Corso di Laurea Specialistica in Matematica (classe 45/S)

1 scheda informativa 2 norme didattiche e propedeuticità 3 piano di studi 4 attività formative: contenuti/obiettivi specifici.

1 scheda informativa Sede didattica: Genova Via Dodecaneso 35 (Valletta Puggia) Classe delle lauree specialistiche in: matematica (n. 45 S) Presidente del Consiglio di Corso di Laurea prof.ssa Maria Evelina Rossi Durata due anni (dopo la laurea) Indirizzo web http://www.dima.unige.it/didattica/matematica/ Esame per l'accesso NO Corso di laurea i cui crediti formativi universitari sono integralmente riconosciuti per il corso di laurea specialistica Corso di Laurea in Matematica dell'Università degli Studi di Genova

Finalità e obiettivi formativi Lo studente che seguirà il corso di laurea specialistica in matematica avrà la possibilità di acquisire un solido bagaglio culturale sulle tematiche più tradizionali di questa disciplina, approfondendo gli argomenti di base incontrati nei tre anni della Laurea in Matematica, e di spingerne le conoscenze verso le principali diramazioni o verso le principali teorie maturate negli ultimi decenni.

Il corso si propone quindi di formare figure che

• abbiano una solida preparazione culturale nell’area della Matematica e dei metodi propri della disciplina; • abbiano conoscenze matematiche specialistiche, anche contestualizzate ad altre scienze; • abbiano la capacità di affrontare problemi avanzati in Matematica, pura o applicata; • sappiano orientarsi nel complesso panorama bibliografico specialistico; • siano in grado di utilizzare almeno una lingua comunitaria, preferibilmente quella inglese, e siano in grado di comunicare attraverso essa con studiosi stranieri; • possiedano competenze computazionali e informatiche; • abbiano capacità relazionali e decisionali, e sappiano lavorare con autonomia, anche assumendo responsabilità scientifiche e organizzative.

Lo studente che conseguirà la laurea specialistica sarà quindi in condizioni di inserirsi nel mondo del lavoro al livello più elevato, perché le metodologie generali della Matematica sono tali da dotarlo di buone capacità nell’organizzazione e nella elaborazione di strategie per affrontare i problemi più diversi. Queste capacità, nel matematico, non sono solo tecniche, ma sono congiunte a una formazione umanistica più vasta che ne fanno un operatore culturalmente più completo.

Alcuni dei temi trattati nel corso di laurea specialistica introdurranno lo studente allo studio di argomenti di ricerca correnti che potrà ulteriormente approfondire in attività specialistiche ulteriori come il dottorato. All'interno del corso di laurea specialistica sono istituiti tre curricula: Matematica Generale; Matematica Applicata: orientamento “Modelli e applicazioni numeriche”; Insegnamento della Matematica. Gli studenti che seguono il curriculum “Matematica Generale” approfondiscono le loro conoscenze nel campo della matematica entrando in contatto con le problematiche e gli strumenti della ricerca attuale. Corsi altamente specializzati saranno offerti nei vari settori matematici che a Genova operano all'interno della ricerca internazionale. È attivato, all’interno del curriculum “Matematica Applicata“, l’orientamento “Modelli e Applicazioni Numeriche” che ha come obiettivo quello di formare laureati con competenze in due campi fondamentali e strettamente interconnessi della matematica applicata: la modellizzazione formale di fenomeni fisici e la soluzione numerica di equazioni integrali e differenziali che da tale modellizzazione derivano. Gli studenti che seguono il curriculum "Insegnamento della matematica" acquisiscono competenze riguardanti la didattica, i fondamenti e la storia della matematica e approfondiscono alcune conoscenze nel campo della matematica collegate ai contenuti dell'insegnamento.

Ulteriori informazioni sui curricula si trovano al punto 2, alla voce "Didattica, curricula, orientamenti e piani di studi".

Ai fini indicati, i curricula del corso di laurea specialistica comprendono • attività formative finalizzate all’acquisizione di buone conoscenze nei settori più

avanzati della Matematica; • attività formative che si caratterizzano per un elevato livello di astrazione, pur

legate a temi e fenomenologie dalle quali hanno tratto origine; • attività seminariali, anche con interventi di studiosi di altre sedi, italiane o straniere,

con un grado di coinvolgimento dello studente che va dall’ascolto alla partecipazione più attiva;

• attività di laboratorio computazionale e informatico, in particolare dedicato alla conoscenza di applicazioni informatiche, ai linguaggi di programmazione e al calcolo.

Verranno anche favoriti soggiorni di studio presso laboratori o altri Istituti universitari italiani o stranieri. Caratteristiche della prova finale La prova finale consiste nella discussione di una tesi scritta su una attività, concordata con lo studente, riguardante notevoli approfondimenti di argomenti trattati nei corsi o nuove presentazioni di argomenti più avanzati eventualmente costituenti una ricerca originale. Questa attività può essere integrata con stage e/o periodi di permanenza del laureando presso enti di ricerca o aziende esterne interessate all’argomento della tesi. La valutazione finale è espressa in centodecimi, e viene formulata tenendo conto della media dei voti conseguiti agli esami, delle conoscenze acquisite sugli argomenti svolti nella laurea triennale e sulla prova finale, nonché di ogni altro elemento ritenuto rilevante. Ambiti occupazionali previsti per i laureati I laureati saranno in possesso della formazione intellettuale e culturale necessaria per intraprendere una carriera scientifica in enti di ricerca pubblici o privati o per svolgere attività di ricerca e sviluppo nel mondo del lavoro. In particolare la loro formazione li metterà in grado di proseguire gli studi in un dottorato di ricerca presso un'università italiana o straniera. Potranno esercitare funzioni di elevata responsabilità nella costruzione e nello sviluppo computazionale di modelli matematici di varia natura, in ambiti applicativi scientifici, ambientali, sanitari, industriali, finanziari, di telecomunicazioni, nei servizi e nella pubblica amministrazione. Potranno inoltre esercitare funzioni di elevata responsabilità nei settori dell’insegnamento e della divulgazione scientifica.

Requisiti d’accesso Per accedere al corso di laurea specialistica e’ richiesto il possesso di una laurea triennale o di altro titolo di studio equivalente. Un qualunque curriculum consigliato della Laurea triennale in Matematica dell’Università di Genova consente l'iscrizione alla laurea specialistica senza debiti formativi e con il riconoscimento di tutti i 180 crediti. Per quanto riguarda altri piani di studio di lauree triennali, compresi quelli seguiti nella Laurea triennale in Matematica dell'Università di Genova, ma difformi da quelli consigliati, il CCS si riserva di deliberare in merito al riconoscimento integrale e/o all'esistenza di debiti formativi. La struttura didattica responsabile può riconoscere attività formative presso altri corsi di studio, anche di altre Università. I relativi crediti saranno attribuiti tenendo conto del contributo dell’attività al raggiungimento degli obiettivi formativi del corso di laurea. Organizzazione del corso di laurea Per conseguire la laurea specialistica lo studente deve aver acquisito 300 crediti formativi universitari (CFU), ivi compresi quelli già acquisiti dallo studente per conseguire la laurea e riconosciuti validi per il corso di laurea specialistica. Per gli studenti cui vengono riconosciuti interamente i 180 CFU della laurea, la durata prevista della laurea specialistica è di due ulteriori anni. Il CFU misura il lavoro di apprendimento richiesto ad uno studente nella attività formativa prevista dagli ordinamenti didattici e corrisponde a 25 ore di attività formativa.

ATTIVITÀ FORMATIVE E RELATIVI CREDITI:

Le attività formative sono distinte come indicato nella seguente tabella: Di base (a): discipline matematiche, fisiche ed informatiche (46 CFU devono essere scelti nei settori MAT/02,03,05,06,07,08; 14 CFU nei settori FIS/01,02,08 e INF/01)

CFU 60

Caratterizzanti (b): discipline matematiche logico-fondazionali, algebrico-geometriche ed analitiche (da 0 a 4 CFU devono essere scelti nei settori MAT/01,04; da 50 a 54 CFU nei settori MAT/02,03; da 34 a 38 CFU nei settori MAT/05,06)

90

Affini o integrative (c): discipline matematiche modellistico-applicative e conoscenze interdisciplinari e applicative (da 23 a 27 CFU devono essere scelti nei settori MAT/07,08,09; da 6 a 10 CFU nei settori FIS/01,02,03,04,05,06,07,08 e INF/01)

32

A scelta dello studente (d) 15 Di Sede (o Curriculari) (s) (da 0 a 57 CFU devono essere scelti nei settori MAT/01,04; da 0 a 57 CFU nei settori MAT/02,03; da 0 a 57 CFU nei settori MAT/05,06; da 0 a 57 CFU nei settori MAT/07,08,09; da 0 a 22 CFU nei settori FIS/01,02,03,04,05,06,07,08 e INF/01)

58

Prova finale (e) 27 Conoscenza della lingua straniera (e) 3 Altro (f) Ulteriori conoscenze linguistiche, abilità informatiche e relazionali, tirocini, ecc.

15

Totale CFU 300

2

corso di laurea specialistica in MATEMATICA (classe 45S)

norme didattiche e propedeuticità Didattica, curricula, orientamenti e piani di studi

Il corso di laurea specialistica si articola in tre curricula: • Matematica Generale; • Matematica Applicata: orientamento “Modelli e applicazioni numeriche” • Insegnamento della Matematica

Tali offerte riflettono l’ordinamento didattico e dunque soddisfano i requisiti della tabella ministeriale. Gli obiettivi formativi del curriculum “Matematica Generale” sono: - un approfondimento del metodo matematico-scientifico, il conseguimento di una solida e ampia competenza nei settori di Algebra-Geometria, di Analisi Matematica e di Fisica Matematica, e specificatamente in almeno uno dei settori della Matematica nominati sopra un avviamento alla ricerca mediante lo studio di alcune problematiche della ricerca attuale e l'acquisizione dei relativi strumenti e metodi di indagine - la possibilità di acquisire alcune competenze approfondite in qualche settore della Matematica applicata - il conseguimento di una capacità di astrazione e al tempo stesso di una capacità di modellizzazione anche in un contesto concreto. L'acquisizione della Laurea Specialistica nel curriculum “Matematica Generale” darà una preparazione adatta ad una eventuale prosecuzione degli studi per il conseguimento del titolo di Dottore di Ricerca o del titolo di Master di secondo livello sia in Italia che all'estero. Darà inoltre la capacità di inserirsi con funzioni di elevata responsabilità in ambiti lavorativi pubblici o privati che abbiano finalità anche di ricerca o di divulgazione scientifica, che richiedano un uso approfondito e competente del metodo scientifico e una mentalità flessibile, pronta all’apprendimento di metodologie innovative. Gli obiettivi formativi del curriculum “Matematica Applicata“, orientamento “Modelli e Applicazioni Numeriche”, sono - il raggiungimento della capacità di elaborare modelli matematici del mondo reale e sviluppare i metodi analitici, numerici e statistici per la loro risoluzione, con particolare riguardo alla soluzione numerica di equazioni integrali e differenziali che da tali modellizzazioni derivano - il conseguimento di una solida e ampia formazione di base nell'area della Matematica, particolarmente approfondita in alcuni settori e indirizzata verso le applicazioni in uno o più campi specifici. Tale orientamento rappresenta una risposta naturale dei matematici alle richieste, da parte della società, di matematici capaci di affrontare i problemi applicativi posti dai diversi settori della ricerca scientifica ed industriale, delle discipline scientifiche in generale, della produzione industriale, dell'economia, della finanza, ecc. e potrà quindi permettere un rapido ed efficace inserimento nel mondo del lavoro, consentendo di accedere ad attività lavorative di alta qualificazione che richiedano un uso approfondito e competente del metodo scientifico, di strumenti di calcolo, e una mentalità flessibile, pronta all’apprendimento di metodologie innovative. Il laureato specialista nell'orientamento “Modelli e Applicazioni Numeriche” avrà una preparazione adeguata per una eventuale prosecuzione degli studi in Dottorati di Ricerca o in corsi di Master di secondo livello in Italia e all'estero. Gli obiettivi principali del curriculum "Insegnamento della matematica" sono quelli di approfondire la conoscenza del metodo matematico-scientifico e della sua evoluzione

storica, sottolineandone gli aspetti culturali, e di sviluppare specifiche capacità per la comunicazione di problemi e metodi matematici. Tale curriculum rappresenta la risposta naturale alle richieste, da parte della società, sia di matematici capaci di affrontare problemi complessi inserendoli in un ampio quadro culturale (ad esempio in collegamento con le discipline fisiche ed informatiche), sia di esperti nei vari aspetti della didattica della matematica. Il laureato specialista nel curriculum "Insegnamento della matematica" sarà in grado di svolgere ricerche nei temi trattati, e di assumere responsabilità scientifiche ed organizzative sia nelle istituzioni scolastiche, sia in ambienti legati alla divulgazione (giornalismo scientifico, musei della scienza, ecc.) Avrà inoltre una preparazione adeguata per un'eventuale prosecuzione degli studi in Dottorati di Ricerca o in corsi di Master di secondo livello in Italia e all'estero. È comunque facoltà dello studente di presentare un piano di studi personalizzato che sarà discusso da parte della struttura didattica responsabile. La Laurea in Matematica e la Laurea Specialistica in Matematica, unite al Dottorato di Ricerca in Matematica e Applicazioni, attivo a Genova da anni, costituiscono un’offerta didattica completa nel settore della matematica. Dall’anno accademico 2005/06, sono attivati entrambi i due anni della laurea specialistica in Matematica. La didattica del Corso di Laurea Specialistica in Matematica è articolata in semestri. Di norma, il primo semestre inizia a settembre e termina a febbraio mentre il secondo semestre inizia a fine febbraio e termina a luglio. Gli orari delle lezioni sono affissi presso il Dipartimento di Matematica. Nella formazione dell’orario delle lezioni si garantisce la non sovrapposizione delle lezioni degli insegnamenti previsti, in ciascun anno di corso, nei diversi percorsi formativi. Nell’anno accademico 2005/2006, salvo che per i corsi mutuati o riconosciuti da altri CdS, i corsi del 1° semestre iniziano il 3 ottobre e terminano il 23 dicembre 2005; i corsi del 2° semestre iniziano il 27 febbraio e terminano il 26 maggio 2006. Le tipologie delle attività formative di base, caratterizzanti, affini e quelle scelte dallo studente comprendono corsi di insegnamento frontale, corsi di laboratorio, esercitazioni, seminari o attività di stage. La frequenza ai corsi ed alle altre attività didattiche è fortemente consigliata, ma non è obbligatoria, ad eccezione di specifiche attività; queste vengono precisate, ogni anno, all'inizio dei corsi. Gli studenti devono presentare un piano di studio, relativo al solo anno 2005/06, entro il 14 Ottobre 2005.

Esami di profitto e propedeuticità La valutazione della prova di esame degli insegnamenti avviene in trentesimi. Al voto d’esame finale possono contribuire i voti conseguiti nelle prove in itinere; in tal caso gli studenti dovranno essere informati, all’inizio del corso, sulle modalità di tali prove e su come contribuiranno al voto finale. Per le attività di tirocinio e per le ulteriori attività non riconducibili ad insegnamenti, l'avvenuto superamento della prova è certificato dal tutore e da un’apposita commissione mediante un giudizio di idoneità. La sessione invernale d'esame si svolge nei mesi di gennaio e febbraio; la sessione estiva si svolge nei mesi di giugno e luglio; è prevista una sessione autunnale di recupero nei primi 20 giorni di settembre. Nelle sessioni invernali ed estive sono previste almeno 2 prove d'esame per ciascun corso dell'anno accademico. Nella sessione di settembre è prevista almeno una prova d'esame per ciascun corso. Gli studenti sono invitati a sostenere gli esami dei vari insegnamenti seguendo l’ordine proposto nei documenti del Consiglio di corso di Studi nonché le indicazioni sui prerequisiti riportate nella sezione 4 “Contenuti/obiettivi specifici” o fornite dai docenti del singolo insegnamento. Crediti tipo F I 15 crediti totali di tipo F (9 acquisibili nella Laurea Triennale e 6 negli ultimi due anni) sono dedicati ad attività formative volte ad acquisire ulteriori abilità linguistiche, abilità informatiche e telematiche, relazionali, o comunque volte ad agevolare le scelte professionali mediante la conoscenza diretta del settore lavorativo. Tutte le offerte formative crediti F sono eventualmente fruibili anche come crediti D (crediti a scelta dello studente, anch’essi acquisibili nella misura di 9 nella Laurea Triennale e 6 negli ultimi due anni). Ogni studente potrà acquisire i crediti formativi in qualunque momento tramite l'offerta didattica nelle seguenti tipologie:

• Attività di tirocinio (stage). Gli studenti che intendono fare uno stage dovranno presentare una richiesta alla commissione tirocini (Proff. Del Prete, Repetto, Dapueto) indicando eventuali preferenze sul tipo di attività. Uno stage deve prevedere un lavoro continuativo a tempo pieno (25 ore settimanali) per almeno un mese o un impegno equivalente, da svolgersi sotto la supervisione di un Relatore interno. In casi eccezionali la durata può essere ridotta fino a due settimane. Ogni settimana di stage a tempo pieno, od un impegno equivalente, è valutata un credito. Un elenco di aziende, enti e scuole convenzionate a cui è interessato il nostro corso di laurea è messo a conoscenza degli studenti tramite le pagine web del Corso di Studi e periodicamente aggiornato, assieme alle eventuali offerte di stages. Terminato lo stage, lo studente presenterà,

avvalendosi dell’aiuto del Relatore interno, una relazione sul lavoro svolto ad un'apposita commissione che, anche sulla base di essa, deciderà sul numero di crediti da assegnare.

