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Controllo in retroazione: Progetto in Frequenza

Prof. Laura Giarré[email protected]

https://giarre.wordpress.com/ca/

Schema di riferimento per il controllo in retroazione• Come già visto lo schema a blocchi reale di un sistema di controllo in

retroazione può essere rappresentato come

• Il segnale di riferimento viene filtrato da una replica della dinamica del sensore per ottenere un riferimento “compatibile” con la dinamica dell'uscita retroazionata

Controllo in Frequenza CA 2017-2018 Prof. Laura Giarré 2

-

Disturbo sull’uscitaDisturbosull’attuatore

Disturbodi misura

• Nell’analisi dei sistemi in retroazione si è visto come le specifiche sia statiche che dinamiche sul sistema in retroazione possano essere tradotte (in maniera approssimata) in specifiche sulla funzione di anello.

• Il problema del controllo che rende soddisfatte le specifiche per il sistema in retroazione può quindi essere trasformato in un problema di progetto di L(s)

CA 2017-2018 Prof. Laura Giarré

Relazione tra specifiche e proprietà di L(s)

• Alti margine di fase e di ampiezza danno garanzia di buona robustezza a fronte di incertezze sulla funzione di risposta armonica d’anello (sia in termini di incertezze sul modulo che sulla fase)


Stabilità robusta

Limite inferiore su Mf e Ma

• Riferimenti e disturbi sull’uscita (usualmente confinati a basse frequenze)


Specifiche statiche

L’inverso del modulo di |L(j)| nel campo difrequenze in cui è confinato il riferimento e\oil disturbo rappresenta il fattore diattenuazione a regime sull’errore diinseguimento

R(s)-+ G(s) +

+

10 -1 100

101

102

103

-60

-40

-20

0

20

40

60Bode Plot

0 dB

Regione proibita per |L(j)|

Mag

nitu

de (d

B)

Livello di attenuazione desiderato su e

A dB

Range di pulsazioni in cui è confinato il riferimento e/o il disturbo sull’uscita

Limite inferiore su |L(j)|

• Riferimenti e disturbi sull’uscita (usualmente confinati a basse frequenze)


Specifiche statiche

Per soddisfare la specifica statica relativamente a riferimenti e a disturbi sull’uscita costanti e necessario che:• se• se

10 -1 100

101

102

103

-60

-40

-20

0

20

40

60Bode Plot

Mag

nitu

de (d

B)

0 dB

Vincoli sulla pendenza iniziale del diagramma di |L(j)|

L(s) deve avere almenoun polo nell’origine

R(s)-+ G(s) +

+

• Caso di interesse pratico: riferimento/disturbo a gradino

• Sfruttando la sovrapposizione degli effetti

dal teorema del valore finale risulta

dove è assegnato, mentre è possibile agire su tramite Quindi la specifica è soddisfatta se


Specifiche statiche

R(s)-+ G(s) +

+

• Caso di interesse pratico: riferimento a gradino e disturbo sinusoidale

• Anche in questo caso si procede sfruttando la sovrapposizione degli effetti

• La specifica sarà soddisfatta imponendo

tramite


Specifiche statiche

R(s)-+ G(s) +

+

• Disturbi di misura (usualmente confinati ad alte frequenze)


Specifiche statiche

R(s)-+ G(s)Il modulo di |L(j)| nel campo di frequenze in cui è confinato il disturbo di misura rappresenta il fattore di attenuazione del disturbo sull’errore

10 -1 100

101

102

103

-60

-40

-20

0

20

40

60Bode Plot

Mag

nitu

de (d

B)

Livello di attenuazione desiderato su e

Spettro in cui è confinato il riferimento e/o il disturbo sull’uscita

-A dB

0 dB

Regione proibita per |L(j)| Limite superiore su |L(j)|

• Usualmente date in termini di tempo di assestamento esovraelongazione percentuale massima nella risposta al gradino

• È possibile trasformare (in maniera approssimata) le specifiche dinamiche in specifiche frequenziali su L(j)


Specifiche dinamiche

Se la funzione d’anello L(j) è caratterizzata da una pulsazione di attraversamento c e un margine di fase Mf allora è lecito aspettarsi che la coppia dei poli c.c. dominanti del sistema in retroazione sia caratterizzata da


Specifiche dinamiche

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3-60

-40

-20

0

20

40

60Bode Plot

Mag

nitu

de (d

B)

