Corso di Fisica per Medicina - Lezione 23 - Onde (cod. 6rr10e) · I onde elettromagnetiche nel...

Corso di Fisica per MedicinaLezione 23 - Onde (cod. 6rr10e)

Dr. Cristiano Fontana

Dipartimento di Fisica ed Astronomia “Galileo Galilei”Università degli Studi di Padova

3 dicembre 2018

Indice

Onde 3Moto delle onde 3Onde sinusoidali 11Energia di un’onda 27Suoni e percezione 36Interferenza e diffrazione 40

2/49 CORSO DI FISICA PER MEDICINA Lezione 23 - Onde (cod. 6rr10e) – Dr. Cristiano Fontana – 3 dicembre 2018

Onde

Figura: La grande onda diKanagawa [wiki]

Le onde sono delle perturbazioni che si propagano neltempo e nello spazio, trasportando energia e quantità dimoto.Esistono diversi tipi di onde, e.g.

I onde meccaniche in un mezzo elastico: perturbazionidegli elementi del mezzo attorno all’equilibrio;

I onde elettromagnetiche nel vuoto: campoelettromagnetico variabile.


Tipi di onde

v ⃗

Onde trasversali(e.g. oscillazione diuna corda)

xy

Perturbazionex

y

Onde longitudinali(e.g. suono nell'aria)v ⃗

Due tipi di onde sono le onde trasversali e le onde longitudinali, che si differenziano perla diversa direzione della perturbazione rispetto alla direzione di propagazione.


Propagazione dell’onda I

L’affermazione che un’onda si propaghi sia nel tempo che nello spazio implica che siafunzione di entrambe le variabili: (

t ,~r)7→ u

(t ,~r)

(1)

ove u(·) è una funzione che descrive la forma e l’evoluzione dell’onda nel tempo e nellospazio.


Propagazione dell’onda II

5 0 5 10 15 20 25 30 350.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

v

xu(t,0) = f(t) u(t+ t, x) Data un’onda che si propaga con

velocità ~v lungo x , diciamo che nelpunto x = 0 abbia una certa formadescritta da f (·):

u(t ,0) = f (t). (2)

Assumendo che la forma dell’onda non varia abbiamo che, dopo un certo tempo ∆t = ∆xv ,

nel punto x = ∆x avrà la stessa forma che aveva precedentemente nel punto x = 0.Ovvero la forma in (t ′ = t + ∆t , x ′ = ∆x) dovrà essere uguale a quella in (t ,0):

u(t ′, x ′) = u(t + ∆t ,∆x) (3)= u(t ,0) = f (t) (4)


Propagazione dell’onda III

Risolvendo t rispetto a t ′ otteniamo

t = t ′ −∆t (5)

ottenendo che

u(t ′, x ′) = u(t ,0) (6)= u(t ′ −∆t ,0) (7)= f (t ′ −∆t) (8)

= f(

t ′ − ∆xv

)(9)

Di conseguenza in generale la formula che descrive un’onda che si propaga è

u(t , x) = f(

t − xv

)(10)


Equazione delle onde

In generale l’equazione di un’onda unidimensionale soddisfa l’equazione differenziale

∂2u∂t2 − v2 ∂

2u∂x2 = 0 (11)

che ammette soluzioni del tipo

u(t , x) = f(

t − xv

)+ g

(t +

xv

)(12)

che rappresentano due onde che si propagano con versi opposti.


Onda piana in tre dimensioni

In generale per un’onda piana che si propaga in una direzione arbitraria vale

u(t ,~r) = f(

t − ~k ·~r)

(13)

ove ~k è detto vettore d’onda ed è diretto lungo la direzione di propagazione dell’onda,ovvero:

~k ‖ ~v (14)

ed il modulo del vettore d’onra è l’inverso della velocità di propagazione.

