Controllo degli Impianti termici -...

Controllo degli Impianti termiciControllo degli Impianti termici

Modulo - Il controllo di processo: I PID

Docente - Prof. Elio USAI [email protected] Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica

Università di Cagliari

Ottobre 2018

SommarioSommario

Controllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID

• I sistemi dinamici

• Classificazione dei sistemi dinamici

• Stabilità dei sistemi dinamici

• La risposta armonica di sistemi lineari

• I sistemi in retroazione

• La stabilità dei sistemi in retroazione

• La accuratezza dei sistemi in retroazione

• La robustezza dei sistemi in retroazione

• Gli schemi di controllo

• I regolatori industriali

• La taratura dei regolatori industriali

• Configurazione anti wind-up

• Azione derivatrice sull’uscita

• Predittore di Smith

I sistemi dinamici

Sistema: insieme di elementi interagenti tra loro in modo coordinato, ed ordinato, che reagiscono a sollecitazioni dell’ambiente esterno e su di esso agiscono.

• Individuazione della frontiera che separa il sistema dall’ambiente

• Individuazione dell’influenza dell’ambiente sul sistema

• Individuazione dell’influenza del sistema sull’ambiente

• Individuazione delle relazioni tra le componenti il sistema

• Dato un insieme di elementi si possono individuare più sistemi differenti


I sistemi dinamici

Esempio: Una classe di alunni

• La frontiera non è fisica ma logica

• Le sollecitazioni esterne sono le informazioni che docenti e personale scolastico dà ad ogni alunno (singolarmente e/o in gruppi)

• La preparazione ed il comportamento degli alunni (sia singolarmente che in gruppi)

• Relazioni collaborative/competitive/affettive tra alunni

• Ogni singolo alunno può essere visto come un sistema (sottosistema)


I sistemi dinamici

Sistemi dinamici: sistemi che hanno “memoria”

• La risposta ad una sollecitazione da parte dell’ambiente può non essere istantanea

• La risposta ad una sollecitazione da parte dell’ambiente non si annulla appena la sollecitazione manca

• I sistemi dinamici fisici sono caratterizzati da fenomeni di accumulo di energia


I sistemi dinamici

Ingressi del sistema: sollecitazioni che l’ambiente applica al sistema• Sollecitazioni manipolabili (ingressi)

• Sollecitazioni non manipolabili (disturbi)

Uscite del sistema: sollecitazioni che il sistema applica all’ambiente

• Solitamente misurabili attraverso gli effetti sull’ambiente

Stato del sistema: grandezze che individuano l’energia accumulata nel sistema• Spesso non misurabili direttamente


I sistemi dinamici

u1

u2

d1

d2

y2

y1

y3

x3

x1

x4

x2

u: ingressod: disturboy: uscitax: stato


I sistemi dinamici

Esempio: linea di distribuzione idrica

d = prelievo

u = pompa

y = livello

x1 = livello

x2 = portata

x3 = livello


I sistemi dinamici

Esempio: linea di distribuzione idrica (approssimazione lineare) (#1)

+p0

p1 p2

q0

q1

L,R

C1

R0

C2

1211

012

2

10

1011

Rqppdt

dqL

qqdt

dpC

qR

pp

dt

dpC

gp

gp

Max

Max

yxqxxqdpug

DC

g

DC

d

lR

d

lL

q

pR

21

312100

22

2

21

1420 44128

4


I sistemi dinamici


pMax = 1 bar Prevalenza massima della pompa

qMax = 0.04 m3/s Portata massima

= 1000 kg/m3 Densità

l = 1000 m Lunghezza tubo

d = 0,25 m Diametro tubo

= 10-3 kg /m s Viscosità

D1 = 3 m Diametro serbatoio n°1

D2 = 4 m Diametro serbatoio n°2


I sistemi dinamici


0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

T e m p o [ m i n ]

Live

llo s

erba

toio

[m]

1 ° s e r b a t o i o2 ° s e r b a t o i o

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0

0

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

3

3 . 5

4

4 . 5

4 2 0 4 4 0 4 6 0 4 8 0 5 0 0 5 2 0

5 . 1

5 . 2

5 . 3

5 . 4

5 . 5

5 . 6

5 . 7

5 . 8

5 . 9

6

6 . 1


I sistemi dinamici


0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 00

0 . 0 0 5

0 . 0 1

0 . 0 1 5

0 . 0 2

0 . 0 2 5

0 . 0 3

0 . 0 3 5

0 . 0 4

0 . 0 4 5

0 . 0 5

T e m p o [ m i n ]

Por

tata

[m3

/s]

p o r t a t a n e l t u b op o r t a t a p r e l e v a t a


I sistemi dinamici

Rappresentazione di un sistema dinamico

qpn RRR

t

tt

uyxxhy

uxfx

,

,,˙

f è un vettore di funzioni che definiscono la dinamica delle variabili di stato x, eventualmente in presenza dell’ingresso u, ed h è il vettore della trasforma-zione in uscita che lega lo stato con l’uscita y

Se le funzioni non dipendono dal tempo, e l’ingresso può essere rappresentato da funzioni esplicite dello stato, il sistema si dice autonomo

pn RRt

yxxhy

xfx

Se l’ingresso influenza direttamente la trasformazione in uscita il sistema presenta una componente istantanea

qpn RRRtt

tt

uyxuxhy

uxfx

,,

,,˙


I sistemi dinamici

Rappresentazione di un sistema dinamico lineare

qpn RRRDC

BA

uyxuxy

uxx

A rappresenta le relazioni/interconnessioni tra gli elementi costituenti il sistema

B rappresenta il modo con cui gli ingressi agiscono sugli elementi costituenti il sistema

C rappresenta il modo con cui l’energia del sistema influenza l’ambiente

D rappresenta il modo modo cui il sistema trasferisce istantaneamente l’ingresso sull’uscita

Il “modo” di comportarsi del sistema dipende solo dalla matrice A, mentre le matrici B e C indicano come le caratteristiche proprie del sistema sono influenzate/influenzano l’ambiente


Classificazione dei sistemi dinamici

Sistema lineare: un sistema dinamico si dice lineare se vale il principio di sovrapposizione degli effetti .

• Il comportamento complessivo del sistema è definibile dalla combinazione del comportamento del sistema sollecitato da un solo ingresso/disturbo per volta

• La dinamica è definibile mediante un insieme di equazioni differenziali lineari

p

qn

ttDtC

ttBtA

R

RR

yuxy

uxuxxn variabili di statoq ingressip uscite



Sistema non lineare: un sistema dinamico si dice non lineare se non vale il principio di sovrapposizione degli effetti .

• Il comportamento complessivo del sistema è estremamente variabile in funzione del punto di funzionamento, delle caratteristiche della sollecitazione, etc.

