Controllo di sistemi non lineari - sira.diei.unipg.it e Controllo/Anno... · anche il sistema non...

Controllo di sistemi non lineari

P. Valigi

Ottimizzazione e Controllo

04 Marzo 2015

OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari

x = f (x) + g(x) u, x ∈ Rn, u ∈ R,

y = h(x), y ∈ R


x = f (x) + g(x) u, x ∈ Rn, u ∈ R,

y = h(x), y ∈ R

Modelli non lineari nello stato, affini negli ingressi.


Linearizzazione per approssimazione

x = f (x) + g(x) u,

y = h(x),

x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R



x = f (x) + g(x) u,

y = h(x),

x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R

Problema di controllo: rendere(xe , ue) configurazione diequilibrio asintoticamentestabile.



x = f (x) + g(x) u,

y = h(x),

x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R

Problema di controllo: rendere(xe , ue) configurazione diequilibrio asintoticamentestabile. Equilibrio, cioe

f (xe) + g(xe) ue = 0



x = f (x) + g(x) u,

y = h(x),

x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R


f (xe) + g(xe) ue = 0

⇒



x = f (x) + g(x) u,

y = h(x),

x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R


f (xe) + g(xe) ue = 0

⇒

˙δx = Aeδx + beδu



x = f (x) + g(x) u,

y = h(x),

x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R


f (xe) + g(xe) ue = 0

⇒


Ae :=∂ (f + g u)

∂x

∣

∣

∣

∣

x=xe , u=ue

,

be :=∂ (f + g u)

∂u

∣

∣

∣

∣

x=xe

= g |x=xe.



x = f (x) + g(x) u,

y = h(x),

x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R


f (xe) + g(xe) ue = 0

⇒


Ae :=∂ (f + g u)

∂x

∣

∣

∣

∣

x=xe , u=ue

,

be :=∂ (f + g u)

∂u

∣

∣

∣

∣

x=xe

= g |x=xe.

Sistema lineare (approx piccolisegnali)



x = f (x) + g(x) u,

y = h(x),

x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R


f (xe) + g(xe) ue = 0

⇒


Ae :=∂ (f + g u)

∂x

∣

∣

∣

∣

x=xe , u=ue

,

be :=∂ (f + g u)

∂u

∣

∣

∣

∣

x=xe

= g |x=xe.


Se si riesce a stabilizzare il sistema lineare, lo stesso controllore stabilizzaanche il sistema non lineare.



x = f (x) + g(x) u,

y = h(x),

x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R


f (xe) + g(xe) ue = 0

⇒


Ae :=∂ (f + g u)

∂x

∣

∣

∣

∣

x=xe , u=ue

,

be :=∂ (f + g u)

∂u

∣

∣

∣

∣

x=xe

= g |x=xe.


Se si riesce a stabilizzare il sistema lineare, lo stesso controllore stabilizzaanche il sistema non lineare.Limiti approccio:



x = f (x) + g(x) u,

y = h(x),

x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R


f (xe) + g(xe) ue = 0

⇒


Ae :=∂ (f + g u)

∂x

∣

∣

∣

∣

x=xe , u=ue

,

be :=∂ (f + g u)

∂u

∣

∣

∣

∣

x=xe

= g |x=xe.



ok solo se x0 appartiene ad un opportuno intorno di xe ;



x = f (x) + g(x) u,

y = h(x),

x ∈ Rn, u ∈ R, y ∈ R


f (xe) + g(xe) ue = 0

⇒


Ae :=∂ (f + g u)

∂x

∣

∣

∣

∣

x=xe , u=ue

,

be :=∂ (f + g u)

∂u

∣

∣

∣

∣

x=xe

= g |x=xe.



ok solo se x0 appartiene ad un opportuno intorno di xe ;

non consente di definire a priori le prestazioni del sistemacomplessivo.


Approcci geometrici “globali”

Strumenti geometrici possono aiutare a risolvere il problema in modo piugenerale.



Strumenti geometrici possono aiutare a risolvere il problema in modo piugenerale.Due strumenti:

trasformazioni di coordinate nello spazio di stato



Strumenti geometrici possono aiutare a risolvere il problema in modo piugenerale.Due strumenti:

trasformazioni di coordinate nello spazio di stato

retroazione non lineare.


