Corso di Dosimetria e Fisica delle Radiazioni 1- Anno Accademico 2007-2008 (S. Frullani)1a Prova di esonero: blocchi A-B1-12 marzo 2008

1. Le energie di legame degli elettroni nelle shell K, L e M dello Zn sono riportate in tabella.

Subshell Energia di legame (eV)K 9659LI 1196,2LII 1044,9LIII 1021,8MI 139,8MII 91,4MIII 88,6MIV 10,2MV 10,1

Ricordando le regole di selezione per le transizioni tra livelli elettronici che possono dare origine ad emissione di raggi X, dedurre le energie delle diverse componenti delle emissioni K, K e L. Se una lacuna elettronica della shell K è riempita da un elettrone della subshell LI, quale sarà l’energia cinetica di un elettrone Auger emesso dalla subshell MII a seguito di detta transizione ?

Risposta. Le regole di selezione per la diseccitazione di un atomo attraverso l’emissione di fotoni sono:l = ±1 e j = 0, ±1. Ricordando la corrispondenza tra le subshell e le orbite elettroniche:

Subshell Orbita elettronicaK 1sLI 2sLII 2p1/2

LIII 2p3/2

MI 3sMII 3p1/2

MIII 3p3/2

MIV 3d3/2

MV 3d5/2

le emissioni K sono composte dalle due transizioni LII→K e LIII→K, le emissioni K dalle due transizioni MII→K e MIII→K, le emissioni L dalle sette transizioni MI→LIII, MI→LII, MII→LI,MIII→LI, MIV→LIII, MIV→LII e MV→LIII. Le relative energie si deducono dalla differenza tra le energie di legame delle varie subshell:

emissione transizione (eV) transizione (eV) transizione (eV) transizione (eV)Ka LII→K 8614,1 LIII→K 8637,2Kb MII→K 9567,6 MIII→K 9570,4La MI→LIII 882,0 MI→LII 905,1 MII→LI 1104,8 MIII→LI 1107,6

MIV→LIII 1011,6 MIV→LII 1034,7 MV→LIII 1011,7

L’energia disponibile in seguito alla transizione elettronica LI→K è data dalla differenza di energia di legame dei due orbitali. Tale energia, sottratta dall’energia di legame della subshell MII, si trasforma in energia cinetica dell’elettrone Auger emesso:

Energia cinetica elettrone Auger = 9659 – 1196,2 – 91,4 = 8371,4 eV

2. Usando la formula empirica di Weiszacker dedurre l’energia che bisogna fornire perché il nucleo si divida in due frammenti identici: . (Per i coefficienti della formula di massa utilizzare

i seguenti valori av = 16.71; as = 18.5; ac = 0.75; aa = 100; ap = +36 nuclei pari-pari , = 0 nuclei A dispari , = -36 nuclei dispari-dispari (se si utilizza formula in cui la dipendenza da A del termine di pairing è A-3/4 mentre ap = +12, 0, -12 se si utilizza formula in cui la dipendenza è A-1/2 ) .

Risposta. Bisogna calcolare qual è la differenza di massa tra il nucleo iniziale e la due masse del nucleo che costituiscono lo stato finale della transizione considerata. Si può partire dalla formula delle masse: ma è evidente che il numero di protoni e neutroni complessivo è lo stesso sia nello stato iniziale che finale della transizione considerataprima e quindi il calcolo può essere fatto direttamente considerando l’energia di legame.L’energia necessaria sarà: E = B(24,52) – 2xB(12,26). Nel corso abbiamo presentato due formule empiriche, ispirate dal modello a goccia del nucleo, che esprimono la dipendenza dell’energia di legame da certe caratteristiche del sistema nucleare. Le formule sono simili e si differenziano soltanto nella dipendenza da A del termine di pairing:

(1)

(2)

I coefficienti che sono stati dati nell’enunciato del problema rappresentano uno dei risultati ottenuti tramite best fit delle formule empiriche ai dati sperimentali.

e sostituendo i valori delle costanti si ha E = - 19,75 MeV e quindi 19,75 MeV è l’energia che si deve fornire al nucleo iniziale perché possa avvenire la frammentazione in due nuclei eguali .