• La dinamica è definibile mediante un insieme di equazioni differenziali in cui compaiono funzioni non lineari

n variabili di statoq ingressip uscite

p

qn

tt

tt

R

RR

y

ux

uxhy

uxfx

,,

,,˙



Una approssimazione lineare di un sistema non lineare, nelle vicinanze di un punto di funzionamento, può essere ottenuta mediante sviluppo in serie di Taylor fermata al primo ordine.

La dinamica delle variazioni x,u,y è approssimata da una dinamica lineare

caratterizzata dalle matrici A(nxn), B(nxq), C(pxn), e D(pxq) definite tramite gli

Jacobiani delle funzioni vettoriali f ed h rispettivamente, valutati in (x*, u*).

qpn RRR

uyxuxhy

uxfx

,

,˙

Si consideri una condizione di funzionamento stazionario x*, u* tale che 0uxf **,

** uuuxxx

u

u

uxhx

x

uxhy

uu

uxfx

x

uxfx

uxux

uxux

**,**,

**,**,

,,

,,

˙



Esempi di non linearità.

Prodotto tra variabili di stato accelerazione centrifuga/Coriolis

Valore assoluto attrito fluidodinamico

Funzione segno attrito secco

Funzioni trigonometriche vincoli geometrici nei robot

Saturazione materiali ferromagnetici

Back-slash ingranaggi meccanici

Isteresi relè elettromeccanici

Radice quadrata efflusso di fluidi da forami



Sistemi stazionari: i parametri della dinamica del sistema non variano nel tempo

t

t

uxhy

uxfx

,

,

˙

2212

21

sin xml

bx

l

gtx

txtx

˙

˙

x1

mg

l

m

b

Esempio: il pendolo



Sistemi tempo varianti: i parametri della dinamica del sistema variano nel tempo

tt

tt

,,

,,

uxhy

uxfx

˙

Esempio: un autoveicolo

mfv CybvyvySytmeq

˙˙˙˙

m: massa, varia nel tempo a causa del consumo di combustibilev: coefficiente di attrito fluidodinamicoSfeq: superficie frontale equivalentev: velocità del vento, componente frontale - disturbob: coefficiente di attrito viscosoy: posizione dell’autoveicolo, uscitaCm: coppia motrice, ingresso



Sistemi a parametri concentrati: le caratteristiche parametriche del sistema si possono considerare concentrate in elementi singoli

• Un oggetto è considerato un corpo rigido caratterizzato dalla massa e dai momenti d’inerzia rispetto agli assi principali

• Le proprietà fisiche (massa, temperatura, pressione, etc) non sono funzione di coordinate spaziali

• La loro dinamica è descritta da equazioni differenziali ordinarie

• I modelli finora descritti sono “a parametri concentrati”



Sistemi a parametri distribuiti: le caratteristiche parametriche del sistema variano spazialmente

• Fenomeni di diffusione e trasmissione del calore

• Le proprietà fisiche (massa, temperatura, pressione, etc) sono funzione di coordinate spaziali

• La loro dinamica è descritta da equazioni differenziali alle derivate parziali

• I sistemi fluido-dinamici sono sistemi a parametri distribuiti

• Possono essere rappresentati da dinamiche stazionarie con ritardo finito



Progetto Noè - Sistemi di telegestione e telecontrollo – Il controllo di processo: i PID – Febbraio 2008

Sistemi strettamente causali: l’uscita non dipende direttamente dall’ingresso, ma da questo è influenzata attraverso lo stato

ubdt

dub

dt

udb

dt

udbya

dt

dya

dt

yda

dt

ydm

m

mm

m

mn

n

nn

n

011

1

1011

1

1

⋯⋯

Equazione differenziale

n>m sistema strettamente causalen=m sistema causalen<m sistema non causale

I sistemi non causali non sono realizzabili, ma possono essere una approssimazione in bassa frequenza di sistemi reali


Sistemi SISO: sono caratterizzati da un solo ingresso ed una sola uscita

ubdt

dub

dt

udb

dt

udbya

dt

dya

dt

yda

dt

ydm

m

mm

m

mn

n

nn

n

011

1

1011

1

1

⋯⋯

Equazione differenziale – sistemi lineari

Su(t) y(t)



Sistemi MIMO: sono caratterizzati da più ingressi e più uscite

q

q

m

ii

qi

qip

m

ii

i

ip

m

ii

i

ipppp

pn

pn

pnn

pn

m

ii

qi

qi

m

ii

i

i

m

ii

i

in

n

nn

n

dt

udb

dt

udb

dt

udbya

dt

dya

dt

yda

dt

yd

dt

udb

dt

udb

dt

udbya

dt

dya

dt

yda

dt

yd

1,,

1

22,,

1

11,,,0,11

1

,1

1,,1

1

22,,1

1

11,,111,0

11,11

11

1,11

21

21

⋯⋯

⋮

⋯⋯

Sistema di equazioni differenziali – sistemi lineari

S

u1(t) y1(t)u2(t) y2(t)

uq(t) yp(t)... ...



Sistemi MIMO lineari

u1(t) y1(t)

u2(t) y2(t)

S11

S12

S21

S22

+

+

Se i blocchi S12 e S21 sono “poco influenti” il loro effetto può essere rappresentato come disturbi su 2 sistemi SISO


Stabilità dei sistemi dinamici

La proprietà di stabilità è riferita, in generale, ai punti di equilibrio xeq, ovvero le soluzioni ammissibili della equazione non lineare 0xf eq

Un sistema non lineare può avere un numero finito o infinto di punti di equilibrio, ciascuno dei quali può essere stabile, instabile o di sella

Un sistema può presentare comportamenti i più vari, da quelli con un solo punto di equilibrio globalmente stabile a quelli con un’infinità di punti di equilibrio, funzionamenti apparentemente non deterministici (es. sistemi caotici), funzionamenti oscillatori permanenti autonomi (cicli limite), convergenza/divergenza in tempo finito o asintotica, etc.

Uno stesso sistema di equazioni differenziali può presentare comportamenti e proprietà completamente differenti al variare dei parametri: possono comparire/sparire punti di equilibrio (biforcazioni), oppure modificarsi le condizioni di stabilità, etc. Questo comporta la necessità di analisi specifiche caso per caso, che sono molto semplificate nel caso di sistemi lineari.

