LezionidiMetodiStatisticidicontrollodella qualitàstatprob.dima.unige.it/DIDATTICA/IUT/QUALITY/carte...

Lezioni di Metodi Statistici di controllo dellaqualità

Michele Scagliarini

Anno Accademico 2003/2004

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INDICE

CAPITOLO 1. Termini per la qualità1.1 Aspetti generali1.2 Variabilità

CAPITOLO 2. Richiami di probabilità2.1 La distribuzione binomiale2.2 La distribuzione di Poisson2.3 La distribuzione normale2.4 La distribuzione chi quadrato2.5 Aspetti inferenziali

2.5.1 Distribuzioni campionarie2.5.2 Stima puntuale e stima intervallare2.2.3 Verifica d’ipotesi

CAPITOLO 3. Il Controllo Statistico di Processo3.1 Variabilità nel processo produttivo3.2 Aspetti generali delle carte di controllo3.3 Costruzione di una carta di controllo

3.3.1 Limiti di controllo3.3.2 Numerosità campionaria e frequenza di campionamento3.3.3 Regole di decisione e analisi degli andamenti tipici

3.4 Stima dei parametri del processo da un prerun

CAPITOLO 4. Carte di controllo per variabili4.1 Carte di controllo per il livello del processo

4.1.1 Carta x bilaterale (parametri noti)4.1.2 Carta x bilaterale con parametri non noti4.1.3 Carta x unilaterale4.1.4 Carta per mediane

4.2 Carte di controllo per la variabilità del processo produttivo4.2.1 Carta S4.2.2 Carta S con regola del 3-sigma4.2.3 Carta R

4.3 Costruzione e uso delle carte x−R e x− S

CAPITOLO 5. Carte di controllo per attributi5.1 Carta di controllo np e carta p

5.1.1 Carta np5.1.2 Carta np con limiti 3-sigma5.1.3 Carta np con p0 non noto5.1.4 Carta p

5.2 Carte di controllo per le non conformità

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5.2.1 Carta per il numero di non conformità per unità di prodotto (cartac)

5.2.2 Carta c con i limiti 3-sigma5.2.3 Carta c con λ0 non noto5.2.4 Carta per il numero di non conformità per unità fisica (carta u)

Capitolo 1

Termini per la qualità

Il termine qualità è ampiamente utilizzato nel linguaggio corrente ed il suosignificato è, almeno a grandi linee, noto a molti. La definizione più generalepossibile del termine qualità è la seguente:qualità è l’insieme delle caratteristiche di un’entità (bene o servizio)

che ne determinano la capacità di soddisfare le esigenze espresse edimplicite di chi la utilizza.Di solito si parla di qualità con riferimento a prodotti fisici o a servizi. La

distinzione è rilevante in quanto non sempre strumenti adeguati per valutare laqualità di un prodotto possono essere adeguati per un servizio. Nel seguito tut-tavia si presenteranno metodologie che con le dovute accortezze possono essereutili in entrambi i casi. Per questo motivo il termine prodotto verrà utilizzatoanche come sinonimo di servizio salvo i casi segnalati.E’ importante prima di procedere parlare anche del processo produttivo.

Infatti prodotti e servizi sono realizzati per mezzo di processi produttivi. Unadefinizione generale di processo produttivo è la seguente: un processo produttivoè un insieme di risorse e di attività tra loro interconnesse che trasformanodegli elementi in ingresso (input) in elementi in uscita (output). Tra gli inputconviene distinguere tra input controllabili ed input non controllabili da partedi chi governa il processo.

1.1 Aspetti generali

Gli aspetti generali della qualità sono:

1. la qualità di progetto. I beni e servizi sono prodotti con vari gradi diqualità. Tali differenze sono intenzionali

2. la conformità alle normative. Questo aspetto fa riferimento all’aderenzadel prodotto alle specificazioni e tolleranze assegnategli in fase di proget-tazione.

1

2 CAPITOLO 1. TERMINI PER LA QUALITÀ

Ogni prodotto possiede un certo numero di elementi misurabili, o comunquepercepibili dall’utilizzatore, che contribuiscono congiuntamente alla formazionedella qualità del prodotto. Questi elementi vengono indicati con il nome diCARATTERISTICHE DI QUALITA’. Le caratteristiche di qualità possonoessere di diversi tipi, ad esempio: fisiche, sensoriali, comportamento nel tempo.In genere quando le caratteristiche di qualità sono misure espresse su una

scala continua (peso, resistenza, lunghezza, durata) si parla di variabili. Quan-do invece si utilizzano dati discreti, per esempio dati di conteggio (numero dilampadine non funzionanti, ecc.) si parla di attributi.Le caratteristiche di qualità sono valutate in relazione alle specifiche ovvero

le misure stabilite per alcune caratteristiche di qualità del prodotto/servizio. Ilvalore desiderato per una caratteristica di qualità è definito VALORE NOMI-NALE oppure VALORE TARGET. Oltre al valore nominale può essere indicatoun intervallo di valori, tipicamente un intorno del valore nominale, tale che seil valore della caratteristica di qualità rientra in tale intervallo il prodotto vieneritenuto conforme.Il limite superiore di questo intervallo è definito limite di specifica su-

periore (USL, Upper Specification Limit), limite inferiore è definito limitedi specifica inferiore (LSL, Lower Specification Limit). Talvolta per alcunecaratteristiche di qualità ha senso fornire solamente specifiche unilaterali.

1.2 Variabilità

La variabilità delle caratteristiche di qualità è un aspetto molto delicato per laqualità del prodotto. Le aziende infatti investono risorse per assicurarsi che ivalori delle caratteristiche di qualità dei prodotti realizzati siano il più vicinopossibile ai valori nominali. Tuttavia due o più unità di prodotto (o servizio)non sono mai uguali. Pertanto esiste sempre un livello di variabilità nelle carat-teristiche di un prodotto e la qualità del prodotto dipende dall’ammontare dellavariabilità.Nella Figura (1.1) sono visualizzate, come esempio, le distribuzioni di due

caratteristiche di qualità. Si può notare il diverso livello di variabilità ed èintuitivo comprendere che una maggiore variabilità aumenta la probabilità diprodurre un elemento che non rispetta le specifiche.Poiché la variabilità può essere descritta solamente in termini statistici, i

metodi statistici hanno un ruolo centrale nelle attività legate al miglioramentodella qualità.La variabilità può manifestarsi in diversi modi

• in una unità di prodotto• tra unità di prodotto• nel tempo

Inoltre la variabilità è dovuta ad almeno quattro cause (4M):

1.2. VARIABILITÀ 3

Caratteristica di qualità

valore nominaleUSL LSL

Figura 1.1: Caratteristiche di qualità con diversa variabilità

1. Man

2. Machine

3. Methods

4. Materials

La variabilità non è totalmente eliminabile quindi un certo grado di variabil-ità può essere ritenuto tollerabile, o fisiologico, per un dato processo produttivo.Questo tipo di variabilità viene indicata anche con il nome di variabilità naturale.Il controllo della qualità ha l’obiettivo di mantenere la variabilità nel

processo e nel prodotto ad un livello naturale. Ilmiglioramento della qualitàmira ad una riduzione della variabilità nel processo e nel prodotto.

4 CAPITOLO 1. TERMINI PER LA QUALITÀ

Capitolo 2

Richiami di probabilità

In questo capitolo vengono richiamate le più comuni variabili aleatorie discrete econtinue. Dovrebbero essere nozioni ampiamente note quindi si farà riferimentoal capitolo 2 del libro di testo (Montgomery, 2000).Verranno richiamati solo alcuni aspetti.Distribuzioni discrete: ipergeometrica, binomiale, poisson

2.1 La distribuzione Binomiale

La variabile X ha distribuzione binomiale con parametri n ≥ 0 e p (0 < p < 1)

X ∼ Bin(n, p)

se

Pr {X = k} =µnk

¶pk (1− p)n−k k = 0, 1, 2....n

si ha E(X) = np, V (X) = np(1− p).SimbologiaBi(j;n, p) indica il la probabilità che una variabile casuale binomiale di

parametri n, e p assuma il valore j

Bi(j;n, p) = Pr {X = j} =µnj

¶pj (1− p)n−j

FB(k|n, p) indica il valore della funzione di ripartizione di una varibilecasuale binomiale di parametri n e p calcolato nel punto k

FB(k|n, p) = Pr {X ≤ k} =kXj=0

Bi(j;n, p)

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6 CAPITOLO 2. RICHIAMI DI PROBABILITÀ

2.2 La distribuzione di PoissonLa variabile X ha distribuzione di Poisson con parametro λ > 0

X ∼ Po(λ)se

Pr {X = k} = e−λλk

k!k = 0, 1, 2.

E(X) = λ e V (H) = λ.SimbologiaPo(j;λ) indica il la probabilità che una variabile casuale di Poisson di

parametro λ assuma il valore j

Po(j;λ) = Pr {X = j} = e−λλj

j!

FP (k|λ) indica il valore della funzione di ripartizione di una variabile casualedi Poisson di parametro λ calcolato nel punto k

FP (k|λ) = Pr {X ≤ k} =kXj=0

Po(j;λ)

2.3 La distribuzione normaleSeX è una variabile aleatoria normale, allora la sua funzione di densità è definitacome segue:

f (x) =1

σ√2πe−

12(

x−µσ )

2 −∞ < x <∞

µ è la media della distribuzione, σ2 è la varianza. La simbologia che si utilizzaper indicare tale variabile è la seguente

X ∼ N ¡µ,σ2¢La funzione di ripartizione della normale è definita come la probabilità che lavariabile X assuma valori inferiori o uguali ad un certo valore a:

Pr {X ≤ a} = F (a) =Z a

−∞

1

σ√2πe−

12(

x−µσ )

2

dx

Per il calcolo di questa probabilità è conveniente effettuare un cambio di variabilegiungendo alla normale standardizzata:

Z =X − µσ

2.4. LA DISTRIBUZIONE CHI QUADRATO 7

risulta che la variabile Z è ancora normale, ma con media 0 e con varianza 1,

Z ∼ N (0, 1)

Quindi per calcolare la probabilità Pr {X ≤ a} si può operare nel seguentemodo:

Pr {X ≤ a} = Pr½X − µσ

≤ a− µσ

¾= Pr

½Z ≤ a− µ

σ

¾= Φ

µa− µσ

¶dove Φ (.) è la funzione di ripartizione della normale standardizzata.SIMBOLOGIACon zα/2 si usa indicare il punto percentile di una normale standardizzata

N(0, 1) tale che

Pr©Z ≥ zα/2

ª= α/2

zα/2 è anche indicato come il punto percentile superiore al livello α/2 ottenutodalla distribuzione normale standardizzata. Vedi appendice A2 Montgomery(2000)

2.4 La distribuzione chi quadrato

Se X è una variabile chi quadrato con n gradi di libertà, allora la sua funzionedi densità è definita come segue:

f (x) =1

2n/2Γ¡n2

¢x−(n/2)−1e−y2/2 x > 0

la media della distribuzione è

E(X) = n

e la varianza è

V (X) = 2n

La simbologia che si utilizza per indicare tale variabile è la seguente

X ∼ χ2n

SIMBOLOGIACon χ2

α,nsi usa indicare il punto percentile della variabile casuale chi quadra-

to con n gradi di libertà tale

Prnχ2n ≥ χ2

α,n

o= α


2.5 Aspetti inferenzialiI parametri di un processo produttivo sono generalmente non noti e possonovariare nel tempo (per parametri di un processo produttivo di solito si intendela media e la varianza della caratteristica di qualità, la frazione di elementidifettosi ecc.). Se si aggiunge inoltre che la maggior parte delle informazionisono disponibili solo su base campionaria, ci si rende conto che l’inferenza sta-tistica gioca un ruolo fondamentale. La situazione più comune è dover stimarei parametri del processo produttivo oppure prendere una decisione sul processo(controllo d’ipotesi).Se si dispone di un campione di ampiezza n alcune delle principali sintesi

campionarie che si possono calcolare sono

x =1

n

nXi=1

xi media del campione

s2 =

Pni=1 (xi − x)2n− 1 varianza del campione

s =

sPni=1 (xi − x)2n− 1 deviaz. std del camp.

r = xmax − xmin range del campione

Nell’universo dei campioni il valore di una sintesi calcolata su un campionepuò essere visto come una realizzazione di una variabile aleatoria campi-onaria. La variabili aleatorie campionarie relative alle sintesi sopra riportatesono:

X =1

n

nXi=1

Xi media campionaria

S2 =

Pni=1

¡Xi −X

¢2n− 1 varianza campionaria

S =

sPni=1

¡Xi −X

¢2n− 1 deviaz. std campionaria

R = xmax − xmin range campionario

2.5. ASPETTI INFERENZIALI 9

f(x)

-10 0 10 20 30

f(x)

Figura 2.1: Funzione di densita di una normale con parametri µ = 10, e σ2 = 9

2.5.1 Distribuzioni campionarie

Essendo funzioni delle osservazioni campionarie le variabili casuali sopra indicatesono delle statistiche.Per esempio, supponiamo che la caratteristica di qualità sia distribuita nor-

malmente

X ∼ N(µ,σ2)

(per esempio µ = 10 mm, e σ2 = 9 mm vedi figura 2.1). Se x1, x2, ...., xn è uncampione casuale di ampiezza n estratto dalla popolazione, allora la statisticamedia campionaria

X ∼ N(µ,σ2/n)

nella Figura (2.2) sono riportate le distribuzioni di X, e X per n = 5.

Vedi capitolo 3 Montgomery (2000)

2.5.2 Stima puntuale e stima intervallare

Vedi capitolo 3 Montgomery (2000). Qui si richamano solo alcuni punti dellastima intervallare.Una stima intervallare di un parametro è l’intervallo tra due statistiche che

include il valore vero del parametro con un’assegnata probabilità.


