Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Elaborato finale in Controlli Automatici

Controllo PI di reti di sistemi

Anno Accademico 2017/2018 Candidato: Pasquale Luca Rullo matr. N46003554

Indice

1 Introduzione 11.1 Composizione di una rete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Lo studio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Descrivere una rete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Erdos-Renyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Watts-Strogatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.3 Barbarasi e Albert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Dinamiche degli agenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Comportamento emergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5.1 Consenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5.2 Sincronizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Rete di sistemi 112.1 Studio delle matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Rete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Pinning control 163.1 Pinning control applicato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.1 Studio delle matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.2 Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.3 Rete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Confronto 204.1 Risultati primo sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Risultati secondo sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.3 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2

Capitolo 1

Introduzione

Tradizionalmente la dinamica e il controllo non lineare si focalizzavano suisingoli sistemi e dispositivi. Le nuove scoperte in questi ambiti, tuttavia,hanno portato ad un radicale cambiamento nell'approccio e, grazie a queste,ci si è iniziati ad interfacciare con entità che sono in comunicazione tra di loroattraverso una rete di interconnesisoni. Queste ultime possono essere incre-dibilmente complesse e fanno emergere comportamenti tali da poter esserestudiati solo osservando la rete nel suo insieme. La nuova frontiera dello stu-dio sta nel capire, riprodurre e controllare i comportamenti di tali relazioni.La presenza di feedback è fondamentale per far emergere un comportamentocomplesso, perché permette di studiare il modo in cui il risultato di un'azio-ne su un sistema o sull'intera rete vada ad in�uenzare il comportamento diquest'ultima.

1.1 Composizione di una rete

Le reti hanno alla base tre componenti fondamentali:

• I nodi: rappresentano la dinamica di ciascun agente.

• Il protocollo di comunicazione: rappresentano quali informazionivengono scambiate tra agenti e in che modo avviene.

• La topologia: rappresenta chi comunica con chi.

Un esempio di topologia è quella ad anello che è lineare di tipo chiuso. Inquesta a tutti i nodi fanno capo due rami, uno collegato al nodo adiacenteprecedente e l'altro al nodo adiacente successivo. Il numero di anelli della reteaumenta esponenzialmente con il numero di interconnessioni che gli agentivanno a formare tra di loro e con essi aumentano le proprietà ed il numerodi comportamenti da studiare.

1

2 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

1.2 Lo studio

Ogni agente può essere considerato come un generico sistema non lineare:

x = fi(xi) + gi(xi)ui (1.1)

Con i=1, .. ,N , xi che rappresenta l'agente di dimensione Rn, ui che rap-presenta la legge d'accoppiamento di dimensione Rn, f è la dinamica interna.

Considerando le dinamiche dei signoli nodi, alcune delle possibili sono quelledegli integratori semplici e doppi. Le interazioni tra gli agenti possono esse-re modellate scegliendo in modo appropriato la legge d'accoppiamento. Peresempio, l'accoppiamento di�usivo tra i nodi può essere rappresentato dallalegge:

ui = σN∑j=1

aij(h(xj))− (h(xj)) (1.2)

Con σ guadagno d'accoppiamento, h() è il protocollo di accoppiamento e aijè un generico termine della matrice di adiacenza.Ma questa può essere sostituita da leggi che considerano ritardi, diversiguadagni associati a ogni arco o guadagni adattivi etc.