Un sistema lineare può avere o un solo punto di equilibrio, stabile o instabile o infiniti punti di equilibrio non disgiunti



txtx

txtx

22

211 1

˙

˙

ile stabx

x

eq

eq

0

1

2

1

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

5

x1

x 2

e q . S t a b i l e p . t o S e l l a

- 1 - 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6- 1 . 5

- 1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

x1

x 2

212

21

sgn3.0sgn xxtx

txtx

˙

˙

instabile x

x

eq

eq

0

0

2

1

selladi punto x

x

eq

eq

0

1

2

1



ili stab

x

kkx

eq

eq

0

,1,02

2

1

2212

21

sin xml

bx

l

gtx

txtx

˙

˙

instabili

x

kkx

eq

eq

0

,1,012

2

1

x1

mg

l

m

b

- 2 0 2 4 6 8- 6

- 4

- 2

0

2

4

6

x1

x 2



22

21

sgn3.0 xtx

txtx

˙

˙

ile stabx

Rx

eq

eq

02

1

- 8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8- 2

- 1 . 5

- 1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

2

x 1

x 2



0

0

2211

2

121

eq

eq

xxm

bx

m

ktx

xtxtx

˙

˙

x1

k1

b

m

- 4 - 2 0 2 4 6 8- 6

- 4

- 2

0

2

4

6

x1

( p o s i z i o n e )

x 2 (v

eloc

ità)

T r a i e t t o r i a d e l l o s t a t o



0222

121

eq

eq

xxm

btx

xtxtx

˙

˙ R

x1

b

m

- 4 0 4 8 1 2 1 6- 2

- 1

0

1

2

3

4

5

6

x1

( p o s i z i o n e )

x 2 (vel

ocità

)

T r a i e t t o r i a d e l l o s t a t o



nRt xxfxDato un sistema autonomo

un suo punto di equilibrio xeq si definisce stabile secondo Lyapunov se

00 ,,00 tt RBtrBt che tale Rr R eqeq xxxx

essendo B(X,)={xRn: ||x-X|| la bolla di raggio centrata in X

xeq

R

r

Il valore di R può essere preso arbitrariamente piccolo, ed il punto di equilibrio sarà stabile solo se esiste un intorno, di raggio r, del punto di equilibrio tale che per qualunque perturbazione entro tale intorno la traiettoria nel sistema rimane sempre confinata ne l’intorno di raggio R



Il punto di equilibrio xeq si definisce asintoticamente stabile se è stabile ed inoltre risulta

0lim eq

tt xx

La traiettoria perturbata a partire da un punto interno alla circonferenza di raggio r, oltre a non uscire mai dalla circonferenza di raggio R, tende a convergere verso il punto di equilibrio al passare del tempo

xeq

R

r



La stabilità di un punto di equilibrio implica che i moti perturbati possono essere confinati in un intorno arbitrariamente piccolo di tale punto limitando l’ampiezza della perturbazione.

La asintotica stabilità di un punto di equilibrio implica che i moti perturbati, oltre a poter essere confinati in un intorno arbitrariamente piccolo di tale punto limitando l’ampiezza della perturbazione, tendono a riportarsi nella condizione di equilibrio.

La limitatezza della traiettoria perturbata non implica la stabilità del punto di equilibrio.



instabile x

x

eq

eq

0

0

2

1

12

222

5212

211

2xxtxx

xxxtxx

˙

˙

Tutte le traiettorie convergono verso l’origine, però qualunque perturbazione con punto iniziale nei quadranti pari, anche piccola, genera una traiettoria che rimane esterna ad un dominio i cui limiti sono prossimi alle traiettorie verdi.L’origine è un punto di equilibrio instabile, ma anche un punto di attrazione del sistema.

00lim

tt

x

- 1 . 5 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5- 1 . 5

- 1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

x 1

x 2



Stabilità: un sistema dinamico lineare si dice stabile se, a partire da una qualunque condizione iniziale, tende a dissipare tutta l’energia interna iniziale.

• L’evoluzione libera dello stato, e quindi delle uscite, tende a zero.

• Il sistema sollecitato da un ingresso limitato mantiene limitate tutte le variabili di stato, e quindi le uscite.

• Se l’evoluzione libera dello stato diverge, il sistema si dice instabile.

• Se l’evoluzione libera dello stato tende ad un valore costante o presenta oscillazioni permanenti, il sistema si dice al limite di stabilità



Stabilità dei sistemi lineari: dipende dal segno della parte reale delle radici dell’equazione caratteristica.

ubdt

dub

dt

udb

dt

udbya

dt

dya

dt

yda

dt

ydm

m

mm

m

mn

n

nn

n

011

1

1011

1

1

⋯⋯


0011

1 asasas n

nn ⋯

Equazione caratteristica

nP ,,, 21

Radici (poli o autovalori)

stabilità di limite al sistema

instabile sistema

stabile menteasintotica sistema

0

0

\

,,

0

,,2,10

j

kh

k

k

i

JIj

khJkh

IJkIk

nIi


La risposta armonica di sistemi lineari

Risposta armonica: un sistema dinamico lineare stabile risponde, a regime, ad un qualunque ingresso sinusoidale con un andamento sinusoidale delle variabili di stato, e quindi anche dell’uscita, di frequenza pari a quella del ingresso e con ampiezza e fase dipendenti dalla frequenza della sollecitazione.

• Dalla conoscenza della risposta armonica a tutte le frequenze si conosce il comportamento del sistema rispetto a qualunque sollecitazione (ingresso/disturbo)

t u sin t My sin



Esempio: linea di distribuzione idrica (approssimazione lineare)

D i a g r a m m a d i r i s p o s t a a r m o n i c a

P u l s a z i o n e [ r a d / s e c ]

Fas

e [d

eg]

Mod

ulo

[dB

]

1 0- 5

1 0- 4

1 0- 3

1 0- 2

1 0- 1

- 2 7 0

- 2 2 5

- 1 8 0

- 1 3 5

- 9 0

- 4 5

0

S y s t e m : s y s F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 0 0 4 4 6 P h a s e ( d e g ) : - 9 0

- 1 8 0

- 1 6 0

- 1 4 0

- 1 2 0

- 1 0 0

- 8 0

- 6 0

S y s t e m : s y s F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 0 0 4 4 7

M a g n i t u d e ( d B ) : - 1 0 5

Un ingresso sinusoidale con =0.0045 rad/s viene attenuato in uscita di 105 dB (circa 177830 volte) e sfasato in quadratura (/4) in ritardo



Un segnale è caratterizzabile mediante il suo spettro, ovvero dall’insieme delle funzioni armoniche (sinusoidali) in cui può essere scomposto

Un segnale periodico ha uno spettro costituito da un insieme numerabile di armoniche

0

2sink

kTk tkctytyTty

Un segnale non periodico ha uno spettro costituito da un insieme di armoniche con la potenza del continuo

dtetyjYty tj

1



0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 40

2 0 0 0

4 0 0 0

6 0 0 0

8 0 0 0

1 0 0 0 0

1 2 0 0 0

S p e t t r o d e l l ' o n d a q u a d r a

f r e q u e n z a ( H z )

T = 1 H zT = 0 . 1 H z Man mano che il

periodo dell’onda quadra aumenta il segnale tende ad un segnale costante e lo spettro si infittisce e tende and uno spettro continuo



0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0- 2

- 1 . 5

- 1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

2

T e m p o [ s ]

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0- 2

- 1 . 5

- 1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

2

T e m p o [ s ]