∣∣∣~k∣∣∣ =

1v

(15)


Forme d’onda

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.01

0

1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.01

0

1

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.01

0

1

Le onde periodiche possono avere forme molto diverse tra loro, ma gli si può sempreassociare una frequenza ν: rappresenta il numero di volte che l’onda si ripete nell’unità ditempo.Esempio: http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/2017/02/28/suoni.html


Onde sinusoidali I

Un’onda sinusoidale, nel punto x = 0, ha forma

u(t ,0) = A sin (ωt) (16)

usando l’equazione (12) si ottiene

u(t , x) = u(t −∆t ,0) = A sin(ωt − ω

vx)

(17)

definendo il numero d’onda comek =

ω

v(18)

otteniamou(t , x) = A sin (ωt − kx) (19)


Onde sinusoidali II

Avremmo anche potuto usare il coseno e definite un’onda in questo modo:

u(t ,0) = A cos (ωt − kx) (20)

I risultati sono gli stessi, perché tra seno e coseno c’è solo uno sfasamento di π2 .

u(t ,0) = A sin (ωt − kx) = A cos(ωt − kx − π

2

)(21)

in generale quindi è sempre possibile introdurre una fase nella definizione dell’onda:

u(t ,0) = A sin (ωt − kx + ϕ) (22)


Propagazione di un’onda sinusoidale IVediamo come si muovono le creste dell’onda. Osserviamo due punti dell’onda che hannola stessa perturbazione

u(t , x) = u(t ′, x ′) (23)A sin (ωt − kx) = A sin (ωt ′ − kx ′) (24)

ωt − kx = ωt ′ − kx ′, (25)

quindi per ωt − kx = cost. possiamo osservare l’evoluzione dei punti dell’onda ad un certovalore di perturbazione.Se per un certo valore (t0, x0), si ha che u(t0, x0) è massima, possiamo andare a seguirel’evoluzione del massimo calcolando la derivata di quell’espressione

ddt

(ωt0 − kx0) =ddt

(cost.) (26)

ωdt0dt− k

dx0

dt= 0 (27)

vcreste = c =dx0

dt=ω

k(28)


Propagazione di un’onda sinusoidale II

In generale la velocità di propagazione di un’onda dipende solamente dal mezzo in cui sipropaga. La dipendenza dalla frequenza dell’onda è generalmente piccola.Vediamo alcuni esempi:

c ≈ 3 · 108 m/s Velocità della luce nel vuoto (29)a ≈ 340 m/s Velocità del suono in aria (30)al ≈ 1480 m/s Velocità del suono in acqua (31)v ≈ 800 km/h = 222 m/s Velocità di Tsunami nell’oceano (32)


Rappresentazione grafica di onde sinusoidali

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0x [m]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0 u(0,x) = A sin(-kx)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t [s]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0 u(t,0) = A sin( t)

I due grafici, all’apparenza molto simili, hanno significati moltodiversi. Data un’onda del tipo

u(t , x) = A sin (ωt − kx) (33)

1. Il primo grafico rappresenta la posizione di tutti i punti dell’ondacongelati ad un istante t = 0 (e.g. una fotografia di una cordache oscilla).

u(t , x) = A sin (−kx) (34)

2. Il secondo grafico rappresenta l’evoluzione temporale dellaposizione del punto a x = 0.

u(t , x) = A sin (ωt) (35)


Lunghezza d’onda

La lunghezza d’onda si calcola cercando le posizioni dei massimi delle onde, per il seno ilprimo massimo è a

kx0 =π

2(36)

la posizione del massimo successivo è

kx1 = 2π +π

2(37)

La distanza tra i due èλ = x1 − x0 =

2πk

+π

2k− π

2k=

2πk

(38)

ove abbiamo definito λ = 2πk come la lunghezza d’onda dell’onda.


Periodo

Un discorso analogo può essere applicato cercando gli istanti dei massimi delle onde:

ωt0 =π

2, ωt1 = 2π +

π

2(39)

La differenza tra i due èT = t1 − t0 =

2πω

(40)

ove T è il periodo dell’onda. La frequenza ν è legata al periodo dalla relazione

T =1ν

(41)


Frequenza e lunghezza d’onda

Ricordiamo l’espressione della velocità di propagazione dell’onda:

c =ω

k(42)

Sostituendo le relazioni appena trovate:

λ =2πk, T =

2πω

(43)

si ottienec =

λ

T= λν (44)


Onda stazionaria I

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x [m]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0Immaginiamo di avere due onde identiche che si propagano indirezioni opposte in uno spazio chiuso:

u(t , x) = A sin(ωt − kx) + A sin(ωt + kx) (45)

Usando le formule di prostaferesi

sin(a) + sin(b) = 2 cos(

a− b2

)· sin

(a + b

2

)(46)

si ottiene

u(t , x) = 2 cos(ωt − kx − ωt − kx

2

)· sin

(ωt − kx + ωt + kx

2

)(47)

= 2 cos (−kx) · sin (ωt) = 2 cos (kx) · sin (ωt) (48)

ove abbiamo sfruttato la parità del coseno.


