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Fondamenti della Misurazione e Metrologia - Lucidi FM021

FM#02 – Teoria degli errori ed Incertezza di misura – Generalità e Definizioni

Centro Interdipartimentale “Magna Grecia” - Taranto

Corso diFondamenti della Misurazione e Metrologia

Fondamenti della Misurazione e Metrologia - Lucidi FM02 2

Il risultato di una Misurazione: la Misura

Le cause sono molteplici. Alcune sono imputabili a:

• Perturbazioni ambientali (variazioni di temperatura, pressione,umidità, campi magnetici ed elettrici parassiti, ecc.);

• Limitazioni tecnologiche della strumentazione (imperfezioni costruttive, instabilità della taratura, ecc.);

• Limitazioni nel potere risolutivo dell’occhio e dell’abilità di letturadell’operatore (solo per strumentazione a lettura analogica);

• Imperizia dell’operatore (errori grossolani ….).

I risultati di una serie di misurazioni ripetute della medesima grandezza (supposta invariabile) non sono mai uguali tra loro.


Introduzione al Concetto di Incertezza e ...

Essa:

• definisce il grado di dubbio sulla correttezza del risultato dellamisurazione, ovvero quanto bene il risultato rappresenta il valoredella quantità che si intende misurare

• permette di confrontare misure differenti

• deve essere consistente (ossia direttamente derivabile dallecomponenti che ad essa contribuiscono) e trasferibile (ossiausabile per valutare l’incertezza di una successiva misura in cuiessa è utilizzata)

L’incertezza è una indicazione quantitativa sulla qualità del risultato di una misurazione

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… Modelli per una sua Valutazione

• ICRPG Handbook for Estimating the Uncertainty in Measurement(1960, adottato da U.S. Air Force e Industrie Aerospaziali)

• ASME (American Society of Mechanical Engineers) onMeasurement Uncertainty (1985, adottato dai costruttori diTurbine a Vapore)

• GUM Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement(1993, proposta dall’International Organization of Standardization)

• Nuovi U.S. National Standard (1995, proposti da ASME)

Ci sono diversi modelli per valutare l’incertezza di una misura


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GUM e sue Definizioni

La Guida all’Espressione dell’Incertezza nelle Misure (GUM) stabilisce le definizioni per alcuni termini metrologici e le regole

generali per valutare ed esprimere l’incertezza nella misura

Essa:

• definisce misurazione un procedimento semplice o complesso che permette diquantificare una grandezza (VIM - International Vocabulary of Basic andGeneral Terms in Metrology)

• definisce incertezza di misura il parametro associato con il risultato di unamisurazione, che caratterizza la dispersione dei valori che potrebbero essereragionevolmente attribuiti al misurando (VIM)

• definisce misurando e valore del misurando la quantità soggetta amisurazione valutata nello stato assunto dal sistema in osservazione durante lamisura stessa (VIM)

• distingue le misure dirette che producono il risultato della misurazione dallalettura dello strumento dalle misure indirette che producono il risultato dallacombinazione di misure dirette su parametri funzionalmente legati al misurando


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Saper eseguire una misurazione è quasiinutile se non si sa valutare, in qualchemodo, l’incertezza da cui è affetta.

Il problema della valutazione di questa quantità è l’oggetto della teoria degli errori e dell’incertezza di misura.

Esempio:

E 15 mV valore “approssimativo” di E

E = 15,0 ± 0,5 mV valore di E con incertezza di misura

Teoria degli Errori e dell’Incertezza di Misura


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Problemi Semplici di Teoria degli Errori

I problemi di cui ci occuperemo:

interpretare le specifiche di errore fornite suimanuali di strumenti, apparecchiature, com-ponenti commerciali

valutare l’errore (o meglio, l’incertezza) in mi-sure dirette eseguite mediante strumentazionecommerciale

valutare l’incertezza in semplici misure indi-rette (funzioni di misure dirette)


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Definizioni Preliminari: Misurando e Misura

In questo modo rappresentiamo qua-lunque situazione in cui esiste un valore numerico perfettamente noto (y) e un valore ad esso approssimativamente uguale ma incognito (x)

Strumenti di misura, sensori, ADC, ecc.: x = valore del misurando y = risultato della misura

Componenti elettronici e simili: x = valore reale del componente y = valore nominale del componente

Processi produttivi, attuatori, DAC, ecc.: x = valore reale della grandezza prodotta y = valore impostato

strumentox y

STRUMENTO DI MISURA

Misurando Misura

Modello del processo di misura:


9

Errore Assoluto di misura

L’ Errore Assoluto di misura è la differenza tra valore misuratoe valore del misurando (uscita y e ingresso x di uno strumento di misura):

dxExy x

Si considera l’errore come un differenziale (dx/x<10%)

x

y

xE

strumentox y


10

Incertezza Assoluta di misura

x

y

xE

xU

xU

Conoscere y e Ux significa conoscere unintervallo in cui sicuramente cade x:

xx Uy,Uyx def xUyx

L’ Incertezza Assoluta di misura è qualunque numero positivo di cuisi sappia con certezza (!) che è maggiorante del valore assoluto del-l’errore. In pratica si considera il più piccolo Ux noto:

xx U||Ex||y incertezza assoluta


11

Incertezza Assoluta di misura


resistenza commerciale u=5%; ≈ € 0,10

campione da tararemisurando

x y U y xx

Ridurre l’incertezza costa

L’incertezza Assoluta di misura viene stimata mediante il processo di taratura (ovvero si misura la stessa grandezza contemporaneamente con uno strumento campione e con lo strumento da tarare e si stimano gli errori assoluti)

resistenza di potenza u=0.1%; ≈ € 20,00

resistenza campione u=0.01%; ≈ € 200,00

12

Errore Relativo

strumentox y

Errore Relativo: rapporto tra l’errore assoluto e il valore del misurando:

xdx

yE

yxy

xxye x

x

Nota: si considera l’errore come un differenzialesolo se è piccolo rispetto al misurando (<10%)

xdx

yE x

L’errore (relativo) percentuale si ottiene moltiplicando per 100 l’errore relativo:

xdx

yE

xxye x

x 100100100%


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Incertezza Relativa

strumentox y

L’incertezza percentuale si ottiene moltiplicando per 100 l’incertezza relativa

yU

xU

u xxx 100100%

xdx

yE x

Incertezza Relativa: il più piccolo numero positivo di cui si sappia concertezza (!) che è maggiorante del valore assolutodell’errore relativo:

xU

yU

yE

yxy

xxy xxx

xu x

Uy

U xx

Forme tipiche dell’in-certezza relativa


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Accuratezza di una misura

x

y

xE

grado di approssimazione della quantità misurata (y) al valore del misurando (x):

xdx

yE

xxyea x

xx

1111

G


A.A. 2008/2009 Fondamenti della Misurazione e Metrologia - Lucidi FM0215

Precisione di una misura e di un insieme di misure

strumentox

Ny

yy

....2

1

Precisione: grado di appr. di un insieme ripetuto di misura-zioni della stessa quantità al loro valor medio:

y

yyp ixi

1 , dove

N

iiy

Ny

1

1

N

ixix p

Np

1

1

Media delle N misure

Precisione dell’insieme delle N misure

Precisione i-esima misura

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Esempi di Accuratezza e Precisione

bias

x y

Misure precise, ma inaccurate

x = y

Misure precise ed accurate

bias

x y

Misure imprecise ed inaccurate

Non esistono misure accurate ed imprecise:

“Misure accurate sono necessariamente precise”;“Misure precise non è detto

siano anche accurate”


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Misure Dirette e Misure Indirette

Naturalmente il misurando (incognito) è)x,...,x,x(fx n21 , e la misura (nota) è)y,...,y,y(fy n21 .

Un problema fondamentale è determinare l’incertezza U dellamisura indiretta note le incertezze n1 U,...U delle misure dirette.

Una funzione )y,...,y,y(fy n21 di piùmisure n1 y,...y è una misura indiretta.

strumento1x 1y

strumento2x 2y

strumentonx ny

……….)y,...,y,y(f n21 y


18

Esempio (Somma)

Errore Assoluto sulla somma 21 yyy :

xxx EEExyxyxxyyxy 2122112121 )()()()( Incertezza Assoluta:

xxxxxxxx UUUEEEEE 212121 ||||||||

disuguaglianza triangolare (“regola del caso peggiore”)

disuguaglianza errore-incertezza

Errori Assoluti (diretti):

222

111xyExyE

x

x

Incertezze Assolute (diretti):

22

11

xx

xx

UE

UE

strumento1x 1y

strumento2x 2y 21 yy y


19

Esempio (Differenza)strumento1x 1y


Errore Assoluto sulla differenza 21 yyy :

xxx EEExyxyxxyyxy 2122112121 )()()()( Incertezza Assoluta:

xxxxxxxx UUUEEEEE 212121 ||||||||

Si noti che gli errori assoluti si sommano algebricamente, mentre le incertezze assolute si sommano aritmeticamente. Questo è vero in generale per una somma algebrica.

disuguaglianza triangolare (“regola del caso peggiore”)

disuguaglianza errore-incertezza


20

Esempio (Somma Algebrica)strumento1x 1y

strumento2x 2y

n

1kii

k

1ii yy

y

strumento3x 3y

strumentonx ny

Errore Assoluto:

n

kixi

k

ixix EEE

11

Incertezza Assoluta:

n

kixi

k

ixix UUU

11

Si ricordi, inoltre, che gli errori sono quantità dotate di segno, mentre le incertezze sono quantità sempre positive.

Inoltre in generale un errore indiretto è una somma algebrica di termini di diverso segno, mentre un’incertezza indiretta è una somma aritmetica di termini positivi.

