Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri 1 Modelli e simulazioni Cosè un modello....

Corso Didattica della Fisica 1 - prCorso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieriof. Giuseppe Zampieri

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Modelli e simulazioniModelli e simulazioni

Cos’è un modello.Cos’è un modello.

SimulazioniSimulazioni

Logo - ExcelLogo - Excel


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ModelloModello

Cos’è un modello fisico/matematico ?Cos’è un modello fisico/matematico ? Che genere di strumento di lavoro è ?Che genere di strumento di lavoro è ? Che valore cognitivo ha ?Che valore cognitivo ha ? Che ruolo ha nel processo di Che ruolo ha nel processo di

apprendimento ?apprendimento ? Che ruolo ha nel processo di Che ruolo ha nel processo di

insegnamento?insegnamento? La risposta non è né semplice né univoca.La risposta non è né semplice né univoca.


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Riferimenti…Riferimenti…

Giorgio Israel, Modelli MatematiciGiorgio Israel, Modelli Matematici John von Neumann, citazioni…John von Neumann, citazioni… Conrad Waddington, Strumenti per pensareConrad Waddington, Strumenti per pensare Richard P. Feynmann, sui modelli…Richard P. Feynmann, sui modelli… Altri…Altri…


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Una citazione da John von Neuman Una citazione da John von Neuman

Le scienze non cercano di Le scienze non cercano di spiegarespiegare, a , a malapena tentano di interpretare, ma fanno malapena tentano di interpretare, ma fanno soprattutto dei modelli. Per modello soprattutto dei modelli. Per modello s’intende un s’intende un costrutto matematicocostrutto matematico che, con che, con l’aggiunta di certe interpretazioni verbali, l’aggiunta di certe interpretazioni verbali, descrive dei fenomeni osservati. descrive dei fenomeni osservati. La La giustificazione di un siffatto costrutto giustificazione di un siffatto costrutto matematico è soltanto e precisamente che matematico è soltanto e precisamente che ci si aspetta che funzioni – cioè descriva ci si aspetta che funzioni – cioè descriva correttamente i fenomeni in un’area correttamente i fenomeni in un’area ragionevolmente ampia. Inoltre esso deve ragionevolmente ampia. Inoltre esso deve soddisfare certi criteri estetici – cioè, in soddisfare certi criteri estetici – cioè, in relazione con la quantità di descrizione che relazione con la quantità di descrizione che fornisce, deve essere piuttosto semplice.fornisce, deve essere piuttosto semplice.


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Conrad Waddington ( Biologo )Conrad Waddington ( Biologo )Modello MatematicoModello Matematico

Se già molto è noto sul funzionamento del sistema in Se già molto è noto sul funzionamento del sistema in questione, oppure se è accettabile un modello molto questione, oppure se è accettabile un modello molto semplificato di un sistema poco noto, è possibile semplificato di un sistema poco noto, è possibile escogitare un modello comprendente insiemi di escogitare un modello comprendente insiemi di equazioni che lo equazioni che lo rappresentanorappresentano […]. Una semplice […]. Una semplice equazione non può ovviamente descrivere con tutta equazione non può ovviamente descrivere con tutta precisione la complessità del sistema considerato […].I precisione la complessità del sistema considerato […].I modelli matematici di sistemi sociali e tecnologici sono di modelli matematici di sistemi sociali e tecnologici sono di solito adatti esclusivamente alla detrminazione di effetti solito adatti esclusivamente alla detrminazione di effetti massicci che comportano popolazioni molto vaste…massicci che comportano popolazioni molto vaste…


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Conrad Waddington – Modello Conrad Waddington – Modello FisicoFisico

……Per poter fare Per poter fare previsioni circa l’attività di previsioni circa l’attività di un sistema reale è un sistema reale è talvolta possibile costruire talvolta possibile costruire un modello fisico del un modello fisico del sistema sottoponibile poi sistema sottoponibile poi ad una varietà di ad una varietà di condizioni…I modelli fisici condizioni…I modelli fisici si possono costruire solo si possono costruire solo in un numero limitato di in un numero limitato di condizioni…condizioni…


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E. MalinvaudE. MalinvaudMéthode Statistique de Méthode Statistique de

l’econometrie l’econometrie Un modello matematico è la Un modello matematico è la

rappresentazione formale di idee o rappresentazione formale di idee o conoscenze relative ad un fenomeno.conoscenze relative ad un fenomeno.


