Corso di aggiornamento sul D.M. 14 gennaio 2008 per il progetto
di costruzioni in acciaio - 21 maggio 2010 - Effetti delle
Deformazioni e delle Iperfezioni sulle Strutture in Acciaio
Valutazione dei Fenomeni di Instabilit - Introduzione sulla
stabilit delle aste - Effetti delle imperfezioni e delle
deformazioni - Valutazione del moltiplicatore critico dei carichi
(acr) - Casi di applicazione di analisi globali di 1 o del 2 ordine
Ing. Jacopo Morganti Ing. Niccol Lucia Ing. Andrea Gheri
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FASI DEL PROCESSO DI PROGETTAZIONE DI UNA STRUTTURA
dimensionamento preliminare analisi globale verifiche degli
elementi Geometria delledificio Carichi esterni Condizioni di
vincolo Ingombri strutturali Caratteristiche della sollecitazione
(N, M, T) Analisi globale Tensioni negli elementi strutturali.
Coefficienti di utilizzo delle aste. Verifiche Effetti delle
imperfezioni Effetti delle deformazioni (analisi del 2 ordine)
Verifiche di stabilit delle aste compresse Considerazioni
introduttive
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Lacciaio un materiale da costruzione con caratteristiche di
elevata rigidezza e resistenza. Questo comporta ladozione di
sezioni contenute e quindi di aste che tendono ad essere snelle e
quindi soggette a deformazioni flessionali. E necessario pertanto
limitare la deformabilit sia per i singoli elementi che la
deformata complessiva della struttura: la verifica del rispetto dei
limiti di deformabilit pu rappresentare la verifica condizionante
il dimensionamento delle sezioni, pi della verifica di resistenza.
Per la singola trave inflessa di solaio il tipico rapporto fra
freccia e luce di f < 1/250 L Per gli edifici intelaiati ci sono
dei limiti complessivi per le frecce orizzontali dovute ai carichi
orizzontali (vento). Per edifici comuni si impone un limite allo
spostamento interpiano < 1/300 h ed un limite allo spostamento
orizzontale massimo pari a < 1/500 H
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Le deformazioni possono essere di due tipi: - deformazioni
elastiche dovute a carichi orizzontali (vento, sisma, carichi
mobili, ecc.) -difetti iniziali, indipendenti dai carichi esterni,
dovute alle tolleranze di costruzione (imperfezioni, errori di
montaggio, ecc.) Le deformazioni possono rappresentare un pericolo
per le strutture compresse: lo scostamento dalla configurazione
rettilinea comporta infatti linsorgenza di momenti parassiti dovuti
al braccio del carico di compressione che aggravano lo stato di
sollecitazione dellasta e possono comprometterne la resistenza o la
stabilit. Considerazioni introduttive
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Le deformazioni dovute alle imperfezioni possono essere
trattate assimilandole a deformazioni elastiche dovute a carichi
esterni fittizi aggiunti a quelli di calcolo. E quindi sempre
necessario analizzare le strutture in acciaio applicando dei
carichi orizzontali, anche nel caso in cui i carichi esterni siano
modesti o addirittura assenti, aggiungendo i carichi esterni
fittizi per tenere conto delle tolleranze di costruzione. Le
imperfezioni iniziali della singola asta, in particolare la sua
curvatura iniziale, generalmente gi considerate implicitamente
nelle verifiche di stabilit. Le imperfezioni possono per sommarsi
generando effetti globali che devono essere valutati nellanalisi
delledificio, imponendo carichi fittizi orizzontali ai vari
impalcati di piano.c Considerazioni introduttive Per strutture
ordinarie tali effetti sono comunque modesti e generalmente
trascurabili. Nelledilizia tradizionale si adottano comunemente
analisi elastiche delle strutture che ignorano la presenza delle
eccentricit di carico: le caratteristiche della sollecitazione
vengono calcolate applicando il carico esterno sulla configurazione
iniziale indeformata della struttura e non su quella deformata. Si
dice in questo caso che si sta conducendo una analisi del primo
ordine.
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Parte Prima: STABILIT DELLE ASTE
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Stabilit delle aste La teoria classica di Eulero delle aste
compresse ricorre in molti punti dellNTC 2008, in particolare per
quanto riguarda gli effetti delle imperfezioni, gli effetti delle
deformazioni, le analisi globali, le verifiche si elementi
compressi o inflessi. Sono frequenti i riferimenti al Carico
Critico (Ncr), alla Snellezza Critica (cr) e alla Snellezza
Adimensioneale ( soprasegnato) Consideriamo un caso elementare:
unasta scarica incernierata agli estremi.
