15) RGMdR dt122che integrata porge16) 23 232RGMt riordinando si ottiene17)R GM t3 292 (che presenta la stessa forma della terza legge di Keplero)Al crescere del tempo t il raggio dell'universo quindi destinato a crescere indefinitamente secondo una legge oraria del tipo R t 2312Esprimendonella17)lamassaMinfunzionedelladensitdimateriaotteniamolarelazionecheci descrive come varia con il tempo18) 162GtRicordando poi che in questo modello l'universo possiede esattamente la velocit di fuga e quindio = c(= 1), possiamo sostituire nella 18) con il valore della densit critica trovato nella 9). Otteniamo19)Ht23Se nella 19) sostituiamo H con il suo valore attuale (Ho = 55 km/s Mpc) troviamo il tempo (to) trascorso dall'inizio dell'espansione ad oggi in un universo in equilibrio dinamico (Ec = Ep) 20) tH ssoo 2323 1 78 103 7 10 1 2 1018 117 10,, ,anniQuesto modello di universo l'unico per il quale possibile calcolare il tempo effettivamente trascorso dall'inizio dell'espansione, poich, ponendo la densit effettiva uguale alla densit critica, si pu calcolare in modo preciso l'effetto frenante della materia sull'espansione.3)Ep < Eck < 0 < 1 per k negativo la differenza a secondomembro nella 11) sar sempre positiva, e sempre maggiore di zero sar pertanto anche la velocit di espansione a primo membro.La forma della legge oraria R(t) diversa nelle fasi iniziali dell'espansione rispetto alle fasi successive. All'iniziodell'espansione (t piccolo) R molto piccolo e quindi2MGRk >> . Essendo all'inizio dell'espansione k trascurabile rispetto a 2GM/R la 11) diventa la 14) e la legge oraria sar quindi del tipo R t 23Manmanocheilraggiodell'universoaumentasar2MGRk 0) deve avere un'et indefinita inferiore a 23Ho, mentre un universo aperto (k < 0) deve avere un'et indefinita compresa tra 1Ho e 23Ho.In sintesi dunque i 3 modelli consentono di descrivere tre tipi alternativi di universo in espansione. Essi dipendonoessenzialmentedaquantamateriapresentenell'universo. Nell'approccionewtonianoche abbiamofinorautilizzatopossiamoimmaginarechelapresenzadimaterianell'universoproducauna forza gravitazionale di richiamo che diminuisce progressivamente la velocit di espansioneIl problema analogo a quello della velocit di fuga per un corpo che si allontana dalla terra. Se infatti il corpopossiedeunavelocitmaggiorediquelladifugaessopotrallontanarsidefinitivamentedalla superficie terrestre,se esso invece presenta una velocit inferiore alla velocit di fuga sar destinato a ricadere su di essa.Possiamoimmaginarecheancheperl'universoesistaunavelocitdifugailcuivaloredipendadalla quantit di materia in esso presente.14Sedunquel'universosistaespandendoconunavelocitsuperioreallasuavelocitdifuga, lasua espansionesarinfinita.Lasuavelocit diminuir perla presenza di materia, ma senzamai azzerarsi (universo aperto).Seinvecel'universosistaespandendoconunavelocitinferioreallasuavelocitdi fuga, lasua espansioneavrtermine. Lasuavelocitdiminuirfinoadazzerarsieaquelpuntol'espansionesi trasformer in una contrazione destinata a riportare tutta la materia in un unico punto (universo chiuso).Esisteancheuncasointermedio. Seinfattil'universopossiedeunavelocitesattamentepariallasua velocitdifugaessositrovainunasituazionediperfettoequilibriotraenergiacineticaedenergia potenzialechegliconsentecomunqueunaespansioneperpetua. Anchequestoclassificatocome universoaperto. Inquest'ultimocaso possibilecalcolare quale dovrebbeessere ladensit che l'universodovrebbepossedereper equilibrareesattamentelasuaattualevelocitdiespansione(che siamo in grado di stimare). Tale densit detta densit critica. (c).Naturalmente non conosciamo il valore della densit effettiva (o) che ci permetterebbe di sapere quale dei tre modelli descrive effettivamente il nostro universo.COSMOLOGIA RELATIVISTICA I primi tentativi di descrivere l'intero universo tramite gli strumenti della relativit si devono allo stesso Einstein, il quale nel 1917 aveva applicato all'intero universo le equazioni relativistiche ottenendo come risultatoununiversononinequilibrio,maincontrazione.Mafinoaglianni'20delnostrosecolosi ritenevachel'universofossestatico. Einsteinintrodussepertantounterminecorrettivo, lacosiddetta costante cosmologica,coneffettirepulsivi, per 'evitare' che l'universo collassasse sotto la spinta della attrazionegravitazionaleprodotta dallamateriainessocontenuta. InseguitoEinsteinparlerdella costante cosmologica come uno dei pi grossi abbagli della sua carriera.InquellostessoannoWillemDeSitter trovun'altrasoluzionedelleequazionidiEinstein(sempre utilizzando la costante cosmologica) che descrivevano un universo vuoto di materia caratterizzato da un moto di espansione.SeEinsteinavesseapplicatolesueequazioniall'universosenzaintrodurrelacostantecosmologica avrebbe potuto anticipare la scoperta di un universo dinamico, in evoluzione.Il risultatosideveinvecealsovieticoAleksandr Fridmanilqualenel1922ottenneunasoluzione dinamica delle equazioni originarie di Einstein (senza la costante cosmologica). Facendo l'ipotesi che la materiapotesseconsiderarsidiffusainmodoomogeneoall'internodell'universoeglitrovcheesso doveva essere caratterizzato da un'espansione uniforme.Fridman giunse ad una descrizione che oggi riteniamo corretta della dinamica dell'universo, ma le sue equazioni nonebbero alcuna eco inoccidente, finoa quando non vennero riscoperte inmodo indipendentenel1927daGeorgeLematre, ilqualesuggerchel'espansioneavrebbeprodotto uno spostamento verso il rosso dellerighespettrali osservate, fatto poi confermato sperimentalmente dall'astronomo Hubble nel 1929.Lematre forse maggiormente noto per esser stato il primo ad ipotizzare, in modo del tutto qualitativo, lanascitadell'universodaun"atomoprimigenio"superdenso, dallacuiesplosioneavrebberopreso origine tutti gli elementi chimici e la radiazione cosmica. Per questo motivo spesso ricordato come il "padre" del Big Bang.Nel 1935 i modelli di Fridman trovarono una definitiva formalizzazione grazie ai lavori di Robertson e Walker. Oggi i modelli cosmologici basati sulle soluzioni di Fridman, Robertson e Walker sono spesso indicati come cosmologie FRW. Essi corrispondono, anche dal punto di vista formale, ai tre modelli newtoniani ottenuti in precedenza.Il modello con k = 0 noto anche come modello di Einstein - De Sitter.Si tratta ora di chiarire come inrelativit generale certe grandezze debbano essere interpretate fisicamente in modo diverso rispetto a quanto abbiamo visto nella descrizione newtoniana.La curvatura dello spazio-tempo 15SecondoEinsteinpossibilesostituireil modellonewtonianoin cui la gravit si manifesta come una forza attrattiva, conunmodelloincui lagravit vieneconcepita comeunamanifestazionedella geometriadellospazio. Inaltreparolelapresenzadimateriaingradodicurvarelospazio-tempo (crontopo). I corpi quindi, inassenzadiforzegravitazionali,obbedendoalprincipiodiinerziasi muovono nello spazio di moto rettilineo uniforme. Ma essendo lo spazio in cui si muovono curvo, essi seguono delle traiettorie non rette, pur continuando tali traiettorie ad essere i percorsi pi brevi tra due punti. Oltre a curvature locali, presenti ad esempio intorno ad una stella o ad un pianeta, possibile concepire una curvatura complessiva che caratterizza l'intero universo e la cui entit dipende dalla densit effettiva di materia in esso presente.Nelleequazionirelativistichekrappresenta una misura della curvaturadellospazio-tempo ed detto indice di curvatura. Per Einstein dunque la densit di materia presente nell'universo condiziona la geometria dello spazio ed in uno spazio curvo la geometria euclidea non pu pi essere utilizzata. A ciascuno dei tre modelli di espansione quindi possibile associare una caratteristica curvatura spazio temporale ed in definitiva una particolare geometria.Fino agli inizi dell'Ottocento l'unica geometria conosciuta era quella formalizzata da Euclide a partire da cinque postulati, tra cui il 5, noto anche come postulato "delle parallele".Nella prima met dell'Ottocento si fece strada l'idea che altre geometrie fossero possibili, soprattutto ad opera di Gauss, Riemann, Bolyai e Lobacevskij.Ginel'700ilpadregesuitaGerolamoSaccheri, tentandodi dimostrareilquintopostulatoaveva costruito una geometria fondata sui primi quattro, che violava volutamente il quinto. Egli sperava cos di ottenere una costruzione priva di coerenza interna in modo da ottenere una dimostrazione per assurdo del quintopostulato. Ottenneinveceunageometrialontanadal sensocomune, maperfettamente coerente.Fu solo nella prima met dell'Ottocento che si arriv ad accettare l'idea che geometrie non-euclidee, cos sonodette legeometriecheviolanoil quinto postulato, potevano essereformalizzate fondandosi puramente sul principio di non contraddizione.Esistono due tipi