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Richard P. FeynmanRichard P. Feynman ……Sulla relazione tra matematica e Fisica…Sulla relazione tra matematica e Fisica… Un modello matematico è uno schema che consente di interpretare le Un modello matematico è uno schema che consente di interpretare le

leggi fisiche…leggi fisiche… (Interpretazione da “La legge Fisica”)(Interpretazione da “La legge Fisica”) Un “modello” puo anche essere un “Un “modello” puo anche essere un “modello di ragionamentomodello di ragionamento”.”. Es. Ipotesi che la natura sia causale Es. Ipotesi che la natura sia causale Legge di Newton. Legge di Newton. Ipotesi che la natura obbedisca a un principio di minimo Ipotesi che la natura obbedisca a un principio di minimo Principio di Principio di

Minima Azione.Minima Azione. Ipotesi che la natura delle leggi fisiche sia locale Ipotesi che la natura delle leggi fisiche sia locale Concetto di Campo. Concetto di Campo.

“…“…Una delle caratteristiche sorprendenti della natura è la varietà dei Una delle caratteristiche sorprendenti della natura è la varietà dei possibili schemi interpretativi, dovuta al fatto che le leggi sono così possibili schemi interpretativi, dovuta al fatto che le leggi sono così speciali e delicate.”speciali e delicate.”

Nel caso dei modelli “fisici”...Nel caso dei modelli “fisici”...“…“…In altre parole i matematici preparano un ragionamento astratto pronto In altre parole i matematici preparano un ragionamento astratto pronto

per essere usato appena si ha una serie di assiomi sul mondo reale. Il per essere usato appena si ha una serie di assiomi sul mondo reale. Il fisico invece dà un significato a tutte le sue frasi…” fisico invece dà un significato a tutte le sue frasi…”


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Per i matematici…Per i matematici…

Questa è una cosa assai importante che molte persone Questa è una cosa assai importante che molte persone che giungono alla fisica dalla matematica non che giungono alla fisica dalla matematica non apprezzano.apprezzano.

La fisica non è matematica e la matematica non è fisica. La fisica non è matematica e la matematica non è fisica. Una aiuta l’altra, ma in fisica si deve Una aiuta l’altra, ma in fisica si deve capire la capire la connessione tra le parole e il mondo reale.connessione tra le parole e il mondo reale.Alla fine è Alla fine è necessario tradurre, quello che si è dedotto, in italiano, necessario tradurre, quello che si è dedotto, in italiano, cioè, nel mondo, nei blocchi di rale e di vetro con cui si cioè, nel mondo, nei blocchi di rale e di vetro con cui si faranno gli esperiementi: solo in questo modo potremo faranno gli esperiementi: solo in questo modo potremo vedere se le conseguenze non sono giuste. Questo è un vedere se le conseguenze non sono giuste. Questo è un problema che in matematica non esiste affatto. problema che in matematica non esiste affatto.


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Sempre Feynman sui modelli…e Sempre Feynman sui modelli…e sulla loro costruzione… sulla loro costruzione…

Quando sapete quello di cui state parlando, che alcuni Quando sapete quello di cui state parlando, che alcuni simbolisimboli rappresentano le masse, altri le forze, l’inerzia, e così via, allora rappresentano le masse, altri le forze, l’inerzia, e così via, allora potete usare abbondantemente il buon senso, e i ragionamenti potete usare abbondantemente il buon senso, e i ragionamenti terra-terra. Avete visto varie cose e sapete più o meno come il terra-terra. Avete visto varie cose e sapete più o meno come il fenomeno si comporterà. Ma il povero matematico lo traduce in fenomeno si comporterà. Ma il povero matematico lo traduce in equazioni, e poiché i simboli non gli dicono niente, non ha nessuna equazioni, e poiché i simboli non gli dicono niente, non ha nessuna guida nella deduzione se non la precisione del rigore matematico. Il guida nella deduzione se non la precisione del rigore matematico. Il fisico, invece, che sa più o meno quale risultato verrà fuori, può fisico, invece, che sa più o meno quale risultato verrà fuori, può all’incirca tirare a indovinare per una parte, e così procedere all’incirca tirare a indovinare per una parte, e così procedere abbastanza rapidamente. abbastanza rapidamente. L’assoluta precisione del rigore L’assoluta precisione del rigore matematico non è molto utile in fisica. Tuttavia non bisogna criticare matematico non è molto utile in fisica. Tuttavia non bisogna criticare i matematici per questo: non è necessario che solo perché una cosa i matematici per questo: non è necessario che solo perché una cosa sarebbe utile in fisica la debbano fare in qualche modo, essi fanno il sarebbe utile in fisica la debbano fare in qualche modo, essi fanno il loro mestiere, e se volete qualche altra cosa dovete farvela da soli.loro mestiere, e se volete qualche altra cosa dovete farvela da soli.


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Come Come indovinare indovinare una nuova legge una nuova legge fisica ?fisica ?

