Convezione_-_analisi_dimensionale

Progettazione Impianti pe larchitettura A.A. 2013-2014

Coefficiente di trasmissione del calore per convezione Metodo dellanalisi

dimensionale

ing. Simona Bartocci e-mail: [email protected]

Coefficiente di scambio termico per convezione

La potenza termica scambiata per convezione tra una superficie e un fluido pu essere valutata con

la relazione di Newton

La valutazione del coefficiente di scambio termico difficile poich funzione della

fluidodinamica, delle propriet termiche del fluido e della geometria del sistema. Il suo valore

numerico in generale non uniforme sulla superficie e dipende dal punto in cui si misura la

temperatura del fluido. Il coefficiente convettivo dipende:

1. forma ed estensione della superficie di scambio, per il deflusso esterno, o della sezione di

deflusso nel caso di deflusso interno, lunghezza caratteristica L o diametro equivalente D

2. condizioni fluidodinamiche medie nella posizione dinteresse:

- velocit media w

3. propriet fisiche del fluido che influenzano direttamente il campo di moto del fluido:

- densit, la viscosit dinamica,

- il trasporto di calore:

- conduttivit termica e calore specifico cp.

Coefficiente di scambio termico per convezione

Per la determinazione del coefficiente di scambio termico convettivo sono utilizzabili 4 metodi

generali:

1. Analisi Dimensionale combinata con esperimenti

2. Soluzione matematica esatta delle equazioni dello strato limite

3. Studio approssimato dello strato limite con metodi integrali

4. Analogia tra il trasporto di calore e, materia e quantit di moto

Tutti e quattro queste tecniche hanno contribuito alla comprensione dello scambio termico per

convezione.

Lanalisi dimensionale semplice da un punto di vista matematico ed ha trovato un vasto campo di

applicazione. La principale limitazione che i risultati ottenuti non sono completi e del tutto inutili

senza dati sperimentali.

Un altro limite legato al fatto che non da alcuna informazione sulla natura del fenomeno. Infatti

per applicare lanalisi dimensionale necessario conoscere precedentemente quali variabili

influenzano il fenomeno ed il successo, o il fallimento, del metodo dipende dalla opportuna scelta

di queste variabili. E necessario quindi disporre di una teoria preliminare o avere una completa

comprensione fisica del fenomeno prima di usare lanalisi dimensionale.

Analisi dimensionale

Quando si studia un particolare fenomeno fisico occorre considerare un certo numero di grandezze

che sono in qualche modo interessate dal fenomeno.

GRANDEZZE

Le grandezze che vengono definite direttamente e indipendentemente dalle altre vengono dette

fondamentali e le loro unit di misura costituiscono le unit fondamentali; le altre grandezze, la cui

definizione viene fatta in funzione di quelle fondamentali, sono dette derivate, e cos pure le sue

unit di misura.

DIMENSIONE DI UNA GRANDEZZA

Si chiama dimensione di una grandezza derivata rispetto ad una grandezza fondamentale

lesponente della potenza di questa grandezza fondamentale cui la grandezza derivata

proporzionale

OGNI LEGGE FISICA pu essere espressa mediante una relazione fra le varie grandezze

interessate, relazione che si pu immaginare risolta (a parte le eventuali difficolt analitiche)

rispetto ad una di tali n grandezze, che chiameremo y, la quale risulta essere espressa in funzione

delle altre x1, x2, xn-1

y=f(x1, x2, xn-1 )


TEOREMA DI BUCKINGMAN

Ogni legge fisica pu essere espressa in funzione di un certo numero di parametri

adimensionali.

Occorre a questo scopo un numero di parametri adimensionali Pk che sia

almeno uguale al numero n delle grandezze che intervengono nel

fenomeno in questione meno quello m delle grandezze fondamentali scelte

per definirle, cio (n-m) parametri adimensionali.

Quindi in virt di questo teorema la relazione precedente pu essere scritta nel seguente

modo:

P=F(P1;P2.Pn-m-1)


TEOREMA DI BUCKINGMAN

Per servirsi di questo metodo occorre:

1. Stabilire quali sono le grandezze fisiche che intervengono in modo essenziale nel

problema in esame;

2. Determinare i raggruppamenti adimensionali di tali grandezze, in base ai quali si pu

esprimere la legge del fenomeno in esame;