fondamentali di geometrie non-euclidee. Leprimecheaffermanocheper unpunto esterno adunaretta data nonpassaalcunaparallela (geometria ellittica o sferica - Riemann).Lesecondecheaffermanocheper unpunto esterno adunaretta data passanoinfiniteparallele (geometria iperbolica - Lobacevskij). A Gauss e Riemann si deve invece un'altra importante generalizzazione del concetto di geometria. La geometria a tre dimensioni pu essere infatti considerata come un caso particolare di geometrie costruite con un numero qualsivoglia di dimensioni. Nasce dunque l'idea di una geometria in grado di descrivere spazi curvi a pi dimensioni.Tutto ci rimase pura speculazione teorica fino a quando la teoria della relativit generale non dimostr che la materia era in grado di curvare lo spazio tempo quadridimensionale. Poich per per noi impossibile la rappresentazione di uno spazio curvo a tre dimensioni (e tantomeno a quattro,se consideriamo anche la dimensione temporale) conveniente pensare allo spazio come ad una superficie a due dimensioni. Tutte le considerazioni che faremo potranno poi essere utilizzate per descrivere la geometria dell'intero universo.Quando si lavora su superfici curve le distanze non possono pi essere misurate tramite rette, ma tramite lineecurve. Inunasuperficiepianalarettarappresentaladistanzapibrevetraduepunti. Inuna 16superficie curva la distanza pi breve tra due punti una linea curva detta geodetica. Le rette sono le geodetiche delle superfici piane.1) superfici sferiche e universo ellittico k > 0Le superfici sferiche sono superfici a curvatura costante positiva. Le geodetiche di una superficie sferica sonoarchidi cerchiomassimo(uncerchiomassimosiottieneintersecandolasuperficieconpiani passantiper ilcentro). Nonesistonodue geodetiche parallele poich tutte si intersecano in due punti opposti. Talesuperficiedeveesseredunquedescrittatramiteunageometrianoneuclidea(ellittica). Costruendo un triangolo con tre archi di geodetica si pu facilmente verificare che la somma degli angoli internisempremaggioredi 180. Muovendosi lungounageodeticasipuritornareal puntodi partenza.L'universosarebbecaratterizzatodaunageometriadiquestotipo, naturalmentecontredimensioni spaziali, se la sua densit effettiva fosse maggiore della sua densit critica.Dunqueununiversochecontieneunaquantittaledimateriadaprodurreunacurvaturacostante positiva. Un universo caratterizzato da una geometria ellittica anche un universo chiuso, destinato a fermare la sua espansione e a contrarsi.In un tale universo un raggio di luce, costretto a seguire le traiettorie pi brevi e quindi una geodetica, si ritroverebbe al punto di partenza dopo aver attraversato tutto lo spazio.2) superfici iperboliche e universo iperbolico k < 0Le superfici iperboliche sono superfici a curvatura costante negativa. Possiamo immaginarle come una superficie "a sella". In queste superfici esistono infinite geodeticheche passano per un punto esterno ad una geodetica data senza mai intersecarsi con questa. Tale superficie deve essere quindi descritta tramite unageometrianon-euclidea(iperbolica). Costruendountriangolocontrearchidigeodeticasipu verificare come la somma degli angoli interni minore di 180.L'universosarebbecaratterizzatodaunageometriadiquestotipo, naturalmentecontredimensioni spaziali, se la sua densit effettiva fosse minore della sua densit critica.Dunqueununiversochecontieneunaquantittalmentebassadimateriadaprodurreunacurvatura costante negativa. Un universo caratterizzato da una geometria iperbolica anche un universo aperto, destinato ad espandersi per sempre.3) superfici piane e universo piatto o euclideok = 0Le superfici piane sono superfici a curvatura nulla. In esse vale la geometria euclidea. L'universo sarebbe caratterizzato da una geometria di questo tipo, naturalmente con tre dimensioni spaziali, se la sua densit effettiva fosse uguale alla sua densit critica.Ununiversocaratterizzatodaunageometriaeuclideaanch'essoununiversoaperto, destinatoad espandersi per sempre.Senoifossimoingradoditracciareunenormetriangolocondeiraggilasernellospazioepoine misurassimo la somma degli angoli interni potremmo capire in che tipo di spazio viviamo (piano, sferico o iperbolico) e di conseguenza quale sar il destino dell'universo (aperto o chiuso).17Il fattore di scala R e la metrica dell'universoNellacosmologiarelativisticanonpossibileparlaredi raggiodell'universo. LagrandezzaRche compare nelle equazioni va interpretata come un fattore di scala.Un esempio servir a chiarire.Immaginiamo un mappamondo sul quale sia rappresentata la superficie terrestre. Ogni luogo individuatotramitelesuecoordinate geografiche(latitudineelongitudine). Supponiamodi essere interessati unicamente alla latitudine, cio alla distanza angolare di un luogo dall'equatore.Ad esempio Roma si trova a 42 a nord dell'equatore. Noi sappiamo che 1 di latitudine corrisponde a circa 110 km. Cos per calcolare la distanza in km di una citt dall'equatore dobbiamo moltiplicare la sua coordinata (latitudine) per un fattore che in questo caso 110 km/grado.Roma perci dister 42 x 110 km/grado = 4620 km dall'equatore.Immaginiamo ora che la terra improvvisamente si gonfi uniformemente, raddoppiando il suo diametro. Tutte le distanze tra le diverse localit raddoppieranno. Ma le coordinate dei diversi luoghi rimarranno le medesime e noi potremmo continuare ad utilizzare il nostro mappamondo, con l'avvertenza che ora 1 di latitudine non vale pi 110 km, ma 220 km.Roma dister ora 42 x 220 km/grado = 9240 km dall'equatore.In altre parole ogni volta che la terra cambia dimensioni, noi possiamo mantenere inalterate le coordinate dei diversi luoghi ed aggiornare il fattore di conversione che chiameremo fattore di scala. Se la terra raddoppia il suo diametro, raddoppiamo anche il fattore di scala, se lo triplica lo triplichiamo e cos via.Per l'universo il ragionamento analogo. Poich l'espansione si suppone avvenga radialmente per tutti i punti, sarsufficienteun'unicacoordinataspazialexcheindividualaposizionediunpuntorispetto all'origine, arbitrariamente fissata.Tale coordinata rimane costante durante l'espansione. E' una caratteristica del punto (come la latitudine di Roma nell'esempio precedente) e lo accompagna durante il suo moto di recessione radiale. Per questo motivotalecoordinatadettacoordinata comovente o radiale. La relativit fornisce le relazioni che leganoilfattorediscalaRaltempot neidiversimodellicosmologici.Cosperottenereladistanza effettiva D di un punto necessario moltiplicare la coordinata per il fattore di scala.22)D x R Le distanze che separano due punti presentano in realt alcune caratteristiche peculiari legate al fatto che larelativitgeneralenondistinguetra coordinate spazialiecoordinata temporale. Ciascunpunto dell'universo pertanto caratterizzato da 4 coordinate (3 spaziali ed 1 temporale). I punti cos caratterizzati sono detti eventi e la relativit generale permette di misurare la distanza spazio-temporale tra due eventi. Il formalismo matematico che permette di calcolare le distanze tra due punti in uno spazio qualsiasi (ad n dimensioni) prende il nome di metrica dello spazio.LametricaunageneralizzazionedelteoremadiPitagoraattraverso ilquale possibile calcolarela distanza tra due punti di cui sono note le coordinate. 18La lunghezza del segmento L in uno spazio a due dimensioni si ottiene, come noto, tramite la relazione pitagorica L x y2 2 2 + . Inunospazioatredimensionifacileverificarechelarelazionediventa L x y z2 2 2 2 + + . Se per la geometria non euclidea la distanza tra due punti non , come abbiamo visto un segmento di retta, ma una porzione di geodetica. In tal caso possibile applicare comunque il teorema di Pitagora, immaginando di dividere il tratto di geodetica in porzioni infinitesime ds, a ciascuna delle quali si applica il teorema di Pitagora ds dx dy dz2 2 2 2 + + . La lunghezza del tratto di geodetica si otterr come somma di tutti i ds e quindi come ds.In definitiva nello spazio-tempo (crontopo) a 4 dimensioni, la distanza tra due eventi calcolabile, in modo analogo a quanto abbiamo finora visto, tramiteds dx dx dx dx212223242 + + + . La quarta coordinatalacoordinatatemporalechevale dx c dt42 2 2 . Siottieneinquestomodolarelazione matematica che fornisceladistanzatra due eventi nello spazio-tempo piano (metrica di Minkowsky), nell'ambito della relativit speciale.La relativit generale considera per anche spazi curvati dalla presenza di materia. La metrica necessaria per calcolare le distanze spazio-temporali tra eventi in spazi curvi fu ottenuta nel 1935 da Robertson e Walker, indipendentemente l'uno dall'altro. Essa contiene, come facilmente prevedibile, sia l'indice di curvatura k, che il fattore di scala R.23)( )( )2 22 2 22 2 22 241dt cz y xkdz dy dxt R ds 1]1