Problema: nella costruzione di un modello matematico di un sistema fisico si Problema: nella costruzione di un modello matematico di un sistema fisico si devono usare delle idee e delle convinzioni acquisite grazie alla cultura devono usare delle idee e delle convinzioni acquisite grazie alla cultura personale e alla cultura in cui lo scienziato è immerso. Quindi : personale e alla cultura in cui lo scienziato è immerso. Quindi : per per indovinare una nuova legge si devono usare preconcetti e principi filosofici, indovinare una nuova legge si devono usare preconcetti e principi filosofici, come per esempio “ non mipiace il principio di minimo”, “mi piace il principio come per esempio “ non mipiace il principio di minimo”, “mi piace il principio di minimo”, o “ non mi piace l’azione a distanza”. Insomma : di minimo”, o “ non mi piace l’azione a distanza”. Insomma :

Fino a che punto servono i modelli ?Fino a che punto servono i modelli ? Molto spesso i modelli aiutano e molti docenti di fisica, a livello universitario, Molto spesso i modelli aiutano e molti docenti di fisica, a livello universitario,

cercano di insegnare ad usare i modelli, e ad avere un buon senso fisico cercano di insegnare ad usare i modelli, e ad avere un buon senso fisico per predire come le cose andranno a finire.per predire come le cose andranno a finire.

““Ma succede sempre che le scoperte più grandi sono ottenute astraendo dal Ma succede sempre che le scoperte più grandi sono ottenute astraendo dal modello e che questo non modello e che questo non serve mai a niente (???)serve mai a niente (???).”.”

La scoperta di Maxwell dell’elettrodinamica fu fatta prima servendosi di La scoperta di Maxwell dell’elettrodinamica fu fatta prima servendosi di molte ruote e ingranaggi immaginari nello spazio. Ma quando vi liberate da molte ruote e ingranaggi immaginari nello spazio. Ma quando vi liberate da tutti gli ingranaggi e gli aggeggi nello spazio tutto va bene.tutti gli ingranaggi e gli aggeggi nello spazio tutto va bene.

Dirac scoprì le leggi giuste della meccanica quantistica relativistica Dirac scoprì le leggi giuste della meccanica quantistica relativistica semplicemente “indovinando” l’equazione.semplicemente “indovinando” l’equazione.


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“…“…Il metodo di cercare di indovinare l’equazione sembra essere un Il metodo di cercare di indovinare l’equazione sembra essere un modo piuttosto efficace di scoprire nuove leggi. Questo fa di nuovo modo piuttosto efficace di scoprire nuove leggi. Questo fa di nuovo vedere che la matematica è un modo profondo di esprimere la vedere che la matematica è un modo profondo di esprimere la natura, mentre qualsiasi tentativo di esprimerla in principi filosofici o natura, mentre qualsiasi tentativo di esprimerla in principi filosofici o affermazioni vagamente meccanicistiche non è un mezzo efficace. “affermazioni vagamente meccanicistiche non è un mezzo efficace. “

RUOLO DELLA SIMULAZIONERUOLO DELLA SIMULAZIONE

La simulazione di un modello fisico consente di sperimentare il La simulazione di un modello fisico consente di sperimentare il modello, metterlo alla prova cambiandone i parametri che lo modello, metterlo alla prova cambiandone i parametri che lo caratterizzano. La simulazione di un modello consente quindi di caratterizzano. La simulazione di un modello consente quindi di “sperimentare le varie possibilità del modello oltre che i suoi limiti”,“sperimentare le varie possibilità del modello oltre che i suoi limiti”, in un certo qual modo il modello fa da impalcatura per la in un certo qual modo il modello fa da impalcatura per la sperimentazione e l’organizzazione delle nostre idee. Quando alla sperimentazione e l’organizzazione delle nostre idee. Quando alla fine il modello funziona è possibile togliere l’impalcatura, magari si fine il modello funziona è possibile togliere l’impalcatura, magari si scopre che sta in piedi lo stesso, si scopre qualcosa di nuovo.scopre che sta in piedi lo stesso, si scopre qualcosa di nuovo.


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Trattare di modelli è difficile.Trattare di modelli è difficile. Definire il concetto di modello è difficile Definire il concetto di modello è difficile

( Giorgio Israel).( Giorgio Israel). Un modello ha uno schema logico ma non Un modello ha uno schema logico ma non

è riducibile ad uno schema logico ( del tipo è riducibile ad uno schema logico ( del tipo flow chart)flow chart)

Burkhardt, Learning to use mathematics, Burkhardt, Learning to use mathematics, Bulletin of IMA, ottobre 1979.Bulletin of IMA, ottobre 1979.


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Schema a flow chartSchema a flow chart


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Modello e ragionamento scientificoModello e ragionamento scientifico

Ragionamento Scientifico ed Insegnamento della Scienza.Ragionamento Scientifico ed Insegnamento della Scienza. La sola costruzione di un modello matematico non garantisce che si sia La sola costruzione di un modello matematico non garantisce che si sia

costruito anche un ragionamento scientifico. Il modello matematico di per sé costruito anche un ragionamento scientifico. Il modello matematico di per sé potrebbe essere ricondotto all’applicazione meccanica di una serie di potrebbe essere ricondotto all’applicazione meccanica di una serie di procedure. procedure.