-10 0 10 20 30

f(x)f(xmedio)

Figura 2.2: X normale con µ = 10, e σ2 = 9; X normale con µ = 10, e σ2 = 1.8

Ragioniamo in questo modo. Consideriamo una variabile aleatoria X conmedia µ nota e varianza σ2 nota.La variabile media campionaria tende a distribuirsi (teorema del limite cen-

trale) come una normale

X ∼ N(µ,σ2/n)di conseguenza la variabile standardizzata

Z =X − µσ/√n

tende a distribuirsi come una normale con media 0 e varianza 1

Z ∼ N(0, 1)Sfruttando le proprietà della normale standardizzata si può affermare che laprobabilità che la variabile aleatoria Z assuma valori compresi tra −zα/2 e zα/2è pari a 1− α

Pr©−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2ª = 1− α

Si può allora definire un intervallo tale che la probabilità dell’avverarsi di uncampione con media x contenuta nell’intervallo stesso sia pari a 1− α

Pr

½µ− zα/2 σ√

n≤ x ≤ µ+ zα/2 σ√

n

¾= 1− α


Questa è la soluzione del ”problema diretto”: prevedere una proprietà statisticadi un campione nota quella della popolazione.L’induzione statistica invece riguarda il ”problema inverso”: fare inferen-

za su una proprietà statistica della popolazione nota quella di un campione.Questo è proprio della stima intervallare di un parametro: partendo dalla con-stante osservata nel campione si vuole individuare un intervallo che contenga ilparametro incognito con una preassegnata probabilità.Si supponga quindi che la media in popolazione µ sia incognita. Se si estrae

un campione di ampiezza n

x1, x2, ...xn

la cui media è

x =1

n

nXi=1

xi

l’intervallo di confidenza al livello 100(1− α)% per µ è dato da

x− zα/2 σ√n≤ µ ≤ x+ zα/2 σ√

n

Gli estremi dell’intervallo sono variabili aleatorie infatti dipendono dai dati cam-

pionari e 1−α è detto livello di confidenza. L’intervallohx− zα/2 σ√

n, x+ zα/2

σ√n

iè da intendersi come un intervallo aleatorio che ha una probabilità pari a 1− αdi contenere il parametro incognito µ.Quello che abbiamo appena visto è un intervallo di confidenza della

media con varianza nota

Intervallo di confidenza della varianza di una distribuzione normaleConsideriamo la variabile casuale

X ∼ N(µ,σ2)con media µ e varianza σ2 non note.Consideriamo la varianza campionaria

S2 =

Pni=1

¡Xi −X

¢2n− 1

e definiamo la variabile (n−1)S2σ2 . Tale variabile è distribuita come un χ2 con

n− 1 gradi di libertàSe si osserva un campione e si calcola la varianza del campione

s2 =

Pni=1 (xi − x)2n− 1

l’intervallo di confidenza al livello 100(1− α)% per la varianza è dato da

(n− 1) s2χ2α/2,n−1

≤ σ2 ≤ (n− 1) s2χ21−α/2,n−1


2.5.3 Verifica d’ipotesi

Vedi capitolo 3 Montgomery (2000).Qui vediamo solo alcuni richiami utilizzando un esempio.

EsempioUna macchina produce barre di acciaio a sezione circolare il cui diametro

ottimale dovrebbe essere 10 millimetri. Le barre effettivamente prodotte, che sisuppongono tra loro indipendenti, hanno un diametro aleatorio con distribuzionenormale di media µ0 = 10mm e scarto σ = 3mm.Come si può verificare il corretto funzionamento della macchina basandosi

su un campione di ampiezza finita?Un possibile strumento è il controllo o verifica d’ipotesi.Un’ipotesi statistica è una proposizione riguardante i valori di uno o più

parametri di una distribuzione.Nel controllo statistico di qualità le ipotesi formulate hanno un preciso

significato.Nel nostro caso:

H0 : µ = 10

H1 : µ 6= 10

L’ipotesi H0 : µ = 10 è detta ipotesi nulla: la macchina funziona corretta-menteL’ipotesi H1 : µ 6= 10 è detta ipotesi alternativa: la macchina non funziona

correttamentePer procedere al controllo:a) si estrae un campione casuale di ampiezza n dalla popolazioneb) si rilevano le n misure della caratteristica di qualità di interessec) si calcola un’opportuna statistica test.Sulla base del valore che tale statistica assume si deciderà se rifiutare o non

rifiutare l’ipotesi H0.Per stabilire il criterio di decisione, ovvero la regione di rifiuto di H0, si usa

ragionare sulla probabilità di commettere un errore.Gli errori possono essere di 2 tipi:a) ERRORE DEL PRIMO TIPO, ovvero rifiutare l’ipotesi H0, quando H0

è verab) ERRORE DEL SECONDO TIPO, ovvero non rifiutare l’ipotesiH0, quan-

do H0 è falsaLe probabilità associate ai due errori sono:

α = Pr (errore del primo tipo)

β = Pr (errore del secondo tipo)


Usualmente si usa specificare un valore della probabilità dell’errore del primotipo α (controllo diretto). Il valore del rischio β lo si controlla indirettamenteessendo funzione dell’ampiezza del campione.Nel nostro caso siamo in una situazione di ipotesi su una media µ con

varianza nota σ2

H0 : µ = µ0

H1 : µ 6= µ0(µ0 = 10)Definisco la variabile aleatoria (statistica test)

Z0 =X − µ0σ/√n

dove X è la media campionaria:

X =1

n

nXi=1

Xi

Si rifiuta l’ipotesi H0 se |zc = x−µ0σ/√n| > zα/2 dove zα/2 è il valore di ascissa

di una N(0, 1) tale che Pr¡Z ≥ zα/2

¢= α/2.

Spiegazione (intuitiva): sotto l’ipotesi H0 si ha che Z0 ∼ N (0, 1) (Figura2.3)Se per esempio si fissa un valore di α = 0.002 la regione di non rifiuto per

H0 è

−zα2

= −3.09zα2

= 3.09

Quindi non rifiuto H0 se:

−zα2≤ zc ≤ zα2

Torniamo all’esempioSupponiamo di estrarre un campione di ampiezza n = 5 e che le misure dei

5 diametri siano risultate:

11, 9, 12, 11, 10

La media del campione risulta

x =1

5(11 + 9 + 12 + 11 + 10) = 10, 6


f(z)

-6 -4 -2 0 2 4 6

f(z)

Figura 2.3: N(0, 1)

ed il valore della statistica test

zc =10, 6− 103/√5

= 0, 447

In questo caso non si rifiuta H0 in quanto zc < zα2 .Consideriamo ora la probabilità β la probabilità di non rifiutare H0 quando

è falsa (e’ vera H1). (significato....)Supponiamo quindi sia vera l’ipotesi H1 : µ 6= µ0. In particolare supponi-

amo che la media della distribuzione (ovvero la media dei diametri delle barreprodotte) sia pari a

µ1 = µ0 + δ

allora si ha che

Z0 ∼ Nµδ√n

σ, 1

¶vedi Figura (2.4).E’ possibile calcolare la probabilità β:

β = Pr©−zα

2≤ Z0 ≤ zα2

¯H1ª

= Pr

½µ−zα

2− δ√n

σ

¶≤ Z0 − δ

√n

σ≤µzα2− δ√n

σ

¶¯H1

¾


-6 -4 -2 0 2 4 6

f(xmedio)f(shift)

Figura 2.4:

ora la variabile

Z0 − δ√n

σ

è una normale standardizzata (siamo sotto H1) quindi la probabilità β si puòcalcolare come

β = Φ

µzα2− δ√n

σ

¶− Φ

µ−zα

2− δ√n

σ

¶Nel nostro caso supponendo δ = 1

β = Φ

µzα2− δ√n

σ

¶− Φ

µ−zα

2− δ√n

σ

¶=

= Φ

Ã3.09− 1

√5

3

!− Φ

Ã−3.09− 1

√5

3

!=

= Φ (2.345)− Φ (−3.835) = 0.990

La probabilità β è quindi una funzione di (Figura 2.5):n ampiezza del campioneδ ampiezza dello shift (variazione).......α probalilità dell’errore di primo tipo


00,20,40,60,8

11,2

0 0,8 1,6 2,4 3,2 4 4,8 5,6 6,4 7,2 8

delta

BETA(5)

BETA(10)

Figura 2.5: probabilità β in funzione di δ e per n = 5 e n = 10

Capitolo 3

Il Controllo Statistico diProcesso

L’obiettivo è produrre beni e/o servizi che soddisfino le esigenze dei consumatori.Un processo produttivo dovrebbe quindi essere stabile ed operare con una vari-abilità ridotta intorno al valore obiettivo (target) specificato per la caratteristicadi qualità di interesse.Il controllo statistico di processo, SPC (Statistical Process Control), è

costituito da un insieme di strumenti utili per garantire la stabilità e ridurre lavariabilità del processo.Tra gli strumenti del SPC la carta di controllo è lo strumento tecnicamente

più importante. Le carte di controllo sono state sviluppate da W. A. Shewart(Bell Telephone Laboratories) nel 1920 ed in letteratura sono spesso indicatecon il nome di carte Shewart.

3.1 Variabilità nel processo produttivo

Ogni processo produttivo è caratterizzato da una certa variabilità naturale, ques-ta variabilità è presente anche se il processo è ben progettato e controllato edè dovuta all’azione congiunta di molte piccole cause e generalmente non è ad-debitabile a singoli fattori controllabili: usualmente in queste condizioni talevariabilità è piccola.Quando un processo produttivo è caratterizzato solo da una variabilità nat-

urale, si può affermare che il processo opera soggetto ad un sistema di cause ac-cidentali o comuni. Nella terminologia del SPC, un processo che opera soggettosolo ad un sistema di cause accidentali è in uno STATO DI CONTROLLOSTATISTICO.Altre fonti di variabilità, dovute a fattori ben individuabili e controllabili,

possono intervenire nel processo produttivo alterando ed aumentando la vari-abilità “naturale” fino a valori non accettabili per gli standard di qualità. Inquesto caso si può affermare che il processo opera soggetto ad un insieme di cause

17

18 CAPITOLO 3. IL CONTROLLO STATISTICO DI PROCESSO

valore nominaleUSL LSL

AB

Figura 3.1: shift nella media (A); aumento della variabilità (B)

sistematiche o speciali. Un processo che opera in presenza di cause sistematicheè in uno STATO DI FUORI CONTROLLO STATISTICO.Quando un processo produttivo è ben progettato e tarato opera in uno sta-

to di controllo statistico. Cause sistematiche possono intervenire nel processoprovocando: A) un allontanamento del valore medio della caratteristica di qual-ità dal valore target; B) un aumento della variabilità della caratteristica diqualità; C) sia variazioni nella media sia un aumento della variabilità (Figura3.1). Il risultato è che aumenta la produzione di elementi che non soddisfanole specifiche richieste, con un conseguente peggioramento della qualità risul-tante del prodotto ed un danno economico per l’azienda. Questo provoca unospostamento (SHIFT) del processo verso uno stato di fuori controllo statistico.L’obiettivo principale del controllo statistico di processo è individuare, nel minortempo possibile, lo shift del processo in modo che possano essere prese azionicorrettive. Le carte di controllo consentono di sorvegliare il processo in corsodi produzione (on-line) segnalando eventuali problemi e consentendo interventicorrettivi.

3.2 Aspetti generali delle carte di controllo

Una carta di controllo è una visualizzazione grafica di una sequenza di teststatistici per verificare lo stato di controllo del processo.Indicando con X la caratteristica di qualità da controllare, dal processo pro-

duttivo si estraggono, ad intervalli regolari di tempo, dei campioni di numerositàn, (x1,x2,...., xn) = Xn, si forma la statistica campionaria g(Xn) (media cam-

3.3. COSTRUZIONE DI UNA CARTA DI CONTROLLO 19

pionaria, mediana campionaria, range, deviazione standard ecc.) e la si utilizzaper verificare il sistema d’ipotesi:

H0 : Il processo e in controllo

H1 : Il processo e fuori controllo

la carta di controllo è la visualizzazione grafica dei risultati campionari rispettoal tempo.Nella carta è presente una linea centrale, CL (central line), che rappresenta il

valore medio caratteristica di qualità in genere corrispondente al valore desider-ato nell’ipotesi di controllo del processo. Altre due linee orizzontali identificano ilimiti di controllo: UCL (Upper Control Limit) il limite di controllo superiore eLCL (Lower control limit) il limite di controllo inferiore. UCL e LCL vengonodeterminati prima di iniziare l’ispezione campionaria, in modo tale che quandoil processo è in controllo la probabilità che i valori della statistica test cadanoall’interno di tali limiti sia elevata. Quando un valore della statistica test cadeal di fuori dei limiti di controllo si ha un segnale di allarme o segnale di fuoricontrollo: l’evidenza empirica porta ad accettare H1. In questi casi è necessariofare ulteriori controlli sul processo per verificare se sono intervenute cause spe-ciali e se necessario intraprendere azioni correttive. In realtà, come si vedrà inseguito, le regole di decisione sono più complesse. Infatti non si esamina solola posizione del singolo punto campionario rispetto ai limiti di controllo, ma sifa anche un esame della sequenza di punti per verificare l’eventuale presenza diandamenti sistematici che possono essere dovuti a situazioni di fuori controllo.In alcune situazioni possono essere presenti anche i limiti di guardia: UWL

(Upper Warning Limit) il limite di guardia superiore; LWL (Lower WarningLimit) il limite di guardia inferiore. Sul loro significato ed utilizzo si rimandaai paragrafi seguenti.