1.2.1 Struttura

La rete tipicamente consiste in diversi veritici, o nodi, legati insieme da archi.La struttura è studiata attraverso un grafo associato G che è una coppiade�nita come G = {N, ε }, dove N = {1, . . . , n} è l'insieme �nito di n nodie ε è l'insieme che contiene gli archi. Ad ogni nodo è associato un grado parial numero delle sue connessioni; se la rete è diretta possiamo individuare unarco in uscita dal nodo e uno in entrata nello stesso.La struttura di una rete può essere rappresentata dalle matrici diAdiacenzaA(G) e Laplaciana. Gli elementi di quella di Adiacenza sono dati dallalegge:

A(G)[ij] ={

1 se (i, j) ∈ E0 altrimenti

(1.3)

Gli elementi della Laplaciana sono invece descritti da:

L(G) = D(G)− A(G) (1.4)

dove D(G) è la matrice diagonale che contiene, sull'i-esimo della diagonale,il grado in uscita del nodo i-esimo.

1.3. DESCRIVERE UNA RETE 3

La Laplaciana ha tra le sue proprietà la zero row-sum: ha tutte le righe asomma nulla. Grazie a questa proprietà diciamo che λ1 ≤ λ2 ≤ .. ≤ λN sonogli autovalori e che fra questi dobbiamo avere almeno uno zero. Abbiamoquindi:

L1, 1N = [1, 1, .., 1]T (1.5)

che è l'autovettore destro di L associato all'autovalore nullo, così, il piùpiccolo autovalore non nullo, detto λ2 , è positivo se la rete è connessa.

1.3 Descrivere una rete

È possibile descrivere diversi tipi di rete attraverso alcuni parametri caratte-ristici. Uno fra questi è il grado medio di una rete che è dato da:

〈k〉 =1

N

∑i

ki (1.6)

Partendo da questo è possibile studiare la distribzione dei gradi P(k) che è laprobabilità che un nodo in una rete abbia grado k; ovviamente di�erenti tipidi reti avranno di�erenti distribuzioni (le quali potranno essere classi�catecome Random, Scale-free, Hierarchical etc.). Molte reti del mondo realehanno dimostrato di essere Scale-free [3], cioè hanno una distribuzione digrado in legge di potenza: P (k) ∼ k−y. Sono caratterizzate dalla presenzadi hub, nodi con molti collegamenti. Per ognuna di queste reti nel corsodegli anni sono stati studiati dei modelli che ne evidenziassero le diversecaratteristiche tipologiche.

1.3.1 Erdos-Renyi

Nel 1960 ad esempio Erdos-Renyi studiarono un modello per il RandomGraph Model:

• Si parte da N nodi in assenza di connessioni.

• Si seleziona una coppia di nodi casualmente, avendo ogni nodo la stessaprobabilità di essere selezionato.

• Si collegano i nodi selezionati a meno che questi non siano già connessio che non sia generato un cappio.

• Si ripete �n quando la rete non ha E archi.

La distribuzione dei gradi che se ne ricava si può dimostrare essere unaPoissoniana con tutti i nodi che condividono un grado simile.

4 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

1.3.2 Watts-Strogatz

Nel 1998 Watts e Strogatz studiarono lo �Small-World e�ect� basandosisu un esperimento fatto nel 1967 da Stanley Milgram [3]. L'esperimentoconsisteva in radunare 296 persone a cui veniva chiesto di consegnare unalettera ad una certa persona; le lettere potevano passare solo lungo catenedi conoscenti. Circa un terzo passò attraverso un particolare conoscente: ilsarto. Se ogni persona conosce 100 persone il numero di persone ad un passoda una certa persona è 100, a 2 è 1000, �no ad arrivare a 5 dove si arriva a 10miliardi che è più del numero di persone sulla Terra. I due studiosi cercaronodi spiegare questo fenomeno. Per comprenderne le caratteristiche si devonointrodurre le seguenti quantità. La lunghezza del percorso caratteristico L èla lunghezza del percorso più breve tra due vertici, media di tutte le possibilicoppie. Il coe�ciente di clustering C misura la probabilità che dati tre verticiA, B e C se A e B sono collegati allora anche A e C sono collegati. Il modelloprevede di:

• partire da un reticolo regolare

• scegliere a caso una frazione p degli archi

• ricablare un'estremità di ciascuna frazione in una nuova posizione sceltauniformemente a caso

Il ricablaggio di pochi lunghi intervalli ha l'e�etto di causare un elevato clu-stering con contemporanea bassa lunghezza caratteristica del cammino. Inquesto modo qualsiasi nodo può essere raggiunto da qualsiasi altro nodo inun numero relativamente basso di passi.

