Controlli_automatici-Appunti

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE

Facolta di Ingegneria

Corso di

CONTROLLI AUTOMATICI

Appunti del corso di Controlli Automatici

Professore:

A. Tesi

Anno Accademico 2007/2008

Indice

A Teoria dei Sistemi 1

1 Lezione del 26 Settembre 2006 3

1.1 Controlli di Sistemi Lineari Stazionari . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Segnali trasformabili secondo Laplace . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Funzione di Trasferimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4

1.2.1 Sistema Espresso Attraverso funzioni Differenziali. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Modello delle equazioni di Stato . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 8

1.3 Risposta impulsiva causale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 11

1.4 Sistemi MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 12

1.5 Stabilita del sistema LSTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 12

1.5.1 Perturbazioni persistenti (Di ampiezza limitata) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.2 Stabilita (LILO) Ingresso limitato-uscita limitata ( o ILUL) . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.3 Sistema lineare stazionario per segnali Armonici (teorema della risposta in frequenza) 16

2 Lezione del 3 Ottobre 2006 19

2.1 Stabilita nei Sistemi Interconnessi . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Serie / Cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 20

2.1.2 Parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 20

2.1.3 Sistemi in retroazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 21

2.2 Stabilita dei Sistemi Interconnessi . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 21

ii Capitolo 0

2.2.1 Sistemi Interconnessi in Parallelo . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 21

2.2.2 Proprieta della stabilita interna . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.3 Blocchi interconnessi in Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 24

2.2.4 Retroazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 28

2.3 Sistemi di controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 31

2.3.1 Criterio di Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 35

2.4 Problema dell’inseguimento (asintotico) . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4.1 Problema di reiezione dei disturbi asintotici . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.2 Reiezione del disturbo di ingresso e di uscita . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.3 Reiezione del disturbo di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 39

2.4.4 Funzioni di trasferimento di un sistema di retroazione unitaria . . . . . . . . . . . . 40


3.1 Problema di inseguimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 41

3.1.1 Costruzione della Tabella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 42

3.1.2 Caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 44

3.2 Principio del modello Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 45


4.1 Stabilita dei Sistemi in Retroazione . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1.1 Studio di sistemi a tre ingressi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 50

4.2 Definizione della classe dei segnali . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.1 Segnali a banda limitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 52

4.2.2 Segnali a banda illimitata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 53

4.3 Controllori Stabilizzanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 56

INDICE iii

5 Lezione del 12 Ottobre 63

5.1 Stabilita nei sistemi di controllo con impianto internamente instabile . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.1 Caso in cuiP (s) /∈ S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.2 Modo Sistematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 66

5.1.3 Eccesso poli-zeri della F.d.T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 67


6.1 Controllori Stabilizzanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 71

6.2 Problema del pendolo inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 74

6.2.1 Equazioni del pendolo Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 74

6.3 Pendolo Doppio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 79

7 Lezione 19 Ottobre 2006 81

7.1 Sintesi dei Controlli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 81

7.1.1 Il metodo di Sintesi Diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 81

7.1.2 Funzione Canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 83

7.2 Utilizzo della carta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 87


8.1 Sintesi diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 91


9.1 Sintesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 97

9.2 Classe dell’impianto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 100

9.3 Sintesi diretta a piu obbiettivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 104

10 Lezione del 2 Novembre 2006 107

10.1 Esercizzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 107

iv Capitolo 0

10.1.1 Controllori Stabilizzanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 107

10.1.2 Sintesi diretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 110

10.2 Sintesi direta con impianto con polo a destra . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 112

B Analisi delle Prestazioni 115

11 Lezione 7 Novembre 2006 117

11.1 Problema delle prestazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 117

11.1.1 Profilo nella Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 117

11.2 Funzione di Sensitivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 119

11.2.1 Profilo ideale di|L(j ω)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

11.2.2 Introduzione al teorema di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 120

11.2.3 Teorema di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 122

11.2.4 Valutazione del margine di fase della funzione . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 124

11.3 Valutazioni sul profilo della funzione . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 126

11.3.1 Guadagno ad anello con zero a parte reale maggiore di zero . . . . . . . . . . . . . 126

11.4 Sommario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 132


12.1 Prestazioni in presenza del disturbo . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 133

12.1.1 Analizzo lo zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 135

12.1.2 Analizzo il polo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 136

12.2 Sistema stabile internamente + inseguimento perfettoal gradino . . . . . . . . . . . . . . . 137


13.1 Riassunto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 143

INDICE v

13.2 Effetto di poli e zeri a destra sulla risposta in frequenza al disturbo di uscita . . . . . . . . . 148

13.3 Applicazione del Teorema di Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 152

13.4 Formulazione Generale del Th. di Bode . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 153


14.1 Problema delle Prestazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 157


15.1 Problema delle prestazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 165

15.1.1 Determinazione diP (s) eΠ2(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

15.2 Teorema della stabilita robusta. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 171

15.2.1 Applicazione: Problema del pendolo inverso . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 174


16.1 Stabilita Robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 177

16.1.1 Problema delle prestazioni Robuste . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 178

16.2 Problema delle Prestazioni Robuste (PPR) + StabilitaRobusta (PSR) . . . . . . . . . . . . . 179

17 Lezione del 28 Novembre 185

17.1 Problema delle prestazioni robuste + stabilita robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185


18.1 Sistemi a Dati Campionati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 195

18.1.1 Problema di interpolazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 196

18.1.2 Problema del Controllore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 197

18.2 Scelta del tempo di campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 198

18.2.1 Scelta del periodo di campionamento . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 203

18.3 Controllore Digitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 203

vi Capitolo 0

19 Lezione del 5 Dicembre 2006 207

19.1 Sistemi a dati campionati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 207

19.1.1 Richiami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 207

19.2 Metodo di Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 209

19.2.1 Tecniche di integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 210

A Formulario 215

A.1 Regole di tracciamento del luogo delle radici . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 215

A.2 Reti correttive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 217

A.2.1 Ritardatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 217

A.2.2 Anticipatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 218

A.3 Problema dell’inseguimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 218

B Trasformata di Laplace 221

B.0.1 Trasformata di Laplace e risposta impulsiva in sistemi lineari stazionari a dimensio-ne finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

B.1 Carta di Controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 224

Parte A

Teoria dei Sistemi

1Lezione del 26 Settembre 2006

Introduzione

Durante il corso verranno studiati i sistemi di controllo inretroazione ovvero:

yo +

-C(s) P (s) y

H(s)

Figura 1.0.1: Esempio di un sistema di controllo

doveP (s) e la funzione di trasferimento cioel’impianto da controllare (es. un motore elettrico). Tale fun-zione e tipicamente nota (o assegnata) mentreC(s) e la FdT del controllore ovverola parte da progettarein maniera tale che l’uscita del sistema sia piu prossima possibile all’uscita desiderata[yo (t) ∼= y (t)],H(s) e la FdT del sensore cioe del dispositivo che si trova lungol’anello di reazione. La difficolta maggiorerisiede nel fatto che l’impianto sia solo un modello matematico che per quanto complesso presentera uncerto livello di incertezza. Puo percio essere necessario che uno stesso impianto presenti piu funzioni ditrasferimento per descrivere meglio il funzionamento.

E necessario che il controllo funzioni per tutte le FdT dell’impianto

1.1 Controlli di Sistemi Lineari Stazionari

Prevalentemente faremo uso di sistemi lineari e stazionari.Solitamente gli ingressi che interessano questi sistemi rimangono nulli fino ad un certo istante per poi

assumere una andamento non nullo che puo mantenersi tale. Si assume quindi che questa classe di segnalisia trasformabile secondo Laplace.

4 Capitolo 1

u (t)sistema lineare

stazionario, causaley (t)

Figura 1.1.1: Rappresentazione a Blocchi del Sistema

t

u (t)t ≥ 0→ u (t)

t < 0→ 0(1.1.1)

L [u(t)] = U(s) ⇔ U(s) =

∫ +∞

0u(t)e−stdt (1.1.2)

cons = σ + jω variabile complessa.

1.1.1 Segnali trasformabili secondo Laplace

Gradino Unitario

u (t) =

0 t < 0

1 t ≥ 0(1.1.3)

U(s) =1

s(1.1.4)

1

t0

u (t)

Gradino Unitario

Delta di Dirac

δ (t) =

0 ∀t 6= 0

1 t ≡ 0 =⇒∫ +∞

−∞Aδ (t) dt = 1

(1.1.5)t

δ (t)

0

∫fǫ (t) dt =

1

ǫǫ (1.1.6)

L−1 [δ (t)] = 1 (1.1.7)

fǫ (t)

0 ǫ

1ǫ

1.2 Funzione di Trasferimento

Se il sistema e lineare e stazionario sappiamo che esiste una corrispondenza diretta tra l’ingresso e l’uscitadel sistema nel dominio di Laplace.

Yf (s) = G(s)U(s) (1.2.1)

Lezione del 26 Settembre 2006 5

conYf (s) risposta forzata del sistema ottenuta nel dominio di Laplace da un sistema chesi trovava nellacondizione iniziale di riposo.

La risposta allaδ (t) del sistema LSTI e la risposta impulsiva del sistema og(t).

δ (t) LTI y (t) = g (t)

Figura 1.2.1: Rappresentazione a Blocchi del Sistema

y(t) =

∫ t

0g (t− σ) u(σ)dσ = g (t)⊗ u (t) (1.2.2)

Definizione 1.2.1( Funzione di trasferimento). Definisco funzione di trasferimento, la trasformata di La-place della risposta impulsiva.

L [y(t)] = G(s) · U(s) = Y (s) (1.2.3)

G(s) = L [g(t)] =

∫ +∞

0e−stg(t)dt (1.2.4)

g(t) = L−1 [G(s)] (1.2.5)

G(s) =bns

n + bn−1sn−1 + . . .+ b1s+ b0

sn + an−1sn−1 + . . .+ a1s+ a0(1.2.6)

Per passare dalla funzione di trasferimento alla risposta impulsiva e necessario antitrasformare la funzionedi trasferimento.

g(t) = L−1 [G(s)] = L

−1

[bn (s− z1) (s− z2) . . . (s− zm)

(s− p1) (s− p2) . . . (s− pn)

]conpi 6= pj; peri 6= j (1.2.7)

(1.2.6) = L−1

[bn

cn−1sn−1 + . . .+ c1s+ c0

sn + an−1sn−1 + . . .+ a1s+ a0

](1.2.8)

Esempio1.2.1.

G(s) =1

s+ 2=⇒ y (t) = e−2t

da cui si ricava la forma generale:A

s− p =⇒ Aept (1.2.9)

6 Capitolo 1

dove i coefficientibn sono rappresentati nel seguente modo:

cn−1 = bn−1 − bnan−1

c0 = b0 − bna0(1.2.10)

g(t) = bnδ (t) + L−1

[cn−1s

n−1 + . . . + c1s+ c0sn + an−1sn−1 + . . . + a1s+ a0

](1.2.11)

Analizziamo adesso alcuni casi particolari:

HP):1 Poli distinti p1, p2, . . . , pn pi 6= pj ∀ i 6= j

bn +cn−1s

n−1 + . . .+ c1s+ c0(s− p1) (s− p2) . . . (s− pn)

= bn +A1

s− p1+

A2

s− p2+ . . .+

An

s− pn(1.2.12)

applicando il teorema dei residui posso calcolarmi i coefficientiAn.

A1 = lims→p1

(s− p1)G(s)

A2 = lims→p2

(s− p2)G(s)

· · · · · ·An = lim

s→pn

(s − pn)G(s)

(1.2.13)

y (t) = bnδ (t) +[A1e

p1t + A2ep2t + . . .+ Ane

pnt]u (t) (1.2.14)

percio la risposta impulsiva nel caso di poli disgiunti e una somma di esponenziali un cui gli esponentisono proprio i poli della funzione. Questo risultato e importante perche nel caso si vada a studiare il com-portamento della risposta impulsiva quandot e grande, e chiaro che nel caso in cui siano presenti dei policomplessi, quello checonta e laparte reale dei poli. Il terminebnδ (t) appare solo nel caso in cui il gradodel numeratoreN (s) sia maggiore del grado del denominatoreD (s).

HP):2 Poli doppi

G(s) =1

s2p = 0 mp = 2

Ad ogni polo associo una molteplicita

m1 + m2 + . . . +mr

G (s) = bn +cn−1 s

n−1 + . . .+ c1s+ c0(s− p1)m1(s− p2)m2 . . . (s− pr)mr

conpi 6= pj; peri 6= j (1.2.15)


riscrivo la (1.2.15) :

(1.2.15) = bn +A1,0

s− p1+

A1,1

(s − p1)2+ . . . +

A1,m−1

(s− p1)m1

+ . . .

+Ar,0

s− pr+

Ar,1

(s− pr)2+ . . .+

Ar,m−1

(s− pr)mr

(1.2.16)

g (t) = bnδ (t) +A1,0ep1t −A1,1 t e

p1t + . . . +Aα1,m1−1 tm1−1 ep1t

· · ·+Ar,0e

prt −Ar,1 t eprt + . . .+Aαr ,mr−1 t

mr−1 eprt

(1.2.17)

giungendo alla formula generale in cui:

g (t) = bnδ (t) +r∑

i=1

mi∑

j=1

(αi,j−1t

j−1)epi(t) (1.2.18)

p1 ; . . . ; pr r ≤ nm1 ; . . . ;mr m1 + . . . +mr = n

(1.2.19)

bc

ℜ [S]

ℑ [S]

jωi

pi

σi

Figura 1.2.2: Rappre-sentazione di un polo sulpiano delleS

Dato che ogni polo da origine ad un termine esponenziale, moltiplicato perun polinomio. Si e percio scritto la forma generale della risposta impulsiva diun sistema stazionario lineare a dimensione finita. Come gi`a detto il polo ingenerale e un punto del pianos, ovvero presenta una parte reale(σi) ed unaimmaginaria(jωi).

Allora l’esponenziale sara un qualcosa del tipo:

e(σi + jωi)t = eσitejωit

mentreejωit risulta essere la componente oscillante, cosa accade pert → ∞ eprincipalmente determinato daeσit (parte reale)

limt→∞

g (t) = 0, se tutti i poli hanno parte reale minore di zero

Infatti il posizionamento dei poli ci fornisce indicazioni sulla stabilit a del sistema.Abbiamo visto nei corsi precedenti che i modelli matematicinelle classi delle equazioni differenziali e delleequazioni di stato presentano sempre delle funzioni di trasferimento razionali fratte.

Nota. In generale la funzione di trasferimentoe ottenuta dalla trasformata di Laplace della risposta forzatadiviso per la trasformata di Laplace dell’ingresso.

1.2.1 Sistema Espresso Attraverso funzioni Differenziali

8 Capitolo 1

b b

β

K

Mf

b

x

Figura 1.2.3: Modello fisico del sistema daAnalizzare

Si tratta di un sistema di controllo della posizione dellamassaM a cui e applicata una forza~f . Ovvero applican-do una certa forza~f in ingressoal sistema otteniamo unacertauscitax che altro non e che la posizione della massanel nostro sistema di riferimento. Proviamo quindi a di-mostrare che il nostro sistema e descritto da una funzionedi trasferimento razionale fratta.

In base alle equazioni della dinamica possiamo scrivere:

Mx = f −Kx− βx → My

= u−Ky − βy → My + βy +Ky = u

u = ~f y = x

si e cosi ottenuta una equazione differenziale delsecondo ordine a coefficienti costanti. Dato chevogliamo trovare la funzione di trasferimento delsistema scriveremo:

L [My + βy +Ky] = L [u] → ML [y] + βL [y] +KL [y] = L [u]

trasformando secondo Laplace:

M s2 Yf (s) + β s Yf (s) + K Yf (s) = U(s)

G(s) =Yf (s)

U(s)=

1

Ms2 + βs + K

da questa e possibile risalire alla risposta dell’impianto.Essendo due poli saranno sicuramente complessi perche e necessaria la componente immaginaria per de-scrivere l’andamento oscillante tali poli saranno inoltreconiugati. Dato che nel sistema e inoltre presenteuno attenuatore, il cui compito e quello di riportare il sistema in equilibrio una volta cessata la forza~f , talipoli saranno sicuramente a parte reale minore di 0.

Percio un sistema la cui grandezza di uscita e descritta dauna equazione differenziale presentera sicuramenteuna funzione di trasferimentoG(s) razionale fratta.

1.2.2 Modello delle equazioni di Stato

Posso descrivere il modello del mio sistema fisico attraverso la descrizionemodello stato uscita. In generalei modelli presentano oltre all’ingresso delle variabili interne che rappresentano lo stato del sistema. Percioin generale posso scrivere il sistema nel seguente modo:

x = Ax + Bu

y = Cx + Du

dove:

x =

x1...xn

, A =

[a11 · · · a1n

· · · · · · · · ·an1 · · · ann

],B =

b1...bn

,C = [ c1 · · · cn ] ,D = [d]


Quando si calcola la funzione di trasferimento , le condizioni iniziali devono essere nulle, per il resto ladefinizione e sempre la medesima, quindi andiamo a calcolarci la risposta forzata del sistema:

L [x] = sX(s) = AX(s) + BU(s) → (sI−A)X(s) = BU(s)

X(s) = (sI−A)−1BU(s)

Operando sulla seconda equazione la trasformata di Laplacesi ottiene:

Xf (s) = CX(s) + DU(s) = C (sI−A)−1BU(s) + DU(s)

Xf (s) =[C (sI−A)−1

B + D

]U(s) =

Xf (s)

U(s)= C (sI−A)−1

B + D

si e cosı ottenuta la funzione di trasferimento, rimane dadimostrare che si tratta di una funzione razionalefratta, tutto dipende da(sI−A)−1, essendoC, B eD delle costanti. Posso quindi calcolare l’inverso dellamia matrice:

Xf (s)

U(s)= C (s I−A)−1

B + D = C

[adj (s I−A)

det (s I−A)

]B + D

al denominatore si ha il polinomio caratteristico della matriceA.

Ricorda. I poli della funzione di trasferimento altro non sono che gliautovalori della matriceA

Percio, in generale, la risposta impulsiva di un sistema espressa attraverso le equazioni di stato tendera a 0pert→∞ quando la matriceA, presenta tutti gli autovalori con parte reale minore di 0.

Esempio1.2.2. Ricaviamoci le equazioni di stato dell’esempio precedente:

b b

β

K

Mf

b

y

Figura 1.2.4: Modello fisico del Sistema

Le cui variabili di stato sono:

• x1 = posizione= y• x2 = velocita= y

Avremo quindi ricavato le equazioni differenziali relative al sistema vero:

My + βy + Ky = u

Mx2 + βx2 + K x1 = u

10 Capitolo 1

ottengo quindi:

x2 = −KMx1 −

β

Mx2 +

1

Mu

x1 = x2

x1 = y

In forma piu generale scriveremo la matrice del nostro sistema:

[x1

x2

]=

[0 1

−KM − β

M

] [x1

x2

]+

[01M

]u

y = [ 1 0 ]

[x1

x2

]+ [0]u

A questo punto andiamo a calcolarci la funzione di trasferimento: ovviamente il risultato dovra essere ugualea quello ricavato nel caso precedente essendo lo stesso sistema:

(sI−A) =

[s −1KM

s+ βM

]

calcolo quindi l’inversa della matrice:

det (s I−A) =1

s2 +β

Ms +

K

M

devo quindi calcolare la matrice aggiogata del mio sistema,ma questa e legata a come sono fatte le matriciC eB, infetti per il calcolo della funzione di trasferimento ci interessa l’intera espressione:

C (s I−A)−1B = [ 1 0 ] (s I−A)−1

[01M

]

come si puo notare sono presenti degli zeri sia inC che inB, percio la matriceC andra a selezionare la solaprima riga della matrice(s I−A)−1, mentreB andra a selezionare la sola seconda colonna. Sara quindisufficiente andare a calcolare il termine relativo alla1a riga e2a colona della matrice aggiogata.

G(s) =1M

s2 + βMs + K

M

=1

Ms2 βs + K

Nota. La matrice AGGIOGATAdi una matrice quadrataM, e una matrice quadrata delle stesse dimen-sioni diM, i cui campi sono definiti come:

mij = (−1)i+j det (Mij)

doveMij e il minore principale di testa (o sotto matrice) diM ottenuta eliminando laj-esima riga e lai-esima colonna .

Principalmente si sono fatti questi esempi per capire chequando si ha una funzione razionale frattaquesta puo essere derivata da una equazione differenziale o da un sistema di equazioni di stato. Sitratta in effetti della classe di sistemi che considereremoper tutto il corso.


u (t) FdT y (t)

d

+ +

Vqi (t) Ωqu (t)

Ω

Figura 1.3.1: Modello fisico del Sistema

1.3 Risposta impulsiva causale

Non tutte le funzioni sono del tipo razionali fratte:

Il modello e lineare?Il sistema e lineare se e possibile applicare il principiodi sovrapposizione deglieffetti.

Il modello e stazionario?Il sistema risponde in maniera identica ad un ingresso dato oggi e ad uno datotra un tempo indefinito.

Devo trovarequ (t).

qu (t) = qi

(t− d

ν

)

y (t) = u (t− τ)(1.3.1)

conτ =d

ν

L [u (t)] = U(s) =

∫ +∞

0u (t) e−stdt (1.3.2)

L [y (t)] = Y (s) =

∫ +∞

0y (t) e−stdt (1.3.3)

G(s) =L [y (t)]

L [u (t)]=

∫ +∞

0e−stu (t− τ) dt (1.3.4)

Y (s) =1

se−τs

Per arrivare a tale soluzione svolgo l’integrale di convoluzione eseguendo il cambio di variabilet = σ + τda cuiσ = t− τ .

∫e−s(σ+τ)u(σ)dσ = e−sτ

∫ +∞

−T

e−sσu(σ)dσ = e−sτ

∫ +∞

0e−sσu(σ)dσ (1.3.5)

12 Capitolo 1

G(s) =Y (s)

U(s)= e−sτ

dalla funzione di trasferimento trova si puo concludere che il nastro trasportatore, e un sistema che introduceritardo.

1.4 Sistemi MIMO

u1 (t)

ui (t)

um (t)

y1 (t)

yj (t)

yp (t)

Sistema

Lineare

stazionario

Sono sistemi am ingressi ep uscite.Yi(s) = Gij(s)Uij(S)

Posso rappresentare il mio sistema con una matrice di trasferimentoGij(s)

Y1(s) = G1,1(s)U1(s) + . . .+G1,j(s)Uj(s) +Gi,m(s)Um(s)

Yi(s) = Gi,1(s)U1(s) + . . . +Gi,j(s)Uj(s) +Gi,m(s)Um(s)

Yp(s) = Gp,1(s)U1(s) + . . . +Gp,j(s)Uj(s) +Gp,m(s)Um(s)

(1.4.1)

Gi,j(s) e la trasformata di Laplace dell’uscitayi(t) quando, applico in ingresso un impulsouj(t) = δ (t)conuk (t) = 0 perk 6= j.

G(s) =

G11(s) · · · G1j(s) · · · G1m(s)...

......

Gi1(s) · · · Gij(s) · · · Gim(s)...

......

Gp1(s) · · · Gpj(s) · · · Gpm(s)

(1.4.2)

Y (s)

vettore uscita

Y (s) =

Y1(s)...

Yi(s)...

Yp(s)

U(s) =

U1(s)...

Ui(s)...

Um(s)

(1.4.3)

Il vettoreY (s) e dato dal prodotto tra la matrice di trasferimento e il vettore degli ingressi.

1.5 Stabilit a del sistema LSTI

Consideriamo adesso il caso di un sistema avente funzione ditrasferimentoG(s) razionale frattacon tutti ipoli a parte reale≤ 0 e con il grado del denominatore maggiore uguale al grado del numeratore (funzione


razionale propria). Supponiamo di avere questo sistema in condizioni di equilibrio, percio se l’ingresso siannulla dopo un certo tempoTu l’uscita ( provocata da questa perturbazione di durata limitata) torna a zero( il mio sistema e stabile asintoticamente).

u (t)G(s)g (t)

y (t)

G(s) =bn−1s

n−1 + . . .+ b1s+ b0(s− p1)m1 · · · (s− pr)mr

(1.5.1)

con m1 + . . .+mr = r

r ≥ n (1.5.2)

ℜ [pi] < 0 ∀i, . . . , rcioe la risposta impulsiva tende a zero. Applico al mio sistema una perturbazione di durata limitata:

u(t) = 0 ∀ t ≥ Tu

Voglio quindi che il mio sistema ritorni nella condizione diequilibrio pert→∞.

y (t) =

∫ t

0g (t− σ)︸︷︷︸

g(τ)

u(σ)dσ

g(τ) =

r∑

i=1

epiταi(τ)

sono polinomi int di gradom− 1

=

∫ T

0

r∑

i=1

αi (t− σ) epi(t−σ)u (σ) dσ

=

r∑

i=1

epit

∫ T

0αi (t− σ) e−piσu (σ) dσ

(1.5.3)

L’uscita risulta quindi essere combinazione di esponenziali.

limt→∞

y (t) = 0

Ho quindi verificato che la perturbazione recupera la condizione a regime. Il sistema si diceasintoticamentestabile

1.5.1 Perturbazioni persistenti (Di ampiezza limitata)

Andiamo ora a considerare lo stesso tipo di sistema, avente unaG (s) razionale fratta con tutti i poli a partereale minore di 0, nel caso di perturbazione di ampiezza limitata in ingresso ma di durata illimitata.

14 Capitolo 1

ωt

u (t)Mu

−Mu

(a) Ingresso limitato in ampiezza

ωt

y (t)My

−My

(b) Uscita limitata in ampiezza

Figura 1.5.1: Analisi del comportamento del sistema ad una perturbazione persistente di ampiezza limitatain ingresso.

|u (t)| ≤Mu ∀t ≥ 0 (1.5.4)

La perturbazione e persistente poiche non torna a zero. Sel l’uscita del sistema e limitato posso dimostrareche∃ una costanteMy per cui l’uscita:

|y (t)| ≤My, ∀t ≥ 0 (1.5.5)

ovvero, qualunque sia la perturbazione nella fascia di valori ∓Mu in ingresso, l’uscita risultera anch’essacontenuta in una fascia di valori limitata.

1.5.2 Stabilit a (LILO) Ingresso limitato-uscita limitata ( o ILUL)

|yf (t)| ≤∫ t

0|g (t− σ)| |u(σ)| dσ ≤ Mu

∫ t

0|g (t− σ)| dσ (1.5.6)

E sufficiente dimostrare che l’integrale nella (1.5.6) e limitato∀ t > 0.

g(t) = A1ep1t + . . . +Ane

pnt

sostituendo:

y (t) =

∫ T

0

(A1e

p1(t−σ) + . . .+Anepn(t−σ)

)u(σ)dσ

y (t) = A1

∫ T

0ep1(t−σ)u(σ)dσ + . . . + An

∫ T

0epn(t−σ)u(σ)dσ

(1.5.7)

|y (t)| ≤ Modulo della somma dei moduli.