+ + ++ + Vediamo ora come la 23) pu essere utilizzata per costruire alcune relazioni che leghino il parametro di red-shiftzallavelocitdirecessionevedalladistanzaDcheseparaduepuntinellospazio-tempo euclideo.Se accettiamo una interpretazione cosmologica del red-shift, allora24)zR RRo eeo ee e quindi25)RRzoe +1essendo poi per la 17) R t 23 e quindi 32

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eoeottRRallora 1926)132+

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ztteo essendo inoltre perla 20) t H 1 allora 27) 132+

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zHHoeessendo infine per la 14) v R2 1 e quindi 2

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oeeovvRRallora28) 12+

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zvvoeNel caso di un universo euclideo k = 0. Inoltre, poich l'espansione avviene radialmente, sar sufficiente considerare una sola coordinata radiale (x). La 23) diventa allora 29) ( )2 2 2 2 2dt c dx t R ds Poich in relativit generale l'equazione di propagazione di un segnale luminoso si ottiene ponendo ds = 0 (geodetica di lunghezza nulla), potremo scrivere30) ( )2 2 2 2dt c dx t R estraiamo la radice quadrata e riordiniamo( )dtt Rcdx Ricordando che R(t) per la 17) R A t 23 con A = cost, otteniamodxcA tdt 23integriamo 0320ttxedtt Acdx032ttedt tAcxxcAttte 3130xcAt te 30131311]1

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3131001 3tttAcxe11]1

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31320001 3ttAtctxe11]1

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310 0013ttRctxe20 dalla 20) tH0023, sostituendo31)11]1

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310 0 012ttR Hcxedalla 26) otteniamo ( )2311+zttoe che sostituito nella 31) fornisce32) ( ) 11]1

+ 2111120 0 zR Hcxricordando ora che per la 22) D = x R, dopo aver portato Ro al primo membro nella 32) otteremo33)( ) 11]1

+ 21111200 0zHcD xR Che ci permette di calcolare la distanza attuale Do di un oggetto celeste di cui conosciamo il red-shift z.Essendo dalla 25) ( ) 1 + z R Re o deve anche essere ( ) 1 + z D De o. Sostituendo nella 33) otteniamo34) ( )( ) 11]1

++21111120 zz HcDeChe ci permette di calcolare la distanza Dedi un oggetto celeste di cui conosciamo il red-shift z, al tempo te di emissione.Essendo poi v = HD otteniamo

( ) 11]1

+ 21111 20 0 0zc D H vda cui35) ( ) 11]1

+ 21111 20zcvche ci permette di calcolare a che frazione della velocit della luce (vo/c) si sta attualmente allontanando l'oggetto celestedi cui conosciamo il red-shift z.E inoltre, poich dalla 27)( )231 + z H Ho e, tenendo presente la 34) e sostituendo opportunamente( ) [ ] 1 1 221 + z c D H ve e eda cui36)( ) [ ] 1 1 221 + zcveche ci permette di calcolare a che frazione della velocit della luce (ve/c) si stava allontanando l'oggetto celestedi cui conosciamo il red-shift z al tempo di emissione te.Possiamo inoltre calcolare il tempo di emissione in funzione di z. Infatti, sempre tenendo presente la 27)37)( )231 3232+ z HHtoeePossiamo infine calcolare la distanza effettivamente percorsa dal raggio luminoso per giungere sino a noi moltiplicando la velocit della luce per il tempo impiegato a raggiungerci dal momento di emissione al momento di ricezione (to-te).2138)( )( ) 11]1