1.3.3 Barbarasi e Albert

Nel 1999 Barbarasi e Albert, per ottenere delle reti che mostrassero distri-buzioni di grado in legge di potenza, proposero un modello che combinassedue elementi fondamentali:

• Crescita (Growth): inizia con un numero piccolo m0 di nodi; ad ognipasso viene introdotto un nuovo nodo ed è collegato a m ≤ m0 nodigià esistenti.

• Allegato preferenziale (Preferential Attachment): la probabilità cheun nuovo nodo sarà connesso ai nodi già esistenti, dipende dal grado kidel nodo i. Tale dipendenza può essere calcolata come in Figura 1.7

Πi =ki∑i kj

(1.7)

1.4. DINAMICHE DEGLI AGENTI 5

La struttura di una rete può essere particolarmente complessa, è possibile de-�nirne diversi tipi, ciascuno con diverse caratteristiche, ed è possibile studiar-ne un gran numero di caratteristiche topologiche. I modelli più importantiportano a diversi gradi di distribuzione.

1.4 Dinamiche degli agenti

Visto che le reti possiedono una struttura in grado di esibire caratteristichetopologiche complesse passiamo ora a considerare la presenza delle dinamichesulla rete. Data una struttura di rete descritta dalla sua matrice LaplacianaL, la dinamica della rete complessa viene descritta come:

xi = f(xi) + σ∑j∈Ni

Lijh(xj) (1.8)

Per semplicità si assume che tutti i nodi condividano lo stesso protocollo diaccoppiamento e consideriamo quindi la più semplice fra queste:

xi = f(xi) + σ∑j∈Ni

−Lijxj (1.9)

1.5 Comportamento emergente

Una delle proprietà più sorprendenti delle reti complesse è l'emergere di uncomportamento collettivo. I tipi più semplici delle dinamiche collettive so-no Consenso e Sincronizzazione. Il consenso è un tipo particolare disincronizzazione dove lo stato sincrono è costante.

1.5.1 Consenso

Il consesno prevede:

• una dinamica degli agenti semplice: xi = ui

• un protocollo che è semplicemente la mancata corrispondenza tra ogninodo e i suoi vicini:

ui =N∑j=1

aij(xj − xi) (1.10)

L'intera dinamica di rete può essere quindi scritta come:

xi =N∑j=1

aij(xj − xi), xi(0) = xi0, i = 1, ..,N (1.11)

6 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

In forma matriciale viene rappresentata da x = −Lx dove L è la matriceLaplaciana:

Figura 1.1: rappresentazione matrice laplaciana

Questa ha alcune proprietà che bisogna mettere in evidenza:

• ha sempre un autovalore pari a 0 corrispondente all'autovettore

• ha autovalori: 0 = λ1 ≤ λ2 ≤ . . . . ≤ λN ≤ 2∆ , con ∆ = maxidi

• la condizione necessaria e su�ciente per avere un grafo connesso è cheλ2 > 0

Grazie a tali porprietà si può concludere che:

• le dinamiche di consenso convergeranno all'equilibrio: X∗ = (α, .., α)T

• se la rete è connessa l'equilibrio è globalmente asintoticamente stabile

• la struttura della rete può in�uenzare il processo dinamico sulla stessa

I problemi del consenso sono molto studiati nel controllo. Le estensioni in-cludono il caso in cui l'accoppiamento è: non lineare, variabile nel tempo,in�uenzato da ritardi; o il caso in cui i nodi sono descritti da una dinamicadimensionale. Un caso rilevante per descrivere reti di agenti mobili è il co-siddetto problema del Rendez-Vous.