3.3 Costruzione di una carta di controlloIl modello generale per una carta di controllo è il seguente. Sia Y = g(Xn) lastatistica campionaria relativa ad una caratteristica di qualità che si desideracontrollare con E(Y ) = µY e V (Y ) = σ2Y .Si supponga di voler controllare il seguente sistema d’ ipotesi:

H0 : µ = µY il processo è in controllo

H1 : µ 6= µY il processo è fuori controlloAllora

UCL = µY + k1σY


Esempio di carta di controllo

istanti campionari

CL

statistica test

UCL

LCL

UWL

LWL

Figura 3.2: Esempio di carta di controllo

CL = µY

LCL = µY − k2σYI fattori k1 e k2 sono fissati in modo che sotto H0

Pr {Y /∈ (LCL,UCL)} = α

Si noti che se la distribuzione di Y è simmetrica e Pr {Y ≥ UCL} = Pr {Y ≤ LCL} =α2 allora k1 = k2 = kα/2.La funzione test è basata sulla statistica

Y = g(Xn)

si accetta H0 se

LCL = µY − k2σY < Y < µY + k1σY = UCLsi accetta H1 quando

Y ≥ UCLoppure

Y ≤ LCLLa probabilità α corrisponde alla probabilità dell’errore di primo tipo nellateoria di verifica delle ipotesi. Nel controllo statistico di processo α corrisponde


alla probabilità di segnalare un fuori controllo quando il processo è in controllo(quando H0 è vera). Comunemente α viene indicata con il termine probabilitàdi un falso allarme. Un falso allarme porta ad una interruzione del processo,o comunque ad un insieme di controlli inutili ed il risultato può essere un dannoeconomico per l’azienda.La probabilità di un mancato allarme è invece data da:

Pr {Y ∈ (LCL,UCL|H1} = β

La probabilità β corrisponde alla probabilità di commettere l’errore di secondotipo nella verifica d’ipotesi. Un mancato allarme porta ad un aumento della”difettosità” nella produzione in quanto non si rileva che il processo ha subitouno shift: anche in questo caso si ha un danno economico per l’azienda inquanto si ha un aumento della produzione non conforme. Un piccolo esempiopuò aiutare a chiarire alcuni dei concetti espressi sopra.

ESEMPIO 3.1Consideriamo un processo produttivo che produce barre di acciaio a sezione

circolare. Una caratteristica di qualità critica per questo tipo di processo pro-duttivo è il diametro, X, delle barre che assumiamo distribuito normalmente:X ∼ N ¡µ,σ2¢. Si supponga che il processo sia sotto controllo se il diametrodelle barre prodotte è pari a 10 millimetri e che la deviazione standard del di-ametro sia pari a σ = σ0 = 0.07 mm. Sostanzialmente si vuole controllare illivello medio della caratteristica di qualità ovvero

H0 : µ = µ0 il processo è sotto controllo

H1 : µ 6= µ0 il processo è fuori controllo

Per controllare il processo ogni ora un campione casuale di n = 5 unità vieneanalizzato. Ogni ora quindi si estraggono in modo casuale dal processo produttivo5 barre, si rilevano i 5 diametri e si calcola la media del campione

x =1

n

nXi=1

xi

La statistica media campionaria

X =1

n

nXi=1

Xi

sotto l’ipotesi H0 si distribuisce normalmente

X ∼ Nµµ0,

σ20n

¶


quindi fissata una probabilità α si può scrivere

Pr

½µ0 − zα/2

σ0√n< X < µ0 + zα/2

σ0√n|µt = µ0

¾= 1− α

Segue che i limiti di controllo risultano

UCL = µ0 + zα/2σ0√n

LCL = µ0 − zα/2σ0√n

La linea centrale risulta ovviamente pari a

CL = µ0 = 10

e se è fissata una probabilità di un falso allarme pari a α = 0.002 si ha kα/2 =zα/2 = 3.09, quindi i limiti risultano

UCL = µ0 + zα/2σ0√n= 10.097

LCL = µ0 − zα/2σ0√n= 9.903

Supponiamo ora che sia vera l’ipotesi H1 : µ 6= µ0, in particolare µ = 9.915.Questo significa che sul parametro media del processo produttivo è avvenuto unoshift. Definendo con

δ =µ− µ0σ0

lo shift standardizzato, quindi nel caso in esame si ha

δ =9.915− 100.07

= −1.214

Ora è interessante calcolare la probabilità di un mancato allarme ovvero β. Taleprobabilità, come visto prima è data da

β = Pr {Y ∈ (LCL,UCL|H1} == Pr

½X ≤ µ0 + zα/2

σ0√n|µt = µ

¾− Pr

½X ≤ µ0 − zα/2

σ0√n|µt = µ

¾Sotto l’ipotesi H1 si ha che

X ∼ Nµµ,

σ20n

¶


dove µ = µ0 + δσ0. Standardizzando la variabile possiamo scrivere che

β = Φ¡zα2− δ√n¢− Φ ¡−zα

2− δ√n¢

Nel nostro caso essendo δ = −1.214

β = Φ³3.09−−1.214

√5´− Φ

³−3.09−−1.214

√5´=

= Φ (5.805)− Φ (−0.375) ' 1− 0.354 = 0.646La probabilità β è una funzione di n ampiezza del campione, di δ ampiezza delloshift (variazione del parametro) e di α probalilità dell’errore di primo tipo.

3.3.1 Limiti di controllo

Come posizionare i limiti di controllo? Occorre ragionare sulle probabilità dicommettere degli errori: α probabilità di un falso allarme; β probabilità di unmancato allarme.I limiti di controllo, fissata un’ampiezza campionaria n, dipendono da α: se

α diminuisce i limiti di controllo diventano più ampi, conseguentemente peròβ aumenta; se si aumenta α i limiti di controllo diventano più stretti e con-seguentemente β diminuisce. Si comprende quindi che non si riescono a rendereminimi contemporaneamente sia α che β. Nella prassi si possono seguire duestrade:

1. se n è fisso, si fissa α e si determina β conseguentemente

2. se n può variare, si fissano α e β e si determina conseguentemente n.

Per determinare i limiti di controllo nelle carte di tipo Shewart esistono delle”convenzioni” o linee guida. In Europa, per i limiti di controllo si usa fissareun valore per α (probabilità di un falso allarme) oppure ragionare su alcunefunzioni legate ad α come la funzione ARL di cui parleremo in seguito. Peresempio, stabilire che la probabilità di un falso allarme è pari α = 0.002 nelcaso di popolazione normale corrisponde ad un kα/2 = 3.09.Negli USA, indipendentemente dalla distribuzione della caratteristica ogget-

to di controllo, si è soliti individuare i limiti di controllo come multiplo delladeviazione standard della statistica test. Il multiplo solitamente scelto è

k = 3

(regola del 3-sigma). In questo modo nel caso di popolazione normale equivale afissare α = 0.0027. La scelta dei limiti 3-sigma dà in genere buoni risultati nelleapplicazioni e nei casi in cui la vera distribuzione della caratteristica di qualitànon è nota.

LIMITI DI GUARDIA O DI SORVEGLIANZAOltre ai limiti di controllo possono essere presenti dei limiti più interni chia-

mati limiti di guardia o sorveglianza. Tali limiti chiamati UWL e LWL (Upper


Warning Limit e Lower Warning Limit). Vengono determinati specificando unvalore di probabilità α2 > α ad esempio α2 = 0.05 che corrisponde ad un valorekα2 = 1.96. Negli USA si usa per i limiti di guardia la regola 2 sigma: k = 2Un valore della statistica campionaria interno ai limiti di controllo, ma es-

terno ai limiti di guardia è un evento che pur non essendo un segnale di fuoricontrollo ha una probabilità non elevata di verificarsi, quindi sono opportuniulteriori accertamenti sul processo produttivo.

3.3.2 Numerosità campionaria e frequenza di campiona-mento

NUMEROSITA’ CAMPIONARIAIn generale tanto più è grande il campione tanto più è facile individuare

piccoli spostamenti del processo. Questo lo si può verificare se si calcolano lemisure delle prestazioni di una carta di controllo: la funzione di potenza o, ilsuo complemento a uno, la curva operativa caratteristica. La probabilità dirilevare uno shift, vista come funzione di n e dello shift, è data dalla Funzionedi potenza (G)

G = Pr {Y /∈ (UCL,LCL)|H1}

La funzione Curva Operativa caratteristica(CO) di una carta di controlloesprime invece la probabilità di non rilevare uno shift

CO = Pr {Y ∈ (UCL,LCL)|H1}

sempre come funzione dell’ampiezza del campione n e dello shift. Come si puònotare dalle Figure (3.3) e (3.4) la funzione di potenza è una funzione crescentesia di n sia dell’ampiezza in valore assoluto dello shift. La curva operativacaratteristica ha ovviamente un comportamento complementare. Si può quindideterminare n in funzione dello shift del processo che si vuole individuare conuna certa probabilità. Nella pratica n, anche per ragioni di costo, è contenuto(n ≤ 15).

FREQUENZA DI CAMPIONAMENTOUn’elevata frequenza di campionamento comporta un minor tempo per in-

dividuare eventuali anomalie nel processo. Anche in questo caso è importantericordare che un’elevata frequenza di campionamento comporta un aumentonei costi d’ispezione. Nella pratica si tendono a privilegiare, salvo indicazionicontrarie, piccoli campioni con una frequenza di campionamento elevata.

La funzione ARLUn’importante misura sulla quale basarsi per prendere decisioni sull’ampiez-

za campionaria e frequenza di campionamento è costituita dalla funzione ARL(Average Run Lenght-lunghezza media delle sequenze).


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

9.850

9.875

9.900

9.925

9.950

9.975

10.00

0

10.02

5

10.05

0

10.07

5

10.10

0

10.12

5

10.15

0

Media del processo

Funz

ione

di p

oten

za

n=5n=10n=15

Figura 3.3: Funzione di potenza per la carta x

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Media del processo

Curv

a op

erat

iva

n=5

n=10

n=15

Figura 3.4: Curva operativa caratteristica per la carta x


Si definisca con RL la variabile casuale discreta che descrive il numero dicampioni che è necessario osservare per rilevare un segnale di fuori controllo:

RL = numero di campioni da estrarre per avere un segnale di fuori controllo

La funzione ARL è il valore atteso della variabile RL:

ARL = E(RL)

ovvero il numero medio di campioni da estrarre per avere un segnale di fuoricontrollo. Per campioni rilevati ad intervalli di tempo regolari ARL è una misuradel tempo medio di attesa per un segnale di fuori controllo.L’ARL è una funzione dello stato del processo: se il processo è in controllo

l’ARL dovrebbe essere alto; se il processo è fuori controllo l’ARL dovrebbeessere piccolo.Si supponga di essere in regime di H0. La probabilità di un fuori controllo è

α, segue che RL ha una distribuzione geometrica con parametro p = α:

Pr {RL = m} = p(1− p)m−1

e la funzione ARL(H0) è

ARL(H0) = E(RL) =∞Xk=1

k(1− p)k−1p = 1

p=1

α

Per esempio con α = 0.002 si ha ARL(H0) = 500. Questo vuole dire che se ilcampionamento avviene ogni ora ci si attende in media un falso allarme ogni500 ore.Si supponga di essere in regime di H1. La probabilità di avere un segnale

di fuori controllo è 1 − β, segue che RL ha una distribuzione geometrica conparametro p = 1− β:

Pr {RL = m} = p(1− p)m−1

e la funzione ARL(H1) è

ARL(H1) = E(RL) =∞Xk=1

k(1− p)k−1p = 1

p=

1

1− β

3.3.3 Regole di decisione e analisi degli andamenti tipici

Una carta di controllo indica una situazione di fuori controllo quando: a) uno opiù punti superano i limiti di controllo; b) si è in presenza di un comportamentonon casuale della sequenza dei valori della satistica test.


E’ importante non osservare solamente il singolo istante campionario. Con-sideriamo m campioni (prove) indipendenti in cui α è la probabilità di un falsoallarme. Sia Z la variabile aleatoria che enumera i punti fuori controllo (sottoH0) su m campioni. La probabilità di avere esattamente Z = r è data da

Pr (Z = r) =

µmr

¶αr (1− α)

m−r=

Bin(m,α)

Il valore atteso della variabile Z è dato da

E(Z) = mα

che rappresenta il numero di punti fuori controllo su m campioni quando ilprocesso è sotto l’ipotesi H0. Consideriamo ora la probabilità di avere almenoun falso allarme su m campioni

Pr (Z ≥ 1) = 1− Pr (Z = 0) = 1− (1− α)m

questa probabilità è una funzione crescente di m.

per n −→∞ si ha Pr (Z ≥ 1) −→ 1

non è trascurabile per m > 20

Ad esempio α = 0.0027 (regola del 3-sigma) e m = 20, si ha Pr (Z ≥ 1) =0.053 con Pr (Z = 1) = 0.051 e Pr (Z = 2) = 0.001. Quindi: con un un puntofuori controllo è ancora elevata la probabilità di giungere a conclusione errate(accettare H1 quando è vera H0); con due o più punti fuori controllo invecequasi certamente il processo è effettivamente fuori controllo.Un Run è una sequenza di osservazioni dello stesso tipo: Run up sequen-

za crescente; Run down sequenza decrescente. Si possono inoltre osservaresequenze di punti tutti sopra CL o tutti sotto CL. Ogni sequenza può es-sere probabilizzata e una sequenza o Run di lunghezza 8 ha una probabilitàmolto bassa di verificarsi. Pertanto la presenza di tale Run è indicativo diuna situazione di fuori controllo, anche se tutti i punti cadono entro i limiti dicontrollo.Per individuare comportamenti non casuali nella carte Shewart esistono delle

regole di decisione (Run rules) suggerite nel 1956 dalla Western Electric. Al-cune diqueste regole sono riportate di seguito, mentre per una trattazione piùarticolata si rimanda a Montgomery (2000).Il processo è fuori controllo se:

1. uno o più punti sono fuori dai limiti di controllo

2. 2 punti su 3 consecutivi sono fuori dai limiti di guardia

3. 8 punti consecutivi tutti al di sopra o sotto CL


4. ..................................................

5. .................VEDI MONTGOMERY (2009) p.131

In generale un comportamento visivamente non casuale dei punti

Commento sulle regole di decisioneBisogna fare attenzione ad esercitare più di un criterio di decisione perchè

aumenta la probabilità di falsi allarmi. Consideriamo k criteri di decisione esia αi la probabilità di commettere l’errore di primo tipo del criteri i − esimo(i = 1, 2, ...k). Segue che la probablità di un falso allarme basata su k testindipendenti

α = 1−kYi=1

(1− α1)

Quindi α > αi con α che cresce al crescere di k. In conclusione se le RunRules aumentano la sensibilità della carta di controllo a rilevare lo stato di fuoricontrollo, aumentano anche la probabilità di falsi allarmi.