Onda stazionaria II

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x [m]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

u(t , x) = 2 cos (kx) · sin (ωt) (49)

La funzione è composta da un termine che dipende solamente dallospazio, che descrive la forma spaziale, e da un termine che dipendesolo dal tempo che descrive come questa forma oscilli nel tempo.I nodi (punti fissi) si trovano nei punti in cui la componente spazialesi annulla. Se vogliamo che si trovino agli estremi vogliamo che inx = 0 si annulli la funzione per tutti i tempi.

Aggiungiamo quindi una fase alla funzione:

u(t , x) = 2 cos (kx + ϕ) · sin (ωt) (50)

ovvero:

cos(

kx︸︷︷︸=0

+ϕ)

= 0 ⇒ ϕ =π

2+ nπ (51)


Onda stazionaria III

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x [m]

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

Scegliamo come fase ϕ = π2 . Se vogliamo determinare la posizione

di tutti i massimi dobbiamo trovare i valori di x tali che la funzione siannulli per tutti i tempi:

cos(

kx +π

2

)= 0 ⇒ kx +

π

2=π

2+ nπ (52)

Quindi otteniamo che

kx = nπ (53)

ricordando che k = 2πλ si ottiene

x = nλ

2(54)


Battimenti I

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.01.00.50.00.51.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.01.00.50.00.51.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.02.01.51.00.50.00.51.01.52.0

Esempio: http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/2017/02/28/battimenti.html


Battimenti II

È anche possibile vedere l’effetto dei battimenti usando dei motivi grafici.


Effetto Doppler I

v=⃗0

v ⃗

λ

λ'λ''

Immaginiamo di avere una sorgente che emette un’ondache si propaga con velocità ~v . Se la sorgente stessa si staavvicinando a noi con velocità ~vS la lunghezza d’ondapercepita λ′ corrisponde alla lunghezza d’onda reale λmeno la porzione di spazio percorsa durante un periodo T

λ′ = λ− T · vS (55)

Ricordando che

c = λν ⇒ T =1ν

=λ

c(56)

otteniamo

λ′ = λ− λ

c· vS = λ ·

(1− vS

c

)(57)


Effetto Doppler II

v=⃗0

v ⃗

λ

λ'λ''

La frequenza percepita è

ν′ =cλ′

=c

λ ·(1− vS

c

) (58)

= ν · cc − vS

(59)

ove abbiamo usato la velocità di propagazione dell’onda cperché il mezzo di propagazione non è in movimento.


Effetto Doppler III

v=⃗0

v ⃗

λ

λ'λ''

Riassumendo

λ′ = λ ·(

1− vS

c

)(60)

ν′ = ν · cc − vS

(61)

la lunghezza d’onda percepita λ′ diminuisce se la sorgentesi avvicina e la frequenza ν′ aumenta. Se la sorgente siallontana (ovvero vS < 0) allora la lunghezza d’ondapercepita λ′′ aumenta e la frequenza ν′′ diminuisce.

Esempio: http://www.pd.infn.it/~fontana/didattica/2017/03/01/doppler.html


Energia di un’onda

In generale si può dimostrare che l’energia trasportata da un’onda qualunque siaproporzionale al quadrato dell’ampiezza

Etot ∝ A2 (62)


Energia di un’onda di una stringa elastica I

dx

ds

ds'

dx'

v ⃗

Prendiamo una stringa elastica sucui si propaga lungo x un’ondasinusoidale:

u(t , x) = A sin (ωt − kx) (63)

Assumiamo che il movimento degli elementi della stringa sarà solo verticale e nonorizzontale. Osserviamo che u(t , x) soddisfa le condizioni dell’oscillatore armonico

d2

dt2 u(t , x) = −αu(t , x) (64)

Un elemento infinitesimo della stringa ds si comporta quindi come un oscillatore armonico.


