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Corso di aggiornamento sul D.M. 14 gennaio 2008 per il progetto di costruzioni in acciaio - 21 maggio 2010 - Effetti delle Deformazioni e delle Iperfezioni sulle Strutture in Acciaio Valutazione dei Fenomeni di Instabilit - Introduzione sulla stabilit delle aste - Effetti delle imperfezioni e delle deformazioni - Valutazione del moltiplicatore critico dei carichi (acr) - Casi di applicazione di analisi globali di 1 o del 2 ordine Ing. Jacopo Morganti Ing. Niccol Lucia Ing. Andrea Gheri

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FASI DEL PROCESSO DI PROGETTAZIONE DI UNA STRUTTURA dimensionamento preliminare analisi globale verifiche degli elementi Geometria delledificio Carichi esterni Condizioni di vincolo Ingombri strutturali Caratteristiche della sollecitazione (N, M, T) Analisi globale Tensioni negli elementi strutturali. Coefficienti di utilizzo delle aste. Verifiche Effetti delle imperfezioni Effetti delle deformazioni (analisi del 2 ordine) Verifiche di stabilit delle aste compresse Considerazioni introduttive

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Lacciaio un materiale da costruzione con caratteristiche di elevata rigidezza e resistenza. Questo comporta ladozione di sezioni contenute e quindi di aste che tendono ad essere snelle e quindi soggette a deformazioni flessionali. E necessario pertanto limitare la deformabilit sia per i singoli elementi che la deformata complessiva della struttura: la verifica del rispetto dei limiti di deformabilit pu rappresentare la verifica condizionante il dimensionamento delle sezioni, pi della verifica di resistenza. Per la singola trave inflessa di solaio il tipico rapporto fra freccia e luce di f < 1/250 L Per gli edifici intelaiati ci sono dei limiti complessivi per le frecce orizzontali dovute ai carichi orizzontali (vento). Per edifici comuni si impone un limite allo spostamento interpiano < 1/300 h ed un limite allo spostamento orizzontale massimo pari a < 1/500 H

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Le deformazioni possono essere di due tipi: - deformazioni elastiche dovute a carichi orizzontali (vento, sisma, carichi mobili, ecc.) -difetti iniziali, indipendenti dai carichi esterni, dovute alle tolleranze di costruzione (imperfezioni, errori di montaggio, ecc.) Le deformazioni possono rappresentare un pericolo per le strutture compresse: lo scostamento dalla configurazione rettilinea comporta infatti linsorgenza di momenti parassiti dovuti al braccio del carico di compressione che aggravano lo stato di sollecitazione dellasta e possono comprometterne la resistenza o la stabilit. Considerazioni introduttive

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Le deformazioni dovute alle imperfezioni possono essere trattate assimilandole a deformazioni elastiche dovute a carichi esterni fittizi aggiunti a quelli di calcolo. E quindi sempre necessario analizzare le strutture in acciaio applicando dei carichi orizzontali, anche nel caso in cui i carichi esterni siano modesti o addirittura assenti, aggiungendo i carichi esterni fittizi per tenere conto delle tolleranze di costruzione. Le imperfezioni iniziali della singola asta, in particolare la sua curvatura iniziale, generalmente gi considerate implicitamente nelle verifiche di stabilit. Le imperfezioni possono per sommarsi generando effetti globali che devono essere valutati nellanalisi delledificio, imponendo carichi fittizi orizzontali ai vari impalcati di piano.c Considerazioni introduttive Per strutture ordinarie tali effetti sono comunque modesti e generalmente trascurabili. Nelledilizia tradizionale si adottano comunemente analisi elastiche delle strutture che ignorano la presenza delle eccentricit di carico: le caratteristiche della sollecitazione vengono calcolate applicando il carico esterno sulla configurazione iniziale indeformata della struttura e non su quella deformata. Si dice in questo caso che si sta conducendo una analisi del primo ordine.

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Parte Prima: STABILIT DELLE ASTE

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Stabilit delle aste La teoria classica di Eulero delle aste compresse ricorre in molti punti dellNTC 2008, in particolare per quanto riguarda gli effetti delle imperfezioni, gli effetti delle deformazioni, le analisi globali, le verifiche si elementi compressi o inflessi. Sono frequenti i riferimenti al Carico Critico (Ncr), alla Snellezza Critica (cr) e alla Snellezza Adimensioneale ( soprasegnato) Consideriamo un caso elementare: unasta scarica incernierata agli estremi.