3.4 Stima dei parametri del processo da un ”pre-run”

Nella pratica, l’ipotesi di ritenere noti i parametri del processo produttivo, chequi indichiamo in modo generico con µ e σ, non è quasi mai soddisfatta. Segueche è necessario stimarli sulla base di un certo numero m (m = 20 ÷ 25) dicampioni preliminari opportunamente estratti in un periodo in cui il processoviene ritenuto sotto controllo. Tale insieme di campioni viene indicato con iltermine prerun.Indicando con

x1, x2, ..., xm

le medie di ciascun campione uno stimatore della media incognita del processoµ è la media degli m campioni:

bµ = x = x1 + x2 + ...+ xmm

Se anche la variabilità del processo σ non è nota, allora è necessaria stimarla.I due stimatori più comuni di σ utilizzano i range o le deviazioni standard deglim campioni.

Metodo basato sui rangeIn ogni campione di ampiezza n è possibile calcolare il range del campione,

così

R1, R2, ..., Rm

3.4. STIMA DEI PARAMETRI DEL PROCESSO DA UN ”PRERUN” 29

sono i range degli m campioni che costituiscono il prerun. Il range medio

R =R1 +R2 + ...+Rm

m

è uno stimatore del range del processo (non è uno stimatore di σ).Lo stimatore per σ0 si ottiene considerando la variabileW = R/σ detta range

relativo. La variabile W ha una distribuzione nota che dipende dall’ampiezzadel campione n, ed il suo valore atteso è

E(W ) = d2

dove d2 è un fattore tabulato in funzione di n (Appendice A6 Montgomery(2000)).Segue che se R è il range medio degli m campioni preliminari uno stimatore

corretto di σ è dato da

bσ = R

d2

Inoltre se la caratteristica di qualità è distribuita normalmente X ∼ N(µ,σ2),allora la deviazione standard di W è pari a

σW = d3

dove d3 è un fattore tabulato in funzione di n (Appendice A6 Montgomery(2000)). Segue che essendo

R =Wσ

lo scarto quadratico medio di R risulta quindi

σR = d3σ

ed essendo σ non nota si può stimare σR con

bσR = d3 Rd2

Metodo basato sulle deviazioni standardIn ogni campione di ampiezza n è possibile calcolare la deviazione standard

del campione, così

s1, s2, ..., sm

sono le deviazioni standard dei m campioni che costituiscono il prerun. Si puòquindi calcolare la deviazione standard media

S =s1 + s2 + ...+ sm

m


La statistica S ha un valore atteso pari a

E(S) = c4σ

e una deviazione standard pari a

σS = σq1− c24

Dove il termine c4 è tabulato in funzione di n (Appendice A6 Montgomery,(2000)).Segue che uno stimatore di σ è dato da

bσ = S

c4

SCHEMA DELLE CARTE DI CONTROLLO CHE VEDREMOCARTE DI CONTROLLO (Shewart)

VARIABILI ATTRIBUTIcontrollo X media np numero elementi non conformilocazione eX mediana p frazione elementi non conformi

c numero di difetticontrollo R range u numero di difetti per unità fisicavariabilità S deviaz.stand.

Capitolo 4

Carte di controllo pervariabili

La caratteristica di qualità di interesse è descritta da una variabile aleatoriacontinua X e si assume che sia distribuita normalmente (test di normalità)

X ∼ N(µt,σ2t )Se il processo è in stato di controllo allora µt = µ0 e σt = σ0. Il controllo del

processo produttivo serve per controllare che nel tempo µt e σt si mantenganoin accordo con i valori target o nominali µ0 e σ0.Il valori target possono essere

• valori nominali µN e σN specificati da una legge, uno standard o dalprogetto del prodotto

• valori empirici µE e σE ticavati dall’esperienza passata del processo• stime bµ0 e bσ0 ricavate da un apposito insieme di dati preliminari (prerun)relativi al processo non disturbato

4.1 Carte di controllo per il livello del processoQuando interessa rilevare shift nella media µt del processo in entrambe le di-rezioni si costruisce una carta di controllo bidirezionale. Il sistema d’ipotesi chesi vuole controllare è il seguente

H0 : µt = µ0H1 : µt 6= µ0

La posizione di CL (la linea centrale) dipende dall’informazione disponibilesu µ0, ovvero:

CL = µ0

31

32 CAPITOLO 4. CARTE DI CONTROLLO PER VARIABILI

se µ0 è un valore nominale noto.I limiti di controllo UCL e LCL sono determinati in modo che nell’ipotesi

H0 la probabilità di un falso allarme sia α:

Pr {Y /∈ (LCL,UCL) |H0} = α

Se presenti, per i limiti di guardia UWL e LWL si segue lo stesso ragiona-mento con riferimento ad un α2 specificato (α < α2)

Pr {Y /∈ (LWL,UWL) |H0} = α2

4.1.1 Carta x bilaterale (parametri noti)

Questa carta di controllo utilizza come statistica test la media campionaria

X =1

n

nXi=1

Xi

Per controllare il processo un campione di ampiezza n > 1 elementi viene es-tratto casualmente dal processo produttivo ad intervalli di tempo regolari siosservano gli n valori della caratteristica di qualità di interesse e si calcola lamedia del campione

x =1

n

nXi=1

x

Si supponga che la caratteristica di qualità X si distribuisca normalmente, X ∼(µt,σ

20), quindi segue che

X ∼ N(µt,σ20n)

Si può quindi ricavare la probabilità che la statistica test assuma valori inun intorno di µ0 quando è vera l’ipotesi H0:

Pr

½µ0 − zα/2

σ0√n≤ X ≤ µ0 + zα/2

σ0√n|µt = µ0

¾= 1− α

dove zα/2 è il punto percentile di una normale standardizzata Z ∼ N(0, 1) taleche Pr

¡Z ≥ zα/2

¢= α/2.

Pertanto se µ0 e σ0 sono noti, si ha

CL = µ0

e i limiti di controllo ed i limiti di guardia diventano:

UCL = CL+zα/2√nσ0 = µ0 +

zα/2√nσ0

4.1. CARTE DI CONTROLLO PER IL LIVELLO DEL PROCESSO 33

LCL = CL− zα/2√nσ0 = µ0 −

zα/2√nσ0

UWL = CL+zα2/2√n

σ0 = µ0 +zα2/2√n

σ0

LWL = CL− zα2/2√n

σ0 = µ0 −zα2/2√n

σ0

Se invece se µ0 e σ0 non sono noti , allora vengono sostituiti da loro stimecorrette e le asserzioni di probabilità in questo caso sono solo approssimate.

Funzione di potenza e curva operativa della carta xLa capacità di una carta Shewart nell’individuare uno shift nel livello del

processo è fornita dalla funzione di potenza o dal suo complemento a 1, la curvaoperativa caratteristica (OC).La funzione di potenza rappresenta la probabilità di avere un segnale di fuori

controllo, dato il livello del processo al tempo t. Nel nostro caso:

G(µt) = Pr©X ≥ UCL|µt

ª+Pr

©X ≤ LCL|µt

ªcon CL = µ0 e σ0 noti e fissi.

Sviluppando i calcoli e ricordando che X ∼ N(µt, σ20

n )

G(µt) = Pr

½X ≥ µ0 +

zα/2√nσ0|µt

¾+Pr

½X ≤ µ0 −

zα/2√nσ0|µt

¾=

= 1− ΦÃµ0 +

zα/2√nσ0 − µt

σ0

√n

!+Φ

Ãµ0 − zα/2√

nσ0 − µt

σ0

√n

!=

= Φ

Ã−µ0 +

zα/2√nσ0 − µt

σ0

√n

!+Φ

Ãµ0 − zα/2√

nσ0 − µt

σ0

√n

!dove Φ (.) indica la funzione di ripartizione della N(0, 1). Indicando lo shiftstandardizzato con

δt =µt − µ0

σ0

si ottiene

G(δt) = Φ¡−zα/2 + δt

√n¢+Φ

¡−zα/2 − δt√n¢

La funzione di potenza è una funzione crescente del valore assoluto delloshift standardizzato:

G(δt = 0) = α

e per |δt| −→∞, si ha che G(δt) −→ 1.


Example 1 Un processo produttivo produce pistoni per motori, il diametro ot-timale dei pistoni dovrebbe essere 74 millimetri. Supponendo nota la variabilitàdel processo produttivo, σ0 = 0.01, costruire una carta di controllo per il livellomedio del processo basandosi su campioni di ampiezza n = 5. a) Calcolare i lim-iti di controllo in modo tale che la probabilità di un falso allarme sia α = 0.002.Risposta a)

CL = µ0 = 74

UCL = CL+ Ccσ0 = µ0 +zα/2√nσ0 = 74 +

3.09√50.01 = 74.01382

LCL = CL− Ccσ0 = µ0 −zα/2√nσ0 = 74− 3.09√

50.01 = 73.98618

b) Calcolare i limiti di guardia con α2 = 0.05. Risposta b)

UWL = CL+ CWσ0 = µ0 +zα2/2√n

σ0 = 74 +1.96√50.01 = 74.00877

LWL = CL− CWσ0 = µ0 −zα2/2√n

σ0 = 74− 1.96√50.01 = 73.99123

c) Calcolare la probabilità di rilevare che è avvenuto uno shift nella media delprocesso, più precisamente µt = 73.98. Risposta c) Si tratta di calcolare ilvalore della funzione di potenza quando µt = 73.98. Calcolo il valore dello shiftstandardizzato

δt =µt − µ0

σ=73.98− 740.01

= −2

quindi

G(δt = −2) = Φ³−3.09− 2

√5´+Φ

³−3.09 + 2

√5´=

= Φ (−7.562) +Φ (1.382) ' 0.916Nella figura (4.1) è riportato il grafico della funzione di potenza della carta dicontrollo.d) Calcolare il valore dell’ARL quando µt = 73.98. Risposta d) Ilvalore dell’ARL si ricava da

ARL(δt) =1

G(δt)=

1

0.916= 1.092

Nella figura (4.2) è riportato il grafico della funzione di potenza della carta dicontrollo.e) Si supponga che i valori della statistica test siano quelli riportati inFigura (4.3). Cosa si può affermare sullo stato del processo produttivo?


Funzione di potenza

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

73.9

66

73.9

70

73.9

74

73.9

78

73.9

82

73.9

86

73.9

90

73.9

94

73.9

98

74.0

02

74.0

06

74.0

10

74.0

14

74.0

18

74.0

22

74.0

26

74.0

30

74.0

34

Figura 4.1: Grafico della funzione di potenza della carta x bilaterale

Funzione ARL

0

100

200

300

400

500

600

73.9

66

73.9

70

73.9

74

73.9

78

73.9

82

73.9

86

73.9

90

73.9

94

73.9

98

74.0

02

74.0

06

74.0

10

74.0

14

74.0

18

74.0

22

74.0

26

74.0

30

74.0

34

Figura 4.2: Grafico della funzione ARL della carta x

Carta per la media

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

istanti campionari

CL

UCL

LCL

UWL

LWL

Figura 4.3: Carta di controllo dell’esempio 1


Example 2 Un’azienda produce fibre di materiale biocompatibile per uso chirur-gico. La caratteristica di qualità rilevante è il DIAMETRO della fibra. Il di-ametro ottimale delle fibre è 6×10−3 (millimetri). Supponendo nota la variabil-ità del processo produttivo, σ0 = 0.09×10−3 (millimetri): a) costruire una cartadi controllo per il livello medio del processo basandosi su campioni di ampiezzan = 5, estratti ogni 4 ore dal processo produttivo, ed in modo tale che in media siverifichi un falso allarme ogni 100 istanti campionari; b) determinare il tempoche mediamente si deve attendere per rilevare che in realtà le fibre prodotte han-no un diametro di 6.05× 10−3 (millimetri). Risposta a) Si controlla il livellodel processo produttivo quindi si può costruire una carta x. Un falso allarmemediamente ogni 100 istanti campionari significa

ARL(H0) = 100

e siccome ARL(H0) = 1α segue che

α = 0.01

La linea centrale della carta è quindi

CL = µ0 = 6

I limiti di controllo risultano quindi

UCL = µ0 +zα/2√nσ0 =

= 6 +2.576√50.09 = 6.104

LCL = µ0 −zα/2√nσ0 =

= 6− 2.576√50.09 = 5.896

Risposta b). Supponiamo ora che il processo sia fuori controllo

µt = 6.05× 10−3

Per rispondere alla domanda è necessario di calcolare il valore dell’ ARL(H1)(quando µt = 6.05). Per cui sapendo che

ARL(δt) =1

G(δt)

dobbiamo calcolare il valore della funzione di potenza. Calcolo il valore delloshift standardizzato

δt =µt − µ0

σ=6.05− 60.09

= 0.555


5.755.8

5.855.9

5.956

6.056.1

6.15

1 2 3 4 5 6

UCL

CL

LCL

Figura 4.4: Carta di controllo x per i diametri delle fibre

quindi

G(δt = 0.555) =

= Φ³−2.576 + 0.555

√5´

+Φ³−2.576− 0.555

√5´

= Φ (−1.333) +Φ (−3.818) == 0.0912 + 0.00000673 ' 0.0912

Segue che il valore dell’ARL quando µt = 6.05 vale

ARL(δt) =1

G(δt)=

1

0.0912= 10.960

Interpretazione:...........c) Supponiamo ora che nei primi 3 campioni si sianoosservati i seguenti valori

campione x1 x2 x3 x4 x5 xi1 5.99 6.02 6.09 5.89 6.09 6.0162 5.8 5.9 6 6.02 6.01 5.9463 6.1 6.03 5.9 5.9 6.01 5.988

e la carta di controllo è visualizzata nella Figura (4.4) cosa si può affermaresullo stato del processo?

