Corso di Matematica GeneraleUniversita degli Studi della Basilicata

Dipartimento di Matematica, Informatica ed EconomiaCorso di Laurea in Economia Aziendale

A.A. 2015/16

dott.ssa Vita Leonessa

Funzioni elementari: funzione potenza20 ottobre 2015

Potenze con esponente naturale

Sia n ∈ N, n 6= 0. Si definisce potenza n-esima di unnumero reale a la seguente espressione:

an = a · ... · a︸ ︷︷ ︸n volte

Per convenzione si pone a1 = a. Inoltre se n = 0 si definisce

a0 = 1, ∀a ∈ R, a 6= 0.

(L’espressione 00 non ha significato!)Esempi:

1 43 = 4 · 4 · 4 = 64

2

(12

)3

=12· 1

2· 1

2=

18

3 (−3)2 = (−3) · (−3) = 94 (−π)0 = 1

Potenze con esponente intero negativo

Sia n ∈ N. Si definisce

a−n =(

1a

)n=

1an, ∀a ∈ R, a 6= 0.

Esempi:

1 4−3 =143

=164

2

(12

)−2

=

(112

)2

= 22 = 4

3 (−3)−2 =(−1

3

)2

=19

4

(52

)−2

=(

25

)2

Potenze con esponente intero

Proprieta algebriche fondamentaliPer ogni n,m ∈ Z e per ogni a ∈ R si ha

an · am = an+m

(an)m = anm

Esempi:1 32 · 37 = 32+7 = 39

2 (53)4 = 53·4 = 512

3 26 · 2−3 = 26−3 = 23

4 (π2)−3 = π2·(−3) = π−6 =1π6

Potenze con esponente intero

CorollarioPer ogni n,m ∈ Z e per ogni a ∈ R si ha

an : am =an

am= an−m.

Esempi:

132

37= 32−7 = 3−5 =

135

25100

598= 52 = 25

Potenze con esponente intero

Ulteriori proprietaPer ogni n ∈ Z si ha

(ab)n = an · bn, ∀a, b ∈ R (con ab 6= 0 qualora n = 0)(ab

)n=an

bn, ∀a, b ∈ R, b 6= 0

Queste regole si possono estendere al caso di piu di due potenze.Esempio: (abcdef)n = anbncndnenfn

ATTENZIONE(a+ b)n 6= an + bn

Esempio: (2 + 5)2 = 72 = 49, ma 22 + 52 = 4 + 25 = 29.

Potenze con esponente interoApplicazione: interesse composto

Supponiamo di depositare 1000 euro su un conto bancario chepaga un interesse al tasso dell’5%. Dopo un anno avremoguadagnato interessi per 50 euro, avendo il saldo del contocorrente pari a 1050 euro. Tale saldo puo essere calcolato nelmodo seguente:

1000 + 1000 · 0.05 = 1000 (1 + 0.05) = 1000 · 1, 05.

Supponiamo che questo nuovo importo 1000 · 1, 05 euro vengalasciato in deposito per un altro anno al tasso di interessesempre del 5%. Alla fine del secondo anno il saldo del contocorrente sara:

1000·1, 05+1000·1, 05·0.05 = 1000·1, 05 (1 + 0.05) = 1000·(1, 05)2.

Se ogni anno il saldo cresce in base al fattore 1, 05, dopo t anniesso sara pari a 1000 · (1, 05)t euro.

Potenze con esponente interoApplicazione: interesse composto

Generalizzando.....C capitalei tasso annuo di interesset numero di anni

allora otteniamo il seguente principio generale:

Una quantita C che cresce del i% all’anno varra, dopo t anni

C

(1 +

i

100

)t.

1 +i

100e detto fattore di crescita per un tasso di crescita del

i%.

Potenze con esponente interoApplicazione: interesse composto

Una quantita C che decresce del i% all’anno varra, dopo t anni

C

(1− i

100

)t.

1− i

100e detto fattore di decrescita per un tasso di decrescita

del i%.

Potenze con esponente razionale

Siano m ∈ Z, n ∈ N \ {0} e sia a ≥ 0. Si definisce

am/n = ( n√a)m.

Valgono ancora le proprieta algebriche fondamentali.Esempi:

1 a1/2 =√a radice quadrata di a che gode delle seguenti

proprieta:√ab =

√a√b (a, b ≥ 0)√

a

b=√a√b

(a ≥ 0, b > 0)

ATTENZIONE√a+ b 6=

√a+√b

2 a1/n = n√a radice n-esima di a

Osserviamo che a1/n avrebbe senso anche se a < 0, purche n siaun numero dispari.

Potenze con esponente razionale

Esempi:1 47/2 = (47)1/2 = 163841/2 = 128 oppure

47/2 = (41/2)7 = 27 = 1282 (−8)1/3 = 3

√−8 = −2 perche (−2)3 = −8

3 (52)3/2 = 53 = 125

422 + 23

23=

22(1 + 2)23

= 22−33 = 3/2

Potenze con esponente reale

La potenza xr con r ∈ R e x > 0 si calcola approssimando inmodi via via piu accurati l’esponente.Calcoliamo per esempio 5π.Sapendo che π e vicino a 3.1, 5π sara circa53.1 = 531/10 = 10

√531.

Un’approssimazione migliore e data da5π ≈ 53.14 = 5314/100 = 5157/50 50

√5157.