Linearizzazione tramite trasformazione di coordinate:esempio

Sistema planare:

z1 = u cos(z2) + u sin(z2)

z2 =1

z1(u cos(z2) − u sin(z2))



Sistema planare:


z2 =1


Chiaramente non lineare!



Sistema planare:


z2 =1


Chiaramente non lineare!Trasformazione di coordinate:

x1 = z1 sin(z2)

x2 = z1 cos(z2),



Sistema planare:


z2 =1



x1 = z1 sin(z2)

x2 = z1 cos(z2),

con inversa:

z1 =√

x21 + x22

z2 = atan2(x2, x1).

Nelle nuove coordinate:

x1 = z1 sin(z2) + z1z2 cos(z2)

x2 = z1 cos(z2) − z1z2 sin(z2),



Sistema planare:


z2 =1



x1 = z1 sin(z2)

x2 = z1 cos(z2),

con inversa:

z1 =√

x21 + x22

z2 = atan2(x2, x1).



x2 = z1 cos(z2) − z1z2 sin(z2),

Utilizzando il modello:




Sistema planare:


z2 =1



x1 = z1 sin(z2)

x2 = z1 cos(z2),

con inversa:

z1 =√

x21 + x22

z2 = atan2(x2, x1).



x2 = z1 cos(z2) − z1z2 sin(z2),



= (u cos(z2) + u sin(z2)) sin(z2) +

+z11

z1(u cos(z2) − u sin(z2)) cos(z2)



Sistema planare:


z2 =1



x1 = z1 sin(z2)

x2 = z1 cos(z2),

con inversa:

z1 =√

x21 + x22

z2 = atan2(x2, x1).



x2 = z1 cos(z2) − z1z2 sin(z2),




+z11


= u cos(z2) sin(z2) + u sin(z2)2 +

−u cos(z2) sin(z2) + u cos(z2)2



Sistema planare:


z2 =1



x1 = z1 sin(z2)

x2 = z1 cos(z2),

con inversa:

z1 =√

x21 + x22

z2 = atan2(x2, x1).



x2 = z1 cos(z2) − z1z2 sin(z2),




+z11


= u cos(z2) sin(z2) + u sin(z2)2 +

−u cos(z2) sin(z2) + u cos(z2)2

= u

x2 = z1 cos(z2) − z1z2 sin(z2)

= (u cos(z2) + u sin(z2)) cos(z2) +

−z11

z1(u cos(z2) − u sin(z2)) sin(z2)

= u cos(z2)2+ u cos(z2) sin(z2) +

+u cos(z2)2− u cos(z2) sin(z2)

= u.


Linearizzazione tramite trasformazione di coordinate:esempio (2)

Ricapitolando:Sistema in coordinate originali:


z2 =1

z1(u cos(z2)− u sin(z2))





z2 =1


Cambio di coordinate:

x1 = z1 sin(z2)

x2 = z1 cos(z2),





z2 =1



x1 = z1 sin(z2)

x2 = z1 cos(z2),

Sistema nelle nuove coordinate:

x1 = u

x2 = u.





z2 =1



x1 = z1 sin(z2)

x2 = z1 cos(z2),

Sistema nelle nuove coordinate:

x1 = u

x2 = u.

In coordinate opportune, il sistema e lineare.OeC - 04.03.2015 Controllo di sistemi non lineari

Strumenti di geometria differenziale

Funzione vettoriale regolare f (x) = (f1(x), . . . , fn(x))T,

f ∈ C∞(A1,A2)




f ∈ C∞(A1,A2)

A1 ed A2 opportuni domini aperti di Rn.




f ∈ C∞(A1,A2)


f (x): mappa non lineare, associa ad ogni punto del dominio A1 unvettore del dominio A2 ⊆ R

n




f ∈ C∞(A1,A2)



n

Per x ∈ A1, f (x) descrive un campo di vettori: campo vettoriale.




f ∈ C∞(A1,A2)



n


m campi vettoriali f1, . . . , fm, fi ∈ C∞(A1,A2), i = 1, 2, . . . ,m.




f ∈ C∞(A1,A2)



n



Fissato x ∈ Rn, i campi fi si riducono ad m vettori fi (x), i quali

determinano un sottospazio vettoriale G(x) di Rn.




f ∈ C∞(A1,A2)



n





Distribuzione G(x): mappa che associa ad ogni punto x ∈ A1, unsottospazio vettoriale.




f ∈ C∞(A1,A2)



n





Distribuzione G(x): mappa che associa ad ogni punto x ∈ A1, unsottospazio vettoriale.