Exercise 3 Un’azienda produce una bibita frizzante. La caratteristica di qualitàche risulta importante per processo produttivo è il contenuto di anidride carbon-ica della bevanda. Il contenuto ideale di anidride carbonica della bevanda è 6gr/litro. Si suppone che la caratteristica si distribuisca normalmente con mediaappunto pari a µ0 = 6 gr/litro e scarto quadratico medio σ = 0.3. Il respons-abile della produzione chiede di costruire una carta di controllo con le seguenti


caratteristiche: 1) dal processo produttivo si estrarranno campioni indipenden-ti di ampiezza 5 (per esempio lattine o bottiglie) ad intervalli di 1 ora; 2) iltasso di falsi allarmi tollerabile è un falso allarme mediamente ogni 250 istanticampionari. SOLUZIONE IN AULA.

Carta x bilaterale costruita con la regola del 3-sigmaCome già accennato in precedenza costruire una carta di controllo con la

regola del 3-sigma significa posizionare i limiti di controllo ad una distanza paria tre volte lo scarto quadratico medio della statistica test dalla linea centrale:

UCL = CL+ 3σ0√n= µ0 + 3

σ0√n

LCL = CL− 3 σ0√n= µ0 − 3

σ0√n

come si nota al posto di zα/2 è presente il termine 3.Sostanzialmente se la caratteristica di qualità è distribuita normalmente uti-

lizzare la regola del 3-sigma è equivalente ad impiegare un α = 0.0027 (infatticon questo valore di α si ha zα/2 ' 3) che corrisponde ad un valore della funzioneARL sotto l’ipotesi H0 pari a ARL(H0) ' 370.Questo metodo per costruire la carta di controllo fornisce buoni risultati in

pratica ed è maggiormente utilizzato negli USA. In Europa si preferisce invecestabilire il valore della probabilità di un falso allarme o il valore dell’ARL(H0)ragionando sullo specifico problema da affrontare. Non sempre infatti un α =0.0027 (o ARL(H0) ' 370) può essere adeguato (per esempio se si controllaun processo produttivo con un’elevata frequenza di campionamento si rischia diavere troppi falsi allarmi), infine con gli strumenti di calcolo odierno è relativa-mente facile costruire una carta di controllo dove α può variare a piacere.Quando si utilizza per i limiti di controllo la regola del 3-sigma i limiti di

guardia si posizionano ad una distanza pari a 2 volte lo scarto quadratico mediodella statistica test dalla linea centrale:

UWL = CL+ 2σ0√n= µ0 + 2

σ0√n

LWL = CL− 2 σ0√n= µ0 − 2

σ0√n

La funzione di potenza si ottiene con medesimi passaggi visti in precedenzaoppure semplicemente sostituendo zα/2, con 3.

G(δt) = Φ¡−3 + δt

√n¢+Φ

¡−3− δt√n¢

Exercise 4 Rifare gli esercizi precedenti con la regola del 3-sigma


4.1.2 Carta x bilaterale con parametri non noti

Se i valori µ0 e σ0 non sono noti, allora è possibile sostituirli con delle stimeottenute da un insieme di campioni preliminari un ”prerun” ottenuto sottoopportune condizioni.Lo stimatore per µ0, come abbiamo visto è x, mentre per σ0 è possibile uti-

lizzare due diversi stimatori uno basato sul range ed uno basato sulla deviazionestandard.Nel caso si utilizzi lo stimatore basato sul range si ha

CL = bµ0 = xUCL = bµ0 + zα/2√n bσ0 = x+ zα/2√n R

d2

LCL = bµ0 − zα/2√n bσ0 = x− zα/2√n R

d2

Se si utilizza la regola del 3-sigma, allora

CL = bµ0 = xUCL = bµ0 + 3√

nbσ0 = x+ 3√

n

R

d2= x+A2R

LCL = bµ0 − 3√nbσ0 = x− 3√

n

R

d2= x−A2R

dove A2 = 3d2√nè una costante tabulata in funzione di n (Appendice A6 del

Montgomery (2000)).Nel caso si utilizzi lo stimatore basato sulla deviazione standard si ha

CL = bµ0 = xUCL = bµ0 + zα/2√n bσ0 = x+ zα/2√n S

c4

LCL = bµ0 − zα/2√n bσ0 = x− zα/2√n S

c4

Se si utilizza la regola del 3-sigma, allora

CL = bµ0 = x


UCL = bµ0 + 3√nbσ0 = x+ 3√

n

S

c4= x+A3S

LCL = bµ0 − 3√nbσ0 = x− 3√

n

S

c4= x−A3S

dove A3 = 3c4√nè una costante tabulata in funzione di n (Appendice A6 del

Montgomery (2000)).Esercizi ed esempi sulle carte di controllo con parametri non noti si trovano

alla fine di questo capitolo.

4.1.3 Carta x unilaterale

In molte situazioni reali possono interessare shift in una direzione, quindi siandrà a costruire una carta di controllo unidirezionale. I sistemi d’ipotesi chetale carta verifica sono i seguenti:shift crescente

H0 : µt ≤ µ0 il processo è in controlloH1 : µt > µ0 il processo è fuori controllo

shift decrescente

H0 : µt ≥ µ0 il processo è in controlloH1 : µt < µ0 il processo è fuori controllo

Consideriamo il caso di shift crescente (la situazione di shift decrescente si puòricavare in modo analogo).La statistica test utilizzata è ancora la media campionaria

X =1

n

nXi=1

xi

Sarà presente solamente il limite di controllo superiore, pertanto si può scrivere:

Pr

½X ≤ µ0 + zα

σ0√n|µt = µ0

¾= 1− α

Da cui segue che:

UCL = CL+zα√nσ0 = µ0 +

zα√nσ0

UWL = CL+zα2√nσ0 = µ0 +

zα2√nσ0


Se invece se µ0 e σ0 non sono noti , allora vengono sostituiti da loro stime correttee le asserzioni di probabilità anche in questo caso sono solo approssimate. Se siutilizza la regola del 3-sigma si ha za = 3 quindi UCL = µ0 +

3√nσ0.

La funzione di potenza per una carta x (Shewhart) unilaterale sarà:


ªcon CL = µ0 e σ0 noti e fissi.

Sviluppando i calcoli e ricordando che X ∼ N(µt, σ20

n )


ª= Pr

½X ≥ µ0 +

zα√nσ0|µt

¾= 1− Φ

Ãµ0 +

zα√nσ0 − µt

σ0

√n

!= Φ

Ã−µ0 +

zα√nσ0 − µt

σ0

√n

!

indicando con

δt =µt − µ0

σ0

lo shift standardizzato si ottiene

G(δt) = Φ¡−zα + δt

√n¢

Example 5 Un’azienda produce un sensore a raggi infrarossi per antifurti edesidera mettere sotto controllo il proprio processo produttivo. La caratteristicadi qualità di interesse è il tempo di reazione del sensore ad una sollecitazione.Il tempo di reazione ideale dovrebbe essere di 7 millisecondi, la variabilità delprocesso è supposta nota σ0 = 0.2 (millisecondi). L’azienda è interessata inparticolare ad evitare che il tempo di reazione non superi il valore target conconseguente malfunzionamento dell’antifurto. a) Costruire un’opportuna cartadi controllo per controllare il processo sopra descritto che si basi su campionidi ampiezza pari a 5 ed in modo tale che la probabilità che si verifichi un falsoallarme sia pari a 0.01. Risposta a)

CL = µ0 = 7,α = 0.01

UCL = CL+zα√nσ0 = µ0 +

zα√nσ0 = 7 +

2.326√50.2 = 7.208

b) Calcolare anche il limite di guardia con α2 = 0, 05

UWL = µ0 +zα2√nσ0 = 7 +

1.645√50.2 = 7.147


6.85

6.9

6.95

7

7.05

7.1

7.15

7.2

7.25

1 3 5 7 9 11 13 15 17

UCL

UWL

CL

Figura 4.5: Carta x unilaterale (UCL)

c) Nei primi istanti campionari i valori rilevati sono stati i seguenti

istanti x1 x2 x3 x4 x5 xi1 6.98 7.01 7.02 6.95 6.99 6.992 6.99 7.02 7.15 7.12 7.2 7.0963 6.95 7.2 7.1 7.01 7.09 7.074 7.12 7.05 6.98 6.99 7.2 7.0685 7.12 6.98 6.9 6.95 6.98 6.986

e la carta di controllo è riportata nella Figura (4.5) Commento..... d) deter-minare il valore della funzione di potenza quando µt = 7.1 e determinare ilnumero di campioni che mediamente si deve attendere per rilevare tale shift.Risposta d)

δt =7.1− 70.2

= 0.5

G(δt = 0.5) = Φ(−2.326 + 0.5√5) = Φ(−1.208) = 0.1134

ARL =1

G(δt)=

1

0.1134= 8.813

Example 6 Un’azienda che produce cavi in acciao desidera mettere sotto con-trollo il proprio processo produttivo.Il cavo prodotto dovrebbe reggere alla trazionealmeno 15Kg/mm2. La variabilità del processo è supposta nota σ0 = 0.8


14

14.2

14.4

14.6

14.8

15

15.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

CL

LCL

Figura 4.6: Carta x unilaterale (LCL)

Kg/mm2 a) Costruire un’opportuna carta di controllo per controllare il pro-cesso sopra descritto che si basi su campioni di ampiezza pari a 5 ed in modotale che la probabilità che si verifichi un falso allarme sia pari a 0.05. Rispostaa) Si tratta di costruire una carta con solo il limite inferiore.

CL = µ0 = 15,α = 0.05

LCL = CL− zα√nσ0 = µ0 −

zα√nσ0 = 15− 1.645√

50.8 = 14.411

b) Nei primi istanti campionari i valori rilevati sono stati i seguenti

istanti x1 x2 x3 x4 x5 x1 14.98 15.1 14.93 14.99 15.01 15.0022 15.05 14.72 14.97 15.02 14.99 14.953 15.1 15.12 15.01 15.03 14.99 15.054 14.99 14.98 15.05 14.97 15.01 155 14.6 14.96 15.06 14.7 15.02 14.868

e la carta di controllo è riportata nella Figura (4.6) Commento... c) determinareil valore della funzione di potenza quando µt = 14.5 e determinare il numero dicampioni che mediamente si deve attendere per rilevare tale shift. Risposta c)

G(µt) = Pr©X ≤ LCL|µt

ªSviluppando i calcoli e ricordando che X ∼ N(µt, σ

20

n )

G(µt) = Pr

½X ≤ µ0 −

zα√nσ0|µt

¾= Φ

Ãµ0 − zα√

nσ0 − µt

σ0

√n

!


indicando con

δt =µt − µ0σ0

lo shift standardizzato si ottiene

G(δt) = Φ¡−zα − δt

√n¢

Nel nostro caso δt =14.5−150.8 = −0.625 quindi

G(δt = −0.625) = Φ³−1.645 + 0.625

√5´= Φ (−0.247) ' 0.402

segue che ARL = 1G(δt)

' 2.485

Carta unilaterale con valori obiettivo non notiNel caso in cui µ0 e/o σ0 non siano noti si può procedere ad una loro stima

come già visto per la carta bilaterale. La procedura è la stessa ovviamente cisarà solo il limite di controllo che interessa.

4.1.4 Carta per mediane (carta ex )In questo caso la statistica test è la mediana campionaria

eXn = ½ X<k+1;n> se n = 2k + 112(X<k;n> +X<k+1;n>) se n = 2k

Se la caratteristica di qualitàX si distribuisce normalmente, X ∼ (µt,σ20), allora

eXn ∼ N(µt,σ20 c2nn )dove cn è un fattore tabulato in funzione di n.Pertanto

Pr

½µ0 − zα/2

σ0cn√n≤ eXn ≤ µ0 + zα/2σ0cn√n |µt = µ0

¾= 1− α

Quindi se µ0 e σ0 sono noti, i limiti di controllo ed i limiti di guardia diventano:

UCLLCL

= µ0 ±zα/2 · cn√

nσ0

UWLLWL

= µ0 ±zα2/2 · cn√

nσ0

Se invece se µ0 e σ0 non sono noti , verranno allora sostituiti da loro stimecorrette e le asserzioni di probabilità in questo caso sono solo approssimate .

4.2. CARTEDI CONTROLLO PER LA VARIABILITÀDEL PROCESSO PRODUTTIVO45

4.1.5 Funzione di potenza della carta exNell’ipotesi di normalità distributiva della caratteristica di qualità si può scri-vere:

G(δt) = Φ

µ−zα/2 + δt

√n

cn

¶+Φ

µ−zα/2 − δt

√n

cn

¶

4.2 Carte di controllo per la variabilità del pro-cesso produttivo

Le carte di controllo di tipo Shewhart possono anche essere utilizzate per sorveg-liare la variabilità del processo produttivo. Se si è interessati a variazioni soloin una direzione, normalmente si desidera evitare eventuali aumenti della vari-abilità, si sviluppano le carte unilaterali. Il sistema d’ipotesi sottostante è ilseguente:

H0 : σt ≤ σ0 processo è in controllo

H1 : σt > σ0 processo è fuori controllo

Si possono anche costruire le carte bilaterali

H0 : σt = σ0 processo è in controllo

H1 : σt 6= σ0 processo è fuori controllo

in questo caso si è interessati a variazioni in entrambe le direzioni. Questo tipodi carta è comunque poco utilizzato nella pratica e nel seguito l’attenzione saràrivolta alle carte unilaterali.Anche in questo caso la carta di controllo è costituita da una linea centrale

e dal limite di controllo superiore, nel caso di ipotesi unilaterali, dai due limitidi controllo superiore ed inferiore nel caso di ipotesi bidirezionali.La costruzione della carta di controllo dipende dalla statistica test che si

impiega. Nel seguito si svilupperanno la carta S, che utilizza la statistica test”deviazione standard campionaria”, e la carta R che invece utilizza il ”rangecampionario”. Sulle due tipologie di carte di controllo è importante fare al-cune puntualizzazioni. Da un punto di vista della facilità di calcolo calcolareil range in un campione è sicuramente più facile e veloce che calcolare la devi-azione standard. Questo spiega perchè le carte che utilizzano il range sono lepiù utilizzate. Attualmente la disponibilità di strumenti di calcolo pratici edeconomici ed una maggior familiarità con gli strumenti informatici ha eliminatoquesta difficoltà. L’utilizzo del range è consigliabile comunque per campioni dibassa numerosità. I presenza di dimensioni campionarie sufficientemente grandi(n > 10) è opportuno controllare la variabiltà del processo utilizzando la cartaS.