Talora ci si illude di poter ridurre la complessità di un fenomeno fisico ( e Talora ci si illude di poter ridurre la complessità di un fenomeno fisico ( e non solo ) ad una sequenza di operazioni elementari logicamente coerenti non solo ) ad una sequenza di operazioni elementari logicamente coerenti ed organizzate in una struttura algoritmica. ( Visione algoritmica ).ed organizzate in una struttura algoritmica. ( Visione algoritmica ).

L’operazione di simulazione prevede la messa in prova del modello e di chi L’operazione di simulazione prevede la messa in prova del modello e di chi lo controlla e/o l’ha costruito. Entrano in gioco altri criteri importanti :lo controlla e/o l’ha costruito. Entrano in gioco altri criteri importanti :

Il modello è stabile ?Il modello è stabile ? Si è tenuto conto di tutte le variabili rilevanti ?Si è tenuto conto di tutte le variabili rilevanti ? Quali sono le condizioni al contorno ?Quali sono le condizioni al contorno ? Quali sono le condizioni iniziali del modello ?Quali sono le condizioni iniziali del modello ? Quali scelte determinanti e caratterizzanti ha fatto l’estensore del modello?Quali scelte determinanti e caratterizzanti ha fatto l’estensore del modello? Etc.Etc.


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L’orientamento logico razionale del modello e della sua strategia di L’orientamento logico razionale del modello e della sua strategia di costruzione sono importanti ma…costruzione sono importanti ma…

Il ragionamento scientifico ha un livello di complessità maggiore. La Il ragionamento scientifico ha un livello di complessità maggiore. La definizione di Malinvaud è molto più prossima a questo livello di definizione di Malinvaud è molto più prossima a questo livello di ragionamento.ragionamento.

Questa definizione definisce in modo molto più appropriato cosa sia Questa definizione definisce in modo molto più appropriato cosa sia un modello matematico:un modello matematico:

a) Un modello matematico è la a) Un modello matematico è la rappresentazione rappresentazione di un fenomeno.di un fenomeno. b) questa rappresentazione non è discorsiva o a parole ma formale b) questa rappresentazione non è discorsiva o a parole ma formale

ed usa il linguaggio matematico.ed usa il linguaggio matematico. c) Non esiste una via diretta cha va dalla realtà alla Matematica. Il c) Non esiste una via diretta cha va dalla realtà alla Matematica. Il

fenomeno specifico studiato non detrmina la “sua” rappresentazione fenomeno specifico studiato non detrmina la “sua” rappresentazione matematica. Vengono invece tradotti in formule idee e conoscenze matematica. Vengono invece tradotti in formule idee e conoscenze relative al fenomeno.relative al fenomeno.


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……il terzo puntoil terzo punto L’ultimo punto è il più importante dei tre. Si fa riferimento alle idee e L’ultimo punto è il più importante dei tre. Si fa riferimento alle idee e

conoscenze grazie alle quali si rappresenta formalmente la realtà del conoscenze grazie alle quali si rappresenta formalmente la realtà del fenomeno. fenomeno.

Un modello fa riferimento alle conoscenze ed idee di chi formula il modello Un modello fa riferimento alle conoscenze ed idee di chi formula il modello stesso ( vedi Feynman ), perché non il principio di Minima Azione piuttosto stesso ( vedi Feynman ), perché non il principio di Minima Azione piuttosto che le leggi di Newton? L’influenza delle proprie convinzioni, cultuta, stile, che le leggi di Newton? L’influenza delle proprie convinzioni, cultuta, stile, punti di vista, può essere cruciale.punti di vista, può essere cruciale.

Come non esiste un modo univoco di affrontare e risolvere i problemi, così Come non esiste un modo univoco di affrontare e risolvere i problemi, così non esiste un modo univoco di costruire i modelli che descrivono il non esiste un modo univoco di costruire i modelli che descrivono il comportamento di un dato fenomeno. La descrizione matematica della comportamento di un dato fenomeno. La descrizione matematica della realtà fatica nel tenere considerazioni degli infiniti, complessi, correlati realtà fatica nel tenere considerazioni degli infiniti, complessi, correlati aspetti che rappresentano un fenomeno fisico. Se già la difficoltà è notevole aspetti che rappresentano un fenomeno fisico. Se già la difficoltà è notevole per un fenomeno fisico, sarà ancor più grande nel caso si tratti di un per un fenomeno fisico, sarà ancor più grande nel caso si tratti di un fenomeno biologico. fenomeno biologico.