+ 2311132zHct t c Doe o

Utilizzando queste relazioni sul quasar pi distante finora scoperto (z 4) troviamo ad esempio che per la 25) deve essere Ro = 5 Ree quindi stiamo osservando un oggetto che ha emesso la radiazione che ora ci colpisce quando l'universo aveva dimensioni pari ad 1/5 delle attuali.Tale radiazione stata emessa al tempo te = 3,35 1016 s 1 miliardo di anni dopo il Big Bang.La distanza che ci separava allora dal quasar era De = 3,9 miliardi di a.l. Ovviamente ora tale distanza 5 volte maggiore ( Do = 19,7 miliardi di a.l.). La distanza effettivamente percorsa dalla luce D = 12 miliardi di anni luce.Al momento di emissione il quasar si stava allontanando da noi ad una velocit vepari a 2,47 volte la velocit della luce, mentre ora si allontana ad una velocit vo pari a 1,1 volte la velocit della luce.La costante di Hubble aveva allora un valore He pari a 859.375 km/(s Mpc).La densit di materia-energia e la pressioneL'ultimo elemento fondamentale che distingue la trattazione newtoniana da quella relativistica consiste nelfatto che nei modelli relativistici anche la radiazione e la pressione sono fonte di gravitazione. La relazione einsteniana di equivalenza massa-energia (E = mc2) ci permette infatti di calcolare una massa-equivalente di energia mEce 2Cos dividendo sia la densit di energia che la pressione per c2, si ottengono i contributi di ciascuna di essealladensitdimateria(siosservichedensitdienergiaepressionesonograndezzeomogenee erg/cm3 = dyn/cm2). va dunque intesa, nelle equazioni relativistiche, come una densit totale, ottenuta come somma della densit di materia, della densit di massa equivalente all'energia di radiazione e della densit equivalente di pressione .39) tot matradcpc + +2 2322In genere il contributo della pressione alla densit totale trascurabile e in tutti i modelli si pone p = 0.Pi interessanti sono invece risultati alcuni modelli con p < 0 (inflation) di cui parleremo in seguito.Piimportanteperladinamicadeiprimi istanti di espansione intuttietre i modelli risulta invecela distinzionetradensitdimateriaedensitdimassaequivalenteallaradiazione. Infattiladensitdi materiae ladensit di massaequivalente all'energianondiminuiscono allostesso modo durante l'espansione.Gi sappiamo che la densit di materia , per la 7), inversamente proporzionale ad RmatR13 La densit di massa-equivalente all'energia decresce invece pi rapidamente all'aumentare di R durante l'espansione. Infatti i fotoni subiscono una doppia diluizione con l'espansione. In primo luogo il loro numero diminuisce, come quello di ogni altra particella, in modo proporzionale all'aumentare del volume. Se il volume raddoppia il numero di fotoni per unit di volume si dimezza e cos via. Da questo punto di vista il numero di fotoni per unit di volume inversamente proporzionale al cubo di R, come avviene per la densit di particelle materiali.In secondo luogo l'energia di ciascun fotone risulta diminuire in modo proporzionale all'aumento di R. Infatti se immaginiamo che l'universo aumenti le sue dimensioni anche le onde elettromagnetiche in esso contenute subiranno uno stiramento di egual proporzione. Se R raddoppia anche la lunghezza d'onda di tutti ifotoni raddoppia. Essendol'energiadiciascunfotoneinversamenteproporzionaleallasua lunghezza d'onda (E hhc ), se ne deduce che l'energia di ciascun fotone risulta essere inversamente proporzionale ad R. Se sommiamo i due effetti facile verificare che la densit di energia deve essere inversamente proporzionale alla quarta potenza di R40) radR14La densit dell'energia di radiazione pu essere calcolata utilizzando la legge di Stefan-Boltzmann, che affermacheladensitdi energiaemessasututte lefrequenzadauncorpo allatemperaturaT proporzionale alla quarta potenza della temperatura assoluta, secondo la relazione41) ( )3 4 15erg/cm 10 5659 , 7 Trad Essendo la temperatura attuale dell'universo To = 2,726K, la relazione fornisce una densit di energia di radiazione di circa 4,2 10-13 erg/cm3. Convertiamo tale valore in densit di massa-equivalente all'energia( )3 34 4 362g/cm 10 65 , 4 726 , 2 10 42 , 8 cradSe confrontiamo tale densit con la densit critica di materia c (nell'ipotesi che l'universo sia euclideo) cheparia5,6710-30g/cm3facileverificarecheattualmentel'effettogravitazionaleprodotto essenzialmente dalla materia e non dalla radiazione, la cui densit circa 10.000volte inferiore.Maserisaliamonel tempo verso l'istantezero (iniziodell'espansione) troviamocheladensitdi radiazioneaumentapirapidamentedella densitdimateriaevi sar perci un tempo (moltovicino all'inizio dell'espansione) in cui la densit di radiazione sar stata maggiore della densit di materia.Tutto ci modifica le condizioni dinamiche dell'espansione iniziale in tutti e tre i modelli.Poich nelle fasi iniziali R molto piccolo, possiamo assumere che 2MGRk >>in tutti e 3 i modelli e chedunquel'equazionedinamicasiapertutti imodelliderivabiledalla11)esprimendolamassain funzione della densit totale (materia + radiazione) e ponendo k = 042) v G Rtot2 283 23La legge oraria ottenibiledalla 42) dipende da come varia la densit totale in funzione di R.Da quanto abbiamo discusso in precedenza possiamo affermare che nei primissimi istanti di espansione la densit di materia potr essere trascurata rispetto alla densit di radiazione e potremo scrivere tot matrad radc c + 2 2cos, ricordando che la densit di radiazione inversamente proporzionale alla quarta potenza di R, nei primi istanti sar tot radR 14 e la 42) diventer43) vR221ricordando chevdRdtla 43) pu essere scritta comeR dR dt , che, integrata porge44) R t 12Successivamente, durante l'espansione, la densit di radiazione diventa rapidamente trascurabile rispetto alla densit di materia. tot matradmatc + 2cos,ricordandocheladensit dimateria inversamente proporzionale alla terza potenza di R, negli istanti immediatamente successivi sar tot matR 13 e la 42) diventer45) vR21cheintegratafornirlaleggeorariaR t 23, giottenutaper lefasiinizialiditutti etreimodelli cosmologici. Neimodellirelativistici, taledistinzionetradensitdi materiaedensitdi energiaci costringere a suddividere (in tutti i modelli) dal punto di vista dinamico i momenti iniziali dell'espansione in due fasi che chiameremo era della radiazione ed era della materia.Durante l'era della radiazione l'universo si espande in modo pi lento (R t 12) di quanto non faccia nella successiva era della materia (R t 23).PROBLEMI IRRISOLTI NELLE COSMOLOGIE CLASSICHE: PIATTEZZA ED ORIZZONTEI modelli cosmologici FRW presentano alcune difficolt che hanno cominciato a trovare soluzione solo con l'introduzione in cosmologia della teoria dell'inflation (vedi oltre).Problema della piattezzaIl problema della piattezza si pu sintetizzare nella seguente domanda: come mai le misure della densit effettiva ci forniscono valori che non si discostano per pi di 1/100 da quello della densit critica (0,01) e quindi l'universo, anche se non euclideo (piatto), comunque molto vicino ad esserlo?24Per poter comprendereilsignificatoditaledomandanecessarioprecisarecheilvaloredi=1 rappresenta uno stato di equilibrio instabile. Si pu infatti dimostrare che se fosse stato inizialmente 1 avrebbe mantenuto tale valore per sempre, ma se fosse invece stato anche solo di pochissimo diverso da 1, taledifferenzaavrebbesubitounarapidissimadivaricazioneconiltempo, intutti e3imodelli cosmologici. Per rendercene contoriprendiamo la 10) e riordiniamolaH GkR2283 esprimiamooraladensiteffettiva infunzionedelladensitcritica( c) e dividiamo ambo i membri per H2.1832 2 2 GHkH Rcma per la 8)H Gc283 e quindi la relazione precedente diventa46)12 2 kH Rla quale conferma che per k = 0 allora = 1.Per k 0 il valore di sar tanto pi grande (o pi piccolo) di 1 quanto maggiore sar kH R2 2. Tale rapportononrimanepercostantedurantel'espansionepoich, mentreilnumeratorecostante, il denominatore diminuisce e quindi il rapporto aumenta in valore assoluto.Consideriamo separatamente il comportamento di kH R2 2durante l'era della radiazione e durante l'era della materiaA) durante l'era della radiazione per la 19) e la 44) si haH t 1eR t 12elevando al quadratoH t2 2eR t2e quindi H R t t t2 2 2 1 ed in definitivakH Rt2 2Il che significa che durante l'era della radiazione l'eventuale differenza di da 1 aumenta proporzionalmente con il tempoB) durante l'era della materia vale inveceH t 1eR t 23elevando al quadratoH t2 2eR t243e quindi H R t t t2 2 22343 25ed in definitivakH Rt2 223il che significa che durante l'era della materia l'eventuale differenza di da 1 aumenta con il tempo un po' meno rapidamente di quanto non avvenga durante l'era della radiazione.Risulta allora sorprendente che le misure odierne di diano valori cos vicini all'unit. Se ad esempio consideriamo un valore attuale di = 0,01 la differenza di da 1, che indicheremo per semplicit come kH R2 21 0 99 ,Se ora consideriamo tale differenza come proporzionale at23, dovr essere inogni istante / cos t t23e quindi considerando due tempi qualsiasi t1e t2, dovr anche essere 1 1 2 22323/ / t t Se ora sostituiamo nel primo membro il valore attuale di = 0,99, misurato al tempo attuale (t1 = to 1017 s), possiamo facilmente calcolare che valore presentava in un qualsiasi tempo t2 del passato (o delfuturo). Adesempioall'iniziodell'eradellamateria, acirca1011sdopol'iniziodell'espansione doveva presentare un valore pari a41711121 210 99 , 0101099 , 032 32