R i s p o s t a a r m o n i c a d e l s i s t e m a

P u l s a z i o n e ( r a d / s e c )

Fas

e (d

eg)

Mod

ulo

(dB

)

1 00

1 01

1 02

- 1 8 0

- 1 3 5

- 9 0

- 4 5

0

- 5 0

- 4 0

- 3 0

- 2 0

- 1 0

0

1 0

Le componenti armoniche intorno ad 1 Hz vengono amplificate dal sistema.Le frequenze superiori a 1.4 Hz vengono significativamente attenuate



0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 20

2 0 0 0

4 0 0 0

6 0 0 0

8 0 0 0

1 0 0 0 0

1 2 0 0 0

F r e q u e n z a [ H z ]

S p e t t r o d e l l ' i n g r e s s oS p e t t r o d e l l ' u s c i t a



0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 1 . 1 1 . 20

2 0 0

4 0 0

6 0 0

8 0 0

1 0 0 0

1 2 0 0

1 4 0 0

1 6 0 0

1 8 0 0

2 0 0 0





1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 20

2 0

4 0

6 0

8 0

1 0 0

1 2 0

1 4 0

1 6 0

1 8 0

2 0 0





La risposta armonica è caratterizzata da:

• Modulo a frequenza nulla (guadagno): indica di quanto vengono amplificati/attenuati i segnali costanti

• Modulo di risonanza: indica l’amplificazione massima ottenibile

• Frequenza di risonanza: indica la frequenza a cui si ha l’amplificazione massima

• Banda passante: indica il valore di frequenza oltre la quale l’attenuazione rispetto al guadagno è sempre superiore a –3dB

MdB=20Log10M=2f

L’uso del diagramma di Bode per la rappresentazione della risposta armonica (moduli in decibel [dB]) consente di trasformare le moltiplicazioni in somme



R i s p o s t a a r m o n i c a d e l s i s t e m a


Fas

e (d

eg)

Mod

ulo

(dB

)

1 00

1 01

1 02

- 1 8 0

- 1 3 5

- 9 0

- 4 5

0

- 5 0

- 4 0

- 3 0

- 2 0

- 1 0

0

1 0

r 3

Mr

- 3 d B



Lo spettro del segnale in uscita da un sistema lineare è calcolabile moltiplicando, frequenza per frequenza, lo spettro del segnale di ingresso con quello del sistema

jUjSjY

Ogni spettro è caratterizzato da modulo e fase. I moduli vengono moltiplicati e le fasi sommate, frequenza per frequenza

Utilizzando la trasformazione in decibel

degdegdeg

dBdBdB

jYjYjY

jUjSjY

argargarg



La risposta armonica da informazioni anche sulla risposta a segnali costanti (risposta indiciale)

Maggiore la banda passante Maggiore prontezza

Maggiore modulo alla risonanza Maggiore sovraelongazione

Maggiore guadagno Maggiore amplificazione

La combinazione di banda passante e sovraelonazione (smorzamento ) influenza il tempo di assestamento

2

%1

1

3

;2

1;min5

esB

teqeq iia



D i a g r a m m i d i r i s p o s t a a r m o n i c a


Fas

e (d

eg)

Mod

ulo

(dB

)

- 5 0

- 4 0

- 3 0

- 2 0

- 1 0

0

1 0

1 00

1 01

1 02

- 1 8 0

- 1 3 5

- 9 0

- 4 5

0

43 1

2



0 1 2 3 4 5 60

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

T e m p o [ s ]

R i s p o s t e i n d i c i a l i

1

2

3

4



Il risposta armonica di un sistema lineare può essere valutata a partire dalla sua Funzione di Trasferimento.

ubdt

dub

dt

udb

dt

udbya

dt

dya

dt

yda

dt

ydm

m

mm

m

mn

n

nn

n

011

1

1011

1

1

⋯⋯


Trasformata unilaterale di Laplace

X (s)=L {x (t)}=∫0

∞

e−st x (t )dt

s=α+ j ω

[ sn+an−1 sn−1

+…+a1 s+a0]Y (s)=[bm sm+bm−1 sm−1

+…+b1 s+b0]U (s)



Y (s)=G(s )U (s)

G(s)=bm sm+bm−1 sm−1+…+b1 s+b0

sn+an−1 sn−1

+…+a1 s+a0

La Funzione di Trasferimento G(s) permette di calcolare la trasformata di Laplace dell'uscita nota quella dell'ingresso.

G( j ω)=bm( j ω)

m+bm−1( j ω)

m−1+…+b1 j ω+b0

( j ω)n+an−1( j ω)n−1+…+a1( j ω)+a0

La Risposta armonica può calcolarsi dalla Funzione di Trasferimento G(s) ponendo s=jw.


I sistemi in retroazione

Sistemi con retroazione: sono caratterizzati dal fatto che l’uscita del sistema è confrontata con un segnale di ingresso per valutare lo scostamento tra valori attesi ed ottenuti

G: blocco di catena direttaH: blocco di retroazioneGH: sistema a ciclo aperto

G

H

yr +_

e

z

y: segnale di uscitar: segnale di riferimentoe: segnale di errorez: misura del segnale di uscita



Lo spettro di un sistema in retroazione è calcolabile utilizzando le proprietà filtranti di ciascun blocco

jωYjωHjωZ

jωEjωGjωY

jωZjωRjωE

G

H

yr +_

e

z

Y ( j ω)=G( j ω)

1+H ( j ω)G ( j ω)R( j ω)



La composizione dei blocchi tenendo conto della loro risposta armonica in funzionamento singolo è possibile se non sono presenti effetti di carico

Effetto di carico: modifica della relazione ingresso uscita di un sottosistema a causa della sua connessione con un blocco a valle

vi

vo

R

Rvi

vo

R

R

R

R

io vv2

1

io vv5

1



Nel range di frequenze in cui |HG|»1 la risposta armonica a ciclo chiuso è circa l’inverso della risposta armonica del blocco di retroazione

jωY

jωGjωH

jωGjωY

1

HHG

GW

HG

1

1

Nel range di frequenze in cui |HG|«1 la risposta armonica a ciclo chiuso è circa uguale alla risposta armonica del blocco di catena diretta

GHG

GW

HG

01




Fas

e (d

eg)

Mod

ulo

(dB

)

- 8 0

- 6 0

- 4 0

- 2 0

0

2 0

4 0

1 0- 1

1 00

1 01

1 02

- 2 7 0

- 2 2 5

- 1 8 0

- 1 3 5

- 9 0

- 4 5

0

GHH GW

GHH GW

GHH GW





Fas

e (d

eg)

Mod

ulo

(dB

)