+ – ±


21

Esempio (Prodotto)

strumento1x 1y


Errore Assoluto sul prodotto 21 yyy :

))(( 2211212121 xx EyEyyyxxyyxy 211221 xxxx EEyEyE xxx EyEyE 1221

(si è trascurato 21 xx EE , per xiE piccoli (<10%) rispetto a iy ) Incertezza Assoluta:

|||| 1221 yEyEE xxx |||||||| 1221 yEyE xx xxx UyUyU |||| 1221

(si è usato la disuguaglianza triangolare e la disuguaglianza errore-incertezza per le misure dirette)


22

Esempio (Prodotto)strumento1x 1y


Calcoliamo l’errore relativo dx/x/yEe xx e l'incertezza relativa x/Uy/Uu xxx : Errore Relativo:

2

2

1

1

21

1221y

Ey

Eyy

yEyEy

Ee xxxxxx 21 xx ee

Incertezza Relativa:

||||||

|||||| 2

2

1

1

21

1221y

Uy

Uyy

yUyUy

Uu xxxxxx 21 xx uu

In un prodotto, gli errori relativi e le incertezze relative si sommano. In una somma invece si sommano gli errori assoluti.


23

Esempio (Rapporto)

Errore Assoluto sul rapporto 21 / yyy :

)( 222

1221

22

11

2

1

2

1

2

1

x

xx

x

xEyy

yEyEEyEy

yy

xx

yyxy

xxx E

yyEyE

22

1221

(abbiamo supposto errori “piccoli”) Incertezza Assoluta:

|||||| 2

2

1221y

yEyEE xxx

||||||

22

1221y

yEyE xx xxx U

yyUyU

||||||

22

1221

(abbiamo usato la disuguaglianza triangolare e la disuguaglianza errore-incertezza)

strumento1x 1y

strumento2x 2y y21 y/y


24

Esempio (Rapporto)

Errore relativo sul Rapporto:

2

2

1

1

1

222

1221y

Ey

Eyy

yyEyE

yE xxxxx xxx eee 21


||||||

||||

|||||| 2

2

1

1

1

222

1221y

Uy

Uyy

yyUyU

yU xxxxx xxx uuu 21

In un rapporto, gli errori relativi si sottraggono e le incertezze relative si sommano. In una differenza invece si sottraggono gli errori assoluti esi sommano le incertezze assolute

strumento1x 1y

strumento2x 2y y21 y/y


25

Esempio (Espressione Monomia)strumento1x 1y

strumento2x 2y

n

1kii

k

1ii yy

y

strumento3x 3y

strumentonx ny

Errore Relativo:

n

kixi

k

ixix eee

11


n

kixi

k

ixix uuu

11

In una espressione monomia gli errori relativi al numeratore si sommano,e quelli al denominatore si sottraggono. Invece le incertezze relative sisommano comunque (come se si trattasse di un prodotto).

Naturalmente dall’errore o incertezza relativa si deriva facilmente quellaassoluta e viceversa.

+ – ±


26

Errore in una Misura Indiretta Generica

Dati del problema: iii xyE errori misure dirette

),...,,( 21 nyyyfy funzione di misura strumento1x 1y

strumento2x 2y

strumentonx ny

……….)y,...,y,y(f n21 y

xnn

xx EyfE

yfxyE

...11

Abbiamo usato l’approssimazione per errori “piccoli”

formula di propagazione degli errori assoluti

),...,,( 21 nxxxfx misurando (incognito)),...,,( 21 nyyyfy misura (nota)


27

Incertezza in una Misura Indiretta Generica

Dati del problema: iiii UxyE |||| incertezze dirette ),...,,( 21 nyyyfy funzione di misura

||...||...|| 11

11

xnn

xxnn

xx EyfE

yfE

yfE

yfE

11

...x xn xn

f fU U Uy y

Abbiamo usato la disuguaglianza triangolare e la disuguaglianzaerrore-incertezza.

formula di propagazione delle incertezze assolute

strumento1x 1y

strumento2x 2y

strumentonx ny

……….)y,...,y,y(f n21 y


28

Incertezza in una Misura Indiretta Generica“Incertezza di caso peggiore”

n

kxk

kx

nxx U

yfU

yfU

yfU

121

1...

formula di propagazione delle incertezze assolute

(“caso peggiore” o “worst case”)

xn

E’ il vero “maggiorante”; si usa generalmente quando mancano informazioni sull’indipendenza degli errori,ovvero quando gli errori sono correlati, indipendentemente dalla loro distribuzione


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Esempio: misura dell’area di un trapezio

a Ua

b Ub

h Uh222

bhahhbaA

hba

hbaAAAA

UbaUhUh

UhAU

bAU

aAUUUU

222

321

Ovviamente, qualsiasi errore EA commesso nella misura dell’area Asarà sempre in modulo minore di UA

Metodo delle derivate parziali:


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