1.5. COMPORTAMENTO EMERGENTE 7

Rendez-Vous

Consideriamo il modello più semplice:{ri = vivi = ui

(1.12)

Con ri = (xi, yi), vi = (vxi, vyi) Il problema del rendez-vous può esserede�nito come il problema per scegliere ui = (uxi, uyi) in modo che:

limt→∞ ri = r, i = 1, 2, ..,N

vi(r) = 0(1.13)

Diverse sono state le soluzioni implementate per risolvere tale problema. Èpossibile ad esempio scegliere diverse funzioni per ottenere diverse speci�chedi prestazione, partendo da agenti a cui viene data velocità pari a 0.Partendo da un protocollo lineare:

uix = σ1∑

j∈N(i)(xj − xi)− (σ1 + σ2)vixuiy = σ3

∑j∈N(i)(yj − yi)− (σ3 + σ4)viy

(1.14)

Possiamo veri�care che il rendez-vous si veri�ca nel punto:

x = avg(xi(0))σ1

+ avg(vix(0))σ1+σ2

y = avg(yi(0))σ3

+ avg(viy(0))σ3+σ4

(1.15)

Allo stesso modo possiamo gestire un protocollo non lineare in cui ancorauna volta le condizioni saranno soddisfatte con tutti i nodi che raggiungeran-no l'obiettivo desiderato. Il consenso è un esempio semplice ma e�cace chedimostra che la struttura di una rete può infulenzare la sua dinamica.

Un problema che ha attirato molta attenzione è quello in cui si assume chenodo e protocollo abbiano una dinamica non lineare, cioè dove si veri�cax = fi(xi) + gi(xi)ui con i=1, .. , N.

1.5.2 Sincronizzazione

Per la Sincronizzazione l'equazione della rete diventa:

xi = f(xi) + σ∑j∈Ni

Lijxj (1.16)

8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

e il problema, in questo caso, è quello di trovare condizioni in cui tutti i nodiconvergano sulla stessa evoluzione sincrona tale che x1 = x2 = .. = xiN = xs.La soluzione sincrona non è nota a priori.

È possibile distinguere due tipi principali di sincronizzazione:

• Asintotica:limt→∞

(xi − xj) = 0 (1.17)

• Delimitata:limt→∞‖ xi − xj ‖≤ ε, ε > 0 (1.18)

In generale si considera una rete di N sistemi non lineari identici, mutual-mente accoppiata, dalla forma:

xi = f(xi) + σN∑j=1

Lijh(xj) (1.19)

De�niamo quindi la sincronizzazione della rete come il problema di trovareil range di valori di σ, se ce ne sono, per i qali la rete si sincronizza. Taleproblema può essere risolto tramite l'approccio Master Stability Functionla cui idea è di trovare le condizioni per la stabilità trasversale locale delcollettore di sincronizzazione della rete x. Assumiamo che questa non siadiretta e connessa e tutti i nodi condividano dinamiche identiche. Lo statosincrono è una soluzione esatta di x a causa della proprietà zero row-sum dellLaplaciana. Individuiamo 3 step principali.

Primo step

Il primo step consiste nel linearizzare l'evoluzione sincrona e scrivere l'equa-zione variazionale:

ξi = fx(xs)ξi + σ∑j

Lijhx(xs)ξi (1.20)

Dove:ξi = xi(t)− xs(t)

fx(xs) = ∂f∂x

(xs)

hx(xs) = ∂h∂x

(xs)

(1.21)

1.5. COMPORTAMENTO EMERGENTE 9

Secondo step

Il secondo step consiste nel supporre che la Laplaciana G possa essere dia-gonalizzata con un insieme di autovalori reali λ i e rispettivi autovettorinormalizzati. Un opportuno cambio di variabili, quindi, può essere usato perbloccare/diagonalizzare l'equazione variazionale:

ζi = [fx(xs) + σλihx(xs)]ζi (1.22)

Dove ζi = Q−1ξi, con Q−1 la matrice le cui colonne sono l'insieme di auto-vettori di G. Osserviamo che λ1 = 0 è associato allo stato sincrono stesso eche ogni altro blocco è strutturalmente uguale.