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Stabilit delle aste Consideriamo un secondo caso: asta
incernierata agli estremi sottoposta ad un carico N di
trazione.
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Stabilit delle aste Consideriamo il caso di asta incernierata
agli estremi sottoposta ad un carico N di compressione. Lesperienza
porta a dirci che sono possibili due diverse situazioni: 1) Asta
compressa con un carico N molto piccolo: il comportamento dellasta
identico al caso gi visto di asta scarica; 2) Asta compressa con un
carico N molto grande: lequilibrio impossibile (collasso).c
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Stabilit delle aste
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Nelle aste reali linstabilit si manifesta prima del
raggiungimento del carico critico, per la presenza di imperfezioni
geometriche, tensioni interne, eccentricit del carico. Sono state
quindi individuate delle curve sperimentali che tengono conto delle
imperfezioni.
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Stabilit delle aste Curve di stabilit sperimentali secondo CNR
10011/88. = 1/
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Stabilit delle aste Confronto fra le curve di stabilit
sperimentali del CNR 10011 (linee tratteggiate) e delle NTC 2008
(linee continue). In nero riportata per confronto la curva ideale
di Eulero.
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Stabilit delle aste Confronto fra applicazione del coefficiente
e del coefficiente . Introduzione del moltiplicatore critico cr
(inverso del coeff. di utilizzo per instabilit)
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Stabilit delle aste Formule per il calcolo approssimativo dei
raggi di inerzia dei profili a doppio T: Profili HEA max = (h/2) /
1,15 min = (h/2) / 2
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Stabilit delle aste Formule per il calcolo approssimativo dei
raggi di inerzia dei profili a doppio T: Profili HEA max = (h/2) /
1,2 min = (h/2) / 2
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Stabilit delle aste Formule per il calcolo approssimativo dei
raggi di inerzia dei profili a doppio T: Profili HEA max = (h/2) /
1,2 min = (h/2) / 4,5
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Stabilit delle aste Tutto quanto visto finora vale per lasta di
Eulero con entrambi gli estremi incernierati. Nella realt si
possono avere un gran numero di condizioni di vincolo. Per poter
ricondurre le aste comunque vincolate alla teoria di Eulero si
introduce la Lunghezza Libera di Inflessione, L 0, ovvero quella
lunghezza nella quale lasta presenta una deformata critica
assimilabile a quella della doppia cerniera. L 0 = L
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Stabilit delle aste =2
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Parte Seconda: EFFETTI DELLE IMPERFEZIONI
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Effetto delle imperfezioni Le singole aste che si trovano in
una struttura presentano sempre un certo grado di imperfezioni che
posso essere ricondotte principalmente a: - errori di rettilineit
del singolo profilo; - errori di allineamento delle aste
(tolleranze di costruzione); - tolleranze dei collegamenti
(asolature dei fori, eccentricit dei giunti); - tensioni residue
nel materiale. Le imperfezioni dei singoli elementi possono essere
generalmente trascurati e si considerano inclusi nelle verifiche di
stabilit delle aste. Tuttavia devono essere considerate se lasta
che si considera molto sensibile agli effetti del secondo ordine,
ovvero se presenta un cr modesto (< 4) e presenta un certo grado
di incastro (abbia un vincolo rotazionale ad almeno un estremo. Le
imperfezioni dei singoli elementi, sommandosi insieme, possono
determinare uno scostamento significativo della forma della
struttura dalla sua configurazione progettuale. E ci che si indica
con il termine imperfezioni globali. La norma considera in
particolare due sistemi strutturali sensibili alle imperfezioni
globali: - gli edifici intelaiati collasso per instabilit delle
colonne; - i controventi di piano o di falda collasso per
instabilit dei correnti compressi;
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Effetto delle imperfezioni: telai Consideriamo ad esempi il
caso delle colonne negli edifici intelaiati: la norma stabilisce
che per tenere conto delle imperfezioni si pu assumere che la
colonna presenti uno scostamento dalla verticale dellordine di =
1/200 dellaltezza. Ne deriva uno scostamento della testa della
colonna e quindi un momento dato dalla coppia del carico di punta.
Il momento pu essere rappresentato con una coppia di forze
orizzontali fittizie N applicate sulla configurazione indeformata
della struttura.