- 8 0

- 6 0

- 4 0

- 2 0

0

2 0

4 0

1 0- 1

1 00

1 01

1 02

- 2 7 0

- 2 2 5

- 1 8 0

- 1 3 5

- 9 0

- 4 5

0

GHH GW

GHH GW

GHH GW


|HG|«1

|HG|»1



Nel range di frequenze in cui |HG| 1 (0 dB) la risposta armonica del sistema a ciclo chiuso dipende molto dalla fase della risposta armonica del sistema a ciclo apertoLa banda passante a ciclo chiuso ricadrà comunque nel range di frequenze in cui |HG| 1

t: pulsazione di attraversamento (pulsazione a cui |HG| = 1)

2B3 = 3 t

t |rad/s (35) B3|Hz





Fas

e (d

eg)

Mod

ulo

(dB

)

1 0- 1

1 00

1 01

1 02

- 2 7 0

- 2 2 5

- 1 8 0

- 1 3 5

- 9 0

- 4 5

0

- 8 0

- 6 0

- 4 0

- 2 0

0

2 0

4 0

S y s t e m : u n t i t l e d 1 F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 2 . 7 8

M a g n i t u d e ( d B ) : - 0 . 0 1 6 5

S y s t e m : W F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 0 . 1 M a g n i t u d e ( d B ) : 1 8 . 9

S y s t e m : W F r e q u e n c y ( r a d / s e c ) : 4 . 3 4 M a g n i t u d e ( d B ) : 1 5 . 9

H GW

3 t

025.43

B

t



Nel range di frequenze in cui |HG| 1 (0 dB) la risposta armonica del sistema a ciclo chiuso può presentare un picco di risonanza

L’ampiezza del picco di risonanza dipende dalla fase della risposta armonica a ciclo aperto in tale range di frequenze

c: pulsazione critica (pulsazione a cui arg{HG} = -180 deg)

Mr|W

dBHGc

0 degHGarg

t 180ovvero

r|W t|HG



G1HW1

G2HW2

G3HW3

GH: ciclo apertoW:ciclo chiuso



Fas

e (d

eg)

Mod

ulo

(dB

)

- 1 0 0

- 5 0

0

5 0

1 0- 1

1 00

1 01

1 02

- 2 7 0

- 2 2 5

- 1 8 0

- 1 3 5

- 9 0

- 4 5

0

4 5

9 0

1 3 5

1 8 0

2 2 5

t 1 t 2

t 3



Un sistema in retroazione è sempre riconducibile ad una serie di due sistemi di cui uno con retroazione unitaria

G

H

yr +_

e

z

G yr +

_e1H-1 Hr1

W1



Solitamente il blocco di retroazione H è caratterizzato da una banda passante molto elevata in quanto rappresenta i dispositivi di misura che devono adattare l’ampiezza dei segnali di uscita senza modificarne significativamente il contenuto informativo

H costante

Il comportamento dinamico del sistema in retroazione è uguale a quello del sistema a retroazione unitaria e blocco di catena diretta coincidente con quello a ciclo aperto, con una modifica dei moduli circa costante a tutte le frequenze

Banda passante: inalterataModulo alla risonanza inalteratoPulsazione di risonanza: inalterataGuadagno: modificato


Stabilità dei sistemi in retroazione

La stabilità dei sistemi in retroazione può essere valutata semplicemente dalla risposta armonica del ciclo aperto sotto alcune condizioni:

• il sistema a ciclo aperto è stabile

• la risposta armonica del sistema a ciclo aperto ha una sola pulsazione di attraversamento

• la risposta armonica del sistema a ciclo aperto ha una sola pulsazione critica

La stabilità a ciclo chiuso si valuta rispetto al sistema a retroazione unitaria equivalente, ed alla sua parte in retroazione W1 in particolare



G y+_e1 Hr1

W1

Ipotesi: ingresso nullo ed uscita sinusoidale con pulsazione c a causa di condizioni iniziali non nulle

tYty

tyte

teHGty

c

c

sin1

1

crescente ampiezza di nioscillazio

costante ampiezza di nioscillazio

edecrescent ampiezza di nioscillazio

1

1

1

c

c

c

HG

HG

HG



R i s p o s t a a r m o n i c a a c i c l o a p e r t o


Fas

e (d

eg)

Mod

ulo

(dB

)

1 0- 2

1 0- 1

1 00

1 01

- 2 7 0

- 2 2 5

- 1 8 0

- 1 3 5

- 9 0

- 4 5

0

- 4 0

- 3 0

- 2 0

- 1 0

0

1 0

2 0

3 0

1

2

3

c 1 c 2

c 3



T e m p o ( s )

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5- 1 0

- 8

- 6

- 4

- 2

0

2

4

6

8

1 0

1

1

2

3

Risposta indiciale



Si definisce margine di stabilità la “distanza” tra la condizione di funzionamento effettivo del sistema in retroazione e la condizione di limite di stabilità (oscillazioni permanenti)

La misura del margine di stabilità può essere fatta rispetto alla pulsazione critica, che definisce il periodo delle oscillazioni permanenti: margine di guadagno

dBccdBg jHjGm

La misura del margine di stabilità può essere fatta anche rispetto al ritardo di fase corrispondente alla condizione di modulo unitario della risposta armonica a ciclo aperto: margine di fase

degccdeg

jHjGm arg180

margini di stabilità negativi indicano l’instabilità a ciclo chiuso


Accuratezza dei sistemi in retroazione

Accuratezza: scostamento, a regime, tra comportamento desiderato ed effettivo del sistema di controllo

tytrkte d

Errore: distanza istantanea tra comportamento desiderato (solitamente di tipo proporzionale) ed effettivo

teet lim

Valutabile sulla base del comportamento a regime dei sistemi, e quindi con l’applicazione del concetto di risposta armonica



Il blocco di retroazione è approssimabile con una costante H=1/kd

G

H

yr +_

e

z

tytrtedk1

G y=kdre=0

Per ottenere un errore nullo a regime, la forma dell’uscita desiderata deve essere un comportamento proprio del blocco di catena diretta



Affinché la condizione di errore nullo sia realizzabile il blocco G deve contenere un integratore

G

1/kd

y=kdRr=R (cost) +_

e=0

z=R

Esempio: controllo del livello in un serbatoio attraverso la valvola di ingresso

Principio del modello interno



G

1/kd

yr(t) +_

e

z

n° integratori 0 1 2

r=1 0 0

r=t 0

r=½t2

Gd

d

kk

k

2

G

d

k

k 2

G

d

k

k 2

Errori a regime per ingressi canonicikG: guadagno

del blocco G

In presenza di integratori il guadagno viene valutato scorporandoli dal diagramma di risposta armonica


Robustezza dei sistemi in retroazione

Robustezza alle variazioni parametriche: capacità di mantenere pressoché inalterato il legame ingresso uscita del sistema in retroazione anche in presenza di variazioni dei parametri dei sottosistemi che lo compongono