∣∣∣∣A1

∫ T

0ep1(t−σ)u(σ)dσ

∣∣∣∣ + . . . +

∣∣∣∣An

∫ T

0epn(t−σ)u(σ)dσ

∣∣∣∣

≤ |A1|∫ T

0ep1(t−σ) |u(σ)| dσ + . . .+ |An|

∫ T

0epn(t−σ) |u(σ)| dσ

≤Mu |A1|∫ T

0ep1(t−σ)dσ + . . .+ Mu |An|

∫ T

0epn(t−σ)dσ

(1.5.8)


Posso fare la maggiorazione del mio segnale, sostituendoMy = maxMu |Ai| ottenendo:

y (t) = My

∫ T

0ep1(t−σ)dσ + . . . + My

∫ T

0epn(t−σ)dσ

devo quindi verificare che l’integrale sia finito, svolgendolo:

∫ t

0e−(t−σ)dσ =

∫ t

0eτd(−τ)

dove ho risolto l’integrale per sostituzione, imponendo:τ = t− σ, σ = t− τ , dτ = −dσ.

Esempio1.5.1. Analizziamo il caso in cui la funzione di trasferimentoG(s) sia del tipo:

G(s) =1

s

Per tale funzione non e piu verificata la condizione di perturbazione limitata in ampiezza⇒ uscita limitatain ampiezza.

1

t

g(t)

y(t) = g (t)⊗ u (t) =

∫ t

0u(σ)dσ

La funzioneG(s) =1

ssi comporta da blocco integratore. Quindi se il segnale che presento in ingresso al

sistema non e un segnale a media nulla nel suo intervallo di esistenza, la condizione di appartenenza (uscitalimitata) pert→∞ non e verificata.

t

Mu

−Mu

u (t)

t

y (t)My

−My

Figura 1.5.2: Analisi del comportamento della funzioneG (s) ad una perturbazione persistente di ampiezzacostante in ingresso.

16 Capitolo 1

1.5.3 Sistema lineare stazionario per segnali Armonici (te orema della risposta infrequenza)

Definizione 1.5.1(Segnali armonici). I segnali armonici sono i segnali di tipo seno e coseno.

u (t) = A sin (ωt)

1

-1

π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 8π 9π 10π11π12π f

u (t)A

−A

Figura 1.5.3: Segnali armonici

Y (s) = G(s)U(s)

Definizione 1.5.2(trasformata di Laplace della funzione Seno).

U(s) =ω

s2 + ω2

Y (s) =bns

n−1 + . . .+ b1s+ b0(s− p1)

m1 · · · (s− pr)mr·A ω

ω2 + s2(1.5.9)

I poli di Y (s) sono i poli diG(s) piuAω

(s− jω)(s + jω). Divido quindi la risposta in due parti una con gli

stessi poli della funzione di sistemaG(s) e la chiamoH(s), l’altra con i poli dell’ingresso.

(1.5.9) =k+

s− jω +k−

s+ jω︸︷︷︸YU (s)

+ H(s︸︷︷︸YG(s)

) (1.5.10)

Indicando conYU (s) i poli dell’ingresso eYG(s) i poli del sistema.

y (t) = L−1 [YG(s)] + L

−1 [YU (s)] = yg (t) + yu (t)

Doveyg(t) e la trasformata di una funzione razionale fratta che tendea 0 pert → ∞ (transitorio), mentreyu(t) e la risposta in frequenzaG(jω) (risposta a regime permanente). La risposta in frequenza assumerala forma:

yu (t) = A |G(jω)| sin (ωt) + arg [G(jω)]

A regime il segnale sara quindi moltiplicato e sfasato.

Cambiando il valore diω, posso pero trovare il modello attraverso misure sperimentali.


u (t)

y (t)

t

u (t) y (t)

Figura 1.5.4: Caratterizzazione del modello attraverso misure sperimentale, analizzando modulo e fasedell’uscitay (t) al variare dell’ingressou (t).

2Lezione del 3 Ottobre 2006

La Stabilit a

Si e visto che nel caso in cui funzione di trasferimentoG (s) sia una funzione razionale fratta, la rispostaimpulsiva ha la forma:

g (t) = A1ep1 t +A2e

p2 t + . . .+Anepn t

nella qualep1.p2,. . . ,pn sono poli della funzione di trasferimento, mentre i coefficientiA1 ldotsAn sono ingenerale dei polinomi della variabile del tempo del tipoAn,m tm−1. Nel caso in cui la molteplicita del polom sia uguale a 1, tali coefficienti sono delle costanti .

u G(s) y

Figura 2.0.1: Rappresentazione Ingresso-Uscita del sistema

G(s) =N(s)

D(s)

Per avere la stabilitaN(s) assume un ruolo molto importante. SeG(s) ha tutti i poli a parte reale minore dizero cioeℜ pi < 0, ottengo:

• ∀u (t), perturbazione di durata tempo limitata,

limt→∞

|y (t)| = 0 (2.0.1)

• ∀u (t), perturbazione persistente di ampiezza limitata,

|y (t)| ≤My ∀t ≥ 0. (2.0.2)

L’uscita e anche essa di ampiezza limitata

2.1 Stabilit a nei Sistemi Interconnessi

Questi sono i concetti di stabilita che riguardano un singolo blocco, ma nei sistemi di controllo quasimai si fa riferimento al blocco singolo, per questo e necessario estendere il concetto di stabilita ai sistemiinterconnessi.

20 Capitolo 2

2.1.1 Serie / Cascata

u (t)u1 G1(s)

y1 u2 G2(s)y2

y (t)

(a) Sistemi interconnessi in serie

u G1(s)×G2(s) y

(b) Funzione di trasferimento equivalente

Figura 2.1.1: Sistemi interconnessi in serie

Due sistemi descritti dalle equazioni:Y1(s) = G1(s)U1(s) (2.1.1)

Y2(s) = G2(s)U2(s) (2.1.2)

si dicono interconnessi in serie, quando l’uscitay1 del primo coincide con l’ingressou2 del secondo. Consi-derandou (t) = u1 (t) ey (t) = y2 (t) come ingresso e uscita del sistema complessivo, e immediato ricavareche:

Y (s) = G1(s)G2(s)U(s)

Dunque la funzione di trasferimento complessiva sara risulta:

G(s) =Y (s)

U(s)= G1(s)×G2(s) (2.1.3)

Per sistemi in connessione serie la F.d.T totale e data dal prodotto delle singole FdT:

2.1.2 Parallelo

I sistemi (2.1.1) e (2.1.2) si dicono connessi inparallelo, se hanno lo stesso ingresso, che si assume anchecome ingresso del sistema complessivo, mentre le loro uscite si sommano per generare l’uscita complessiva.

u (t)

u1 G1(s) y1

u2 G2(s) y2

+

+y (t)

(a) Modello generale

u G1(s) +G2(s) y

(b) Modello equivalente

Figura 2.1.2: Sistemi Interconnessi in parallelo

G(s) =Y (s)

U(s)= G1(s) +G2(s) (2.1.4)

Analizzando lo schema a blocchi in figura 2.1.2, si ottiene ilseguente schema complessivo in cui la F.d.Ttotale e data dalla somma delle due F.d.T dei singoli blocchi.

Lezione del 3 Ottobre 2006 21

2.1.3 Sistemi in retroazione

I sistemi (2.1.1) e (2.1.2) si dicono connessi inretroazionequando costituiscono un anello chiusoo retroa-zionato.

Lo schema equivalente delle funzioni di trasferimento 2.1.3b risultera quindi essere:

G(s) =G1(s)

1 +G1(s) ·G2(s)

u + u1G1(s)

y1 y

u2G2(s)

y2

-

(a) Sistema interconnessi in retroazione

u G3(s) y

(b) Modello equivalente

Figura 2.1.3: Sistemi in retroazione

Nota. Mentre nei primi due casi la funzione di trasferimentoG(s) e sempre calcolabile, nello schema inretroazioneG(s) puo anche non esistere nel caso in cuiG1(s)×G2(s) = −1: Se la funzione di trasferimentopresenti piu poli che zeri essae sempre realizzabile.

2.2 Stabilit a dei Sistemi Interconnessi

Andiamo adesso ad introdurre un concetto di stabilita nuovo rispetto a quello visto nei corsi precedenti.Come si e richiamato ad inizio lezione nel caso del blocco singolo avente tutti i poli a parte reale minore di0 , siamo nelle condizioni di stabilita gia viste. Nel casodella interconnessione di piu blocchi, e possibilericondursi matematicamente al caso del blocco singolo, purtroppo questo non vale per la stabilita del sistemadi blocchi.

Interconnettendo due o piu blocchi assieme, vengono a presentarsi vari disturbi (sotto diversi nomi) legatiall’incertezza presente sui collegamenti tra due blocchi distinti, percio negli schemi vengono introdotti deidisturbi in presenza delle giunzioni tra i vari blocchi.

Disturbo in Ingresso E il disturbo presente all’ingresso della F.d.T. dell’impianto.Disturbo in Uscita E il disturbo che si sovrappone all’uscita di uno dei blocchidell’impianto.Disturbo di Misura E il disturbo introdotto dai componenti lungo l’anello di reazione del sistema.

2.2.1 Sistemi Interconnessi in Parallelo

Prendiamo per esempio due sistemi interconnessi in parallelo.

22 Capitolo 2

u

d1

d2

y

u1

u2

y1

y2

Sistema

Parallelo

Figura 2.2.1: Sistema interconnesso in parallelo

u

+

+

d1

u1G1(s)

y1

+

+

d2

u2G2(s)

y2

+

+y

Figura 2.2.2: Schema equivalente di due sistemi interconnessi in parallelo, con disturbo in ingresso.

• Uscite sono tutti i possibili segnali all’interno del sistema.• Gli ingressi sono tutte le sollecitazioni che vengono dall’esterno.

Stabilit a Interna

Lemma 2.2.1.Qualunque ingresso noi consideriamo, come perturbazione di durata limitata, vogliamo cheuna volta terminata la perturbazione il sistema torni nellacondizione di equilibrio. Come era prima dellaperturbazione.

Definizione 2.2.1.A qualunque perturbazione di durata limitata degli ingressi u (t) , d1 (t) , d2 (t) , . . ., ilsistema risponde con:

limt→∞|y (t)| = 0

limt→∞

|y1 (t)| = 0

limt→∞

|y2 (t)| = 0

limt→∞

|u1 (t)| = 0

limt→∞

|u2 (t)| = 0

(2.2.1)

Tutte le uscite interne del sistema, dopo il transitorio, tendono a tornare nella posizione di equilibrio.


Definizione 2.2.2.Qualunque perturbazione di ampiezza limitata inu (t) , d1 (t) , d2 (t) , . . .,⇒ anche isegnali di uscita dal blocco devono essere di ampiezza limitata:

|y (t)| ≤ My, ∀ t ≥ 0

|y1 (t)| ≤ My1, ∀ t ≥ 0

|y2 (t)| ≤ My2, ∀ t ≥ 0

|u1 (t)| ≤ Mu1, ∀ t ≥ 0

|u2 (t)| ≤ Mu2, ∀ t ≥ 0

(2.2.2)

2.2.2 Propriet a della stabilit a interna

Le uscite del sistema potranno essere espresse come:

Y (s) = G1,1(s)U(s) +G1,2(s)D1(s) + G1,3(s)D2(s)

Y1(s) = G2,1(s)U(s) +G2,2(s)D1(s) + G2,3(s)D2(s)

· · · · · ·U2(s) = G5,1(s)U(s) +G5,2(s)D1(s) + G5,3(s)D2(s)

(2.2.3)

Lemma 2.2.2.La stabilita interna, per il principio di sovrapposizione degli effetti e garantita sotto l’hp chetutte le funzioni di trasferimento abbiano tutti i poli a parte reale minore di0.

Se partiamo con blocchi che soddisfano gia la condizione distabilita interna, allora il sistema generale sarastabile. E necessario studiare per le varie interconnessioni come possono essere fatte queste funzioni ditrasferimento.

G11(s) =Y (s)

U(s)

∣∣∣∣D1=0, D2=0

= G1 + G2

G12(s) =Y (s)

D1(s)

∣∣∣∣U=0, D2=0

= G1

G13(s) =Y (s)

D2(s)

∣∣∣∣D1=0, U=0

= G2

G21(s) =Y1(s)

U(s)

∣∣∣∣D1=0, D2=0

= G1

G22(s) =Y1(s)

D1(s)

∣∣∣∣U=0, D2=0

= G1

G23(s) =Y1(s)

D2(s)

∣∣∣∣D1=0, U=0

= 0

(2.2.4)

Si puo osservare come ci siano solo 3 funzioni di trasferimento che influenzano le caratteristiche del sistemaG1 (s),G2 (s) , G1 (s) +G2 (s). Nel caso di somma di funzioni di trasferimento, i poli dellasoma sonocontenuti nell’unione dei poli. Tutte le funzioni di trasferimento hanno poli con parte reale minore di 0 seG1 (s) e G2 (s) hanno tutti i poli a parte reale minore di 0. Quindi anche nel caso della connessione inparallelo la stabilita interna e garantita qualora tuttele funzioni di trasferimento che andranno a comporre la

24 Capitolo 2

matrice del mio sistema abbiano poli a parte reale minore di 0.

G1 +G2 G1 G2

G1 G1 0G2 0 G2

1 1 01 0 1

×

[UD1

D2

]=

YY1

Y2

U1

U2

(2.2.5)

Si ha la stabilita interna se la F.d.T. dei singoli sistemi interconnessi(G1, G2) hanno tutti ipoli a parte ℜ [pi] < 0

Specialmente nel caso della connessione in parallelo la stabilita interna e una definizione molto stringente,rispetto alla semplice stabilita del sistema, infatti essendo i dispositivi in parallelo e sufficiente che uno solodei due blocchi presenti una funzione di trasferimento con tutti i poli a parte reale minore di 0.

Nota. Il concetto di stabilita interna usato la dove si interconnettono piu sistemie molto importante inquanto ci garantisce dai malfunzionamenti interni.

Esempio2.2.3.

G1 (s) =1

s− 1

G2 (s) =−1

s− 1

⇒ G1 (s) + G2 (s) = 0 ∀ u (t)

Internamente se si considerano i due blocchi separati si osserva che ambedue danno origine a due segnalidivergenti; il sistema e instabile.

2.2.3 Blocchi interconnessi in Serie

uu1

G1(s)y1 +

+

d1

u2G2(s)

y2 y

Figura 2.2.3: Schema equivalente di due sistemi interconnessi in serie

In questo caso possiamo pensare ad un sistema che presenta 2 ingressi (u1 , d1 ) mentre la variabile chevolgiamo osservare per valutare il comportamento della stabilita del sistema ( cioe la variabile che ci interes-sino tornino a 0 pert → ∞ ) comprenderanno necessariamente : (y), ma per garantire lastabilit a internadel sistema sara necessario considerare anche i singoli ingressi e uscite dei vari blocchi in connessione (u1, y1, u2, y2).

Questo concetto come anticipato prende il nome distabilit a interna perche oltre all’uscitay, vengono presiin considerazione tutti i segnali interni al sistema. Piu chiaramente nel caso dell’interconnessione serie si hastabilita interna se e solo se:


u

d1

y

y1

y2

u1

u2

Sistema

Serie

1. ∀ coppia di ingressiu (t) edi (t) di durata limitata risultano:

limt→∞

y (t)u1 (t)y1 (t)u2 (t)y2 (t)

= 0 (2.2.6)

2. ∀ coppia di ingressiu (t) ed1 (t) persistenti e di ampiezza limitata i corrispondenti segnali (y (t) , u1 (t),y1 (t), u2 (t), y2 (t)) risultano di ampiezza limitata.

Per verificare la correttezza di questa definizione /condizione si deve anzitutto identificare tutte le funzionidi trasferimento che caratterizzano questo sistema. Essendo il sistema lineare con 2 ingressi e 5 uscite evalendo il principio di sovrapposizione degli effetti, potremo scrivere l’uscitay come combinazione lineare:

Y (s) = X (s)U(s) + Z (s) D1 (s) (2.2.7)

dove:X (s) =Y (s)

U (s)

∣∣∣∣D1(s)=0

mentre:Z (s) =Y (s)

D1 (s)

∣∣∣∣U=0

Per il calcolo della condizione di stabilita interna, e necessario verificare che tutte le FdT, abbiano poli aparte reale minore di zero, operando su schemi a blocchi e possibile ricavare le seguenti relazioni:

Y (s) = G1,1(s)U(s) + G1,2(s)D1 (s)

Y1(s) = G2,1(s)U(s) + G2,2(s)D1 (s)

...U2(s) = G5,1(s)U(s) + G5,2(s)D1(s)

(2.2.8)

Calcoliamo quindi la F.d.T., nella forma vettoriale, otteniamo la matrice che contiene le funzioni caratteriz-zanti del sistema in esame.

G1,1(s) =Y (s)

U(s)

∣∣∣∣D=0

= G1 ·G2

G1,2(s) =Y (s)

D1(s)

∣∣∣∣U=0

= G2

(2.2.9)

Y (s)Y1 (s)Y2 (s)U1 (s)U2 (s)

=

G1 ·G2 G2

G1 0G1 ·G2 G2

1 0G1 1

[U (s)D1 (s)

](2.2.10)

Si e cosı trovato il modello matematico del sistema in serie, adesso dovremmo capire sotto quali condizioni(delle funzioni di trasferimento) il sistema risulta stabile internamente secondo la definizione vista.

26 Capitolo 2

Iniziamo analizzando la prima condizione ovvero∀ coppia di ingressi con durata limitata, tutti i segnalitendono ad annullarsi. Nel caso di un sistema composto da un singolo blocco questa condizione era garantitase la funzione di trasferimento aveva tutti i poli con parte reale minore di 0, devo quindi analizzare il casodi piu blocchi. La condizione deve valere∀ U (s). Dal principio di sovrapposizione degli effetti possiamoricavare una condizione estesa a due ingressi cioe:

Y (s) = G1 (s)G2 (s)︸︷︷︸a

×U(s) + G2 (s)︸︷︷︸b

×D1 (s) (2.2.11)

Si impone che,G1 (s) ·G2 (s) debba avere tutti i poli a parte reale minore di0, e cheG2 (s) abbia tutti i polia parte reale minore di 0. Ripetendo questo ragionamento perogni uscita sia arriva ad imporre che tutte le5× 2 funzioni di trasferimento del sistema devono avere tutti i poli a parte reale minore di 0. Condizione distabilita sara quindi:

• G1 : ℜ pi < 0• G2 : ℜ pi < 0

Come conseguenza otteniamo che la stabilita e garantita se:

Stabilit a interna⇔ G1 ·G2 & G2 hanno tutti i poli a parte reale reale minore di zero.

Percio un sistema posto in interconnessione serie risultera stabile internamente se tutte e 10 le funzioni ditrasferimento hanno tutti i poli a parte reale minore di 0. Inrealta non e necessario considerare tutte e 10 lefunzioni di trasferimento e infatti sufficiente prendereG1 (s) ,G2 (s),G1 (s)G2 (s), ma dato che i poli di unprodotto altro non sono che l’unione dei poli e inutile considerarli singolarmente (a meno di cancellazioni).

Un sistema in interconnessione serie risulta stabile internamente se tutte le funzioni di trasferimento deisingoli blocchi hanno poli a parte reale minore di 0.

E interessante notare che la stabilita di un sistema interconnesso in serie visto nel corso diFondamentidi Automatica faceva riferimento solo al prodottoG1 (s)G2 (s), stabilita BIBO, ( che doveva avere polia parte reale minore di 0). Questa e sicuramente una condizione meno vincolante rispetto a quella dellastabilita interna poiche potevano essere presenti dellecancellazioni.

Esempio2.2.4.

G1(s) =s

s+ 1G2(s) =

1

s

Y (s) = G1(s) ·G2(s)× U(s)

sotto le ipotesi ched1 (t) = 0.Perd1 = 0 abbiamo che il sistema rispetta la condizione di stabilitainterna.

Analizziamo adesso il caso in cuid1 (t) 6= 0

Esempio2.2.5. Consideriamo ched1 sia il rumore di sottofondo di un amplificatore operazionale(rumorebianco).

d1 (t) = ǫ, ∀ t


In questo caso otterremmo:

Y (s) = G1(s)G2(s)U(s) +G2(s)D1(s) =1

s+ 1U(s) +

1

sD1(s)

come ricordato in precedenza, la funzione1/s ha il comportamento di un integratore. L’uscita del nostrosistema sara quindi composta da una parte buona, dovuta alla risposta alla perturbazione in ingresso e dauna parte cattiva (che diverge nel tempo) dovuta all’effetto integrativo del bloccoG2(s) a cui viene inviatoun disturboǫ (t) .

y (t) = yu (t)︸︷︷︸parte buona

+ yd (t)︸︷︷︸parte divergente

Bisogna quindi stare attenti alla F.d.T. dei singoli blocchi e non alla funzione di trasferimento totale delnostro sistema complessivoG1 ·G2.

Esempio2.2.6. Supponiamo di avere un sistemaP (s) controllato in catena diretta:

u (t) C(s) P (s) y (t)

SeP (s) =s+ 1

s− 1il sistema non risulta stabile data la presenza di un polo a parte reale maggiore di 0, per

questo e necessario un blocco di controlloC(s) in grado di garantire cheyo (t) uscita desiderata sia identicoay (t) uscita reale.

C (s) =s− 1

s+ 1

Ma essendo presente una giunzione di due blocchi e lecito supporre la presenza di un certo disturbo di fondose pur piccolod (t) = ǫ, che supponiamo essere di intensita costante (segnale a gradino). In questo caso si

yo (t)+

-C(s)

+ +

di (t)

P (s) y (t)

avra in sucita:

Y (s) = C (s)P (s)Y o (s) + P (s)D (s) = Y o (s) +

(s+ 1

s− 1

)ǫ

s

anti trasformando otterremo:

y (t) = yo (t) + L−1

(A

s− 1+B

s

)= yo (t) + L

−1

(2ǫ

s− 1− ǫ

s

)= yo (t) + 2 ǫ et − ǫ

si ottiene percio una risposta del tipo:

y (t) = yo (t) + 2 ǫ et − ǫ

28 Capitolo 2

comprendente l’uscita desiderata (yo (t)) piu un contributo dovuto al disturbo costanteǫ, data la presenzadell’esponenziale crescente nonostanteǫ sia molto piccolo l’uscitay (t) tendera ad∞ per t → ∞. Perciounacancellazione polo zero di questo tipo garantisce la stabilit a ingresso uscita ma non la stabilitainterna del sistema.

Esempio2.2.7. Consideriamo lo stesso sistema dell’esempio precedente macon le due funzioni di trasferi-mento invertite:

P (s) =s− 1

s+ 1, C (s) =

s+ 1

s− 1

In questo caso il segnale interno conyo (t) gradino costante produrra:

Y1 (s) =s− 1

s+ 1

M

s⇒ yo (t) = . . .− et

anche in questo caso dal punto di vista della stabilita ingresso uscita non varia niente ma e ancora presenteun segnale divergente, che tende a meno infinito, l’uscita tendera asintoticamente a zero qualunque sia ilmio segnale di ingresso.Il sistema non risponde piu alle sollecitazioni.

2.2.4 Retroazione

Andiamo adesso a caratterizzare la connessione per noi piuimportante, cioe il sistema connesso in retroa-zione ideale per il controllo dei sistemi. Analizziamo la configurazione base per poi passare alla versionecompleta del punto di vista del controllo.

r+

-

u1G1(s)

y1 + +

d1

y

+

+d2

u2G2(s)

y2

Figura 2.2.4: Diagramma a Blocchi di due FdT in retroazione.

r

d1

d2

y

u1

y1

u2

y2

Sistema

Retroazione

Con questa configurazione si hanno tre ingressi e cinque uscite per un totale di quindici funzioni di trasferi-


mento. Andiamo quindi a scrivere la FdT totale del sistema retro azionato.

Y (s) = G1,1(s)R(s) + G1,2(s)D1(s) + G1,3(s)D2(s)+

Y1(s) = G2,1(s)R(s) + G2,2(s)D1(s) + G2,3(s)D2(s)+

...U2(s) = G5,1(s)R(s) + G5,2(s)D1(s) + G5,2(s)D2(s)+

(2.2.12)

G1

1 +G1G2

1

1 +G1G2

−G1G2

1 +G1G2

G1

1 +G1G2

−G2G1

1 +G1G2

−G1G2

1 +G1G2

G1G2

1 +G1G2

G2

1 +G1G2

G2

1 +G1G2

1

1 +G1G2

−G2

1 +G1G2

−G2

1 +G1G2

G1

1 +G1G2

1

1 +G1G2

1

1 +G1G2

R

D1

D2

=

Y

Y1

Y2

U1

U2

(2.2.13)

Dall’analisi del sistema si ottiene 4 funzioni di trasferimento distinte. Dalla definizione di stabilita internasi ricava il seguente enunciato:

Lemma 2.2.8. Il sistemae internamente stabile se e solo se le 4 funzioni di trasferimento che compongonoil sistema hanno tutte poli a parte reale minore di zero:

1 , G1(s), G2(s), G1(s)G2(s)

1 +G1(s)G2(s)

presentano singolarita polaripi : ℜ [p1] < 0 (2.2.14)

Nota. Nella matrice delle funzioni di trasferimento il denominatore e sempre lo stesso. Trattandosi di unaregolazione con feedback negativo ovvero 1+ funzione di trasferimento dell’anello (G1(s)G2(s)) mentrequello che si modificae la funzione al numeratore.

In questo caso per avere stabilita interna non e sufficiente che i blocchi abbiano poli a parte reale minoredi 0, tale condizione e valida solo in questo caso, ma e necessario che tutte le uscite interne ed esterne delsistema siano limitate pert > 0:

|y (t)| ≤ My per t ≥ 0

|y1 (t)| ≤ My1per t ≥ 0

(2.2.15)

tale condizione deve essere rispettata per tutti i segnali interni.

Esempio2.2.9.