Energia di un’onda di una stringa elastica IIL’energia totale di un elemento quindi è data dall’energia totale di un oscillatore armonico

dE =12κA2 (65)

ove A è lo spostamento massimo e κ è la costante elastica della stringa. Ricordiamo chel’enegia totale non dipende dal tempo. Ricordiamo la pulsazione del moto armonico per unsistema elastico

ω =

√κ

m(66)

e risolviamola per κ:

κ = ω2 dm (67)

quindi sostituiamola nella formula precedente

dE =12κA2 =

12ω2A2 dm (68)


Energia di un’onda di una stringa elastica IIIEssendo il movimento delle porzioni di stringa solo verticale possiamo calcolare la massacome

dm = ρdx (69)

ove ρ è la densità lineare della stringa. Otteneniamo così l’energia della porzioneinfinitesima

dE =12ω2A2 dm =

12ω2A2ρdx (70)

che integrata ci da il valore dell’energia conservata in tutta la stringa

Etot =

∫dE =

∫ L

0

12ω2A2ρdx =

12ω2A2ρL (71)

che è proporzionale al quadrato dell’ampiezza

Etot ∝ A2 (72)


Ampiezza di un’ondaAbbiamo detto che in generale l’energia è proporzionale al quadrato dell’ampiezza, ma qualè l’ampiezza di un’onda? È il termine della formula che non dipende dal tempo. Vediamoalcuni esempi in cui sono evidenziate le ampiezze:

u(t , x) = A︸︷︷︸Ampiezza

sin (ωt − kx) Onda generica (73)

u(t , x) = 2A cos(

kx +pi2

)

︸︷︷︸Ampiezza

sin (ωt) Onda stazionaria (74)

u(t , x) = 2A cos(

kd sin θ2

)


sin (ωt − kr) Interferenza (75)

u(t , x) = 2Asin( kd sin θ

2

)

kd sin θ2︸︷︷︸

Ampiezza

sin (ωt − kr) Diffrazione (76)


Flusso di energia

Se prendiamo una porzione di spazio ∆x attraversata da un’onda, l’energia trasportata è

∆E =dEdx

∆x (77)

la quantità di energia che fluisce nel tempo ∆t che impiega a percorrere ∆x è

Φ =∆E∆t

=dEdx

∆x∆t

=dEdx

c (78)

ove c è la velocità di propagazione dell’onda.E.g. Nel caso dell’onda elastica si ha

dE =12ω2A2ρdx Φ =

dEdx

c =12ω2A2ρdx

dxc =

12

cω2A2ρ (79)

per aumentare quindi il flusso si può aumentare l’ampiezza dell’onda A oppure lapulsazione ω.


Intensità di un’onda

L’intensità di un’onda tridimensionale è definita come il rapporto tra l’energia trasportatanell’unità di tempo e l’unità di superficie S che essa attraversa, ovvero il flusso dell’energiaattraverso la superficie

I =Φ

S. (80)

Ricordando che in generale l’energia di un’onda è proporzionale al quadrato dell’ampiezza,anche l’intensità stessa lo sarà:

E ∝ A2 ⇒ I ∝ A2 (81)

L’unità di misura è

[I] =[E ]

[t ][S]=

Wm2 (82)


Intensità e distanza I

S

ds

r ⃗

Calcoliamo la potenza totale emessa da una sorgente di un’onda sferica,a potenza costante. Su una superficie sferica S di raggio R, centratasulla sorgente, è l’integrale dell’intensità sulla superficie stessa

P0 =

∫

SI(R) ds = I(R)

∫

Sds

︸︷︷︸Superficie

= I(R)4πR2 (83)

ove abbiamo portato I(R) fuori dall’integrale perché è costante su Sperché è sferica. Quindi otteniamo

I(R) =P0

4πR2 (84)


Intensità e distanza II

S

ds

r ⃗

L’intensità è quindi inversamente proporzionale al quadrato della distanza

I(r) =P0

4πr2 =I0r2 ove I0 =

P0

4π(85)