GH

GH

W

H

dH

dWS

GHW

G

dG

dWS

GH

GW

HdH

WdW

WH

GdG

WdW

WG

1

1

1

1

Se |GH| »1 il sistema in retroazione è circa insensibile alle variazione dei parametri di G, mentre risente in modo tal quale delle variazioni parametriche di H



Robustezza ai disturbi: capacità di mantenere l’uscita pressoché insensibile all’azione di disturbi

G1

H

yr(t) +_

e

z

+ + G2

+++

+d2

d1

n

HGG

HGGW

HGG

GGW

HGG

GW

HGG

GGW

dn

dr

21

21

21

21

21

2

21

21

11

11

2

1

Un modulo elevato di G1 consente di attenuare l’effetto di disturbi sulla catena diretta

Sono difficilmente attenuabili i disturbi sulla retroazione



L’effetto dei disturbi a regime può essere valutato applicando il concetto di risposta armonica

Il blocco G1, a monte del disturbo, deve “conoscere” la forma del disturbo medesimo

G1

H

y=0r +_

e=0

z

+

+ G2

d1

w

w=-d1

G1y=0e=0

+

+ G2

d1

w



G1

1/kd

yr=0 +_

e

z

+

+ G2

d1

w

n° integratoriin G1

0 1 2

d1=1 0 0

d1 =t 0

r=½t2

21

2

GGd

Gd

kkk

kk

1G

d

k

k

1G

d

k

k

La tabella è valida nell’ipotesi di assenza di integratori in G2

Errori a regime per disturbi canonici


Gli schemi di controllo

Controllo in retroazione, single-loop

L’azione di controllo è funzione della differenza tra comportamento atteso ed effettivo dell’unica variabile.

Le interazioni sono viste come disturbi

Aattuatore

Pprocesso

Ccontrollore

Ttrasduttore

+

+

+r(t) e(t) u(t) m(t)

d(t)

y(t)

ym(t)

_

Ffiltro

z(t)

Controllore

+

n(t)

+



jFjTjPjAjC

jPjAjCjWr

1

jFjTjPjAjC

jPjWd

1

jFjTjPjAjC

jPjAjCjFjWn

1

Controllo in retroazione, single-loop



Controllo in retroazione, cascade control

L’azione di controllo è realizzata con l’implementazione di due loop “nested”.

Aattuatore

P1processo

C1controllore

T1trasduttore

++

+r(t) u(t) m(t) d(t) y(t)

_

F2filtro

+

n2(t)+

T2trasduttore

P2processo

C2controllore

+_

F1filtro

+

n1(t)+

ControlloreControllo degli impianti termici – Il controllo di processo: I PID


Controllo in retroazione, cascade control

1121212222

1221

1 FTPAPCCFTAPCPAPCC

Wr

1121212222

12

1 FTPAPCCFTAPCPP

Wd

1121212222

1222

12 FTPAPCCFTAPC

PAPCFWn

1121212222

12211

11 FTPAPCCFTAPCPAPCCF

Wn



Controllo Feed-Forward

L’azione di controllo è realizzata con l’implementazione di due azioni di controllo; una in avanti (predittiva) ed una in retroazione (correttiva)

Aattuatore

Pprocesso

C1controllore

Ttrasduttore

+

+

+r(t)

e(t) u(t) m(t)

d(t)

y(t)

ym(t)

_

Ffiltro

z(t)

Controllore

+

n(t)

+

C2controllore

C3controllore

+

+-



Controllo Feed-Forward

1

1

11

1 1

12

1

21

APTFC

APCW

APC

APTFC

APCCW rr

0

11

13

1

3

dd WA

CAPTFC

PACW

APTFCAPFC

Wn1

1

1



Controllo Split-range

L’azione di controllo è realizzata mediante due controllori che agiscono separatamente in zone differenti di lavoro

A1attuatore

P3processoC1

controllore

Ttrasduttore

+

+

+r(t) e(t)d1(t)

y(t)

ym(t)

_

Ffiltro

z(t)

Controllore

+

n(t)

+

C2controllore

A2attuatore

P1processo

P2processo

+

+

d2(t)



Controllo Split-range

01

01

3222

3222

3111

3111

eTFPPAC

PPAC

eTFPPAC

PPAC

Wr

01

01

3222

31

3111

31

1

eTFPPAC

PP

eTFPPAC

PP

Wd

01

01

3222

3222

3111

3111

eTFPPAC

PPAFC

eTFPPAC

PPAFC

Wn



Controllo Override

L’azione di controllo è realizzata normalmente sulla base di una variabile di processo, ma se un’altra variabile entra in un campo critico l’azione si realizza sulla base di quest’ultima

Controllo di rapporto

Le azioni di controllo sono effettuate sulla base del calcolo del rapporto tra due variabili di processo

Controllo Gain-scheduling

Il controllore ha tarature dipendenti in funzione della zona di lavoro



Controllo adattativo

Il controllore ha tarature dipendenti dai parametri del processo, che vengono stimati in linea

Controllo multivariabile

Le azioni di controllo sulle variabili manipolabili dell’impianto vengono gestite in maniera coordinata

Controllo LQR

Il controllore viene tarato per rendere minimo un indice di qualità. Caso specifico, lineare, del controllo ottimo



Predittore di SmithÈ un controllore che stima il ritardo di processo e lo compensa in modo che l’azione di controllo non ne risenta

Anti Wind-upStruttura di controllo che evita il fenomeno della carica integrale, presente ogni qual volta c’è un’azione di integrazione nel controllore

Controllo a relé

Il controllore ha solo due stati che vengono selezionati sulla base di una funzione di commutazione


I regolatori industriali

I regolatori industriali sono dei controllori a struttura fissa in cui l’uscita è una combinazione lineare di funzioni elementari del segnale in ingresso (l’errore)

Ce(t) u(t)

tututu

dt

tdekdektektu

DIP

D

t

IP

0



Azione proporzionale: componente istantanea dell’azione di controllo

• Incrementa la accuratezza del sistema di controllo• Incrementa le proprietà di reiezione ai disturbi in catena diretta• Aumenta la banda passante del sistema di controllo

• Riduce i margini di stabilità del sistema di controllo• Potrebbe aumentare le oscillazioni della risposta indiciale del sistema di controllo• Potrebbe aumentare il tempo di assestamento del sistema di controllo

C yr +_

e

+

+ P

d1

w



R i s p o s t a a r m o n i c a d i c a t e n a d i r e t t a


Fas

e (d

eg)

Mod

ulo

(dB

)

