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Statistica Industriale Lez. 3

Controllo Statistico della Qualita

• Qualita come primo obiettivo dell’azienda produttrice di beni

• Qualita come costante aderenza del prodotto alle specifiche tecniche

• Qualita come controllo e riduzione della variabilita della produzione

Nel controllo della qualita si distinguono tre aspetti

1. aspetti tecnologici

2. aspetti economico-manageriali

3. aspetti statistici

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Programma

• Controllo in corso di produzione

• Carte di controllo per variabili

• Carte di controllo per la variabilita

• Carte di controllo per la media

• Carte CUSUM e EWMA

• Carte di controllo per attributi

2


I metodi del controllo statistico della qualita, o meglio dello Statistical

Process Control (SPC) si dividono in due grandi gruppi:

• Metodi per il controllo in corso di produzione (on-line)

• Metodi per il controllo fuori produzione (off-line)

I metodi statistici per il controllo off-line riguardano sostanzialmente il

disegno dell’esperimento e la teoria del campionamento. Il controllo off-

line, che almeno idealmente dovrebbe essere progettato e applicato in tutto

il cammino di produzione di un prodotto, si pone come scopo quello di

ridurre o rimuovere le potenziali cause che generano variabilita. Coinvolge

di solito un gruppo di diversi esperti (progettista, addetto al management,

ecc.) in vari settori e puo portare ad un notevole miglioramento della

qualita del prodotto (Taguchi, 1985, 1986)

3


Controllo in corso di produzione

Lo SPC utilizza le carte di controllo come strumento principale per indivi-duare scostamenti significativi dai valori standard ritenuti accettabili

Le variazioni possono essere di natura accidentale oppure sistematica. Leprime una volta note sono ineliminabili le seconde, con i metodi dello SPC,vanno individuate, distinte dalle prime e attribuite ad una delle possibilicause

• differenza tra le macchine

• differenza tra gli addetti

• differenze tra i materiali

• differenze in ciascuno di questi fattori nel tempo

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Carte Shewhart

Sia X la caratteristica o variabile sottoposta a controllo. Sia X ∼ N(µ, σ)

Le carte di controllo servono a verificare se i campioni estratti durante

la fase di lavorazione provengono da un processo che presenta media e

varianza costanti rispetto alla caratteristica osservata.

Da un processo produttivo che fornisce un prodotto la cui caratteristica X

e osservata si estraggono m campioni di ampiezza n

x11,x12, . . . , x1j, . . . , x1n

x21,x22, . . . , x2j, . . . , x2n... ...

xi1,xi2, . . . , xij, . . . , xin... ...

xm1,xm2, . . . , xmj . . . , xmn

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Poiche sappiamo che

X ∼ N

(µ,

σ√

n

)fissato un valore α piccolo e possibile determinare un valore z1−α

2tale che

P

(µ− z1−α

2

σ√

n≤ X ≤ µ + z1−α

2

σ√

n

)= 1− α

Gli estremi

µ− z1−α2

σ√

n; µ + z1−α

2

σ√

n

si assumono come limiti di controllo di una carta per la media e α rap-

presenta la probabilita che il campione osservato cada fuori questi limiti

quando l’ipotesi che la media sia uguale a µ e vera. (FALSO ALLARME)

Dobbiamo determinare z1−α2

inoltre µ e σ non sono noti

6


Limiti di k sigmaIl valore di z1−α

2si puo fissare pari a 3 (carte 3 sigma) e in questo caso

α = P (|Z| < 3) = P (Z < −3) + P (Z > 3) = 2(1− P (z < 3)) = 0.0027

Quindi il 99,73% delle medie dei campioni estratti da quel processo pro-duttivo e contenuto nell’intervallo

µ− 3σ√

n; µ + 3

σ√

n

Limiti di probabilitaSi fissa il valore di α, ad esempio α = 0.002 e si ottiene z1−α

2= 3.090

Quindi il 98% delle medie dei campioni estratti da quel processo produttivoe contenuto nell’intervallo

µ− 3.090σ√

n; µ + 3.090

σ√

n

I limiti di probabilita sono in genere da preferire soprattutto nelle le carteper la dispersione. I limiti di Shewhart sono di piu facile lettura.

Poiche nella pratica µ e σ non sono note occorre stimarle sulla base delleosservazioni effettuate. Per ciascun gruppo si calcola la media campionariaxi e un indice di dispersione σi.

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Come stima di µ si utilizza

¯x =x1 + · · ·+ xm

m=

1

m

m∑i=1

xi =1

mn

m∑i=1

n∑j=1

xij

La distribuzione delle medie campionarie dipende dallo s.q.m σ e quindi

occorre stimare anch’esso. Poiche la distribuzione dei piu noti stimatori di

σ non dipende dalla media di X ma solo dalla numerosita campionaria, la

costruzione di una carta di controllo per una media deve essere preceduta

da una carta di controllo per per la dispersione.

In pratica le due carte vanno costruite e utilizzate simultaneamente, perche

solo quando la varianza e sotto controllo ha senso andare a effettuare

controlli della media.