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In generale le imperfezioni saranno distribuite in modo casuale
nelledificio. A fini cautelativi opportuno tuttavia considerare che
le imperfezioni siano disposte nel modo peggiore possibile, ovvero
siano tutte disposte nello stesso senso e assecondino la forma di
instabilit globale della struttura. Lo studio della struttura pu
essere condotto imponendo le deformazioni pari alle imperfezioni
oppure applicando i carichi fittizi N che riproducono le
sollecitazioni indotte dalle imperfezioni. Effetto delle
imperfezioni: telai
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Lo studio della struttura pu essere condotto imponendo le
deformazioni pari alle imperfezioni oppure applicando alla
struttura indeformata dei carichi fittizi N che riproducono le
sollecitazioni indotte dalle imperfezioni. I carichi vanno
applicati ad ogni piano e considerando singolarmente i vari telai
che compongono la struttura (piani verticali). q3 q2 q1 Q3 Q2 Q1 q3
q2 q1 Effetto delle imperfezioni: telai
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Come abbiamo detto le imperfezioni sono distribuite casualmente
nella struttura. La norma ammette quindi che sia troppo gravoso
estendere allintero edificio il difetto di verticalit di 1/200.
Ammette pertanto di poter ridurre il difetto di verticalit
introducendo due parametri riduttivi. Il primo h tiene conto del
numero complessivo di piani delledificio,il secondo m del numero di
colonne presente in ogni telaio verticale. Il coefficiente h vale
1,0 per edifici di un solo piano (h 3m). Il coefficiente m dipende
dal numero di pilastri in ogni stilata, con esclusione di quelli
scarichi, che contribuiscono poco allinstabilit globale. Nel caso
di edificio con molti pilastri pu assumere il valore minimo pari a
0,7. Tuttavia gi nel caso di telaio con 3 colonne vale 0,8. In
generale si pu pertanto assumere che esso valga 0,8. In definitiva
nei calcoli si pu assumere, in prima approssimazione: Effetto delle
imperfezioni: telai
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Se la struttura naturalmente soggetta a sensibili
sollecitazioni orizzontali (vento, sisma) allora le forze fittizie
N dovute alle imperfezioni diventano irrilevanti rispetto ai
carichi esterni ed il loro contributo pu essere trascurato:
ledificio gi concepito per resistere ai carichi orizzontali esterni
ed quindi in grado di assorbire i piccoli momenti aggiuntivi dovuti
ai difetti di verticalit. Effetto delle imperfezioni: telai
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1 Ipotesi progettuali ESEMPIO:Telaio multipiano in acciaio
Serie di telai come in figura posti ad interasse 5 m. Edificio per
uffici (sovraccarico 350 kg/m) 2 Analisi dei Carichi PERMANENTI: G
k = 4 kN/m 2 VARIABILI: Q k = 3,5 kN/m 2 Q vento = 0,6 kN/m 2
COMBINAZIONE SLU carico distribuito di piano: q Sd = 53,25 kN/m
carico orizzontale piano 1: F 1Sd = 18 kN carico orizzontale piano
2: F 2Sd = 9 kN
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3 Effetti delle imperfezioni globali Difetto di verticalit
delle colonne: per edificio a due piani: f ~ 1/300 Calcolo delle
forze fittizie H eq dovute a f : H eq = f (q Sd L) = (53,25 6)/300
= 0,96 kN Nelle analisi andranno considerate le seguenti forze
orizzontali applicate ai nodi del telaio: F 1Sd = F 1Sd + H eq = 18
+ 0,96 = 18,96 kN F 2Sd = F 2Sd + H eq = 9 + 0,96 = 9,96 kN
ESEMPIO:Telaio multipiano in acciaio
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Un altro caso in cui le imperfezioni possono dar luogo a
sollecitazioni rilevanti sono i controventi di piano, ovvero quegli
elementi destinati a dare rigidezza al piano e a contenere i
fenomeni di instabilit dei correnti o delle piattabande compresse.
Poich i correnti dei controventi sono compressi, se hanno un errore
di linearit nascono forze dovute al braccio di applicazione del
carico di punta. Si considera che il corrente compresso presente
una freccia iniziale dellordine di 1/500 della luce. Anche in
questo caso si considera un coefficiente riduttivo m che dipende
dal numero di elementi (a.e. capriate) coinvolte nel controvento.
Se gli elementi controventati sono solo 2 m vale 0,9; se sono
maggiori di 2 si pu assumere che valga 0,8 e pertanto la freccia
iniziale si pu generalmente assumere: L/600 Effetto delle
imperfezioni: controventi
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Anche nel caso delle imperfezioni dei controventi, come in
quello dei telai, la norma consente di trattare le imperfezioni
come un sistema di forze esterne fittizie aggiuntive. Per i
controventi di piano la norma indica di applicare su un corrente
del controvento un carico distribuito uniforme q d che tiene conto
sia delle imperfezioni che degli effetti del 2 ordine della
deformazioni elastica.