3. Discutere l’origine dei numeri magici nei sistemi nucleari ed illustrare alcune caratteristiche dei nuclei che sono facilmente spiegate dal modello a shell.

Risposta. E’ richiesta una risposta discorsiva che metta in evidenza l’importanza dell’interazione spin-orbita, idea base del successo del modello a shell nello spiegare le varie peculiarità dei sistemi nucleari in cui il numero di protoni e/o di neutroni è eguale ad uno dei numeri magici. Si deve anche ricordare il differente ruolo che questo termine gioca rispetto ai sistemi atomici nel determinare la successione energetica degli stati delle diverse shell. Le principali caratteristiche dei nuclei che sono facilmente spiegate dal modello a shell sono i valori dei momenti angolari totali e le parità degli stati fondamentali e questo deve essere richiamato con alcuni esempi.

4. Discutere il processo di fissione. Meccanismo di fissione. Barriera di fissione. Fissione spontanea. Foto-fissione e fissione indotta da neutroni.

Risposta. La risposta è discorsiva, vari argomenti possono essere trattati a diverso grado di approfondimento. Condizione in cui il processo di separazione di un nucleo in due sottounità presenta un Q positivo. Valori tipici per il Q di un processo di fissione. Andamento dell’energia del sistema nucleare al crescere della deformazione del sistema nucleare e della separazione dei due frammenti. Penetrazione della barriera di fissione. Distribuzione delle masse dei frammenti di fissione. Condizione per la fissione spontanea. Condizione per la fissione indotta da neutroni termici.

5. Q-valori dei vari processi di stabilizzazione nucleare.

Risposta.Decadimento : Q= mpadre - mfiglio - m– E*

stato finalepadre – Mfiglio -M– E*stato finalepadre –

figlio -– E*stato finale

Decadimento - : Q- = mpadre - mfiglio – me – E*

stato finale = padre – Mfiglio – E*stato finale = padre – figlio –

E*stato finale

Decadimento + : Q+ = mpadre - mfiglio – me - E*

stato finale= padre – Mfiglio - 2me - E*stato finale= padre – figlio

- 2me – E*stato finale

Cattura Elettronica : QEC = mpadre + me – EB – mfiglio – E*stato finale= Mpadre – EB – Mfiglio – E*

stato finale= padre – figlio – EB – E*

stato finale

Decadimento : Q = E*stato iniziale – E*

stato finale = E Conversione interna : QIC = E*

stato iniziale – E*stato finale - EB

E*stato finale = 0 se il nucleo figlio è lasciato nello stato fondamentale

Con le lettere m ed M si sono indicate rispettivamente le masse nucleari ed atomiche, me è la massa dell’elettrone, EB l’energia di legame dell’elettrone coinvolto nel processo, è la differenza di massa (differenza tra la massa atomica e la massa atomica unitaria moltiplicata per A u ; è tale valore che si trova per lo più nelle tabelle)

Una qualunque delle varie formulazioni per i diversi processi è sufficiente, anche considerando i soli processi in cui il nucleo figlio è lasciato nello stato fondamentale.

6. Un nucleo padre decade - in un nucleo figlio stabile. Le radiazioni emesse, energie in MeV e frequenze sono riportate appresso: -: 3,92 max (7%); 3,10 max (5%); 1,60 max (88%) 2,32 (34%); 1,50 (54%); 0,82 (49%) e- : 0,818 e 0,805a) dedurre lo schema di decadimento ;b) quale è la massima energia che un antineutrino può ricevere nel decadimento del nucleo padre?c) quale è il valore del coefficiente di conversione interna ?d) stimare i valori delle energie di legame degli elettroni delle shell K ed L del nucleo figlio;e) saranno anche emessi raggi X ? perché sì o perché no.