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Carte di controllo per la deviazione standard - carta R

Nel caso in cui l’ampiezza di ogni singolo campione sia piccola (in generen ≤ 10) come indice per misurare la dispersione si utilizza l’escursionecampionaria o range.

R = x(n) − x(1)

dove x(1), x(2), . . . , x(n) sono i valori osservati ordinati in maniera non de-crescente.

Si puo dimostrare che

P (R < y) = n∫ +∞

−∞(F (x + y)F (x))n−1f(x)dx

dove F (x) e f(x) sono rispettivamente la funzione di ripartizione e la densitadi X. L’escursione o range relativo e definito come

W =R

σe E(W ) = d2, s.q.m(W ) = σW = d3,

I valori d2 e d3 dipendono solo da n e sono tabulati.

Poiche E(

Rd2

)= σ, R

d2e stimatore non distorto per σ. Inoltre σR = d3σ.

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La carta di controllo teorica a 3 sigma per R ha i limiti teorici E(R)±3σR.

Sostituendo i valori empirici otteniamo i limiti empirici di controllo superiore

(UCL) e inferiore (LCL). Siano R1, R2, . . . , Rm i range calcolati sugli m

campioni di ampiezza n. Come stima di E(R) usiamo la media campionaria

delle escursioni

R =1

m

m∑i=1

Ri

come stima di σR usiamo

σR =d3

d2R = d3σ, dove σ =

R

d2

I limiti di controllo a 3 sigma per la carta R risultano quindi

UCL = R + 3d3

d2R = D4R

CL = R

LCL = R− 3d3

d2R = D3R

10


Limiti di probabilita per la carta R

Dalla tavola della distribuzione dei quantili della distribuzione di W possia-

mo ricavare i limiti di probabilita per la carta di controllo R.

Posto α = 0.002 abbiamo

P

(wα

2<

R

σ< w1−α

2

)= 1− α

Da cui sostituendo a σ la sua stima non distorta Rd2

otteniamo

P (F3R < R < F4R) = 1− α, dove F3 =wα

2

d2e F4 =

w1−α2

d2,

I limiti di probabilita (α = 0.002) per la carta R risultano quindi

UCL = F4R

CL = R

LCL = F3R

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Esempio Il diametro interno degli anelli dei pistoni di una automobile e

misurato su m=25 campioni ciascuno di ampiezza n = 5 quando il processo

e ritenuto sotto controllo. Alcune osservazioni sono riportate nella seguente

tabella.

1 2 3 4 51 74.03 74.00 74.02 73.99 74.012 74.00 73.99 74.00 74.01 74.003 73.99 74.02 74.02 74.00 74.004 74.00 74.00 73.99 74.02 74.015 73.99 74.01 74.02 73.99 74.016 74.01 73.99 74.00 73.98 73.997 74.00 74.01 73.99 74.00 74.008 73.98 74.00 73.99 74.02 73.99... . . . . . . . . . . . . . . .

Vediamo i passi per la costruzione della carta R.

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Calcoliamo i range per i 25 gruppi.

Min Max Range1 73.99 74.03 0.042 73.98 74.01 0.023 73.98 74.01 0.034 73.98 74.01 0.025 73.98 74.02 0.036 73.99 74.01 0.037 73.99 74.03 0.048 74.00 74.03 0.03... . . . . . . . . .

La media dei range calcolati e la linea centrale della carta:

R =1

25

25∑i=1

Ri = 0.02276

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Calcoliamo la stima non distorta di σ:

σ =R

d2= 0.0098

I valori della costante d2 sono tabulati in apposite tavole, come i valori

della costante d3, al variare di n. Nel nostro caso dobbiamo considerare

d2(5) = 2.326 e d3(5) = 0.864. Il limite superiore di controllo e quindi

UCL = R + 3d3

d2R = 0.048

Mentre il limite di controllo inferiore risulta 0 in quanto R−3d3d2

R = −0.0026.

Sulla carta di controllo vengono riportati: la linea centrale, i limiti di con-

trollo superiore e inferiore e quindi tutti i valori dei 25 range calcolati sui

25 gruppi.

Se non si osservano punti fuori dai limiti si puo concludere che il processo

e sotto controllo.

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Carta di controllo R

R Chartfor diam.c

Group

Gro

up s

umm

ary

stat

istic

s

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

LCL

UCL

●

Number of groups = 25Center = 0.02276StdDev = 0.009887547

LCL = 0UCL = 0.04839106

Number beyond limits = 0Number violating runs = 1

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Carte di controllo per la deviazione standard - carta S

Quando la dimensione dei campioni e superiore a 10 o quando la dimensione

dei campioni e variabile e preferibile utilizzare la carta S.