G1(s) =1

s− 1G2(s) = k

Calcolola FdT:

1 +G1(s)G2(s) = 1 +k

s− 1=

s− 1 + k

s− 1

1

1 +G1(s)G2(s)=

s− 1

s− 1 + k

30 Capitolo 2

G1

1 +G1 ·G2=

1

s− 1· s− 1

s− 1 + k=

1

s− 1 + k

G2

1 +G1 ·G2= k · s− 1

s− 1 + k=

k (s− 1)

s− (1 + k)

G1 ·G2

1 +G1 ·G2=

k

s− 1· s− 1

s− 1 + k=

k

s− 1 + k

(2.2.16)

Si osserva che tutte le funzioni hanno lo stesso denominatore s− 1 + k , il polo e−k+ 1 quindi la stabilitainterna e verificata perk > 1.Invece di guardare tutte le FdT, possiamo ridurci a studiaresolo il temine:

1 +G1(s) ·G2(s)

I poli di questa funzione sono gli zeri della FdT del sistema generale.

Definizione 2.2.3(Condizione necessaria ). Tutti gli zeri di 1 +G1(s)G2(s) sono tutti a parteℜ < 0. Talecondizione in questo caso non e sufficiente per stabilire lastabilita del sistema ma enecessaria, a causa diproblemi dicancellazione. Per la stabilita interna basta che i singoli sistemi interconnessi di per se sianostabili.

Esempio2.2.10.

G1(s) =1

s− a G2(s) =s− as

1 +G1(s)G2(s) = 1 +1

s− a ·s− as

= 1 +1

s=

s+ 1

s

1

1 +G1(s)G2(s)=

s

s+ 1

La FdT Ottenuta ha poli a parte reale minore di zero e quindi stabile.

G1(s) ·G2(s)

1 +G1(s)G2(s)=

s

s+ 1· 1s

=1

s+ 1

G2(s)

1 +G1(s)G2(s)=

s

s+ 1· s− a

s=

s− as+ 1

G1

1 +G1(s)G2(s)=

s

s+ 1

1

s− a︸︷︷︸Puo dare problemi

Per la stabilita interna devo aggiungere una seconda condizione: Non devono esistere delle cancellazionipolo zero traG1(s) eG2(s) che interessino poli a parte reale maggiore o uguale a zero. La prima condizionedeve essere verificata matematicamente.Ottengo la stabilita interna solo per valori dia < 0.


Riepilogo sulla stabilit a Interna nei sistemi in retroazione

• Gli zeri di 1 +G1(s) ·G2(s) sono tutti a parteℜ |pi| < 0.

1 +G(s) 6= 0 ∀ s : ℜ [s] > 0

• Non ci devono essere cancellazioni fra poli e zeri diG1(s) eG2(s) a parte reale maggiore di zero.

Eventuali cancellazioni con poli a parte reale minore di zero non interessano il problema della stabilita.

2.3 Sistemi di controllo

yo +

-

uiC(s)

y1 + +

d1

u2P (s)

y2 + +

d0

y

+

+dh

u3H(s)

y3

Figura 2.3.1: Schema a blocchi di un sistema in retroazione.

Funzione di trasferimento

• P (s) Sistema da controllare (impianto).• C(s) Controllore.• H(s) Sensore che fornisce la misura che vogliamo controllare.• dh Disturbo di misura. Quello che misuro non e mai esattamentel’uscita ma qualcosa di diverso.

Spesso le funzioniP (s) eH(s) sono note, e quindi necessario progettareC(s).Tutto questo cercando di ottenere che:

y (t) ∼= yo (t)

Il sistema deve essere quindi stabile internamente altrimenti risulta essere inutilizzabile.

r

di

do

dh

y

y1

y2

y3

u1

u2

u3

Sistema

Generale

Il sistema sara quindi caratterizzato da4 × 7 = 28 FdT .

32 Capitolo 2

Definizione 2.3.1(Anello di reazione). Definisco anello di reazioneN(s), il denominatore comune a tuttele 28 FdT

N(s) = 1 + P (s)C(s)H(s) (2.3.1)

La funzione di trasferimento generale risulta essere:

1 , G(s) , P (s) , H(s) , P (s)C(s) , C(s)H(s) , P (s)H(s) , P (s)C(s)H(s)

1 + P (s)C(s)H(s)

(2.3.2)

Per lo studio della stabilita la regola generale e che i poli siano tutti a parte reale minore di zero.

Come semplificare le operazioni Dato che tutte le funzioni di trasferimento hanno lo stesso deno-minatore a comune e che le radici del denominatore1 + P (s)C(s)H(s) non sono che i poli delle funzionidi trasferimento ne consegue che e possibile enunciare unaprima condizione equivalente per la definizionedella stabilita interna. Si puo affermare che nel generico sistema in retroazione, si ha stabilita interna se esolo se :

1a Gli zeri di 1 + P (s)C(s)H(s) devono essere a parte reale minore di zero.

Purtroppo questa e una condizione non sufficiente da sola a garantire la stabilita interna del circuito infatti:

Esempio2.3.1.

P (s) =1

s− 1Impianto con polo a destra

C(s) = ks− 1

sControllore con zero a destra

H(s) = 1

P (s)C(s)H(s) =k

s

la 1a condizione ci dice che1 + P (s)C(s)H(s) =

(1 +

k

s

)deve avere tutti gli zeri a parte reale minore

di 0; calcoliamo quindi gli zeri di questa funzione.

1 + ks− 1

s· 1

s− 1= 0 ⇒ s+ k

s= 0 ⇒ s = −k

quindi ∀ k ≥ 0 e verificata la prima condizione. Andiamo ora a vedere cosa succede alle funzioni ditrasferimento nel caso si verifichino delle cancellazioni:

P (s)

1 + P (s)C (s)H (s)=

1

s− 1s+ k

s

=s

(s+ k) (s− 1)

C (s)

1 + P (s)C (s)H (s)=

k(s− 1)

ss+ k

s

=k (s− 1)

(s+ k)


Nella prima espressione calcolataP (s) presenta un polo ins = 1, tale polo si trova anche in una dellefunzioni di trasferimento calcolate, essendo un polo a parte reale maggiore di 0, non si ha stabilita interna .Nelle successive espressioniC (s) presenta uno zero ins = 1 che non crea nessun problema.

La prima funzione di trasferimento considerata, ci da informazioni su come un disturbo influenza l’uscita,infatti nel caso in cui venga fornito un ingresso limitato a causa del polo si ha una uscita divergente.

E percio necessario aggiungere delle condizione per garantire la stabilita interna.In primis che non ci siano cancellazioni polo-zero tra poli ezeri a parte reale maggiore uguale di 0.

2a La funzioneP (s)C(s)H(s) e data dalla moltiplicazione di tre FdT, devo quindi

studiare eventuali fenomeni di cancellazione, di poli a parte reale maggiore di zero.

Questa condizioni risultabanale, poiche solitamente l’impiantoP (s) e assegnato cosı come il trasduttoreH (s) che dovra essere un sistemastabilee dato che il controlloreC(s) viene progettato da noi e opportunoevitare cancellazioni polo zero a parte reale maggiore uguale di 0. Il problema e quello che nel prodotto diFdT non si verifichino cancellazioni al numeratore.

Esempio2.3.2.

P (s) =1

s− 1C(s) = 2

H(s) = 1

P (s)C(s)H(s) =2

s− 1

la 1a condizione ci dice che1 + P (s)C(s)H(s) =

(1 +

2

s− 1

)=

s+ 1

s− 1deve avere tutti gli zeri a parte

reale minore di 0, tale funzione presenta uno zero ins = −1 quindi la1a condizione e verificata. Andiamoora a verificare l’altra condizione ovvero quella sulle funzioni di trasferimento.

1

1 + P (s)C(s)H(s)=

s− 1

s+ 1;

P (s)

1 + P (s)C(s)H(s)=

1

s+ 1;

C (s)

1 + P (s)C(s)H(s)=

2 (s− 1)

s+ 1;

H (s)

1 + P (s)C(s)H(s)=

s− 1

s+ 1;

C (s)P (s)

1 + P (s)C(s)H(s)=

2

s+ 1;

P (s)H (s)

1 + P (s)C(s)H(s)=

1

s+ 1;

C (s)H (s)

1 + P (s)C(s)H(s)=

2 (s− 1)

s+ 1;

C (s)P (s)H (s)

1 + P (s)C(s)H(s)=

2

s+ 1;

Si nota subito che tutte le funzioni trasferimento presentano un polo ins = −1. Non essendoci cancellazioniessi coincidono con gli zeri del denominatore di (1 + P (s)C (s)H (s))

34 Capitolo 2

Nota. (1 + P (s)C (s)H (s)) e un polinomio ins per cui dobbiamo controllare che parte reale hannoi suoi zeri ( quindi si devono calcolare prima gli zeri e poi verificare che siano a parte reale minore di0). Supponiamo che non siamo presenti cancellazioni ci rimana da verificare la1a condizione, che risultaessere pari allo studio della stabilita di un sistema di controllo in retroazione unitaria.

Esempio2.3.3.

P (s) =1

s− 1C(s) =

s− 1

sH(s) =

1

s+ 1

P (s)C(s)H(s) =1

s(s+ 1)

1 + P (s)C(s)H(s) =(s− 1)(s + 1)s + (s− 1)

(s− 1)(s + 1)s=

s2 + s+ 1

s(s+ 1)

C(s)

1 + P (s)C(s)H(s)=

1

s− 1· s

2 + s+ 1

s(s− 1)

Se e verificata la seconda condizione, si puo semplificare lo studio del sistema:

Definizione 2.3.2(Funzione di anello). Definisco la funzione di trasferimento ad anello come il prodottodei singoli blocchi che si trovano lungo l’anello:

L(s) = P (s)C(s)H(s)

La condizione di stabilita viene ora descritta, con l’imporre che i poli di1+L(s), siano strettamente a partereale minore di zero.

Definizione 2.3.3(Funzione di trasferimento in retroazione). Definisco funzione di trasferimento in retroa-zione, e la indico conW (s) la funzione:

W (s) =L(s)

1 + L(s)

R+

-L(s) Y

La condizione di stabilita interna e verificata se tutti i poli di W (s) hanno parte reale minore di 0 in sensostretto. Ma dalla definizione diW (s) si osserva immediatamente che ipoli della funzione,W (s) sono glizeri della funzione di anelloL(s). Esistono alcuni strumenti che permetto di studiare la stabilita internadella funzione di trasferimentoW (s), nel caso in cui rispettata la seconda condizione di stabilita e sono:Nyquist, Luogo delle Radici, ecc.. .Facciamo le seguenti Hp:

• L(s) razionale fratta, strettamente propria.• ni(L): numero di poliL(s) e parte reale maggiore di zero.• L(D): diagramma di Nyquist esteso diL(s) ( conD percorso di Nyquist, rotazioni in senso orario.)


2.3.1 Criterio di Nyquist

Definizione 2.3.4.Il sistema in retroazione unitaria e stabile (internamente) se e solo se:

1 + L(jω) 6= 0, ∀ω ≥ 0

ni(L) = NL(D) − 1

Y o +∆(s)

+L(s)

Y

−+

Applicazione del criterio di Nyquist (stabilit a robusta)

• Il sistema e stabile internamente in condizioni nominali (∆(s) = 0).• La perturbazione∆(s) appartiene alla classe∆ǫ delle funzioni razionali fratte, proprie , con tutti i poli a

parte reale minore di zero e con picco di risonanzaMr (∆) non superiore aǫ.

Risultato (Teorema del piccolo guadagno) Il sistema perturbato e stabile internamente∀L(s) e ∆ǫ

Mr(W )

ǫ< 1

doveMr(W ) e il picco di risonanza di:

W (s) =L(s)

1 + L(s)

2.4 Problema dell’inseguimento (asintotico)

Il problema dell’inseguimento, consiste nell’individuare delle tecniche di progetto del sistema, in manieratale che l’uscita segua im maniera fedele l’ingresso.In un primo momento ci limiteremo a trattare lo studio dei sistemi stabili internamente. Analizziamo il caso

yo H(s)r +

-

eC(s)

+ +

di

P (s)+ +

d0

y

+

+dhH(s)

ideali in cui i disturbi siano nullidi = do = dh = 0.

r(t) = h(t) ⊗ yo (t)

36 Capitolo 2

Nel problema di inseguimento asintotico,

limt→∞

|yo (t) − y (t)| ≡ 0 (2.4.1)

Lemma 2.4.1. Nel problema di inseguimento asintotico, dobbiamo renderel’uscita vera del nostro sistemaidenticamente uguale, all’uscita desiderata.

Devo quindi trovale la FdT diC(s) tale da ottenere tale condizione. Il progetto si basa sulla sola ricerca delbloccoC(s), poiche i blocchiP (s) eH(s), sono dati come specifica.

2.4.1 Problema di reiezione dei disturbi asintotici

Lo studio della reiezione ai disturbi asintotici puo essere diviso, nello studio della soluzione di 3 problemi,in relazione al tipo di disturbo.

Disturbo sull’ingressor (t) = d0 (t) = dh (t) = 0 di 6= 0

Noi vogliamo che:

r(t) = 0+

-C(s)

+ +

di (t)

P (s)+ +

d0 = 0

y (t)

+

+dh = 0H(s)

Figura 2.4.1: Sistema con solo disturbo in ingresso

limt→∞

|yo (t)− y (t)| = 0

Disturbo sull’uscitar (t) = di (t) = dh (t) = 0 d0 6= 0

Noi vogliamo che:

r (t) = 0+

-C(s)

+ +

di (t) = 0

P (s)+ +

d0 (t)

y (t)

+

+dh (t) = 0H(s)

Figura 2.4.2: Sistema con solo disturbo sull’uscita

limt→∞

|yo (t)− y (t)| = 0


Disturbo di misurar (t) = di (t) = do (t) = 0 dh 6= 0

Noi vogliamo che:

r (t) = 0+

-C(s)

+ +

di (t) = 0

P (s)+ +

d0 = 0

y (t)

+

+dh (t)H(s)

Figura 2.4.3: Sistema con solo disturbo sulla misura

limt→∞

|yo (t)− y (t)| = 0

In tutti e tre i casi vogliamo che l’uscita non risenta in nessun modo dei disturbi.Analizziamo la reiezione ai disturbi nei tre casi:

yo

+

y

-

EH(s)

VC(s) P (s) y

Figura 2.4.4: Schema a blocchi equivalente per lo studio delproblema di inseguimento. Si osserva chel’uscita yo (t) e stata riportata sull’ingresso.

V = H · Yo − H · Y = H (Y o − Y )

Il segnale di erroreE = Y o − Y , risulta essere:

e (t) = yo (t)− y (t)

possiamo modificare il sistema considerando il segnale errore E come uscita eY o − Y come ingresso,ottenendo il seguente schema a blocchi:

Y o(s) +E(s)

H(s)C(s)P (s)

-

Figura 2.4.5: Schema di controllo per lo studio del problemadell’inseguimento.

L’obbiettivo che devo ottenere e quello di renderelimt→∞

|yo (t)− y (t)| = e (t).

Corollario 2.4.2. Tutti i problemi di inseguimento e reiezione dei disturbi, possono essere studiati allostesso modo.

38 Capitolo 2

Il problema dell’inseguimento asintotico lo si puo riformulare come in figura 2.4.5, dove l’errore asintoticorappresenta l’uscita del sistema.

limt→∞

|e (t)| = 0 (2.4.2)

Nota. Questo ragionamento puo essere applicato anche ai sistemi con disturbo in uscita o disturbo sullamisura.

2.4.2 Reiezione del disturbo di ingresso e di uscita

Nel problema della reiezione del disturbo di ingresso, l’uscita deve andare a zero qualunque sia il tipo didisturbo in ingresso al sistema.

di+

-P (s) y

H(s)C(s)

Figura 2.4.6: Rappresentazione equivalente del sistema dicontrollo per lo studio del disturbo di ingressoall’impianto.

limt→∞

y (t) = 0

Y (s)

Di(s)=

P (s)

1 +H(s)C(s)P (s)(2.4.3)

Analogamente per il disturbo sull’uscita potremo scrivere:

do +y (t)

H(s)C(s)P (s)

-

Figura 2.4.7: Rappresentazione equivalente del sistema dicontrollo per lo studio del disturbo sull’uscitaall’impianto.

Y (s)

Do(s)=

1

1 +H(s)C(s)P (s)(2.4.4)

Lo schema in figura 2.4.7 e identico al modello 2.4.5. Questovuol dire che se il mio sistema e in gradodi inseguire un segnaleyo, allora lo stesso sistema e in grado di reiettare un disturbo con forma identica aquella diyo.

Esempio2.4.3. Problema dell’inseguimento di un gradino unitarioyo (t). Se un sistema di controllo hae (t) = 0 , vuol dire che l’uscita vera, dopo il transitorio, convergera ayo (t).Se il disturbo sull’uscita e un gradino, allora il sistema sara in grado di reiettare tale tipo di disturbo.


2.4.3 Reiezione del disturbo di misura

Lo schema coincide con quello del problema dell’inseguimento. Dato il disturbo di misuradh 6= 0 dobbiamotrovare il controllore che rendey (t) = 0 pert→∞

dh (t)+

+H(s)

+

r (t) = 0

-C(s) P (s) y (t)

Figura 2.4.8: Sistema di controllo per lo studio del disturbo in ingresso al sensore.

Y (s) = −H(s)C(s)P (s) (Dh(s) + Y (s)) =

Y (1 +H(s)C(s)P (s)) = −H(s)C(s)P (s)Dh(s) =

− Y (s)

Dh(s)= − H(s)C(s)P (s)

1 +H(s)C(s)P (s)

(2.4.5)

Se cambio il segno sul nodo di reazione ottengo il nuovo sistema

dh -

y

-H(s) C(s) P (s) y (t)

Figura 2.4.9: Rappresentazione equivalente del sistema dicontrollo per lo studio del disturbo in ingresso alsensore.

Y (s)

Dh(s)=

H(s)C(s)P (s)

1 +H(s)C(s)P (s)(2.4.6)

Diversamente cambiando il segno del segnale in ingresso ottengo il nuovo sistema dove:

dh −1+

H(s) C(s) P (s) y (t)−

Figura 2.4.10: Rappresentazione equivalente del sistema di controllo per lo studio del disturbo in ingressoal sensore.

Y (s)

−Dh(s)=

H(s)C(s)P (s)

1 +H(s)C(s)P (s)(2.4.7)

per l’equivalenza posso scrivere la FdT nel seguente modo:

Y (s)

Dh(s)= − H(s)C(s)P (s)

1 +H(s)C(s)P (s)(2.4.8)

Posso semplificare ulteriormente gli schemi.

40 Capitolo 2

2.4.4 Funzioni di trasferimento di un sistema di retroazion e unitaria

1. Inseguimento

yo (t)1

1 + C(s)P (s)H(s)e (t)

(2.4.9)

2. Errore di misura

dh (t)−C(s)P (s)H(s)

1 + C(s)P (s)H(s)y (t)

(2.4.10)

3. Disturbo sull’uscita

d0 (t)1

1 + C(s)P (s)H(s)y (t)

(2.4.11)

4. Disturbo in ingresso

di (t)P (s)

1 + C(s)P (s)H(s)y (t)

(2.4.12)

Le caratteristiche comuni delle quattro funzioni di trasferimento sono:

1. Ingresso arbitrario.2. FdT razionali fratte con poli a parte reale strettamente minore di zero.

In generale:G(s) ha poli a parteℜ < 0 purche siamo nell’ipotesi di sistema stabile internamente.

Problema 2.4.4. Quale ulteriore condizione deve soddisfareG(s) affinche il sistema si comporti comedesiderato?

Ovviamente queste condizioni dipendono dallo specifico segnaler (t) che abbiamo in ingresso. Il fatto cheG(s) abbia poli a parte reale minore di zero, ci assicura cher (t) e una eccitazione di durata limitata e chedopo il transitorio, l’uscita andra a zero.

Osservazioni. None detto cher (t) sia di durata limitata nel tempo.


3.1 Problema di inseguimento

yo H(s)r +

-

eC(s)

+ +

di

P (s)+ +

d0

y

+

+dhH(s)

Iniziamo a definire la prima ipotesi di analisi, cioe che il sistema e internamente stabile:

1. Condizione di Inseguimento.di = do = dh = 0

limt→∞

|yo (t)− y (t)| = 0

2. Condizione di reiezione del disturbo in ingresso.

do = dh = 0

limt→∞

|y (t)| = 0

3. Condizione di reiezione del disturbo sull’uscita.

di = dh = 0

limt→∞

|y (t)| = 0

4. Condizione di reiezione del disturbo sul trasduttore

do = di = 0

limt→∞

|y (t)| = 0

42 Capitolo 3

I quattro segnali di ingresso al sistema (Y o , Di, Do, Dh) influenzeranno quello che viene definito comeerrore di controllo , cioe la differenza tra l’uscita desiderata (Y o) e l’uscita reala (Y ).

Si nota subito che le 4 funzioni di trasferimento, non sono altro che 4 delle possibili funzioni di trasferimentodell’anello con lo stesso denominatore. Posso quindi sintetizzare i 4 problemi imponendo:

limt→∞

|e (t)| = 0

r (t) G(s) e (t)

Figura 3.1.1: funzione ditrasferimento

DoveE (s) e riferita ad una variabile di errore mentre il generico l’in-gressoR (s) e riferito alla presenza di uno solo dei quattro possibilisegnali di ingresso.

3.1.1 Costruzione della Tabella

Problema G(s) r (t) e (t)

Inseguimento1

1 + L(s)yo (t) yo (t)− y (t)

Reiezione

del disturboP (s)

1 + L(s)di (t) −y (t)

di (t)Reiezione

del disturbo1

1 + L(s)do (t) y (t)

do (t)Reiezione

del disturbo − L(s)

1 + L(s)dh (t) y (t)

dh (t)

Tabella 3.1: Tabella riassuntiva delle funzioni di trasferimento di un sistema in retroazione unitaria

Faccio la seguente osservazione:

Osservazioni. Assegnator (t), quando e che G(s) rispetta le miespecifiche?

Pongo delle ipotesi:

1. Parto sempre dall’ipotesi cheG(s) abbia tutti i poli a parte reali minore di zero (hp di sistema stabileinternamente).

2. r (t) ha Trasformata di Laplace razionale fratta del tipo:

R(s) =T (s)

Q+(s) Q−(s)(3.1.1)

• Q−(s) Poli a parte reale minore di zero


• Q+(s) Poli a parte reale maggiore di zero

3. PongoE(s) = G(s) ·R(s) da cui ricavo la condizione:

0 = limt→∞

|e (t)| = limt→∞

∣∣L −1 [E(s)]∣∣

G(s) =B(s)

A(s)

da cui ricavo la funzione razionale fratta:

E(s) =B(s)

A(s)· T (s)

Q+(s)Q−(s)

Da cui limt→∞|e (t)| = 0 e vera se e solo seE(s) ha poli a parte reale minore di zero.

Analizziamo adesso i tre gruppi di radici, ricavati della funzione razionale frattaE(s):

A(s) I poli della funzioneG(s) sono a parte reale minore di zero; per l’ipotesi iniziale di sistema internamentestabile.

Q−(s) Sono poli a parte reale minore di zero per la loro definizione.Q+(s) In questo caso devo verificare che i coefficienti dell’antitrasformata siano identicamente nulli, tale condi-

zione si verifica quandoB(s) ≡ Q+(s)

Lemma 3.1.1. Ne ricaviamo il seguente risultatolimt→∞

|e (t)| = 0 =⇒ I poli ℜ[pR(s)

]≥ 0 sono uguali ai

zeri della funzione di trasferimentoG(s).

Esempio3.1.2.

G(s) =1

1 + L(s)

Y o(s) =1

s

E(s) =1

1 + L(s)· 1s

Ma il polo s = 0 mi da fastidio per la stabilita interna del sistema. (Vedi Prima Lezione)G(s) dovra avereuno zero perfettamente in questo polo.

L(s) = C(s)P (s)H(s)

Agisco quindi sul blocco controlloreC(s)

E(s) =1

1 +B(s)A(s)

1

s=

A(s)

A(s) +B(s)· 1s

maA(s) e il numeratore diE(s)limt→∞

|yo (t)− y (t)| = 0

Da cuiA(s) = A′

(s) · s, devo cancellare il polo nell’origine.

Corollario 3.1.3. Per avere inseguimento asintotico del gradino devo avere almeno un polos = 0.

44 Capitolo 3

3.1.2 Caso generale

Y o(s) =P (s)

Q+(s)Q−(s)L

−1

[Y o (s) · 1

1 + L (s)

]= 0

limt→∞|yo (t)− y (t)| = 0⇐⇒ L(s) = C(s)P (s)H(s)

La funzioneL(s) ha i poli a parte reale≥ 0 di Y o(s), con almeno la stessa molteplicita.

yo +

-C(s) P (s) y

H(s)

Figura 3.1.2: Schema a blocchi del sistema per lo studio del problema di inseguimento.

Schema generale per lo studio del problema di inseguimento asintotico

limt→∞

|yo (t)− y (t)| = 0

E(s) = Y o(s)1

1 + L(s)=

P (s)

Q−(s)Q+(s)· 1

1 + L(s)

Sostituendo allaL (s) la formaB (s) /A (s) ottengo:

A(s)

A(s) +B(s)· P (s)

Q−(s)Q+(s)

L(s) =1

Q+(s)L

′

(s)

P (s)

Q−(s)Q+(s)

+

-L(s) =

1

Q+(s)L

′

(s) y

Figura 3.1.3: Schema a blocchi del sistema per lo studio del problema di inseguimento. Rappresentazionedel sistema attraverso la funzione di trasferimento ad anello aperto.

• Il guadagno ad anello deve avere la stessa parte instabile del segnale che deve essere fedelmenteinseguito (‘principio del modello interno’) .• Se il segnale da inseguire ha delle dinamiche instabili essedevono essere generate internamente dal

sistema di controllo.

Nota. Il problema dell’inseguimentoe molto complesso perche per poter seguire fedelmente i segnali iningresso, questi deve essere conosciuti perfettamente, poiche la loro parte instabile, che diverge nel tempo,deve essere rigenerata internamente.


3.2 Principio del modello Interno

Se si deve inseguire fedelmente il segnale con dinamiche instabili, queste dinamiche devono essere generateinternamente dal sistema di controllo.(Il sistema deve essere in grado di generare internamente laparteinstabile). Se non conosco il segnale da seguire non riesco a cancellarele dinamiche dell’ingresso, non hoquindi l’annullamento degli effetti pert→∞.

limt→∞

|e (t)| = 0 =⇒ G(s) = Q+(s)G′

(s)

yo H(s)r +

-

eC(s)

+ +

di

P (s)+ +

d0

y

+

+dhH(s)

Figura 3.2.1: Diagramma a blocchi del sistema di controllo.

Se ho inseguimento asintotico perfettolimt→∞

|e (t)| = 0, allora e soddisfatta anche la condizione di uscita

con disturbo costante.

Analizzando la tabella si osserva che il problema di reiezione del disturbo di uscita e il problema di reiezionesull’errore di misura non possono essere soddisfatti entrambi per la stessa tipologia di segnale.