Risposta.a)

b) 3,92 MeVc) Il primo stato eccitato del nucleo figlio è popolato dal decadimento del secondo stato eccitato (54%) e dal decadimento - diretto del nucleo padre (5%). E’ quindi popolato nel 59% dei decadimenti. Poiché decade solo nel 49% dei decadimenti, nel restante 10% la diseccitazione avverrà attraverso il processo di conversione interna con emissione di elettroni di energia definita. Il coefficiente di conversione interna è difinito come la probabilità di conversione interna rispetto alla probabilità di diseccitazione g, pertanto: K + L = 10/49 = 20,41%.d) 2 e 5 keVe) a seguito delle lacune negli orbitali L e K create dal processo di conversione interna, ci sarà una diseccitazione dell’atomo figlio con relativa emissione di raggi X.

7. Il decade in con tempo di dimezzamento di 12,75 giorni ed il decade, con tempo di dimezzamento di 40,32 h, in che è stabile. Un radiochimico dopo aver fatto precipitare il Ba, separandolo dal La, vuole aspettare finché la quantità di abbia raggiunto il suo massimo valore prima di separarlo di nuovo.a) calcolare il tempo che si deve attendere;b) se l’attività iniziale di è di 1000 MBq, quanti microgrammi di si raccoglieranno ?

Risposta. a) Nelle condizioni date (assenza di all’istante iniziale) l’attività del è data dalla equazione:

e la sua derivata rispetto al tempo:

. Al tempo t* in cui la derivata è nulla vale la

relazione: da cui . Sostituendo i valori numerici delle

costanti ( = 1/ e è il valore della vita media (mean life) dato) si ottiene t* ≈ 136 ore.b) Si deve calcolare A2(136 ore). Sostituendo, nella formula sopra riportata, i valori delle costanti di decadimento e dell’attività iniziale di si ottiene che l’attività di a 136 ore è di 734 MBq.

Essendo l’attività specifica del = si ottiene la massa dividendo

l’attività per l’attività specifica. Il risultato è di 358 microgrammi.

8. Un’atmosfera contiene i numeri di atomi per litro d’aria mostrati in tabella.a) calcolare l’esposizione in WL;b) calcolare il potential Alpha-Energy Concentration (PAEC)c) calcolare l’Equilibrium-Equivalent Decay-product Concentration (EEDC)d) calcolare il fattore di equilibrio

Risposta.a) Dalla tabella data si ricava l’energia delle alfa associabile ad ogni radionuclide:

Nuclide

min-1)

Energia neldecadimento (MeV)

Atomi in 1 l d’aria

Energia per atomo (MeV)

Energia per radionuclide in 1 l d’aria (MeV)

3,82 d 1,26*10-4 5,5 2,34*105 non rilevante nessuna

3,11 min 2,23*10-1 6,0 52 13,69 711,9

Nuclide

min-1)

Energia neldecadimento (MeV)

Atomi in 1 l d’aria

3,82 d 1,26*10-4 5,5 2,34*105

3,11 min 2,23*10-1 6,0 52

26,8 min 2,58*10-2 0 407

19,9 min 3,48*10-2 0 214

164 s 2,53*105 7,69 2

26,8 min 2,58*10-2 0 407 7,69 3129,8

19,9 min 3,48*10-2 0 214 7,69 1645,6

164 s 2,53*105 7,69 2 7,69 15,4

Sommando l’energia delle alfa si ottine 5502,7 MeV. Poiché 1 WL corrisponde ad una energia delle alfa di 1,3 105 MeV/l, si ottiene che l’esposizione connessa con le concentrazioni riportate in tabella è di 4,233 10-2 WL.b) il PAEC è definito come la “potential alpha-energy concentration” in un metro cubo di aria. Dai conti sopra fatti l’esposizione ad una atmosfera con le concentrazioni riportate in tabella corrisponde ad un PAEC di 5502,7 MeV/l ovvero 5,503 MeV/m3.c) per definizione l’EEDC (equilibrium-equivalent decay-product concentration) è la concentrazione di attività dei figli del radon che danno luogo ad un certo valore del PAEC sotto la condizione di equilibrio secolare, quando cioè l’attività (o la concentrazione di attività) è la stessa per tutti i figli del radon. Bisogna quindi sommare l’energia delle alfa dei vari prodotti di decadimento associate ad una concentrazione di attività unitaria.