• Moduli professionalizzanti. Alcune offerte di stage sono precedute da un breve ciclo di lezioni introduttive di contenuto matematico, tipicamente tenute da personale dell’ente che ospita lo stage e spesso integrate da esercitazioni guidate di laboratorio; in questo caso la frequenza a tali moduli viene conteggiata, insieme allo stage, per il relativo riconoscimento dei crediti.

• Corsi attivati per il CCS in Matematica (acquisizione dei crediti corrispondenti ai corsi e il voto d'esame concorre alla media finale) o parti di essi, come specificato nelle pagine web del CdS.

• Ulteriori conoscenze linguistiche. È previsto il riconoscimento (da 1 a un massimo di 3 crediti) per ulteriori abilità linguistiche sulla base di specifica attestazione. Il riconoscimento è limitato alle lingue ufficiali della Comunità Europea. Rimane comunque l'obbligo del superamento della prova d'inglese interna. Per quanto riguarda la lingua inglese, l'acquisizione dei crediti è basata sulla classificazione europea (PET, TOEFL, etc.). Si rimanda alle pagine web del CdS per ulteriori dettagli.

• Abilità informatiche e telematiche, relazionali. In questa tipologia ricadono attività seminariali, mini-corsi di Informatica, attività di "Problem Posing", secondo l’offerta specificata in dettaglio nelle pagine web del CdS. Più in particolare, l'attività seminariale potrà riguardare un argomento in abbinamento ad un insegnamento attivato oppure potrà essere indipendente. Saranno offerti seminari a partire dal secondo anno di corso. Lo studente, seguito da un docente, dovrà comprendere ed elaborare l'argomento assegnato. Il seminario sarà tenuto dallo studente davanti ad una commissione istituita dal CCS. Il superamento della prova prevede l'acquisizione di 2 cfu.

Le seguenti attività sono invece esclusivamente rivolte agli studenti degli ultimi 2 anni della Specialistica:

• Corsi specializzati di contenuto matematico non presenti nel Manifesto del Corso di Studi in Matematica (es: Dottorato). Per ciascuna richiesta il Consiglio valuterà la coerenza con il percorso curricolare e la rispettiva valenza in crediti.

• Si riconoscono 4 crediti a studenti della Laurea Specialistica che svolgano l’attività di tutorato per gli studenti di Matematica del primo anno (I semestre). L’attività consta di 30 ore di tutorato (3 ore per 10 settimane) e di alcuni incontri con i docenti per il coordinamento. Le domande, corredate dalla lista degli esami superati con rispettiva votazione, saranno presentate al presidente del CCS e poi esaminate da opportuna commissione. Le domande dovranno pervenire alla Segreteria Didattica entro il 5 Settembre.

• Si riconoscono 5 crediti agli studenti della Laurea Specialistica che abbiano seguito con valutazione positiva i corsi estivi organizzati dalla Scuola Matematica Interuniversitaria (SMI) e dall'INDAM. Tali corsi prevedono circa 40 ore di lezione e un esame finale.

Per le attività non corrispondenti ad insegnamenti attivati a Manifesto, il superamento dei relativi esami comporta l'acquisizione dei crediti e non prevede l'attribuzione di un voto, ma solo il superamento o non superamento. Si raccomanda di avvalersi della Commissione Piani di Studio (Proff. Aruffo, Di Benedetto + consulenti per i curricula: Borga, Del Prete, Rosolini, Valla) sia per maggiori dettagli sulle varie attività offerte, sia per la coerenza con il piano di studi. I crediti di tipo F devono essere indicati nel piano di studio. Riconoscimento dei crediti acquisiti in altri corsi di studio e di carriere pregresse. Per quanto concerne le carriere pregresse il CcS si riserva la valutazione quantitativa dei crediti relativi al curriculum presentato ai fini del riconoscimento.

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corso di laurea specialistica in MATEMATICA (classe 45S)

PIANI DI STUDIO

Le tabelle seguenti presentano i piani di studio standard previsti per il corso di laurea. L'organizzazione dei piani di studio è intesa su un totale di 300 CFU, inclusi i CFU acquisiti nel corso della laurea triennale. Ogni corso si colloca in un semestre e può fare riferimento ad uno specifico anno di corso. Lo studente può scegliere fra tre curricula disponibili. Alcuni corsi sono comuni a tutti i curricula, altri sono specifici per un determinato curriculum.

I piani di studio compilati secondo le tabelle seguenti saranno approvati dal CCS. Eventuali piani di studio difformi da quanto previsto nelle tabelle seguenti verranno esaminati e discussi dalla struttura competente. Nell’anno 2005-2006 si prevedono piani di studio transitori per i curricula Matematica Applicata e Insegnamento della Matematica. SETTORI SCIENTIFICO DISCIPLINARI Ciascun settore scientifico disciplinare include specifiche competenze ed ambiti di ricerca. Per quanto riguarda l’area matematica:

MAT/01 corrisponde alla logica matematica, MAT/02 all’algebra, MAT/03 alla geometria, MAT/04 alle matematiche complementari, MAT/05 all’analisi matematica, MAT/06 alla probabilità e statistica matematica, MAT/07 alla fisica matematica, MAT/08 all’analisi numerica, MAT/09 alla ricerca operativa. Per l'assistenza nella compilazione dei piani di studio è attivata una Commissione formata dai proff. Aruffo e Di Benedetto, che si avvale dei consulenti per i vari curricula, proff. Borga, Del Prete, Rosolini, Valla.

Attività formative comuni a tutti i curricula

attività formativa e relativi

CFU

settore scientifico

disciplinare disciplina sem. anno CFU

TOT

b MAT/02 Algebra 1 1 1 8 b MAT/02 Algebra Lineare 1 1 8 a MAT/05 Analisi Matematica 1 1 1 8

2a+2b MAT/01 MAT/XX Laboratorio di Matematica 1/2 1 4

6a+2b MAT/05 Analisi Matematica 2 2 1 8 b MAT/03 Geometria Analitica 2 1 8

a MAT/06 Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica 2 1 8

a FIS/XX Meccanica e Termodinamica 2 1 8 b MAT/02 Algebra 2 1 2 8 b MAT/05 Analisi Matematica 3 1 2 8 b MAT/03 Geometria 1 1 2 8 a INF/01 Programmazione 1 2 6 b MAT/05 Analisi Matematica 4 2 2 7 c FIS/XX Elettromagnetismo e Ottica 2 2 8

c MAT/07 Sistemi Dinamici e Meccanica Analitica 2 2 8

b MAT/03 Geometria 2 2 2 7 b MAT/05 Istituzioni di Analisi Superiore 1 1 3 7 c MAT/07 Istituzioni di Fisica Matematica 1 1 3 7

4a+2c MAT/08 Fondamenti di Calcolo Numerico 1 3 6 e Prova d’inglese 3 3 e Prova Finale (Laurea Triennale) 3 6

Completamento per il curriculum MATEMATICA GENERALE

attività formativa

settore scientifico

disciplinare disciplina sem. anno CFU

b MAT/03 Istituzioni di Geometria Superiore 1 1 3 7

5s+2f Corso da Tabella A 2 3 7 d Scelta dello studente (*) 2 3 9 f Altre attività (*) 2 3 8

4a+3s MAT/03 Istituzioni di Geometria Superiore 2 1 4 7

a MAT/05 Istituzioni di Analisi Superiore 2 1 4 7

s MAT/03 MAT/07 Geometria Differenziale 1 4 7

s MAT/01

Istituzioni di Logica Matematica oppure Logica Matematica 2 (se già seguito Logica Matematica 1) 1 4 7

b MAT/05 Analisi Superiore 1 2 4 7

a MAT/07 Istituzioni di Fisica Matematica

2 2 4 7 s Corso nel settore MAT/02 (**) 2 4 7 s Corso nel settore MAT/03 (**) 2 4 7

s

Altre attività (eventualmente corso da Tabella A usando altri cfu del 5 anno) (**) 2 4 4

c Corso nel settore MAT/07 (**) 1 5 7 3b+4s Corso nel settore MAT/05 (**) 1 5 7

s Corso da Tabella A 1 5 7 s Corso da Tabella A 1 5 7

6d+5f

CFU necessari per arrivare a 300 scegliendo fra i corsi delle tabelle A, B e eventualmente altre attività (seminari, tutorato, corsi estivi e/o di dottorato) (**) 5 11

e Prova Finale 5 21 (*) si consigliano corsi da tabelle A,B,C e attività seminariali (**) Le scelte possono essere ottemperate anche in semestri e/o anni diversi. TOTALE 300

Completamento per il curriculum MATEMATICA APPLICATA (a regime) Orientamento “Modelli e applicazioni numeriche”

attività formativa

settore scientifico

disciplinare disciplina sem anno CFU

6s+1f Ricerca Operativa (oppure corso del settore MAT/06) 1 3 7

a MAT/08 Calcolo Numerico 2 3 7 d Scelta dello studente 2 3 9 f Stage oppure altre attività 2 3 8

b MAT/03 Istituzioni di Geometria Superiore 1 1 4 7

a MAT/07 Modelli Sistemi Continui e Applicazioni 1 4 7

b MAT/05 Analisi di Fourier 1 4 7 4a+3b MAT/05 Equazioni Differenziali 1 4 7

s MAT/08 Trattamento Numerico di Equazioni Differenziali 2 4 6

s MAT/08

Metodi Numerici per l’algebra lineare 2 4 6

s Corso da Tabella D (*) 2 4 7 s Corso da Tabella E (*) 2 4 7 d Scelta dello studente (*)(**) 4 6 s Corso da Tabella D (*) 5 6 s MAT/08 Problemi inversi e applicazioni 1 5 6

c MAT/08

Metodi Numerici per Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali 1 5 7

s Corso da Tabella D (*) 1 5 7 s Corso da Tabella E (*) 1 5 7 f Stage oppure altre attività (*)(**) 2 5 6 e Prova Finale 5 21

(*) Le scelte possono essere ottemperate anche in semestri e/o anni diversi. (**) eventualmente corso da tabelle D,E,F TOTALE 300

curriculum MATEMATICA APPLICATA Orientamento “Modelli e applicazioni numeriche”

Fase Transitoria 2005-2006 Primo anno Laurea Specialistica

attività formativa

settore scientifico

disciplinare disciplina sem anno cfu

a MAT/07 Modelli Sistemi Continui e Applicazioni

1 4 7

b MAT/05 Analisi di Fourier 1 4 7 s MAT/08 Metodi Numerici per l’algebra

lineare 1 4 6

s Corso da Tabella D (*) 1 4 7 4a+3b MAT/05 Equazioni Differenziali 2 4 7

s MAT/08 Trattamento Numerico di Equazioni Differenziali

2 4 6

s Corso da Tabella D (*) 2 4 7 s Corso da Tabella E (*) 2 4 7 d Scelta dello studente (*)(**) 4 6

(*) Le scelte possono essere ottemperate anche in semestri e/o anni diversi. (**) eventualmente corso da tabelle D,E,F

curriculum MATEMATICA APPLICATA Orientamento “Modelli e applicazioni numeriche”

Fase Transitoria 2005-2006 Secondo anno Laurea Specialistica

attività formativa

settore scientifico

disciplinare disciplina sem anno cfu

s Corso da Tabelle D o E (*) 1 5 6 s MAT/08 Metodi Numerici per l’algebra

lineare 1 5 6

c MAT/08

Metodi Numerici per Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali 1 5 7

s Corso da Tabelle D o E (*) 1 5 7 s Corso da Tabella D o E (*) 1 5 7 f Stage oppure altre attività (*)(**) 2 5 6 e Prova Finale 5 21

(*) Le scelte possono essere ottemperate anche in semestri diversi. (**) eventualmente corso da tabelle D,E,F

Completamento per il curriculum INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA

attività formativa

settore scientifico

disciplinare disciplina sem anno cfu

a MAT/03 Istituzioni di Geometria Superiore 1 1 3 7

b MAT/01 Logica Matematica 1 2 3 7 b MAT/04 Didattica della Matematica 1 2 3 7

9d+1f Scelta dello studente (*) 2 3 10

s MAT/04 Complementi di Storia delle Matematiche 1 4 7

s FIS/XX Complementi di Fisica 1 1 4 7

a MAT/03 MAT/07 Geometria Differenziale 1 4 7

s MAT/01 Logica Matematica 2 1 4 7 5f+2s MAT/04 Didattica della matematica 2 2 4 7 3b+4s MAT/04 Matematiche Complementari 1 2 4 7

s FIS/XX Complementi di fisica 2 2 4 7 s Corso da Tabelle A,B,D 2 4 7 f Altre attività 4 4

s MAT/04

Matematiche Elementari da un punto di vista superiore (MEDPVS) 1 5 7

c MAT/09 Matematica Finanziaria 1 5 7 4a+3s MAT/05 Analisi di Fourier 1 5 7

s Corso da Tabelle A,B,D 1 5 7

f MAT/04 Laboratorio di Didattica della Matematica 2 5 5

d Scelta dello studente 5 6 e Prova Finale 5 21

(*) si consiglia Istituzioni di Storia delle matematiche e attività seminariali o stage TOTALE 300

curriculum INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Fase Transitoria 2005-2006

Secondo anno Laurea Specialistica

attività formativa

settore scientifico

disciplinare disciplina sem

anno

CFU

s MAT/04

Matematiche Elementari da un punto di vista superiore (MEDPVS) 1 5 7

s Logica Matematica 2 (*) 1 5 7 4a+3s MAT/05 Analisi di Fourier 1 5 7

a MAT/03 MAT/07 Geometria Differenziale 1 5 7

f MAT/04 Laboratorio di Didattica della Matematica 2 5 5

d Scelta dello studente 5 6 e Prova Finale 5 21

(*) se già seguito, sostituire con Matematica Finanziaria

TABELLA A nome crediti - settore semestre note Algebra Computazionale 1 7 - Mat/02 2 Algebra Superiore 1 7 - Mat/02 2 anno 4/5 Algebra Superiore 2 7 - Mat/02 1 anno 4/5 Analisi di Fourier 7 - Mat/05 1 anno 4/5 Analisi Funzionale 7 - Mat/05 2 anno 4/5 Analisi Superiore 2 7 – Mat/05 1 anno 4/5 Crittografia e Teoria dei Codici 7 - Mat/02 1 Equazioni Differenziali 7 - Mat/05 2 Fisica Matematica 2 7 – Mat/07 2 anno 4/5 Geometria Algebrica 1 7 - Mat/03 2 anno 4/5 Geometria Algebrica 2 7 - Mat/03 1 anno 4/5 Geometria Superiore 1 7 - Mat/03 2 anno 4/5 Geometria Superiore 2 7 - Mat/03 1 anno 4/5 Istituzioni di Logica Matematica 7 - Mat/01 1 Logica Matematica 1 7 - Mat/01 2 Logica Matematica 2 7 - Mat/01 1 anno 4/5 Metodi Geometrici in Fisica Matematica

7 – Mat/07 1

Modelli di Sistemi Continui e Applicazioni

7 - Mat/07 1 anno 4/5

Ottimizzazione 7 - Mat/05 1

Teoria dei Numeri 7 - Mat/02 1 Teoria dei Codici 7 - Mat/02 2 Topologia Algebrica 1 7 - Mat/03 2 TABELLA B nome crediti - settore semestre Applicazioni della Matematica alla Medicina

