Cosa si nasconde

dietro ad un semplice fiocco di neve ?...

… per esempio il fiocco di Koch !

• Ma che cos’ è ?

Il fiocco di neve di Koch è una figura frattale, basata sul concetto di autosomiglianza;La sua costruzione è un processo iterativo applicato a parti sempre più piccole.Inoltre, questa costruzione genera una progressione geometrica.

Com’ è costruito ?...Si tratta di una curva costruita sui lati di un triangolo equilatero. Su ciascuno dei lati del triangolo viene costruito il merletto di Koch.

Nella tabella successiva i primi passi della costruzione della curva. Per ottenere il frattale basta incollare tre copie della curva lungo i latidel triangolo. Si osservi chela seconda figura è una stella di David (stella a sei punte).

La curva ha la stessa

dimensione frattale del Merletto di

Koch ovvero è pari a:

D = log 4 / log 3 = 1,262 .

Che cos’ è un frattale ?• Un frattale è un oggetto

geometrico che si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse, ovvero che non cambia aspetto anche se visto con una lente d'ingrandimento. Questa caratteristica è spesso chiamata auto-similarità (self-similarity). Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot, e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria.

• La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero (soprattutto nell'abete) ogni ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all'originale, gli assomigliano comunque molto .

Helge von Koch

Figlio di Richert Vogt von Koch, militare di carriera, e di Agathe Henriette Wrede, Helge Von Koch frequentò una buona scuola superiore di Stoccolma, completando i suoi studi nel 1887, quindi si inscrisse all'Università di Stoccolma.Pubblicò numerosi lavori di matematica, riguardanti i sistemi lineari e le equazioni differenziali, per i quali fu molto apprezzato, e, infine, nel 1911, divenne professore di matematica all'Università di Stoccolma.Von Koch è famoso per la curva che porta il suo nome e che apparve nel suo lavoro Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes, pubblicato nel 1906.

L’ anti-fiocco di neve di koch …

• Entrambe le curve a fiocco di neve e ad anti- fiocco di neve di Koch iniziano come perimetro di un triangolo equilatero.

Stadio 0 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch

Stadio 0 della costruzione dell’”anti-fiocco di neve” di

Koch

FIOCCO DI NEVE DI KOCH

Si divide ogni lato in tre parti uguali, eliminando il segmento centrale e si inseriscono, al centro di ciascun lato, due lati di un triangolo equilatero, ognuno misurante 1/3 rispetto al lato del triangolo iniziale.

Stadio 1 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch

Stadio 1 della costruzione dell’”anti-fiocco di neve” di Koch

ANTI-FIOCCO DI NEVE DI KOCH

I due lati del triangolo equilatero, misuranti ciascuno 1/3 rispetto al lato del triangolo iniziale, puntano all’interno, invece che all’esterno e vengono sottratti, anziché aggiunti.

Stadio 2 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch

Stadio 2 della costruzione dell’”anti-fiocco di neve” di

Koch

La stessa procedura continua a essere ripetuta, all’esterno per il fiocco di neve e all’interno per l’anti-fiocco di neve…

Stadio 3 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch

Stadio 3 della costruzione dell’”anti-fiocco di neve” di Koch

La procedura continua a essere reiterata…

Stadio 4 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch

Stadio 4 della costruzione dell’”anti-fiocco di neve” di Koch

Si arriva al quarto stadio della costruzione…

Stadio 5 della costruzione del “fiocco di neve” di Koch

Stadio 5 della costruzione dell’”anti-fiocco di neve” di

Koch

Ecco il quinto stadio della costruzione… Nella mente dei matematici la procedura si ripete

all’infinito…

Riassunto !