La necessità di selezionare tra le variabili rilevanti e non rilevanti conduce La necessità di selezionare tra le variabili rilevanti e non rilevanti conduce alla discriminazione tra queste variabili. Questa scelta viene effettuata alla discriminazione tra queste variabili. Questa scelta viene effettuata grazie alle idee, alla conoscenza, alla scuola da cui proviene chi lavora sul grazie alle idee, alla conoscenza, alla scuola da cui proviene chi lavora sul modello.modello.


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LOGOLOGO

Il Logo è un linguaggio di programmazione ideato con finalità didattiche dal Il Logo è un linguaggio di programmazione ideato con finalità didattiche dal matematico e informatico americano Seymour Papert. E' un linguaggio ormai diffuso matematico e informatico americano Seymour Papert. E' un linguaggio ormai diffuso nelle scuole di tutto il mondo. Papert, derivando alcune idee dalla teoria nelle scuole di tutto il mondo. Papert, derivando alcune idee dalla teoria dell'apprendimento di Piaget ed altre dalla ricerca nel campo dell'Intelligenza dell'apprendimento di Piaget ed altre dalla ricerca nel campo dell'Intelligenza Artificiale (settore nel quale è considerato uno dei massimi esperti), propone un Artificiale (settore nel quale è considerato uno dei massimi esperti), propone un ambiente di sperimentazione geometrica che coinvolge l'allievo, lo rende diretto ambiente di sperimentazione geometrica che coinvolge l'allievo, lo rende diretto costruttore di strutture, gli consente di apprendere operando. costruttore di strutture, gli consente di apprendere operando.

Una caratteristica importante del Logo è quella di favorire non solo l'apprendimento di Una caratteristica importante del Logo è quella di favorire non solo l'apprendimento di una corretta tecnica di programmazione ma anche l'acquisizione di nozioni e concetti una corretta tecnica di programmazione ma anche l'acquisizione di nozioni e concetti matematici profondi (in particolare geometrici, ma non solo: si pensi ad esempio al matematici profondi (in particolare geometrici, ma non solo: si pensi ad esempio al concetto di variabile). concetto di variabile).

Operare in ambiente Logo significa programmare una piccola tartaruga che si muove Operare in ambiente Logo significa programmare una piccola tartaruga che si muove sullo schermo del computer in risposta a dei nostri comandi. La tartaruga, come sullo schermo del computer in risposta a dei nostri comandi. La tartaruga, come entità geometrica, è caratterizzata dalla posizione nel piano e dall'orientamento (ad entità geometrica, è caratterizzata dalla posizione nel piano e dall'orientamento (ad esempio la tartaruga può trovarsi in un dato punto P ed essere orientata verso Nord). esempio la tartaruga può trovarsi in un dato punto P ed essere orientata verso Nord). ( Da Paolo Lazzarini, Introduzione al LOGO)( Da Paolo Lazzarini, Introduzione al LOGO)


2020

MIT e LOGOMIT e LOGO

Link : Link : http://el.media.mit.edu/Logo-foundation/loghttp://el.media.mit.edu/Logo-foundation/logo/o/index.htmlindex.html..


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MITMIT


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MSW LOGOMSW LOGO

Link: Link: http://www.softronix.com/logo.htmlhttp://www.softronix.com/logo.html http://users.libero.it/prof.lazzarini/http://users.libero.it/prof.lazzarini/

voce03.htmvoce03.htm Manuale Manuale

:www.:www.mswlogomswlogo.org/.org/introduzioneMSWLointroduzioneMSWLogogo.pdf .pdf


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Calcolo RicorrenteCalcolo Ricorrente 1.1) UNO STRUMENTO NUOVO DI CALCOLO1.1) UNO STRUMENTO NUOVO DI CALCOLO Affronteremo lo studio cinematico del moto accelerato, allo scopo di acquisire una tecnica di Affronteremo lo studio cinematico del moto accelerato, allo scopo di acquisire una tecnica di

calcolo molto efficace con l’uso del foglio elettronico. Si tratta di risolvere il problema del moto calcolo molto efficace con l’uso del foglio elettronico. Si tratta di risolvere il problema del moto senza usare le relative formule per le grandezze senza usare le relative formule per le grandezze ss, , vv ed ed aa, ma utilizzando solo le loro definizioni , ma utilizzando solo le loro definizioni elementari.elementari.

Nei corsi di Fisica si studiano le leggi del moto Nei corsi di Fisica si studiano le leggi del moto rettilineo uniformerettilineo uniforme, di quello , di quello uniformemente uniformemente acceleratoaccelerato e forse di qualche altro tipo (moto e forse di qualche altro tipo (moto circolare uniformecircolare uniforme, moto , moto armonicoarmonico...)....).