6 – Mat/08 1

Calcolo Numerico 7 - Mat/08 2 Complementi di Fisica 1 7 - Fis/XX 1 Complementi di Fisica 2 7 - Fis/XX 2 Complementi di Storia delle Matematiche

7 - Mat/04 1

Fondamenti Matematici della Teoria dell’Apprendimento Statistico

6 – Mat/08 2

Istituzioni di Storia delle Matematiche

6 - Mat/04 2

Matematica Finanziaria 7 – Mat/09 1 Metodi Numerici per l’Algebra Lineare

6 – Mat/08 1

Trattamento Numerico di Equazioni Differenziali

6 - Mat/08 2

Metodi di Ottimizzazione 6 – Mat/09 2 Probabilità e Processi Stocastici 6 – Mat/06 1 Ricerca Operativa 7 - Mat/09 1 Teoria dei Giochi 1 7 - Mat/09 1 Teoria dei Giochi 2 7 - Mat/09 2 TABELLA C (solo crediti "d" e “f” del terzo anno) nome crediti - settore semestre Calcolo delle Probabilità 2 5 - Mat/06 2 (da SMID) Processi Stocastici 6 - Mat/06 2 (da SMID) Statistica Descrittiva 2 7 - Mat/06 2 (da SMID) Statistica e Verosimiglianza 5 - Mat/06 1 (da SMID) Statistica Inferenziale 7 - Mat/06 1 (da SMID) Teoria delle Decisioni 7 - Mat/09 1 (da SMID)

TABELLA D nome crediti - settore semestre Applicazioni della Matematica alla Medicina

6 – Mat/08 1

Fondamenti Matematici della Teoria dell’Apprendimento Statistico

6 – Mat/08 2

Matematica Finanziaria 7 – Mat/09 1 Metodi di Ottimizzazione 6 – Mat/09 2 Metodi Geometrici in Fisica Matematica

7 – Mat/07 1

Probabilità e Processi Stocastici 6 – Mat/06 1 Ricerca Operativa 7 - Mat/09 1 Teoria dei Giochi 1 7 - Mat/09 1 Teoria dei Giochi 2 7 - Mat/09 2 TABELLA E nome crediti - settore semestre Algebra Computazionale 1 7 - Mat/02 2 Analisi Superiore 1 7 - Mat/05 2 Analisi Superiore 2 7 - Mat/05 1 Geometria Differenziale 7 – Mat/03,Mat/07 1 Istituzioni di Analisi Superiore 2 7 - Mat/05 1 Ottimizzazione 7 - Mat/05 1 Teoria dei Codici 7 - Mat/02 2 TABELLA F (solo crediti "d" e “f” del curriculum MATEMATICA APPLICATA) nome crediti - settore semestre note Algoritmi e Strutture Dati 9 - Inf/01 2 Mutuato da Informatica Applicazioni di Rete (*) 6 - Inf/01 1 Mutuato da Informatica Basi di Dati 8 - Inf/01 2 Mutuato da SMID Programmazione 2 8 - Inf/01 1 Mutuato da SMID (*) Ha Basi di Dati come prerequisito

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corso di laurea specialistica in MATEMATICA (classe 45S)

attività formative: contenuti/obiettivi specifici ATTIVITÀ FORMATIVA

CONTENUTO/OBIETTIVI FORMATIVI/PREREQUISITI

Algebra 1 OBIETTIVI: Fornire parte del linguaggio algebrico di base. A partire da strutture più concrete quali gli interi, i numeri complessi e l'anello dei polinomi, introdurre le principali strutture algebriche con particolare riferimento alla struttura di gruppo. PREREQUISITI: Comuni nozioni trattate nei programmi di scuola superiore. PROGRAMMA 1. Insiemi e applicazioni:Operazioni tra insiemi. Applicazioni. Operazioni binarie e proprietà. Applicazioni invertibili. 2. Cardinalità e combinatoria: Cardinalità di un insieme e insiemi equipotenti. Insiemi numerabili. Permutazioni. Principio di induzione. Binomio di Newton. 3. Relazioni di equivalenza: relazioni e relazioni di equivalenza, insieme quoziente. 4. Interi e Algebra modulare: Algoritmo Euclideo e sue applicazioni. Fattorizzazione. La struttura algebrica di Zn. Elementi invertibili di Zn. Piccolo teorema di Fermat. 5. I numeri complessi: Proprietà algebriche di C. Radici n-esime di un numero complesso. Enunciato del teorema fondamentale dell'algebra. 6. K[X]: polinomi a coefficienti in un campo. Fattorizzazione. Criteri di irriducibilità. 7. Gruppi. Definizione di gruppo. Sottogruppi. Gruppi ciclici. Omomorfismi di gruppi. TESTI CONSIGLIATI: A. Facchini, Algebra e Matematica Discreta, Bollati Boringhieri LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO: http://www.dima.unige.it/~rossim/

Algebra 2

OBIETTIVI: In questo secondo corso di Algebra vengono approfonditi i principali concetti di algebra astratta introdotti in modo meno formale nel corso di Algebra 1. PREREQUISITI: Algebra 1 e Algebra Lineare.

PROGRAMMA: Gruppi e loro proprietà rilevanti. Omomorfismi di gruppi. Gruppi quozienti. Gruppi lineari, gruppi di permutazioni, gruppi finiti di ordine basso. Il teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati. Anelli ed ideali. Anelli euclidei e fattoriali. Anelli di polinomi. Campi e loro estensioni. Testi consigliati: M. Artin: Algebra, Bollati Boringhieri. S. Bosch: Algebra , Springer

Algebra Computazionale 1

OBIETTIVI: Introdurre le basi di Groebner e, mediante esse, gli algoritmi per la risoluzione e manipolazione simbolica di sistemi di equazioni polinomiali e dei tipici problemi dell'algebra commutativa computazionale come, per esempio, il problema dell'appartenenza di un polinomio ad un ideale. PREREQUISITI: Algebra 1, Algebra 2, Algebra lineare. PROGRAMMA: Anelli e ideali, anelli Noetheriani e il teorema della base di Hilbert. L'anello dei polinomi in più variabili. Ideali monomiali. Basi di Groebner di un ideale. Proprietà delle basi di Grobner, S-polinomi e algoritmo di Buchberger. Problema dell'appartenenza di un polinomio ad un ideale. Sistemi di equazioni polinomiali e teoria dell'eliminazione. Passaggio da equazioni parametriche polinomiali o razionali a equazioni cartesiane. Calcolo delle sizigie. Risultanti. Ideali delle varietà di Segre, Veronese e Grassmanniane.

Algebra Lineare OBIETTIVI: Scopo del corso è presentare agli studenti i concetti di base dell' Algebra Lineare, che saranno poi strumenti importanti nei corsi successivi. Obiettivo non secondario, inoltre, è mostrare agli studenti una teoria che e' fortemente motivata da problemi reali, e che si può trattare in maniera esauriente e rigorosa. PREREQUISITI: nessuno PROGRAMMA: 1. Operazioni tra matrici: Le operazioni fondamentali e loro proprietà. Trasposta di una matrice. Matrici invertibili. Matrici di permutazione. 2. Eliminazione di Gauss per la risoluzione di sistemi lineari : Matrici elementari. Matrici ridotte (per righe o colonne) e matrici totalmente ridotte. Risoluzione di sistemi lineari. Caratterizzazione delle matrici invertibili. Matrici equivalenti. 3. Determinanti e caratteristica di una matrice: Permutazioni e trasposizioni. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. Teorema di Binet. I e II Teorema di Laplace. Teorema di Cramer. Caratteristica di una matrice e Teorema di Kronecker. Teorema di Rouché-Capelli. 4. Spazi vettoriali: Spazi vettoriali (su Q, R, C). Sottospazi vettoriali. Intersezione di sottospazi e somma di sottospazi. Spazi vettoriali finitamente generati: sistemi di generatori e basi,

equipotenza delle basi. Somma diretta di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. 5. Applicazioni lineari: definizione ed esempi. Nucleo e immagine. Teorema di nullità. Matrici associate ad un omomorfismo. Cambiamenti di base. Matrici di passaggio. Matrici simili. Lo spazio vettoriale degli omomorfismi tra due spazi vettoriali (Homk(V,W)). Spazio duale di uno spazio vettoriale. 6. Diagonalizzazione: Sottospazi invarianti per un endomorfismo. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Omomorfismi diagonalizzabili. Criterio di diagonalizzabilità di una matrice. 7. Prodotto scalare in Rn: Matrici di rotazione in R2. Matrici ortogonali. Prodotto scalare usuale in Rn. Insiemi ortogonali e insiemi ortonormali. Basi ortogonali e ortonormali di spazi vettoriali finitamente generati. Esistenza di basi ortogonali. Diagonalizzazione di matrici simmetriche reali. Accenno alle forme quadratiche. TESTI CONSIGLIATI: dispense del corso Marco Abate, "Algebra Lineare" , McGraw-Hill LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO: http://www.dima.unige.it/~denegri/

Algebra Superiore 1

OBIETTIVI: Fornire le nozioni necessarie per lo studio dei moduli graduati finitamente generati sull’anello dei polinomi. Tramite lo studio della funzione di Hilbert, calcolare alcuni caratteri numerici delle varietà proiettive. PREREQUISITI: Corsi di base della laurea triennale di Algebra, Analisi e Geometria. PROGRAMMA Moduli e omomorfismi di moduli. Sottomoduli e operazioni. Moduli finitamente generati. Primi associati. Lunghezza di un modulo finitamente generato e proprietà. Funzione di Hilbert di un modulo graduato finitamente generato sull’anello dei polinomi. Serie di Hilbert. Teorema di Hilbert-Serre. Polinomio di Hilbert e coefficienti di Hilbert. Teoria della dimensione di Krull di una k-algebra graduata standard. Proprietà della dimensione. TESTI CONSIGLIATI: M.F. Atiyah-I.G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Pub. C., 1969 W.Bruns, J.Herzog, Cohen Macaulay Rings, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 1993 LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO: http://www.dima.unige.it/~rossim/

Algebra Superiore 2

OBIETTIVI: Introduzione ai metodi omologici in algebra commutativa e geometria algebrica PREREQUISITI: Algebra Superiore 1

PROGRAMMA: Si introdurranno i funtori derivati con particolare enfasi ai funtori Ext e Tor. Si applicheranno tali concetti nello studio delle risoluzioni libere minimali delle algebre graduate standard. Si studieranno gli anelli di Cohen-Macaulay e di Gorenstein. TESTI CONSIGLIATI: W.Bruns, J.Herzog, Cohen Macaulay Rings, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 1993

Analisi Matematica 1

OBIETTIVI: Acquisizione delle basi necessarie allo sviluppo dei concetti e degli strumenti dell’Analisi Matematica . PREREQUISITI: Formazione da scuola secondaria superiore PROGRAMMA: - Introduzione assiomatica dei numeri reali. Numeri naturali, interi e razionali. Principio di induzione. - Prodotto cartesiano. Funzioni e rappresentazioni grafiche - Intervalli reali. Estremo superiore e inferiore. Densità dei razionali. - Monotonia, iniettività, surgettività, funzioni inverse. Simmetrie di funzioni. Funzioni composte. Costruzione delle funzioni elementari. - Norma euclidea, intorni, aperti, punti di accumulazione. - Limiti in una o più variabili. Successioni e limiti per successioni. - Proprietà algebriche dei limiti, criteri di esistenza e valutazione. Limiti notevoli. Limiti di funzioni monotone. - Continuità, operazioni tra funzioni continue e loro inverse. Immagini continue di intervalli. TESTI CONSIGLIATI: Dispense e raccolte di esercizi. P.Marcellini-C.Sbordone “Analisi Matematica uno” – Ed.Liguori T.Zolezzi : Dispense di Analisi Matematica I

Analisi Matematica 2

OBIETTIVI: Formazione dei fondamentali concetti e strumenti relativi allo studio di funzioni ed al calcolo differenziale ed integrale PREREQUISITI: Analisi 1 PROGRAMMA: - Differenziabilità e derivabilità in una variabile. Regole di derivazione. Derivate di funzioni elementari. Derivate parziali di funzioni di più variabili. Derivate di ordine superiore. - Estremi relativi e assoluti. Condizioni di primo ordine per estremi relativi. Teorema di Weierstrass. - Teoremi di Rolle e Lagrange. Conseguenti criteri per i limiti di forme indeterminate. Ordine di infinito e infinitesimo. Sviluppo in formula di Taylor-Peano e applicazioni a estremi relativi. Convessità. Sviluppo di Taylor-Lagrange. - Primitiva di una funzione. Integrazione di Riemann su intervalli in più variabili. Condizioni di integrabilità. Funzioni integrali, teorema e formula fondamentale. Integrale di funzioni composte. Integrazione in senso improprio e criteri di convergenza.

TESTI CONSIGLIATI: Dispense e raccolte di esercizi. P.Marcellini-C.Sbordone “Analisi Matematica uno” – Ed.Liguori T.Zolezzi: Dispense di Analisi Matematica I

Analisi Matematica 3

OBIETTIVI: Proseguire lo studio dell'analisi classica (serie di funzioni ed equazioni differenziali) ed introdurre lo studio della teoria dell'integrazione secondo Lebesgue: si tratta di strumenti fondamentali dell'analisi matematica, necessari per una preparazione di base in matematica nonché per la comprensione di corsi paralleli e successivi PREREQUISITI: Analisi matematica 1-2 PROGRAMMA: Serie di potenze. Equazioni differenziali: teoremi di esistenza e di unicità, integrale generale per sistemi di equazioni lineari e risoluzioni per quelli a coefficienti costanti; risoluzione di alcune speciali equazioni differenziali ordinarie. Nozione di sigma-algebra e misura. Integrale di Lebesgue e teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Estensione di Riesz dell'integrale di Riemann per funzioni continue a supporto compatto. Insiemi misurabili secondo Lebesgue e loro misura. Teorema di Fubini. Criteri di sommabilità. Integrali dipendenti da parametro. TESTI CONSIGLIATI: J.P. Cecconi, G. Stampacchia - Analisi matematica I e II - Liguori editore W. Rudin - Analisi reale e complessa - Bollati Boringhieri O. Caligaris, P. Oliva - Analisi matematica II - E.C.I.G. T. Zolezzi - Dispense di Analisi matematica II - Opera universitaria J.P. Cecconi, L. Piccinini, G. Stampacchia - Esercizi di Analisi matematica II - Liguori editore M. Chicco, F. Ferro - Esercizi di Analisi matematica II - E.C.I.G.

Analisi Matematica 4

OBIETTIVI: Proseguire lo studio dell'analisi classica (funzioni implicite, sottovarietà e forme differenziali): si tratta di strumenti fondamentali dell'analisi matematica, necessari per una preparazione di base in matematica nonché per la comprensione di corsi paralleli e successivi PREREQUISITI: Analisi matematica 1-3 PROGRAMMA: Funzioni implicite, teorema di Dini, invertibilità locale, estremi condizionati. Forme differenziali su un aperto e differenziale; gradiente, divergenza, rotore; sottovarietà regolari, spazio tangente, orientabilità, bordo; curve e superficie; area di sottovarietà ed integrazione di forme differenziali su sottovarietà orientate, teorema di Stokes, teorema di Gauss Green per domini normali nel piano; cicli e bordi di un aperto, forme differenziali chiuse ed esatte, semplice connessione. TESTI CONSIGLIATI:

J.P. Cecconi, G. Stampacchia - Analisi matematica I e II - Liguori editore L. Schwartz - Cours d'Analyse - Hermann O. Caligaris, P. Oliva - Analisi matematica II - E.C.I.G. T. Zolezzi - Dispense di Analisi matematica II - Opera universitaria J.P. Cecconi, L. Piccinini, G. Stampacchia - Esercizi di Analisi matematica II - Liguori editore M. Chicco, F. Ferro - Esercizi di Analisi matematica II - E.C.I.G.