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ttIl che significa che se oggi = 0,01, all'inizio dell'era della materia esso era uguale ad 1 fino alla 4a cifra decimale.Daquestomomentofinoall'istantezerodecresceproporzionalmentealtempoequindi dovremo usare 1 1 2 2/ / t t . Il valore assunto da ad 1 secondo dall'inizio dell'espansione pu quindi essere calcolato tenendo presente i dati ottenuti per la fine dell'era della radiazione 2 1214011150 99 1010100 99 10 tt, ,Il che significa che se oggi = 0,01, ad 1 secondo dall'inizio dell'espansione era uguale ad 1 fino alla 15a cifra decimale.Poich dunque tutti e 3 i modelli cosmologici tendono ad accentuare vistosamente durante l'espansione, qualsiasipurlievedifferenzadidall'unit,cisipuaragionedomandarecomemai,vistol'attuale valore di , l'universo abbia iniziato la sua espansione in una condizione cos vicina ad una situazione euclidea.Problema dell'orizzonteNel 1905 Einstein costru la teoria della relativit speciale sull'assunto, verificato sperimentalmente, che la velocit della luce una costante di natura. Il suo valore non varia cio qualunque sia lo stato di moto dell'osservatore rispetto alla sorgente luminosa e di conseguenza nessun corpo materiale pu raggiungere e tantomeno superare la velocit della luce.Ci ha dei riflessi importanti sui processi di causalit, in quanto nessuna interazione di tipo causale tra due oggetti pu trasmettersi istantaneamente e l'intervallo di tempo minimo tra la causa ed il suo effetto strettamente connesso allo spazio che li separa ed alla velocit della luce c.26Naturalmente rappresentare i possibili rapporti di causa ed effetto in un universo a 4 dimensioni non semplice.Ingeneresiutilizzanodeidiagrammispazio-tempoincuilospazioridottoaduna(oal massimo a due) dimensione sull'asse delle ascisse, mentre il tempo riportato sull'asse delle ordinate.Ciascun punto del diagramma rappresenta un evento.Un evento deve essere inteso semplicemente come un luogo particolare dello spazio (individuato dalle sue coordinate spaziali) in un momento particolare (individuato dalla sua coordinata temporale).Se un oggetto non si muove nello spazio (rispetto all'osservatore solidale con gli assi cartesiani) esso pu essere rappresentato con una retta verticale (A). La linea B rappresenta invece un oggetto che si muove alternativamente a destra e a sinistra rispetto all'unica coordinata spaziale (x) rappresentata. Da E in poi si muove verso destra con velocit costante.I percorsi tracciati sul diagramma spazio tempo sono noti come linee di universo e descrivono la storia di corpi in moto tramite una successione ordinata di eventi. E' evidente che una linea di universo non pu mai intersecarsi poich ci significherebbe tornare indietro nel tempo.In modo del tutto analogo si possono rappresentare gli impulsi luminosi che un evento emette.Scegliendo opportunamente la scala degli assi (ad esempio il tempo in secondi e lo spazio in secondi-luce; il tempo in anni e lo spazio in anni-luce) gli impulsi luminosi appaiono come 2 semirette che divergono a 45 dall'evento che li ha prodotti.27Ilcorpo A segue la sua lineadi universo. In Eemetteunsegnaleluminosochesi propaga nel tempo e nello spazio a velocit costanteSerappresentiamoduedimensionispaziali(xedy) lelineediuniversorimangonotali, coninpi naturalmentelalibertdimuoversiinduedirezioni, mentregliimpulsiluminosi,chesipropagano radialmente in tutte le direzioni, vengono rappresentati come dei coni, detti coni di luce.ISe intersechiamo un cono di luce con piani perpendicolari all'asse del tempo otteniamo una rappresentazionebidimensionale(circonferenze)ditutteleregionidellospaziocheinquelmomento sonocolpitedallaradiazioneluminosa.Ciascuna circonferenza presenta un raggio uguale alpercorso effettuato dalla luce dal tempo di emissione (te) al momento considerato (tx), pari quindi a c(tx - te).Se potessimo rappresentare contemporaneamente le 3 dimensioni spaziali e la dimensione temporale, le regionidellospaziocolpiteinuncertoistantedairaggiluminosisarebberoinrealtdellesuperfici sferiche, istantanea dei fronti d'onda luminosi che si stanno espandendo. Le circonferenze rappresentate nel diagramma spazio-tempo non sono altro che delle sezioni bidimensionali di questi fronti d'onda.Poich nulla pu viaggiare pi velocemente della luce, evidente che i coni di luce rappresentano dei confini invalicabili per qualsiasi influenza causale che si origini nel loro vertice. In altre parole un cono di lucerappresentaper l'eventocheloproduceunasortadiorizzontecausale. Sologlieventichesi trovano all'interno di un cono di luce possono, non solo "vedere" l'evento generatore, ma subire qualsiasi interazione causale.28Per lostessomotivounalineadiuniverso non pu mai intersecare il proprio cono di luce in quanto questo significherebbe il superamento della velocit della luce.Ci che invece avviene normalmente che una linea di universo di un corpo intersechi il cono di luce proveniente da un altro corpo.Siano ad esempio E1 ed E2 gli eventi associati alla formazione di 2 galassie A e B al tempo t1. Le loro lineedi universodivergono inmodo uniformeal passaredel tempo, arappresentare l'espansione dell'universo. Nel diagramma la galassia A "vede" per la prima volta la galassia B (e pu subire pertanto interazioni di tipo causale) solo al tempo t2.Finora sono state analizzate le informazioni che un evento pu inviare verso il futuro (coni di luce delfuturo) echepossonoprodurresualtrieventiuneffettodicuil'eventoalverticelacausa. Ma associato ad ogni evento esiste anche un cono di luce del passato. In questo caso l'evento che si trova al verticepuvedereesubireglieffettisolodeglieventi-causachesitrovanoall'internodelcono. Un evento che si trovi al di fuori del cono di luce di un altro evento causalmente non connesso.29Solo l'evento E1, interno al cono di luce prodotto da E, pu subire una qualsiasi effettocausale da parte di quest'ultimo.Ma manoche il tempo scorre un corpo si muove lungo la sua linea oraria ed il suo cono di luce del passato si allarga. In tal modo si allarga il suo orizzonte causale e nuovi eventi, entrando nel suo cono di luce, possono essere visti e produrre effetti su di esso, diventando causalmente connessi.Supponiamo ora di osservare due punti in direzioni opposte e molto distanti nello spazio e di misurarne latemperatura. Troveremo due valori identici (2,726 K) con un errore attualmente stimato di 1/100.000.30Solo l'evento E1, interno al cono di luce del passato di E, pu produrre una qualsiasi effetto causale su E. E2 non causalmente connesso ad EIl cono di luce del passato di A si dilata con il tempo. A vedeBper la prima volta al tempot1, mentre deve aspettare il tempo t2 per vedere C.Si pu per dimostrare che i due punti A e B non sono mai stati tra loro causalmente connessi. Inoltre i loroconidilucedelpassatoeranoancora pi piccoli ela distanza tra illoroorizzonti causali ancor maggiore di quanto non sia ora.Il problema dell'orizzonte si racchiude nella seguente domanda. Come possibileche 2 punti dell'universochenonsonomaistati legati darelazionidicausaedeffettositrovinoincondizioni termiche perfettamente identiche?E' comesel'universofossesuddivisoinnumeroseporzioni,ciascunaracchiusanelproprioorizzonte causale (una superficie sferica di raggio ct) che non hanno in passato mai comunicato tra loro.Ilproblemaproprioditutti imodellicosmologiciclassici,neiqualiladistanza-orizzonte(cioil percorsoct eseguitofinoaquelmomentodaunraggioluminoso) inogniistantediespansione costantemente minore rispetto al raggio dell'universo.Supponiamo ad esempio che l'universo sia euclideo (k = 0) ed accettiamo un'et dell'universo tHsoo 234 1017. Cisignificachelanostradistanza-orizzonte(maanchequelladiqualsiasialtro osservatore) attualmenteO=ct =31010cm/s41017s 1028cmInaltreparoleattualmente riceviamo immagini ed informazioni da una porzione sferica di universo di raggio O = 1028 cmPoichilfattorediscalavaria,durantel'era della materia secondola relazione R t 23, allora tradue istanti qualsiasi di tale era deve valere RtRtoo232311. Possiamo dunque calcolare che dimensioni possedeva laporzionedi universoattualmenteosservabile(1028cm) inunqualsiasimomentodel passatot1 mediante la relazione31I due punti A e B situati in direzioni diametralmente opposte presentano la stessa temperatura.47)3211

,_

oottR Rnello stesso momento la distanza-orizzonte sar O = ct1Calcoliamo a titolo di esempio le dimensioni dell'universo attualmente osservabile e la relativa distanza-orizzonte al tempo 1011 s, inizio dell'era della materia.cm 10 410 4101023171128 113232

,_

,_

oottR RO c t cm1 110 11 213 10 10 3 10 Come si pu osservare al tempo 1011 s la porzione di universo che attualmente noi possiamo osservare era circa 100 volte pi grande della distanza orizzonte. In altre parole un osservatore avrebbe percepito allora solo 1/100 di ci che percepiamo oggi.Per effettuare un calcolo analogo per tempi inferiori a 1011s necessario ricordare che durante l'era della radiazione R t 12 e quindi48) 2111

,_

oottR RCalcoliamo a titolo di esempio le dimensioni dell'universo attualmente osservabile e la relativa distanza-orizzonte al tempo 10-35 s.cm 4101010 42121113523 11

,_

,_

oottR RO c t cm1 110 35 253 10 10 3 10 Al tempo 10-35sl'universoattualmente osservabile era frammentato in un numero enorme di regioni (1075) racchiusenel proprio orizzonte causale, ciascunacondimensioni 1025volteinferiori della porzione di universo considerato.32Andamentodellaporzionedi universoattualmenteosservabilee della relativa distanza-orizzonte in un universo euclideoLA COSTANTE COSMOLOGICA E I MODELLI DI DE SITTER E DI LEMATRELa cosmologia relativistica einsteniana fu costruita prima che Hubble scoprisse l'espansione dell'universo. L'idea dominante ed in qualche modo "naturale" fino agli anni '20 era che l'universo fosse statico. Abbiamogidetto chetalepregiudizioavevaconvintolostessoEinsteinamodificarele equazione della relativit generale applicate all'universo con l'introduzione di un termine arbitrario con effetti repulsivi, noto comecostante cosmologica (lambda). Infatti in presenza solamente di un'interazione di tipo attrattivo (gravit) e senza un moto di espansione (energia cinetica) l'universo evidentementedestinatoalcollasso. Per"salvare"l'universostatico, dunque, Einsteinintrodusseuna forza repulsiva in grado di neutralizzare la gravit e mantenere l'universo in equilibrio statico.Con il termine repulsivo introdotto da Einstein la relazione 3) che fornisce l'energia potenziale diventa 49) E GmMRmc Rp 162 2Il termine repulsivo corrisponde ad una forza repulsivaF mc Rrep 162che non dipende dalla massa M dell'universo ed direttamente proporzionale alla distanza RAffinch l'universo sia in equilibrio statico in assenza di espansione (Ec= 0) necessario che l'energia potenzialesianulla, Ep=0. Si calcolaallorafacilmenteilvalorechedevepossederelacostante cosmologica(dopo avereespressolamassaMinfunzionedelladensit) affinchsi verifichitale condizione50) 82 GcSe nella 50) sostituiamo a il valore della densit critica si ottiene51) Hco22che, accettando Ho = 55 km/(s Mpc), da un valore di pari a 3,5 10-57 cm-233QuandoEinsteinvenneaconoscenzadeidati diHubblesull'espansionedell'universoritennechela costante cosmologica non avesse pi ragione di esistere. L'universo non aveva pi bisognodi qualcosa che lo mantenesse in equilibrio statico poich era in realt in equilibrio dinamico.Prima di essere ripudiata dallo stesso Einstein la costante cosmologica fu utilizzata nella costruzione di un paio di modelli di universo che presentano un particolare interesse storico.Nel 1917 l'olandese W. de Sitter studia il comportamento di un universo vuoto di materia in presenza dellacostante cosmologica. L'equazione12) chedescriveilcomportamento dinamicodell'universo diventa52) ,_