Terzo step

Il terzo step, lasciando v= σλi con i= 2, ..., N, permette di scrivere la formagenerica di tutti i blocchi disaccoppiati dalla quale si può prendere il piùgrande esponente di Lyapunov: la Master Stability Function. Il collettore disincronizzazione è localmente stabile per i valori di v tali che Λ(v)< 0. Unacondizione di sincronizzazione di una rete complessa è che tutti i parametrinormalizzati cadano in un intervallo sull'asse v in cui MSF è negativo.

Figura 1.2: intervallo sincronizzazione

Per la stabilità trasversale locale dobbiamo avere: σλ2 > α1, σλN < α2. Perl'accoppiamento il guadagno deve essere scelto in modo tale che:

σ ∈[α1

λ2,α2

λN

](1.23)

Tale intervallo è più ampio quanto più piccolo è il rapporto: λN/λ2.

10 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

Distinguiamo in�ne 3 tipi di MFS:

• Se di tipo 1 la rete è più sincronizzabile maggiore è il valore di λ2

• Se di tipo 2, dobbiamo massimizzare il rapporto λ2/λN , (o minimizzareλN/λ2)

• Se di tipo 3 nessuna sincronizzazione localmente stabile è possibile

Nonostante la sua semplicità l'MFS consente l'analisi di come la strutturadella rete in�uisce sulla sua sincronizzazione.

Capitolo 2

Rete di sistemi

La rete che si va a considerare per lo studio è formata da 5 sistemi come in�gura:

Figura 2.1: rete di sistemi

2.1 Studio delle matrici

Della nostra rete vogliamo studiare la matrice Laplaciana. Partiamo quindidalla matrice di Adiacenza A(G):

Figura 2.2: matrice A

Avremo tante righe e colonne quanti saranno i sistemi, cioè una matrice 5x5.Ogni riga corrisponde ad un sistema. Nelle righe in corrispondenza dei nodicon cui il sistema ha delle relazioni si pone un 1, nelle altre posizioni uno 0.

11

12 CAPITOLO 2. RETE DI SISTEMI

Passiamo alla matrice Diagonale D(G):

Figura 2.3: matrice D

Per questa matrice, per ogni riga, in corrispondenza del sistema viene postoun numero pari al numero di relazioni del sistema stesso, nelle altre posizioni0.

In�ne calcoliamo la matrice Laplaciana come la di�erenza tra la matricediagonale e la matrice di adiacenza D(G)-A(G):

Figura 2.4: matrice L

2.2 Sistemi

Ogni sistema è bidimensionale, cioè composto da due delle coppie (posizio-ne,velocità) come in (2.1).{

x1 = x2x2 = −k ∗ x2 + ucontrollo + uaccoppiamento

(2.1)

con k parametro dato in input dalla "Command Window".Vogliamo studiare la rete quando tutti i sistemi sono controllati con regola-tori PID tenendo conto delle in�uenze degli altri sistemi correlati. Il singolosistema nella rete implementato in Simulink si presenterà in questa forma:

2.2. SISTEMI 13

Figura 2.5: singolo sistema

Ogni sistema viene scritto nel blocco "state-space" in forma matricialecon le matrici A, B, C e D con condizioni iniziali scelte a caso nell'inter-vallo [−2, 2] grazie alla funzione rand(). In particolare si scrive: x0i =−2 + 4. ∗ rand() . Per ogni sistema si controlla una dimensione alla voltagrazie alla divisione degli stati implementata attraverso due blocchi "gain",uno che prende il primo componente della matrice attraverso la matrice [10 0 0] e l'altro il terzo con la matrice [0 0 1 0]. Lo stato in uscita da que-sto blocco sottratto al riferimento va in ingresso al blocco "PID". In ogniblocco PID i guadagni vengono scelti per raggiungere errore a regime nullo,sovraelongazione pari a 0 e tempo di assestamento inferiore a 5 secondi. Siparte quindi calcolando la funzione di trasferimento del sistema G(s) graziealla formula:

G(s) = C(sI− A)−1B+ D (2.2)

con I matrice d'identità, che da come risultato:

G(s) =1

s(s+ k)(2.3)

Si calcola quindi la C(s) considerando le tre azioni:

C(s) = kP +kIs

+ kDs (2.4)

Otteniamo la funzione di anello come L(s) = G(s)C(s) . Quindi troviamo laGre(s) come:

Gre(s) =1

1 + L(s)(2.5)

cioè:

Gre(s) =s2(s+ k)

s3 + s2(k + kD) + skP + kI(2.6)

Il polinomio caratteristico sarà quindi uguale al denominatore della Gre. Perrispettare le speci�che scegliamo come poli del polinomio caratteristico p1 =

14 CAPITOLO 2. RETE DI SISTEMI

−10, p2 = −50, p3 = −100, per ottenre s3+160s2+6500s+50000. Attraversoil metodo dell'ispezione diretta[16] si ottengono come guadagni del controllo:

{ kP = 6500kI = 50000

kD = 160− k(2.7)

Le uscite dei due blocchi PID vengono in seguito mandate in ingresso ad unmultiplexer e ricorsivamente in ingresso al nostro sistema.

2.3 Rete

La rete implementata su Simulink vedrà quindi replicato il sistema in �gura2.5 per 5 volte. La rete risultante avrà l'aspetto mostrato in �gura 2.6. Ognisistema così trattato produrrà un'uscita che verrà mandata in ingresso adun multiplexer a 5 ingressi. L'uscita del multiplexer sarà data in ingresso alblocco "Matlab function" dove viene calcolato il fattore di accoppiamen-to. Per quest'ultimo viene sfruttata una funzione di Matlab che implemental'operatore matematico di kronecker. L'uscita del blocco sarà implementa-ta come y = −C ∗ kron(L,Γ)x dove L è la matrice laplaciana della rete,Γ è la matrice che permette di posizionare l'accoppiamento dove necessario,C è il guadagno della funzione e x è il vettore degli stati dei vari sistemix = [x1, x2, x3, x4, x5]

T . L'uscita del blocco viene sottoposta a un demul-tiplexer a 5 uscite, ognuna delle quali sarà mandata in ingresso ad un bloccogain che permetterà l'estrazione degli stati desiderati attraverso la matriceottenuta con il comando Matlab [0 1 0 0; 0 0 0 1].

2.3. RETE 15

Figura 2.6: rete in simulink

Capitolo 3

Pinning control

In molte applicazioni è importante controllare la rete su un'evoluzione desi-derata. In teoria, ciò potrebbe essere fatto controllando tutti gli agenti nellarete ma questo non è fattibile in reti complesse di grandi dimensioni. In al-ternativa è stato studiato un controllo in cui solo una piccola parte del i nodidi rete sono controllati direttamente, più precisamente, un'azione di controllolocale su relativamente pochi nodi è propagata al resto della rete attraversole varie interconnessioni. Questa è esattamente l'idea alla base del pinningcontrol come proposto da Wang e Chen nel 2002 [12]. La strategia originalemirava a "guidare" la rete ad uno stato di equilibrio desiderato scegliendoarbitrariamente un controllo.La dinamica del circuito chiuso può quindi essere scritta come:

xi = f(xi) + σ∑j

Lijxj + σbik(xs − xi) (3.1)

3.1 Pinning control applicato

Così come fatto in precedenza consideriamo una rete di 5 sistemi ma questavolta, anzicchè controllarli tutti, proviamo a farlo con un ulteriore sistema.La rete avrà quindi questo aspetto:

Figura 3.1: rete 6 sistemi

osservando il grafo ci si rende conto che è un grafo orientato, perchè c'è

16

3.1. PINNING CONTROL APPLICATO 17

almeno un arco orientato. Questo in�uenza anche la matrice di adiacenzaA(G), che non è più simmetrica. Inoltre la proprietà zero row-sum dellalaplaciana non è più valida.