Analisi di Fourier

OBIETTIVI: Scopo del corso è fornire una introduzione alle idee e ai metodi dell'analisi di Fourier, sul toro, sulla retta e nel caso discreto. Nel corso si porrà l'accento sulla potenza e flessibilità della teoria e sulla varietà delle sue applicazioni. Tra le applicazioni considerate, si darà particolare rilievo a problemi e tecniche dell'analisi del segnale, come il teorema del campionamento, la trasformata di Gabor. PREREQUISITI: Istituzioni di Analisi Superiore 1 e Calcolo Numerico (solo per gli studenti dell’Indirizzo Applicativo) PROGRAMMA: Serie di Fourier. Lo spazio delle funzioni periodiche di quadrato sommabile. Teorema di Plancherel. Serie di Fourier. Fenomeno di Gibbs. Spazi di Sobolev. Trasformata di Fourier di funzioni periodiche assolutamente integrabili. Applicazioni:metodi spettrali per le equazioni alle derivate parziali. Integrale di Fourier. La trasformata di Fourier su R. Integrale di Fourier di funzioni assolutamente integrabili su R. Convoluzione. Le identità approssimate. Formule di inversione. Trasformata di Fourier di funzioni di quadrato sommabile. Formula di sommazione di Poisson. Terorema di Paley Wiener. Trasformata di Fourier in più dimensioni. Spazi di Sobolev. La trasformata Discreta di Fourier. L’algoritmo della Fast Fourier Transform. Trasformata coseno. Analisi del segnale Trasformata di Hilbert. Principio di indeterminazione di Heisemberg. Teorema del campionamento di Shannon. Filtri .Trasformata di Gabor continua e discreta . LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO : http://www.dima.unige.it/~delprete/APPLICATA/index.html

Analisi Funzionale

OBIETTIVI: Fornire le basi della teoria delle algebre di Banach e delle algebre di operatori, avvicinando alla ricerca. PREREQUISITI: Corsi di analisi del primo biennio; topologia; IAS 1. Consigliato: IAS 2 PROGRAMMA: Algebre di Banach; spettro e raggio spettrale; algebre di Banach commutative: la teoria di Gelfand; algebre C*; algebre C* commutative; il calcolo funzionale continuo per un elemento normale di un'algebra C*; operatori normali in spazi di Hilbert: il teorema spettrale.

TESTI CONSIGLIATI: A. E. Taylor, D. C. Lay: Introduction to Functional Analysis, 2nd edition G. J. Murtphy: C*-algebras and operator theory F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete normed algebras

Analisi Superiore 1

OBIETTIVI: fornire contenuti istituzionali dell'analisi (in teoria delle distribuzioni) che sono ritenuti fondamentali per gli studenti che hanno intenzione di proseguire gli studi in un dottorato di ricerca o che comunque desiderano acquisire una solida preparazione nei settori di base della matematica PREREQUISITI: Analisi matematica 1-4, Algebra lineare, Geometria 1, Istituzioni di Analisi superiore 1-2 PROGRAMMA: Premesse sugli spazi vettoriali topologici e sugli spazi vettoriali topologici localmente convessi; metrizzabilità. Spazi di Frechet. Gli spazi di funzioni test. Risultati di densità. Definizione di distribuzione. Ordine di una distribuzione. Distribuzioni positive. Distribuzioni a densità finita. Distribuzioni a supporto compatto. Operazioni con le distribuzioni. Prodotto tensoriale di due distribuzioni. Derivazione. Studio di alcune equazioni differenziali. Topologia di D'. Convoluzione. TESTI CONSIGLIATI: Y. Choquet-Bruhat - Distributions, Theorie et problemes - Masson 1973

Analisi Superiore 2

OBIETTIVI: Lo scopo del corso è di fornire un’introduzione all’analisi armonica e ad alcune delle sue applicazioni. PREREQUISITI: Istituzioni di Analisi Superiore 1 e 2. PROGRAMMA: Analisi armonica in Rn: convoluzione, distribuzioni, il teorema del nucleo di Schwartz, trasformata di Fourier. Applicazioni della trasformata di Fourier allo studio degli operatori che commutano con le traslazioni. Soluzioni fondamentali di alcune delle equazioni classiche della Fisica Matematica. Nella seconda parte del corso verranno trattati uno o due argomenti a scelta tra: integrali singolari e teoria di Calderón-Zygmund, analisi armonica su gruppi compatti, analisi armonica sul gruppo di Heisenberg, semigruppi fortemente continui in spazi di Banach. La scelta dipenderà dagli interessi degli studenti e del docente. TESTI CONSIGLIATI: Per la prima parte del corso: L. Hörmander, The Analysis of Linear partial Differential Operators; I, W. Rudin, Functional Analysis; M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I.

Applicazioni della Matematica alla medicina

OBIETTIVI: Il corso intende descrivere la modellizzazione matematica di due problemi tomografici di grande interesse in ambito medico: la tomografia a raggi X e la tomografia a

microonde. In ambedue i casi, l’obiettivo della trattazione è duplice: da una parte evidenziare come formalismi matematici sofisticati sono indispensabili per la comprensione di due problemi di così grande valenza applicativa; dall’altra, dotare gli studenti degli strumenti numerici necessari all’elaborazione delle immagini provenienti da queste modalità di acquisizione. PREREQUISITI: 1) spazi di Hilbert e operatori lineari continui tra spazi di Hilbert; 2) operatori compatti e decomposizione in valori singolari; 3) elementi sugli spazi di Sobolev e sulle equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico; 4) trasformata di Fourier e trasformata di Fourier discreta; 5) elementi di teoria della regolarizzazione per problemi inversi lineari PROGRAMMA: Tomografia a raggi X: 1) modellizzazione della tomografia a raggi X come problema inverso lineare; 2) trasformata di Radon e sua decomposizione in valori singolari; 3) Fourier Slice Theorem e formula di inversione; 4) Filtered Back Projection e sua implementazione; 5) metodi iterativi Tomografia a microonde: 1) modellizzazione della tomografia a microonde come problema inverso di scattering non-lineare; 2) buona posizione del problema diretto; 3) problema inverso: discussione dell’unicità; 4) approssimazioni di weak scattering; 5) approcci lineari esatti: il linear sampling method TESTI CONSIGLIATI: Natterer F. And Wubbeling F 2001 Mathematical Methods in Image Reconstruction (SIAM, Philadelphia) Colton D and Kress R 1998 Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory (Springer, Berlin) Bertero M and Boccacci P 1998 An Introduction to Linear Inverse Problems in Imaging (IOP, Bristol)

Calcolo Probabilità e Statistica Matematica

OBIETTIVI: Scopo del corso è conferire i concetti di base per poter costruire un modello probabilistico. PREREQUISITI: Argomenti svolti in Analisi 1 PROGRAMMA: Probabilità elementare, concetto di indipendenza, variabili aleatorie discrete, densità discrete notevoli (uniforme, di Bernoulli, binomiale, di Poisson, geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa). Speranza matematica, varianza, disuguaglianza di Chebycev, covarianza, coefficiente di correlazione (interpretazione geometrica). Schema di Bernoulli. Variabili casuali continue (uniforme, esponenziale, normale). Legge dei grandi numeri e teorema del limite centrale. Cenni di Statistica inferenziale: intervalli di confidenza, test d’ipotesi. TESTI CONSIGLIATI: P. Baldi, Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO:

http://statprob.dima.unige.it Calcolo Numerico

OBIETTIVI: Il corso riprende ed approfondisce alcuni argomenti già introdotti nel corso di Fondamenti di Calcolo Numerico e ne introduce di nuovi, preparando lo studente alle varie tematiche che potrà incontrare in ambito applicativo. Parte integrante del corso sono da considerarsi le esercitazioni di laboratorio dove si sperimenta e si verifica la teoria fatta a lezione. PREREQUISITI: Algebra lineare, Analisi 1 e 2, Fondamenti di Calcolo Numerico PROGRAMMA: Metodi di decomposizione e metodi iterativi per sistemi lineari. Soluzioni di equazioni non lineari. Interpolazione polinomiale. Integrazione numerica: formule di quadratura di Newton-Cotes e formule generalizzate dei trapezi e di Cavalieri-Simpson. Interpolazione con funzioni spline e funzioni trigonometriche. Minimi quadrati nel continuo. Polinomi ortogonali e formule di quadratura Gaussiana. TESTI CONSIGLIATI: - G. Monegato - Fondamenti di Calcolo Numerico - CLUT 1998 - D. Bini, M. Capovani, O. Menchi - Metodi Numerici per l' Algebra Lineare - Zanichelli 1988 - R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi - Metodi Numerici - Zanichelli 1992.

Calcolo delle Probabilità 2

OBIETTIVI: Scopo del corso è approfondire e completare i concetti probabilistici introdotti nel corso di Calcolo Probabilità e Statistica Matematica, analizzando in maniera più dettagliata gli spazi continui. PREREQUISITI: Argomenti svolti in Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica, Analisi 1 e 2. PROGRAMMA: Variabili casuali assolutamente continue e principali distribuzioni (uniforme, gaussiana, esponenziale, gamma, chi quadro, ...); variabili casuali multidimensionali (es. gaussiane multivariate). Distribuzione condizionata. Trasformazioni di variabili casuali. Calcolo di distribuzioni. Simulazione (generazione di campioni casuali). Funzione caratteristica di una distribuzione di probabilità. Convergenze, legge dei grandi numeri e teorema limite centrale.

Complementi di Fisica 1

OBIETTIVI: Delineare le idee alla base dei profondi mutamenti della Fisica nel primo ‘900 nel contesto della crisi della Fisica Classica. PREREQUISITI: I corsi di Fisica del triennio PROGRAMMA: La fisica dell'irreversibile: Conduzione del calore, entropia, teoria cinetica elementare, irreversibilità statistica. La prima crisi della fisica classica: Note storiche, conseguenze

sperimentali delle trasformazioni di Lorentz, modelli atomici, corpo nero, fotoni, indeterminazione.

Complementi di Fisica 2

OBIETTIVI: Sviluppare alcune delle idee presentate nel modulo precedente evidenziando tanto gli elementi di continuità quanto quelli di rottura rispetto alla Fisica Classica. PREREQUISITI: i corsi di Fisica del triennio – Complementi di Fisica 1 PROGRAMMA: La seconda crisi della fisica classica: Cenno storico, il nucleo atomico, energia di legame, proprietà delle interazioni nucleari, fissione e fusione nucleari, particelle, quarks. Dimostrazioni di laboratorio: alcune esperienze di ottica geometrica ed ondulatoria.

Complementi di Storia delle Matematiche

OBIETTIVI: Condurre gli studenti ad affrontare questioni di sviluppo storico della Matematica attraverso una comprensione maturata criticamente in modo personale. PREREQUISITI: Nozioni di Algebra, Geometria analitica ed Analisi, nonché il corso di Istituzioni di Storia delle Matematiche. PROGRAMMA: Il corso, intitolato “L’arte analitica da Viète a Descartes”, esporrà la fondazione dell’Algebra simbolica e la sua applicazione alla Geometria nell’ambito della metodologia di “analisi e sintesi” proveniente dall’antichità e rivisitata nel secolo XVII. Tra le nuove acquisizioni appare lo sviluppo graduale dei concetti di curva, tangente, area che, attraverso la geometria cartesiana e il calcolo differenziale, conducono alla prima sistemazione della Matematica superiore. TESTI CONSIGLIATI: Saranno distribuiti vari testi, in originale o in traduzione, relativi ai temi trattati.

Crittografia e Teoria dei Codici

PREREQUISITI: Algebra lineare, Algebra 1, Algebra 2. PROGRAMMA: Tecniche algebriche e di teoria dei numeri di supporto alla crittografia e alla teoria dei codici: algoritmo euclideo; teorema del resto cinese; estensione algebriche; rappresentazione ed aritmetica dei corpi finiti; polinomi ciclotomici; residui quadratici; test di primalità. Crittografia a chiave pubblica: descrizione e stato dell'arte della solidità del logaritmo discreto e di RSA; number field sieves; devices di Shamir. Teoria dei codici: codici lineari, codici ciclici; codici BCH; algoritmo di Berlekamp-Massey.

Didattica della Matematica 1

OBIETTIVI: L’obiettivo principale è introdurre gli studenti ad alcuni problemi dell’insegnamento e dell’apprendimento della matematica nelle scuole secondarie, fornendo loro strumenti (in campo didattico, storico-epistemologico e psicologico) utili per affrontare

tali problemi. Altri obiettivi sono: la revisione di alcuni contenuti di base della matematica della scuola secondaria, in relazione alle difficoltà del loro insegnamento e del loro apprendimento; e la riflessione sul “fare matematica” in vista di un insegnamento della matematica che a sua volta aiuti gli allievi a “fare matematica” in prima persona. PREREQUISITI: conoscenze di base di Analisi, Algebra, Geometria Analitica, Probabilità. PROGRAMMA: L'insegnamento-apprendimento della matematica come oggetto di studio della didattica della matematica: alcuni problemi di insegnamento e difficoltà di apprendimento della matematica nella scuola secondaria servono come spunto per l'approccio alla didattica della matematica come disciplina in cui si integrano strumenti e conoscenze dell'epistemologia, della storia della matematica, della psicologia. Contenuti matematici particolari trattati in tale prospettiva saranno: l’angolo; i numeri razionali (in particolare, la loro rappresentazione decimale); il linguaggio algebrico; il linguaggio dei grafici; la derivata; la dimostrazione matematica (con attenzione ai vari tipi di dimostrazione). TESTI CONSIGLIATI: “Parole-chiave” e unità di lavoro dei Progetti SeT e MIUR-DIMA consultabili nel sito http://didmat.dima.unige.it

Didattica della Matematica 2

OBIETTIVI: Il corso di Didattica della Matematica 2 ha carattere professionalizzante essendo essenzialmente orientato a preparare all’insegnamento della matematica nella scuola secondaria. Nello stesso tempo può avviare gli studenti alla ricerca in didattica della matematica e in storia dell’insegnamento della matematica. Con il corso si vuole promuovere un atteggiamento di carattere metacognitivo sull’insegnamento/ apprendimento della matematica e sulla costruzione della razionalità nell’individuo. La formazione che si intende dare può quindi portare a impieghi nel campo dell’insegnamento e della ricerca, ma anche a applicazioni nell’industria (formazione pre e in servizio), consulenze per le agenzie preposte all’istruzione e alla formazione secondo il modello dell’educational consultant anglosassone, consulenze per l’editoria e la divulgazione, giornalismo scientifico. PREREQUISITI: Conoscenze di base di Analisi Matematica, Geometria, Algebra, Probabilità, Informatica, Logica Matematica e Didattica della Matematica, affrontate nella laurea triennale e nel primo anno di laurea specialistica. PROGRAMMA: I contenuti riguardano la costruzione degli oggetti matematici da parte degli studenti. Questo tema include lo studio di problemi di apprendimento e di tecniche di insegnamento nel campo cognitivo

e affettivo. Gli aspetti di carattere cognitivo sono affrontati nell’ambito dell’apprendimento dell’algebra e nel percorso degli studenti verso la razionalità e sono anche discussi alla luce della storia, con riflessioni sul tema della ricapitolazione. Nell’ambito affettivo si richiamano i temi della creatività matematica nei lavori classici dei matematici e i temi delle difficoltà legate alla concezione della matematica e della persona. Questa parte avvia all’uso di tecniche di indagine (questionari, protocolli, interviste, analisi di video) sull’immagine della matematica e sui suoi rapporti con la società e la cultura in generale. Un tema laterale è quello della storia dell’insegnamento matematico che è sviluppato con metodo storico sui materiali presenti in dipartimento nella biblioteca Loria. TESTI CONSIGLIATI: Bednarz, N., Kieran, C. & Lee, L. (editors), Approaches to algebra.

Perspectives for research and teaching, Kluwer, Dordrech, 15-37.

McLeod, D.B.: 1992, ‘Research on affect in mathematics education: a reconceptualization’, in D.A. Grouws (ed.), Handbook of research on mathematics learning and teaching, Macmillan, New York, 127-146.

Schoenfeld, A.H.: 1983, ‘Beyond the purely cognitive: Beliefs systems, social cognitions, and metacognitions as driving forces in intellectual performance’, Cognitive Science, v.7, 329-363.

Schoenfeld, A.H.: 1992, ‘Learning to think mathematically: problem solving, metacognition and sense making in mathematics’, in D.A. Grows (ed.), Handbook of research in mathematics learning and teaching, Macmillan, New York, 334-370.

Skemp, R.R.: 1976, ‘Relational understanding and instrumental understanding’, Mathematics teaching, v. 77, 20-27.

Tall, D. & Vinner, S.: 1981, ‘Concept image and concept definition with particular reference to limits and continuity’, Educational studies in mathematics, v. 12, 151-169.