Esempio3.2.1.

yo (t) = t Rampado (t) = A cosωt

dh (t) = B cos Ωt per Ω >> ω

(3.2.1)

limt→∞

|yo (t)− y (t)| = 0

Devo risolvere tre problemi. Utilizzo l’ipotesi di sistemalineare. Risolvo singolarmente tre problemi esommo le soluzioni.

E(s) = Y o(s)1

1 + L(s)+

1

1 + L(s)D0(s) −

L(s)

1 + L(s)Dh(s)

Risolvo il sistema imponendo le condizioni aL(s).

Y o(s) = rampa → L(s) = 2 poli in s = 0

D0(s) = As

s2 + ω2

Imponiamo come condizione cheD0(s) deve avere poli complessi a parte reale nulla, mentreL(s) deveavere poli ins = ±jω

Dh(s) = Bs

s2 + Ω2

46 Capitolo 3

E(s) =1

s2· 1

1 + L(s)+

1

1 + L(s)· A(s)

s

s2 + ω2− L(s)

1 + L(s)·B(s)

s

s2 + Ω2

L(s) deve avere zeri ins = ±jΩ.Risolvo il problema ponendo:

L(s) =1

s2· s

2 + Ω2

s2 + ω2L

′

(s)

conL(s) = C(s)P (s)

yo H(s)r +

-

eC(s)

+ +

di

P (s)+ +

d0

y

+

+dhH(s)

Esempio3.2.2.

yo (t) = 0

di (t) = 0

H(s) = 1

do (t) = A cosωt

dh (t) = B cos Ωt

(3.2.2)

limt→∞

y (t)→ yd (t) + yh (t)

Contributo del disturbo di uscita pers = jω.

yd (t) = A

∣∣∣∣1

1 + L(jω)

∣∣∣∣ cos[(ω t) + arg

1

1 + L(jω)

]

Contributo del disturbo di misura pers = jΩ

yh (t) = A

∣∣∣∣−L(jΩ)

1 + L(jΩ)

∣∣∣∣ cos[(Ω t) + arg

L(jΩ)

1 + L(jΩ)

]

Per il principio di sovrapposizione degli effetti che regola i sistemi lineari, analizzando i

disturbi osservo cheyd + yh e pari a1

1 + L(j ω)+

L(j ω)

1 + L(j ω)= 1, quindi, il caso in cui

ω = Ω, che farebbe tendere entrambe le funzioni di trasferimentoa zero, non e realistico.Teoricamente, quindi tanto piuω ≈ Ω tanto piu e difficile annullare l’effetto dei disturbisull’uscita del mio sistema. Nella pratica pero, sappianoche le pulsazioni per cui si annullal’effetto del disturbo sull’uscitas = jω sono localizzate nella banda del nostro sistema,mentre le pulsazione per la quale si ha la discontinuita polare dovuta al blocco di misuras =jΩ si trovano al di fuori della banda del nostro sistema, (altrimenti il sensore va sostituito)quindi il sistema puo reagire in maniera corretta.


Nota. Questoe un problema tecnico ma non pratico perche quando vado a fare la misura si assume cheil trasduttore sia affidabile e restitusca il valore corretto, non affetto da errore, nella banda di lavoro delnostro sistema, ossia nella banda in cui la grandezza debba essere misurata. La grandezza che normalmenteviene misuratae l’errore sull’uscita che viene re introdotto nella banda.


4.1 Stabilit a dei Sistemi in Retroazione

r (t) G(s) e (t)

Ripartiamo dalla condizione di sistema internamente stabile: poli a parte reale minore di zero.

L [r(t)] =T (s)

Q−(s)Q+(s)(4.1.1)

limt→∞

|e (t)| = 0 ⇔ G(s) = Q+(s)G′

(s) (4.1.2)

Sotto le ipotesi di stabilita interna si e visto sotto quali condizioni se assegnatiyo (t),d (t) , h (t) si puo far

yo (t)+

-

vC(s)

+ +

di (t)

P (s)+ +

do (t) = 0

y (t)

+

+h (t)

si che l’erroree (t) = yo (t)− y (t) tenda a 0 pert→∞.

r (t) G(s) e (t)

Si e fatta un’analisi sulla variabile di controllo (e (t)) per meglio capire co-me questa sia influenzata da un segnale fisso in particolare sie analizzatoil caso schematizzato a fianco:

Ricorda. Quandor (t) e assegnato ne consegue cher → 0 se i poli diR (s) a parte reale> 0sono cancellati dagli zeri diG(s) (Principio del Modello Interno).

Purtroppo quando si ha un sistema non e affatto detto che si conosca esattamente i segnali che lo interessano,salvo forse l’uscita desiderata, per questo oggi proveremoad estendere il ragionamento fatto la scorsa lezionenel caso si abbia non un segnale fisso ma bensı unaclasse di segnali.Andiamo quindi a considerare i tre segnaliyo (t), d (t) , h (t) appartenenti alle rispettive classi di segnali

Λo, Λd, Λh.

50 Capitolo 4

yo ∈ Λo

d ∈ Λd

...

h ∈ Λh

yo − y (inseguimento)

y (reiezione ai disturbi)

...

u

Sistema

4.1.1 Studio di sistemi a tre ingressi

Andremo quindi a studiare, nell’ipotesi di sistema stabileinternamente, come vengono influenzate le uscitese gli ingressi vengono eccitati con opportune classi di segnali. Per studiare il comportamento del sistemaai segnali applico la sovrapposizione degli effetti.

Il nostro obbiettivo e riuscire a garantire che qualunque sia la classedel segnale che entra nel mio sistema,una determinata variabile di nostro interesse si mantenga sufficientemente piccola.

Prendo il segnaler(t), non lo considero piu come un segnale fisso determinato in maniera univoca, ma comeappartenente ad una classe di segnali con determinate caratteristiche.Il nostro obbiettivo e quello di studiare l’influenza (effetto) a regime die (t) ∀ r (t) ∈ Λr

4.2 Definizione della classe dei segnali

Classe di Segnali Sinusoidali Definiamor ∈ Λr, come classe dei segnali di ingresso. Il sistemagenerale schematizzato alla pagina precedente prevede vari ingressi e molte uscite, ma operando su sistemilineari e sempre possibile ricondursi alla condizione pi`u semplice, cioe un solo ingresso e una sola uscita,nel caso in cui il segnale di ingresso non sia fisso:

Λr = r (t) = A cos [ωt] , A ∈ [0 ≤ A < 1] , ω ≥ 0

1

-1

ωt

graficamente questa classe di segnali sinusoidali presentaunaampiezza limitata e una frequenza arbitraria. Questa primaclasse di segnali e una classe molto rappresentativa.

Uno dei segnali che appartiene a questa tipologia di classe,e ilsegnale agradino (ω = 0).Supponiamo quindi cher (t) sia di questo tipo, allora:

limt→∞|e (t)| ≤ ǫ ∀ r (t) ∈ Λr

E(s) = G(s) ·R(s); R(s) = As

s2 + ω2; E(s) = G(s)A

s

s2 + ω2


doveR(s) ha poli immaginari puri in±jω.

limt→∞

|e (t)| = 0 ⇒ G (s) =(s2 + ω2

)G

′

(s) (4.2.1)

La condizione imposta dalla (4.2.1) deve valere qualunque sia il segnale appartenente alla classe di segnalisinusoidali, ma questa condizione perche sia verificata implica cheG(s) presenti∞ zeri al numeratore,cioe un numero infinito di pulsazioniωn, se ne deduce che per una classe di segnali sinusoidali non sipuochiedere che l’errore sia nullo dato che∃ soluzione possibile. Ma e comunque possibile che∀ r ∈ Λr siimponga lim

t→∞|e (t)| ≤ ǫ ovvero che l’errore commesso ( o meglio l’uscita ) sia limitata.

Cerchiamo ora di capire che cosa significa essendo un sistemastabile internamenteG (s) ha tutti i poli aparte reale minore di0, mentre in ingresso come abbiamo detto si hanno solo segnalisinusoidali.

e (t) = etr (t) + ereg (t) per t → ∞ e (t)→∞

E(s) = H(s) +k+

s− jω +k−

s+ jω

Dove la funzioneH(s), mantiene gli stessi poli della funzioneG(s). Antitrasformando la funzione ottengoil seguente risultato.

e (t) = L−1 [H(s)]︸︷︷︸

Tende a 0 pert→∞

+L−1

[k+

s− jω +k−

s+ jω

]

limt→∞

|e (t)| = = A |G(jω)| cos (ωt+ arg G(jω) ) ≤ A |G(jω)|

poiche limt→∞

|e (t)| ≤ ǫ devo imporre la condizione che:

A |G(jω)| ≤ ǫ ∀A ∈ [0, 1] ∀ω ≥ 0

essendoA < 1 ottengo la seguente condizione:

|G(jω)| ≤ ǫ

A, ∀ω ≥ 0

∀ r ∈ Λr limt→∞

|e (t)| ≤ ǫ ⇔ |G(jω)| ≤ ǫ ∀ ω ≥ 0 (4.2.2)

ǫ

ω

|G(jω)|

Figura 4.2.1: Andamento del modulodi G(jω).

anche questa condizione trova una interpretazione grafica moltoesplicativa.

Ovvero questa specifica pone un limite superiore al valoremassimo del|G(jω)|, anche noto comepicco di risonanza:

Mr(G) = maxω>0|G(jω)| (4.2.3)

Possiamo allora scrivere:


|e (t)| ≤ ǫ ⇔ Mr(G) ≤ ǫ (4.2.4)

52 Capitolo 4

4.2.1 Segnali a banda limitata

I segnali a banda limitata sono segnali sempre sinusoidali,la cui ampiezza dipende dalla pulsazioneω.

Λr =

r (t) = A cos [ωt] , A ∈

[0 ≤ A ≤ 1

1 + ω2

], ω ≥ 1

il segnale smorzato e piu significativo a bassa frequenza,perω → 0, A(ω) → 1, che ad alta frequenza.Considero quindi segnali limitati in una certa banda.

limt→∞

|e (t)| < ǫ ∀ r (t) ∈ Λr

Le condizioni che devo imporre sono le seguenti:

A |G(jω)| < ǫ ∀A[0,

1

1 + ω2

]∀ ω ≥ 0

Considero ilmax (A) = 1

ω

A(jω)b1

(a) Andamento dell’ampiezza in funzionedella frequenza

1

-1

ωt

(b) Andamento della Funzione nel DT

Figura 4.2.2: Segnali a banda limitata

Questo puo essere interpretato affermando che il disturbor presenta una ampiezza molto elevata in bassafrequenza rispetto alle alte frequenze (mentre invece nel caso precedente era distribuito piu omogeneamen-te).

Si tratta comunque di un generico segnale sinusoidale simile al caso precedente, infatti ad analizzare pert→∞ ancora avremo:

|e (t)| → |yreg (t)| = |A| |G(jω)| cos (ωt + arg [G(jω)]) (4.2.5)

per cui analogamente al caso precedente scriveremo:


|e (t)| ≤ ǫ, ∀ω > 0 ⇒ |G(jω)| ≤ ǫ(1 + ω2

)∀ω > 0 (4.2.6)

se consideriamo solo il valore massimo cheA puo assumere nell’intervallo avremo:

1

1 + ω2|G(jω)| ≤ ǫ → |G(jω)| < ǫ

(1 + ω2

)∀ω ≥ 0 (4.2.7)


1 2ω

ǫ

|G(jω)|

Zona Proibita

Figura 4.2.3: Vincolo sul modulo dellaG(jω)per cui sono soddisfatte le condizioni diinseguimento asintotico.

Graficamente si puo disegnale l’interpretazione del modu-lo deiG(jω), in funzione della pulsazione diω, notandoche tale valore aumenta con la pulsazione.Intuitivamente se abbiamo un disturbo che risulta piu am-pio (forte) a frequenze basse ( la sua ampiezza massimadecrescera con la frequenza), ne concerne che il il vincoloche si ha sulla funzione di trasferimento e piu stringentela dove risulta piu forte il disturbo per poi andare a decre-scere.Andiamo ora a studiare il caso duale a quello appenatrattato cioe la classe dei segnali in cui l’ampiezza edirettamente proporzionale alla pulsazioneω.

4.2.2 Segnali a banda illimitata

Definiamo la classe di segnali sinusoidali cosı composta:

Λr = r (t) = A cos [ωt] , A [0 ≤ A ≤ A(ω)] , ω ≥ 0 limt→∞|e (t)| < ǫ, ∀ r (t) ∈ Λr

come nei casi precedenti scriveremo:

∀ r ∈ Λr limt→∞|e (t)| ≤ ǫ ∀ω > 0 ⇒ |A| |G(jω)| ≤ ǫ ∀A ∈

[0, 1 + ω2

],∀ ω > 0 (4.2.8)

e (t) → A |G(jω)| cos (ωt+ arg [G(jω)])

(1 + ω2

)|G(jω)| ≤ ǫ ∀ω ≥ 0 ⇒ |G(jω)| ≤ ǫ

1 + ω2; ∀ ω > 0 (4.2.9)

1 2ω

ǫ

|G(jω)|

Zona Proibita

Figura 4.2.4: Vincolo sul modulo dellaG(jω) nelinseguimento asintotico di segnali a banda illimitata.

Il modulo della risposta in frequenza della fun-zioneG (s) deve essere basso ad alta frequen-za (sistema passa basso). Percio questa voltail sistema e limitato da una curva che decresceal crescere della pulsazioneω, come si osservagraficamente.

In questo caso essendo piu elevato il contributodel segnaler a pulsazioni elevate diventa di con-seguenza piu stringente il vincolo sullaG(jω)sempre a pulsazioni elevate.

In generale se la classe del segnale e del tipo sinusoidale in cui l’ampiezza dipende dellapulsazione, per poter garantire che l’uscita (e) risultera uniformemente minore di un certoǫda noi fissato e necessario imporre un limite superiore al modulo della risposta in frequenzaG (s).

54 Capitolo 4

EsempioSistema di controllo. Problema di inseguimento piu reiezione del disturbo di misura.

yoo ∈ Λo = A cos (ωt) A ∈ [0, 1] ω ≥ 0

limt→∞

|yo − y (t)| ≤ ǫ ∀ yo (t) ∈ Λo

Impongo inoltre la seguente specifica:

h ∈ Λh =

h (t) = B sin (ω t+ ψ) , 0 ≤ B ≤ B(ω) = δ

(1 +

ω2

ω2

); ω ≥ 0

Studio l’effetto del disturbo sull’uscita sia:

limt→∞

|y (t)| ≤ δ ∀ h (t) ∈ Λh (4.2.10)

Porto le mie condizioni sul sistema di controllo:

yo + yo − yC(s)

di

+

+

uP (s) y

+

+h

Figura 4.2.5: Schema a blocchi per lo studio dell’inseguimento asintotico e reiezione del disturbo iningresso.

funzioni di trasferimento:

G(s) =1

L(s)=

1

1 + C(s)P (s)

la condizione e equivalente a dire:|G(jω)| ≤ ǫ ∀ ω ≥ 0

∣∣∣∣1

1 + L(jω)

∣∣∣∣ ≤ ǫ ∀ ω ≥ 0

Trovo quindi la prima condizione:

|1 + L(jω)| ≥ 1

ǫ∀ω ≥ 0 (4.2.11)

B(ω) = 1 +ω2

ω2

Si tratta di studiare la funzione di trasferimento nei due casi possibili: per prima cosa si tratta l’errore diinseguimento.Valutiamo il contributo dell’ingressoyo (t) sull’uscita(yo (t)− y (t)), in questo caso la funzione di trasferi-mentoG(s) la funzione di trasferimento viene calcolata ponendo a 0 gliingressi dovuti ai disturbi (principiodi sovrapposizione degli effetti).Dalla teoria si e ricavato il vincololim

t→∞|e (t)| ≤ ǫ ∀ r ∈ Λr era verificata se:

|G(jω)| ≤ ǫ(1 + ω2

), ∀ ω > 0


ω

δ

2δ

ω

B(ω)

b

Figura 4.2.6: Andamento in frequenza della funzioneB(ω).

G (s) =1

1 + C(s)P (s)=

1

1 + L(s)

Il caso in esame con laA(ω) che decresce con la frequenza.La funzione di trasferimento diventa quindi:

|G(jω)| ≤ δ

1 +ω2

ω2

caso 2: Nel secondo caso andremo a trattare il disturbo sull’uscitadel sistema h.

r ≡ hG(s)

e = yo − y

G(s) = − L(s)

1 + L(s), G(jω) = − L (jω)

1 + L(jω)

|G(jω)| =|L(jω|

|1 + L(jω)|La condizione ci dice che:

L(jω)

1 + L(jω)≤ δ

1 +ω2

ω2

che rappresenta la seconda condizione.

Per trovare la funzione di trasferimento del mio sistema devo soddisfare le specifiche.

Hp:ω ∼= 0 e [ω →∞ , ǫ → 0 , δ → 0 ]

In queste condizioni il sistema non e risolvibile.

X(jω) =1

|1 + L(jω)| ≤ ǫ, ∀ ω ≥ 0

Y (jω) =|L(jω)||1 + L(jω)| ≤ δ, ∀ ω ≥ 0

|X(jω)| ≤ ǫ |Y (jω)| ≤ δ

56 Capitolo 4

Ho il vincolo che mi impone :X(jω) + Y (jω) = 1 ∀ ω ≥ 0

Quindi la condizione perǫ → 0 e δ → 0 non possono essere rispettate, poiche la somma delle due FdTdeve dare1. Posso quindi concludere che:

∄ δ e ǫ → 0 : X(jω) + Y (jω) = 1 ∀ ω ≥ 0

Allora il problema e risolto se sono soddisfatte le due condizioni. Vediamo graficamente che tipo dicondizioni abbiamo ottenuto alla fine.

Il 1o vincolo definisce una parabola pari aǫ nell’origine, il secondo vincolo risulta piu difficile da disegnare,dipendendo da due parametri(δ, ω): nel caso di un trasduttore ideale avremoδ = 0 eω = ∞ ovvero nonavremmo nessun vincolo.Nel casoδ = 1 avremo una nuova curva che perω = 0 valeǫ e che decresce aumentandoω, in questo casoconterebbe solo il secondo vincolo.Generalmente peroδ e un errore molto piu piccolo, (ad esempio il 10% al segnale misurato) seδ = 0.1per ω = 0 si avra10ǫ come valore nell’origine mentre perω = ω |G (jω)| = 5ǫ, se ne deduce cheall’aumentare del valore diω si ha un incremento dei limiti.

Percio in un caso abbastanza realistico, avremo che il vincolo imposto dal problema dell’inseguimento (1o

vincolo) domina le basse frequenze ( dato che il sistema di controllo va a considerare un segnale significativoalle basse frequenze), mentre il vincolo del disturbo di misura (2o vincolo) e forte a frequenze elevate, cioesi sente ad alta frequenza. Dato che:

|G(jω)| =1

|1 + L(jω)| =1

|1 + C(jω)P (jω)|il problema del progetto si riduce a scegliereC(jω) (essendoP (jω) assegnato) in modo che la curva si|G(jω)| sia come quella verde nel grafico in alto che rispetta i vincoli imposti .Nel caso in cuiδ risulti troppo alta eω troppo piccola il problema non e risolvibile.

Osservazioni. La condizione di reiezione del disturbo di misura none vincolante ( posso trascurarla)

poiche viene attenuata di un fattore1 +ω2

ω2.

4.3 Controllori Stabilizzanti

Nei sistemi di inseguimento la condizione di reiezione totale dei disturbi di misura non e fisicamente ri-solvibile. Andiamo adesso a studiare la classe dei controllori che hanno il compito di stabilizzare il siste-

yo +

-C(s)

+ +

Di

P (s)+ +

D0

y

+

+DhH(s)

ma. AssegnatoP (s) FdT dell’impianto, verificare se esiste controlloreC(s), che stabilizza internamente ilsistema.


Hp: Stabilita dell’impianto: La FdTP (s) ∈ S (insieme delle funzioni di trasferimento con tutti i poli aparte reale strettamente minore di 0).Facciamo alcune ipotesi semplificative.

• H (s) = 1 sistema in retroazione unitaria• P (s) Razionale fratta strettamente propria.• P (s) Con poli a parte reale minore di 0 (asintoticamente stabili).• C (s) Razionale fratta strettamente propria.

Nota. Un impianto strettamente proprio avra piu poli che zeri. Presentera quindi un andamento passabasso per fare si che l’impianto non risponda a sollecitazioni con frequenze troppo elevate. Inoltre talecondizioni garantisce la fisica realizzabilita dell’impianto.

Se sono soddisfatte tali condizioni perP (s) ∈ S, ho una classe di controllori che rendono stabile laP (s).L’insieme dei controllori stabilizzanti sara quindi:

C(P ) =

C(s) =

Q(s)

1− P (s)Q(s)con , Q(s) ∈ S

(4.3.1)

SeP (s) e stabile, la famiglia di controlloriC(s) internamente stabile e della forma:

c (s) =Q(s)

1− P (s)Q(s)

Tali controllori sono parametrizzati attraverso una opportuna funzioneQ(s).OvviamenteC(P ) e l’insieme dei controllori stabilizzanti, si nota subitocheesistono infiniti controlloristabilizzanti per ciascuna funzione di trasferimento di impiantoP (s).Vediamo adesso di dimostrare quanto asserito, e necessario dimostrare cheC(s) ha la forma indicata attra-verso la funzione di impiantoP (s), e la funzione parametricaQ(s) entrambe appartenenti alla classeS, ilsistema di controllo risultera internamente stabile.

Nota. Q(s) puo essere nulla, cio implica che il sistemaP (s) e internamente stabile.

Caso 1:Il sistema di controllo e stabile internamente seP (s) ∈ S e:

C(s) =Q(s)

1 − Q(s)P (s)(4.3.2)

Possiamo quindi verificare che tutte le possibili funzioni di trasferimento abbiano tuttipoli a parte reale minore di 0.

1

1 + C(s)P (s);

C(s)

1 + C(s)P (s);

P (s)

1 + C(s)P (s);

C(s)P (s)

1 + C(s)P (s)

Se sostituisco ottengo:

1

1 + C(s)P (s)⇒ 1

1 +Q(s)P (s)

1 − Q(s)P (s)

⇒ 1− P (s)Q(s)

1− P (s)Q(s) +Q(s)P (s)⇒

1

1 + C(s)P (s)= 1− P (s)Q(s)

(4.3.3)

58 Capitolo 4

Caso 2:Se il sistema di controllo e stabile internamente

P (s)

1 + C(s)P (s)⇒ P (s)

1 +Q(s)P (s)

1 − Q(s)P (s)

⇒ P (s)− P 2(s)Q(s)

1− P (s)Q(s) +Q(s)P (s)⇒

P (s)

1 + C(s)P (s)= P (s) (1− P (s)Q(s)) ⇒

1

1 + C(s)P (s)= 1− P (s)Q(s)

C(s)

1 + P (s)Q(s)= Q(s)

(4.3.4)

L’implicazione e verificata se il sistema e stabile internamente, ne segue che:

C (s) =Q (s)

1− P (s)Q (s)con P (s) ∈ S

Dato che il sistema e stabile internamente le quattro funzioni di trasferimento sonotutte∈ S, hanno cioe tutti i poli a parte reale minore di 0.Si deve quindi dimostrare che:

C(s) =Q(s)

1 − Q(s)P (s), conQ(s) ∈ S (4.3.5)

Dimostro che:C(s)− C(s)P (s)Q(s) = Q(s) (4.3.6)

Q(s) (1 +C(s)P (s)) = C(s) (4.3.7)

Q(s) =C(s)

1 + C(s)P (s)(4.3.8) Ora

dimostro cheQ(s) ∈ S.

Lemma 4.3.1. Q(s) ∈ S poiche essa assume forma uguale ad una delle funzioni di trasferimento delsistema, che noi abbiamo supposto internamente stabili.

SeQ(s) ∈ S:

C(P ) =

C (s) =

Q(s)

1− P (s)Q(s), Q(s) ∈ S

(4.3.9)

Ossia ho dimostrato che le quattro funzioni di trasferimento sono lineari (e non piu razionali) rispetto aQ(s). Dimostrazione:

1

1 + C(s)P (s)= 1 − Q(s)P (s) (4.3.10)

C(s)

1 + C(s)P (s)= Q(s) (4.3.11)

P (s)

1 + C(s)P (s)= P (s) − Q(s)P (s)2C(s) (4.3.12)


P (s)C(s)

1 + C(s)P (s)= P (s)Q(s) (4.3.13)

Tutte le funzioni di trasferimento sono quindi affini (o lineari ) rispetto aQ(s).

Esempio4.3.2.

P (s) =1

s+ 1

E richiesto di determinareC(s) in modo tale che:

Il sistema di controllo sia stabile internamente.•• Errore di inseguimento a regime ad un gradino unitarioyo (t) = 1 sia nullo.

C(P ) =

C(s) =

Q(s)

1− Q(s)

1− P (s)

=(s+ 1)Q(s)

(s+ 1)−Q(s), Q(s) ∈ S

t

y (t)

1yo (t)

Figura 4.3.1: Problema di inseguimento asintotico, risposta a regime.

limt→∞

yo (t)− y (t) = 0

Ponendo il disturbo di uscita e il disturbo di misura rispettivamente a 0 otteniamo:

1

1 + C(s)P (s)= 1− P (s)Q(s) ⇒ G(s)

r = yo = 1 G(s) e = yo − y

R(s) =

Q−(s)→ •Q+(s)→ 0

G(s) = s ·G′

(s),⇒ G(0) = 0

60 Capitolo 4

G(0) = 1 − P (0)︸︷︷︸1

Q(0) = 1−Q(0), Q(0) = 1

Ho caratterizzato tutto il sistema piu tutti i controllori. Per le specifiche imposte dal problema, definiscol’insieme dei controllori stabili per cui:

Q(s) ∈ S, Q(0) = 1

Caso piu semplice e quindiQ(s) = 1

C(s) =

[1− P (s) =

1

1 + C(s)P (s)

]=

s+ 1

s+ 1− 1=

s+ 1

s

Osservazioni. Il controllore va a cancellare i poli stabili dell’impianto.

Esempio4.3.3. Supponiamo di avere un impianto cosı fatto:

P (s) =10

(1 + s)(1 +

s

10

)

Si osserva subito cheP (s) ∈ S, in questo caso l’inseme dei controllori stabilizzanti sara il seguente:

C(P ) =

C (s) =

Q (s)

1− 10Q (s)

(1 + s) (1 + 0.1s)

, Q (s) ∈ S

doveQ (s) e una qualunque funzione di trasferimento∈ S, supponiamo pero di voler caratterizzare ilsistema facendo in modo che il controllore oltre a stabilizzare internamente il sistema risolva anche unproblema di inseguimento alla rampa in ingressoyo (t) = t.

t

yo (t)

Y o +

-

e (t)C (s) P (s) Y

Figura 4.3.2: Problema di inseguimento asintotico. Sistema eccitato con segnale a rampa.