Dati f1, . . . , fm, la corrispondente distribuzione sara denotata con

G := span{f1, . . . , fm}.


Strumenti di geometria differenziale (2)

Possono essere estesi tutti i concetti associabili agli spazi vettoriali.




In particolare l’immagine di una distribuzione ed il rango di unadistribuzione.





Operazione fondamentale tra campi vettoriali: parentesi di Lie.






Dati due campi vettoriali f e g , si dice parentesi di Lie, o prodotto

di Lie, e si indica con [f , g ], (od anche con adf g oppure Lf g), ilvettore cosi ottenuto:

[f , g ] :=∂ g

∂xf −

∂ f

∂xg .






Dati due campi vettoriali f e g , si dice parentesi di Lie, o prodotto

di Lie, e si indica con [f , g ], (od anche con adf g oppure Lf g), ilvettore cosi ottenuto:

[f , g ] :=∂ g

∂xf −

∂ f

∂xg .

Ricorsivamente si definisce la parentesi di Lie di ordine i come:

ad if g := [f , ad i−1

f g ], i ≥ 1,

ad0f g := g .



Applicazione al caso lineare




x = Ax + bu




x = Ax + bu

Ax e b campi vettoriali.




x = Ax + bu


[Ax , b] =∂ b

∂xAx −

∂ Ax

∂xb = −Ab = adAx b.




x = Ax + bu


[Ax , b] =∂ b

∂xAx −

∂ Ax

∂xb = −Ab = adAx b.

E quindi, la distribuzione

G = {b, adAx b, . . . adn−1Ax b}

vale, a meno di segni:

{b, adAx b, . . . , adn−1Ax b} = [b, Ab, . . . An−b]

Matrice di raggiungibilita del sistema lineare.



Distribuzioni commutative e distribuzioni involutive.




Due campi vettoriali f e g commutano se la loro parentesi di Lie eidenticamente nulla,

[f , g ] = 0.





[f , g ] = 0.

Per estensione, una distribuzione G := span{f1, . . . , fm} si dicedistribuzione commutativa se tutti i vettori che la compongonocommutano due a due:

[fi , fj ] = 0, i , j = 1, . . . ,m.





[f , g ] = 0.


[fi , fj ] = 0, i , j = 1, . . . ,m.

La proprieta di commutativita di due vettori non dipende dallecoordinate nelle quali vengono rappresentati i vettori.





[f , g ] = 0.


[fi , fj ] = 0, i , j = 1, . . . ,m.

La proprieta di commutativita di due vettori non dipende dallecoordinate nelle quali vengono rappresentati i vettori.

Una distribuzione G = span{f1, . . . , fm} si dice distribuzione

involutiva se la parentesi di Lie di due vettori qualunque delladistribuzione e un vettore ancora appartenente alla distribuzione:

[fi , fj ] ∈ G, i , j = 1, . . . ,m.



Ulteriore nozione: diffeomorfismo. Estensione della nozione ditrasformazione regolare di coordinate.



Ulteriore nozione: diffeomorfismo. Estensione della nozione ditrasformazione regolare di coordinate.

Un’applicazione φ tra due spazi vettoriali e un diffeomorfismo se ebiiettiva ed inoltre sia φ sia φ−1 sono applicazioni regolari.

Condizione di invertibilita: matrice Jacobiana Jφ =∂φ

∂xnon

singolare.


Linearizzazione tramite trasformazione di coordinate:teorema

Teorema (Linearizzazione mediante trasformazione di coordinate)

Dato il sistema non lineare

x = f (x) + g(x) u, x(t0) = x0, x ∈ Rn, u ∈ R,

esso e trasformabile mediante un cambio di coordinate

ξ = φ(x)

in un sistema lineareξ = A ξ + b u

con

A =

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

.

.

....

. . ....

0 0 0 · · · 0

, b =

00...1

,

se e solo se la distribuzione

G = span{g , adf g , . . . , adn−1f

g}

e commutativa.


Linearizzazione tramite retroazione: esempio

θm

l

x

y

x1 = x2

x2 = −

g

ℓsin(x1) +

1

mℓ2u,

y = x1.