Tall, D.: 1989, Concept images, generic organizers, computers, and curriculum change. For the Learning of Mathematics v.9, n.3, 37-42.

Elettromagne-tismo e Ottica

OBIETTIVI: Comprensione, basata su considerazioni sperimentali, delle leggi fondamentali dell'elettromagnetismo e dell'ottica e del loro ruolo in altri settori della scienza e della tecnologia. Capacità di risolvere problemi relativi agli argomenti del corso. PREREQUISITI: calcolo differenziale e integrale (anche a livello elementare) per funzioni di più variabili; conoscenza dei metodi e nozioni tipici della fisica classica (misura, grandezze scalari e vettoriali, analisi dimensionale e sistemi di unità di misura) e dei concetti e leggi fondamentali della meccanica classica

PROGRAMMA: Legge di Coulomb. Campo elettrico (legge di Gauss), potenziale. Energia elettrostatica. Corrente elettrica, leggi di Ohm. Dielettrici. Condensatori e capacità. Energia elettrostatica. Circuiti in corrente continua e leggi di Kirchhoff. Effetto Joule. Circuiti RC. Magnetismo: forza di Lorentz. Forza su filo percorso da corrente. La corrente elettrica come sorgente di campo magnetico. La legge di Ampère. Induzione elettromagnetica. Campo elettromotore. Legge di Gauss per il magnetismo. Cenni sul magnetismo nella materia. Induttanza, circuiti LR. Densità di energia magnetica. Cenni sulle correnti alternate. Corrente di spostamento, equazioni di Maxwell ed emissione di onde elettromagnetiche. Elementi di ottica geometrica: riflessione, rifrazione. Principio di Fermat. Specchi e lenti sottili. Ottica ondulatoria: interferenza, diffrazione, reticoli. Polarizzazione, legge di Malus, birifrangenza, lamine a quarto d'onda. TESTI CONSIGLIATI: Halliday, Resnick, Krane: Fisica 2, Casa Editrice Ambrosiana.

Equazioni Differenziali

OBIETTIVI: Lo scopo del corso è di fornire un’introduzione alla teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali. PREREQUISITI: Analisi Matematica 1-4, Istituzioni di Analisi Superiore 1. PROGRAMMA: Verranno studiate le equazioni del primo ordine quasi-lineari e alcune equazioni lineari classiche della Fisica Matematica: le equazioni di Laplace, di Poisson, l'equazione del calore e l'equazione delle onde, discutendo principi generali (proprietà di media, principio di massimo, stime dell'energia) e le loro conseguenze. Verranno anche ricavate formule risolutive esplicite per domini con geometria semplice. Infine verranno presentati tecniche generali per ottenere formule esplicite come la separazione di variabili, soluzioni per similarità, metodi basati sulle trasformate, sviluppi in serie di potenze LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO: http://www.dima.unige.it/~mauceri/CORSI/elenco.html

Fondamenti di Calcolo Numerico

OBIETTIVI: Il corso vuole offrire le nozioni matematiche e metodologiche che stanno alla base delle tecniche del calcolo scientifico. Parte integrante del corso sono da considerarsi le esercitazioni di laboratorio dove lo studente sperimenta e verifica la teoria fatta a lezione. PREREQUISITI: Algebra lineare, Analisi 1 e 2 PROGRAMMA: Teoria degli errori. Soluzione di sistemi lineari: condizionamento, metodo di Gauss con strategia del pivoting, fattorizzazioni di

matrici: LU e Cholesky e applicazioni. Autovalori di matrici: metodo delle potenze e sue varianti, trasformazioni per similitudine e trasformazioni di Householder: fattorizzazione QR, riduzione a forma di Hessenberg o tridiagonale, cenni sul metodo QR. Approssimazione di funzioni: minimi quadrati discreti: risoluzione tramite le equazioni normali. Decomposizione ai valori singolari e applicazioni al problema dei minimi quadrati discreti. Metodo di Eulero per la soluzione numerica di equazioni differenziali. TESTI CONSIGLIATI: - G. Monegato - Fondamenti di Calcolo Numerico - CLUT 1998 - R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi - Introduzione alla Matematica Computazionale - Zanichelli 1987 - R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi - Metodi Numerici - Zanichelli 1992

Fondamenti Matematici della Teoria dell’Apprendi-mento Statistico

OBIETTIVI: Questo corso si propone di illustrare le basi teoriche del problema dell'apprendimento statistico da esempi. Accanto all'approccio tradizionale di tipo statistico combinatorio verrà presentato un approccio che utilizza gli strumenti dell'analisi funzionale. Il corso enfatizza le connessioni della teoria con la teoria dei problemi inversi e con la teoria della regolarizzazione per problemi mal posti e prevede un'attività di laboratorio legata all'implementazione di alcuni algoritmi e una parte in cui verranno illustrate applicazioni. PREREQUISITI: 1) elementi di teoria della probabilità; 2) spazi di Hilbert e operatori lineari continui tra spazi di Hilbert; 3) interpolazione lineare; 4) elementi di teoria della regolarizzazione per problemi inversi lineari PROGRAMMA: Si prevedono 24 lezioni di 2 ore l'una divise in 16 lezioni di teoria, 6 lezioni di analisi degli algoritmi e laboratorio e 2 lezioni di applicazioni Argomenti: teoria dell'apprendimento statistico (approccio combinatorio e analitico-funzionale), teoria dei problemi mal posti e della regolarizzazione, analisi e implementazione di algoritmi e metodi per l'apprendimento da esempi, applicazioni (computer vision, bioinformatica, etc.). TESTI CONSIGLIATI: V.N. Vapnik V. N. 1995 The Nature of Statistical Learning Theory (Springer, Berlin) Cucker F and Smale S 2002 On the mathematical foundations of learning Bull. AMS 39 1-49

Geometria 1

OBIETTIVI: Fondamenti di Topologia e cenni sulla geometria differenziale di curve e superfici PREREQUISITI: Geometria Analitica , Algebra Lineare

PROGRAMMA: A Topologia generale. Spazi euclidei, spazi metrici, spazi topologici. Sottospazi, prodotti, quozienti. Proprietà topologiche: compattezza, connessione, Hausdorff, Spazi metrici completi. B. Curve e superficie dello spazio euclideo. Curve regolari, rappresentazioni implicita e parametrica, curvatura e torsione, le formule di Frenet. Superficie regolari, rappresentazioni implicita e parametrica, vettori tangenti, piano tangente, vettore normale, mappe differenziabili. Curvatura di Gauss.

Geometria 2

OBIETTIVI: Il corso fornisce conoscenze di base di geometria proiettiva e topologia algebrica, necessarie, oltre che per la laurea triennale, per i corsi di contenuto algebrico-geometrico e topologico della laurea specialistica. PREREQUISITI: Contenuti dei Corsi di Algebra Lineare, Algebra 1, Algebra 2, Geometria Analitica, Geometria 1. PROGRAMMA: Introduzione alla geometria proiettiva. Spazi proiettivi e proiettività. Il teorema fondamentale delle proiettività. Dualità. Classificazione proiettiva di coniche e quadriche. Polarità. Curve algebriche. Esempi. Gruppo fondamentale e rivestimenti. Testi consigliati M.C. Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati e G. Monti Bragadin, Lezioni di geometria analitica e proiettiva, Collana Nuova Didattica, Bollati Boringhieri, Torino, 2003. M.J. Greenberg e J.R. Harper Algebraic Topology--A First Course, Mathematics Lecture Note Series, W.A. Benjamin, 1981. Si segnala altresì l'importanza di metodi di geometria proiettiva ad aspetti applicativi, quali per esempio la computer vision (si vedano a questo proposito i testi di D. Marsh, Applied Geometry for Computer Graphics and CAD, Springer Undergraduate Mathematics Series, 2005 e di M.K. Agoston, Computer Graphics and Geometric Modelling, Mathematics, Springer, 2005).

Geometria Algebrica 1

PREREQUISITI: I contenuti del corso di IGS 2. Sarebbe utile Algebra Superiore 1. OBIETTIVI: Mostrare casi concreti e significativi, esempi ed idee rilevanti per lo studio moderno della geometria algebrica. PROGRAMMA: ipersuperficie nello spazio proiettivo; morfismi fra varietà quasi-proiettive, fascio strutturale di una varietà quasi-proiettiva. Varietà speciali (Veronese, Segre, Grassmann); mappe fra le varietà, proiezioni, mappe finite; ipersuperficie quadriche e loro proprietà particolari; polarità; sistemi lineari di ipersuperficie e loro mappe razionali associate; serie lineari su curve (Teorema di Riemann-Roch e applicazioni).

Geometria Algebrica 2

OBIETTIVI: Sviluppare il minimo necessario di fatti coomologici e applicarli PREREQUISITI: Geometria: i contenuti dei corsi IGS1, IGS2, e Geometria Superiore 1. Algebra: i contenuti dei corsi di Algebra (di laurea triennale) più quelli del corso di Algebra Superiore 1. PROGRAMMA: 1. Teorema sulla dimensione delle fibre di un morfismo. 2. Applicazioni: rette sulle superficie di grado d nello spazio proiettivo di dimensione 3. 3. Coomologia delle varietà algebriche. Coomologia di Cech (riassunto). 4. Coomologia di Grothendieck, proprietà generali. 5. Caratterizazzione coomologica delle varietà affini. 6. Coomologia di dello spazio proiettivo P^n. Applicazioni. 7. Forme differenziali e classe canonica su una varietà algebrica nonsingolare. 8. Fasci localmente triviali, fibrati vettoriali su una varietà algebrica. 9. Coomologia delle curve, teorema di Riemann-Roch, teorema di dualità. Applicazioni. TESTI CONSIGLIATI: 1. I. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Springer, 1974 2. G. Kempf, Algebraic Varieties, Cambridge, 1993

Geometria analitica

OBIETTIVI: Fornire le conoscenze di base della geometria degli spazi affini. PREREQUISITI: Algebra Lineare e Algebra 1. PROGRAMMA: Spazi affini, proprietà generali, esempi. Sottospazi affini e le loro equazioni. Insiemi di punti affinemente indipendenti. Automorfismi affini e le loro equazioni. Teorema di dimensione per sottospazi affini e applicazioni. Sottospazi affini paralleli. Prodotto scalare, proprietà, esempi. Spazi vettoriali euclidei. Il procedimento di Gram-Schmidt. Automorfismi vettoriali ortogonali. Classificazione. Spazi affini euclidei. Distanza tra due punti. Angolo tra due rette. Geometria degli spazi affini euclidei di dimensione 2 e 3. Isometrie. Classificazione delle isometrie in dimensione 2 e 3. Coniche e quadriche. Proprietà generali. Classificazione. Fasci di coniche. Applicazioni.). Testo consigliato: Geometria Analitica, di L. Badescu, E. Carletti e G. Monti Bragadin che è in rete su http://www.dima.unige.it/~badescu/

Geometria Differenziale

OBIETTIVI: Una introduzione elementare ai concetti e metodi di Geometria Differenziale moderna. PREREQUISITI: corsi di Geometria Analitica, Geometria I e II, Analisi I e II. PROGRAMMA: Varietà topologiche; strutture differenziabili, vettori tangenti, mappe

indotte. Sottovarietà. Campi di tensori, forme differenziali, derivata di Lie. Integrazione: teorema di Stokes. Varietà riemanniane. Teorema di de Rham e applicazioni. TESTI CONSIGLIATI: 1 W. Boothby: An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press (1975). 2. R. Bishop, R. Crittenden: Geometry of Manifolds, Academic Press (1964). 3. F. Warner: Foundation of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Sprinter (1983).

Geometria Superiore 1

OBIETTIVI: Obiettivo del corso è quello di fornire alcune conoscenze di base riguardanti teoria dei fasci e coomologia, utili per affrontare lo studio di argomenti di geometria algebrica. PREREQUISITI: Contenuti del Corso di Istituzioni di Geometria Superiore 2. PROGRAMMA: 1. Teoria dei fasci. Prefasci e fasci. Morfismi di fasci (prefasci). Sottofascio di un fascio (prefascio). Fasci di moduli. Fascio quoziente. Composizione di morfismi. Nucleo e immagine di un morfismo. Sequenze esatte. Incollamento di fasci. Operazioni tra fasci. Il gruppo ed il fascio degli omomorfismi. Immagine diretta e immagine inversa topologica di fasci. Fasci (di moduli) generati da sezioni. Fasci quasi coerenti. Fasci coerenti. Proprietà della coerenza. Fasci di moduli localmente liberi e fasci di moduli invertibili; il gruppo di Picard. 2. Coomologia di Čech a coefficienti in un fascio. Cocatene alternanti di un ricoprimento a coefficienti in un prefascio. Omomorfismo cobordo. Gruppi di coomologia di un ricoprimento a valori in un prefascio. Raffinamento di un ricoprimento. Coomologia di Čech. Morfismo tra prefasci e morfismo indotto in coomologia. Sequenza esatta di $q$-cocatene indotta da una sequenza esatta di prefasci. Sequenza esatta di coomologia per prefasci. 3. Applicazioni al caso di fasci invertibili su varietà algebriche complesse.

Geometria Superiore 2

OBIETTIVI: Obiettivo del corso, naturale prosecuzione di Geometria Superiore 1, è quello di fornire alcune conoscenze di base utili per affrontare lo studio di argomenti di geometria algebrica. PREREQUISITI: I contenuti del Corso di Geometria Superiore 1 PROGRAMMA: Un programma di massima (uno più dettagliato sarà disponibile più avanti) comprende i seguenti argomenti. 1. Coomologia e forme differenziali su una varietà proiettiva. Alcune proprietà degli aperti affini di una varietà proiettiva.

Coomologia di Cech e coomologia di Grothendieck. Coomologia di varietà proiettive. Caratteristica di Eulero-Poincaré. Il genere aritmetico di una varietà proiettiva. Il fascio dei germi di funzioni razionali sulle varietà proiettive. Il fascio dei germi di funzioni meromorfe. Funzioni razionali e funzioni meromorfe su una varietà proiettiva irriducibile. Il fascio delle 1-forme differenziali. Forme differenziali di grado maggiore di 1. Il fascio canonico. Forme differenziali algebriche. Parametri uniformizzanti. Le p-forme differenziali regolari. Il fascio canonico dello spazio proiettivo. Comportamento delle 1-forme differenziali per morfismi. Restrizione a una sottovarietà. Dualità di Serre. Fascio dualizzante. 2. Il gruppo di Picard di una varietà proiettiva. Divisori di Cartier sopra una varietà algebrica. Divisori principali. Equivalenza lineare di divisori. Il gruppo delle classi di divisori. Il fascio invertibile associato a un divisore di Cartier. Classi di divisori e gruppo di Picard. Divisori di Weil. Sistemi lineari di divisori. Immagine inversa di un divisore. Restrizione di un divisore a una sottovarietà, sistema caratteristico di un divisore. ll problema di Riemann e Roch. Il teorema di Riemann-Roch per curve e superficie proiettive non singolari. Applicazioni a problemi di fattorialità ed esempi.

Istituzioni di Analisi Superiore 1

OBIETTIVI: Fornire le basi dell'analisi funzionale e della teoria delle funzioni di una variabile complessa. PREREQUISITI: Corsi di analisi del primo biennio; topologia. PROGRAMMA : Teoria della misura; spazi Lp; spazi normati; spazi di Banach; variabile complessa. TESTI CONSIGLIATI: A. E. Taylor, D. C. Lay: Introduction to Functional Analysis, 2nd edition W. Rudin: Analisi reale e complessa W. Rudin: Analisi funzionale

Istituzioni di Analisi Superiore 2

OBIETTIVI: Approfondire la teoria della misura. Proseguire lo studio – iniziato con IAS 1 – dell’analisi funzionale, ricavando anche ulteriori proprietà di spazi di Banach classici quali gli spazi Lp e gli spazi di funzioni continue. Fornire elementi di teoria degli operatori. PREREQUISITI: Corsi di analisi del primo biennio; topologia; IAS 1. PROGRAMMA : Teoria della misura complessa; riflessività e caratterizzazioni dei duali di alcuni spazi di Banach; funzioni a variazione limitata e funzioni assolutamente continue; topologie deboli; compattezza in spazi di funzioni continue: il teorema di Ascoli-Arzelà; elementi di teoria degli operatori: spettro, operatore aggiunto, operatori

compatti. TESTI CONSIGLIATI: A. E. Taylor, D. C. Lay: Introduction to Functional Analysis, 2nd edition W. Rudin: Analisi reale e complessa W. Rudin: Analisi funzionale

Istituzioni di Fisica Matematica 1

OBIETTIVI: Fornire conoscenze di base per lo studio del moto dei continui rigidi e dei continui deformabili, evidenziando il differente ruolo dei principi fisici e degli strumenti matematici. In particolare si esamina il procedimento di costruzione di alcuni problemi tipici della fisica matematica e della matematica applicata (equazioni alla derivate parziali con dati al contorno e/o iniziali). PREREQUISITI: Contenuti dei corsi obbligatori dei primi due anni della Laurea triennale in Matematica PROGRAMMA Meccanica del corpo rigido: vincolo di rigidità e fondamenti di cinematica dei sistemi rigidi discreti e continui; quantità meccaniche per il corpo rigido e tensore d'inerzia; dinamica del corpo rigido libero e vincolato; esame di moti particolari. Sistemi continui deformabili: deformazioni; moto;conservazione della massa; bilancio di quantità di moto, momento angolare, energia; disequazione entropica; equazione del calore in un mezzo in quiete. Fluidi perfetti: generalità sul modello; equazioni di moto; cenni di idrostatica; flussi rotazionali e irrotazionali. Fluidi viscosi: generalità sulla viscosità; equazioni di moto; esempi di flussi; cenni di termodinamica dei fluidi viscosi. TESTI CONSIGLIATI: Sarà disponibile materiale fornito dal titolare del corso. Su richiesta saranno indicati testi di approfondimento degli argomenti presentati.