Si è dunque in grado di utilizzare le Si è dunque in grado di utilizzare le formuleformule di calcolo che si riferiscono a questi tipi di moto. Ma di calcolo che si riferiscono a questi tipi di moto. Ma tali formule sono valide tali formule sono valide solosolo per i casi particolari a cui si riferiscono; non sono valide nel caso per i casi particolari a cui si riferiscono; non sono valide nel caso generale di generale di moti varimoti vari..

Potenza del metodoPotenza del metodo Il metodo che qui si propone ha una validità del tutto generale e perciò è uno strumento molto Il metodo che qui si propone ha una validità del tutto generale e perciò è uno strumento molto

potente. Il suo utilizzo è fortemente legato all’uso del calcolatore, perché richiede lo svolgimento potente. Il suo utilizzo è fortemente legato all’uso del calcolatore, perché richiede lo svolgimento di parecchi calcoli ripetuti.di parecchi calcoli ripetuti.

Esso presenta il vantaggio di un utilizzo molto elementare delle leggi della Fisica, anche in casi Esso presenta il vantaggio di un utilizzo molto elementare delle leggi della Fisica, anche in casi complessi. Gli strumenti matematici richiesti sono concettualmente semplici (sostanzialmente le complessi. Gli strumenti matematici richiesti sono concettualmente semplici (sostanzialmente le quattro operazioni aritmetiche).quattro operazioni aritmetiche).

Limiti del metodoLimiti del metodo È necessario però conoscere anche i È necessario però conoscere anche i limitilimiti di questo strumento; si tratta infatti di un metodo di di questo strumento; si tratta infatti di un metodo di

calcolo calcolo approssimatoapprossimato, con gli inevitabili errori che ciò comporta., con gli inevitabili errori che ciò comporta. Impareremo a conoscere gli errori di calcolo che il metodo introduce e soprattutto a valutarne Impareremo a conoscere gli errori di calcolo che il metodo introduce e soprattutto a valutarne

l’entità, in modo da capire e controllare la validità dei risultati che otterremo.l’entità, in modo da capire e controllare la validità dei risultati che otterremo.


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IdeeIdee 1.2) IL CALCOLO RICORRENTE1.2) IL CALCOLO RICORRENTE Nel moto accelerato, la Nel moto accelerato, la velocitàvelocità di un corpo varia nel tempo; la di un corpo varia nel tempo; la

conoscenza di tale grandezza è le gata a quella dell’conoscenza di tale grandezza è le gata a quella dell’accelerazioneaccelerazione.. Lo spazio percorso da un corpo (o per meglio dire il suo Lo spazio percorso da un corpo (o per meglio dire il suo

spostamentospostamento) è legato sia alla ) è legato sia alla velocità ini zialevelocità ini ziale che alla che alla accelerazioneaccelerazione..

Come è noto, non è possibile calcolare la velocità Come è noto, non è possibile calcolare la velocità istantaneaistantanea di un di un oggetto conoscendo solo lo spa zio percorso; non si può usare la oggetto conoscendo solo lo spa zio percorso; non si può usare la relazione , valida solo per il moto rettilineo uniforme.relazione , valida solo per il moto rettilineo uniforme.

In conclusione, In conclusione, spostamentospostamento e e velocitàvelocità nel moto accelerato sono nel moto accelerato sono legati all’andamento dell’legati all’andamento dell’acceleraaccelera zionezione del corpo. Rivediamo ora del corpo. Rivediamo ora alcune definizioni delle alcune definizioni delle grandezze fisichegrandezze fisiche della cinematica. della cinematica.


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Definizione di accelerazioneDefinizione di accelerazione Sappiamo che l’Sappiamo che l’accelerazione mediaaccelerazione media di un corpo nell’intervallo di tempo Δ di un corpo nell’intervallo di tempo Δtt è data da: è data da: (1)(1) dove dove vv((tt) indica la velocità all’istante ) indica la velocità all’istante tt (istante iniziale dell’intervallo) e (istante iniziale dell’intervallo) e vv((t + t + ΔΔtt) )

quella all’istante finale.quella all’istante finale. Sappiamo anche che quanto più piccolo è l’intervallo ΔSappiamo anche che quanto più piccolo è l’intervallo Δtt, tanto più questo valore si , tanto più questo valore si

avvicina all’accelerazione avvicina all’accelerazione istantaneaistantanea.. Per cominciare con un caso semplice, supponiamo che il moto sia Per cominciare con un caso semplice, supponiamo che il moto sia uniformemente uniformemente

acceleratoaccelerato.. In questo caso la relazione (1) appena vista fornisce proprio l’In questo caso la relazione (1) appena vista fornisce proprio l’accelerazione accelerazione

istantaneaistantanea del corpo, che coincide con quella del corpo, che coincide con quella mediamedia.. Dalla (1) possiamo ottenere:Dalla (1) possiamo ottenere:

(2)(2) La quantità La quantità a a ΔΔt t rappresenta la rappresenta la variazione di velocitàvariazione di velocità.. Se l’accelerazione è costante, come nel nostro caso, la relazione (2) è Se l’accelerazione è costante, come nel nostro caso, la relazione (2) è esattaesatta (cioè (cioè

non dà luogo ad approssimazioni di calcolo) e si interpreta nel seguente modo:non dà luogo ad approssimazioni di calcolo) e si interpreta nel seguente modo: la velocità in un istante successivo all’istante t è data dalla velocità all’istante t più la la velocità in un istante successivo all’istante t è data dalla velocità all’istante t più la

sua variazione intervenuta nell’intervallo di tempo sua variazione intervenuta nell’intervallo di tempo ΔΔt.t.


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Calcolo ricorrente della velocitàCalcolo ricorrente della velocità Vediamo ora come calcolare la velocità in un istante di tempo generico Vediamo ora come calcolare la velocità in un istante di tempo generico tt usando la usando la

tecnica del tecnica del calcolo ricorrentecalcolo ricorrente. Si utilizza la conoscenza di una grandezza fisica ad un . Si utilizza la conoscenza di una grandezza fisica ad un certo istante per calcolarne il valore in un istante successivo.certo istante per calcolarne il valore in un istante successivo.

Supponiamo che l’accelerazione del moto sia Supponiamo che l’accelerazione del moto sia a =a = 2 2 m/sm/s2, la velocità iniziale 2, la velocità iniziale vv((00) = 0 ) = 0 e l’intervallo di tempo Δe l’intervallo di tempo Δtt = 1 = 1 ss..

Usando la (2) si ottengono i seguenti valori per la velocità negli istanti successivi (1, 2 Usando la (2) si ottengono i seguenti valori per la velocità negli istanti successivi (1, 2 , 3 secondi dopo la partenza):, 3 secondi dopo la partenza):

vv(1) = (1) = vv(0) + 2·1 = 2 (0) + 2·1 = 2 mm//ss vv(2) = (2) = vv(1) + 2·1 = 2 + 2 = 4 (1) + 2·1 = 2 + 2 = 4 mm//ss vv(3) = (3) = vv(2) + 2·1 = 4 + 2 = 6 (2) + 2·1 = 4 + 2 = 6 mm//ss In questo modo si può ottenere il valore della velocità in qualunque istante In questo modo si può ottenere il valore della velocità in qualunque istante senza senza

usareusare formule di calcolo che non siano le semplici definizioni delle grandezze in formule di calcolo che non siano le semplici definizioni delle grandezze in gioco.gioco.

In questo esempio il calcolo effettuato fornisce risultati esatti; è possibile però In questo esempio il calcolo effettuato fornisce risultati esatti; è possibile però applicarlo anche a moti con accelerazione non costante, nel qual caso dobbiamo applicarlo anche a moti con accelerazione non costante, nel qual caso dobbiamo pagare il prezzo di una certa approssimazione.pagare il prezzo di una certa approssimazione.

Per quanto riguarda lo spazio percorso dal corpo, si può procedere in modo analogo.Per quanto riguarda lo spazio percorso dal corpo, si può procedere in modo analogo.


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Definizione di velocitàDefinizione di velocità La definizione di La definizione di velocità mediavelocità media di un corpo nell’intervallo di tempo di un corpo nell’intervallo di tempo

ΔΔtt è la seguente: è la seguente: (3)(3) dove al solito dove al solito ss((tt) indica lo spostamento all’istante ) indica lo spostamento all’istante tt (istante iniziale (istante iniziale

dell’intervallo) ed dell’intervallo) ed ss((t +t + Δ Δtt) quello all’istante finale. Dalla (3) si ottiene:) quello all’istante finale. Dalla (3) si ottiene:

(4)(4) La formula (4), applicata al caso di un moto accelerato, non è più La formula (4), applicata al caso di un moto accelerato, non è più

esattaesatta, come la (2), ma solo , come la (2), ma solo approssimataapprossimata, poiché la velocità non è , poiché la velocità non è costante nel tempo.costante nel tempo.

Applicheremo ora il metodo del Applicheremo ora il metodo del calcolo ricorrentecalcolo ricorrente utilizzando il foglio utilizzando il foglio elettronico.elettronico.