Funzione potenzaEsponente naturale

Sia n ∈ N, n 6= 0. La funzione potenza con esponente n edefinita ponendo

f(x) = xn, ∀x ∈ R.

Funzione potenzan pari: proprieta

f : x ∈ R 7−→ xn ∈ [0,+∞)︸ ︷︷ ︸f(x)≥0 (f positiva)

f(0) = 0f(−x) = (−x)n = (−1)nxn = xn = f(x) =⇒ f e pariSiano x1, x2 ∈ R. Si ha (si dimostra per induzione)

0 ≤ x1 < x2 =⇒ 0 ≤ xn1 < xn2

e quindi f(x1) < f(x2) =⇒ f e strettamente crescente in[0,+∞).Visto che la f e pari, f e strettamente decrescente in(−∞, 0].

Funzione potenzan pari: grafico

x2

Funzione potenzan pari: grafico

x2, x4

Funzione potenzan pari: grafico

x2, x4, x6

Funzione potenzan pari: funzione inversa

f(x) = xn e strettamente monotona in [0,+∞) =⇒ f einvertibile in tale insieme.Si puo pertanto definire la funzioneinversa di f(x) = xn (x ≥ 0) detta funzione radice n-sima, insimboli f−1 : [0,+∞)→ [0,+∞), come segue

f−1(x) = n√x = x1/n x ≥ 0.

√x

Funzione potenzan pari: funzione inversa

f(x) = xn e strettamente monotona in [0,+∞) =⇒ f einvertibile in tale insieme. Si puo pertanto definire la funzioneinversa di f(x) = xn (x ≥ 0) detta radice n-sima, in simbolif−1 : [0,+∞)→ [0,+∞), come segue

f−1(x) = n√x = x1/n x ≥ 0.

√x, 4√x

Funzione potenzan pari: funzione inversa

f(x) = xn e strettamente monotona in [0,+∞) =⇒ f einvertibile in tale insieme. Si puo pertanto definire la funzioneinversa di f(x) = xn (x ≥ 0) detta funzione radice n-sima, insimboli f−1 : [0,+∞)→ [0,+∞), come segue

f−1(x) = n√x = x1/n x ≥ 0.

√x, 4√x, 6√x

Funzione potenzan dispari: proprieta

f : x ∈ R 7−→ xn ∈ R

f(x) > 0 per x > 0; f(x) < 0 per x < 0f(0) = 0f(−x) = (−x)n = (−1)nxn = −xn = −f(x) =⇒ f e dispariSiano x1, x2 ∈ R. Si e gia visto che se 0 ≤ x1 < x2, allora0 ≤ xn1 < xn2 ⇐⇒ f(x1) < f(x2) =⇒ f e strettamentecrescente in [0,+∞).Visto che la f e dispari, f e strettamente crescente anche in(−∞, 0], per cui f e strettamente crescente in tutto R.

Funzione potenzan dispari: grafico

x

Funzione potenzan dispari: grafico

x, x3

Funzione potenzan dispari: grafico

x, x3, x5

Funzione potenzan dispari: funzione inversa

f(x) = xn e strettamente monotona in tutto R, da cui si deduceche f e invertibile in tutto R.Si puo pertanto definire lafunzione inversa di f(x) = xn (x ∈ R) detta funzione radicen-sima con n dispari e si indica con

f−1(x) = n√x = x1/n x ∈ R.

3√x

Funzione potenzan dispari: funzione inversa

f(x) = xn e strettamente monotona in tutto R, da cui si deduceche f e invertibile in tutto R. Si puo pertanto definire lafunzione inversa di f(x) = xn (x ∈ R) detta funzione radicen-sima con n dispari e si indica con

f−1(x) = n√x = x1/n x ∈ R.

3√x, 5√x

Funzione potenzaEsponente reale

Si definisce funzione potenza con esponente reale

la funzione f : (0,+∞)→ R (se r ≤ 0) definita comef(x) = xr per ogni x > 0

oppurela funzione f : [0,+∞)→ R (se r > 0) definita ponendof(x) = xr per ogni x > 0 e f(0) = 0.

Valgono ancora le proprieta algebriche fondamentali.Non ha senso 00!

Funzione potenzaEsponente reale: grafici

Si ottengono grafici con il seguente andamento quando r > 1

Funzione potenzaEsponente reale: grafici

Si ottengono grafici con il seguente andamento quando r > 1,0 < r < 1

Funzione potenzaEsponente reale: grafici

Si ottengono grafici con il seguente andamento quando r > 1,0 < r < 1, r < 0

Funzione potenzaEsponente razionale: applicazioni

1 S ≈ 4, 84V 2/3 area approssimata S della superficie di unasfera come funzione del suo volume V.

2 Il flusso di sangue (in litri al secondo) attraverso il cuore diun individuo dal peso x e approssimativamenteproporzionale a x0.7.

3 SeY prodotto interno nettoK stock di capitaleL lavorot tempo

la formula Y = 2, 262K0,203L0,763(1, 02)t appare in unostudio sulla crescita del prodotto interno.

Esercizi svolti a lezione

Determinare il dominio, eventuali simmetrie, intersezione congli assi e lo studio del segno delle seguenti funzioni:

1 f(x) =√x− 1

2 f(x) = 3√x(x2 + 1)

3 f(x) =x√

x2 − 1

4 f(x) =√x− 1

x2 − 2x− 3