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Effetto delle imperfezioni: controventi
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ESEMPIO: Controvento di falda Dati generali: luce capriate L =
20 m interasse capriate i = 5 m numero complessivo capriate n tot =
7 Profilo diagonali: L10010 ANALISI DEI CARICHI ESTERNI Q VENTO =
77 kg/m 2 Q TRASCINAMENTO = 3,85 kg/m 2 N Ed (massima compressione
nei correnti delle capriate) = 28325 kg n (numero elementi
controventati) = 7
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Per determinare il carico distribuito equivalente q d deve
essere prima calcolato il valore di d q, freccia massima del
sistema di controvento dovuta ai carichi esterni (si pu ignorare
nel caso si conduca una analisi del 2 ordine). PASSO 1 Si calcola
il valore della freccia elastica dovuta ai carichi esterni d q.
PASSO 2 Si calcola il carico fittizio q d tenendo conto sia della
freccia dovuta alle imperfezioni e 0 che della freccia elastica d q
dovuta ai carichi esterni. PASSO 3 Si aggiunge il carico fittizio q
d ai carichi esterni e si conduce una analisi elastica lineare
della struttura. ANALISI DEL CARICO DOVUTO ALLE IMPERFEZIONI
ESEMPIO: Controvento di falda
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Risultato fornito dal programma di calcolo a seguito di analisi
elastica del primo ordine La formula semplificata comunemente
adottata per i controventi di falda prevede lapplicazione di
carichi orizzontali aggiuntivi applicati ai nodi pari a: Forza
nodale associata al carico q d ESEMPIO: Controvento di falda
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Sollecitazioni (valutazione semplificata)
(Vento+Trascinamento+D Q ) N max =13373 kg Sollecitazioni (NTC
2008) (Vento+Trascinamento+ q d ) N max = 11642 kg N max La
tensione massima delle diagonali, calcolata con le NTC 2008,
inferiore del 13% rispetto alla valutazione semplificata
tradizionale. ESEMPIO: Controvento di falda
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Effetto delle imperfezioni: controventi
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Parte Terza: EFFETTI DELLE DEFORMAZIONI (effetti del 2
ordine)
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Si gi visto che nel caso in cui unasta presenti una deformata,
sia essa dovuta a spostamenti elastici, che a imperfezioni, questa
altera lo schema statico della struttura generando delle
sollecitazioni aggiuntive, note come effetti del 2 ordine.
Generalmente gli effetti del 2 ordine sono modesti, tuttavia
opportuno valutare prima dellanalisi se la struttura sensibile o
meno agli effetti delle deformazioni ed in questo caso condurre una
analisi globale che tenga conto anche degli effetti del 2 ordine.
Effetti delle deformazioni
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LNTC 2008 impone al progettista di condurre una valutazione
preliminare della struttura valutandone la sensibilit alle
deformazioni. Il parametro assunto per la valutazione il
moltiplicatore critico dei carichi cr. Il moltiplicatore indica di
quanto possono essere aumentati i carichi agenti sulla struttura
prima che essa raggiunga il carico critico per collasso globale. La
norma stabilisce che, se cr minore di 10 (per analisi elastiche)
necessario condurre una analisi del 2 ordine. Nel caso di telai
ordinari il moltiplicatore critico cr di un edificio intelaiato
approssimabile con l cr della colonna pi sollecitata posta al piano
pi basso, ovvero con il rapporto fra il carico critico della
colonna N cr ed il suo carico di progetto N Ed. Infatti i pilastri
al piano terreno sono quelli soggetti ai carichi maggiori, ovvero
pi prossimi al carico critico, e presentano una deformata critica
comune fra di loro per la presenza degli impalcati rigidi. Il
moltiplicatore critico poco sensibile allazione dei carichi
orizzontali di piano. Effetti delle deformazioni Una prima
valutazione del moltiplicatore critico globale si pu quindi
ottenere con una stima del carico critico delle colonne del piano
terreno. Il coefficiente della colonna sar assunto pari a 1 se gli
impalcati sono sufficientemente rigidi da mantenere la verticalit
delle colonne nei nodi. Per edifici alti o impalcati poco rigidi,
il coefficiente andr aumentato in conseguenza.
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Consideriamo un caso semplice: edificio a telaio a corpo triplo
di 4 piani. Carico di piano: 800 kg/mq. Interasse tipico fra i
pilastri: 5m Carico di punta tipico di piano sul pilastro: 20 t.
