Ubi suntleones?

Teoria della trave o delle piastre sottili

),(),(

)()(

4

4

4

yxpyxqwD

xpxqdx

wdJE f

−=∇

−=

Ed un modello per descrivere il comportamento del terreno

{ })()( xpfxw =

Una volta che il modello per descrivere il terreno è fissato :

{ })()( xpfxw =Opzioni:

• equazione algebrica (ad esempio: p = kw )

• equazione integrale, ad esempio:

( )[ ]dzE

wH

yxzx∫ +−=0

1 σσνσ

con ( ){ }xpfi =σ

{ }),(),( yxpfyxw =

Interazione trave-terreno

Metodo di Barden (1962)

Soluzioni analitiche in forma chiusa del sistema basatosulle due equazioni (differenziale della trave ed integraleper il terreno) sono difficili, se non impossibili, da ottenereanche per il semplice caso di semispazio elastico condistribuzioni di carico sulla superficie limite piuttostosemplici

Metodi numerici sono molto più semplici da applicare……soluzioni approssimate ma semplici da ottenere ancheper casi piuttosto complicati….

Metodo di Barden (1962)

Interazione trave-terreno

Metodo di Barden (1962)

Interazione trave-terreno

Metodo di Barden (1962)

FxxplB

FplB

N

iii

N

ii

∑

∑

=

=

=

=

1

1

Equazioni di equilibrio in un piano (due… tre)

Equilibrio alla traslazione verticale

Equilibrio alla rotazione

Interazione trave-terreno

Equilibrio alla traslazione orizzontale: inutile in assenza di azioni assiali

Metodo di Barden

x xif )(23

x xif )(23

j

23'

j

23

'

>−+=

<−+=

xxJE

Fx

JE

Fxv

xxJE

Fx

JE

Fxv

jff

j

jf

j

f

jj

Spostamenti verticali elastici della trave vincolata ad un estremo per un carico concentrato F…..

Interazione trave-terreno

∑=

=

>−+=

<−+=

N

i

jij

jf

i

f

iji

jf

ji

f

jiji

vv

xxJE

lBxp

JE

lBxpv

xxJE

lBxp

JE

lBxpv

1

,""

j

23

,"

j

23

,"

x xif )(23

x xif )(23

Spostamenti verticali elastici dovuti alle reazioni del terreno sulla trave (N valori di pi)

Interazione trave-terreno

Metodo di Barden

jj xwv 00''' φ+=

Spostamenti rigidi soppressi dal vincolo ausiliario….

Interazione trave-terreno

Metodo di Barden

jjjj vvvv '''"' ++=

Spostamenti totali dei punti di contatto visti come appartementi alla trave……

Interazione trave-terreno

Metodo di Barden

Spostamenti dei punti di contatto visti come appartenenti al terreno ….

settlement point Soil reaction lumped in a point

Interazione trave-terreno

Metodo di Barden

Spostamenti verticali del terreno (area rettangolare)

Spostamenti totali del terreno …..

Interazione trave-terreno

Metodo di Barden

N - (Spostamenti) equazioni di congruenza

N to1 ifor == ii wv

FxxplB

FplB

N

iii

N

ii

∑

∑

=

=

=

=

1

1

2 – Equazioni di equilibrio N+2 equazioni lineari

N+2 incognite

N valori di pi e v0 e Φ0

Interazione trave-terreno

Metodo di Barden

Parametro adimensionale di cedevolezza relativa

Interazione trave-terreno

Metodo di Barden

Koenig & Sherif (1975)

Questo metodo è molto simile a quello proposto da Barden con una sola significativa differenza: introduzione di uno strato di spessore finito (spessore H)

Interazione trave-terreno

Koenig & Sherif (1975)

Se nel profilo reale di sottosuolo c’è uno strato rigido ad una profondità :

H < B (piastra quadrata) or H< 2B (striscia indefinita) - H è una quantità vera

Se ciò non accade.....

H=B (piastra quadrata) or H=2B (striscia indefinita) – H è una quantità fittizia

Interazione trave-terreno

Koenig & Sherif (1975)

Il metodo di calcolo è basato sull’approssimazione di Steinbrenner

I risultati del metodo dipendono da

una quantità adimensionale

KS (rigidezza relativa trave o piastra – terreno)

3

12

EBL

JEKS f=

Interazione trave-terreno

Winkler

Barden

Real soil Real soil

(intermediate behaviour)

Interazione trave-terreno

Esempio: Influenza della rigidezza relativa

Interazione trave-terreno

Esempio:

Influenza della distribuzione del carico

Interazione trave-terreno

I risultati precedenti mostrano che:

a) RIGIDEZZA RELATIVA

b) DISTRIBUZIONE DEI CARICHI

giocano un ruolo determinante nella soluzione deiproblemi di interazione fondazione-terreno quasioscurando l’influenza del modello di sottosuolo ( anche ilmodello di Winkler se usato in modo intelligente ... puòfornire risultati accettabili.

Se consideriamo che stiamo trascurandola sovrastruttura eche la distribuzione dei carichi e la rigidezza relativapossono dipendere significativamente dall’interazione a trecomponenti ...... si arriva rapidamente alla conclusione chenon c’è bisogno di ulteriori miglioramenti sul fronte deimodelli utilizzati per il sottosuolo ma che forse ... dovremmomeglio approfondire il ruolo della sovrastruttura.

Interazione trave-terreno

(anche il modello di Winkler se usato in modo intelligente....... può fornire risultati accettabili)

� Non adatto per carichi distribuiti

� La migliore stima di k per la calibrazione delmodello può essere ottenuta attraverso calcoli dicedimenti con metodi appropriati

Interazione trave-terreno