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Corso di Fondazioni

Corso di Fondazioni

Metodi razionali per il calcolo del cedimento del palo singolo:

� Metodi analitici approssimati (es. Randolph & Wroth, 1978)

� Metodo delle curve di trasferimento (es. Coyle & Reese, 1966)

� Metodo agli elementi di contorno (es. Poulos & Davis, 1968)

� Metodo agli elementi finiti (es……….)

Difficoltà comune a tutti i metodi: calibrazione dei parametri dei modelli

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Dalle equazioni sopra scritte persostituzione ed integrazione si ottienefacilmente un espressione del cedimento:

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G

rwS

0 τζ=

ζ = ln(rm/r0) è compreso generalmente tra 3 e 5

ζπ GL

w

S

S

2=

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Nel caso di palo rigido w = wb= ws

Per equilibrio Q = P+S

e quindi ……….

Nel caso di palo deformabile o compressibile w ≠ wb≠ ws

Per equilibrio vale solo Q = P+S

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( )( )

( )0

0

2

1

41

41

12

r

L

L

Ltghr

L

L

Ltgh

r

LI

ow

µµ

ζπρ

ξη

ν

µµ

ξη

νν

+−

−+

+=wIEL

Qw =

0r

rb=ηb

L

G

G=ξ

LG

G=ρ

Per pali che attraversano uno strato con modulo GL ed hanno la punta su un semispazio con modulo GB

per pali che attraversano terreni con rigidezze variabili L

p

E

E=λ

per pali di rigidezza assiale finita rispetto ai terreni circostanti

( )[ ]

−−+=0

25.015.225.0lnr

Lξνρζ

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da Piles and Pile Foundations Russo et al. (2012)

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2

4 112

QQ

Ed

lw i

pi

+=∆ −

π

8

34 112

QQ

Ed

lw i

p

Ui

+=∆ −

π

8

34 112

QQ

Ed

lw i

p

Li

+=∆ −

π

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∑ ∆+∆−==

i

j

Liji wwww

1

∑−

=

∆+∆−=1

1

i

j

Uiji wwww

( )

∑

+−+−=

=

−−

i

j

jjjj

pi

QQQQ

Ed

lww

1

112 4

32

π

Sostituendo le espressioni precedenti in entrambi i casi si ottiene:

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( )∑ +−==

−n

jjj

pb QQ

Ed

lww

112

2

π

Alla punta del palo si ottiene la seguente relazione:

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Per equilibrio alla traslazione verticale possiamo scrivere:

∑−==

i

jji dlQQ

1τπ

( )

∑

+−+−=

=

−−

i

j

jjjj

pi

QQQQ

Ed

lww

1

112 4

32

π

( )∑ +−==

−n

jjj

pb QQ

Ed

lww

112

2

π

Utilizzando la condizione di equilibrio all’interno delle due relazioni sugli spostamenti si ottengono le equazioni che legano gli spostamenti alle tensioni tangenziali incognite τj ed alla pressione alla punta p, che insieme al cedimento alla testa w, costituiscono le n+2 incognite del problema.

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ijjij IE

dw τ=∆

Iij si può calcolare mediante le soluzioni proposte dal Mindlin (1936).Il contributo totale in i di tutte le tensioni agenti sui conci j per il punto visto come appartenente al terreno porta a scrivere:

∑ +==

n

jibijji pII

E

dw

1τ

∑ +==

n

jbbbjjb pII

E

dw

1τ

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∑ +==

n

jibijji pII

E

dw

1τ

∑ +==

n

jbbbjjb pII

E

dw

1τ

∑ =+=

n

ii Qdlp

d

1

2

4τππ

( )

∑

+−+−=

=

−−

i

j

jjjj

pi

QQQQ

Ed

lww

1

112 4

32

π

( )∑ +−==

−n

jjj

pb QQ

Ed

lww

112

2

π

n + 2 equazioni in n+2 incognite

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QwEL

QIw w

1==

100 1000 10000

k=Ep/E1

100 1000 10000

k=Ep/E1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Iw=(wLE1)/Q

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Iw=(wLE1)/Q

L

d

E1

E2

BEM

R&W

L

d

E1

E2

E2/E1=100

E2/E1=1

L/d=100

50

25

10

L/d=100

50

25

10

BEM

R&W

B.E.M. (Poulos, 1968)

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Metodo delle curve di trasferimento(Coyle & Reese, 1966)

1. Il palo viene suddiviso in n conci;

2. Si imprime alla punta uno spostamento wp e nota la curva di trasferimento alla base oppure utilizzando un'espressione tipo P=2dEwp/(1-ν2) si calcola lo sforzo allapunta P;

3. Si assume uno spostamento wn del punto a mezz'altezza dell'ultimo concio del palo. Nel primo passo si assume wn=wp;

4. Con il valore di wn si calcola sull'appropriata curva di trasferimento il valore dellatensione tangenziale mobilitata τn;

5. Ipotizzando τn costante su tutto il concio il carico Qn agente in testa al concio n sipuò esprimere come Qn=P+τnπdL/n

6. Lo spostamento verticale del punto a mezz'altezza del concio n dovuto allacompressione elastica del tratto di palo di lunghezza L/2n si può calcolare come vn=(Qn+3P)/2 x (L/(πd2Epn);

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Metodo delle curve di trasferimento(Coyle & Reese, 1966)

7. Si calcola allora un nuovo w'n= wp+vn

8. Si confronta w'n con wn; se i due valori differiscono di una quantità maggiore di unoscarto prefissato si ripetono i passi da 4 ad 8;

9. Quando è stata ottenuta la convergenza con la precisione desiderata si considerail concio successivo, n-1e così via fino a pervenire ad una coppia di valori Q, w perl'estremità superiore del palo;

10. Il procedimento viene quindi ripetuto per diversi valori dello spostamento wp,ricavando per punti la curva Q,w della testa palo.

Load Transfer analysis of axially

loaded pilesRatz by M.F.

Randolph, 1991

Load Transfer analysis of axially loaded pilesRatz by M.F. Randolph, 1991

Esempio di calcolo – Prove di carico a Feluy (Belgio, 1998)

Prove di carico a Feluy (Belgio, 1998)


Carico-Cedimento - OMEGA 3

0

10

20

30

40

50

60

70

0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000

Q (kN)w

(m

m)

Misure

Q-w Singhyp

P-wp Singhyp

Ratz

P-wp Ratz

Q-w BEM

P-wp BEM


“Migliore interpolazione”

Eu ≈ 30 qc

Approssimazione di Steinbrenner, 1934

wBA = [wBA(E3) - wB1A(E3)] + [wB1A(E4) - wB2A(E4)]


H =

2 L 0.3

L0

.4 L

0.3

L

C a s e 3

4 E 4 E 2 E

2 E

E

C a s e 1

E E

2 E

C a s e 2

4 E

E

2 E

C a s e 4

4 E

E p /E = 1 0 0 0

L /D = 2 5

ν = 0 .3


MethodFEM Bem - Steinbrenner

IW IW ∆ (%)

Case 1 0.862 0.761 -13.3

Case 3 0.876 0.777 -12.7

Case 3 0.929 1.071 13.3

Case 4 1.027 1.579 35.0

Homogeneous 1.731 1.780 2.8

Suggerimenti sulla scelta dei moduli secanti per va ri problemi di fondazione: dirette e su pali

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