Allora i controlloriC (s) dovranno garantire oltre alla stabilita interna anche chelimt→∞

yo (t)− y (t) = 0, si

abbia cioe un inseguimento perfetto alla rampa di ingresso.

Se dovessimo risolvere questo problema con le tecniche viste nel precedenti corsi, adotteremo la sintesi pertentativi. Perche si abbia un errore di inseguimento nullorispetto ad una rampa d’ingresso,lim

t→∞yo (t) −

y (t) = 0, occorre che il sistema sia almeno ditipo 2. Il controllore dovra avere almeno due poli ins = 0o meglio il guadagno ad anelloL(s) = P (s)C (s) deve presentare almeno due poli ins = 0, ma dato cheP (s) non presenta poli ins = 0 (verrebbe violata∈ S) allora li dovra avere per forzaC (s).

C (s) =1

s2C

′

(s)


Dato che conosciamo gia l’insieme dei controllori stabilizzanti posso procedere in maniera piu rapida. Devoquindi caratterizzare la funzioneQ (s) in maniera da garantire il rispetto della condizione di inseguimento(cio ci permette di trovare i controllori che cerchiamo).

limt→∞

yo (t)− y (t) = 0 ⇔ limt→∞

e (t) = 0

Dal punto di vista logico la nostra situazione si puo ricondurre al caso schematizzato in seguito:

yo (t) = t1

1 + C (s)P (s)e (t)→ 0

In questo caso possiamo andare ad applicare ilPRINCIPIO DEL MODELLO INTERNO .

E (s) =1

1 + C (s) P (s)· 1

s2

limt→∞

L−1

[1

1 + C (s) P (s)· 1

s2

]= 0

perche cio si verifichi la funzione di trasferimento dovr`a avere due zeri ins = 0, ma questa e una dellequattro funzioni di trasferimento che si sono analizzate e che e espressa in funzione diQ (s) ed era pari a:

1

1 +C (s)P (s)= 1− P (s)Q (s)

posso quindi riscrivere la funzione in modo equivalente, infatti:

limt→∞

yo (t)− y (t) = 0 ⇔ [1− P (s)Q (s)]

[1− P (s)Q (s)] deve avere due zeri ins = 0, in definitiva vogliamo che la funzione di trasferimento sia:

1− P (s)Q (s) = s2F (s)

1− P (0)Q(0) = 0

Sostituendo nell’espressione diP (s) in s = 0 si riesce a ottenere una1a condizione suQ (s) : infatti P (0)e nota e vale 10; allora

1− 10Q(0) = 0 ⇒ Q(0) =1

10

Per poter garantire che esistano due zeri ins = 0 e necessario introdurre una ulteriore condizione, infatti sesi ha uno zero doppio nell’origine non solo si annulla la funzione ma anche la sua derivata.

d

dss2F (s) = 2sF (s) + s2F

′

(s)

tale funzione calcolata ins = 0 si annulla.

P′

(s)Q (s) − P (s)Q′

(s)∣∣∣s=0

= 0

sviluppiamo i calcoli e sostituiamos = 0

1011

101

1

10− 10Q

′

(0) = 0 ⇒ dQ′

(s)

d s

∣∣∣∣∣s=0

= Q′

(0) =11

100

62 Capitolo 4

Le due condizioni cosı definite ci aiutano ad identificare uninseme pressoche infinito di controllori cherisolvono i nostri problemi di stabilita ed inseguimento,volendo e anche possibile sceglierne uno che possarisolvere il problemaQ (s) ∈ S e percio una funzione razionale fratta con poli a parte reale minore di 0.Proviamo a definire una possibileQ (s) ∈ S

Q (s) =as + b

(s+ 1)Q(0) = b =

1

10

Q′

(s) =a (s+ 1) − (as + b)

(s+ 1)2Q

′

(0) = a− 1

10

Q′

(0) =11

100⇒ a =

21

100

sostituendo nella nostra espressione si ottiene:

Q(s) =0.21s + 0.1

s+ 1

che se sostituisco nell’equazione diC (s) ci fornisce il controllore voluto che risolve il problema.

Nota. E quindi possibile se noto l’insieme dei controllori stabilizzanti , risolvere in maniera analitica ilproblemi di progettazione del controllore senza ricorrerealla sintesi per tentativi.

5Lezione del 12 Ottobre

5.1 Stabilit a nei sistemi di controllo con impianto internamente in-stabile

Nel capitolo precedente avevamo analizzato il problema della sintesi del controllore nel caso in cui l’im-piantoP (s) ∈ S

yo +

-C(s)

+ +

di

P (s)+ +

d0

y

+

+dhH(s)

Definiamo conS, l’insieme delle funzioni che hanno tutti i poli a parte reale strettamenteminore di 0

e avevamo assunto come ipotese che:

P (s) ∈ S (5.1.1)

C(P ) =

C(s) =

Q(s)

1− P (s)Q(s), Q(s) ∈ S

(5.1.2)

analizziamo adesso il problema della stabilita nel caso incui P (s) /∈ S.

Nel caso in cuiP (s) /∈ S, ovveroP (s) ha almeno un polo a parte e reale maggiore uguale di zero, dobbiamostudiare come deve essere realizzato il controlloreC(s), in maniera tale da garantire la stabilita del sistema.

64 Capitolo 5

C(s)

v

P (s)

z

−

(a) Sistema A

+w

P (s)

Co(s)

−

z

C(s)+

Co(s)

−

−

P (s)

C(s)

(b) Sistema B

Figura 5.1.1: Rappresentazione a blocchi dei sistemi per lostudio dei controllori stabilizzanti.

Studio se i due sistemi A e B, in figura 5.1.1, sono equivalenti.

A→ v = −C · z B → ω = −Co · z + (− (C z − Co z)) =

= −Co z − C z +−Co z = −C z(5.1.3)

Da cui e facile ricavare che perω = v i due sistemi sono equivalenti. Devo quindi calcolare il valore dellefunzione di trasferimento al blocco 1 che indichero conP o(s) e del blocco 2 che indichero conC(s).

P o(s) =P (s)

1 + Co(s)P (s)(5.1.4)

C = C(s) − Co(s) (5.1.5)

C(s) =Q(s)

1− P o(s)Q(s); Q ∈ S (5.1.6)

SeP (s) /∈ S allora:

C (P )

C(s) = Co(s) +

Q(s)

1− P o(s)Q(s)

, Q ∈ S (5.1.7)

ConCo tale da stabilizzare internamente la funzione di trasferimento di impiantoP (s).

Co(s) : P o(s) =P (s)

1 + Co(s)P (s), P o (s) ∈ S (5.1.8)

Lezione del 12 Ottobre 65

Corollario 5.1.1. SeP (s) ∈ S allora Co(s) = 0, il sistemae stabile internamente.

Corollario 5.1.2. SeP (s) /∈ S allora Co(s) 6= 0, devo progettare il controlloreCo(s) inmaniera appropriata da rendere il sistema stabile internamente.

Allora l’insieme dei controllori stabilizzanti diP o (s) sara pari a:

C (P o) =

C (s) =

Q (s)

1− P o (s)Q (s), Q (s) ∈ S

(5.1.9)

dove:

C (P ) =

C (s) = Co (s) +

Q (s)

1− P o (s)Q (s), Q (s) ∈ S

(5.1.10)

Ricorda. Il controllore Co (s) stabilizza internamente il sistema di controllo, mentreP o (s) siricava∈ S.

5.1.1 Caso in cui P (s) /∈ S

Cerchiamo adesso di capire cosa succede

1. Determinare un controlloreCo(s), tale da stabilizzare internamente il mio impiantoP (s).2. Trovare l’insieme dei controllori stabilizzanti:

C(P )

C(s) = Co(s) +

P (s)

1− P o(s)C(s); Q(s) ∈ S

(5.1.11)

, dove

P o(s) =P (s)

1 + Co(s)P (s)(5.1.12)

+C(s) P (s) y

−

Esempio5.1.3. Considero il controlloreCo(s) = k regolatore proporzionale ed un impiantoP (s) =1

s.

1 + Co(s)P (s) deve avere tutti gli zeri a parte reale minore di zero

1 + k1

s;s+ k

s< 0 → s < −k ; k > 0 (5.1.13)

Un esempio di possibile regolatore eCo(s) = 1.

66 Capitolo 5

P o(s) =P (s)

1 + Co(s)P (s)=

1

s

1 +1

s

=1

1 + s

P o(s) =1

s+ 1; C (P ) =

C(s) = 1 +

Q(s)

1− 1

s+ 1Q(s)

, Q(s) ∈ S

Osservazioni. Dall’esempio precedente si osserva come nel caso di impianti P (s) /∈ S ,l’insiemeC(P )dei controllori stabilizzantie un insieme infinito di elementi.

5.1.2 Modo Sistematico

yo (t)+

C(s) P (s) y (t)−

Affrontiamo adesso il problema , di come calcolare il controllore stabilizzanteCo (s) per un generico im-piantoP (s), tramite un metodo generale valido per ogni impianto.SeP (s) /∈ S allora come identifico il mio controlloreC(s)?

1. 1 + C(s)P (s) deve avere poli a parte reale minore di zero.2.(a) Ogni zero diP (s) a parte reale≥ 0 deve essere anche zero diL(s), con almeno la stessa molteplicita.(b) Ogni polo diP (s) a parte reale≥ 0 deve essere anche polo diL(s), con almeno la stessa molteplicita.

Devo cercare la funzione di trasferimentiW (s), che soddisfa queste condizioni e poi ricavareC(s) perinversione.

W (s) =C(s)P (s)

1 + C(s)P (s)(5.1.14)

W (s) + W (s)C(s)P (s) = C(s)P (s) (5.1.15)

L(s) = C(s)P (s) =W (s)

1−W (s)(5.1.16)

L(s) =W (s)

1−W (s)(5.1.17)

C(s) =1

P (s)· W (s)

1−W (s)(5.1.18)

Riscrivo le condizioni in funzione diW (s):

1. W (s) ha tutti i poli a parte reale< 02.(a) Ogni zero diP (s) a parte reale≥ 0 deve essere anche zero diW (s), con almeno la stessa molteplicita.


(b) Ogni polo diP (s) a parte reale≥ 0 deve essere anche zero di1 − W (s), con almeno la stessamolteplicita.

C(s) =1

P (s)

W (s)

1−W (s)P (s) /∈ S (5.1.19)

deve avere il numero degli zeri minore o uguale al numero dei poli.3. C(s) deve essere fisicamente realizzabile.

5.1.3 Eccesso poli-zeri della F.d.T.

Definizione 5.1.1(Eccesso di funzione di trasferimento). Definisco eccesso di una funzione di trasferimentoG(s) e lo indico conE(G), la differenza tra il numero dei poli ed il numero degli zeri di una funzione.

E(G) = Npoli − Nzeri (5.1.20)

L’ eccessodi una funzione mi indica quando un sistema efisicamente realizzabile.

Esempio5.1.4.

C(s) =1

P (s)

W (s)

1−W (s)(5.1.21)

Il sistema e fisicamente realizzabile seE(C) ≥ 0

Eseminando l’esempio otteniamo:

E(C) = E

(1

P

)+ E

(W

1−W

)= −E(P ) + E(W ) −E(1−W ) ≥ 0 (5.1.22)

E(C) ≥ 0 ⇔ E(W ) ≥ E(P ) + E (1−W ) (5.1.23)

W =N

D; 1−W =

D −ND

→ E (1−W ) =

gradoN < gradoD E = 0

gradoN ≥ gradoD E ≥ 0(5.1.24)

Nella pratica non si verifica mai la condizione in cuiE(1−W ) ≥ 0. Da cui, si ricava la seguente ipotesi:

E(P ) > 0 → E(W ) ≥ 0

Esempio5.1.5.

P (s) =1

s

s− 1

s− 2;

Poli 0, 2 Zeri 1 (5.1.25)

Impongo due vincoli di interpolazionea e b.

W (s) = (s− 1) (a s+ b)

a e b, servono a rispettare le condizioni di interpolazione.

1−W (s) = 0 s = 0 , s = 2

68 Capitolo 5

Impongo le condizioni di interpolazione:W (0) = 1

W (2) = 1

W (s) =(s− 1)(as + b)

s+ 1

E(P ) = 1 E(W ) = 1

W (s) =(s − 1)(as + b)

(s + 1)3→

s = 0 → −1 b

1

s = 2 → 2a+ b

33

L’esponenten di (s + 1)n a denominatore della funzioneW (s) e dato dal calcolo dell’eccesso.

b = −1, 27 = 2a− 1 → a = 14

C(s) =1

P (s)

W (s)

1−W (s)W (s) =

(s− 1)(14s − 1)

(s+ 1)3

C(s) =1

P (s)

W (s)

1−W (s)=

s(s− 2)

s− 1

(s− 1)(14s − 1)

(s+ 1)3

(s+ 1)3 − (s− 1)(14s − 1)

(s− 1)3

=

=s(s− 2)(14s − 1)

(s+ 1)3 − (s − 1)(14s − 1)

=(s2 − 2s)(14s − 1)

s3 + 3s2 + 3s+ 1− 14s2 + s+ 14s − 1=

s(s− 2)(14s − 1)

s3 − 11s2 + 18s

(5.1.26)

Attenzione s(s− 2) e una cancellazione:

(s− 2)(14s − 1)

s2 − 11s+ 18=

(s− 2)(14s − 1)

(s− 2)(s − 9)

Co(s) =14s − 1

s− 9

C(s) =14s − 1

s− 9+

Q(s)

1− P o(s)Q(s)

P o(s) =

(s− 1)

s(s− 2)

1 +s− 1

s(s− 2)

14s − 1

s− 9

=(s− 1)(s − 9)

s(s− 2)(s − 9) + (s− 1)(14s − 1)=

(s− 1)(s − 9)

−1 + 33s − 25s2 + s3

C(P ) =

C(s) =

14s− 1

s− 9+

Q(s)

1− P o(s)Q(s)Q(s) ∈ S

Ottengo la stabilita per un intervallo di valori molto piccoli.


−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−3

−2

−1

0

1

2

3

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figura 5.1.2: Luogo delle Radici


6.1 Controllori Stabilizzanti

+

-C(s)

+ +

di (t)

P (s)+ +

do (t)

y (t)

+

+n

P (s) /∈ S

C(P ) =

C(s) = Co(s) +

Q(s)

1 + P (s)Q(s), Q(s) ∈ S

DoveCo(s) stabilizza internamenteP (s) ottenendo la funzione di trasferimento:

P o(s) =P (s)

1 + Co(s)P (s)

Il nostro obbiettivo e quello di trovare un controlloreCo(s).

Y o+

-Co(s) P (s) Y

Y o W (s) = Co(s)P (s)1+Co(s)P (s)

y

Co(s) =1

P (s)

W (s)

1−W (s)(6.1.1)

72 Capitolo 6

1. W (s) deve avere poli a parte reale< 0.2.(a) Ogni zero diP (s) a parte reale≥ 0 deve essere anche zero diW (s), con almeno la stessa molteplicita.(b) Ogni polo diP (s) a parte reale≥ 0 deve essere anche zero di1 − W (s), con almeno la stessa

molteplicita.3. E(W ) ≥ E(P ) per la realizzabilita fisisca del dispositivo.

• p1 , . . . , pr sono poli diP (s) a parte reale maggiore di 0 (poli instabili).

•m p

i , . . . ,mp

r

molteplicita dei poli.

• z1 , . . . , zl sono zeri diP (s) a parte reale maggiore di 0.•m z

i , . . . ,mz

l

molteplicita dei zeri.

• Np =r∑

i=1

m pi sono il numero dei poli diP (s) a parte reale maggiore di zero.

• N z =

l∑

i=1

m zi sono il numero degli zeri diP (s) a parte reale maggiore di zero.

• N = Np +N z − 1

W (s) =(s− zi)m

zi · · · (s− zl)m z

l

(s+ 1)(6.1.2)

Nel progetto del controlloC (s) per soddisfare la terza condizione, si e imposto cheE (W ) ≥ E (P ), peril calcolo di E (W ) sappiamo che il numeratore ha grado pari a

∑lj=1m

zj = N z piu il grado massimo del

polinomio inserito per soddisfare la 2.(b) che come si vede `e pari a(Np−1

), ne segue che il numero degli

zeri diW (s) e pari a :Np +N z − 1 = N . Ma allora per garantireE (W ) ≥ E (P ) il denominatore si edovuto imporre che avesse grado minimoN + E per soddisfare la condizione 3 dato cheE (P ) = E.

W (s) =(s− zi)m z

i · · · (s− zl)mz

l[αNp−1 s

Np−1 + . . . + α1 s + α0

]

(s+ 1)N+E(6.1.3)

doveα0 , α1 , . . . , αNp−1, sono i parametri ibridi, tali parametri saranno identificati in maniera da soddi-sfare le condizione 2.b .

• La condizione 2.(b) impone che1−W (s) = 0 pers = pi

1−W (pi) = 0

• Nel caso in cui il polo della funzione abbia molteplicita maggiore di 1 (esempio 2), allora dalla condizione2.(b) ricavo che1−W (s) debba avere un polo doppio ins = pi da cui ottengo:

1−W (pi) = 0

d

ds[1−W (s)]

∣∣∣∣s=pi

= 0(6.1.4)


Definizione 6.1.1(Condizione di interpolazione).

W (p1) = 1

DhW (p1) = 0 h = 1, 2, . . . m p1 − 1

...W (pr) = 1

DhW (pr) = 0 h = 1, 2, . . . m pr − 1

(6.1.5)

DhW (p1) =dh

dsW (s)

∣∣∣∣s=p1

(6.1.6)

Il numero delle interpolazioni e pari al numero dei parametri liberi, cioeNp. Dopo aver trovato l’equazioneche caratterizza la miaW (s), applicando il metodo dell’inversione ricavo l’equazionedellaC(s).

Esempio6.1.1.

P (s) =s+ 1

s2

Osservo che la mia funzioneP (s), ha uno zero a parte reale negativi, quindi e uno zero stabile,mentrepresenta due poli nell’origine, che sono poli instabili;P (s) /∈ S.

p1 = 0; mp1 = 2

Np = 2 N z = 0

N = 1

E(P ) = 1

W (s) =as+ b

(s+ 1)2

devo determinare i due coefficientia, b in maniera tale che:

W (0) = 1

D1W (s)∣∣s=0

= 0

W (0) =b

1= 1,→ b = 1

DW (s)|s=0 =a(s+ 1)2 − 2(s+ 1)(a s + b)

(s+ 1)4

∣∣∣∣s=0

a− 2b = 0 → a = 2

Co(s) =1

P (s)

W (s)

1−W (s)=

s2

s+ 1

2s + 1

(s+ 1)2

1− 2s+ 1

(s + 1)2

=s2

s+ 1

2s+ 1

s2 + 2s + 1− 2s− 1=

2s+ 1

s+ 1

74 Capitolo 6

Si osserva che il controllore stabilizzante assume la formadi una rete anticipatrice:

Co =1 + τs

1 + τms

τ = 2 , m = 2

P (s) =

s+ 1

kCo(s) = k

studio la stabilita interna del sistema, cosı progettato, pongo che i zeri della funzione1 + Co(s)P (s) sianominori di zero

1 + Co(s)P (s) = 1 +k(s + 1)

s2= s2 + k s+ k = 0 k > 0

Quindi la condizioni di stabilita e verificata per ogni valore dik > 0.

6.2 Problema del pendolo inverso

Supponiamo che il pendolo di massam puo risultare in equilibrio su due posizioni verticali rispetto al puntodi incernieratura del suo braccio. Devo determinare il sistema che mi permette, muovendosdi controllare laposizione della sua massa che subisce l’effetto della forzadi gravita mg.

0 x

y

m · g

(x, y)

s

L

Θ

6.2.1 Equazioni del pendolo Inverso

L’equazione che descrive il moto della massa si scrive tenendoconto delle forze che vi agiscono sopra:

mL θ = mg sin θ − ms cos θ (6.2.1)

doveLθ e l’accelerazione tangenziale della massa data dal-la derivata seconda dell’angoloθ. Infatti possiamo pensareal problema del pendolo inverso come al tentativo di tenerein equilibrio la massam nella sua posizione di equilibrio in-stabile compensando i movimenti della massa con equivalentimovimenti del punto di cerniera ( che si puo pensare di esseresu una mano o su un carrello). Sulla massa agisce una componente della forza peso (mg sin θ) che la allon-tana dall’equilibrio a cui si risponde con un movimento dis applicandovi una forza (−ms cos θ).Come detto quello che vogliamo estudiare il comportamento del pendolo nell’intorno delle suecondizioni di equilibrio . Nella condizione iniziale di equilibrio verticale:

θ = 0, θ = 0, s = 0, x = s, y = L

vediamo adesso cosa varia se inizia a muoversi:

θ = 0 + ∆θ, θ = 0 + ∆θ, s = 0 + ∆s, θ = 0 + ∆θ

mL∆θ = mg sin ∆θ − m∆s cos ∆θ


b x

y

L

(x, y)

s

Figura 6.2.1: Schemagrafico delle forze in unpendolo inverso.

Poiche vogliamo studiare piccoli spostamenti della condizione di equilibrio la-voreremo nell’ipotesi che∆θ → 0.Posso approssimare la formula per valori diθ piccoli, ottenendo il modellolineare del sistema.

mL s = mg∆θ − m∆s

Si e cosı ottenuta una equazione differenziale lineare a coefficienti costanti.E chiaro che variando l’angoloθ variano anche le posizione(x, y) in particolare:

x = s + L sin ∆θ = s + ∆x

y = L + L (cos ∆θ − 1)

nel nostro caso se∆θ → 0 ∆x , L∆θ a questo punto potremo cercare diricondurci ad un sistema del tipo:

u = s G(s) y = θ

Se ansiche considerare l’angoloθ o la sua variazione∆θ si considera la variazione delle coordinate∆xdella posizione di equilibrio dovuta alla spostamento di∆s devo trovare un legame tra∆s e∆x, ma questolegame lo abbiamo gia trovato, basta esprimerlo in funzione di∆x.

mL1

L∆x = mg

1

L∆x − m∆s

∆x− g

L∆x = −∆s

si e ricavata l’equazione differenziale che stabilisce illegame tra la variabile∆x che vogliamo controllare(y) tramite la variabile di controllo∆s (u). Riscrivendo l’equazione trovata in una forma piu generaleavremo:

y (t)− g

Ly (t) = −u (t)

utilizzando la trasformata di Laplace otteniamo:

L

[y − g

Ly]

= −L [u]

s2Y (s)− g

LY (s) = −s2U(s) ⇒ Y (s) =

−s2

s2 − g

L

U(s)

Per cui la funzione di trasformazione che lega∆x e∆s e pari a:

G(s) =L [y]

L [u]=

−s2

s2 − g

L

mentre laposizione totalesara pari a:x = ∆s + ∆x. ∆x infatti era solo lo spostamento rispetto allaposizione di equilibri, ma se invece si vuole sapere dove si trova effettivamente la massa rispetto al sistemadi coordinate fisse e necessario sommarci∆s. Cambiando il modello posso andare a studiare il modello, alvariare dello spostamento dis e non piu al variare dell’accelerazione, cioe la posizione rispetto al sistemacartesiano.

x = s + L sin θ

y = L cos θperθ piccoli

x = s + Lθ

y = L

76 Capitolo 6

s = u1

1− Lgs2

x = y

θ = G(s) s → s2u

L [θ] = s2G(s)L [u]

x = s + Lθ −→ L [x] = L [s] + LL [θ]

L [y] = L [u] = Ls2G(s)L [u]

L [y]

L [u]= 1 + Ls2G(s) = 1 +

Ls2

g − Ls2 =g

g − Ls2Ottenendo la funzione di trasferimento per angoli piccoli:

G(s) =1

1− Lg s

2

Siamo cosı risaliti alla funzione di trasferimentoG (s) dell’impianto da controllare avente in ingresso lavariabile di controllou che rappresenta lo spostamento∆s rispetto alle condizioni di equilibrio delle massam e come uscitay la posizione lungo l’assex della massam dopo che si e dato lo spostamento. Questo e unmodello semplificatico lineare e stazionario poiche e definito da una funzione di trasferimento in cui massam e lunghezza del pendoloL si considerano indipendenti dal tempo, stazionario ed inoltre considerandopiccoli spostamenti rispetto alla condizione di equilibrio puo essere considerato lineare.

Andiamo adesso a studiare i poli dell’impiantoG (s) che sono:

s =

√g

L; s = −

√g

L;

esiste percio un polo a parte reale maggiore di 0, ne consegue cheG (s) /∈ S e cio era prevedibiletrattandosi di una condizione di equilibrio instabile senza controllo. Come riprova calcolo adesso la rispostaimpulsiva del sistema considerando per ipotesi semplificativa cheL/g = 1

L−1

[1

1− s2]

= L−1

[1

(s+ 1)(s − 1)

]= A1e

t + A2e−t

Dal calcolo dei residui ottengo cheA1 = −12 eA2 = 1

2 .

g(t) = −1

2et +

1

2e−t

si osserva come ipotizzato che il sistema eccitato con una perturbazione limitata in ingresso (spostamentorispetto alla posizione iniziale di equilibrio) pert→∞ non ritorna alla posizione iniziale ma si ferma su unnuovo valore.

Vediamo ora di calcolarci un controllore stabilizzante chesia in grado di osservare la posizione del pendoloe di stabilizzarla. Dato cheP (s) /∈ S in modo da definire l’intera classe dei controllori stabilizzanti diP (s).

C(P ) =

C(s) = Co(s) +

Q(s)

1 + P (s)Q(s), Q(s) ∈ S


yo +

-C (s)

uP (s) y

Supponiamo per semplicita che il nostro sistema ven-ga posizionato sull’origine degli assi di riferimentoall’inizio, yo = 0 ovvero l’uscita desiderata prevedeche la massa si trovi lungo sull’origine dell’assex.