+ 2 2 23134H c G R k Prevedendo tale universo M = 0 sar anche = 0. Studiando per semplicit il caso in cui k = 0, la 37) diventa53) v c R2 2 213 dopo aver estratto la radice quadrata ed aver espresso v come dR/dt otteniamodt c dRR2131

,_

ricordando che l'integrale di 1/R ln R, possiamo integrare la relazione per ottenere la legge oraria del moto di espansione. t c R213ln ,_

ovvero54)R eAtconA c 3Senzanessunaforzaattrattivaedinpresenzadiunaforzarepulsival'universosubisceun'espansione esponenziale. Non esiste in questo modello un istante zero in cui R = 0. L'universo risulta in espansione da sempre.Il modello di de Sitter risulta di particolare interesse storico per due motivi.In primo luogo, non presentando un istante di inizio dell'espansione, tale modello rappresent il naturale riferimento matematico per la successiva teoria di universo stazionario (Steady state) che fino all'inizio degli anni '60 fece concorrenza alla teoria del Big Bang. Insecondoluogo possiamoindividuare nel modello di de Sitter il precursore dell'inflation, teoria che oggi sta avendo un notevole successo nell'ipotizzare un periodo di espansione esponenziale che avrebbe caratterizzato i primissimi istanti di vita dell'universo.34Il modello di de Sitter non va confuso con il modello di Einstein - De Sitter, termine spesso utilizzato per indicare la cosmologia FRW con k = 0.Nel modellodel belgaG. Lematre (1927), allacostante cosmologicavieneassegnato unvalore superiore a quello ammesso da Einstein, in modo tale che l'universo risulta essere in espansione a partire daunacondizioneinizialeconR=0. Dapprimal'espansionelenta, poi, raggiunteledimensioni caratteristiche dell'universo statico di Einstein, l'universo si espande rapidamente.IlmodellodiLemaitrevaricordatoessenzialmente perchl'autore lo accompagn conalcune ipotesi sullostatodell'universoaltempot =0. SecondoLematrel'universonascedaunatomoprimigenio superdenso, dallacui disintegrazionesisarebberodovuti formaretutti glielementi chimicieduna radiazione termica di fondo. Nonostante tale ipotesi sia stata formulata in modo puramente qualitativo essa viene spesso ricordata in quanto precorre la teoria cosmologica del Big Bang. I modelli di Fridman sono noti anche come modelli di Fridman-Lematre.35TEORIE COSMOLOGICHE: STEADY STATE E BIG BANGNel1948apparveroduelavorichiaveper lacosmologia. Entrambiimperniatisudiununiversoin espansione, unopresentavaunteoriacosmologicadi tipostazionario(steadystate), l'altrodi tipo evolutivo (Big Bang).Peroltre 15anni icosmologinonebbero a disposizione evidenze sperimentali sufficienti a suffragare l'una o l'altra ipotesi teorica.1) La teoria ed il Big Bang Gamow, conlacollaborazionediAlpheredHerman,suggerchesel'universosistavaespandendo verso il futuro bisognava ritenere che, risalendo nel passato, si sarebbe dovuto trovare un universo via viapicontratto. Inoltrepoichl'universodeveessereunsistemaisolatochenonpuscambiaren energianmateriaconl'ambienteesterno, unasuadilatazionedovrebbenecessariamenteavvenirea spese dellasua energia interna(espansione adiabatica) e quindi portare ad un raffreddamento,mentre una contrazione dovrebbe associarsi ad un aumento di temperatura. Cos se al tempo t tutta la materia dell'universo si trovava concentrata in un sol punto, allora bisognava ritenere che l'universo avesse avuto origine da una singolarit a densit e temperatura infinita, dalla cui esplosione si sarebbero formati tutti gli elementi chimici osservati.Gamow utilizz i modelli di nucleosintesi proposti a suo tempo da Bethe, per calcolare le quantit dei diversi elementi chimici che si sarebbero dovuti formare durante le prime fasi della grande esplosione iniziale, finch la temperatura era ancora sufficientemente elevata da permettere la fusione termonucleare.Gamowprevideinoltrechel'universodoveva comportarsicomeun gigantesco corponeroin fasedi raffreddamento a causa dell'espansione. Calcol inoltre che l'universo attuale doveva avere una temperatura residua di circa 3K (2.7K), il cosiddetto fondo a 3K, responsabile di uno spettro continuo conunalunghezzadimassimaemissionesituatanelcampodellemicroonde(max=0.11cm).Una specie di radiazione fossile, che avrebbe dovuto permeare in modo uniforme tutto l'universo (radiazione isotropa di fondo).2) La teoria dello Steady State o Stato StazionarioBondi, Hoyle e Gold proposero quasi contemporaneamente un modello stazionario, in espansione, ma senza inizio n fine. La materia che si espandeva doveva cio essere sostituita continuamente da nuova materia che si sarebbe prodotta al ritmo di 1 particella/anno per ognikm3 di universo, in modo tale da mantenere la densit di materia costante nel tempo.Per capire in che modo si possa determinare tale valore consideriamo al solito l'universo come una sfera di raggio R, volume V = 433R , densit MVMR433, che si sta espandendo alla velocit v = HR.Nel tempo t il raggio aumenta di una quantit R = v t = H R t e la sfera aumenta il suo volume di una quantit V =4 R2 R = 4 R3 H t.Ora se la sfera raddoppia il suo volume, la sua densit dovr necessariamente dimezzarsi, se il volume triplicaladensitdiverrtrevoltepipiccolaecosvia.Possiamodunqueaffermareche,invalore 36assoluto, lavariazionerelativadelvolumedevesempreessereugualeallavariazionerelativadella densit. VVma la variazione relativa del volume uguale a VVR H tRH t 433433per cui3H t e finalmentetH 3relazione che dimostra come la variazione di densit per unit di tempo pari a 3H.Inununiversoeuclideoincui= c, possiamosostituirealladensiteffettivaladensitcritica(9), ottenendo t GH 983Sostituendo ad H i due valori estremi dell'intervallo di incertezza (50 -100) si ottengono i seguenti valori( )1 3 - 47318 50cm 10 287 , 2 10 621 , 189 s gG t ( )1 3 - 46318 100cm 10 829 , 1 10 242 , 389 s gG t Sapendo infine che un protone ha massa 1,6726 10-24 g possiamo trasformare la variazione di densit in numero di protoni per km3 per anno.50 10 43tanni ,protoni km-3 100 13 45tanni ,protoni km-3Lateoriadellostato stazionario, cheperaltro nondavaalcunagiustificazionedel meccanismodi produzione di materia, si fondava sul cosiddetto principio cosmologico perfetto, il quale affermava che l'universo oltre ad essere omogeneo ed isotropo nello spazio doveva risultare uniforme anche nel tempo.Secondo il modello dello Steady State infine, gli elementi chimici si formerebbero esclusivamente grazie alla nucleosintesi stellare.Inqueglianniilvaloredellacostantedi Hubbleera stato erroneamente calcolato in500Km/s Mpc, poich il metodo delleCefeidi che servivaper tarare le distanze dellegalassienon era ancora perfettamente a punto. Cos l'et dell'universo veniva calcolata in soli 2 miliardi di anni. Troppo poco se paragonato all'et della terra.Si trattava di un punto a favore dei sostenitori della teoria dello Steady State, cheironizzavanosullateoriadiGamowchiamandolascherzosamenteteoriadelBigBang(del grande botto). Gamow trov peraltro molto appropriato il termine, tanto che oggi addirittura entrato nell'uso comune.Il metodo delle Cefeidi venne per la prima volta corretto da Baade nel 1950. In questo modo il valore di H diminu e l'et dell'universo raddoppi, diventando compatibile con l'et della terra. Il modello di Gamowdivenne in questo modo nuovamente competitivo, ma la sua definitiva affermazionesiebbenel1964, quando, casualmente,Penzias eWilson, duefisici deiBellTelephone Laboratories, scoprirono il fondo a 3K.37Mentre mettevano a punto un'antenna si trovarono a percepire un 'rumore' di fondo che non riuscirono ad eliminare. Il disturbo non proveniva da qualche direzione particolare, poich veniva ricevuto identico comunque fosse orientata l'antenna. I due fisici arrivarono addirittura a pensare che si trattasse di alcuni escrementi di uccelli depositatisi sull'antenna.QuandoPenzias e Wilson sentirono parlare di una ricerca che i due astrofisici Dicke e Peebles, della vicinaPrincetonUniversity, stavanoper condurreper rivelarel'eventualepresenzadellaradiazione isotropa di fondo, si resero conto di averla gi trovata.La teoria del big bang ricevette ulteriori conferme dal calcolo delle abbondanze relative degli elementi, in particolare del deuterio e dell'elio.Infatti, mentre