I0 rappresenta l’intensità della sorgente dell’onda. Calcoliamo la potenzache riceve una generica superficie Σ

P =

∫

Σ

I(r) ds =P0

4π

∫

Σ

dsr2 (86)


Percezione uditiva

Livello del dolore

Inte

nsi

tà s

onora

[dB

]

Frequenza [Hz]

Parlata umana

Musica

Suoni percepibili

Figura: Percezione uditiva [wiki]

L’orecchio umano riesce a percepire suoni conintervalli di intensità e frequenze molto ampi. Vi è unaforte relazione tra le due grandezze, ovvero la gammadi intensità udibili dipende dalla frequenza del suono.

20 Hz . νperc. . 20 kHz (87)

1 · 10−12 W/m2 . Iperc. . 10 W/m2 (88)


Scala dei decibel I

Vista l’ampia gamma di intensità sonore percepibili si utilizza comunemente la scaladecibel:

β = 10 dB · log10

(II0

)(89)

ove I0 è un’intensità di riferimento pari a

I0 = 1 · 10−12 Wm2 (90)

Notiamo che un aumento di 10 dB nell’intensità del suono, corrisponde ad un aumento di 10volte dell’intensità dell’onda.


Scala dei decibel II

Vediamo alcuni esempi

βmin = 10 dB · log10

(I0I0

)= 10 dB · log10 (1) = 0 dB (91)

βdolore = 10 dB · log10

(Idolore

I0

)= 10 dB · log10

(10 W/m2

1 · 10−12 W/m2

)(92)

= 10 dB · log10(1 · 1013) = 130 dB (93)

βzanzara = 10 dB · log10

(1 · 10−8 W/m2

I0

)= 40 dB (94)

βvoce = 10 dB · log10

(1 · 10−6 W/m2

I0

)= 60 dB (95)

βtraffico = 10 dB · log10

(1 · 10−4 W/m2

I0

)= 80 dB (96)


Attenuazione del suono

101 102 103 104 105 106

Frequency/pressure [Hz/atm]

10 4

10 3

10 2

10 1

100

101

102

103

104

Abso

rptio

n co

effic

ient

/pre

ssur

e [d

B/10

0m.a

tm]

Rel. hum.0 %30 %60 %100 %

Figura: Attenuazione del suono in aria adiversi valori di umidità relativa [wiki]

Sperimentalmente si vede che l’ampiezza di un suonoche attraversa un mezzo è attenuata secondo la legge:

dAdx

= −µA (97)

integrando otteniamo:

A(x) = A0 e−µx (98)

ricordando che I ∝ A2 si ottiene una legge simile perl’intensità

I(x) = I0 e−2µx (99)

ovvero in un mezzo si ha un’attenuazioneesponenziale.


Principio di Huygens-Fresnel

Sorgentisecondarie

Principio di Huygens-FresnelOgni punto del fronte di un’onda può essere considerato una sorgentesecondaria di onde sferiche secondarie. La velocità e la lunghezzad’onda sono le stesse dell’onda primaria.Il fronte d’onda in un tempo successivo è tangente a tutti i fronti d’ondasecondari.


Interferenza ISommiamo due onde uguali ma sfasate di ϕ una dall’alta

u(t , x) = u1(t , x) + u2(t , x + ϕ) (100)= A sin(ωt − kx) + A sin(ωt − kx + kϕ) (101)

usando le formule di prostaferesi si ottiene

u(t , x) =2A cos(ωt − kx − ωt + kx − kϕ

2

)·

· sin(ωt − kx + ωt − kx + kϕ

2

)(102)

=2A cos(

kϕ2

)· sin

(ωt − kx +

kϕ2

)(103)

questa è un’onda con ampiezza 2A cos(

kϕ2

)quindi l’intensità

I ∝ 4A2 cos2(

kϕ2

)(104)


Interferenza IIPer semplicità diciamo che

I = I0 cos2(

kϕ2

)(105)

A seconda del valore dello sfasamento kϕ si può avere interferenza costruttiva odistruttiva:

kϕ = 0 ⇒ u(t , x) = 2A sin (ωt − kx) Costruttiva (106)kϕ = π ⇒ u(t , x) = 0 Distruttiva (107)

La percezione dell’onda dipende dall’intensità quindi

kϕ = 0 ⇒ I = I0 Costruttiva (108)kϕ = π ⇒ I = 0 Distruttiva (109)

Se l’interferenza è distruttiva quindi l’onda non trasporta energia e si ha un punto “buio” (perla luce) o “muto” (per il suono).