Istituzioni di Fisica Matematica 2

OBIETTIVI: creazione e utilizzo di strumenti di Geometria Differenziale in Fisica Matematica. Applicazioni allo studio della Teoria della Relatività. PREREQUISITI: Conoscenza dei fondamenti del calcolo tensoriale, della teoria delle varietà differenziabili, e dei principali operatori differenziali sulle varietà stesse (derivata di Lie, differenziale esterno). Utile, ma non indispensabile, una conoscenza dei fondamenti fisici della Teoria della Relatività Speciale. PROGRAMMA: Varietà Riemanniane. Teoria dell'integrazione su varietà, concetti metrici, teorema di Stokes; Fibrato dei riferimenti su una varietà. Teoria delle connessioni, derivazione covariante. Connessione Riemanniana, tensore di Riemann, identità di Bianchi. Elementi di geometria delle curve,

geodetiche, map esponenziale. Lo spazio-tempo come varietà differenziabile; geometrizzazione della cinematica. Principio di relatività, e struttura riemanniana dello spazio tempo. Geometrizzazione della dinamica. Deviazione geodetica, e significato fisico della curvatura. Formulazione quadridimensionale della Relatività Speciale: spazio-tempo di Minkowski, riferimenti inerziali, geometrizzazione delle trasformazioni di Lorentz. Cinematica relativistica. Dinamica relativistica. Elettrodinamica relativistica nel vuoto. TESTI CONSIGLIATI: Dispense del corso

Istituzioni di Geometria Superiore 1

OBIETTIVI: Dare agli studenti le nozioni principali riguardanti la teoria delle estensioni dei campi, quella della risolubilità per radicali delle equazioni algebriche e della costruibilità di figure geometriche con riga e compasso. PREREQUISITI: I contenuti standard dei corsi di Algebra e di Algebra lineare e di parte del corso di Analisi I. PROGRAMMA: Domini euclidei, principali, noetheriani, fattoriali. Estensioni dei campi. Elementi algebrici e trascendenti, Estensioni algebriche. Campo di decomposizione di un polinomio. Teorema dell’elemento primitivo. Chiusura algebrica di un campo. Estensioni normali. Trascendenza di R su Q. Gruppi di permutazione. Teoremi di Sylov. Gruppi di ordini p, p2, p3, pq. Gruppi risolubili. Gruppo di Galois di una estensione e di una equazione algebrica. Corrispondenza di Galois. Equazioni risolubili per radicali. Costruzioni geometriche con riga e compasso. Problemi classici. Ciclotomia. TESTI CONSIGLIATI: Mimmo Arezzo – Dispense di Istituzioni di Geometria Superiore.

Istituzioni di Geometria Superiore 2

OBIETTIVI: Una introduzione elementare ai concetti e metodi di Geometria Algebrica moderna. PREREQUISITI: Corsi di Geometria Analitica, Geometria 1 e 2, Algebra 1 e 2. PROGRAMMA: Insiemi algebrici nello spazio affine e proiettivo. Proprietà generali. Teorema di Hilbert degli zeri (Hilbert Nullstellensatz). Applicazioni. Curve affini e proiettive. Proprietà generali. Curve piane. Teorema di Bezout per le curve piane proiettive. Teorema di Riemann-Roch per le curve proiettive nonsingolari. Applicazioni. Il concetto di genere. TESTI CONSIGLIATI: 1. I. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Springer 1974 2. M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, London

Mathematical Society Student Texts 12, 1990 3. M.C. Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati, G. Monti Bragadin, Letture su curve, superficie e varieta' proiettive speciali, Bollati Boringheri, 2002 4. L. Badescu, Dispense del Corso di Geometria Superiore 2 (messe a disposizione degli studenti) 5. Le dispense che saranno in rete. LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO: http://www.dima.unige.it/~badescu

Istituzioni di Logica Matematica

OBIETTIVI: Il corso di Istituzioni di Logica Matematica presenta argomenti di carattere monografico che coinvolgono importanti risultati di logica matematica, presentati utilizzando i metodi di teoria delle categorie. PREREQUISITI: Le nozioni di base che si ottengono in un corso teorico di algebra, geometria o analisi: insiemi e funzioni, esempi di strutture algebriche. PROGRAMMA Il corso di quest'anno affronta alcuni problemi fondamentali della matematica del XX secolo: l'indipendenza dell'Assioma di Scelta (AC) e dell'Ipotesi del Continuo (CH) dai postulati della Teoria Elementare degli Insiemi. Nella prima parte, si riassume la teoria elementare degli insiemi in modo assiomatico, presentando un nuovo elenco di postulati, molto semplice, e soprattutto molto più adatto alla pratica matematica di quanto non lo siano altri, come ad esempio quelli della teoria ZF. Nella seconda parte, si affronta il problema di costruire modelli per la teoria, producendo poi due esempi che provano l'indipendenza di AC e CH. TESTI CONSIGLIATI: McLarty, Colin. Elementary categories, elementary toposes. Oxford Logic Guides, 21. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1992 MacLane, Saunders. Categories for the working mathematician. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 5. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1971 Mac Lane, Saunders, Moerdijk, Ieke. Sheaves in geometry and logic. A first introduction to topos theory. Universitext. Springer-Verlag, New York, 1994 LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO: http://www.disi.unige.it/person/RosoliniG/ILM/

Istituzioni di Storia delle Matematiche

OBIETTIVI: Presentare a grandi linee la nascita e lo sviluppo storico delle principali discipline matematiche (Aritmetica, Algebra, Geometria e Analisi) sottolineando in modo particolare la valenza di questo approccio per la Didattica. PREREQUISITI: Nozioni di Matematica elementare, di Geometria Analitica e di Analisi.

PROGRAMMA: Il corso cercherà di tracciare un breve profilo storico della Matematica inserita in un quadro cronologico delle varie epoche, dai primordi della civiltà allo sviluppo della Scienza “moderna”. Saranno delineati i vari passi della Aritmetica, dal calcolo degli Egiziani alla teoria dei numeri. Particolare considerazione verrà dedicata all’Algebra, dalle forme primitive e medioevali dell’arte della “cosa” alla costituzione di una disciplina con simboli e notazioni letterali proprie. Si passerà poi alla Geometria elementare, costruita negli Elementi di Euclide, proseguendo poi con i problemi più avanzati, punto di partenza della Geometria analitica. Sarà infine messo in rilievo come la riflessione sui metodi di quadratura degli antichi abbia condotto, nel secolo XVII, all’invenzione dei nuovi e potenti strumenti che sono culminati nell’Analisi infinitesimale. TESTI CONSIGLIATI: Il testo di riferimento è Storia della Matematica di C.B. Boyer. Verrà inoltre distribuito materiale consistente in Schemi cronologici e Appunti su argomenti specifici.

Laboratorio di Didattica della Matematica

OBIETTIVI: Il corso si propone di: - collegare alle attività osservate/partecipate nelle scuole riflessioni sui contenuti matematici e sulle problematiche didattiche connesse con il loro insegnamento al fine di superare alcuni stereotipi propri della scuola; recuperare un significato di matematica come strumento per modellizzare la realtà/fenomeni reali (che consente “letture” storiche, anticipazioni, generalizzazioni, … della realtà/fenomeno in esame) oltre che come teoria (nei suoi aspetti interni: linguaggio specifico, "regole", assiomi), …; - approfondire alcune questioni inerenti lo sviluppo delle competenze argomentative in campo matematico (anche con attenzione all’avvio al pensiero teorico e alla dimostrazione), con riferimento anche alle attività osservate/partecipate nelle scuole - approfondire i problemi didattici e culturali inerenti l'uso di strumenti di calcolo e di tecnologie informatiche nell'insegnamento della matematica, con riferimento anche alle attività osservate/partecipate nelle scuole. PREREQUISITI: Analisi matematica: funzioni di una variabile, calcolo integrale, equazioni differenziali. Didattica della Matematica. Matematiche Elementari Da un Punto di Vista Superiore (MEDPVS) PROGRAMMA: - analisi di elaborati/situazioni didattiche/strumenti di insegnamento e di valutazione raccolti nelle scuole, con attenzione ai contenuti matematici in gioco ed ai problemi di insegnamento e apprendimento ad essi connessi; - costruzione di itinerari didattici praticabili in classe (con

particolare attenzione allo sviluppo delle competenze argomentative e all'avvio alla dimostrazione), anche in vista di possibili attività in classe; - analisi di software matematico, didattico e non, con attenzione ai contenuti matematici in gioco ed ai problemi di insegnamento e apprendimento ad essi connessi, anche in vista di possibili attività in classe. TESTI CONSIGLIATI: 1) dall'indirizzo http://didmat.dima.unige.it/

* il progetto Speciale per l'Educazione Scientifica e Tecnologica (Progetto SeT) e in particolare http://www5.indire.it:8080/set/set_linguaggi/UL/Q/lingQmat/pres.html http://www5.indire.it:8080/set/set_modelli/UL/I/modIMat/pres.html http://www5.indire.it:8080/set/set_modelli/UL/L/modLmat/pres.html * il progetto MIUR- DIMA: la modellizzazione matematica nell'insegnamento-apprendimento della matematica all'indirizzo e in particolare http://didmat.dima.unige.it/miur/miur_dima/E/parenti/pres.html

2) MAtematica per COnoscere e per Sapere all'indirizzo: http://macosa.dima.unige.it/

Laboratorio di Matematica

Il corso è suddiviso in due parti “in serie”: 1) Matematica Computazionale, 2) Dimostrazioni e Paradossi. OBIETTIVI: Prima parte: Fornire agli studenti una prima "alfabetizzazione informatica" ed avviarli all'utilizzo del software matematico numerico e simbolico (pacchetti come MATLAB o MAPLE), come ausilio utile per la ricerca e la pratica matematica. Il corso sarà basato in modo essenziale sulla risoluzione al calcolatore di problemi matematici di analisi ed algebra provenienti da argomenti trattati nei corsi del primo semestre. Seconda parte: Presentare alle matricole il metodo dimostrativo matematico utilizzando casi semplici, il più possibile interessanti, e cercando di indurre gli studenti a meditare sul livello di chiarezza che una dimostrazione deve raggiungere per risultare tale. PREREQUISITI: nessuno PROGRAMMA: Prima parte - Matematica Computazionale: avvio all'utilizzo del software matematico numerico e simbolico per sviluppare i concetti di base della matematica da un punto di vista algoritmico costruttivo. Seconda parte - Paradossi e Dimostrazioni nella teoria di base per la matematica. Le proposte di Cantor, Frege, Zermelo, Fraenkel, von Neumann, Goedel, Lawvere e Tierney. Applicazioni: l'antinomia di Russell, l'assioma di scelta, l'ipotesi del continuo.

LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO: http://www.dima.unige.it/~ferrarig/LaborMat/labmat.htm

Logica Matematica 1

OBIETTIVI: Fornire una introduzione agli argomenti di base della logica matematica. PREREQUISITI: Conoscenze elementari di teoria degli insiemi. PROGRAMMA: Logica proposizionale. I connettivi fondamentali. Il linguaggio della logica proposizionale. Tautologie. Basi di connettivi. Il sistema formale K per la logica proposizionale: assiomi e regole; derivabilità e dimostrabilità; teorema di deduzione; teoremi di correttezza e di completezza. Logica dei predicati. Il sistema formale F per la logica dei predicati del primo ordine. La semantica della logica dei predicati. Assiomi e regole di F. Correttezza e non contraddittorietà. Il teorema di deduzione. Il teorema di esistenza di un modello e la completezza di F. Teoremi di Löwenheim-Skolem e di compattezza. Aritmetica formalizzata e teorema di Gödel (introduzione). Il sistema formale P per l’aritmetica: linguaggio, assiomi (logici e specifici) e regole. Le definizioni: cenni introduttivi alla teoria della definizione con esempi relativi a P. Il teorema di incompletezza di Gödel: enunciato e traccia della dimostrazione. TESTI CONSIGLIATI: M. Borga, Elementi di logica matematica, EUROMA (La Goliardica), Roma, 1984, ristampa, 1992.

Logica Matematica 2

OBIETTIVI: Approfondire alcuni argomenti di teoria della dimostrazione. PREREQUISITI: Logica matematica 1 PROGRAMMA: a) Completamento sul teorema di Gödel: computabilità e ricorsività; dimostrazione del teorema di incompletezza e analisi di alcune sue conseguenze. b) Dimostrazioni formali e informali a confronto. Introduzione alla teoria della dimostrazione: la deduzione naturale di Gentzen e il teorema di normalizzazione; il calcolo delle sequenze (o dei sequenti) e il teorema di eliminazione del taglio. TESTI CONSIGLIATI: M. Borga, Elementi di logica matematica, EUROMA (La Goliardica), Roma, 1984, ristampa, 1992; M. Borga, Fondamenti di logica: introduzione alla teoria della dimostrazione, Franco Angeli, Milano, 1995.

Matematiche Complementari 1

OBIETTIVI: Il corso si pone come obiettivo quello di fornire l'occasione di riflettere sulla complessità del processo di modellizzazione matematica del reale e sul grado di

"approssimazione" e "provvisorietà" dei metodi utilizzati e dei risultati conseguiti, approfondendo alcuni aspetti tecnici, storico/epistemologici e didattici della modellizzazione matematica, effettuando alcune riflessioni, guidate dalla lettura di testi specifici, sul significato che ha costruire un modello matematico e attuando un’analisi comparativa fra modelli deterministici e probabilistici. Tutto ciò al fine di fornire agli studenti sia elementi di un quadro di riferimento più avanzato, a livello “adulto”, per argomenti che possono essere ragionevolmente svolti a scuola, sia elementi di riflessione sugli aspetti (conoscenze, difficoltà, potenzialità) che possono intervenire nell’approccio alla modellizzazione nella scuola. PREREQUISITI:

- Analisi matematica: funzioni di una variabile, calcolo integrale, equazioni differenziali

- Fisica: Elementi base di meccanica, termodinamica ed elettromagnetismo

- Calcolo delle probabilità: probabilità elementare, variabili aleatorie discrete e continue, legge dei grandi numeri e teorema del limite centrale

- Didattica della Matematica: strumenti e conoscenze dell’epistemologia, della storia della matematica, della psicologia, finalizzati all’analisi dei problemi di insegnamento/apprendimento della matematica nella scuola secondaria

PROGRAMMA : - Breve panoramica di tipo storico/epistemologico sul ruolo dei modelli matematici e sulla distinzione tra modelli deterministici e modelli probabilistici, con attenzione particolare agli aspetti che possono intervenire nell’approccio alla modellizzazione nella scuola; - revisione dei concetti base e delle metodologie di tipo statistico/probabilistico che intervengono nella costruzione di un modello probabilistico, anche in relazione alla presentazione di possibili proposte di mediazione didattica; - costruzione, attraverso esempi, dell’idea di modello probabilistico come schematizzazione semplice di un fenomeno reale complesso, e possibili itinerari didattici relativi; - trattazione di alcuni modelli differenziali elementari di tipo deterministico in vari campi di applicazione (fisico, biologico, demografico, epidemiologico, etc.) e relative riflessioni didattiche; - studio di alcuni processi inferenziali di tipo stocastico (catene di Markov, processi stocastici Markoviani e loro metodi risolutivi, etc.), confronto con i corrispondenti modelli deterministici, verifica dell'adeguatezza dei modelli suddetti a situazioni reali e relative riflessioni di tipo didattico.