l'originale teoria ipotizzava che tutti gli elementi si fossero formati durante i primi istanti del bigbang, fornendo intal modo risultati non sempre compatibili con le abbondanze effettivamenteosservatenell'universo, calcolisuccessividimostraronocomeinizialmentesipoterono formare solo gli elementi pi leggeri (deuterio e alcuni isotopi dell'elio, del litio e del berillio), mentre gli elementi pi pesanti si produssero successivamente durante la nucleosintesi stellare.Gli attuali calcoli sulla nucleosintesi primordiale forniscono dati in ottimo accordo con le abbondanze osservate e rappresentano una delle migliori conferme della validit del modello del Big Bang.Ulteriori conferme del Big Bang arrivano dall'osservazione di un aumento nel numero di radiosorgentiper unit di volume all'aumentare della distanza. In altre parole l'universo a grandi distanze risulta essere pi denso di materia che alle piccole distanze. Poich le regioni pi distanti nello spazio lo sono anche nel tempo, ci significa che l'universo era un tempo pi denso e quindi pi contratto di quanto non lo sia attualmente.Oggi gli astronomi sono praticamente unanimi nell'accettare la teoria del Big Bang.In che universo viviamo?Rispondere a questa domanda non cosa facile, poich tutte le osservazioni effettuate in questo senso dagli astronomi hanno dato finora risultati incerti e non conclusivi.Scoprire qualesia la geometria dell'universo e quindi il suo destino significa infatti fondamentalmente confrontare la sua densit effettiva con la densit critica.Ma, da una parte, la densit critica non presentaun valore certo, in quanto si calcola in funzione di H. E tuttocichegliastrofisicisonoingradodiaffermareconun certo gradodisicurezzache Hnon dovrebbe assumere valori molto al di fuori dell'intervallo 50 -100 km/s Mpc. Infatti per valori esterni a tale intervallo tutte le galassie diverrebbero o molto pi vicine o molto pi distanti di quanto attualmente calcolato, e perci anche la loro luminosit intrinseca varierebbe di conseguenza. Esse presenterebbero quindimediamenteunaluminositmoltodiversadallanostragalassiaeciincontraddizioneconil principio cosmologico.Insecondoluogolamisuradirettadella densit effettiva (o) attraversouna valutazione quantitativa dellamateriaemittente(stelle,galassie,nebuloseetc)non sembra in gradodifornirci datiattendibile sulla quantit di materia effettivamente presente nell'universo. Essa ha infattidato a tutt'oggi valori da 10 a 100 volte inferiori alla densit critica, senza che ci possa essere interpretato come una conferma di un modello di universo in espansione perpetua. Gli astronomi sono infatti certi che esista una quantit molto elevatadi materianon luminosa,dettamateria oscura(o anche massa mancante) che potrebbe contribuire a 'chiudere' l'universo.STORIA TERMICA DELL'UNIVERSOLa teoria del Big Bang fondamentalmente una descrizione termodinamica dell'espansione cosmica.Il parametro fondamentale che controlla i processi fisici (interazioni tra materia e radiazione) durante i primissimi istanti dell'universo infatti la temperatura. La temperatura determina il tipo di particelle che si formano dall'energia liberata durante le collisioni.Affinchunaparticelladimassamsiformiassiemeallasuaantiparticellainfattinecessariochela temperatura superi un valore di soglia calcolabile eguagliando l'energia cinetica media con l'energia della massa a riposo della particella3855) 32 kT = mc2Quindi quando la temperatura scende al di sotto del valore critico: 56) Tc =232mck = 10 36 mla particella di massa m cessa di essere creata da fotoni sufficientemente energetici. Tutte le coppie di particelleeantiparticellecreatesubisconounprocessodiannichilazione, ridandofotoni, tranneun piccolo eccesso di particelle che rimane "congelato" a formare la materia dell'universo.Per esempio, sostituendo ad m la massa di un protone (o un neutrone), pari a circa 10-24 g si ottiene una temperatura di circa 1013 oK. Dunque al di sopra di tale temperatura si formano protoni e antiprotoni da fotonisufficientementeenergetici,aldisottolaproduzionesiarrestaecontinuasoloilprocessodi annichilazione.Tali soglie vengono verificate, fin dove possibile negli esperimenti con acceleratori ad alta energia.Datochelatemperaturadell'universoaumentarisalendoneltempoversol'istantezero, possiamo immaginarechevenganoviaviaraggiuntetuttelesoglietermicheperlaproduzionediparticelledi massa via via maggiore.In tal modo i primi istanti dell'universo sono stati suddivisi in una successione di ere, ciascuna separata dalla precedente da una soglia termica che individua particolari eventi cosmici.Durante la loro produzione le particelle risultano in equilibrio con la radiazione fotonica. In altre parole essendo l'universoinequilibriotermodinamico anche durante l'espansione tutta l'energia disponibile si suddivide equamente tra particelle materiali e fotoni (principio di equipartizione dell'energia). L'equilibriotermodinamicodell'universoconsentitodalfattocheinquesteprimefasiilritmodelle interazioni materia/radiazione notevolmente pi elevato del ritmo di espansione dell'universo stesso. Nellesueprimefasil'universocostituito quindidaunplasmaincui materiaeradiazionesono indissolubilmenteuniteedinequilibrioreciproco. Ifisicidescrivonotalecondizioneaffermandoche esiste unaccoppiamento materia-radiazione.Gli elettroni hanno un ruolo determinante nel mantenere l'accoppiamento materia-radiazione che sta alla base dell'equilibrio termodinamico. essi infatti assorbono ed emettono facilmente fotoni e contemporaneamente sono in grado di trasferire ed accettare energia cinetica dagli adroni urtandoli.Per poter descrivere la storia termica dell'universo indispensabile possedere uno schema generale della struttura della materia e delle forze naturali alle quali essa sottoposta.Particelle ed Interazioni fondamentaliAttualmentesiritienecheesistano2tipi di particellematerialielementari (noncompostedaaltre particelle): Quark e Leptoni.Si conoscono6 Quark e 6 Leptoni, comunemente raggruppati in 3 famiglie, ciascuna contenente due Quark e due Leptoni secondo il seguente schema (la massa espressa in MeV (1 MeV = 106 eV) e la carica elettrica come frazione della carica unitaria dell'elettrone)I famiglia II famiglia III famiglia nomesiglacaricamassa nomesiglacaricamassanome siglacaricamassa39 upu +2/3 310 charmc+2/31500topt +2/3 22500QUARK down d-1/3 310 stranges-1/3505bottomb-1/3 5000elettronee-1 0,511 muone -1 106,6 tauone -11784LEPTONIneutrino e0 0 (?) neutrino 00(?)neutrino00 (?)(elettron.) (muonico)(tauonico)La prima famiglia va a costituire la materia ordinaria con la quale costruito l'intero universo materiale dagli atomi alle galassie. Le rimanenti due famiglie sono costituite da particelle instabili che si formano attualmente solo incondizioni termodinamicheparticolari (ad esempio nei grandi acceleratori di particelle) e si trasformano (decadono) rapidamente nelle particelle stabili della prima famiglia.Ciascuna delle 12 particella presenta inoltre la sua antiparticella che si distingue solo per avere carica elettrica opposta. Le antiparticelle vengono rappresentate con il simbolo della particella con una barretta sopra. Adesempiol'elettrone(eoe-) hacomeantiparticellal'antielettroneopositrone( e ) avolte indicato con e+.A differenza dei Leptoni, i Quark non esistono liberi in natura, ma si aggregano a gruppi di 2 o 3. Le particelle composte da 3 Quark sono chiamate barioni, quelle composte da 2 Quark sono dette mesoni. Barioni e mesoni costituiscono un unico gruppo di particelle note come adroni.Gli unici due barioni stabili nelle attuali condizioni termiche dell'universo sono il protone (duu) formato da due Quark up ed un Quark down e il neutrone (ddu) formato da un quark up e due Quark down.La carica elettrica degli adroni si ottiene come somma algebrica della carica elettrica dei singoli Quark cheli compongono. Nonesistono adroni concaricheelettrichefrazionarie. I mesoni si formano dall'unione di un Quark e di un Antiquark. Ad esempio il pione negativo - presenta la seguente struttura uu.I barioni possiedono tutti spin semintero e sono perci fermioni (ubbidiscono al principio di esclusione di Pauli), mentre