4.2.1 Carta S (deviazione standard)

La statistica test usata è la deviazione standard campionaria:

S =

vuut 1

n− 1nXi=1

¡Xi − X

¢2la linea centrale viene posta pari la valore obiettivo σ0 che è supposto noto.Il limite di controllo superiore è determinato secondo lo schema usuale, ovveroUCL è tale che la probabilità di un falso allarme sia pari a H0:

Pr {S ≥ UCL|H0} = α

Quando X ∼ N ¡µt,σ2t ¢ si ha che(n− 1)S

2

σ2t∼ χ2n−1

quindi, quando il processo è non disturbato, σ2t = σ20 (è vera H0), si ha che(n− 1)S2

σ20∼ χ2n−1. Si può quindi scrivere

Pr

½(n− 1) S

2

σ20≤ χ2α;n−1

¾= 1− α

da cui segue

Pr

S ≤s

χ2α;n−1n− 1 σ0

= 1− α

dove χ2α;n−1 è il percentile di ordine α di una variabile casuale chi-quadro conn− 1 gradi di libertà (Pr©χ2n−1 ≥ χ2α;n−1

ª= α).

Questo significa che quando il processo è sotto H0 il (1− α)100% dei valori

di S si troveranno al di sotto del limiteq

χ2α;n−1n−1 σ0. Pertanto

CL = σ0

UCL =

sχ2α;n−1n− 1 σ0

Per il limite di guardia si può ragionare in modo analogo definendo un α2 > αe di conseguenza

UWL =

sχ2α2;n−1n− 1 σ0


Funzione di potenza della carta SPer la funzione di potenza della carta S si ha

GS (σt) = Pr (S ≥ UCL|σt) = 1− Pr (S < UCL|σt)Riprendendo la definizione di UCL si può scrivere

GS (σt) = 1− PrS <

sχ2α;n−1n− 1 σ20

¯¯σ2t

=

= 1− PrÃ(n− 1)σ2t

S2 <χ2α;n−1σ2t

σ20

!=

= 1− PrÃ(n− 1)σ2t

S2 <χ2α;n−1(σt/σ0)

2

!

e ricordando che (n− 1)S2σ2t∼ χ2n−1 si ottiene

GS (σt) = 1− FCHÃ

χ2α;n−1(σt/σ0)2

¯¯n− 1

!

dove FCH(x|n− 1) rappresenta la funzione di ripartizione calcolata nel punto xdi un chi-quadro con n− 1 gradi di libertà. L’espressione precedente può essereriscritta anche come funzione dello shift relativo

εt =σtσ0

GS (εt) = 1− FCHÃχ2α;n−1ε2t

¯¯n− 1

!Example 7 Un’azienda petrolifera produce un combustibile per uso aereo-spaziale.La caratteristica di qualità rilevente è il contenuto (misurato in gr/litro) nelcarburante di un particolare componente chimico che qui indichiamo con X. Inparticolare l’azienda intende controllare la variabilità del processo produttivo,H0 : σt ≤ σ0, H1 : σt > σ0 utilizzando campioni di ampiezza pari a n = 5 esapendo che σ0 = 3. a) Determinare il limite di controllo (α = 0.01) ed il limitedi guardia (α2 = 0.05). Risposta a)

CL = σ0 = 3

UCL =

sχ2α;n−1n− 1 σ0 =

r13.277

43 = 5.466


C a rta S

0.001.002.003.004.005.006.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

is tan ti cam p io n ar i

UCLUW L

CL

Figura 4.7: carta S

UWL =

sχ2α2 ;n−1n− 1 σ0 =

r9.488

43 = 4.620

b) Nei primi 4 istanti campionari si sono osservati i seguenti dati

tempo X1 X2 X3 X4 X5 S1 12 10 14 10 17 2.9662 9 15 17 10 12 3.3613 12 17 12 10 9 3.0824 9 16 18 10 20 4.879

e la visualizzazione della statistica test S (ultima colonna della tabella) è ripor-tata nella Figura (4.7) cosa si può affermare su processo? c) Calcolare la prob-abilità rilevare che è intervenuto uno shift nella variabilità della caratteristicadi qualità, in particolare σt = 4.2. Risposta c) Calcolo lo shift relativo

εt =σtσ0= 1.4

GS (εt) = 1− FCHÃχ2α;n−1ε2t

¯¯n− 1

!

GS (1.4) = 1− FCHµ13.277

1.42

¯4

¶GS (1.4) = 1− FCH (6.774| 4) = 0.148


d) Quando σt = 4.2 quanti istanti campionari si deve attendere mediamente perrilevare tale shift? Risposta d) Si tratta di calcolare l’ARL(σt = 4.2). Quindisignifica che

ARL(σt) =1

GS(σt)

quindi

ARL(σt = 4.2) =1

GS(σt = 4.2)=

1

GS(εt = 1.4)=

1

0.148= 6.741

Carta S con parametri non notiSe il valore target per la variabilità σ0 non è noto può essere stimato utiliz-

zando lo stimatore

bσ0 = S

c4

Quindi seguendo sempre il ragionamento visto in precedenza

CL = bσ0 = S

c4

UCL =

sχ2α;n−1n− 1 bσ0 =

sχ2α;n−1n− 1

S

c4

4.2.2 Carta S con regola del 3-sigma

Anche la carta S può essere costruita con la regola del 3-sigma, qui si faràriferimento alla procedura illustrata da Montgomery (2000).

σ0 notoNel caso in cui il valore σ0 sia noto la carta ha linea centrale pari a

CL = c4σ0

dal momento che il valore atteso della statistica test è dato da E(S) = c4σ0.Mentre per i limiti di controllo si ha

UCL = c4σ0 + 3σ0

q1− c24

LCL = c4σ0 − 3σ0q1− c24


Se si definiscono le costanti

B5 = c4 − 3q1− c24

B6 = c4 + 3q1− c24

che sono dei valori tabulati in funzione di n (Appendice A6 in Montgomery,2000), allora i limiti di controllo risultano

UCL = B6σ0

LCL = B5σ0

Come si può vedere nelle formule è riportato anche il limite di controlloinferiore (spiegazione).

σ0 non notoNel caso in cui il valore σ0 non sia noto verrà stimato da un insieme di m

campioni preliminari utilizzando lo stimatore Sc4. I limiti della carta di controllo

risultano quindi

CL = S

UCL = S + 3S

c4

q1− c24

LCL = S − 3 Sc4

q1− c24

Se si definiscono le costanti

B3 = 1− 3

c4

q1− c24

B4 = 1 +3

c4

q1− c24

che sono dei valori tabulati in funzione di n (Appendice A6 in Montgomery,2000), allora i limiti di controllo risultano

UCL = B4S

LCL = B3S

4.3. COSTRUZIONE E USO DELLE CARTE X −R E X − S 51

4.2.3 Carta R (range)

La statistica test utilizzata è il range campionario:

R = Xmax −XminSe σ0 non è noto, può essere stimato da un insieme di m campioni preliminariutilizzando lo stimatore R

d2. I limiti della carta di controllo risultano quindi

CL = R

UCL = R+ 3d3R

d2

LCL = R− 3d3 Rd2

Se si definiscono le quantità

D3 = 1− 3d3d2

D4 = 1 + 3d3d2

i cui valori dipendono dall’ampiezza n del campione e sono tabulati nell’appen-dice A6 di Montgomery (2000), allora di può scrivere in forma più compatta

CL = R

UCL = D4R

LCL = D3R

4.3 Costruzione e uso delle carte x−R e x− SIn questo paragrafo si illustrerà l’applicazione e l’uso delle carte di controlloviste finora utilizzando esempi concreti.Nella pratica di solito si procede al controllo simultaneo del livello medio

e della variabilità di un processo produttivo. Di conseguenza si utilizzanocontemporanemente le carte di controllo x e S oppure x e R.

Carte x e R


Campione x1 x2 x3 x4 xi Ri1 351.3 349.8 351 350.1 350.55 1.52 351 350.4 350.6 351.1 350.775 0.73 350.7 350.8 351 350.5 350.75 0.54 350.8 350.3 350.6 350.2 350.475 0.65 351.6 351.7 351.2 351.6 351.525 0.56 350.5 351 350.3 350.9 350.675 0.77 350.1 350.5 351 350.4 350.5 0.98 350.9 350.7 350.8 351.2 350.9 0.59 351.5 350.5 351 351.3 351.075 110 350.8 351.2 351.4 350.4 350.95 111 350.6 349.8 350.2 351.1 350.425 1.312 350.6 350.9 350.1 350.2 350.45 0.813 349.9 351.3 350.2 351.2 350.65 1.414 351.1 350.7 351 350.2 350.75 0.915 350.3 351 351.1 351.4 350.95 1.116 350.9 350.8 350.2 351 350.725 0.817 351.5 349.8 351 351.1 350.85 1.718 350.8 350.6 350.9 351.2 350.875 0.619 351.4 350.5 349.8 350.6 350.575 1.6

Tabella 4.1: Contenuto in ml di bevanda nei contenitori

Prendiamo come riferimento un processo produttivo che imbottiglia una bibi-ta. La caratteristica di qualità di interesse è il contenuto della bevanda, espressoin ml, nel contenitore. L’obiettivo è controllare sia il livello medio sia la vari-abilità del processo produttivo. In particolare per il livello medio si desiderautilizzare una carta x tale che in media un falso allarme si presenti ogni 250istanti campionari. Per la variabilità si vuole utilizzare una carta R con limite3-sigma. Del processo produttivo non si sa nulla quindi in fase preliminare sonostati prelevati 19 campioni, ciascuno di ampiezza 4 in un arco di tempo duranteil quale il processo viene ritenuto sotto controllo. I dati raccolti sono riportatinella Tabella (4.1).Dai dati si può stimare il livello medio del processo

bµ0 = x = Pmi=1 xim

= 350.7592

e la sua variabilità

bσ0 = R

d2=0.952632

2.059= 0.462667

Per la carta x sapendo che

ARL(H0) = 250


si ha α = 0.004 da cui zα/2 = 2.878. I limiti risultano quindi

CL = bµ0 = 350.7592UCL = bµ0 + zα/2 bσ0√n = 351.425LCL = bµ0 − zα/2 bσ0√n = 350.093

Per la carta R

CL = R = 0.952632

UCL = RD4 = R2.282 = 2.1739

I limiti ottenuti sono considerati limiti di controllo di prova Questo per-chè è necessario verificare che i campioni preliminari provengano da un processoeffettivamente sotto controllo. A questo scopo le m determinazioni preliminaridi x e R vengono rappresentate sulle carte di controllo i cui limiti sono statiappena calcolati: se tutti i punti sono all’interno dei limiti di controllo e nessuncomportamento sistematico è evidente allora si può concludere che il processoera sotto controllo e i limiti ottenuti possono essere utilizzati per controllare ilprocesso da questo momento in poi. Nelle Figure (4.8) e (4.9) sono riportatele carte con i limiti di controllo di prova.Se uno o più punti cadono fuori con-trollo, come nel caso del campione 5 per la carta x, allora significa che moltoprobabilmente la produzione in quegli istanti campionari era fuori controllo. E’quindi necessario intervenire sui limiti di controllo calcolati. La procedura chesi esgue è la seguente: a) si analizza ciascun punto fuori controllo cercando dicapire se esistono cause specifiche che li hanno prodotti; b) individuata la causail campione viene eliminato e i limiti di controllo vengono ricalcolati sui rima-nenti campioni; c) si controlla che i punti rimasti siano dentro i nuovi limiti dicontrollo, infatti può capitare che alcuni campioni prima sotto controllo sianoora fuori controllo in quanto eliminando osservazioni i limiti possono diventaremeno ampi. Il procedimento viene quindi reiterato fintantochè tutti i punti ri-masti sono interni ai limiti ed i limiti così ottenuti possono essere utilizzati percontrollare il processo.Nel nostro caso un’analisi del processo produttivo ha evidenziato che il fuori

controllo del campione 5 è dovuto ad un problema di taratura del macchinarioche provvedeva all’imbottigliamento. Tale campione viene quindi eliminato e sirifanno i calcoli sui 18 campioni rimasti:

bµ0 = x = 350.7167 e R = 0.9778la nuova stima di σ0 è

bσ0 = R

d2= 0.47488


349

349.5350

350.5

351351.5

352

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

UCL=351.425

LCL=350.0934

campione n° 5

CL

Figura 4.8: Carta x costruita sui campioni preliminari

0

0.5

1

1.5

2

2.5

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

UCL=2.1739

CL=0.9526

Figura 4.9: Carta R costruita sui campioni preliminari


349

349.5

350

350.5

351

351.5

352

1 3 5 7 9 11 13 15 17

UCL=351.4001

LCL=350.0333

CL=350.7167

Figura 4.10: Carta x con i limiti ricalcolati

i nuovi limiti di controllo della carta x risultano

UCL = bµ0 + zα/2 bσ0√n = 351.4001LCL = bµ0 − zα/2 bσ0√n = 350.0033

e per la carta R si ha

CL = R = 0.9778

UCL = RD4 = R2.282 = 2.231289

Nelle Figure (4.10) e (4.11) sono riportate le carte di controllo con i limitiricalcolati.Dai grafici non risulta più nessun punto fuori controllo e non emergono com-

portamenti sistematici delle statistiche campionari. Si possono quindi utilizzarei limiti di controllo ottenuti per controllare in futuro il processo.Domanda Si supponga che la carta di controllo sia utilizzata per controllare

il processo produttivo calcolare la probabilità di rilevare un segnale di fuoricontrollo quando µt = 350 e calcolare anche il valore dell’ARL .