3. Effettuare una serie di esperienze, facendo assumere via via valori diversi alle varie

grandezze, e correlare i dati sperimentali calcolando per ogni esperienza i valori che i

parametri adimensionali assumono in quel caso particolare

I risultati possono essere sintetizzati in diagrammi o tabelle che

stabiliscono una relazione fra i vari parametri adimensionali,

relazione che rappresenta la legge del fenomeno studiato


LUTILITA DELLANALISI DIMENSIONALE nello studio dei fenomeni fisici

proviene da due fatti

1. Il teorema di Buckingman consente di ridurre da n ad n-m il numero dei parametri

da considerare per rappresentare la legge del fenomeno

2. Mediante luso dei parametri adimensionali, possibile estendere lapplicazione dei

dati dellesperienza anche a situazioni non direttamente sperimentate


IL METODO DEGLI INDICI

Il compito dellanalisi dimensionale quello di determinare quali sono i raggruppamenti

adimensionali delle variabili fisiche, in base ai quali pu essere espressa la legge del

fenomeno che si vuole studiare. Tali parametri rientrano tutti certamente nella forma

generale di gruppo:

cio un prodotto di tutte le n grandezze x1; x2.xn che interessano il fenomeno,

ciascuna elevata ad un esponente (indice) incognito, il quale deve essere determinato

servendosi della condizione che lintero gruppo deve risultare adimensionale rispetto a

ciascuna delle grandezze fondamentali.

Quando le grandezze da cui il fenomeno dipende sono numerose, come nel caso della

convezione conveniente utilizzare il METODO DEGLI INDICI, che consente di

determinare in modo sistematico tutti i parametri adimensionali occorrenti.



ESEMPIO:

Si vogliono determinare i possibili raggruppamenti adimensionali di quattro grandezze:

1. Veolocit u

2. Dimensione geometrica (lunghezza l)

3. Densit

4. Viscosit dinamica

Che intervengono in tutti i problemi di moto dei fluidi reali

La formula generale di gruppo si scrive nel seguente modo:

Trattandosi di un problema di natura meccanica, le grandezze fondamentali sono tre: la

lunghezza L, massa M e tempo

Si ricaver quindi un solo parametro adimensionale in quanto n-m=4-3=1



Le equazioni dimensionali delle 4 grandezze che ci interessano, in funzione delle tre

fondamentali, sono come noto:

[u]= [ L-1 ]

[l]= [ L ]

[]= [ ML-3 ]

[]= [ M L-1-1 ]

Sostituendo queste espressioni nella precedente si ottiene

Cio



Se il gruppo deve risultare adimensionale, occorre che i tre componenti di L,M, siano

tutti identicamente nulli. Occorre che siano soddisfatte contemporaneamente le tre

relazioni lineari tra gli indici:

Il sistema delle tre equazioni lineari contiene quattro incognite; esso pu perci essere

risolto esprimendo tre degli indici incogniti in funzione del quarto, ad esempio i3, cui si

possono assegnare valori arbitrari. Si trova cos:



Pertanto al relazione sopra diventa

Il parametro adimensionale cercato dunque il numero di Reynolds:

In conclusione, lanalisi ci consente di affermare che, in un qualunque problema di moto

dei fluidi reali, il numero di Reynolds uno dei parametri adimensionali da considerare.


In casi complessi i gruppi adimensionali che ci interessano possono essere trovati con il

seguente procedimento

1. Stabilito lelenco delle n grandezze fisiche da cui si ritiene che il fenomeno dipenda,

si scrive la forma generale di gruppo lasciando indeterminati gli indici

2. Si scrivono le equazioni dimensionali delle suddette grandezze fisiche in funzione

delle m grandezze fondamentali

3. Si sostituiscono tali espressioni nella forma generale di gruppo in modo tale da

ottenere un prodotto di potenze delle grandezze fondamentali: gli esponenti delle

potenze sono espressioni lineari negli indici incogniti i1in 4. Si impone la considerazione che il gruppo abbia dimensione zero rispetto a tutte le

grandezze fondamentali, cio si eguagliano a zero le suddette espressioni lineari

negli indici i. Si ottiene cos un sistema di m equazioni lineari nelle n incognite i. Ad

(n-m) indici possono essere assegnati valori arbitrari, dopo di che gli altri restano

determinati risolvendo il sistema. Infine si trova una espressione che assume la forma

di un prodotto di (n-m) parametri adimensionali elevati ad altrettanti indici arbitrari. I

parametri in questione sono quelli cercati.


APPLICAZIONE DELLANALISI DIMENSIONALE ALLA CONVEZIONE TERMICA

Nel caso della convezione termica il problema fondamentale consiste nel trovare

unespressione per il fattore di convezione hc.

1. Consideriamo le grandezze fisiche che influenzano il fenomeno:

- Dimensione geometrica, l

- Velocit del fluido, u

- Viscosit,

- Densit,

- Conduttivit termica interna

- Calore specifico, c

- Coefficiente di dilatazione termica per accelerazione di gravit, (ag)

- Differenza di temperatura della superficie del corpo scaldante (o raffreddante) e la

temperatura del fluido,

- Fattore di convezione, hc

2. Consideriamo le grandezze fondamentali:

Lunghezza (L), massa (M), tempo (), temperatura (T), quantit di calore (Q)

IL NUMERO DI PARAMETRI ADIMENSIONALI E (9-5)=4



La forma generale di gruppo comprende 9 grandezze che intervengono nello studio della

convezione termica, quindi:

Si considerano a questo punto le equazioni dimensionali delle 5 grandezze fondamentali:

M, L, T, Q e



Sostituendo le equazioni dimensionali della forma generale di gruppo si ha:

Affinch P sia adimensionale necessario che gli esponenti di ciascuna dimensione siano

nulli.