i mesoni presentano spin intero e sono perci bosoni (non ubbidiscono al principio di esclusione di Pauli).QuarkeLeptoniinteragisconoattraverso4tipidiforzefondamentali.Ancheleforzeointerazioni vengonoattualmentedescritteattraversoteoriequantistiche. Cisignificachequandodueparticelle materialiinteragisconotramiteunadellequattroforzedinaturalofannoscambiandosiunquantodi forza. I quanti associatiallequattro forze di natura possono a tutti gli effetti essere considerati come particelle portatrici di forza (vettori di forza).Le particelle che mediano le interazioni sono tutte bosoni (bosoni intermedi). interazione quanto spincarica elett. gravitazionalegravitone(ipotetico)20elettromagneticafotone10forte (di colore) 8 gluoni 10debole 3 bosoni deboli W+ 1+ 1 W- 1 -1Z1 0L'interazione gravitazionale una forza puramente attrattiva che agisce tra corpi dotati di massa tramite scambio di gravitoni. La descrizione quantistica di tale interazione non ancora soddisfacente.40L'interazione elettromagnetica una forza che agisce sia in modo attrattivo che repulsivo tra particelle dotate di carica elettrica tramite scambio di fotoni. Esistono due tipi di carica elettrica, convenzionalmente indicati come positiva e negativa.L'interazione forte agisce tra i Quark tramite scambio di 8 gluoni, mantenendo legati i Quark all'interno degli adroni. Esistono 3 tipi di carica di colore, convenzionalmente indicata come rossa, verde e blu. I 3 Quark all'interno di un barione presentano ciascuno una diversa carica di colore. Allo stesso modo in cui una carica elettrica positiva ed una negativa si neutralizzano, anche le tre cariche di colore all'interno di un barione si neutralizzano (si dice che il barione bianco).I mesoni presentano un quark di un colore ed un antiquark del rispettivo anticolore (antirosso = ciano; antiverde = magenta; antiblu = giallo), in modo che anch'essi si presentano globalmente neutri (bianchi) per quanto riguarda la carica di colore.I leptoni non possiedono carica di colore e su di essi non agisce pertanto l'interazione forte.L'interazione debole alla base di tutti i processi tra particelle in cui sono coinvolti neutrini. Sia quark che leptoni presentano carica debole. In tutte le reazioni di interazione debole sono coinvolti 4 fermioni.Il decadimento del neutrone una tipica interazione debole mediata dal bosone W-n p ee + + I bosoni deboli elettricamente carichi (W+e W-) sono in grado di trasformare i Quark l'uno nell'altro secondo il seguente schemaCos il decadimento beta del neutrone deve essere interpretato come una trasformazione di un Quark d inunQuarkuper emissionediunbosonedeboleW-ilqualedecadepoi inunelettroneeinun antineutrino elettronicoInmodoanalogo i leptoni possono trasformarsi l'unonell'altro per interazionedebolesecondoil seguente schema41Adesempioilmuonedecadeinunelettrone, unneutrinomuonicoeinunantineutrinoelettronico secondo la seguente reazioneLe 4 interazioni fondamentali presentano ovviamente una diversa intensit (o adesivit).Tali differenze tendono per ad annullarsi con l'aumentare della temperatura.L'intensit dell'interazione debole e di quella elettromagnetica diventano ad esempio paragonabili ad una temperaturadicirca1015K,checorrisponde ad una energia cinetica media (32kT) delle particelle di circa 1011 eV.L'ipotesichel'interazionedeboleel'interazioneelettromagneticapotesseroessereatutti glieffetti indistinguibiliedunificarsiatalienergiehatrovato unaconfermasperimentalenel1983adopera dell'quipe del CERN guidata da C. Rubbia.Al di sopradi 1015Knonhaquindipisensodistinguerefotoni ebosoni deboli esarebbepi opportuno parlare di un unico tipo di vettori intermedi, i bosoni elettrodeboli che trasportano un'unica forza elettrodebole unificata.Anche se non ancora stato possibile effettuare una verifica sperimentale, pochi scienziati hanno oggi dei dubbi che anche l'interazione forte possa unificarsi con l'interazione elettrodebole. Vi sono diverse teorie che prevedono tale unificazione al di sopra di 1027K (1023 eV) e che sono note come Teorie di Grande Unificazione (GUT).Secondo la pi semplice di tali teorie (SU5) al di sopra di tale temperatura risultano stabili 24 bosoni vettori intermedi, noti come bosoni X che trasportano un'unica forza grandunificata. Lo scambio di tali bosoni tra Quark e Leptoni trasforma gli uni negli altri. Sopra tale temperatura non avrebbe nemmeno pi senso distinguere tra Quark e Leptoni che vengono spesso indicati come lepto-quark.Al di sotto di tale temperatura 12 bosoni X decadono negli 8 gluoni e nei 4 bosoni elettrodeboli, mentre gli altri 12 bosoni X decadono in quark e leptoni stabili.Esistonoinfineipotesi teoriche, sullequalinonviancorasufficienteconvergenzadapartedegli specialisti,cheprevedonounacompletaunificazionedituttee4leforzea1032K(1028eV). Tra queste sollevano particolare interesse tra i fisici le teorie supersimmetriche (SUSY) che prevedono che sopra una certa temperatura anche fermioni e bosoni diventino indistinguibili. Secondo tali teorie ogni particellaelementarenotadovrebbeessere associata ad una particella supersimmetrica (superpartner) che differisce, oltre che per la massa molto elevata solo per mezza unit di spin. Cos tutti i fermioni avrebbero dei bosoni per superpartners e viceversa. I fermioni supersimmetrici (tutti con spin 1/2 tranne ilgravitinoconspin3/2) vengonoindicatiaggiungendoladesinenza-inoalnomedelloropartner normale (fotino, gluino,Wino, Zino,gravitino), mentre i bosoni supersimmetrici (tutti con spin zero) 42vengonoindicatianteponendoilprefissos-alnomedeiloropartnersnormali(selettrone, sneutrino, squark). ERE COSMICHEPerdeterminarelafunzioneT(R)chelegalatemperatura TadR durantel'espansionesi ricorrealla relazione adiabatica, dal momento che l'universo viene considerato un sistema isolato che non scambia energia con l'esterno.57) T V t 1cos .dove il rapporto tra il calore specifica a pressione costante ed il calore specifico a volume costante. Per la radiazione = 4/3. Per la materia = 5/3.Poich durante la prima fase dell'espansioneradmatc2>> la 57) diventa58)( ) . cos1334 34t R T R T Durantel'eradellaradiazionelatemperaturasiadellaradiazionechedellamateria(lamateriain equilibriotermodinamicoconlaradiazioneedhapertantolasuastessatemperatura)inversamente proporzionaleal fattore di scalaR. Ogni voltachel'universoraddoppialesuedimensionilasua temperatura si dimezza.Quandosuccessivamentel'equilibriotermicotraradiazioneemateriavieneamancare, lamateriasi separa dalla radiazione (si disaccoppia) e la sua temperatura varia in modo indipendente e con una legge diversa59)( ) . cos21334 35t R T R Tmat mat ilchesignificachedauncerto puntoinpoi lamateriainiziaaraffreddarsipirapidamentedella radiazione ed ora dovrebbe presentare una temperatura notevolmente inferiore ai 2,7 Kche caratterizzano attualmente la radiazione cosmica.Per stimare i tempi cosmici in corrispondenza dei quali si verificano gli eventi termici di cui parleremo necessario determinare una funzione T(t) che leghi la temperatura al tempo.Ricordando che per l'era della radiazioneRT1 ed R t 12, tale funzione deve essere del tipotT12. Durante i primissimi istanti di espansione la densit di energia della radiazione dovuta non solo alla componentefotonica, maanche alla componente neutrinica ed elettronica che a quelle temperature si comportano come particellerelativistiche. Si pu dimostrare che ciascuna di queste due ultime componentiaumentaladensitdienergiadellaradiazionediunaquantitpariai7/4delcontributo fotonico. Possiamo perci scrivere60) rad fot elett neut fot fot fot fot + + + + 747492

Applicandolaleggedi StefanBoltzmanneconvertendoladensitdi energiaindensitdi massa equivalente si trova61) radcT T236 4 35 4928 42 10 3 79 10 , , ) = ( g / cm3Ricordando ora che durante l'era della radiazione tot matrad radc c + 2 2 e che4362)totGt t 16795 0682 2.possiamo eguagliare i secondi membri della 61) e della 62) ottenendo63) tT 1 45 10202,Tale relazione pu essere utilizzata per "datare" le soglie termiche durante le primissime fasi dell'espansione, almenofinoaquandolacomponente fotonica, elettronicaeneutrinicarimangono accoppiate in equilibrio termico.Era di Planck 0- 10-43