- 1 0 0

- 8 0

- 6 0

- 4 0

- 2 0

0

2 0

1 0- 1

1 00

1 01

1 02

- 2 7 0

- 2 2 5

- 1 8 0

- 1 3 5

- 9 0

- 4 5

0

P

k P = 0 . 5

k P = 4 k P = 7



0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0- 2

- 1

0

1

2

3

4R i s p o s t a i n d i c i a l e

T e m p o [ s ]

kP

= 7

kP

= 0 . 5

kP

= 4



Azione integrale: componente storica dell’azione di controllo• Incrementa la accuratezza del sistema di controllo per segnali in bassa

frequenza• Riproduce fedelmente, a regime, segnali di riferimento costanti• Incrementa le proprietà di reiezione ai disturbi in bassa frequenza agenti

in catena diretta• Reietta completamente, a regime, disturbi costanti

• Introduce un ritardo fisso di –90° sul ciclo aperto• Riduce i margini di stabilità del sistema di controllo• Potrebbe aumentare le oscillazioni della risposta indiciale del sistema di controllo• Potrebbe aumentare il tempo di assestamento del sistema di controllo

4sincossin tttutte II kk π

2



R i s p o s t a a r m o n i c a d i c a t e n a d i r e t t a


Fas

e (d

eg)

Mod

ulo

(dB

)

- 1 2 0

- 1 0 0

- 8 0

- 6 0

- 4 0

- 2 0

0

2 0

1 0- 1

1 00

1 01

1 02

- 3 6 0

- 2 7 0

- 1 8 0

- 9 0

0

P

kI= 1

kI= 0 . 5



0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0- 1 . 5

- 1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

3

T e m p o [ s ]

R i s p o s t a i n d i c i a l e

kI= 1

kI= 0 . 5



Azione derivativa: componente anticipatrice dell’azione di controllo

• Introduce un anticipo fisso di 90°• Migliora i margini di stabilità• Riduce la sovraelongazione della risposta indiciale del sistema di

controllo• Riduce il tempo di assestamento del sistema di controllo

• Non utilizzabile singolarmente (non reagisce ad errori costanti anche grandi)• Aumenta la sensibilità al rumore di misura• Controllore non causale

4sincossin tktktutte DDπ2



0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 00

0 . 5

1

1 . 5R i s p o s t a i n d i c i a l e

T e m p o [ s ]

kP

= 4 ; kD

= 0 . 5

kP

= 4 ; kD

= 1

kP

= 7 ; kD

= 1



R i s p o s t a a r m o n i c a d e l l a c a t e n a d i r e t t a


Fas

e (d

eg)

Mod

ulo

(dB

)

1 0- 1

1 00

1 01

1 02

- 2 7 0

- 2 2 5

- 1 8 0

- 1 3 5

- 9 0

- 4 5

0

- 1 0 0

- 8 0

- 6 0

- 4 0

- 2 0

0

2 0

kP

= 4 ; kD

= 0 . 5

P k

P= 4 ; k

D= 1

kP

= 7 ; kD

= 1



Azioni combinate: permettono di individuare il migliore compromesso tra i vantaggi e svantaggi di ogni singola componente

• Migliora la accuratezza• Migliora la reiezione dei disturbi• Migliora i margini di stabilità• Riduce la sovraelongazione della risposta indiciale del sistema di

controllo• Riduce il tempo di assestamento del sistema di controllo• Aumenta la banda passante del sistema di controllo• Aumenta la prontezza della risposta indiciale

32.110

05.04

004

DIP

DIP

DIP

kkkPID

kkkPI

kkkP

Esempio di taratura



0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 00

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

1 . 2

1 . 4

1 . 6

T e m p o [ s ]


P

P I

P I D



R i s p o s t a a r m o n i c a


Fas

e (d

eg)

Mod

ulo

(dB

)

- 1 0 0

- 8 0

- 6 0

- 4 0

- 2 0

0

2 0

4 0

1 0- 2

1 0- 1

1 00

1 01

1 02

- 2 7 0

- 2 2 5

- 1 8 0

- 1 3 5

- 9 0

- 4 5

0

P r o c e s s o

P

P I

P I D



• Realizzati in forma digitale

• Possibilità di collegamento su bus di campo

• Configurazione single-loop o in cascata

• Auto-tuning e/o self-tuning

• Funzionamento in automatico o manuale

• Configurabile via rete o terminale esterno RS-232

• Possibile configurazione in modalità Gain-Scheduling



Parametri dei regolatori industriali

Banda proporzionale (BP): è l’inverso del guadagno dell’azione proporzionale. Indica il range entro cui un controllore/attuatore saturato si mantiene lineare

Tempo di anticipo (D): indica la “durata” dell’effetto dell’azione derivativa

Tempo di intervento integrale (I): indica il tempo di latenza dell’azione integrale

I

PI

P

DD

PP k

k

k

k

kB ;;

1



0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 50

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

T e m p o [ s ]

e ( t )

uP

( t )

uD

( t )

uIP ( t )

D 2 I


La taratura dei regolatori industriali

La taratura dei regolatori industriali può essere effettuata mediante tecniche di sintesi in frequenza standard. Tuttavia, in ambito industriale, sono per lo più utilizzate metodologie basate su prove in campo

Metodi ad anello chiuso: prevedono di effettuare prove a ciclo chiuso con regolatore solo proporzionale, o a relé, in modo da instaurare comportamenti oscillatori permanenti.I parametri dell’oscillazione (periodo ed ampiezza) vengono utilizzati per definire i valori dei parametri del regolatore

Metodi ad anello aperto: prevedono prove mediante ingressi a gradino sul solo processo da controllare, eventualmente comprensivo del sitema di misura.I parametri della risposta indiciale (guadagno, costante di tempo e tempo morto) vengono utilizzati per identificare il processo, e quindi parametri del regolatore



I metodi a ciclo chiuso sono utilizzati dai programmi di auto e self-tuning dei regolatori industriali commerciali.

I metodi ad anello aperto sono quelli maggiormente utilizzati nell’industria di processo.

m

m

Tt

gradinor

Tt

TteKty

m

0

1

Il processo viene approssimato come un sistema del primo ordine più un ritardo finito



C

H

yr +_

e

z

Pu

H

yr +_

e

z

Pu=cost

Si pone il controllore in manuale, si applica un segnale di controllo costante, u, e si legge la misura dell’uscita, z.



0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 00

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

T e m p o [ s ]

R i s p o s t a i n d i c i a l e d e l p r o c e s s o + s e n s o r e

z ( t )

za p p r o x

( t )

u ( t )



Procedura di identificazione

1. Si effettua la prova di risposta al gradino

2. Si individua il valore di regime dell’uscita

3. Si traccia una retta tangente alla risposta nel suo punto di flesso

4. Si valuta l’intersezione di tale retta con l’asse delle ascisse. Tale punto individua il tempo morto Tm

5. Si valuta l’intersezione di tale retta con la retta parallela all’asse dei tempi indicante il valore di regime. Tale punto individua un intervallo di tempo che è somma del tempo morto Tm e della costante di tempo

L’ingresso a gradino può essere applicato come variazione a gradino a partire da una qualunque condizione di regime stazionario



0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 00

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

T e m p o [ s ]

R i s p o s t a i n d i c i a l e d e l p r o c e s s o + s e n s o r e

z ( t )

u ( t )

K

Tm



Tabella di taratura di Ziegler & Nichols

kP I D

P 0

PI 3Tm 0

PID 2Tm 0.5Tm

mT

K

mT

K

9.0

mT

K

2.1



La taratura di Ziegler & Nichols impone valori di smorzamento a ciclo chiuso abbastanza bassi (0.2) e quindi risposte con sovraelongazioni elevate ed oscillazioni.