TESTI CONSIGLIATI: - Belcastro A., Guala E., Eserciziario di probabilità e statistica, Dip. di Matematica,Ge - Costantini D., Monari P., Probabilità e giochi d’azzardo, Franco Muzzio Editore - Glaymann M., Varga T., La probabilità nella scuola dell’obbligo, Armando Editore - Guala E., Dispense di probabilità e statistica Dipartimento di Matematica, Ge - Guala E., Modelli deterministici e modelli probabilistici, Dip. di Matematica, Ge - Hacking I., L’emergenza della probabilità, Il Saggiatore - Israel G., La visione matematica della realtá, Laterza - Mood A.M., Graybill F.A., Boes D.C., Introduzione alla statistica, McGrawHill - Pintacuda N., Insegnare la probabilità, Franco Muzzio Editore - Vajani L., Saggi sui processi stocastici, Giuffré Editore - Volterra V., D’Ancona U., Les associations biologiques étudiées au point de vue mathématique, Hermann, Paris

Matematiche Elementari da un Punto di Vista Superiore

PREREQUISITI: Conoscenze di base di Analisi Matematica, Geometria, Algebra, Probabilità, Informatica, Logica Matematica e Didattica della Matematica, affrontate nella laurea triennale e nel primo anno di laurea specialistica. OBIETTIVI: Mettere a fuoco alcune problematiche fondazionali relative alle principali aree matematiche affrontate nell'insegnamento secondario superiore e il loro collegamento con le scelte culturali e pedagogiche che un insegnante deve affrontare nell'impostazione e nello sviluppo della propria attività didattica. PROGRAMMA Nell'ambito del corso verranno analizzati e discussi, con riferimenti a questioni epistemologiche e storiche, i rapporti tra alcuni settori della matematica (le strutture numeriche ed algebriche, la matematizzazione dello spazio, gli algoritmi, l'analisi matematica, il calcolo delle probabilità) e il problema di come impostarne l'insegnamento "ai nostri giorni": confronto tra diversi modi di introdurre e formalizzare i concetti, individuazione di percorsi didattici "unificanti" o "sinergici", ruolo del computer, rapporti tra aspetti "sperimentali", "costruttivi" e "deduttivi", rapporti con altre discipline fortemente matematizzate, MATERIALI DIDATTICI Nell'ambito del corso verranno messi in rete appunti, indicazioni bibliografiche, documentazioni o proposte di attività didattiche, collegamenti a siti, …, anche in relazione ad alcuni approfondimenti specifici che verranno sviluppati tenendo conto degli interessi culturali e didattici (e del curricolo) di chi frequenterà il corso.

Matematica Finanziaria

OBIETTIVI: Modelli matematici per la valutazione dei più comuni casi di flussi finanziari PREREQUISITI: Funzioni elementari e condizioni di minimo in R. Operazioni con matrici PROGRAMMA: Tassi interesse, rendite ammortamenti. Obbligazioni e ZC. Valutazione di flussi finanziari, VAN, IRR. Indici temporali e di variabilità, tassi impliciti, Cenno a futures e opzioni. Cenno a teoria dell'utilità e selezione di portafoglio TESTI CONSIGLIATI: MORICONI Matematica Finanziaria . LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO: http://www.dima.unige.it/~sideri/did/mafi/info.html

Meccanica e Termodinamica

OBIETTIVI: Comprensione delle leggi fondamentali della meccanica e della termodinamica. Capacità di risolvere problemi relativi agli argomenti del corso. PREREQUISITI: Nozioni trattate nei programmi di scuola secondaria superiore. PROGRAMMA: Nel corso vengono introdotti i principi della meccanica e termodinamica con particolare attenzione alle loro motivazioni sperimentali. Sono sviluppate applicazioni riguardanti principalmente il moto di punti materiali e le trasformazioni termodinamiche di fluidi omogenei, mettendo in rilievo l’esistenza e l’uso delle leggi di conservazione. TESTI CONSIGLIATI: Halliday, Resnick, Krane, Fisica 1, Casa Editrice Ambrosiana.

Metodi di Ottimizzazione

OBIETTIVI: Conoscenza teorica dei metodi di minimizzazione vincolata e capacità di programmazione e uso. PREREQUISITI: Condizioni di ottimo in Rn , Algoritmi numerici fondamentali per l'Algebra Lineare PROGRAMMA: Ricapitolazione algoritmi di minimizzazione in Rn. Condizioni di ottimo vincolato. Cenni a Interior point method per Programmazione Lineare. Idee base e algoritmi per minimizzazione vincolata in Rn . TESTI CONSIGLIATI: (riferimento) Nocedal J, Wright S J Numerical Optimization LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO: http://www.dima.unige.it/~sideri/did/mot/info.html

Metodi Geometrici in Fisica Matematica

OBIETTIVI: Scopo del corso è offrire una prima introduzione alla dinamica non lineare. Saranno discussi numerosi esempi e applicazioni. Il docente intende definire i dettagli del programma di comune accordo con gli studenti.

PREREQUISITI: Il corso di Geometria Differenziale. PROGRAMMA: Cicli limite; teorema di Poincaré-Bendixson. Biforcazione; esempi (reazioni chimiche oscillanti). Applicazione di Poincaré. Stabilità strutturale. Attrattori e caos. TESTI CONSIGLIATI: S.H. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos, Addison Wesley, 1994 G. Hirsch, S. Smale, Differential equations, dynamical systems and linear algebra, Academic Press, 1974 LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO: www.dima.unige.it/~bartocci/fmnew/progFM3.hmtl

Metodi Numerici per l’Algebra Lineare

OBIETTIVI: Approfondimento delle conoscenze di algebra lineare numerica, con particolare riferimento al trattamento numerico delle matrici di grandi dimensioni. Comprensione dei metodi più efficienti, sia diretti che iterativi, e loro utilizzo in Matlab. PREREQUISITI: Elementi di base di algebra lineare. Calcolo differenziale in più variabili. Generalità sui metodi iterativi stazionari per sistemi lineari. Teoremi di localizzazione per autovalori. PROGRAMMA: Trattamento di matrici di grandi dimensioni: motivazione dedotta dalla discretizzazione di PDE; matrici sparse, matrici strutturate. Analisi di matrici sparse mediante grafi e tecniche di permutazione. La Trasformata Veloce di Fourier (FFT) e le sue applicazioni all’algebra matriciale. Altre tecniche veloci d’inversione: formula di Sherman-Morrison, complementi di Schur. Teoria della convergenza per metodi iterativi stazionari (Jacobi, Gauss-Seidel, rilassamento, e loro varianti a blocchi) per sistemi lineari. Metodi non stazionari (gradiente coniugato e sue estensioni) e tecniche di precondizionamento (cenno a fattorizzazioni incomplete e inverse approssimate). Applicazioni alla risoluzione di sistemi di equazioni non lineari e alla minimizzazione di funzioni. Calcolo di autovalori per matrici sparse: metodo di Lanczos, subspace iteration. Esercitazioni di laboratorio in linguaggio Matlab. TESTI CONSIGLIATI: D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici per l’Algebra Lineare. Zanichelli, Bologna, 1988. Altri testi di approfondimento verranno segnalati durante il corso.

Metodi Numerici per PDE

OBIETTIVI: Comprensione delle principali problematiche teoriche e pratiche che si devono affrontare nella soluzione numerica di PDE che originano da applicazioni reali. Capacità di implementare direttamente algoritmi di soluzione alle differenze finite in casi relativamente semplici. Capacità di utilizzare un package a elementi finiti per implementare la soluzione di casi più complessi. PREREQUISITI: Fondamenti di analisi funzionale (in particolare,

spazi di Hilbert, operatori, funzionali, teorema di rappresentazione di Riesz, spazio L2(Ω); utili, ma non indispensabili, distribuzioni e spazi di Sobolev). Il contenuto del corso: “Metodi Analitici e Numerici per Equazioni Differenziali” (utile, ma non indispensabile, quello di “Metodi Numerici per l’Algebra Lineare”). PROGRAMMA Complementi sulle approssimazioni alle differenze finite di PDE (sotto forma di esercitazioni di laboratorio). Risultati propedeutici di analisi funzionale sotto ipotesi sufficientemente deboli per trattare applicazioni reali (distribuzioni, spazi di Sobolev, tracce ed estensioni). Formulazione variazionale di problemi al contorno per PDE ellittiche con coefficienti e dati discontinui e domini irregolari (bordo Lipschitz-continuo). Lemma di Lax-Milgram. Buona posizione del problema differenziale. Approssimazione di Galerkin agli elementi finiti. Lemma di Céa. Convergenza dell’approssimazione. Formulazione variazionale e approssimazione agli elementi finiti di problemi ai valori iniziali e al contorno per PDE paraboliche ed iperboliche. Approfondimenti sull’approssimazione di problemi ellittici: controllo adattivo dell’errore, formulazioni miste, problemi non lineari e problemi agli autovalori. Esercitazioni di laboratorio sulle approssimazioni agli elementi finiti utilizzando il PDE Toolbox di MATLAB. TESTI CONSIGLIATI: All’inizio del corso verranno consegnate agli studenti le fotocopie dei lucidi delle lezioni. Testi di approfondimento di argomenti specifici verranno eventualmente segnalati durante il corso.

Modelli dei Sistemi Continui e Applicazioni

OBIETTIVI: Fornire una conoscenza di base dei principi, dei modelli e delle tecniche utilizzate nelle applicazioni della matematica allo studio del comportamento di sistemi materiali continui, solidi e fluidi. Nella seconda parte del corso si applicano le conoscenze acquisite alla modellizzazione dei problemi di scattering diretto. PREREQUISITI: Contenuti dei corsi obbligatori della Laurea triennale in Matematica PROGRAMMA Fondamenti di elasticità lineare: cenni storici; richiami sulla deformazioni; equazioni costitutive, equazioni di bilancio. Modelli vari: vibrazioni trasversali o longitudinali di una corda, flusso della pittura lungo una parete verticale; tensione superficiale; modelli per la diffusione. Onde sonore nei fluidi perfetti: equazioni acustiche; teorema di unicità; propagazione 1-dimensionale. Propagazione nello spazio e soluzione di Poisson; problemi spaziali ai dati iniziali e al contorno; dipendenza armonica dal tempo. Equazione di Helmholtz e problemi di scattering diretto:

introduzione; rappresentazione integrale del campo di scattering;armoniche sferiche; funzioni di Bessel sferiche; proprietà del campo all'infinito. TESTI CONSIGLIATI: Sarà disponibile materiale fornito dal titolare del corso. Su richiesta saranno indicati testi di approfondimento degli argomenti presentati.

Ottimizzazione OBIETTIVI: fare una panoramica su alcuni aspetti del calcolo delle variazioni, con possibile interesse sia per studi teorici sull'argomento che per applicazioni PREREQUISITI: Analisi matematica 1-4, Algebra lineare, Geometria 1, Istituzioni di Analisi superiore 1 PROGRAMMA: Problemi di minimo in spazi astratti. Il problema più semplice del calcolo delle variazioni, l'equazione di Eulero, estremali, la condizione necessaria di Jacobi. Problemi di controllo ottimo, formulazioni equivalenti; esempi: problemi lineari quadratici e problema del minimo tempo; il principio di massimo di Pontrjagin; un teorema di esistenza di controllo e stato ottimo. TESTI CONSIGLIATI: W.H. Fleming, R.W. Rishel - Deterministic and Stochastic Optimal Control - Springer 1975

Probabilità e Processi Stocastici

OBIETTIVI: Gli scopi del corso sono: mostrare la trattazione matematica delle leggi fondamentali del caso ovvero legge dei grandi numeri e teorema limite centrale, fornire un’introduzione alla teoria dei processi stocastici (a tempo continuo) iniziando dai processi di salto e processi di Markov a stati discreti arrivando eventualmente al moto browniano. PREREQUISITI: I soli prerequisiti sono: un primo modulo di probabilità, la teoria della misura. Il primo modulo di probabilità è necessario per la comprensione delle motivazioni fondamentali per lo sviluppo di una teoria matematica delle leggi del caso. La teoria della misura costituisce il linguaggio di base di buona parte della trattazione matematica del calcolo delle probabilità. La conoscenza degli elementi di base della teoria della misura trattati abitualmente in un corso istituzionale di Analisi Matematica è pertanto indispensabile. PROGRAMMA: Richiami di teoria della probabilità. Richiami e complementi di teoria della misura. Misura prodotto di infinite misure di probabilità. Variabili aleatorie indipendenti. Convergenza di successioni di variabili aleatorie. Legge forte (o di Kolmogorov) dei grandi numeri. Teorema limite centrale (condizioni di Liapounov e Lindeberg). Processi stocastici, definizioni fondamentali ed esempi a tempo

discreto. Processi di salto a tempo continuo: processi di rinnovo, processo di Poisson, processi di nascita e morte. Applicazioni. Moto browniano (omettendo le dimostrazioni relative alla costruzione) e principali proprietà. Speranza condizionale. Martingale e prime proprietà. Processi e semigruppi markoviani. TESTI CONSIGLIATI: [1.] F. Fagnola, Processi stocastici. http://web.mate.polimi.it/viste/studenti/main.php [2.] S. Karlin, H.M. Taylor, A first course in stochastic processes. Second edition. Academic Press, New York-London, 1975. [3.] G. Letta, Probabilità elementare. Zanichelli, 1993.

Processi Stocastici

OBIETTIVI: Lo scopo del corso è introdurre un modello stocastico per affrontare e risolvere problematiche collegate allo studio dei processi. PREREQUISITI: Argomenti svolti in Algebra, Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica e Calcolo delle Probabilità 2. PROGRAMMA: Catene di Markov a tempo discreto. Applicazioni: Passeggiate aleatorie, code di attesa. Classificazione di stati. Criteri per la transienza e la ricorrenza. Probabilità di assorbimento nelle classi ricorrenti. Leggi invarianti. Teoremi limite. Convergenza verso leggi invarianti. Algoritmo di Metropolis. Cenni sulle catene di Markov a tempo continuo (processo di Poisson). TESTI CONSIGLIATI: P. Baldi, Calcolo delle probabilità e Statistica . W. Feller, An introduction to Probabilità Theory and its Applications S. Karlin, H. Taylor, A First Course in Stocastic Process. LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO: http://www.dima.unige.it/~sasso/PrSt.html

Programmazione

OBIETTIVI: Introduzione alla programmazione imperativa "in piccolo" PREREQUISITI: nessuno PROGRAMMA: Programmazione di base in un linguaggio imperativo (con riferimento al linguaggio C). Dichiarazioni ed istruzioni base. Tipi strutturati: array e record. Gestione di input/output da file. Funzioni e procedure non ricorsive. Struttura dei programmi e scopo delle dichiarazioni. Programmazione strutturata e modulare. Esempi notevoli di algoritmi. Laboratorio: Pratica di programmazione in C (più precisamente: il sottoinsieme del C++ corrispondente al C). TESTI CONSIGLIATI: 1. Dispense (coprono il contenuto del corso, ma non costituiscono un riferimento completo per il C/C++ per il quale è necessario usare uno dei tanti manuali esistenti ).