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Stabilit delle aste Consideriamo un secondo caso: asta incernierata agli estremi sottoposta ad un carico N di trazione.

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Stabilit delle aste Consideriamo il caso di asta incernierata agli estremi sottoposta ad un carico N di compressione. Lesperienza porta a dirci che sono possibili due diverse situazioni: 1) Asta compressa con un carico N molto piccolo: il comportamento dellasta identico al caso gi visto di asta scarica; 2) Asta compressa con un carico N molto grande: lequilibrio impossibile (collasso).c

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Stabilit delle aste

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Nelle aste reali linstabilit si manifesta prima del raggiungimento del carico critico, per la presenza di imperfezioni geometriche, tensioni interne, eccentricit del carico. Sono state quindi individuate delle curve sperimentali che tengono conto delle imperfezioni.

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Stabilit delle aste Curve di stabilit sperimentali secondo CNR 10011/88. = 1/

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Stabilit delle aste Confronto fra le curve di stabilit sperimentali del CNR 10011 (linee tratteggiate) e delle NTC 2008 (linee continue). In nero riportata per confronto la curva ideale di Eulero.

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Stabilit delle aste Confronto fra applicazione del coefficiente e del coefficiente . Introduzione del moltiplicatore critico cr (inverso del coeff. di utilizzo per instabilit)

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Stabilit delle aste Formule per il calcolo approssimativo dei raggi di inerzia dei profili a doppio T: Profili HEA max = (h/2) / 1,15 min = (h/2) / 2

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Stabilit delle aste Formule per il calcolo approssimativo dei raggi di inerzia dei profili a doppio T: Profili HEA max = (h/2) / 1,2 min = (h/2) / 2

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Stabilit delle aste Formule per il calcolo approssimativo dei raggi di inerzia dei profili a doppio T: Profili HEA max = (h/2) / 1,2 min = (h/2) / 4,5

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Stabilit delle aste Tutto quanto visto finora vale per lasta di Eulero con entrambi gli estremi incernierati. Nella realt si possono avere un gran numero di condizioni di vincolo. Per poter ricondurre le aste comunque vincolate alla teoria di Eulero si introduce la Lunghezza Libera di Inflessione, L 0, ovvero quella lunghezza nella quale lasta presenta una deformata critica assimilabile a quella della doppia cerniera. L 0 = L

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Stabilit delle aste =2

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Parte Seconda: EFFETTI DELLE IMPERFEZIONI

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Effetto delle imperfezioni Le singole aste che si trovano in una struttura presentano sempre un certo grado di imperfezioni che posso essere ricondotte principalmente a: - errori di rettilineit del singolo profilo; - errori di allineamento delle aste (tolleranze di costruzione); - tolleranze dei collegamenti (asolature dei fori, eccentricit dei giunti); - tensioni residue nel materiale. Le imperfezioni dei singoli elementi possono essere generalmente trascurati e si considerano inclusi nelle verifiche di stabilit delle aste. Tuttavia devono essere considerate se lasta che si considera molto sensibile agli effetti del secondo ordine, ovvero se presenta un cr modesto (< 4) e presenta un certo grado di incastro (abbia un vincolo rotazionale ad almeno un estremo. Le imperfezioni dei singoli elementi, sommandosi insieme, possono determinare uno scostamento significativo della forma della struttura dalla sua configurazione progettuale. E ci che si indica con il termine imperfezioni globali. La norma considera in particolare due sistemi strutturali sensibili alle imperfezioni globali: - gli edifici intelaiati collasso per instabilit delle colonne; - i controventi di piano o di falda collasso per instabilit dei correnti compressi;

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Effetto delle imperfezioni: telai Consideriamo ad esempi il caso delle colonne negli edifici intelaiati: la norma stabilisce che per tenere conto delle imperfezioni si pu assumere che la colonna presenti uno scostamento dalla verticale dellordine di = 1/200 dellaltezza. Ne deriva uno scostamento della testa della colonna e quindi un momento dato dalla coppia del carico di punta. Il momento pu essere rappresentato con una coppia di forze orizzontali fittizie N applicate sulla configurazione indeformata della struttura.