NotaP (s) e necessario scegliere un controllore taleche la funzione ad anello chiuso risultante presentidue poli a parte reale minore di 0 cioe stabile. Lagrandezzau indica come l’uscita del controllore non e altro che la correzione che si apporta alla posizionedi s per equilibrare il movimento dim, mentrey rappresenta la posizione attuale dim , a sua volta legataalla grandezzau dalla relazione:

U (s) = −C (s)Y (s)

Supponiamo di voler scegliere il controllore piu semplicein assoluto ovvero di tipo proporzionaleC (s) =K costante , si avra allora anche una proporzionalita ancheantitrasformando.

u (t) = −Ky (t)

Vediamo se attraverso questa legge di controllo cosı semplice si riesce a stabilizzare il sistema. comesappiamo la funzione di trasferimento vale:

W (s) =C (s)P (s)

1 + C (s)P (s)

essendoC (s) = K non si hanno problemi di cancellazioni conP (s) quindi la condizione per averestabilitainternasi riduce a garantire che gli zeri di1 + P (s)C (s) siano tutti a parte reale minore di 0, ovvero che ipoli di W (s) siano tutti a parte reale minore di 0, vista l’assenza di cancellazioni.

W (s) =

−K gL

s2 − gL

1− −KgL

s2 − gL

=−K g

L

s2 − gL −K

gL

=−K g

L

s2 − (K + 1)g

L

In questo caso i poli diW (s) sono:

s2 = (K + 1)g

Lessi dipendono dal valore assunto daK infatti:

K > −1 p1,2 = ±√

(K + 1)g

Lho sempre un polo a parte reale maggiore di 0

K = −1 p1,2 = 0 ho un polo doppio nell’origine

K < −1 p1,2 = ± j√|K + 1| g

Lpoli immaginari puri

Quindi in nessun caso si riesce ad ottenere poli a parte realeminore di 0. Si nota subito che i risultati varianoconK, avremo:

• perK = 0 si hanno i poli diP (s) = ±√g

L.

• perK > 0 le radici si allontana dall’asse.• perK < 0 le radici si avvicinano all’asse fino a quando perK = −1 si annullano.• perK = −1 le radici diventano immaginarie pure, si muovono quindi lungo l’asseℑ [s].

78 Capitolo 6

ℜ [s]

ℑ [s]

√g

L−√g

L

×× bc

K = −1

K > 0K > 0

K < 0K < 0

K < −1

Figura 6.2.2: Luogo delle radici

Potendo scegliere tra i valori possibili dei gua-dagni si nota che ha un effetto piu stabilizzanteil caso in cuiK < 0, anche se quando i poli sitrovano sull’asse immaginario, il sistema tendead oscillare.

Si intuisce che il solo controllore proporziona-le non e sufficiente a stabilizzare il nostro si-stema, e percio necessario inserire anche unaRete Anticipatrice.

U (s) =1 + sτ

1 + sτ

m

E (s) conτ > 0, m > 1

L’azione della rete anticipatrice e tanto piu for-te quantom e grande: perm → ∞ ottengoinfatti

U (s) = (1 + sτ) E (s)

Se ne deduce che per stabilizzare il sistema non e sufficiente studiare il singolo spostamento della massama e necessario osservare la velocita a cui questa si sposta per regolare la nostra risposta di conseguenza.Allora in controllore che riuscira sicuramente a stabilizzare il nostro sistema e:

U (s) = K1 + sτ

1 + sτ

m

devo quindi dimensionare opportunamente il parametri del controllore per poter stabilizzare il sistema.

Lo schema analizzato nel paragrafo precedente non e altro un caso particolare in cuim = 1, di cui abbiamoricavato il luogo della radici.Se pero si considera il caso in cuim > 1, andremo a modificare questo luogo delle radici.

ℜ [s]

ℑ [s]

√g

L−√g

L

√g

L−mτ −1

τ

×××

×

×

bc

Figura 6.2.3: Luogo delle radici.

Rispetto al caso precedente essendom 6= 1il polo e lo zero della rete anticipatrice noncoincidono:

z = −1

τp = −m

τ

La funzione di trasferimento presenta tre poli eduno zero, quindiE(W ) = 2, questo ci dara unasintoto posizionato a sinistra dell’ordinata, in-fatti la sua posizione e determinata dal rappor-to (somma poli/ somma zeri) e dato che il polo−m

τ e a sinistra di− 1τ , mentre gli altri due poli

si annullano a vicenda, ne consegue che il centrodell’asintoto deve essere reale negativo.


QuandoK < 0 il modulo risultera sufficiente-

mente grande, avremo quindi un polo reale negativo compresoin

(−1

τ,−m

τ

)e due poli complessi

coniugati con parte reale minore di 0, sull’asse dell’asintoto; il controllore e risucito a stabilizzare lasituazione.

Approccio Sistematico

yo +

-

eCo(s)

uP (s) y

Esempio6.2.1.

P (s) =1

1− s2

poli p1 = 1,m p1 = 1→ Np = 1

zeri nessuno, → N z = 0N = Np + N z − 1 = 0E = 2

W (s) =a

(s+ 1)2

dovea:

W (s)|s=1 = 1 → a = 4 W (s) =4

(s + 1)2

Co(s) =1

P (s)

W (s)

1−W (s)=

(1− s)(1 + s)

1

4(s+1)2

1− 4(s+1)2

=(1− s)(s+ 1)4

(1 + s)2 − 4=

=4(1 − s)(1 + s)

s2 + 2s− 3=

4(1− s)(1 + s)

(s− 1)(s + 3)= −4(1 + s)

(s+ 3)=

= −4

3

1 + s

1 + s3

Da cuiτ = 1 m = 3, k = 4/3. Si e cosı ottenuto un controllore appartenente ad una classe che avevamogia visto nel caso generale.

6.3 Pendolo Doppio

Supponiamo di voler complicare la cosa non limitandoci a controllare solo un pendolo inverso, bensı unpendolo doppio.L’azione di controllo e sempre la stessa, come nel caso precedente si tende a linearizzare considerando che:

L1

L2= 1

80 Capitolo 6

b

b

b

b

m2g

m1g

b x

y

s

b

b

(x(2), y(2)

)

(x(1), y(1)

)

θ1

θ2

L1

L2

m2g

m1g

Figura 6.3.1: Schema delle forze in gioco nel pendolo doppio

m1

m2= 1

g

L1=

g

L2= 1

θ1 , θ2 piccoli

Come detto l’azione di controllo e sempre la stessa, ovverolo spostamento di∆s, invece la variabile dacontrollare e lo spostamento di una delle due masse (m1,m2) in funzione di quella che e presa come riferi-mento. Intuitivamente risultera piu facile controllarela massam1, tale ipotesi viene avallata dalla funzionedi trasferimento che si ottiene, esse saranno rispettivamente pari a:

∆s P1 (s) ∆x(1) ∆s P2 (s) ∆x(2)

P1 (s) =2

s4 − 4s2 + 2P2 (s) =

2(s2 − 1

)

s4 − 4s2 + 2

Analizzando le due funzioni di trasferimento si osserva chehanno entrambi lo stesso denominatore del4o

ordine , ma la funzione di trasferimentoP2 (s) presenta due zeri in piu aP1 (s). Analizziamo quindi lesingolarita:

ℜ [s]

ℑ [s]

× ×bc×× bc √2−√

2

√2 +√

2

1

−√

2−√

2−√

2 +√

2

−1

dato che in questo caso non e possibi-le realizzare un controllore utilizzandole reti classiche, e necessario orientarcisu uncontrollore instabile molto piucomplicato nella realizzazione praticadi quanto la teoria matematica affermi.

7Lezione 19 Ottobre 2006

7.1 Sintesi dei Controlli

Si considera il nostro sistema di controllo classico:

yo +

-C(s)

+ +

di

P (s)+ +

do

y

+

+dn

Il problema del controllo e sempre lo stesso, data la funzione di trasferimento di un impiantoP (s) dacontrollare, si deve progettareC (s) in modo tale cheY sia il piu vicino possibile all’uscita desiderataY o (s)Da corso di fondamenti di automatica avevamo studiato un metodo di risoluzione pertentativi utilizzandoreti correttrici :

• Regolatori standard:K, I,D• Reti correttrici.

Il metodo era detto per tentativi poiche in base alle specifiche di controllo del sistema si ottenevano deiparametri equivalenti in base a cui si progettavano le reti correttrici, una volta terminato si verificava sele specifiche iniziali erano state assolte, in caso negativosi procedeva a riprogettare il tutto. Iniziamo adintrodurre un metodo nuovo per la sintesi del controllore che si base su un procedimento diretto.

7.1.1 Il metodo di Sintesi Diretta

Y o (s) W (s) Y

Il metodo della sintesi diretta si basa su una idea diversa,infatti dal punto di vista ingresso uscita il nostro sistemaeassimilabile a quello a fianco.

Come e noto laW (s) definisce essenzialmente il legame traY o (s) e Y (s), ovvero come l’uscita effettiva segua l’usci-

82 Capitolo 7

ta desiderata, possiamo ipotizzare un comportamento desiderato imponendo la funzione di trasferimentoW o (s)

Hp.1 Non ci sono disturbi.Hp.2 Si vuole seguire fedelmente il gradino.

tos

1 + smax

s

Tempo

Am

pie

zza

876543210

1.8

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Figura 7.1.1

dove:ts ∼= tos e s ≤ sMAX

tossmax

0

C(s)Sistema

tossmax

e

W (s)Sistema

Le F.d.T:Y (s) = W (s)Y o(s) (7.1.1)

la funzione di trasferimento ad anello chiuso e pari a:

W (s) =C(s)P (s)

1 + C(s)P (s)(7.1.2)

Nella sintesi diretta, vado a progettare una funzione ausiliaria, che soddisfa (una volta inserita) le miespecifiche di sistema.

C(s) =1

P (s)

W (s)

1−W (s)(7.1.3)

Svolgendo la funzioneW (s), ottengo la FdT del controlloreC(s), vincolata strettamente a tale funzione.

Lezione 19 Ottobre 2006 83

Scegliamo il valore della funzioneW (s), in funzione delle specifiche.

1 spec: Sistema stabile internamente.2 spec: Controllore fisicamente realizzabile.3 spec: Prestazioni.

Impongo le condizioni di stabilita:

1. 1 + C(s)P (s) ha tutti gli zeri a parte reale≤ 0.2. Non ci sono cancellazioni a parte reale≥ 0, fra i poli e gli zeri diC(s) eP (s).

W (s) =C(s)P (s)

1 +C(s)P (s)

(a) W (s) deve avere poli a parte reale≤ 0.(b) Ogni zero diP (s) a parte reale≥ 0 deve essere anche zero diW (s), con almeno la stessa molteplicita.(c) Ogni polo diP (s) a parte reale≥ 0 deve essere anche zero di1 − W (s), con almeno la stessa

molteplicita.

• E(C) ≥ 0 ⇔ E(W ) ≥ E(P )

7.1.2 Funzione Canonica

Prendiamo la funzione canonica del secondo ordine:

W (s) =1

1 + 2ζs

ωn+

s2

ω 2n

; conζ > 0 (7.1.4)

Dalla figura 7.1.2 si osserva cheζ e il seno dell’angoloφ formato con la semi circonferenza di raggioωn

ℜ [s]

ℑ [s]

ωn

ζ = sinφ

φ

Figura 7.1.2: Determinazione del fasoreW (s).

Ricorda. Non esiste un sistema del secondo ordine, che riesca a soddisfare tutte le possibilicondizioni di stabilita.

84 Capitolo 7

ζ = 1

ζ = 0

Sistema del Secondo Ordine - Risposta al Gradino Unitario

Tempo Normalizzato (t)

Am

pie

zzaw

(t)

20151050

2

1.5

1

0.5

0

Figura 7.1.3: Risposta al gradino unitario al variare diζ

W (s) =1

1 + 2ζs

ωn+s2

ω2n

(7.1.5)

La condizione (2.a) la posso utilizzare solo per impianti che non hanno zeri a parte reali positiva, maggioree uguale zero.

P (s) non deve avere zeri a parte reale≥ 0.

La condizione (2.b) richiede cheW (s) = 1, quindi ho che:

1

1 + 2ζ

ωns+

s2

ω 2n

= 1 (7.1.6)

s

(2ζ

ωn+

s

ω 2

n

)= 0 →

s = 0

s = −2ζ ωn(7.1.7)

non posso trovares 6= 0 poiche−2ζωn > 0 e verificata solo seωn < 0, poiche avevamo supposto cheζ > 0. Sono quindi ammissibili solo le funzioni cons = 0 cioe con polo nell’origine.

n = 0, 1

P (s) =1

snP 1

mf (s) (7.1.8)

DovePmf (s) rappresenta tutte le funzioni a fase minima, cioe quelle funzioni che hanno tutti i poli e glizeri reali< 0 .


Esempio7.1.1. Equazione del motore.

P (s) =k

s (1 + fes) (1 + tms)(7.1.9)

Ho inoltre l’introduzione del vincolo sull’eccesso cheE(P ) ≤ 2, poiche laW (s) e una funzione del secon-do ordine, per la fisica realizzabilita del controlloreC(s) devo imporre la condizione sull’eccesso.Abbiamo trovato dei prerequisiti dell’impianto, per classificarlo in una classe con determinate caratteristi-che.

Specifiche standard

• Errore a regime permanente nullo al segnaleyo (t).

erp = 0

• Errore di inseguimento alla rampa. L’errore di inseguimento ad una rampa unitaria,(yo (t) = t) sia nonsuperiore ad un certo valoree1.

limt→∞|yo (t)− y (t)| ≤ e1 (7.1.10)

• Specifiche sulla sovra elongazione massimas ≤ smax, figura 7.1.1.• Specifiche sulla banda passante del sistema, come banda a−3dB.

Date le specifiche posso trovare almeno due valori diζ eωn che rispettino le mie specifiche di progetto.

A

yo W (s) y

Wo(A)

Figura 7.1.4: Valutazione dell’errore al gradino

• La condizione di errore al gradino nullo, e soddisfatta intrinsecamente.• Errore di inseguimento alla rampa.

Y (s) = W (s)Y o(s); Y o(s) =1

s2

limt→∞

|yo (t)− y (t)| ≤ e1

Doveyo (t) segnale a rampa. Applico il teorema del valore finale:

lims→0

s ·L [y (t)] = lims→0

s [Y o(s)− Y (s)] = lims→0

s (1−W (s))1

s2(7.1.11)

faccio lo sviluppo i serie di Taylor della funzioneW (s)

W (s) = W (0) +dW

ds

∣∣∣∣s=0

s+ . . . = 1 +dW

ds

∣∣∣∣s=0

(7.1.12)

86 Capitolo 7

lims→0

(1− 1− dW

ds

∣∣∣∣s=0

s+ . . .

)1

s= −dW

ds

∣∣∣∣s=0

(7.1.13)

In fine ottengo:∣∣∣∣dW

ds

∣∣∣∣s=0

∣∣∣∣ ≤ e1 (7.1.14)

(2ζωn

+ . . .)

(1 + 2ζ s

ωn+ s2

ω2

n

)2

∣∣∣∣∣∣∣s=0

=2ζ

ωn≤ e1 (7.1.15)

W (0) = 1∣∣∣∣−

dW

ds

∣∣∣∣s=0

∣∣∣∣ > e1 (7.1.16)

Definizione 7.1.1(Sovraelongazione). Definisco sovra elongazione e la indico cons la differenza tra ilvalore massimo (o picco) della funzione ed il suo valore all’infinito,vedi figura 7.1.5, matematicamente laesprimo come:

s(s) = e− πζ√

1− ζ2(7.1.17)

Le condizioni di progetto mi impongo il vincolo che:

s(s) = e−

πζ√1− ζ2 ≤ smax

Definizione 7.1.2(Banda a−3 dB). Definiscobanda a−3 dB, la pulsazione alla quale, il|W (jω)| e

pari a1√2

.

|W (jB3)| =1

2(7.1.18)

svolgendo i calcoli troviamo:

B3 = ωn

√1− 2ζ2 +

√2− 4ζ2 + 4ζ4 = Bo

3 (7.1.19)

W (s) =C(s)P (s)

1 + C(s)P (s)⇒ L (s)

1 + L (s)→ W (s) = (1−W (s))L(s)

C (s) =W (s)

1−W (s)=

1

1 + 2ζs

ωn+s2

ω2n

1− 1

1 + 2ζs

ωn+ s2

ω2n

=1

2 ζs

ωn+

s2

ω2n

=1

s

ωn

(2ζ +

s

ωn

) (7.1.20)

L(s) =

ωn2ζ

s

1

1 + s2ζωn

(7.1.21)

L(s) =KL

sn


KL =ωn

2ζ

KL

B3=

ωn2ζ

ωn

√1− 2ζ2 +

√2− 4ζ2 + 4ζ4

=1

2 ζ

√1− 2ζ2 +

√2− 4ζ2 + 4ζ4

(7.1.22)

KL ≥1

e1→ KL

B3≥ 1

e1B3(7.1.23)

KL

B3=

1

2 ζ

√1− 2ζ2 +

√2− 4ζ2 + 4ζ4

≥ Bo3 (7.1.24)

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0.1 1 10

Mod

ulo

(dB

)

Frequenza(ω/ωn)

Funzione di Trasferimento del Secondo Ordine - Modulo

Smorzamentoζ =.1,.2,.3,.4,.5,.707,1.0,2.0

ζ ↑

Figura 7.1.5: Variazione del picco di risonanza al variare dello smorzamento.

7.2 Utilizzo della carta

• Si parte dalla specifica della sovra elongazione, identificando unoζmin

s ⇒ ζmin

• 1

e1B3la specifica

KL

B3mi da le informazioni sul valore massimo ammissibile perζ: ζmax.

KL

B3(ζ) ⇒ smax (ζ)

• Prendo un valore intermedio diζ tra ζmin e ζmax, e lo prolungo sulla curvaB3

ωn, trovando il valore diωn.

88 Capitolo 7

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.50.325 0.375 0.425 0.475 0.525 0.575 0.625 0.675 0.725 0.775 0.825 0.875 0.925 0.975

B3

ωn,K

LB

3

s

ζ

B3ωn

KLB3

s

Figura 7.2.1: Carta di Controllo


Corollario 7.2.1. Non sempre posso utilizzare le carte per trovare i parametridel controllore, sopratutto

per valori diKL

B3minori del valoreζmin.


8.1 Sintesi diretta

yo +

-C(s)

+ +

di

P (s)+ +

do

y

+

+dh

P (s) =

Kp

sn· Pmf (s), n = 0, 1

E(P ) ≤ 2 controllore fisicamente realizzabile.(8.1.1)

W (s) =1

1 + 2ζ sωn

+ s2

ω2n

(8.1.2)

conζ eωn tali da garantire:e1, smax,Bo3

C(s) =1

P (s)

W (s)

1−W (s)

Conoscendo le specifichi di progetto del nostro sistema, posso calcolarmi i valori diζ e ωn dalla cartaattraverso le curve normalizzate (

B3

ωn, s,

KL

B3

)

W (s) =C(s)P (s)

1 + C(s)P (s)

KL e il guadagno di bode della funzioneL(s), che e definita comeC(s)P (s).

ζ , ωn

1.KL

B3≥ 1

e1Bo3

2. s ≤ smax

92 Capitolo 8

3.B3

ωn≡ Bo

3

ωn

Esempio8.1.1.

P (s) =1 + 10s

s(1 + s)2

Impongo le seguenti specifiche di progetto:

•• Errore di inseguimento alla rampae1 = 0.1.• Sovra elongazione massimasmax = 0.2.• Banda passanteBo

3 = 12.5.

W (s) =1

1 + 2ζ sωn

+ s2

ω2n

1

e1Bo3

=1

12.5 · 0.1 = 0.8 → ζ = 0.484

Dalle specifiche sullasmax assumo dalla carteζmin = 0.47. Fisso la miaζ nel valore intermedio da cui

ottengo:Bo

3ωn

= 1.3 → M .

M =Bo

3

ωn≡ ωn =

12.5

M= 9.58

C(s) =1

P (s)

W (s)

1−W (s)=

s(1 + s)2

1 + 10s

ωn2 ζ

s(1 + s

2 ζ ωn

) =s(1 + s)2

1 + 10s

10.2

s(1 + s

2 · 0.47 · 9.58)

C(s) =(1 + s)2

(1 + 10s)

10, 2

(1 + s/9)= 10.2

1 + s

1 + 10s

1 + s

1 + s/9

Come si osserva il controllore ha i poli dell’impianto come zeri, mentre ha gli zeri dell’impianto come poli,ad eccezione del polo nell’origine.

Nel esempio ho eseguito una cancellazione della parte stabile dell’impianto attraverso due reti: la prima ditipo ritardatrice e la seconda di tipo anticipatrice.

Ritardatrice Anticipatriceτr = 10

mr = 10

τa = 1

ma = 9

(8.1.3)

Analizziamo adesso il caso in cui volessi restringere le specifiche del mio sistema, imponendoe1 = 0.08.Sı osserva dal grafico che il valore diζmax < ζmin.Non e piu possibile soddisfare le specifiche di progetto con un controllore del secondo ordine. Devomodificare il controllore inserendo una nuova funzione di trasferimentoW (s).

WI(s) =1

1 + 2ζs

ωn+s2

ω2n

(8.1.4)


WII(s) = WI(s)1 + sτ

1 + s τm(8.1.5)

Analizzando il controlloreWII(s) (8.1.5) si osserva che e stata inserita una rete di tipoanticipatrice (τ ≥0 , m ≥ 1). Ho quindi due nuovi parametri per il calcolo della F.d.T. del controllore. Inoltre nel caso in cuim = 1, ottengo la funzione di trasferimento del2o ordineWI(s).

e1 ← specifica di progettosmax

Bo3

(8.1.6)

Risolvo quindi il mio problema, agendo solo suBo3 e susmax

limt→∞

|yo (t)− y (t)| ≤ e1 peryo = t (8.1.7)

Da cui:

Y o(s) =1

s2, Y (s) = Y o(s)W (s)

limt→∞

|yo (t)− y (t) | = lims→0

s (Y o(s)− Y (s)) =

= lims→0

s [1−W (s)]1

s2=

= lims→0

[1−W (s)]1

s

(8.1.8)

facendo lo sviluppo in serie di Taylor,ottengo;

WII(s) = WII(0) +dWII

d s

∣∣∣∣s=0

s + . . . = 1 +dWII

d s

∣∣∣∣s=0

s =

limt→∞

yo (t)− y (t) = −dWII

ds

∣∣∣∣s=0

(8.1.9)

∣∣∣ limt→∞

yo (t)− y (t)∣∣∣ ≤ e1 peryo (t) = t ⇔

∣∣∣∣−dWII

ds

∣∣∣∣s=0

∣∣∣∣ ≤ e1 (8.1.10)

dWII

ds

∣∣∣∣s=0

⇒ −dWI

ds

∣∣∣∣s=0

+ 1× τ(1 + s τm

)− τm (1 + sτ)

(1 + s τm

)2

∣∣∣∣∣s=0

=−2ζ

ωn− m− 1

mτ (8.1.11)

La (8.1.11) rappresenta la condizione sulla banda.

Supponiamo di fissareζ, ωn tale da soddisfare le specifiche dismax eBo3 . Posso comunque utilizzare la

stessa carta, fissando le specifiche equivalenti sullaWI , dopo di che posso fare laWII .

WI(s) =1

1 + 2ζs

ωn+s2

ω2n

· 1 + sτ

1 + s τm

(8.1.12)

(B3)I, (s)

I

(B3)II, (s)

I

⇒

(B3)I⇔ (B3)II

(s)I⇔ (s)

II

(8.1.13)

94 Capitolo 8

b

|W (0)||W (0)|√

2

|W (jω)|

0 B3

ω

(a) Diagramma del Modulo della funzioneWI(s), indB

1.53.0

-1.5-3.0-4.5

b

|W (jω)|dB

B3ω

−3 dB

(b) Diagramma del Modulo della funzioneWI(s),in dB

Ho due punti di rottura, uno suτ ed uno suτ/m.

1

τ,m

τ≫ ωn → (B3)II

∼= (B3)I

1

τ,m

τ≪ ωn → (B3)II

> (B3)I

Da cui:

10-1

10-2

101 10210-1

ω

∣∣W 0(s)∣∣

Figura 8.1.1: Effetto della rete anticipatrice sul modulo di WII(s)

limω→∞

∣∣∣∣1 + jωτ

1 + jω τm

∣∣∣∣=mdB (8.1.14)


1. −40 log10

(B3)I

ωn= −3

2. 20 log10m− 40 log10

(B3)II

ωn= −3

40

[log10

(B3)II

ωn− log10

(B3)I

ωn

]= 20 log10m

2 log10

(B3)II

(B3)I

= log10m

(B3)II

(B3)I

=[1,√m]

(8.1.15)

Quindi se il valore dim e poco maggiore di 1 garantisco che le due bande siano uguali.

m→ 1, (B3)II∼= (B3)I

(8.1.16)

(B3)II= Bo

3 ⇔ (B3)I= Bo

3 (8.1.17)


1 + s τm(8.1.18)

Sovra elongazione Massima


1 + s τm(8.1.19)

WII(s) = WI(s)m+ s τ m

m+ sτ(8.1.20)

WII(s) = mWI(s)− (m− 1)WI(s)1

1 + s tm

(8.1.21)

Devo anti trasformare le funzioni:

L−1

[WII(s)

1

s

]

︸︷︷︸Risposta algradino delsistema II

= mL−1

[WI(s)

1

s

]

︸︷︷︸Risposta algradino delsistema I

− (m− 1) L−1

[WI(s)

1

s,

1

1 + s τm

](8.1.22)

yII (t) = yI (t) − (m− 1) yI (t)⊗L−1

[s+ sτ

1 + s τm

](8.1.23)

Dove yI (t) ≫ 0 cioe la risposta del sistema del2o ordine e maggiore di 0 eL −1

[1 + sτ

1 + s τm

]e pari a

m

τe−mτ t .

96 Capitolo 8

Da cui qualunque sia il valori dit, l’uscita del sistema corrispondente alla funzione di trasferimento del se-condo ordine sara minore dell’uscita del sistema alla funzione di trasferimento del primo ordine moltiplicataperm.

yII (t) ≤ myI (t) , ∀ t (8.1.24)

Da cui sostituendo la sovra elongazione massima,

1 + sII ≤ m (1 + sI) ⇒ (sII) = m (1 + sI)− 1 (8.1.25)

Devo quindi garantire che(s)II< smax.

msI +m− 1 ≤ smax (8.1.26)

sI ≤smax −m+ 1

m(8.1.27)

Quindi:

1. Fissom > 1 (Poco maggiore di 1)2. Fissoζ dalle carte tale che:

sI ≤smax −m+ 1

m

ζmin = 0.62

3. Trovoωn dalle carte sapendo che(B3)II∼= Bo

3∼= (B3)I

(B3)I=∼= Bo

3

B3

ωn(ζ = 0.62)

ωn =Bo

3

M= 11.15 (8.1.28)

4. Notoωn fissoτ tale che:2ζ

ωn− (m− 1)

m· τ ≤ e1 → τ ≥ 0.35 (8.1.29)

τ = τmin =m

m− 1

(2 ζ

ωn− e1

)


9.1 Sintesi

Y o+

C(s) P (s) y

Consideriamo la nostra funzione di trasferimento di impianto P (s) =Kp

snPn f (s) conn = 0, 1, 2, . . . che

soddisfa la condizione sull’eccessoE(P ) ≤ 2, allora:

W (s) = WI(s) =1

1 + 2ζs

ωn+s2

ω2n

(9.1.1)

dove ζ e ωn sono scelti in base ae1 , B03 , smax. Posso dalle specifiche trovare la funzioneW (s) e

successivamente riportarmi al controllore con la formula di inversione:

C(s) =1

P (s)

W (s)

1−W (s)

Dalle carte, trovo che:

1. s (ζ) ≤ smax ⇔ ζ ≥ ζmin

2.KL

B3≥ 1

e1Bo3

⇔ ζ ≤ ζmax

3.B3 (s)

ωn=

Bo3 (s)

ωn

come si e visto si hanno in questo caso tre parametri, si e anche visto che il problema puo essere semprerisolto, ovvero si puo sempre definire il controlloreC (s) che garantisce il rispetto delle specifiche di sistemarichieste scegliendo unaW (s) .