Nuclide min-1)

sec-1)

Atomi in 1 l d’aria

Attività in 1 l d’aria (Bq/l)

Energia per atomo (MeV)

Energia per radionuclide in 1 l d’aria (MeV)

Energia per attivitàunitaria(MeV/Bq)

1,26*10-4 2,1*10-6 2,34*105 4,91*10-1 non rilevante non rilevante ---

2,23*10-1 3,72*10-3 52 1,93*10-1 13,69 711,9 3,69*103

2,58*10-2 4,3*10-4 407 1,75*10-1 7,69 3129,8 1,79*104

3,48*10-2 5,8*10-4 214 1,24*10-1 7,69 1645,6 1,33*104

2,53*105 4,23*103 2 8,46*103 7,69 15,4 1,82*10-3

Sommando i numeri dell’ultima colonna si ha un totale di 3,49 104 MeV Bq-1.Quindi l’EEDC che corrisponde al PAEC calcolato al punto b) è: 5502,7/3,49*104 = 1,58*10-1 Bq/lOppure 1,58*10-4 MeV/m3.d) Il fattore di equilibrio è il rapporto tra questa concentrazione di attività e la concentrazione di attività del radio. Fattore di equilibrio = 1,58*10-1/4,91*10-1 = 0,322

9. In figura è rappresentato lo schema del decadimento di . Ha uno stato isomerico (109 keV) con periodo di dimezzamento di 127 anni che decade + in con branching ratio del 91% e per il restante 9% decade allo stato eccitato a 79 keV di che a sua volta decade allo stato

fondamentale di . Lo stato fondamentale decade con tempo di dimezzamento di 2,4 minuti in attraverso decadimento + (branching ratio ~ 2%) ed in attraverso decadimento- (branching ratio ~ 98%). Gli stati eccitati dei nuclei figli decadono con decadimenti . In figura sono mostrati i diversi livelli e sono indicate, per ogni livello, il momento angolare totale e la parità. Per i decadimenti argomentare quale interazione (Fermi, Gamow-Teller, permessa, ) può intervenire nella transizione e per i decadimenti motivare l’indicazione del carattere multipolare della transizione, facendo valere le considerazioni legate ai momenti angolari ed alle parità degli stati iniziale e finale della transizione.

Risposta. Il decadimento + dallo stato isomerico 6+ dell’ allo stato 6+ del (I = 0, = no) soddisfa le regole di selezione sia della transizione ”permessa” di Fermi che di Gamow-Teller è quindi una transizione “permessa” mista. I decadimenti + dallo stato fondamentale 1+ dell’ allo stato fondamentale 0+ e al primo stato eccitato 2+ del e - dallo stato fondamentale 1+ dell’

allo stato fondamentale 0+ e al primo stato eccitato 2+ del (I = ±1, = no) sono tutte delle transizioni “permesse” di Gamow-Teller. La transizione dallo stato isomerico 6+ dell’ allo stato 2- (I = 4, = sì), date le regole di selezione e le probabilità di emissione connesse con le varie multipolarità, è di tipo M4 (l’alta multipolarità spiega il carattere isomerico dello stato), mentre quella dallo stato 2- allo stato fondamentale 1+ (I = 1, = sì) è di tipo E1. Tutte le altre transizioni tra i vari stati del e del (I = 2, = no) sono di tipo E2.

10. Il decadimento e la verifica sperimentale dell’effetto di tunnelling quantistico attraverso la legge di Geiger- Nuttall.

Risposta. E’ di tipo discorsivo. Si devono illustrare le condizioni perché il decadimento possa avvenire. Si deve discutere il fenomeno del tunneling quantistico attraverso una barriera ed indicare gli elementi che conducono alla soluzione quantitativa del problema elaborata da Gamow. La rispondenza del fenomeno ipotizzato ai dati sperimentali è la sua riproduzione della legge di Geiger-Nuttal trovata molto prima della spiegazione quantistica del fenomeno.