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In generale le imperfezioni saranno distribuite in modo casuale nelledificio. A fini cautelativi opportuno tuttavia considerare che le imperfezioni siano disposte nel modo peggiore possibile, ovvero siano tutte disposte nello stesso senso e assecondino la forma di instabilit globale della struttura. Lo studio della struttura pu essere condotto imponendo le deformazioni pari alle imperfezioni oppure applicando i carichi fittizi N che riproducono le sollecitazioni indotte dalle imperfezioni. Effetto delle imperfezioni: telai

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Lo studio della struttura pu essere condotto imponendo le deformazioni pari alle imperfezioni oppure applicando alla struttura indeformata dei carichi fittizi N che riproducono le sollecitazioni indotte dalle imperfezioni. I carichi vanno applicati ad ogni piano e considerando singolarmente i vari telai che compongono la struttura (piani verticali). q3 q2 q1 Q3 Q2 Q1 q3 q2 q1 Effetto delle imperfezioni: telai

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Come abbiamo detto le imperfezioni sono distribuite casualmente nella struttura. La norma ammette quindi che sia troppo gravoso estendere allintero edificio il difetto di verticalit di 1/200. Ammette pertanto di poter ridurre il difetto di verticalit introducendo due parametri riduttivi. Il primo h tiene conto del numero complessivo di piani delledificio,il secondo m del numero di colonne presente in ogni telaio verticale. Il coefficiente h vale 1,0 per edifici di un solo piano (h 3m). Il coefficiente m dipende dal numero di pilastri in ogni stilata, con esclusione di quelli scarichi, che contribuiscono poco allinstabilit globale. Nel caso di edificio con molti pilastri pu assumere il valore minimo pari a 0,7. Tuttavia gi nel caso di telaio con 3 colonne vale 0,8. In generale si pu pertanto assumere che esso valga 0,8. In definitiva nei calcoli si pu assumere, in prima approssimazione: Effetto delle imperfezioni: telai

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Se la struttura naturalmente soggetta a sensibili sollecitazioni orizzontali (vento, sisma) allora le forze fittizie N dovute alle imperfezioni diventano irrilevanti rispetto ai carichi esterni ed il loro contributo pu essere trascurato: ledificio gi concepito per resistere ai carichi orizzontali esterni ed quindi in grado di assorbire i piccoli momenti aggiuntivi dovuti ai difetti di verticalit. Effetto delle imperfezioni: telai

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1 Ipotesi progettuali ESEMPIO:Telaio multipiano in acciaio Serie di telai come in figura posti ad interasse 5 m. Edificio per uffici (sovraccarico 350 kg/m) 2 Analisi dei Carichi PERMANENTI: G k = 4 kN/m 2 VARIABILI: Q k = 3,5 kN/m 2 Q vento = 0,6 kN/m 2 COMBINAZIONE SLU carico distribuito di piano: q Sd = 53,25 kN/m carico orizzontale piano 1: F 1Sd = 18 kN carico orizzontale piano 2: F 2Sd = 9 kN

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3 Effetti delle imperfezioni globali Difetto di verticalit delle colonne: per edificio a due piani: f ~ 1/300 Calcolo delle forze fittizie H eq dovute a f : H eq = f (q Sd L) = (53,25 6)/300 = 0,96 kN Nelle analisi andranno considerate le seguenti forze orizzontali applicate ai nodi del telaio: F 1Sd = F 1Sd + H eq = 18 + 0,96 = 18,96 kN F 2Sd = F 2Sd + H eq = 9 + 0,96 = 9,96 kN ESEMPIO:Telaio multipiano in acciaio

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Un altro caso in cui le imperfezioni possono dar luogo a sollecitazioni rilevanti sono i controventi di piano, ovvero quegli elementi destinati a dare rigidezza al piano e a contenere i fenomeni di instabilit dei correnti o delle piattabande compresse. Poich i correnti dei controventi sono compressi, se hanno un errore di linearit nascono forze dovute al braccio di applicazione del carico di punta. Si considera che il corrente compresso presente una freccia iniziale dellordine di 1/500 della luce. Anche in questo caso si considera un coefficiente riduttivo m che dipende dal numero di elementi (a.e. capriate) coinvolte nel controvento. Se gli elementi controventati sono solo 2 m vale 0,9; se sono maggiori di 2 si pu assumere che valga 0,8 e pertanto la freccia iniziale si pu generalmente assumere: L/600 Effetto delle imperfezioni: controventi

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Anche nel caso delle imperfezioni dei controventi, come in quello dei telai, la norma consente di trattare le imperfezioni come un sistema di forze esterne fittizie aggiuntive. Per i controventi di piano la norma indica di applicare su un corrente del controvento un carico distribuito uniforme q d che tiene conto sia delle imperfezioni che degli effetti del 2 ordine della deformazioni elastica.