Lo stimatore corretto per la varianza della popolazione e

S2 =1

n− 1

n∑j=1

(Xi − X)2

Inoltre se X ∼ N(µ, σ2) allora∑nj=1(Xi − X)2

σ2=

(n− 1)S2

σ2∼ χ2

n−1

Volendo stimare σ con S si puo dimostrare che

E(S) =(

2

n− 1

)1/2 Γ(n/2)

Γ((n− 1)/2)σ = c4σ e σS = σ

√1− c24

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Siano S1, S2, . . . , Sm gli scarti quadratici medi calcolati sugli m campioni

di ampiezza n. Come stima di E(S) usiamo la media campionaria delle

escursioni

S =1

m

m∑i=1

Si

come stima di σR usiamo

σS =S

c4

√1− c24

I limiti di controllo a 3 sigma per la carta S risultano quindi

UCL = S + 3S

c4

√1− c24 = B4S

CL = S

LCL = S − 3S

c4

√1− c24 = B3S

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L’efficienza di R rispetto a SL’utilizzo di R rispetto a S e preferibile per piccoli campioni solo per ragionidi semplicita computazionale.

La carta S e comunque preferibile alla carta R in quanto il range risente inmaniera determinante dei valori eccezionali.

Per valutare quanto si perde in precisione utilizzando R invece di S consi-deriamo l’efficienza relativa data dal rapporto delle varianze degli stimatoricorretti R/d2 e S/c4

e =VAR(S/c4)

VAR(R/d2)=

(1 + c24)

c24

d22

d23

La seguente tabella mostra il valore di e per diversi valori di n

n e2 1.0003 0.9936 0.933

10 0.84920 0.701

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Carte di controllo per la media

Una volta verificato che la varianza sia sotto controllo possiamo costruirela carta di controllo per i valori medi.

Usando come stima di µ la media ¯x = 1m

∑mi=1 xi, i limiti per la carta di

controllo della media risultano, rispettivamente se usiamo come stima di σR

UCL = ¯x + 3R

d2√

n= ¯x + A2R

CL = ¯x

LCL = ¯x− 3R

d2√

n= ¯x−A2R

ovvero S

UCL = ¯x + 3S

c4√

n= ¯x + A3S

CL = ¯x

LCL = ¯x− 3S

c4√

n= ¯x−A3S

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Carta di controllo S

S Chartfor diameter[1:25, ]

Group

Gro

up s

umm

ary

stat

istic

s

●

●

●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

0.00

00.

005

0.01

00.

015

0.02

0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

LCL

UCL


LCL = 0UCL = 0.02247149


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Carta di controllo x

xbar Chartfor diameter[1:25, ]

Group

Gro

up s

umm

ary

stat

istic

s

●

●●

●

●

●

● ●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

73.9

9073

.995

74.0

0074

.005

74.0

1074

.015

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

LCL

UCL


LCL = 73.98749UCL = 74.01815


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Interpretazione delle carte di controllo

In genere l’impianto di una carta di controllo prevede una prima fase in cuivengono raccolti i dati in un periodo in cui si ritiene che il processo siasotto controllo per stabilire i limiti di controllo (UCL e LCL).

Calcolati i limiti di controllo occorre verificare che tutti i campioni generinopunti all’interno dei limiti.

Si possono verificare due casi

• almeno un punto e esterno ai limiti di controllo

• tutti i punti sono interni ai limiti di controllo

Nel secondo caso non si puo concludere che il processo sia sotto controllo.Occorre verificare che l’andamento dei punti non presenti situazioni di noncasualita nel posizionarsi attorno alla linea centrale, quali:

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• si osserva una successione troppo lunga di punti sopra o sotto la linea

centrale (esistenza di piu livelli produttivi)

• vi sono ciclicita (inadeguatezza del modello casuale ipotizzato)

• le stime campionarie mostrano un trend che mette in evidenza la

tendenza del parametro osservato a crescere o diminuire (progressivo

sregolamento del processo in atto)

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Nel caso in cui almeno un punto cada fuori le linee di controllo occorre

capire il perche.

Ricordiamo che le carte sono costruite con la possibilita di dare un falso

allarme con una probabilita pari ad α per ogni singolo campione osservato.

La probabilita che r campioni risultino fuori controllo su m e

pr,m =(m

r

)αr(1− α)m−r

Mentre la probabilita di avere almeno un punto anomalo e

pm =m∑

i=1

pi,m = 1− (1− α)m

Questa probabilita cresce al crescere di m e diventa non trascurabile per

m grande (m > 20). Tuttavia tale probabilita e quasi totalmente assorbita

dalla probabilita di osservare uno e un solo punto fuori controllo.

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Il grafico mostra la situazione per α = 0.002. In rosso p1,m, in nero pm

0 100 200 300 400 500 600

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

m

p

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Regole Empiriche di Comportamento

Se una carta per la media (o per lo scarto quadratico medio) presenta

2 o piu punti fuori controllo si puo affermare che i campioni estratti non

sono omogenei rispetto ai parametri considerati (media e s.q.m.) e quindi

concludere che il processo e fuori controllo.

Nel caso in cui ci sia un solo punto fuori controllo non si puo trascurare la

possibilita che questo sia un falso allarme. Se lo stesso punto si presenta

in situazione di fuori controllo in entrambe le carte e alquanto improbabile

che si tratti di un evento casuale.

Occorre indagare i motivi che hanno generato questa situazione. Si cerca

di capire come si sono raccolti i dati che hanno generato le osservazioni

anomale.

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