Carico di punta massimo sul pilastro P.T. = 80 t. Colonne HEB320,
travi HEA280. Altezza colonne piano terra: 5m. Calcoliamo il
moltiplicatore critico assumendo le travi infinitamente rigide
rispetto alle colonne. Effetti delle deformazioni
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cr calcolato per via analitica: 9,57 cr calcolato con analisi
di buckling: 9,23 Effetti delle deformazioni
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Ipotizziamo adesso di modificare il grado di vincolo della base
dei pilastri, ipotizzando di avere delle cerniere invece che
incastri (a.e. plinti isolati). Effetti delle deformazioni
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cr calcolato per via analitica: 2,39 cr calcolato con analisi
di buckling: 2,38 Effetti delle deformazioni
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Consideriamo infine il caso in cui il telaio si presenti
irregolare per forma e per carichi, con asimmetrie. I telai si
considerano incastrati alla base. Effettuiamo il calcolo analitico
di cr rispetto alla colonna pi caricata del piano terreno. Il
risultato non cambia rispetto al caso gi esaminato. Effetti delle
deformazioni
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cr calcolato per via analitica: 9,57 cr calcolato con analisi
di buckling: 12,01 (nel caso di telaio regolare: 9,23) Effetti
delle deformazioni
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La circolare esplicativa prevede un metodo semplificato per il
calcolo del moltiplicatore critico. Esso suppone la conoscenza
dello spostamento di interpiano oltre che dei carichi complessivi
di piano del carico orizzontale H Ed e verticale V ed. Il metodo
applicabile solo se le travi di piano sono poco caricate, in
pratica se il loro cr >11 Effetti delle deformazioni
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Ipotesi di origine della formula semplificata: LNTC semplifica
ulteriormente la formula eliminando il coeff. 0,8 e cos facendo non
va in favore di sicurezza. Nel caso delledificio esaminato in
precedenza si hanno le seguenti valutazioni di cr : - con calcolo
analitico: 9,57 - con analisi di buckling: 9,23 - con formula
semplificata: 9,86 secondo formula semplificata dellNTC 2008: 12,32
(stima non cautelativa). Effetti delle deformazioni
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Analisi del 2 ordine Nel caso in cui il moltiplicatore critico
della struttura sia maggiore di 10 (o 15 per analisi plastiche),
necessario condurre lanalisi della struttura includendo gli effetti
del 2 ordine. Le analisi del secondo ordine possono essere eseguite
seguendo due procedure diverse: 1)Si effettua direttamente una
analisi non lineare iterativa del 2 ordine con le apposite funzioni
previste nei programmi di calcolo strutturale FE; 2)Metodo
semplificato: si effettua una tradizionale analisi elastica
lineare, dove per si proceder ad amplificare le caratteristiche di
sollecitazione dovute ai soli spostamenti orizzontali di un
coefficiente che pu essere calcolato per telai regolari come: il
metodo semplificato applicabile solo se la struttura non
eccessivamente sensibile agli effetti del secondo ordine, ovvero
nel caso in cui cr, maggiore di 3. Il metodo semplificato consente
di evitare una analisi del 2 ordine, tuttavia necessita di condurre
una doppia analisi in modo da calcolare la parte delle
sollecitazioni dovuta agli spostamenti orizzontali
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ESECUZIONE DELLANALISI GLOBALE NON LINEARE DEL 2 ORDINE CON EF
MOMENTO Analisi del primo ordine MOMENTO Analisi del secondo ordine
M = 97,66 kNmM =103,92 kNm Incremento del 6% rispetto ai momenti
del primo ordine Analisi del 2 ordine - esempio
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Analisi del primo ordine applicata su telaio a nodi fissi M =
39,09 kNm Si deve amplificare il momento: M = 97,66 39,09 = 58,57
kNm Il pilastro va verificato a momento: M Sd = 39,09 + (1,113
58,57) = 104,27 kNm Il valore cos ottenuto vicino a quello
calcolato con lanalisi non lineare del 2 ordine (103,92 kNm).
Analisi del 2 ordine - esempio Si deve amplificare solo laliquota
di momento dovuta agli spostamenti laterali, cio la differenza fra
il momento ricavato per il telaio a nodi mobili e il momento
ricavato per lo stesso telaio a nodi fissi. Facendo girare
nuovamente il programma dopo aver bloccato gli spostamenti laterali
delle travi si ottiene, per il pilastro considerato, un valore del
momento flettente che dovr essere sottratto a quello ricavato
dallanalisi di primo ordine dello stesso telaio a nodi mobili.
Esecuzione dellanalisi globale del secondo ordine con metodo
semplificato