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Effetto delle imperfezioni: controventi

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ESEMPIO: Controvento di falda Dati generali: luce capriate L = 20 m interasse capriate i = 5 m numero complessivo capriate n tot = 7 Profilo diagonali: L10010 ANALISI DEI CARICHI ESTERNI Q VENTO = 77 kg/m 2 Q TRASCINAMENTO = 3,85 kg/m 2 N Ed (massima compressione nei correnti delle capriate) = 28325 kg n (numero elementi controventati) = 7

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Per determinare il carico distribuito equivalente q d deve essere prima calcolato il valore di d q, freccia massima del sistema di controvento dovuta ai carichi esterni (si pu ignorare nel caso si conduca una analisi del 2 ordine). PASSO 1 Si calcola il valore della freccia elastica dovuta ai carichi esterni d q. PASSO 2 Si calcola il carico fittizio q d tenendo conto sia della freccia dovuta alle imperfezioni e 0 che della freccia elastica d q dovuta ai carichi esterni. PASSO 3 Si aggiunge il carico fittizio q d ai carichi esterni e si conduce una analisi elastica lineare della struttura. ANALISI DEL CARICO DOVUTO ALLE IMPERFEZIONI ESEMPIO: Controvento di falda

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Risultato fornito dal programma di calcolo a seguito di analisi elastica del primo ordine La formula semplificata comunemente adottata per i controventi di falda prevede lapplicazione di carichi orizzontali aggiuntivi applicati ai nodi pari a: Forza nodale associata al carico q d ESEMPIO: Controvento di falda

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Sollecitazioni (valutazione semplificata) (Vento+Trascinamento+D Q ) N max =13373 kg Sollecitazioni (NTC 2008) (Vento+Trascinamento+ q d ) N max = 11642 kg N max La tensione massima delle diagonali, calcolata con le NTC 2008, inferiore del 13% rispetto alla valutazione semplificata tradizionale. ESEMPIO: Controvento di falda

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Effetto delle imperfezioni: controventi

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Parte Terza: EFFETTI DELLE DEFORMAZIONI (effetti del 2 ordine)

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Si gi visto che nel caso in cui unasta presenti una deformata, sia essa dovuta a spostamenti elastici, che a imperfezioni, questa altera lo schema statico della struttura generando delle sollecitazioni aggiuntive, note come effetti del 2 ordine. Generalmente gli effetti del 2 ordine sono modesti, tuttavia opportuno valutare prima dellanalisi se la struttura sensibile o meno agli effetti delle deformazioni ed in questo caso condurre una analisi globale che tenga conto anche degli effetti del 2 ordine. Effetti delle deformazioni

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LNTC 2008 impone al progettista di condurre una valutazione preliminare della struttura valutandone la sensibilit alle deformazioni. Il parametro assunto per la valutazione il moltiplicatore critico dei carichi cr. Il moltiplicatore indica di quanto possono essere aumentati i carichi agenti sulla struttura prima che essa raggiunga il carico critico per collasso globale. La norma stabilisce che, se cr minore di 10 (per analisi elastiche) necessario condurre una analisi del 2 ordine. Nel caso di telai ordinari il moltiplicatore critico cr di un edificio intelaiato approssimabile con l cr della colonna pi sollecitata posta al piano pi basso, ovvero con il rapporto fra il carico critico della colonna N cr ed il suo carico di progetto N Ed. Infatti i pilastri al piano terreno sono quelli soggetti ai carichi maggiori, ovvero pi prossimi al carico critico, e presentano una deformata critica comune fra di loro per la presenza degli impalcati rigidi. Il moltiplicatore critico poco sensibile allazione dei carichi orizzontali di piano. Effetti delle deformazioni Una prima valutazione del moltiplicatore critico globale si pu quindi ottenere con una stima del carico critico delle colonne del piano terreno. Il coefficiente della colonna sar assunto pari a 1 se gli impalcati sono sufficientemente rigidi da mantenere la verticalit delle colonne nei nodi. Per edifici alti o impalcati poco rigidi, il coefficiente andr aumentato in conseguenza.