2 Ceri, Mandrioli, Sbattella: Informatica arte e mestiere, McGraw-Hill (include anche vari capitoli di informatica generale) 3 Ceri, Mandrioli, Sbattella: Informatica - programmazione, McGraw-Hill (sostanzialmente, il libro precedente, ristretto alla parte di programmazione) 4 Oualline: Practical C++ programming 2nd edition, O'Reilly (in inglese, un buon testo per la programmazione in C++) LINK PAGINA WEB DEL CORSO : http://www.disi.unige.it/person/CostaG/smid_04/

Ricerca Operativa

OBIETTIVI: Modelli, idee e algoritmi classici (fondamentali) della Ricerca Operativa PREREQUISITI: Matrici e loro proprietà . Soluzione numerica di un sistema lineare PROGRAMMA: Formulazione di Modelli, Modelli Lineari. Esempi di modelli lineari Algoritmo del Simplesso e sue varianti. Dualità e complementarità. Soluzione di problemi lineari interi. Problemi su grafi. Cammino minimo, Flussi, Matching, Matching pesato Complessità computazionale Problemi NP . Algoritmi euristici. TESTI CONSIGLIATI: Saranno rese disponibili dispense LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO: http://www.dima.unige.it/~sideri/did/romat/info.html

Sistemi Dinamici e Meccanica Analitica

OBIETTIVI: L’evoluzione di un sistema fisico – sia esso meccanico oppure di natura più generale (ad esempio biologico) – può essere descritta, in numerosi esempi di interesse, da un campo vettoriale definito su uno spazio astratto, detto spazio delle fasi. Adottando questa prospettiva unificante, il corso si propone un duplice scopo: da una parte, fornire una prima introduzione ai concetti e ai metodi della teoria dei sistemi dinamici; dall’altra, esporre i fondamenti della meccanica lagrangiana e hamiltoniana. PREREQUISITI: I corsi di analisi, algebra, geometria e fisica del primo anno e del primo semestre del secondo anno della Laurea in Matematica. PROGRAMMA: Sistemi dinamici e stabilità: richiami sui sistemi di equazioni diffferenziali del prim'ordine, campi vettoriali e loro curve integrali, punti di equilibrio e loro classificazione, teorema di Liapunov, equazione di Lotka-Volterra. Meccanica lagrangiana e hamiltoniana: equazioni cardinali, sistemi olonomi, equazioni di Lagrange, geodetiche su superficie, problemi dei due corpi, equazioni di Hamilton, piccole oscillazioni. TESTI CONSIGLIATI: A. Fasano, S. Marmi, Meccanica analitica, Bollati Boringhieri, Torino 2002 S.H. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos, Addison Wesley,

1994 LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO: www.dima.unige.it/~bartocci/newmecc/progsd.html

Statistica Descrittiva 2

OBIETTIVI: Fornire i principali metodi di analisi multivariata dei dati da un punto di vista descrittivo PREREQUISITI: Algebra lineare PROGRAMMA: Cluster analysis. Aggregazione gerarchica secondo la distanza. Ultrametrica. Aggregazione secondo la varianza (Ward). Aggregazione non gerarchica. Aggregazione delle variabili. Analisi in componenti principali. Rappresentazione grafica di dati quantitativi multivariati e costruzione degli assi principali Fedeltà della rappresentazione in uno spazio di dimensione minore. Correlazione fra le variabili e le componenti principali. Grafici delle osservazioni e delle variabili. Analisi delle corrispondenze Analisi per tabelle a due vie (profili, distanza chi-quadro, indici per l'interpretazione delle proiezioni in spazi di dimensione minore, relazioni semi-baricentriche fra profili riga e colonna). Analisi delle corrispondenze multiple. Aspetti geometrici della regressione multipla e multivariata. Metodo dei minimi quadrati. Interpretazione geometrica dell’indice R-sq. Esercitazioni al calcolatore con il software Minitab TESTI CONSIGLIATI: Rapallo, Rogantin (2004). Statistica multivariata. CLUT Torino

Statistica Inferenziale

OBIETTIVI: Il corso si pone come obiettivo quello di fornire i principali concetti e metodologie tipici dell’inferenza statistica, che permettono di passare da informazioni relative ad un campione a considerazioni su tutta la popolazione e di valutare in termini probabilistici gli errori che si commettono nell’effettuare tale passaggio. PREREQUISITI:

- Analisi matematica: funzioni di una variabile, calcolo integrale

- Algebra: elementi di algebra vettoriale e matriciale - Calcolo delle probabilità: probabilità elementare, variabili

aleatorie discrete e continue, legge dei grandi numeri e teorema del limite centrale

PROGRAMMA : Campionamento e stima. Popolazioni, campioni e stimatori. Proprietà degli stimatori. Alcuni stimatori e loro distribuzioni. Intervalli di confidenza. Verifica di ipotesi. Come si effettua un test statistico (ipotesi, errori di prima e seconda specie, statistiche test, regione critica).. Test per parametri di v.a. con legge normale, esponenziale, ... Test per grandi campioni. Test comparativi. Cenno ai test non parametrici.

Statistiche e test per il modello lineare multiplo. Teorema di Cochran, intervalli di confidenza per i parametri, i valori stimati e i residui, residui “studentizzati”, test di ipotesi sui singoli coefficienti e su un sottoinsieme di coefficienti. Previsione. Statistiche e test per l'analisi della varianza. A una via, a due vie senza interazione e con interazione. TESTI CONSIGLIATI: - Rogantin M.P. (2004), Introduzione alla statistica, C.L.U.T., Torino - Ross S.M. (2003), Probabilità e statistica per l’ingegneria e le scienze, Apogeo, Milano

Statistica e Verosimiglianza

OBIETTIVI: Saper utilizzare i principali metodi di stima e verifica di ipotesi statistiche nell’ambito della statistica matematica e saper inquadrare i problemi di stima parametrica in un contesto rigoroso dal punto di vista matematico-probabilistico. PREREQUISITI: Analisi 1, 2, 3. Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica, Calcolo delle Probabilità 2. PROGRAMMA: Richiami di Calcolo delle Probabilità: le principali variabili aleatorie discrete e continue. Densità condizionata: caso discreto e caso continuo. Il concetto di speranza condizionata. Esempi di calcolo. La verosimiglianza di un campione. Statistiche Sufficienti, minimali e complete; il teorema di Neyman-Fisher. Stimatori e loro proprietà; teorema di Rao-Blackwell. Stima di massima verosimiglianza e sue proprietà. Il modello esponenziale. Informazione di Fisher e teorema di Cramer-Rao. Il modello di regressione lineare. Cenni ad altri metodi di stima: metodo dei momenti, metodo dei minimi quadrati. Verifica di ipotesi. Il teorema di Neyman-Pearson per ipotesi semplici. Il test del rapporto di verosimiglianza. TESTI CONSIGLIATI: Appunti distribuiti a lezione.

Teoria dei Codici OBIETTIVI: Introduzione alla teoria dei codici autocorrettori PREREQUISITI: nozioni elementari di algebra lineare e della teoria dei corpi finiti PROGRAMMA: Si introduce la nozione di codice lineare e se ne studiano i caratteri numerici fondamentali quali la lunghezza, la dimensione e la distanza. Maggiore enfasi sarà data allo studio dei codici di Hamming e dei codici ciclici TESTI CONSIGLIATI: R. HILL, A FIRST COURSE IN CODING THEORY.

Teoria delle Decisioni

OBIETTIVI: Introdurre le principali tematiche e i modelli più classici della teoria delle decisioni. Mettere in condizione di poter modellizzare un problema di

decisione riconoscendone le principali caratteristiche e sapendone individuare soluzioni appropriate. PREREQUISITI: I corsi di matematica di base previsti per una laurea triennale della classe di matematica.. PROGRAMMA: Decisioni in condizione di certezza: preferenze e loro rappresentazione con funzioni di utilità. Decisioni in condizione di rischio e utilità di von Neumann-Morgenstern. Decisioni in condizione di incertezza: il modello “state-preferences” di Savage; probabilità soggettiva. Decisioni in condizioni di completa incertezza (Wald, Laplace, min regret ed altri approcci). Decisioni efficienti: revisione del concetto di massimizzazione; scalarizzazione e dualità. Scelte collettive: il teorema di Arrow; la problematica della implementazione. Situazioni di decisione interattiva e loro modellizzazione; rappresentazioni formali e soluzioni; equilibrio e dominanza; strategie miste. TESTI CONSIGLIATI: Sono disponibili appunti che coprono le varie parti del corso. È indicata, sulla pagina web del corso, una bibliografia per approfondimenti.

Teoria dei Giochi 1

OBIETTIVI: La Teoria dei Giochi studia situazioni in cui due o più individui razionali prendono decisioni per ottimizzare i propri obiettivi, pertanto uno degli scopi di questo corso e’ fornire i concetti di base della teoria e insegnare agli studenti ad analizzare un problema decisionale e studiarne le soluzioni. Inoltre avendo questa teoria applicazioni in campo economico, politico, militare, biologico, industriale e medico questo costituisce uno stimolo per svolgere un lavoro multidisciplinare. PREREQUISITI: sono considerati prerequisiti i corsi di base del corso di studi in matematica e in particolare l’Analisi Matematica e la Topologia. Sarebbe utile che lo studente avesse già seguito un corso di Istituzioni di Analisi per la miglior comprensione di alcuni concetti. PROGRAMMA: 1)Introduzione alla Teoria delle Decisioni 2)Giochi non-cooperativi: gioco in forma strategica e in forma estesa. Equilibrio di Nash e teorema di esistenza. 3) Applicazioni all’economia: oligopolio di Cournot e di Bertrand 4) Giochi con potenziale esatto e ordinale 5) Dilemma del pescatore e "Tragedy of commons"

6) Strategie evolutivamente stabili (ESS) 7)* Giochi cooperativi: TU-games, Core stable sets, Shapley value Linear production games, sequencing games, flow games *Il punto 7) sarà svolto dal prof. Tijs in lingua inglese. TESTI CONSIGLIATI: S.Tijs “ Introduction to Game Theory” Hindustan Book Agency 2003 K. Binmore “Fun and games: a text on Game theory”, Lexington (Mass), D.C.Health 1993 G.Costa-P.Mori “ Introduzione alla Teoria dei Giochi” ed.Il Mulino 1994

Teoria dei Giochi 2

OBIETTIVI Comprensione del comportamento strategico di decisori razionali mediante l’illustrazione dei concetti di gioco in forma strategica, estesa e caratteristica, e quindi dei vari concetti di soluzione e di equilibrio per giochi cooperativi, di contrattazione e non cooperativi. Fornire elementi specifici di analisi per i giochi considerati offrendo una trattazione appropriata delle varie forme di informazione, conoscenza e apprendimento PREREQUISITI: sono considerati prerequisiti i corsi di base del corso di studi in matematica . PROGRAMMA 1) Cooperative games: Bargaining games. 2) NTU games, convex games 3)OR and Game Theory: LP,LCP,ORG's 4)** Stackelberg and Hotelling games, repeated games, multicriteria potential games and congestion games 5) Bayesian games 6) Auctions 7) Common Knowledge and games ** Le lezioni sono in lingua inglese escluso il punto 4) che sarà svolto dalla prof. Pusillo. TESTI CONSIGLIATI: S.Tijs “ Introduction to Game Theory” Hindustan Book Agency 2003 K. Binmore “Fun and games: a text on Game theory”, Lexington (Mass), D.C.Health 1993 G.Costa-P.Mori “Introduzione alla Teoria dei Giochi” ed. Il Mulino 1994

Teoria dei Numeri

OBIETTIVI: L’obiettivo è introdurre alcuni dei concetti fondamentali della teoria dei numeri ed illustrare le tecniche analitiche di base

per lo studio della distribuzione dei numeri primi. PREREQUISITI: Argomenti standard dei primi due anni del corso di Matematica; nozioni di base dell’analisi complessa. PROGRAMMA: L’anello delle funzioni aritmetiche: anello di Dirichlet; funzioni aritmetiche classiche; identità di Eulero; derivazione. Comportamento asintotico delle funzioni aritmetiche: il problema dei divisori e il metodo dell’iperbole; il problema del cerchio e il metodo dell’area; altri risultati classici. Metodi elementari per la distribuzione dei numeri primi: il metodo di Eulero; il crivello di Eratostene-Legendre; i teoremi di Chebyshev; altri risultati classici; cenni sulla dimostrazione elementare del teorema dei numeri primi. La funzione zeta di Riemann e il teorema dei numeri primi: alcuni strumenti di analisi complessa (serie di Dirichlet, funzione gamma di Eulero, trasformata di Mellin, formula di Poisson); la funzione zeta di Riemann, proprietà generali, distribuzione degli zeri e formule esplicite; il teorema dei numeri primi con resto. Le funzioni L di Dirichlet: caratteri di Dirichlet; proprietà generali delle funzioni L di Dirichlet; zeri reali e teorema di Siegel; il teorema di Siegel-Walfisz. TESTI CONSIGLIATI: Vengono fornite le note del corso; altri testi sono: H.Davenport – Multiplicative Number Theory – Springer Verlag 1980 K.Chandrasekharan – Introduction to Analytic Number Theory – Springer Verlag 1971 G.Tenenbaum – Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory – Cambridge U. P. 1990

Topologia Algebrica 1

OBIETTIVI: La Topologia Algebrica studia problemi topologici riconducendoli a problemi algebrici. Gli strumenti fondamentali sono le teorie d'omologia, che associano ad uno spazio una successione di gruppi abeliani, e la teoria d'omotopia, che associa ad uno spazio puntato la successione dei gruppi d'omotopia (a partire dal gruppo fondamentale). Questi gruppi evidenziano la presenza di "singolarità" nello spazio in questione, e permettono di dimostrare vari risultati importanti, tra cui il teorema di invarianza della dimensione topologica. I metodi utilizzati per la costruzione e lo studio delle teorie d'omologia formano l'Algebra Omologica e la teoria delle categorie abeliane. PREREQUISITI: Geometria 1 e 2, Algebra 1 e 2. PROGRAMMA:

Omologia singolare. Cubi, facce e degenerazioni. Il complesso delle catene cubiche di uno spazio. Omologia singolare (cubica), primi calcoli. Il teorema di invarianza omotopica. Calcolo dell'omologia singolare. Sequenze esatte. Il teorema di suddivisione. La sequenza esatta di Mayer-Vietoris. Calcolo dell'omologia delle sfere e di varie superfici. Applicazioni. Omologia singolare relativa e teorie d'omologia. Omologia singolare relativa. Gli assiomi di Eilenberg-Steenrod. Prodotti tensori. Moduli, gruppi abeliani e spazi vettoriali. Il funtore Hom. Prodotti tensori di moduli: definizione, proprietà fondamentali, calcoli. Cenni ai funtori derivati. Omologia singolare relativa a coefficienti in un gruppo. Definizione, proprietà, calcoli. Coomologia singolare relativa a coefficienti in un gruppo. Cocatene e coomologia. Gli assiomi di Eilenberg-Steenrod e la sequenza esatta di Mayer-Vietoris. Calcoli e applicazioni. TESTI CONSIGLIATI: J. Vick, Homology Theory, Academic Press 1973. S. Mac Lane, Homology, Springer 1963. W. Massey, Singular Homology Theory, Springer 1980. E. Spanier, Algebraic topology, McGraw-Hill 1966. A. Hatcher, Algebraic Topology, 2002. www.math.cornell.edu/~hatcher/ Note schematiche: http://www.dima.unige.it/~grandis/LNc_grandis.html LINK ALLA PAGINA WEB DEL CORSO http://www.dima.unige.it/~grandis/TA1.05.html

Trattamento Numerico di Equazioni Differenziali

OBIETTIVI: Analisi comparativa dei metodi numerici maggiormente usati per la risoluzione di problemi di Cauchy. Comprensione delle principali problematiche che si devono affrontare nella soluzione di PDE con metodi alle differenze finite; capacità di implementare i corrispondenti algoritmi di soluzione in casi relativamente semplici. PREREQUISITI: Formula di Taylor (in una e due variabili), integrazione in più variabili; teorema della divergenza. Concetto di norma. Soluzione di sistemi algebrici lineari. Metodo di Eulero per l'approssimazione di problemi di Cauchy. Classificazione delle equazioni differenziali lineari alle derivate parziali di secondo ordine ed esempi notevoli. Concetto di curva caratteristica; metodo di separazione delle variabili. Teoremi di unicità e principio di massimo per problemi al contorno relativi alle equazioni di Poisson e del calore; dipendenza continua dai dati. PROGRAMMA Equazioni alle differenze: il caso lineare a coefficienti costanti. Metodi di Runge-Kutta e Multistep per problemi di Cauchy ai valori

iniziali: consistenza, convergenza, stabilità, controllo automatico del passo. Approssimazioni alle differenze finite di problemi ai valori iniziali e/o al contorno per PDE ellittiche, paraboliche ed iperboliche. Metodi espliciti ed impliciti. Consistenza, stabilità, convergenza. Esercitazioni di laboratorio in Matlab sui metodi studiati. TESTI CONSIGLIATI: J. D. Lambert, Computational Methods in Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons, London, 1973. J. C. Strikwerda, Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. Second Edition, SIAM Publications, 2004. All'inizio dell'ultima parte del corso verranno consegnate agli studenti le fotocopie dei lucidi delle lezioni. Testi di approfondimento di argomenti specifici verranno eventualmente segnalati durante il corso.