Interferenza III

Schermo

D

d

r1 r2θ

PDato un sistema con due sorgenti puntiformi eduno schermo, si può osservare il fenomenodell’interferenza tra le onde emesse.

d

r1 r2θ

θ

La distanza tra le sorgenti deve essere trascurabile rispetto la distanzacon lo schermo

d � D (110)

Un punto P sullo schermo vede le sorgenti a distanza r1 e r2. L’onda,percorrendo percorsi diversi alla stessa velocità, arriva con unosfasamento dovuto alla differenza tra i cammini

∆r = r2 − r1 = d sin θ & r =r1 + r2

2(111)


Interferenza IV

Vediamo la sovrapposizione tra le due onde sul punto P

u(t ,P) =A0 sin (ωt − kr1) + A0 sin (ωt − kr2) (112)

=2A0 cos(ωt − kr1 − ωt + kr2

2

)· sin

(ωt − kr1 + ωt − kr2

2

)(113)

=2A0 cos(−k

r2 − r1

2

)· sin

(ωt − k

r1 + r2

2

)(114)

=2A0 cos(−k

r2 − r1

2

)· sin (ωt − kr) (115)

= 2A0 cos(

kd sin θ2

)


· sin (ωt − kr) (116)


Interferenza VData l’ampiezza

A = 2A0 cos(

kd sin θ2

)(117)

Passiamo all’intensità

I = I0 cos2(

kd sin θ2

)(118)

La condizione di interferenza costruttiva diventa

kd sin θ2

= nπ ⇒ sin θ =nλd

(119)

mentre per l’interferenza distruttiva

kd sin θ2

=π

2+ nπ ⇒ sin θ =

λ

2d(1 + 2n) (120)


Diffrazione I

Ondaincidente

Ondauscente In realtà anche una singola sorgente estesa, come una fenditura, può

fare interferenza con sé stessa. Possiamo vederlo applicando il principiodi Huygens. Ricordiamo il caso dell’interferenza di due sorgenti

u2(t ,P) =2A cos(

kd sin θ2

)· sin (ωt − kr) (121)

e ricordiamo che ognuna delle sorgentine secondarie sta emettendoonde che interferiscono le une dalle altre. Prendiamo come riferimentouno dei bordi e sommiamo i contributi di tutte le altre sorgentine.


Diffrazione II

Schermo

D

d

r1 r2θ

P

x ⃗

utot(t) =1d

∫ d

0u2(t ,P) dx (122)

=2Ad

∫ d

0cos

(kx sin θ

2

)sin (ωt − kr) dx (123)

= 2Asin( kd sin θ

2

)

kd sin θ2

· sin (ωt − kr) (124)

ove abbiamo diviso l’integrando per d per mediare il contributo sullalunghezza della sorgente. Passando all’intensità

I(P) = 2A

[sin( kd sin θ

2

)

kd sin θ2

]2

(125)


Diffrazione III

3 2 1 0 1 2 3/d

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

Con intensità:

I(P) = 2A

[sin( kd sin θ

2

)

kd sin θ2

]2

(126)

le condizioni di interferenza distruttivadiventano

kd sin θ2

= nπ (127)

sin θ =nλd

(128)


Diffrazione IV

Una condizione importante per ottenere la figura di diffrazione è che ladimensione della sorgente sia molto maggiore della lunghezza d’onda

λ� d (129)

in caso contrario si ottiene un’onda sferica centrata sulla sorgente.Ricordando che sin θ ∈ [−1,1] allora

sin θ =nλd≤ 1 (130)

quindi se nλ ≥ d la condizione non può essere soddisfatta.


Corso di Fisica per Medicina - Lezione 23 - Onde (cod. 6rr10e) · I onde elettromagnetiche nel...

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