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Consideriamo un caso semplice: edificio a telaio a corpo triplo di 4 piani. Carico di piano: 800 kg/mq. Interasse tipico fra i pilastri: 5m Carico di punta tipico di piano sul pilastro: 20 t. Carico di punta massimo sul pilastro P.T. = 80 t. Colonne HEB320, travi HEA280. Altezza colonne piano terra: 5m. Calcoliamo il moltiplicatore critico assumendo le travi infinitamente rigide rispetto alle colonne. Effetti delle deformazioni

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cr calcolato per via analitica: 9,57 cr calcolato con analisi di buckling: 9,23 Effetti delle deformazioni

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Ipotizziamo adesso di modificare il grado di vincolo della base dei pilastri, ipotizzando di avere delle cerniere invece che incastri (a.e. plinti isolati). Effetti delle deformazioni

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cr calcolato per via analitica: 2,39 cr calcolato con analisi di buckling: 2,38 Effetti delle deformazioni

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Consideriamo infine il caso in cui il telaio si presenti irregolare per forma e per carichi, con asimmetrie. I telai si considerano incastrati alla base. Effettuiamo il calcolo analitico di cr rispetto alla colonna pi caricata del piano terreno. Il risultato non cambia rispetto al caso gi esaminato. Effetti delle deformazioni

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cr calcolato per via analitica: 9,57 cr calcolato con analisi di buckling: 12,01 (nel caso di telaio regolare: 9,23) Effetti delle deformazioni

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La circolare esplicativa prevede un metodo semplificato per il calcolo del moltiplicatore critico. Esso suppone la conoscenza dello spostamento di interpiano oltre che dei carichi complessivi di piano del carico orizzontale H Ed e verticale V ed. Il metodo applicabile solo se le travi di piano sono poco caricate, in pratica se il loro cr >11 Effetti delle deformazioni

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Ipotesi di origine della formula semplificata: LNTC semplifica ulteriormente la formula eliminando il coeff. 0,8 e cos facendo non va in favore di sicurezza. Nel caso delledificio esaminato in precedenza si hanno le seguenti valutazioni di cr : - con calcolo analitico: 9,57 - con analisi di buckling: 9,23 - con formula semplificata: 9,86 secondo formula semplificata dellNTC 2008: 12,32 (stima non cautelativa). Effetti delle deformazioni

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Analisi del 2 ordine Nel caso in cui il moltiplicatore critico della struttura sia maggiore di 10 (o 15 per analisi plastiche), necessario condurre lanalisi della struttura includendo gli effetti del 2 ordine. Le analisi del secondo ordine possono essere eseguite seguendo due procedure diverse: 1)Si effettua direttamente una analisi non lineare iterativa del 2 ordine con le apposite funzioni previste nei programmi di calcolo strutturale FE; 2)Metodo semplificato: si effettua una tradizionale analisi elastica lineare, dove per si proceder ad amplificare le caratteristiche di sollecitazione dovute ai soli spostamenti orizzontali di un coefficiente che pu essere calcolato per telai regolari come: il metodo semplificato applicabile solo se la struttura non eccessivamente sensibile agli effetti del secondo ordine, ovvero nel caso in cui cr, maggiore di 3. Il metodo semplificato consente di evitare una analisi del 2 ordine, tuttavia necessita di condurre una doppia analisi in modo da calcolare la parte delle sollecitazioni dovuta agli spostamenti orizzontali

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ESECUZIONE DELLANALISI GLOBALE NON LINEARE DEL 2 ORDINE CON EF MOMENTO Analisi del primo ordine MOMENTO Analisi del secondo ordine M = 97,66 kNmM =103,92 kNm Incremento del 6% rispetto ai momenti del primo ordine Analisi del 2 ordine - esempio

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Analisi del primo ordine applicata su telaio a nodi fissi M = 39,09 kNm Si deve amplificare il momento: M = 97,66 39,09 = 58,57 kNm Il pilastro va verificato a momento: M Sd = 39,09 + (1,113 58,57) = 104,27 kNm Il valore cos ottenuto vicino a quello calcolato con lanalisi non lineare del 2 ordine (103,92 kNm). Analisi del 2 ordine - esempio Si deve amplificare solo laliquota di momento dovuta agli spostamenti laterali, cio la differenza fra il momento ricavato per il telaio a nodi mobili e il momento ricavato per lo stesso telaio a nodi fissi. Facendo girare nuovamente il programma dopo aver bloccato gli spostamenti laterali delle travi si ottiene, per il pilastro considerato, un valore del momento flettente che dovr essere sottratto a quello ricavato dallanalisi di primo ordine dello stesso telaio a nodi mobili. Esecuzione dellanalisi globale del secondo ordine con metodo semplificato