3.1.1 Studio delle matrici

Anche per questo partiamo studiando la matrice di Adiacenza A(G):

Figura 3.2: matrice A

Passiamo alla matrice Diagonale D(G):

Figura 3.3: matrice D

Ed in�ne ricaviamo la Laplaciana come D(G)-A(G):

Figura 3.4: matrice L

18 CAPITOLO 3. PINNING CONTROL

3.1.2 Sistemi

Nel caso del pinning nessun sistema al di fuori di quello utilizzato per il con-trollo presenta un blocco PID quindi in ingresso ha solo l'accoppiamento. Ilsingolo sistema si presenta implementato in questa forma:

Figura 3.5: Sistema non controllato

Il sistema sottoposto al controllo invece presenta la stessa implementazionedi quelli fatti in precedenza.

Figura 3.6: sistema controllato

3.1.3 Rete

L'accoppiamento è trattato allo stesso modo in cui veniva trattato primacon l'unica variazione che riguarda le matrici interne alla "Matlab function"modi�cate in modo da considerare il sistema di controllo introdotto. La reteimplementata in Simulink può essere osservata in �gura 3.7.

3.1. PINNING CONTROL APPLICATO 19

Figura 3.7: rete con pinning control

Capitolo 4

Confronto

I due tipi di controllo utilizzati per la rete in questione hanno portato a datidiversi sui quali è necessario fare delle considerazioni. Grazie al blocco "ToWorkspace" si riportano su Matlab l'errore relativo al sigolo sistema e gliingressi di controllo utilizzati. Come metriche di paragone tra le due retisono state scelte:

• la media delle norme degli errori

• la sommatoria del quadrato delle norme dei controlli

4.1 Risultati primo sistema

Consideriamo prima la rete dove sono controllati tutti i sistemi. Di ognierrore o controllo possiamo visualizzare i valori numerici e i tempi relativi atali valori grazie alla funzione "plot()". Prendiamo in esempio l'errore delprimo sistema; il comando "plot(e1.time,e1.data)" permetterà di gra�care ivalori riguardanti gli errori di x e y (Figura 4.1) nei relativi tempi. Passiamoquindi a calcolare i paramentri di confronto per i quali sono stati creati degliscript su Matlab. Possiamo in�ne gra�care i valori ottenuti. etot ha gra�cocome in Figura 4.2, mentre per utot Figura 4.3

20

4.1. RISULTATI PRIMO SISTEMA 21

Figura 4.1: valori del singolo errore (e1.time,e1.data)

Figura 4.2: etot

22 CAPITOLO 4. CONFRONTO

Figura 4.3: utot

4.2 Risultati secondo sistema

Consideriamo ora la seconda rete dove è utilizzato il pinning control. Partia-mo col gra�care i valori nel tempo dell'errore (Figura 4.4). Passiamo quindia calcolare i parametri di confronto per poi gra�care i valori ottenuti. etotha gra�co Figura 4.5, mentre utot Figura 4.6.