θm

l

x

y

x1 = x2

x2 = −

g

ℓsin(x1) +

1

mℓ2u,

y = x1.

x1 = θ posizione angolare;

x2 velocita angolare.

u coppia/forza esterna.



θm

l

x

y

x1 = x2

x2 = −

g

ℓsin(x1) +

1

mℓ2u,

y = x1.




x = f (x) + g(x)u

y = h(x)



θm

l

x

y

x1 = x2

x2 = −

g

ℓsin(x1) +

1

mℓ2u,

y = x1.




x = f (x) + g(x)u

y = h(x)

f (x) =

[

x2

−

g

ℓsin(x1)

]

, g(x) =

[

01

mℓ2

]

, h(x) = x1,


Linearizzazione tramite retroazione: esempio (2)

x1 = x2

x2 = −g

ℓsin(x1) +

1

mℓ2u,

y = x1.



x1 = x2

x2 = −g

ℓsin(x1) +

1

mℓ2u,

y = x1.

I termini non lineari sono solonell’equazione in cui appare ilsegnale di ingresso.



x1 = x2

x2 = −g

ℓsin(x1) +

1

mℓ2u,

y = x1.

I termini non lineari sono solonell’equazione in cui appare ilsegnale di ingresso.Scegliendo la retroazione statica,non lineare, dallo stato:

u = mℓ2[g

ℓsin(x1) + v

]

,



x1 = x2

x2 = −g

ℓsin(x1) +

1

mℓ2u,

y = x1.


u = mℓ2[g

ℓsin(x1) + v

]

,

il sistema a ciclo chiuso diviene:

x1 = x2

x2 = v

y = x1.

Catena di due integratori.



x1 = x2

x2 = −g

ℓsin(x1) +

1

mℓ2u,

y = x1.


u = mℓ2[g

ℓsin(x1) + v

]

,


x1 = x2

x2 = v

y = x1.

Catena di due integratori.Stabilita?



x1 = x2

x2 = −g

ℓsin(x1) +

1

mℓ2u,

y = x1.


u = mℓ2[g

ℓsin(x1) + v

]

,


x1 = x2

x2 = v

y = x1.

Catena di due integratori.Stabilita? No!



x1 = x2

x2 = −g

ℓsin(x1) +

1

mℓ2u,

y = x1.


u = mℓ2[g

ℓsin(x1) + v

]

,


x1 = x2

x2 = v

y = x1.

Catena di due integratori.Stabilita? No!Legge stabilizzante (allocazioneautovalori)

v = −k1x1 − k2x2



x1 = x2

x2 = −g

ℓsin(x1) +

1

mℓ2u,

y = x1.


u = mℓ2[g

ℓsin(x1) + v

]

,


x1 = x2

x2 = v

y = x1.


v = −k1x1 − k2x2

Sistema a ciclo chiuso dopo laretroazione:

x1 = x2

x2 = −k1x1 − k2x2

y = x1.



x1 = x2

x2 = −g

ℓsin(x1) +

1

mℓ2u,

y = x1.


u = mℓ2[g

ℓsin(x1) + v

]

,


x1 = x2

x2 = v

y = x1.


v = −k1x1 − k2x2

Sistema a ciclo chiuso dopo laretroazione:

x1 = x2

x2 = −k1x1 − k2x2

y = x1.

Funzione di trasferimento

W (s) =1

s2 + k2s + k1


Caso generale: trasformazione di coordinate e retroazione

Problema (Linearizzazione esatta del legame ingresso-uscita)

Dato il sistema dinamico scalare

x = f (x) + g(x)u, x ∈ RnNL , u ∈ R

y = h(x), u ∈ R,

trovare, se possibile, una legge di controllo

u = α(x) + β(x)v

ed una trasformazione di coordinate

z = Φ(x)

tale che il legame ingresso-uscita, nelle nuove coordinate ed a ciclo

chiuso, sia descritto da un sistema lineare e raggiungibile:

z = Az + bv , x ∈ RnL

y = cz


Controllo di sistemi non lineari - sira.diei.unipg.it e Controllo/Anno... · anche il sistema non...

Documents

Transcript of Controllo di sistemi non lineari - sira.diei.unipg.it e Controllo/Anno... · anche il sistema non...