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2.1) REALIZZAZIONE DEL MODELLO IN EXCEL2.1) REALIZZAZIONE DEL MODELLO IN EXCEL In ambiente Excel inserite le etichette e i numeri indicati nella tabella che segue.In ambiente Excel inserite le etichette e i numeri indicati nella tabella che segue. ABCDEFG1MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATOABCDEFG1MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO23tvss esattoa =23tvss esattoa =2m/s22m/s244DDt t

==0,1s0,1s55000=0,5*a*A5^2000=0,5*a*A5^266=A5+Dt=B5+a*Dt=A5+Dt=B5+a*Dt=C5+B5*Dt=C5+B5*Dt=0,5*a*A6^2=0,5*a*A6^2 Posizionatevi sulla cella Posizionatevi sulla cella F3F3; nel menù ; nel menù InserisciInserisci selezionate selezionate Nome DefinisciNome Definisci. Nella finestra di . Nella finestra di

dialogo che appare, inserite dialogo che appare, inserite aa nella finestra nella finestra Nomi nella cartella di lavoro:Nomi nella cartella di lavoro:, assicurandovi che la , assicurandovi che la finestra finestra Riferito a:Riferito a: contenga l’indirizzo della cella contenga l’indirizzo della cella F3F3; cliccate infine su ; cliccate infine su OKOK..

Nella Nella Casella NomeCasella Nome (in alto a sinistra, sotto la barra dei pulsanti) compare ora il nome (in alto a sinistra, sotto la barra dei pulsanti) compare ora il nome aa, anziché , anziché l’indirizzo di cella l’indirizzo di cella F3F3. D’ora in poi potrete riferirvi a questa cella indicandola con tale nome.. D’ora in poi potrete riferirvi a questa cella indicandola con tale nome.

In modo analogo assegnate alla cella In modo analogo assegnate alla cella F4F4 il nome il nome DtDt. Inserite poi le formule indicate in tabella . Inserite poi le formule indicate in tabella

(nelle celle relative, naturalmente, comparirà il (nelle celle relative, naturalmente, comparirà il risultatorisultato della formula stessa). della formula stessa). Copiate le celle Copiate le celle 6A:6D6A:6D per 50 righe sotto. per 50 righe sotto. Costruite ora il grafico della Costruite ora il grafico della velocitàvelocità, dello , dello spostamento approssimatospostamento approssimato e di quello e di quello esattoesatto

(calcolato con la formula del moto uniformemente accelerato ) in funzione del tempo.(calcolato con la formula del moto uniformemente accelerato ) in funzione del tempo.


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Calcolo Ricorrente della VelocitàCalcolo Ricorrente della Velocità Calcolo ricorrente della velocitàCalcolo ricorrente della velocità Vediamo ora come calcolare la velocità in un istante di tempo generico Vediamo ora come calcolare la velocità in un istante di tempo generico tt usando la usando la

tecnica del tecnica del calcolo ricorrentecalcolo ricorrente. Si utilizza la conoscenza di una grandezza fisica ad un . Si utilizza la conoscenza di una grandezza fisica ad un certo istante per calcolarne il valore in un istante successivo.certo istante per calcolarne il valore in un istante successivo.

Supponiamo che l’accelerazione del moto sia Supponiamo che l’accelerazione del moto sia a =a = 2 2 m/sm/s2, la velocità iniziale 2, la velocità iniziale vv((00) = 0 ) = 0 e l’intervallo di tempo Δe l’intervallo di tempo Δtt = 1 = 1 ss..

Usando la (2) si ottengono i seguenti valori per la velocità negli istanti successivi (1, 2 Usando la (2) si ottengono i seguenti valori per la velocità negli istanti successivi (1, 2 , 3 secondi dopo la partenza):, 3 secondi dopo la partenza):

vv(1) = (1) = vv(0) + 2·1 = 2 (0) + 2·1 = 2 mm//ss vv(2) = (2) = vv(1) + 2·1 = 2 + 2 = 4 (1) + 2·1 = 2 + 2 = 4 mm//ss vv(3) = (3) = vv(2) + 2·1 = 4 + 2 = 6 (2) + 2·1 = 4 + 2 = 6 mm//ss In questo modo si può ottenere il valore della velocità in qualunque istante In questo modo si può ottenere il valore della velocità in qualunque istante senza senza

usareusare formule di calcolo che non siano le semplici definizioni delle grandezze in formule di calcolo che non siano le semplici definizioni delle grandezze in gioco.gioco.

In questo esempio il calcolo effettuato fornisce risultati esatti; è possibile però In questo esempio il calcolo effettuato fornisce risultati esatti; è possibile però applicarlo anche a moti con accelerazione non costante, nel qual caso dobbiamo applicarlo anche a moti con accelerazione non costante, nel qual caso dobbiamo pagare il prezzo di una certa approssimazione.pagare il prezzo di una certa approssimazione.

Per quanto riguarda lo spazio percorso dal corpo, si può procedere in modo analogo.Per quanto riguarda lo spazio percorso dal corpo, si può procedere in modo analogo.


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Corso Didattica della Fisica 1 - prof. Giuseppe Zampieri 1 Modelli e simulazioni Cosè un modello....

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