• incrementare il valore di I

• incrementare il valore di D

• ridurre il valore di kP

• utilizzare altre tabelle di taratura

Tutte le tabelle di taratura sono sviluppate sotto specifiche ipotesi, ed è quindi necessario verificarne le condizioni di applicabilità



La taratura di Ziegler & Nichols

Note sulle regole di taratura

Tipo di regolatore

Tm/>1 Risultati scadentiI per regolazione blanda. Essenziale predittore di Smith

0.6<Tm/<1

1.5<K1<2.25

Risultati scadenti, migliorabili con peso sul set-point

I o PI. Predittore di Smith o controllo in cascata

0.16<Tm/<0.6

2<K1<20

Buoni risultati. Sovralongazione riducibile con peso sul set-point

PI o PID (se basso rumore di misura)

Tm/<0.15

Buoni risultati. Sovralongazione riducibile con peso sul set-point

PI o PID (se basso rumore di misura)

c

PH

PHgainK

1


Configurazione anti wind-up

Wind-up: fenomeno di carica integrale in presenza di fenomeni di saturazione, che comporta che l’azione di controllo non venga modificata anche in presenza di una variazione di segno del segnale di errore

Aattuatoresaturato

Pprocesso

Ccontrollore

Ttrasduttore

+

+

+r(t) e(t) u(t) m(t)

d(t)

y(t)

ym(t)

_

Ffiltro

z(t)

Controllore

+

n(t)

+



0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

3R e g o l a t o r e P I - A t t u a t o r e n o n s a t u r a t o

T e m p o [ s ]

E r r o r eC o m a n d oU s c i t aR i f e r i m e n t o



0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

3

T e m p o [ s ]

R e g o l a t o r e P I - A t t u a t o r e s a t u r a t o

E r r o r eC o m a n d oU s c i t aR i f e r i m e n t o



0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0- 0 . 4

- 0 . 2

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1E r r o r e

T e m p o [ s ]

a t t u a t o r e s a t u r a t oa t t u a t o r e n o n s a t u r a t oa n t i w i n d - u p



Il filtro LP è un filtro del primo ordine, con guadagno unitario e costante di tempo I

Appena e’ cambia segno si esce dalla zona di saturazione

Aattuatoresaturato

kP

+r(t) e(t)

u(t) m(t)_

Lp

Filtro LP

I

e’(t)

Controllore PIAnti wind-up

Am

Modellosaturazione

+

+

y(t)

Ej

jEE

L

AU

I

I

jP

m

I

1

1

1

1 11

)


Azione derivatrice sull’uscita

Il blocco dell’azione derivatrice è applicato sull’uscita così da non avere valori di controllo elevati alle variazioni rapide del segnale di

riferimento

Se il segnale di riferimento è costante il controllore PI+D è equivalente a quello PID, a parte gli istanti in cui si imposta una variazione di set-point

kP

+r(t) e(t) u(t)_

Lp

Filtro LP - I

e’(t)Am

Modellosaturazione

+

+

y(t)

D

+

_

PI anti wind-up

PI anti wind-up +D



0 5 1 0 1 50

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5R i s p o s t a i n d i c i a l e

T e m p o [ s ]

r i f e r i m e n t oP I + DP I D



0 5 1 0 1 5- 5

0

5

1 0

1 5

2 0

T e m p o [ s ]

S e g n a l e d i c o n t r o l l o

r i f e r i m e n t oP I + DP I D


Predittore di Smith

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 50

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

T e m p o [ s ]

R i s p o s t a i n d i c i a l eu s c i t ad e r i v a t a d e l l ' u s c i t at a n g e n t e

K

Tm

+ Tm

s

s

4137.7

934.2

1

mT

K

s

s

46701

86805

0552.0

.

.

k

D

I

P


Predittore di Smith

0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 00

0 . 1

0 . 2

0 . 3

0 . 4

0 . 5

0 . 6

0 . 7

0 . 8

0 . 9

1

T e m p o [ s ]


L’utilizzo di una taratura standard non dà risultati soddisfacenti in termini di tempo di assestamento e prontezza di risposta


Predittore di Smith

Per migliorare la prontezza di risposta si effettua la retroazione sulla base dell’uscita di un modello del sistema prelevando il segnale a monte di un ritardo stimato, e tarando i parametri del regolatore PID sulla base del modello depurato del ritardo stimato.

s

s

4137.7

934.2

1

mT

K

s

s

45.05.0

8.12

1798.02.1

mD

mI

mP

T

TT

Kk

s

s

s

4137.7

034.2ˆ

9.0

1

m

m

T

T

K

Predittore di Smith: Implementa una compensazione feed-forward/feedback del ritardo finito basata sul modello del processo


Predittore di Smith

Ingresso Uscita

Processo

1

7 . 4 1 3 7 s + 1

M o d e l l o 1 ° o r d i n e M o d e l l oD e l a y = 2 . 0 3 4

M o d e l l oD e l a y = 0 . 9

0 . 1 7 9 8

K _ P

0 . 1 7 9 8 / 1 . 8

K _ I

0 . 4 5 * 0 . 1 7 9 8

K _ D

1s

I n t e g r a t o r eG r a d i n o

d u / d t

D e r i v a t o r e

PID

Predittore di Smith

Errore di modello

La retroazione dell’errore di modello migliora il comportamento a ciclo chiuso del sistema


Predittore di Smith

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0- 0 . 2

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

1 . 2

T e m p o [ s ]


P I D c o n r e t r o a z i o n e d e l l ' e r r o r e d i m o d e l l oe r r o r e d i m o d e l l oP I + D c o n r e t r o a z i o n e d e l l ' e r r o r e d i m o d e l l oP I + D s e n z a r e t r o a z i o n e d e l l ' e r r o r e d i m o d e l l o


Riferimenti bibliografici

Alessandro GIUA, Carla SEATZUAnalisi dei sistemi dinamici – seconda edizione Springer-Verlag Italia, 2009

Norman S. NISEFondamenti di cControlli automatici – a cura di Paolo PuglieseCittà Studi, 2013

GianAntonio MAGNANI, Gianni FERRETTI, Paolo ROCCOTecnologie dei sistemi di controllo – seconda edizioneMcGraw-Hill, 2007

Massimiliano VERONESIRegolazione PID – Tecniche di taratura, schemi di controllo, valutazione delle prestazioni (quarta edizione)Franco Angeli, 2011


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