Carte x e S


0

0.5

1

1.5

2

2.5

1 3 5 7 9 11 13 15 17

UCL=2.231289

CL=0.9778

Figura 4.11: Carta R con i limiti ricalcolati

Campione Si1 0.714142 0.330403 0.208174 0.275385 0.221746 0.330407 0.374178 0.216029 0.4349310 0.4434711 0.5560312 0.3696813 0.7047514 0.4041415 0.4654716 0.3593917 0.7325718 0.250019 0.65514

Tabella 4.2: Valori di Si del prerun


Per illustrare l’implementazione delle carte x e S consideriamo gli stessi datidell’esempio precedente. In questo casi invece di calcolare per ogni campione ilvalore Ri si calcolerà Si. I valori delle deviazioni standard dei campioni sonoriportati nella tabella (4.2). Valori di Si del prerunLa stima del livello medio del processo è sempre la stessa (i dati non sono

cambiati)

bµ0 = x = Pmi=1 xim

= 350.7592

Per la stima della variabilità si ha

bσ0 = S

c4=0.423473

0.9213= 0.459647

Per la carta x come prima si ha α = 0.004 da cui zα/2 = 2.878. I limiti risultanoquindi

CL = bµ0 = 350.7592UCL = bµ0 + zα/2 bσ0√n = 351.4207LCL = bµ0 − zα/2 bσ0√n = 350.0977

Per la carta S

CL = S = 0.423473

UCL = SB4 = S2.266 = 0.95950

Come in precedenza il campione 5 risulta non in controllo per quanto riguar-da il livello del processo produttivo Figure (4.12) e (4.13).Procedendo alla sua eliminazione si ottengono le seguenti quantità:

bµ0 = x = 350.7167 e S = 0.434681la nuova stima di σ0 è

bσ0 = S

c4= 0.471812

i nuovi limiti di controllo della carta x risultano

UCL = bµ0 + zα/2 bσ0√n = 351.3956


349

349.5

350

350.5

351

351.5

352

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

UCL=351.4207

LCL=350.0977

campione n° 5

CL

Figura 4.12: Carta x costruita sui campioni preliminari

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19UCL=0.95959

CL=0.423473

Figura 4.13: Carta S costruita sui campioni preliminari


349

349.5

350

350.5

351

351.5

1 3 5 7 9 11 13 15 17

UCL=351.3956

LCL=350.0377

CL=350.7167

Figura 4.14: Carta x con i limiti ricalcolati

LCL = bµ0 − zα/2 bσ0√n = 350.0377e per la carta S si ha

CL = S = 0.434681

UCL = SB4 = S2.266 = 0.984986

Come in precedenza i campioni preliminari rimasti non risultano fuori controlloFigure (4.14)-(4.15) quindi i limiti determinati possono ritenersi validi e possonoessere utilizzati per controllare il processo produttivo. Domanda Si suppongache la carta di controllo sia utilizzata per controllare il processo produttivocalcolare la probabilità di rilevare un segnale di fuori controllo quando µt = 350e calcolare anche il valore dell’ARL .


00.20.40.60.8

11.2

1 3 5 7 9 11 13 15 17

UCL=0.984986

CL=0.434681

Figura 4.15: Carta S con i limiti ricalcolati

Capitolo 5

Carte di controllo perattributi

Numerose caratteristiche di qualità non si prestano ad essere misurate quan-titativamente. In queste situazioni si può ricorrere a valutazioni di caratterequalitativo classificando un generico elemento come conforme o non conforme inbase alle specificazioni di una o più caratteristiche di qualità che caratterizzanoil processo. Il controllo del processo si basa quindi su dati di conteggio enu-merando le unità conformi e/o quelle non conformi. Gli strumenti conseguentisono chiamati carte di controllo per attributi. Nel capitolo si prenderanno inesame la carta di controllo per il numero di elementi non conformi (carta np),la carta di controllo per la frazione di elementi non conformi (carta p), la cartadi controllo per il numero di non conformità per unità di prodotto (carta c) ela carta di controllo per il numero di non conformità per unità fisica (carta u).

5.1 Carta di controllo np e carta p

La popolazione di riferimento è l’insieme (virtualmente infinito) delle unitàprovenienti dal processo produttivo e tale popolazione è caratterizzata dallafrazione di elementi non conformi p. Se il processo sta operando in modo sta-bile e le unità successive del processo sono indipendenti, p rappresenta anchela probabilità di ottenere un elemento non conforme. In questi termini il pro-cesso produttivo è descritto una sequenza di variabili aleatorie di Bernoulli diparametro p: seXn è il numero di elementi non conformi in n prove indipendenti(numerosità del campione), allora Xn ha distribuzione binomiale

Xn ∼ Bin(n, p)

Pr {Xn = x} =µnx

¶px (1− p)n−x x = 0, 1, ..., n

61

62 CAPITOLO 5. CARTE DI CONTROLLO PER ATTRIBUTI

La media e varianza di Xn sono rispettivamente

E(Xn) = np

V ar(Xn) = np(1− p)Al tempo t il livello di difettosità del processo è descritto da pt. Usualmente

si utilizza come riferimento un valore target p0 come il livello di ”difettosità”desiderato. Il valore di p0 può essere a seconda dei casi un valore nominale, unvalore empirico o una stima basata su un prerun.Solitamente il processo produttivo viene considerato sotto controllo statistico

quando pt ≤ p0 quindi si dovranno costruire delle carte di controllo per verificareil seguente sistema d’ipotesi

H0 : pt ≤ p0

H1 : pt > p0

In questo caso nella carta sarà presente solamente il limite di controllo superiore.Se invece il processo è considerato sotto controllo per pt = p0 il sistema

d’ipotesi è il seguente

H0 : pt = p0

H1 : pt 6= p0nella carta di controllo saranno presenti i limiti di controllo superiore ed inferi-ore. Nella pratica sono più rilevanti le carte per verificare le ipotesi unilaterali,tuttavia in molti casi si preferisce anche avere il limite di controllo inferiore inquanto può essere utile per individuare eventuali errori di misura.

5.1.1 Carta np

La statistica campionaria è il numero di elementi non conformi nel campione:Xn (campione di numerosità n).Sotto H0 e supponendo p0 noto

Xn ∼ Bin(n, p0)con E(Xn) = np0 e V ar(Xn) = np0(1− p0).Pertanto

CL = np0

Per determinare il limite di controllo UCL si segue sempre lo stesso ragion-amento. Il limite UCL deve essere un numero intero tale che

Pr (Xn ≥ UCL|pt = p0) = α

5.1. CARTA DI CONTROLLO NP E CARTA P 63

Siccome Xn ha una distribuzione discreta la probabilità sopra riportata puòessere soddisfatta solo in modo approssimato

Pr (Xn ≥ UCL|pt = p0) = α∗

con α∗ ≤ α.Si tratta quindi di individuare il valore UCL come il più grande intero che

soddisfa:

Pr (Xn ≥ UCL|pt = p0) ≤ α

Di conseguenza UCL è un numero che soddisfa la seguente relazione:

Pr (Xn ≥ UCL|pt = p0) ≤ α < Pr(Xn ≥ UCL− 1|pt = p0)Ricordando che Xn ∼ Bin(n, p) :

Pr (Xn ≥ UCL|pt = p0) =nX

j=UCL

Bi(j;n, p0) = 1−UCL−1Xj=0

Bi(j;n, p0)

= 1− FB(UCL− 1|n, p0)

Pr (Xn ≥ UCL− 1|pt = p0) =nX

j=UCL−1Bi(j;n, p0) = 1−

UCL−2Xj=0

Bi(j;n, p0)

= 1− FB(UCL− 2|n, p0)dove FB(x|n, p) è la funzione di ripartizione di una binomiale di parametri n ep.Pertanto

1− FB(UCL− 1|n, p0) ≤ α < 1− FB(UCL− 2|n, p0)o equivalentemente

FB(UCL− 2|n, p0) < 1− α ≤ FB(UCL− 1|n, p0)Dati i valori di n e p0, e specificato α si individua il limite di controllo UCL

che soddisfa la disuguaglianza con l’ausilio delle tavole della Binomiale.

Funzione di potenza e curva operativa della carta np

La funzione di potenza è data da

G(pt) = Pr (Xn ≥ UCL|pt)quindi

G(pt) =nX

j=UCL

Bi(j;n, pt) = 1−UCL−1Xj=0

Bi(j;n, pt) = 1− FB(UCL− 1|n, pt)


La curva operativa non è altro che il complemento a 1 della funzione di potenza:

OC(pt) = 1−G(pt)Example 8 Un’azienda produce lampadine e desidera controllare il processoproduttivo. In questo caso la lampadina non funzionante è un elemento nonconforme. L’azienda stabilisce che il proprio processo produttivo è sotto controlloquando al massimo il 7% delle lampadine prodotte non funziona. Per controllareil sistema decide quindi di implementare una carta di controllo per il numero dielementi non conformi basandosi su un campione giornaliero di 30 lampadine.a) Costruire la carta di controllo fissando α = 0.01. Risposta a) Si tratta diuna carta UNILATERALE. Il sistema d’ipotesi che si deve verificare è :

H0 : pt ≤ p0

H1 : pt > p0

con p0 = 0.07. Quindi la linea centrale:

CL = np0 = 2.1

Per il calcolo di UCL

FB(UCL− 2|n, p0) < 1− α ≤ FB(UCL− 1|n, p0)Quindi visto che

FB(5|30, 0.07) = 0.98377

FB(6|30, 0.07) = 0.99601segue che

UCL = 7

Quindi dalla produzione giornaliera si estrae in modo casuale un campione di30 lampadine e si ”contano” le lampadine non funzionanti riportando i valorisulla carta di controllo b) Si supponga che nei primi 8 giorni si siano ottenutii seguenti risultati

Campione 1 2 3 4 5 6 7 8Xn 3 2 1 3 1 3 4 6

la cui rappresentazione grafica è riportata nella Figura (5.1). Cosa si puòaffermare sullo stato del processo produttivo? c) Si supponga che ora che illivello di difettosità (cioè la percentuale di lampadine non funzionanti ) sia parial 9% ovvero pt = 0.09. Calcolare la probabilità che la carta di controllo costru-ita al punto a) individui tale anomalia e calcolare il valore dell’ARL in questa


012345678

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

UCL=7

Figura 5.1: Carta np

situazione. Risposta b) Si tratta di calcolare la funzione di potenza quandopt = 0.09

G(pt) = 1− FB(UCL− 1|n, pt)

G(0.09) = 1− FB(6|30, 0.09) = 1− 0.98475 = 0.01525

da cui segue che

ARL =1

G(pt)= 65.574

5.1.2 Carta np con limiti 3-sigma

Utilizzando la regola del 3-sigma la linea centrale ed i limiti di controllo dellacarta np si ottengono come segue

CL = np0

UCL = np0 + 3pnp0(1− p0)

LCL = np0 − 3pnp0(1− p0)

Utilizzando la regola del 3-sigma è necessario prestare attenzione al limite LCLin quanto potrebbe risultare negativo. In questi casi si pone LCL = 0


campione Xin campione Xin1 6 11 82 5 12 153 2 13 34 3 14 95 6 15 66 7 16 47 9 17 58 4 18 69 2 19 710 7 20 11

Tabella 5.1: Numero di condensatori non funzionanti (Xin) nei campionipreliminari

5.1.3 Carta np con p0 non noto

La frazione p0 spesso non è nota, è quindi necessario stimarla utilizzando uninsieme di campioni preliminari provenienti dal processo quando opera in modonon disturbato. Se il prerun è composto da m campioni (m = 20 ÷ 25) di nelementi e Xin è il numero di elementi difettosi nel campione i-esimo, allora lafrazione campionaria di elementi non conformi è

bpi = Xinn, i = 1, 2, ...,m

e utilizzando le bpi si può ottenere uno stimatore per p0bp0 = Pm

i=1 bpim

=

Pmi=1Xinmn

il valore ottenuto può quindi essere sostituito nelle formule opportune per cal-colare i limiti della carta di controllo. I limiti così ottenuti dovrebbero essereconsiderati come limiti di controllo di prova come illustrato nel seguenteesempio.

Esempio. Si consideri la produzione di condensatori. Nell’ispezionareil prodotto si controlla che risponda in modo corretto a predeterminate sol-lecitazioni di tensione. Si vuole predisporre una carta di controllo per il numerodi condensatori non conformi, ed è richiesto che ARL(H0) = 250.Per la costruzione della carta vengono estratti, ad intervalli di 15 minuti, 20

campioni di n = 100 condensatori. I dati sono riportati nella Tabella (5.1).Sulla base dei dati provenienti dai campioni preliminari si può stimare p0

bp0 = Pmi=1Xinmn

=125

20 · 100 = 0.0625

A questo punto si può costruire la carta di controllo per verificare se il processoera sotto controllo al momento della raccolta dei dati preliminari.


02468

10121416

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

UCL=14

CL

camp 12

Figura 5.2: Carta np iniziale sui dati preliminari

La linea centrale risulta

CL = np0 = 6.25

Per il calcolo di UCL si segue il ragionamento usuale

FB(UCL− 2|n, p0) < 1− α ≤ FB(UCL− 1|n, p0)Essendo ARL(H0) = 250 si ha α = 0.004, di conseguenza visto che

FB(12|100, 0.0625) = 0.990479

FB(13|100, 0.0625) = 0.996232si ottiene

UCL = 14

La carta di controllo risultante è riportata nella Figura (5.2). Dalla carta sinota che è presente un valore fuori controllo: il campione 12. Da un’analisi delcampione 12 è emerso che l’aumento di difettosità è attribuibile ad un lotto dimateriale difettoso.Individuate la causa il campione viene eliminato e si procede al ricalcolo

della stima di p0

bp0 = Pmi=1Xinmn

=110

19 · 100 = 0.057895

Ricalcolo la linea centrale

CL = nbp0 = 5.7895


02468

10121416

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

UCL=14

CL

Figura 5.3: Carta np con i limiti ricalcolati

Ricalcolo UCL

FB(12|100, 0.057895) = 0.994857

FB(13|100, 0.057895) = 0.998115quindi

UCL = 14

In questo caso si è solo spostata la linea centrale della carta, mentre il limiteUCL è rimasto immutato. La carta corrispondente viene riportata nella Figura(5.3) Dalla carta non si notano punti fuori controllo nè comportamenti sistem-atici sospetti. Per cui si ritiene bp0 = 0.057895 una stima affidabile della frazionedi elementi non conformi del processo e di conseguenza i limiti trovati si possonoutilizzare per controllare il processo da questo momento in avanti. Data la cartadi controllo appena costruita, calcolare il numero di campioni che in media ènecessario estrarre dal processo produttivo prima di rilevare che pt = 0.09. Quisi tratta di calcolare il valore dell’ARL(H1). E’ necessario calcolare la funzionedi potenza per pt = 0.09

G(pt) = 1− FB(UCL− 1|n, pt)

G(0.09) = 1− FB(13|100, 0.09) = 0.0654452da cui segue che

ARL =1

G(pt)= 15.515


Esercizio. Rifare l’esempio precedente con limite UCL posto a 3-sigma

ApprossimazioniIn alcune situazioni è conveniente utilizzare delle approssimazioni della Bi-

nomiale.