4.2. RISULTATI SECONDO SISTEMA 23

Figura 4.4: valori del singolo errore (e01.time, e01.data)

Figura 4.5: etot

24 CAPITOLO 4. CONFRONTO

Figura 4.6: utot

4.3 Conclusioni

Lo studio sulle due reti è stato fatto per mettere a confronto due tipi dicontrollo, l'uno dove tutti i nodi vengono controllati attraverso controlloriPID e l'altro dove si utlizza il pinning control, per trarne delle conclusionisu quale sia meglio utilizzare e in quali casi. Dai dati ottenuti possiamoconvenire che:

• Il tempo in cui l'errore va a 0, nella rete dove tutti i sistemi sonocontrollati, è molto più breve di quello dove viene utilizzato il pinnercontrol.

• Il costo del controllo nella rete con il pinner control è inferiore a quellodove tutti i sistemi sono controllati.

Nelle due reti c'è un fattore dell'accoppiamento che non è stato preso in con-siderazione: il guadagno C all'interno della Matlab function. Nel caso incui tale guadagno dal valore 1, utilizzato nello studio, passasse a un valoresuperiore, la rete col pinner diventerà più veloce perchè i vari sistemi appli-cheranno delle coppie maggiori; aumentare la C tuttavia ha un costo che nonpuò essere non preso in considerazione. Un'analisi più esaustiva potrebbe te-ner conto di questa cosa andando a calcolare un fattore di sforzo del controllosommando tutti i termini di accoppiamento.

Bibliogra�a

[1] M. Newman, �The Structure and Function of Complex Networks�, SIAMReview, 45(2), 167-256, 2003

[2] M. Newman, M.E.J. 2010. Networks: An Introduction. Oxford, UK:Oxford University Press.

[3] D. Wattsand S. Strogatz, �Collective dynamics of small-world networks,�Nature, vol. 393, pp. 440�42, 1998.

[4] S. Strogatz, �Exploring complex networks,� Nature, vol. 410, no. 6825,pp. 268�276, 2001.

[5] G. Chen, X. Wang, and L. Xiang, Introduction to Complex Networks.John Wiley and Sons, 2012

[6] S. Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno, M. Chavez, and D. U. Hwang, �Com-plex networks: Structure and dynamics� Physics Reports, vol. 424, no. 4,pp. 175�308, Jan. 2006.

[7] R. Olfati-Saber, J. A. Fax, and R. M. Murray, �Consensus and Coopera-tion in Networked Multi-Agent Systems,� Proceedings of the IEEE, vol.95, no. 1, pp. 215�233, 2007

[8] R. Olfati-Saber and R. Murray, �Consensus problems in networks of agen-ts with switching topology and time-delays,� IEEE T Automat Contr, vol.49, no. 9, pp. 1520�1533, 2004

[9] X. Wang, �Complex Networks: Topology, Dynamics and Synchroniza-tion,� International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 12, no. 5, pp.885�916, Jun. 2002.

[10] A. Arenas, A. Diazguilera, J. Kurths, Y. Moreno, and C. Zhou, �Syn-chronization in complex networks,� Physics Reports, vol. 469, no. 3, pp.93�153, Dec. 2008.

25

26 BIBLIOGRAFIA

[11] L. Huang, Q. Chen, Y. Lai, and L. Pecora, �Generic behavior of master-stability functions in coupled nonlinear dynamical systems,� Phys. Rev.E, vol. 80, no. 3, p. 36204, 2009

[12] X. Wang and G. Chen, �Pinning control of scale-free dynamical net-works,� Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, Jan.2002.

[13] F. Sorrentino, M. Di Bernardo and G. Chen, �Controllability of complexnetworks via pinning,� Phys. Rev. E, vol. 75, no. 4, pp. 1�6, Apr. 2007.

[14] M. Por�ri and M. Di Bernardo, �Criteria for global pinning-controllability of complex networks,� Automatica, Jan. 2008.

[15] P. Delellis, M. di Bernardo, and M. Por�ri, �Pinning control of complexnetworks via edge snapping,� Chaos, vol. 21, no. 3, p. 033119, 2011.

[16] Paolo Bolzern, Riccardo Scattolini, Nicola Schiavoni, "Fondamenti dicontrolli automatici" feb. 2015.