10 10 0 101 10 2 10 3-225

-180

-135

-90

-45

0

45

Frequency - log scale

Phas

e (d

egre

es)

-1

Limite inferiore su Mf

Limite inferiore su c

• La moderazione dello sforzo di controllo si ottiene:• Limitando la pulsazione di attraversamento c (rispetto alla pulsazione di

attraversamento del sistema controllato)• Realizzando regolatori passa-basso

• Affinché il regolatore sia fisicamente realizzabile (grado relativo ≥0), occorre che il grado relativo di L(s) sia ≥ di quello di G(s)


Moderazione del controllo e realizzabilità fisica del controllore

10 -1 100

101

102

103

-60

-40

-20

0

20

40

60Bode Plot

Mag

nitu

de (d

B)0 dBPendenza a frequenza

elevata di |L(j)| almeno pari a quella di |G(j)|


Riepilogo

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3-60

-40

-20

0

20

40

60Bode Plot

Mag

nitu

de (d

B)

10 10 0 10 1 10 2 10 3-225

-180

-135

-90

-45

0

45


Phas

e (d

egre

es)

-1

Limite sup. per c dato da:-Robustezza ai ritardi-Moderazione di controllo

Specifica dinamica su S% + robustezza stabilità

Specifica statica per n definito spettralmente

Fisica realizzabilità controllore + moderazione controllo

Specifica dinamica su Ta

Specifica statica per ysp, d definito spettralmente

Specifica statica per ysp, e d costanti

• È conveniente dividere il progetto del controllo in due passi associati al progetto di due sottoparti del regolatore:


Approccio al controllo

Regolatore “dinamico”: parte del regolatore il cui progetto mira ad imporre le specifiche statiche ad alta frequenza (disturbi di misura) e le specifiche dinamiche

Regolatore “statico” : parte del regolatore il cui progetto mira ad imporre le specifiche statiche a bassa frequenza (disturbi sull’uscita e/o riferimenti)

• Gli obbiettivi dietro al progetto di Rs(s) sono:

• Rispettare le specifiche sul massimo errore e(t) ammesso a fronte di:

• Ingressi di riferimento ysp noti (gradino, rampa, …);• Disturbi sull’uscita d(t), costanti o comunque definiti spettralmente (sinusoidi a frequenze

comprese in un range noto);


Approccio al controllo (1° parte – Progetto Rs(s))

• Soddisfacimento delle specifiche statiche in caso di segnali costanti



h = numero dei polinell’origine di G(s)

• Soddisfacimento delle specifiche statiche in caso di segnali a rampa



NOTA BENE: tali obbiettivi vanno raggiunti lavorando sul sistema esteso

• Gli obiettivi dietro al progetto di Rd(s) sono:• Imporre c in un certo intervallo frequenziale• Garantire un certo margine di fase• Garantire una certa attenuazione e pendenza a frequenze elevate

• Non bisogna apportare modifiche alla parte statica del regolatore, già progettata (ad es. modificando il guadagno statico)


Approccio al controllo (2° parte – Progetto Rd(s))

• Anche in questo caso si hanno diverse possibilità:• Nel range di valori ammissibili per c esiste un intervallo in cui il valore del margine

di fase del sistema esteso è maggiore del limite dato dal margine di fase desiderato



10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3-60

-40

-20

0

20

40

60Bode Plot

Mag

nitu

de (d

B)

10 10 0 101 10 2 10 3-225

-180

-135

-90

-45

0

45


Phas

e (d

egre

es)

-1

Intervallo in cui la fase è buona

Occorre tramite il progetto di Rd(s) dare attenuazione al fine di avere l’attraversamento di Ge(j) nell’intervallo in cui la fase è buona

Variazione guadagno staticoIntroduzione di poli

• Anche in questo caso si hanno diverse possibilità:• Nel range di valori ammissibili per c non esistono pulsazioni in cui il valore del

margine di fase del sistema esteso è maggiore del limite dato dal margine di fase desiderato



Occorre tramite il progetto di Rd(s) dare anticipo di fasenell’intervallo di attraversamento desiderato

Introduzione di zeri

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3-60

-40

-20

0

20

40

60Bode Plot

Mag

nitu

de (d

B)

10 10 0 101 10 2 10 3-225

-180

-135

-90

-45

0

45


Phas

e (d

egre

es)

-1

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