Ottengo cos 5 equazioni lineari negli indici ik.



Si hanno cos 5 equazioni e 9 incognite. Il sistema pu essere risolto in funzione di 4 dei 9

indici.

Le grandezze scelte sono: hc, u, (ag), c

Si risolve il sistema in funzione di questi 4 indici e si ottengono le seguenti espressioni dei

rimanenti 5 indici:

Con tali valori degli indici, la forma generale di gruppo diviene



Ossia

Lanalisi dimensionale permette di concludere che la trasmissione del calore per convezione

pu essere studiata mediante una relazione fra i 4 parametri adimensionali, Nu, Pr, Gr, Re.

In molti casi si pu esprimere tale legge nella forma suggerita dallanalisi degli indici, cio:

Dove le 4 costanti devono essere determinate utilizzando i risultati sperimentali, mediante un

metodo di interpolazione


SIGNIFICATO DEI PARAMETRI ADIMENSIONALI

1. Numero di NUSSELT (Nu)

Rapporto fra la quantit di calore trasmesso per convezione e la quantit di calore trasmesso

per sola conduzione.

2. Numero di PRANDTL (Pr)

Rapporto fra viscosit cinematica () che regola la trasmissione della quantit di moto per effetto della viscosit in presenza di un gradiente di velocit e la diffusivit termica (D) che

regola la trasmissione di calore per sola diffusione termica (conduzione termica) quando esiste

un gradiente di temperatura


SIGNIFICATO DEI PARAMETRI ADIMENSIONALI

3. Numero di REYNOLDS (Re)

Pu essere interpretato come il rapporto fra la quantit di moto che attraversa lunit di area

nellunit di tempo unitario (u2) e la forza dattrito viscoso per unit di area ( u/l) che

compensa la quantit di moto.

Non contiene alcuna grandezza termica

2. NUMERO DI GRASHOF (Gr)

Rapporto fra forza di gravit per unit di area, dovuta alla differenza di densit provocata dalla

differenza di temperatura e forza dattrito viscoso per unit di area.


Dallanalisi dimensionale si potuto mostrare che il fenomeno della convezione pu essere

rappresentato mediante la relazione che esprime il numero di Nu in funzione di altri tre

parametri: Re, Gr e Pr.

Nei problemi concreti quasi sempre possibile dedurre informazioni che consentono di

ridurre a tre, e talvolta a due soltanto, il numero dei parametri indipendenti che occorre

effettivamente considerare.

In particolare:

a) CONVEZIONE FORZATA

in generale lecito trascurare leffetto della gravit rispetto ai moti imposti

Ne segue che per la determinazione del numero di Nusselt e quindi del

fattore di convezione hc il numero di Grashof ha scarsa importanza

rispetto al numero di Reynolds.

I parametri da considerare si riducono quindi a tre: Nu, Re e Pr


b) CONVEZIONE NATURALE

La velocit dei moti in seno al fluido in questo caso non sono il risultato di cause esterne

meccaniche, come nella convezione forzata, ma sono invece una conseguenza delle stesse

cause termiche che determinano la trasmissione del calore; la velocit non va perci

considerata come variabile indipendente quindi non lo neppure Re.

I parametri da considerare quindi sono: Nu, Pr e Gr.

c) Quando il fluido che si considera un gas, il numero di Pr, che contiene solo grandezze

caratteristiche del fluido, risulta assai poco variabile da un gas allaltro (varia poco anche

con la temperatura). Pertanto tale numero pu non essere considerato come variabile.

- Nel caso di CONVEZIONE FORZATA NEI GAS il problema pu

essere trattato considerando i parametri Nu e Re

- Nel caso di CONVEZIONE NATURALE NEI GAS si considerano solo

Nu e Gr


Si esaminano ora i casi accennati confrontando le conclusioni dellanalisi dimensionale,

assistita dallesperienza, con le osservazioni precedentemente effettuate.

CONVEZIONE FORZATA

importante Re.

Il moto laminare se Re


CONVEZIONE NATURALE

Nu= f(Gr;Pr)

E pu essere espresso nella forma

Nu= A*(Gr*Pr) n

- Il valore della costante A dipende dalla disposizione geometrica generale (forma,

orientamento delle superfici limite)

- Se il valore di (Gr*Pr) molto piccolo, non si hanno affatto moti convettivi. Se ha valori

intermedi (10^4

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