• Approssimazione della Binomiale con la PoissonBin(n, p0) ≈ P (λ = np0)

per np0 ≤ 10 o n ≥ 1500p0• Approssimazione della Binomiale con la Normale

Pr (Xn ≥ UCL|pt = p0) = α ≈ ΦÃUCL− 0.5− np0p

np0(1− p0)

!

per np0(1− p0) > 9. Quindi risolvendo per UCL si ottiene

UCL ≈ np0 + z1−αpnp0(1− p0) + 0.5

e UCL viene approssimato sempre per eccesso all’intero più vicino

5.1.4 Carta p

Controlla direttamente la frazione di elementi difettosi, quindi ha lo stessosistema d’ipotesi della carta np. La statistica test

bpn = Xnn

è la frazione di elementi non conformi.La linea centrale e le linee di controllo si ottengono dividendo per n le

analoghe quantità della carta np

Carta np Carta pCL CL∗ = CL

n

UCL UCL∗ = UCLn

LCL LCL∗ = LCLn

Funzione di potenza della carta p

La funzione di potenza della carta p è la stessa della carta np:

Gp(pt) = Pr {bpn ≥ UCL∗|pt} = Pr½Xnn≥ UCL

n|pt¾=

= Pr {Xn ≥ UCL|pt} = G(pt)


campione Xin campione Xin campione Xin campione Xin1 2 7 3 13 2 19 32 3 8 5 14 4 20 53 2 9 2 15 5 21 34 5 10 4 16 7 22 65 1 11 1 17 1 23 86 12 12 4 18 1 24 2

Tabella 5.2: numero di valvole non conformi nei 24 campioni preliminari

Esempio. Si consideri la produzione valvole per pneumatici per automobili.Il prodotto viene ispezionato sollecitando la valvola con una pressione predeter-minata controllandone la tenuta. Si vuole utilizzare una carta di controllo perla frazione di elementi non conformi, ed è richiesto che ARL(H0) = 200.Per la costruzione della carta vengono estratti, ad intervalli di 30 minuti, 24

campioni di n = 50 valvole. I dati sono riportati nella Tabella (5.2)Utilizzando i 24 campioni preliminari la stima di p0 risulta:

CL = bp0 = Pmi=1Xinmn

=91

24 · 50 = 0.07583

Visto che ARL(H0) = 200 significa α = 0.005 ed essendo il limite UCL unnumero intero tale da soddisfare

FB(UCL− 2|n, p0) < 1− α ≤ FB(UCL− 1|n, p0)si trova che

FB(8|50, 0.07583) = 0.987944

FB(9|50, 0.07583) = 0.996136quindi risulta

UCL = 10

Il limite della carta p si ottiene dividendo il limite appena trovato per n

UCL∗ =10

50= 0.2

La visualizzazione grafica del prerun è riportata nella Figura (5.4) Dalla Figurasi nota che un valore non risulta in controllo. E’ necessario quindi analizzare lecause che possono aver dato luogo a questa situazione. Supponiamo ora che si siaindividuata le causa del problema e che siano state fatte le opportune operazionicorrettive. Si può quindi procedere eliminando il campione e rifacendo i calcoli.


0

0.05

0.10.15

0.2

0.25

0.3

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

UCL=0.2

CL

camp. 6

Figura 5.4: Carta p costruita sui dati preliminari

La nuova stima di p0 è data da

CL = bp0 = Pmi=1Xinmn

=79

23 · 50 = 0.068696

per limite UCL ricalcolato si ha

FB(8|50, 0.068696) = 0.993504

FB(9|50, 0.068696) = 0.998117

da cui risulta

UCL = 10

e quindi il limite ricalcolato della carta p è ancora

UCL∗ =10

50= 0.2

La visualizzazione dei campioni preliminari è riporata nella Figura (5.5). DallaFigura si nota che tra i 23 campioni rimasti non è presente nessun punto fuoricontrollo La carta di controllo così costruita è quindi utilizzabile per controllareil processo da questo momento in avanti.Se avviene uno shift e pt = 0.1 quanto tempo in media si deve attendere

per rilevare il problema? Si tratta anche in questo caso di calcolare ARL(H1).Calcolo quindi il valore della funzione di potenza

Gp(pt) = Pr {bpn ≥ UCL∗|pt} = Pr {Xn ≥ UCL|pt} == 1− FB(UCL− 1|n, pt)


0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

UCL=0.2

CL

Figura 5.5: Carta p ottenuta eliminado il campione 6

Nel nostro caso essendo UCL = 10 si ha

G(0.1) = 1− FB(9|50, 0.1) = 0.0024538e quindi

ARL(pt = 0.1) = 1/Gp(pt) = 40.75322

Esercizio. Rifare l’esempio precedente con limite UCL posto a 3-sigma

5.2 Carte di controllo per le non conformitàUn elemento non conforme è un prodotto che non soddisfa una, o più, dellespecifiche richieste. Ogni specifica non rispettata costituisce un difetto o unanon conformità. Conseguentemente un elemento non conforme contiene almenouna non conformità. In molte situazioni pratiche è preferibile controllare ilnumero di difetti o non conformità nel campione anziché la frazione di elementinon conformi. In questa situazione l’unità di riferimento può essere:

• l’unità di prodotto;• una unità fisica (normalmente più unità fisiche formano una unità diprodotto).

In entrambi i casi si assume che la variabile aleatoria in grado di descriverela probabilità che si presenti un difetto sia una Poisson di parametro λt, X ≈Po(λt):

Pr(x = k) =e−λλktk!

5.2. CARTE DI CONTROLLO PER LE NON CONFORMITÀ 73

ed essendo

E(X) = V ar(X) = λt

il parametro λt rappresenta il numero medio di difetti di una unità prodotta altempo t.Se il processo produttivo viene considerato sotto controllo statistico per λt ≤

λ0 si dovranno costruire delle carte di controllo per verificare il seguente sistemad’ipotesi

H0 : λt ≤ λ0

H1 : λt > λ0

Se il processo è considerato sotto controllo per λt = λ0 il sistema d’ipotesi èil seguente

H0 : λt = λ0

H1 : λt 6= λ0

Nella pratica sono più rilevanti le carte per verificare le ipotesi unilaterali.

5.2.1 Carta per il numero di non conformità per unità diprodotto (carta c)

La statistica campionaria è il numero cumulato di non conformità nel campione:X∗n (campione di numerosità n).Sotto H0 lo stato del processo è caratterizzato da un tasso medio di non

conformità pari a λ0

X∗n ∼ Po(nλ0)con E(X∗n) = nλ0.Pertanto

CL = nλ0

Il limite di controllo UCL deve soddisfare

Pr (X∗n ≥ UCL|λt = λ0) = α

Dato che X∗n ha una distribuzione discreta la probabilità sopra riportata puòessere soddisfatta solo in modo approssimato

Pr (X∗n ≥ UCL|λt = λ0) = α∗


con α∗ ≤ α.Si tratta quindi di individuare il valore UCL come il più grande intero che

soddisfa:

Pr (X∗n ≥ UCL|λt = λ0) ≤ α

Di conseguenza il limite UCL è tale da soddisfare la seguente relazione:

Pr (X∗n ≥ UCL|λt = λ0) ≤ α < Pr(Xn ≥ UCL− 1|λt = λ0)

Ricordando che X∗n ∼ Po(nλ) :

Pr (X∗n ≥ UCL|λt = λ0) =∞X

j=UCL

Po(j;nλ0) = 1−UCL−1Xj=0

Po(j;nλ0)

= 1− FP (UCL− 1|nλ0)

Pr (X∗n ≥ UCL− 1|λt = λ0) =∞X

j=UCL−1Po(j;nλ0) = 1−

UCL−2Xj=0

Po(j;nλ0)

= 1− FP (UCL− 2|nλ0)

Pertanto

1− FP (UCL− 1|nλ0) ≤ α < 1− FP (UCL− 2|nλ0)

o equivalentemente

FP (UCL− 2|nλ0) < 1− α ≤ FP (UCL− 1|nλ0)

Dati i valori di n e λ0, e specificato α si individua il limite di controllo UCLche soddisfa la disuguaglianza con l’ausilio delle tavole della Poisson.

Funzione di potenza e curva operativa

La funzione di potenza è data da

G(λt) = Pr (X∗n ≥ UCL|λt)

quindi

G(λt) =∞X

j=UCL

Po(j;npt) = 1−UCL−1Xj=0

Po(j;nλt) = 1− FP (UCL− 1|nλt)


Example 9 Un’azienda che produce rotoli di carta desidera controllare il nu-mero di non conformità per unità di prodotto. Sapendo che n = 3 e che λ0 = 2costruire una carta di controllo unilaterale. a) Determinare il limite di controllocon α = 0.05. Risposta a) Si tratta di una carta UNILATERALE.

H0 : λt ≤ λ0

H1 : λt > λ0

In questo caso

CL = nλ0 = 6

Calcolo UCL

FP (UCL− 2|nλ0) < 1− α ≤ FP (UCL− 1|nλ0)

quindi visto che

FP (9|6) = 0.91608

FP (10|6) = 0.95738

segue che UCL = 11.b) Calcolare il valore della funzione di potenza e l’ARLquando λt = 2, 5. Risposta b)

G(λt) = 1− FP (UCL− 1|nλt)

G(λt = 2.5) = 1− FP (10|7, 5) = 1− 0.86224 = 0.13776

Quindi l’ARL vale

ARL(λt = 2.5) =1

G(λt)= 7.259

5.2.2 Carta c con i limiti 3-sigma

Utilizzando la regola del 3-sigma la carta c risulta

UCL = nλ0 + 3pnλ0

CL = nλ0

LCL = nλ0 − 3pnλ0


Campione X∗in Campione X∗in1 2 11 82 4 12 23 6 13 24 2 14 35 4 15 16 8 16 17 1 17 48 0 18 39 3 19 210 5 20 7

Tabella 5.3: Numero di non conformit nei campioni del prerun

5.2.3 Carta c con λ0 non noto

Nel caso in cui nessun valore di riferimento viene assegnato è possibile stimareλ0 usando il numero medio di difetti rilevati in un campione preliminare.Si prenda ad esempio la produzione di un cavo a fibra ottica. A tale scopo

per 20 giorni vengono controllati 10 rotoli di cavo per evidenziare eventualidifetti. I dati rilevati su questo insieme di campioni preliminari sono riportatinella Tabella (5.3).Si vuole costruire una carta di controllo per le non conformità in modo tale

che in media ci sio un falso allarme ogni 200 istanti campionari.Costruzione della carta.Dai dati a disposizione abbiamo ARL(H0) = 200 quindi α = 0.005.Stimo λ0

bλ0 = Pmi=1X

∗in

m · n =68

20 · 10 = 0.34la linea centrale risulta quindi

CL = nbλ0 = 3.4Per il limite UCL, visto che

FP (8|3.4) = 0.991707

FP (9|3.4) = 0.997291si ottiene

UCL = 10

La carta di controllo costruita per i campioni preliminari e riportata nellaFigura (5.6)Dalla Figura si nota che tutti i campioni risultano prelevato quando il pro-

cesso operava sotto H0 quindi la carta così ottenuta può essere utilizzata percontrollare da questo momento il processo produttivo.


02468

1012

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

UCL=10

CL

Figura 5.6: Carta c per i campioni preliminari

5.2.4 Carta per il numero di conformità per unità fisica(carta u)

Controlla il numero di conformità per unità fisica. L’unità fisica dipende ovvi-amente dal tipo di prodotto e più unità fisiche, diciamo d, costituiscono ilprodotto.Indicando con Xi il numero di non conformità nel’i-esima unità di prodotto

si ha

Xi ∼ Po(λt)Quindi se si indica con Uj il numero di non conformità nella j-esima unità fisica

Uj ∼ Po(λ∗t )con

λ∗t =λtd

Conseguentemente la linea centrale e le linee di controllo si ottengono divi-dendo per d le analoghe quantità della carta c

Carta c Carta uCL CL∗ = CL

d

UCL UCL∗ = UCLd

LCL LCL∗ = LCLd

Funzione di potenza della carta u

La funzione di potenza della carta u è la stessa della carta c:


Gu(λ∗t ) = Pr {X∗n/d ≥ UCL∗|λ∗t } = Pr {X∗n ≥ UCL|λt} = G(λt)

Approssimazioni utiliIn alcune situazioni è conveniente utilizzare delle approssimazioni della Pois-

son.

• Approssimazione della Poisson con la Normalese nλ0(1− λ0) ≥ 9 allora

Pr (X∗n ≥ UCL|λt = λ0) = α ≈ 1− ΦµUCL− 0.5− nλ0√

nλ0

¶Quindi risolvendo per UCL si ottiene

UCL ≈ nλ0 + z1−αpnλ0 + 0.5

e UCL viene approssimato, sempre per eccesso, all’intero più vicino.

Bibliografia

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[2] Mittag H. J., Rinne H. (1993) ”Statistical methods of quality assurance”Chapman & Hall London

[3] Montgomery D.C, (1997) ”Introduction to statistical quality control” Thirdedition, John Wiley & Sons, New York

[4] Montgomery D.D, (2000) ”Controllo statistico della qualità” McGraw-Hill

[5] Ryan, T. P. (1989) ”Statistical Methods for Quality Improvement” WileyNew York

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