11. In un tubo a raggi X un fascio di elettroni di 12 mA è accelerato da una differenza di potenziale di 200 kV contro un bersaglio di Tungsteno (Z=74). Si generano raggi X a seguito dell’assorbimento completo degli elettroni nel bersaglio. a) quale è la potenza (watt) del fascio X irraggiato? b) quale sarebbe il risultato se si potesse usare un bersaglio di Piombo (Z=82) ?

Radiation yield approssimato: T(MeV)

Risposta. Il “radiation yield” è definito come la percentuale media di energia che è emessa sotto forma di radiazione (bremsstrahlung) nel processo di frenamento completo di un elettrone in un mezzo. Calcolando la formula per il caso di frenamento completo di un elettrone di 200 KeV in un anticatodo di tungsteno e di piombo si ottiene che tale percentuale è rispettivamente eguale a 0,88% e 0,97%.La potenza del fascio di elettroni è eguale alla sua energia nell’unità di tempo. L’energia del fascio è il prodotto della carica per la differenza di potenziale accelerante. Sia ha quindi:

per cui la potenza irraggiata nei due casi è: 21,12 W e 23,28 W.Il calcolo della potenza del fascio può essere anche fatto in altro modo. Per esempio calcolando l’energia di un singolo elettrone e moltiplicando tale valore per il numero di elettroni/secondo corrispondenti a 12 mA.

12. Usando i dati in Tabella, calcolare lo stopping power dell’acqua ed il Range in acqua per:a) protoni di 7 MeV;b) pioni carichi (massa 139,6 MeV/c2) di 7 MeVc) particelle alfa di 7 MeV

Risposta. La formula che dà lo stopping power per una particella carica pesante in un mezzo è (James E. Turner formula 5.33):

in cui z è il numero di cariche elettroniche della particella carica, n ed I sono rispettivamente la densità elettronica e l’energia media di eccitazione (espressa in eV) del mezzo. Se ci si riferisce pertanto ad uno stesso mezzo si può riscrivere:

(1)

Avendo a disposizione la tabella dello stopping power di massa per i protoni in acqua, lo stopping power per altre particelle nello stesso mezzo si ricava facilmente una volta che si ottenga il valore della G() dalla tabella. A questo fine bisogna, data l’energia cinetica della particella, ricavare l’energia del protone che ha lo stesso b2 ed assumere il corrispondente valore della funzione G().Per il range bisogna tener conto della relazione che lega il range di una particella di massa M (rapporto con la massa del protone) e carica elettronica z a quello del protone nello stesso mezzo:

(2)

a) i valori si ricavano direttamente dalla tabella facendo l’interpolazione lineare tra i valori riportati di 6 ed 8 MeV. Si ricava: 62,15 MeV cm2 g-1 per lo stopping power e 0,063 g cm-2 per il range.

b) dalla relazione: si ricava l’energia cinetica del protone che corrisponde allo stesso 2

di un pione di data energia cinetica. Un pione di 7 MeV ha lo stesso 2 di un protone di 47 MeV.Interpolando dalla tabella i dati relativi a 45 e 50 MeV si ottiene uno stopping power in acqua per un pione carico da 7 Mev eguale a 13,06 MeV cm2 g-1. Il valore del range di un protone di 47 MeV si ricava per interpolazione dalla tabella ed è 1,952 g cm-2. Utilizzando la relazione (2), si ottiene il range in acqua per un pione carico di 7 MeV : 0,29 g cm-2

c) l’energia cinetica di un protone che ha lo stesso 2 di una particella alfa di 7 MeV è di 1,75 MeV. Il valore dello stopping power per questo protone è di 189 MeV cm2 g-1 e, tenendo conto della relazione (1), si ricava lo stopping power per la particella alfa da / MeV: 756 MeV cm2 g-1.

Dalla interpolazione in tabella si ricava che il range di un protone di 1,75 MeV vale 0,0057 g cm -2

che, data la relazione (2), è lo stesso della particella alfa di 7 MeV.