Nel caso in cui il valore diζmax che mi realizza il controllore sia minore al valore diζmin, inserisco una retedi tipo anticipatrice.


1 + sτ

m

(9.1.2)

98 Capitolo 9

Nel caso in cuim = 1, si ottinene cheWII(s) = WI(s).

1. Scelto il valore dim : m→ 1.2. Scelto il valoreζ: (s)I ≤ smax. Tale condizione e garantita, se:

(sI) =smax − (m− 1)

m⇒ ζ ≥ ζmin (9.1.3)

Nella progettazione viene utilizzato normalmente il parametroζmin.

ζ = ζmin

Ricavatoζ, posso ricavare dalle carte anche il valore diB3/ωn corrispondente.

B3 (ζ)

3. Scelgoωn:B3 (ζ)

ωn=

(B3)I

ωn=

(B3)II

ωn=

B3

ωn

ωn =Bo

3

Bo3 (ζ)

ωn

(9.1.4)

4. Scelgo il valore diτ : ∣∣∣∣2ζ

ωn− m− 1

mτ

∣∣∣∣ ≤ e1 (9.1.5)

ττmin τmaxτ∗

e1

α = m−1

m

2ζωn

Figura 9.1.1: Range diτ per cui e soddisfatta la specifica sull’errore di uscita delmio sistema di controllo.

Impongo che la funzione (9.1.5) sia minore o uguale ae1. Determino quindi l’intervallo di valori ammessiperτ . Qualunque siano le mie specifiche, posso sempre risolvere il problema di controllo conWII(s). Nelcaso in cuie1 = 0 (Errore di inseguimento nullo), ho come soluzione il valoredi τ = τ∗. Inoltre perm → 1, ho l’effetto di cancellazione polo zero della rete anticipatrice, che mi garantisce il comportamentoprossimo a quello della rete del secondo ordineWI(s).


Il sistema ad anello chiuso si comporta come un sistema del2o ordine.

• e1 ≥ 0• smax ⇒ WII(s) = WI (s) conm→ 1.• Bo

3

Nota. Si prende sempre il valore diτ minore possibile, che soddisfa le specificheτ = τmin.

τ = τmin =m

m− 1

(2ζ

ωn− e1

)(9.1.6)

Esempio9.1.1. Prendo la funzione di trasferimento del mio impianto:

P (s) =1

s· (1 + 10 s)

(1 + s)2(9.1.7)

• e1 = 0.08• smax = 0.2• Bo

3 = 12.5 rad/sec

s (ζ) ≤ 0.2 → ζ ≥ 0.46

KL

B3(ζ) ≤ 1

e1B3= 1

Da cui ricavo cheζ ≤ ζmax = 0.35 ma in questo caso osserva cheζmax < ζmin, non ho quindi soluzionecon il sistema del secondo ordine, quindiW (s) e del tipoWII(s). Inserisco una rete di tipo anticipatricecon un fattorem pari a 1.1.

m = 1.1

Dalla relazione (9.1.3) ricavo:

sII =smax − (m− 1)

m=

0.2 − 0.1

1.1=

1

11= 0.09

Da cui utilizzando la curvaKL/B3 della carte perζ = 0.63, posso calcolare il valore della pulsazionenaturale della mia rete:

ω =Bo

3

B3ωn

(0.62)→ ωn = 11.15

Che inserito nella (9.1.6) mi permette di calcolare il calore di τmin della mia rete anticipatrice Dalla cartaassumeζ = 0.62.

τ = τmin =m

m− 1

(2ζ

ωn− e1

)∼= 0.35

quindi τ viene assunto pari a 0.35, ottenendo quindi la seguente reteanticipatrice:

1 + 0.35s

1 +0.35

1.1s

100 Capitolo 9

Posso quindi calcolare il controllore per inversione dellaformula:

C(s) =1

P (s)

W (s)

1−W (s)

WII(s)

1−WII(s)=

1 + sτ(1 + 2ζ

s

ωn+s2

ω2n

)(1 + s τm

)− 1− sτ

WII(s)

1−WII(s)=

1 + sτ

2ζs

ωn+s2

ω2n

+ s τm + 2ζ τωns2 + τ

mω2n

s3=

1 + sτ

s

[2ζωn

+ sω2

n

+ τm + 2ζ τωn

s+ τmω2

n

s2]

ricavando quindi che:WII(s)

1−WII(s)=

12.6 (1 + 0.35s)

s (1 + 0.48s) (1 + 0.067s)

C(s) =

(1 + s2

)(1 + 0.35s)

(1 + 10s) (1 + 0.48s) (1 + 0.0)

• zeri: 1 , 1 ,1

0.35• poli: 0 , 1 , 2 , 1.6

La rete puo essere vista come:

C(s) = 12.6

(1 + s

1 + 10s

)(1 + s

1 + 0.48s

)(1 + 0.35s

1 + 0.067s

)(9.1.8)

Nella sintesi diretta l’ordine del controllore e pari all’ordine dell’impianto.

9.2 Classe dell’impianto

P (s) =Kp

shPmf (s) (9.2.1)

1. h = 0, 12. Pmf (s) e stabile internamente, ha quindi tutti i poli e gli zeri a parte reale minore di zero.3. E(P ) ≤ 2 Controllore fisicamente realizzabile.


Posso applicare il metodo della sintesi diretta anche per funzioni di trasferimento diimpianto con E(P ) > 2, in tale caso dovro inserire un polo fuori banda, con pulsazione

tra 3 e 5Bo3 .

Esempio9.2.1.

P (s) =1

s (s+ 1)2

e1 = 0.8•• smax = 0.2• Bo

3 = 12.5

WII(s) =1

1 + 1.24s

11.15+

s2

(11.15)2

· 1 + 0.035s

1 +0.035s

1.1

Ottengo:

C(s) =12.6

(1 + s2

)(1 + 0.35s)

(1 + 0.98s) (1 + 0.067s)

Il controllore non e fisicamente realizzabile. Non rispetta la condizione di fisica realizzabilita. Condizionedi fisica realizzabilita del sistema e cheE(W ) ≥ E(P ).

Per rendere fisicamente realizzabile il mio impianto, inserisco dei poli fuori banda, ad alte frequenze.

W (s) = WII ·1

1 + sωo

, ωo∼= [3, 5]Bo

3 (9.2.2)

Corollario 9.2.2. Assegnatie1, s, Bo3 e sempre possibile trovare un controllore:

W (s) =1

1 + 2ζs

ωn+s2

ω2n

· 1 + sτ

1 + sτ

m

· 1(

1 +s

ωo

)E(P )−2

(9.2.3)

C(s) =1

P (s)

W (s)

1−W (s)

Risolvo il problemaB3∼= Bo

3

WI(s) =1

1 + 2ζs

ωn+s2

ω2n

⇒ WI(s)

1−WI(s)=

ωn

2ζ

1

s

(1 +

s

2ζωn

) (9.2.4)

C(s) =1

P (s)

ωn

2ζ

1

s

(1 +

s

2ζωn

) (9.2.5)

102 Capitolo 9

Conh = 1, P (s) =Kp

sPmf (s) ePmf (s) =

N(s)

D(s)

C(s) =s

KpPmf (s)

ωn

2ζ

1

s

(1 +

s

2ζωn

) (9.2.6)

C(s) =ωn

2ζKp

1

s

(1 +

s

2ζωn

) D(s)

N(s)(9.2.7)

• Ordine del controlloreC(s) ≥ grado del denominatoreD(s)• Ordine dell’impiantoP (s) = 1+ grado diD(s)

Corollario 9.2.3. Nei metodi di sintesi diretta, l’ordine del controlloree pari all’ordine dell’impianto.

Per sistemi di ordine elevato, ho controllori di elevata complessita, i cui coefficienti sono difficilmentegestibili dal punto di vista pratico. Dovrei andare a studiare metodi di semplificazione del controllore.

yo+

C(s) P (s) y

Richiami sulla Sintesi Diretta

1. Scelta dellaW (s) sulla base delle specifiche.

2.

C(s) =1

P (s)

W (s)

1−W (s)

Esempio9.2.4.

P (s) =10

s·(

1− s1 + s

)

La FdT dell’impianto, non e internamente stabile. La presenza dello zero a destra , non mi permette diutilizzare la sintesi attraverso le carte di controllo.

Errore di inseguimento a regime ad un gradino unitario in ingresso, deve essere nullo.

e1 (y (t) = 1) = 0

•• Mr = maxω>0|W (jω)| ≤ 1.

• La banda passante, sia pari a 5 rad/sec.Bo

3 = 5


Devo trovare il controllore che mi soddisfa le specifiche: stabilita interna + specifiche equivalenti.Per le specifiche di stabilita interna sappiamo che:

• W (s) deve avere tutti i poli a parte reale minore di zero.

• W (1) = 0.

• 1−W (0) = 0.

• E(W ) ≥ E(P ) Nel nostro caso E(W ) ≥ 1.

Sulla base delle specifiche impongo che la funzione di trasferimentoW (s) in s = 0 valga 1:

W (0) = 1

Che il modulo massimo della funzione perω > 0 sia minore di 1 e che la banda passante sia minore di 5rad/sec. Dalle specifiche di stabilita interna devo trovare un controlloreCo(s) che mi stabilizzi internamenteil sistema, devo quindi cancellare lo zero a parte reale maggiore di zero della FdT dell’impianto ins = 1.

W (s) =s− 1

· · · W (s)

Per le specifiche sul modulo del mio sistema, devo intervenire sul denominatore dellaW (s), per annullarel’effetto dello zero in banda, devo quindi garantire che nella banda passante del mio sistema il modulo siaunitario, devo quindi inserire al denominatore della funzioneW (s), un polo che sia il complesso coniugatodello zero instabile al numeratore, in maniera da annullarel’effetto sul modulo:

∣∣∣∣1− s

(1− s)∗∣∣∣∣ =

∣∣∣∣1− s

(1 + s)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣1− jω1 + jω

∣∣∣∣ =(1− jω) (1 + jω)

(1 + jω) (1− jω)= 1

Posso adesso lavorare sulla funzioneW (s). Per le condizioni sulla stabilita interna devo garantireche:

1−W (0) = 0

W (0) = 1(9.2.8)

Prendo la funzione piu semplice possibile:

W (s) =k

1 + sτ− ր

ց

1) τ > 0

2)k

1 + sτ

∣∣∣∣s=0

= 1, ⇒ k = 1(9.2.9)

Impongo la condizione sul modulo della funzione:

∣∣W (jω)∣∣ =

1√1 + ω2τ

≤ 1

Perτ > 0 la condizione e verificata∀ω, la condizione sulla banda passante ,Bo3 = 5 rad/s , imponendo il

punto di rottura perτ = 1/5, la mia funzione di trasferimento ad anello chiuso diventa:

W (s) =1

1 + 15

W (s) =1− s1 + s

1

1 + 15

C(s) =1

P (s)

W (s)

1−W (s)=

s (1 + s)

10 (1− s)

(1− s1 + s

)(1

5 + s

)

1 +(

1− s1 + s

)(1

5 + s

) =5s (s+ 1)

10 [(s+ 1) (s+ 5)− 5 (1− s)]

104 Capitolo 9

Semplificando ottengo:

C(s) =(s+ 1)

2 (11 + s)

9.3 Sintesi diretta a piu obbiettivi

A nalizziamo adesso il caso di un sistema con disturbo sull’uscita: Devo valutare l’incertezza del sitema.

Y o+

-C(s) P (s)

+ +

Do

Y

H(s)

Y =C(s)P (s)

1 + C(s)P (s)︸︷︷︸W (s)

Y o +1

1 + C(s)P (s)︸︷︷︸Wd(s)

D (9.3.1)

Sistesi a + obbiettivi

1. W (s) = W o(s)2. Wd(s) = W o

d (s)Ho un unico grado di liberta, per lo sviluppo del controllore:

W o(s) = W od = 1 (9.3.2)

fissatoW o(s) → W o

d (s) = 1−W (s)

Se non sono soddisfatto della mia funzione di trasferimentoW od (s), applico in ingresso al mio sistema un

blocco funzionale, inserendo piu gradi di liberta nel progetto.Inoltre i disturbi in ingresso al mio sistema sono normalmente non misurabili.

Y o T (s)+

-C(s) P (s)

+ +

Do

Y

H(s)


Ottengo quindi che l’uscita del mio sistema sara data dallanuova relazione:

Y =C(s)P (s)

1 + C(s)P (s)︸︷︷︸W o(s)

T (s)Y o +1

1 + C(s)P (s)︸︷︷︸Wd(s)

D (9.3.3)

W o =C(s)P (s)

1 + C(s)P (s)T (s) (9.3.4)

W od =

1

1 + C(s)P (s)(9.3.5)

W o (1 + C(s)P (s)) = 1 (9.3.6)

C(s) =1−W o

d (s)

W od (s)P (s)

=1

P (s)· 1−W

od (s)

W od (s)

(9.3.7)

W o(s) = (1−W od (s)) = 1− 1

1 + C(s)P (s)=

1 + C(s)P (s)− 1

1 + C(s)P (s)=

C(s)P (s)

1 +C(s)P (s)(9.3.8)

W o(s) = (1−W od )T (s) (9.3.9)

T (s) =W o(s)

1−W od (s)

(9.3.10)

La funzione di trasferimentoT (s) prende i nome di pre filtro. Il controllore presente sull’anello interno delsistema serve per migliorare il rapporto segnale rumore. Inogni situazione se mi accontento della condizioneW o

d = 1−W o(s) → T (s) = 1, risolvo il problema con un solo grado di liberta.

10Lezione del 2 Novembre 2006

10.1 Esercizzi

10.1.1 Controllori Stabilizzanti

P (s) =s+ 1

(s− 1) (s+ 2)

• La funzione ha uno polo a parte reale maggiore di zero in1, devo trovare una classe di controlloristabilizzanti:

C(P ) =

C(s) = Co(s) +

Q(s)

1− P o(s)Q(s)

doveCo(s) e un controllore stabilizzante e

P o(s) =P (s)

1 + Co(s)P (s)

il metodo sistematico, mi impone di cercare una funzioneW (s), che soddisfi la condizione sull’eccessoed inoltre presenti in questo caso almeno un grado di libert`a.

W (s) =a0

s+ 1

dove (s+ 1), mi soddisfa a condizione sull’eccesso, mentre il parametro a0 mi introduce un grado diliberta sulla funzione.Inoltre la mia funzioneW (s) dovra soddisfare le seguenti condizione:

1−W (1) = 0, W (1) = 1− a

2→ a = 2

da cui ricavo che la funzioneW (s) sara del tipo:

W (s) =2

s+ 1

Tramite la formula di inversione posso ricavarmi la forma del controllore stabilizzanteCo(s).

Co(s) =1

P (s)

W (s)

1−W (s)=

(s− 1) (s+ 2)

(s+ 2)

2

s− 1= 2

s+ 2

s+ 1

108 Capitolo 10

Posso quindi trovale la forma dell’impianto:

P o(s) =

(s+ 1)(s− 1) (s+ 2)

1 + 2(s+ 2)(s+ 1)

(s+ 1)(s− 1) (s+ 2)

=

(s+ 1)(s− 1) (s+ 2)

(s− 1) + 2(s− 1)

=1

s+ 2

P o(s) =1

s+ 2

Vado a vedere se posso trovare un controlloreCo(s) di tipo proporzionale che mi permette di stabilizzareil mio impianto.

Co(s) = k

1 + Co(s)P (s) =(s− 1) (s+ 2) + k (s+ 1)

(s− 1) (s+ 2)

s2 + s− 2 + ks+ k = s2 + s (1 + k) + k − 2 = 0

1 + k > 0

1− 2 > 0→

Co(s) = 3

P o(s) =

s+ 1

(s− 1) s+ 2

1 + 3(s+ 1)

(s− 1) (s+ 2)

=s+ 1

s2 + 4s + 1

• Devo trovare il sottoinsieme dei controllori che rendono nullo l’errore di inseguimento a regime delgradino unitario.

P (s) =s+ 1

(s− 1)(s + 2)

C (P ) =

C(s) =

2(s + 2)

s+ 1+

Q(s)

1−Q(s) 1s+2

, Q(s) ∈ S

trovo il sottoinsieme diC(P ), tale che l’errore a regime di inseguimento ad un gradino unitario (yo (t) =1) sia nullo.

yo +

-Co(s) P o(s) y

L’errore di inseguimento lo posso vedere come la funzione disensibilita del sistema.

yo S(s) e

S(s) =1

1 + C(s)P (s)=

A (s)

A (s) + B (s)

E(s) = S(s)1

s

Lezione del 2 Novembre 2006 109

Voglio che:

limt→∞

e (t) = 0 −րց

H(s)|s=0 = 0

A (s)

s

∣∣∣∣s=0

→ 0

la funzione di sensitivita deve avere uno zero in 0

Oppure impongo che il mio controllore ha un polo nell’origine, cioe che la funzione di sistema sia di tipo1.

C(0) = 4 +Q(0)

1− 12Q(0)

, C(0)→ ∞ perQ(0) = 2

Cioe la funzione ha polo nello’origine. L’insieme dei controllori, che soddisfano la condizione di erroredi inseguimento nullo sono del tipo:

C (P ) =

C(s) =

2(s+ 2)

s+ 1+

Q(s)

1−Q(s) 1s+2

, Q(s) ∈ S , Q(0) = 2

C(s) =2(s + 2)

(s+ 1)+

2s+ 2− 2

s+ 2

=2(s+ 2)

s+ 1+

2(s + 2)

s

C(s) =2(s + 2)(2s + 1)

s(s+ 1)

• Errore a regieme di inseguimento del segnaleyo (t) = 1− et sia nullo.

yo +

-C(s) P (s)

+d

+y

yo(t)

t

Figura 10.1.1: Andamento del segnale di ingresso

• L’errore a regime prodotto dal disturbod (t) = sin t sia non superiore aed = 0.1.

110 Capitolo 10

Per la condizione di errore di inseguimento nullo a regime posso valutare separatamente i due effetti delsegnale1 eet.Per yo (t) = 1 avevo precedentemente trovato la condizioneQ(s)|s=0 = 2,non devo verificare lacondizione peret. Moltiplico la trasformata per la funzione di sensibilita:

E(s) = S(s)Y o(s) = S(s)1

s− 1

e (t)→ 0 pert→∞, se e solo seL(s) ha un polo ins = 1, per il principio del modello interno.Ma (s − 1) e gia uno dei fratti semplici della funzione del mio impianto P (s), devo introdurre nessunvincolo ulteriore alla mia funzione di controllo.

d(t) S(s) y (t)

Y D(s) =1

1 + C(s)P (s)D(s)

L’uscita al disturbo del mio sistema e pari alla risposta infrequenza del mio sistema

yd (t) = |S (jω)| sin (t+ argS(jω))︸︷︷︸≤1

risposta in frequenza del sistema minore di 0.1• |S(jω)| ≤ 0.1

C (P ) =

C(s) =

2(s + 2)

s+ 1+

Q(s)

1−Q(s) 1s+2

, Q(s) ∈ S , Q(0) = 2 , [S(j) ≤ 0.1]

S(s) =1

1 + C(s)P )(s)→ 1

1 +(s + 1)

(s − 1)(s + 2)

[2(s + 2)(s+ 1)

+Q(s)

1− 1s+ 2Q(s)

]

perω = 1 sostituiamo ads = j ottenendo∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1

1 +1 + j

(1− j)(j + 2)

2(j + 2)

(j + 1)

Q(j)

1− 1j + 2Q(j)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

≤ 0.1

10.1.2 Sintesi diretta

P (s) =1

(s+ 1)2 (s+ 3)


yo +

-C(s) P (s)

+d

+y

• Errore a regime prodotto dal disturbod(t) = t, sia non superiore a 0.5.ed ≤ 0.5• s ≤ smax = 0.3• Bo

3 = B3 = 1 rad/s.

Bisogna osservare cheed = e1 poiche hanno la stessa espressione.L’eccesso poli-zeri diP (s) e pari a 3 quindi devo mettere un polo fuori dalla banda, per lacondizionesull’eccesso della funzione.E(P ) = 3. Posso quindi iniziare a sintetizzare il mio controllore supponendodi poter soddisfare le specifiche con controllore del secondo ordine.

WI(s) =1

1 + 2ζs

ωn+s2

ω2n

ζmax ≤1

e1Bo3

≤ 2

Dalle carte ricavo immediatamente cheζmin e maggiore delloζmax, quindi devo inserire una rete anticipa-trice.

W (s) = WI(s)1 + sτ

1 + sτ

m

1. m = 1.12. (s)I ≤ smax

smax − (m− 1)

m=

0.3− 0.1

1.1=

2

1.1∼= 0.18

dalla carta ottengoζmin = 0.48.3.

Bo3

(B3)II

ωn

= 1.3, ωn =1

1.3= 0.8

τ =m

m− 1

(2ζ

ωn− ed

)= 7.45

Devo inoltre mettere un polo fuori dalla banda del sistema.

1

1 +s

ω0

Posso posizionare il polo inω0 = 5


1 + sτ

m

1

1 +s

5

112 Capitolo 10

10.2 Sintesi direta con impianto con polo a destra

P (s) =1− s2

(s+ 1)2(s+ 3)

Ho uno zero a destra:

1. Sistema internamente stabile.2. Controllore fisicamente realizzabile.3. Errore a regime di inseguimento al gradino di ingresso (yo (t) = 1) sia nullo.4. L’errore a regime prodotto dal disturbod (t) = 1, siaed = 0.1.

yo +

-C(s) P (s)

+d

+y

Condizione sull’eccesso:E(P ) = 1

1. W (s) deve avere tutti i poli a parte reale minore di 0 e deve avere uno zero ins = 1. W (1) = 0.2. Deve essere fisicamente realizzabileE(W ) ≥ 1.3. W (0) = 1 PoicheW (s) + S(s) = 1 conS(s) funzione sensibilita.4. Il modulo calcolato ins = 0 della derivata rispetto ads della funzioneW (s), deve essere minore o uguale

al disturboed, considerato come errore di inseguimento ad un segnale a rampa.∣∣∣∣−

dW (s)

d s

∣∣∣∣s=0

∣∣∣∣ ≤ e1

Posso quindi progettare il controllore che avra al numeratore lo zero instabile dell’impianto e una fun-zione polinomiale con almeno due gradi di liberta, per soddisfare le specifiche al punto 3 e 4,mentre aldenominatore sara composta da dei poli in numero tale da bilanciare l’eccesso poli-zero diW (s).

W (s) =(s− 1)(a+ sb)

(s+ 1)3

I termini forzanti (vincoli), a e b, servono a soddisfare le condizione di errore al gradino e alla rampa,mentre il termine di potenza a denominatore, tiene conto della condizione dell’eccesso e quindi della fisicarealizzabilita. da cuiW (0) = −aquindi

a = −1

(s− 1) (−1 + s b)

(s+ 1)3=

1− b s− s+ b s2

(s+ 1)3

∣∣∣∣d

ds

(1− s)(1 + bs)

(s− 1)3

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣(−b− 1 + 2bs) (1 + s)3 − (s+ 1)2

(1− b s− s+ b s2

)

(s+ 1)6

∣∣∣∣∣s=0


|4 + b| ≤ 0.1 b = 4

C(s) =1

P (s)

W (s)

1−W (s)W (s) =

(1− s)(1 + 4s)

(1 + s)3

W (s)

1−W (s)=

− (1− s) (1− 4s)

(1 + s)3

1− (1− s)(1 + 4s)

(1 + s)3

=(1− s)(1− 4s)

(1 + s)3 + (1− s) (1 + 4s)

C(s) =1

P (s)

W (s)

1−W (s)=

(s+ 1)(s + 3)(1 + 4s)

s2(s+ 7)

Parte B

Analisi delle Prestazioni

11Lezione 7 Novembre 2006

11.1 Problema delle prestazioni

Supponiamo di avere un’uscita desiderataY o (s) e un sistema del seguente tipo:

Y o+

-

E (s)Co(s)

U (s)P (s) Y

l’obbiettivo e quello di fare in modo che l’uscitaY sia pari aY o per opportuni segnali di ingresso.

Y o W (s) Y

Y (s) = W (s)Y o(s) (11.1.1)

Y o(s)− Y (s)︸︷︷︸E(s)

= [1−W (s)]Y o(s) (11.1.2)

Supponiamo adesso cheyo (t) sia un segnale sinusoidale:

yo (t) = A cos(ωt), ω ∈ [0, Bo3 ] (11.1.3)

Nell’ipotesi di sistema internamente stabile ottengo:

e (t) → A |1−W (j ω)| cos (ωt+ arg [1−W (j ω)]) (11.1.4)

devo quindi garantire che|1−W (j ω)| sia il valore piu piccolo possibile; teoricamente la condizione|1−W (j ω)| = 0 mi garantiscee (t) = 0.

Per avere errore di inseguimento piccolo, il valore die (t) deve essere piccolo, ossia1 −W ( jω) devetendere a 0∀ω ∈ alla banda, ossiaW (jω) → 1.

11.1.1 Profilo nella Banda

Definizione 11.1.1(Profilo Ideale). Il casoe (t)=0 nella banda del sistema mi dice che il profilo ideale delmodulo diW (j ω), nella banda, e pari a 1. In queste condizioni ho l’inseguimento del segnale in ingresso.

118 Capitolo 11

0 ωBo3

|W (j ω)|1

Profilo Ideale di|W (j ω)|

Figura 11.1.1: Profilo ideale di banda della funzioneW (s)

L’obbiettivo del mio progetto potrebbe essere quello di chiedere cheW (jω), sia unitario nella banda delsistema e nullo fuori dalla banda. Il fatto di garantire che al di fuori della banda di progetto il valore dellafunzioneW (j ω) sia nullo, mi permette di eliminare dall’uscita del mio sistema l’effetto dei disturbi iningresso, con componenti armoniche fuori dalla banda del sistema:

d (t) = B cos (ωdt) , ωd > Bo3 (11.1.5)

Y o+

-Co(s) P (s) Y

D

+

Il contributo addizionale sulla risposta sara dato da

Y (s) = W (s)Y o(s) + W (s)D(s)︸︷︷︸Yd(s)

(11.1.6)

poiche l’ingresso del disturbo lo possiamo localizzare nello stesso punto diY (s).

yd (t) → B |W (j ωd)| cos (ωd t+ arg [W (j ωd)]) → 0 (11.1.7)

ma|W (j ωd)| dovra essere nulla∀ω > B03 , poiche il disturbo dovra essere reiettato.

|W (j ωd)| → 0 ∀ ωd > B3

la funzione|W (jω)| deve quindi essere identicamente nulla fuori dalla banda.

Ricorda. Quando si parla di prestazioni si cerca di vedere se laW (s) puo avere un profilo chesegue quello ideale.

L’effetto del disturbo sull’uscita deve essere cancellatodal sistema di controllo, poiche l’impianto del siste-ma di controlloP (s) e assegnato, il mio problema si sara quello di determinareun opportuno controlloreC(s) tale per cui la FdT ad anello chiusoW (s) presenti un profilo ideale sull’uscita.

Lezione 7 Novembre 2006 119

11.2 Funzione di Sensitivit a

Definizione 11.2.1(Sensitivita). La funzione di sensitivita rappresenta l’incertezza del sistema.

S(s) =1

1 + C(s)P (s)(11.2.1)

Descrive la relazione tra il disturboD e l’uscitaY , doveD e un disturbo che modella l’incertezza presentanel sistema.

W (s) =C(s)P (s)

1 +C(s)P (s)allora vale la relazioneW (s) + S(s) = 1 ∀ s ∈ S (11.2.2)

un profilo di W (s) come quello in figura 11.1.1, equivale ad avere un profilo ideale del modulo dellafunzione di sensitivita,|S(jω)| del tipo.

0 ωBo3

|S(j ω)|1

Profilo Ideale di|S(j ω)|

Figura 11.2.1: Profilo Ideale di Banda della funzione sensitivita S(s).

11.2.1 Profilo ideale di |L(j ω)|

Ridisegnando lo schema di controllo in maniera piu conveniente ottengo:

Y o+

-L(s) = C(s)P (s) Y

dove:

W (s) =L(s)

1 + L(s)→ W (jω) =

L(jω)

1 + L(jω)(11.2.3)

Devo quindi studiare come progettare il guadagno ad anello di L(s) per ottenere il profilo diW (s).

|W (j ω)| =

∣∣∣∣L(j ω)

1 + L(j ω)

∣∣∣∣→

1. |L(j ω)| ≫ 1 ω ∈ [0, B3]

2. |L(j ω)| ≪ 1 ω ∈ [B3,+∞](11.2.4)

Dalla (11.2.4) abbiamo estratto le due condizioni che implementano il profilo ideale del|L(jω)|.1. |L(j ω)| ≫ 1 ⇒ |W (j ω)| = 1

2. |L(j ω)| ≪ 1 ⇒ |W (j ω)| ∼= |L(j ω)| (11.2.5)

120 Capitolo 11

0 ωBo3

|L(j ω)|

γ1

1

γ2

ω1 ω2

Figura 11.2.2: Profilo ideale diL(s)

|L(j ω)| ≥ γ1, ∀ω ∈ [0, ω1]

|L(j ω)| ≤ γ2, ∀ω ∈ [ω2,+∞)(11.2.6)

devo progettare un sistema il cui modulo diminuisce bruscamente nell’intorno della pulsazione di attraver-samento. Una pendenza accentuata della funzione di trasferimento mi produce una perdita di fase che mipuo creare instabilita.

Osservazioni:• L’andamento ideale diW (jω), lo si ottiene quanto piu grande eγ1 e piu piccoloγ2

e quanto piuω1 eω2 si avvicinano tra di loro.Posso quindi vedere la pulsazioneBo

3 , la pulsazione per la quale la FdT in modulovale 1, come pulsazione di attraversamento.• Idealmente dovremmo progettare un guadagno ad anello in cuimodulo presenta

una brusca variazione in un range di frequenze ristretto intorno alla pulsazione diattraversamento.

Che controindicazioni comporta ?

Nota. Una pendenza elevata tende a far perdere fase al sistema e dunque a destabilizzarlo. Devo quindieseguire un’analisi sulla fase del sistema in funzione del modulo.

Uno dei metodi piu utilizzati e quello del teorema di Bode.

11.2.2 Introduzione al teorema di Bode

Teorema 11.2.1(Bode). SiaL(s) una funzione razionale fratta, strettamente propria, a minima rotazionedi fase (poli e zeri a parte reale strettamente minore di zero).Tesi: E possibile ricostruire l’andamento della faseL(j ω), ( dalla conoscenza diL(j ω) per ω ≥ 0),dall’andamento del modulo|L(jω)| perω ≥ 0.

Esempio11.2.2. Sistema delIo ordine

G(s) =1

1 + sτ, τ > 0


0 dB/dec

ω

|L(jω)|

−20dB/dec

1/τ

(a) Diagramma del Modulo

0 dB/dec

ω

L(jω)

1/τ

−π/2(b) Diagramma della Fase

Figura 11.2.3: Andamento di modulo e fase tipico di un sistema del primo ordine

Ho un andamento dei livelli asintotico.•• ad una pendenza di 0 dB corrisponde una fase di 0 rad.• ad una pendenza di -20 dB/dec corrisponde una fase di−π

2 rad.

Ho proporzionalita tra la pendenza del modulo e la fase.

Esempio11.2.3. Sistema delIIo ordine

L(s) =1

1 + 2ζs

ωn+s2

ω2n

; 0 < ζ < 1 (11.2.7)

In figura 11.2.4 si osserva che anche per i sistemi del secondoordine sussiste la proporzionalita tra la

0 dB/dec

ω

|L(jω)|

−40dB/dec

1/τ

(a) Diagramma del Modulo

pendenza del modulo e l’andamento della fase.

Ho corrispondenza tra la pendenza del diagramma e la fase delsistema. A livello asintotico, esiste unacorrispondenza tra pendenza e fase, dalla conoscenza dell’andamento del modulo posso conoscere quellodella fase.

122 Capitolo 11

0 dB/dec

ω

L(jω)

1/τ

−π/2

−π(a) Diagramma della Fase

Figura 11.2.4: Andamento tipico in modulo e fasi di un sistema del secondo ordine

11.2.3 Teorema di Bode

Analiticamente posso calcolare la fase di una FdT ad una certa pulsazione:Supponiamo di conoscere un andamento del modulo dellaL(jω) e di voler calcolare l’andamento della fasein corrispondenza di una certa pulsazioneω0:per il teorema di Bode ottengo:

arg [L(j ω0)] =π

2

d ln |L(j ω)|d lnω

∣∣∣∣ω=ω0

+

+1

π

∫ +∞

−∞

d ln |L(j ω)|

d lnω− d ln |L(j ω)|

d lnω

∣∣∣∣ω=ω0

· f (ω, ωo) d lnω

(11.2.8)

Dovef (ω, ω0) e la funzione di peso.

f (ω, ω0) = ln

(coth

∣∣∣∣lnω − lnω0

2

∣∣∣∣)

(11.2.9)

essendo|L(j ω)|dB = 20 log10 |L(j ω)| (11.2.10)

Eseguo un cambiamento dalla base< e > alla base< 10 > del logaritmo per la funzione:


(11.2.11)

ottenendo:d log10 |L(j ω)|

d log10 ω=

1

20

d 20 log10 |L(j ω)|d log10 ω

(11.2.12)


=1

20

d |L(j ω)|dB

d log10 ω(11.2.13)

Dove il termined |L(j ω)|dB

d log10 ωrappresenta la pendenza della retta nel diagramma di Bode, mentre1/20 e

il rapporto tra la pendenza della retta e la pendenza locale.Il secondo termine della (11.2.8) e il terminecorrettivo.


ω

|L(jω)|0 dB/dec

−40dB/dec

−20dB/dec

ωp1 ωp2

(a) Diagramma della fase

0 dB/dec

ω

L(jω)

ωp1

−π/2

−π

ωp2

(b) Diagramma della fase modulo

Figura 11.2.5: Andamento in modulo e fase di un sistema con due poli distinti.

Nota. Nel puntoω0, dove viene calcolata la derivata , la pendenza vale esattamente 20 dB/dec, da cui ilprimo termine della (11.2.8) indica che esiste una corrispondenza di -20 dB/dec e fase−π/2.

La funzione peso e concentrata intorno alla funzioneω0. L’integrale assume valori apprezzabili solo nell’in-torno di una decade rispetto aω0.

La fase perde−π2

ogni perdita di almeno 20 dB del modulo.

L’andamento del modulo e valutato solo per valore nullo dell’integrale.

Il termine correttivo non modifica il primo termine della (11.2.8), nel caso in cuiω ≶ di una decade rispettoaω0. Diversamente intorno al puntiω0:

• Se la pendenza del modulo e nulla, allora anche il secondo termine e nullo (perche e nulla la differenzatra le due derivate nell’integrale).

1. La fase e costante e pari al valore del primo termine.2. Se la pendenza e costante anche la fase e costante.

• Se la pendenza non e nulla ecco che un valore di fase viene corretto. . . e infatti nel disegnare l’andamentoreale a partire da quello asintotico si applica una correzione proprio in corrispondenza del punto di rottura.

124 Capitolo 11

0

1

2

3

4

5

6

10-1 100 101

ln coth

∣∣∣∣lnω − lnω0

2

∣∣∣∣

Figura 11.2.6: Andamento della funzione pesof(ω, ωo)

11.2.4 Valutazione del margine di fase della funzione

La fase e importante per la stabilita del sistema di controllo, in particolare il sistema dovra avere margine difase positivo.

b

ω = ωa

Im L(jω)

Re L(jω)ω = +∞| bc

-1 1mφ

mφ ⇔ arg [L(jωa)] > −π

mφ = π + arg [L(jωa)]

ω(0)

L(0)

Figura 11.2.7: Diagramma di Nyquist

Il margine di fase e una misura di quanto il guadagno ad anello aperto e lontano dal punto -1, per il teoremadi Nyquist se la curva gira intorno al punto -1, il sistema e instabile.

Nota. Per garantire la stabilita del sistema il margine di fasemφ deve essere maggiore di zero, ossia la fasedi L(jω) alla pulsazione di attraversamento deve essere maggiore di−π.


mϕ = π + arg [L(j ωa)] , conωa pulsazione di attraversamento (11.2.14)

da cui si ricava chemϕ > 0 perarg [L(j ωa)] > −π.Studio la stabilita ad anello chiuso del sistema:

arg [L(j ωa)] > −π, (11.2.15)

Il sistema risulta stabile se la fase della funzioneL(j ω) alla pulsazione di attraversamentoωa e maggiore di−π, la differenza traarg [L(jωa)] e−π prende il nome di margine di fase1. La pulsazione di attraversamentoωa e calcolata sfruttando la relazione (11.2.13).

|L(j ωa)|dB∼= 1

20

d |L(j ω)|dB

d log10 ω

∣∣∣∣ω=ωa

= 0 (11.2.16)

Per avvicinarsi al profilo ideale, il modulo diL(jω) dovrebbe avere una brusca variazione, tanto piu lapendenza del modulo e negativa, tanto piu negativa e la fase alla pulsazione di attraversamento, sfruttandoil Teorema di Bode possiamo scrivere:

arg [L (jωa)] =π

2· 1

20

d |L(j ωa)|dB

d log10 ωa(11.2.17)

Non rispetto la condizione sul vincolo di stabilita del sistema in catena chiusa,non esiste nessunaL(s) cherispetti il profilo di andamento ideale.

In particolare se la pendenza e di - 40dB/dec, la fase assume il valore di−π, il vincolo della stabilita nonsara quindi soddisfatto.

Osservazioni. Non esiste nessuna funzioneL(s) e quindi nessun controllore che mi permettano di ottenereil profilo ideale diW (s) come in figure 11.2.8.Devo addolcire il profilo della mia funzione per ottenere un controllore che mi realizzi laL(s) che rispettiil vincolo di stabilita. Questoe il problema che si applica nel caso piu semplice di impiantoP (s) con polie zeri stabili.

Osservazioni. Il caso che fino ad adesso abbiamo trattatoe quello in cui l’impiantoP (s) assume la formapiu semplice possibile, cioe il nostro impianto ha una funzione di trasferimento a fase minima2.Poiche quando si considerano impianti meno semplici ( dove la funzione di trasferimento dell’impiantoP (s)ha poli e zeri a parte reale≥ di 0), quello che ci aspettiamoe che le cose vadino ancora peggio.

Ricorda. Non si puo dimensionare un controlloreC(s), tale per cuiW (s) assume un profiloideale nel caso in cuiP (s) assume la forma piu semplice (funzione a fase minima), ne tantomeno nel caso in cui esso ha forma piu complessa.

1Il margine di fase e la differenza tra l’angolo−π e la fase della funzione di trasferimento ad anello apertoL(jω) valutata allapulsazione per cui il modulo del guadagno ad anello vale 1 o meglio e quella pulsazione per cui la funzione di trasferimento vale 0dB

2Tutti i poli e gli zeri a parte reale minore di zero, andamentomonotono decrescente

126 Capitolo 11

0 ωBo3

|W (j ω)|

1

ω1 ω2

Figura 11.2.8: Profilo ideale diW (s)

11.3 Valutazioni sul profilo della funzione

Vediamo quindi cosa si ottiene nel caso in cui l’impianto nonpresenta una FdTP (s) a fase minima.

Y o+

-L(s) Y

Figura 11.3.1: Schema a blocchi di un sistema nel per lo studio del problema di Inseguimento.

L(s) = Lmf (s)1− sτ1 + sτ

τ > 0 (11.3.1)

Tutti i poli e gli zeri della funzioneLmf (s) sono a parte reale minore di zero (condizione di minima rotazionedi fase).

11.3.1 Guadagno ad anello con zero a parte reale maggiore di z ero

Tale condizione si verifica tipicamente quando l’impiantoP (s) presenta uno zero a destra. Dalla (11.3.1)possiamo scrivere

L(s) =s− 1

s2 + s+ 1

s+ 1

s+ 1conτ = 1 (11.3.2)

Devo cercare di isolare lo zero a destra. Riportando l’equazione nella forma di Bode, otteniamo:

L (s) = − 1 + s

(s2 + s+ 1)

(1− s1 + s

)

Il profilo ideale diW (s) non puo essere del tipo rappresentato in figura 11.3.2:

IntuitivamenteL(s) ha uno zero in1/τ , mentre tutte le altre singolarita sono a parte reale minore di 0.


0 ωBo3

|W (j ω)|

(a) Profilo ideale del modulo diW (s)

0 ωBo3

|L(j ω)|

γ11

γ2

ω1 ω2

(b) Profilo del guadagno ad anelloL(s)

Figura 11.3.2: Profilo Ideale diW (s) e il corrispondente profilo diL (s)

ℜ [s]

ℑ [s]

1τ−1

τ

Figura 11.3.3: Posizione dei poli e degli zeri diL (s) nel piano delles

Ricorda. Esiste una relazione tra la stabilita del sistema ed il suo luogo delle radici:

L(s) = k′

∏mi=1 (s− zi)∏ni=1 (s− pi)

(11.3.3)

perk′

= 0 la funzione di trasferimento ad anello aperto coincide con la funzione di trasferimentoad anello chiuso.

L(s) = Lmf (s)1− sτ1 + sτ

τ > 0 (11.3.4)

Tutti i poli e gli zeri della funzione sono a parte reale> 0.

Scriviamo ora la funzione di corrispondenza traW (s) e il luogo delle radici

W (s) =L(s)

1 + L(s)=

k′ ∏m

i=1 (s− zi)∏ni=1 (s− pi) + k′

∏mi=1 (s− zi)

(11.3.5)

Se aumento il modulo, aumento la possibilita che il luogo delle radici risulti instabile, il polo tende a spostarsisullo zero a destra rendendo il sistema stabile.

|L(j ω)| =∣∣∣k′

∣∣∣∏m

i=1 |j ω − zi|∏ni=1 |j ω − pi|

(11.3.6)

k′

non puo essere fatto arbitrariamente grande per problemi di instabilita.

128 Capitolo 11

E necessario quindi studiare il modulo diL(jω) ad alte frequenze:

limω→+∞

|L (j ω)| ω →∞−→

∣∣∣k′

∣∣∣ωn−m

(11.3.7)

essendon > m, polinomio strettamente proprio,|L(jω)| tende a decresce nel caso in cuik′

sia moltogrande, l’inizio della fase decrescente si sposta sempre verso frequenze maggiori.Dato chek

′

non puo essere grande, prima o poi|L(jω)| decresce.Ho un limite superiore della bandaB3

che posso realizzare, essa non puo quindi essere arbitrariamente grande.

Esempio11.3.1. Da una prima analisi della funzione di trasferimento della (11.3.2), si osserva il segnonegativo che domina la funzione, questo comporta che nel tracciamento del luogo delle radici, dovremoseguire le regole di tracciamento perk

′

< 0, cioe il metodo inverso (A.1).Dal grafico e possibile osservare che la funzione ad anello pertoL (s) risulta essere nella regione instabile.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figura 11.3.4: Luogo delle Radici della funzione (11.3.2)

Analiticamente Studio l’effetto del polo a destra sulla pulsazione di attraversamento. Impongo quindiun vincolo sulla banda del sistema, poiche devo spostare a destra la banda del mio sistema, l’operazione equella di imporre un vincolo sulla banda di attraversamentoe di conseguenza sulla banda del sistema. (Ho


un vincolo sulla pulsazione di attraversamento e quindi sulla banda.)

|L(j ω)| = |Lmf (j ω)|∣∣∣∣1− j ωτ1 + j ωτ

∣∣∣∣ =

= |Lmf (j ω)| ∀ ω ≥ 0

(11.3.8)

arg [L(j ω)] = arg [Lmf (j ω)] + arg

[1− j ωτ1 + j ωτ

]=

arg [L(j ω)] − arg [Lmf (j ω)] = arg [1− j ωτ ]− arg [1 + j ωτ ] =

arg [L(j ω)] − arg [Lmf (j ω)] = arctan(−ωτ)− arctanωτ =

arg [L(j ω)] − arg [Lmf (j ω)] = −2 arctan(ωτ)

(11.3.9)

Per la parte a fase minima posso applicare il teorema di Bode per calcolare la fase, supponiamo inoltre chela pulsazione di attraversamentoωa e tale per cui:

|L(j ωa)| ∼= 1 = |Lmf (j ωa)| = 1

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

10^-01 10^+00 10^+01 10^+02 10^+03 10^+04 10^+05 10^+06-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Gai

n (d

B)

Fas

e (d

egre

es)

Diagramma di Bode

Modulo in dBFase

Figura 11.3.5: Diagramma di Bode di una funzione a fase minima.

La fase diLmf (j ω), essendo proporzionale all’andamento del modulo, in corrispondenza della pulsazionedi attraversamentoωa dovra esserenegativa.

arg [Lmf (j ωa)] = arg [L(j ωa)] + 2 arctan(ωaτ) ≤ 0. (11.3.10)

aggiungo e sottraggoπ al primo membro. Ottengo quindi un vincolo sulla fase alla pulsazione di attraver-samento.

π + arg [L(ωa)]︸︷︷︸mϕ

−π + 2arctan(ωaτ) ≤ 0 ⇒ 2 arctan(ωaτ) ≤ π − mϕ (11.3.11)

130 Capitolo 11

arctan(ωaτ) ≤π −mϕ

2⇔ ωaτ ≤ tan

(π2− mϕ

2

),

ωa ≤1

τcot

mϕ

2

(11.3.12)

con1/τ punto di rottura dello zero.

mϕ =π

2⇒ ωa ≤

1

τSe lo zero e sufficientemente lontano dall’asse immaginario (e ad alta frequenza), non mi da problemi sulla

0

ω

1τ

mϕ = π2

√3

τ

mϕ = π3

Figura 11.3.6: Andamento del margine di fasemϕ al variare del polo dominante1/τ .

stabilita. Piu lo zero si avvicina all’asse immaginario,piu il sistema e difficile da controllare. Lo zero adestra e indice di un sistema con ritardo.

Nota. Tanto piu lo zeroe fuori banda, tanto minori sono le problematiche legate alla stabilita del sistema.Diversamente se lo zero si avvicina all’asse immaginario, il vincolo e sempre piu stringente.

Esempio11.3.2.

mϕ = 60 ωe ≤1

τ

√3

Nota. Uno zero a destrae sinonimo che esiste un certo ritardo nel sistema, infatti:

e−sT =1− sT

2

1 + sT2

un sistema che presenta un ritardo molto elevato ( e quindi uno zero sempre piu bassa frequenza)e unsistema difficilmente controllabile.

Situazione di Polo a destra.Esempio11.3.3.

L(s) =s+ 2

s2 − 1=

s+ 2

(s+ 1) (s− 1)

s+ 1

s+ 1= − (s+ 2)

(s+ 1)21 + s

1− s︸︷︷︸τ=1

Per garantire cheL (s) sia strettamente propria, suppongo una cancellaziones+ 1

s+ 1e scompongo la FdT in due parti, una parte a minima rotazione di fase e una parteinstabile.


In questo caso ho problemi perk′

piccoli. Per sistemi di questo tipo si hanno problematiche di stabilita per

ℜ(s)

ℑ(s)

1τ

Figura 11.3.7: Tracciamento dei poli e zeri nel piano delles

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

10^-03 10^-02 10^-01 10^+00 10^+01 10^+02 10^+03 10^+04 10^+05 10^+06-180

-170

-160

-150

-140

-130

-120

-110

-100

-90

Gai

n (d

B)

Fas

e (d

egre

es)

Diagramma di Bode

Modulo in dBFase

Figura 11.3.8: Diagramma di Bode della funzioneL (s) in esempio.

valori di k′

piccoli: perche la radice che parte da1/τ non ce la fa ad arrivare nel semipiano di sinistra.

• In questo caso∣∣∣k′

∣∣∣ non puo essere fatto arbitrariamente piccolo, per problemi di instabilita.

• Ho problemi nelle pulsazioni di attraversamento inferiore. Il polo ci fornisce un limite inferiore nellapulsazione di attraversamentoωa ovvero nella banda passanteBo

3.

Nota. Questo none un problema del sistema di controllo, poiche noi dovremmo far si che la banda si estendasempre piu in alta frequenza.

In particolare sviluppando come nel caso precedente, il vincolo che si ottiene e il seguente:

ωa ≥1

τ· tan

mϕ

2(11.3.13)

132 Capitolo 11

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1−3

−2

−1

0

1

2

3

Root Locus

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Figura 11.3.9: Luogo delle radici diretto della funzioneL (s) .

0

ω

1τ

ωa

Figura 11.3.10

Il polo limita inferiormente la pulsazione di attraversamento.

11.4 Sommario

1. Il profilo ideale puo essere solo approssimato.2. SeL(s) (ovveroP (s)) ha uno zero a parte reale> 0 allora la pulsazione di attraversamentoωa (ovveroB0

3) ha un limite superiore (il cui ordine di grandezza e dato dallo zero stesso).3. SeL(s) (ovveroP (s)) ha un polo a parte reale> 0, alloraωa (ovveroB0

3) e limitata inferiormente.


12.1 Prestazioni in presenza del disturbo

La presenza di poli e zeri sullaL(s), impone delle limitazioni sul profilo del mio segnale.

Y o (s)+

-L(s)

++

D (s)

Y (s)

Figura 12.1.1: Sistema in retroazione unitaria.

Precedentemente abbiamo visto che la scelta dellaB3, o meglio della pulsazione di attraversamentoωa,e limitata dalla presenza di poli e zeri a parte reale maggiore di zero, nella funzione di trasferimentodell’impiantoP (s).

1. Lo zero introduce un limite superiore sulle specifiche di banda del controllore.2. Il polo introduce un limite inferiore sulle specifiche di banda del controllore.

Devo quindi studiare come si comportano tali poli e zeri in presenza di un disturboD (s), non necessaria-mente fuori dalla banda.

Considero quindi due funzioni di trasferimento:La prima modella comeY0 influenzaY

W (s) =L(s)

1 + L(s)

Y o(s) W (s) Y (s)

La seconda che modella come il disturboD influenzaY , quella che e stata definita funzione di sensitivita.

134 Capitolo 12

S(s) =1

1 + L(s)

D(s) S(s) Y (s)

DoveW (s) eS(s) sono legate dal vincolo:

W (s) + S(s) = 1

Osservazioni. Sez0 e uno zero a parte reale> 0 di L(s), ossiaL(z0) = 0 per definizione di zero,L(s) hauno zero a destra. Tale zero sara tipicamente inserito nell’impianto, non sara mai il controllore ad inserirlo.

• W (z0) = 0 In ogni caso a destra del mio impianto.• S(z0) = 1 Per ogni polop0: ℜ po ≥ 0 di L(s), ossiaL(p0) = ∞:

Osservazioni. Siap0 un polo a parte reale> 0 di L(s), ossiaL(p0) = ∞, allora altrove:

S(p0) = 0

W (p0) = 1

W (s) + S(s) = 1 (12.1.1)

Ho dei valori particolari per poli e zeri a destra, ho lacondizione di interpolazione.

Nota. Sez0 e p0 sono vicini nel pianos si deve trovare una funzioneW (s) che valga 0 nel primo e 1 nelsecondo.W (s) sara quindi una funzione piuttosto complessa , che dovra presentare una brusca variazionein un intervallo molto piccolo.

Hp: Sia il disturboD = 0, vediamo la risposta al gradino1 del sistema.

t

y (t)

1

Figura 12.1.2: Risposta a regime di un sistema del secondo ordine eccitato da un disturbo.

Il problema non puo avere delle cancellazioni polo zero stabili.

Y (s) = W (s) · 1

s

E(s) = S(s) · 1

s

(12.1.2)

1Essendo il sistema stabile la risposta al gradino sara l’unita.


Cosa implica la presenza dello zero e del polo a destra sulla risposta a gradino?

Y (s) = W (s)Y o(s) = W (s)

1

sE(s) = Y o(s)− Y (s) = [1−W (s)]Y o(s) = Y o(s)S(s)

(12.1.3)

EssendoY (s) per definizione la trasformata di Laplace dell’uscita ottengo:

Y (s) =

∫ +∞

0y(t) e−st dt (12.1.4)

analogamente :

E(s) =

∫ +∞

0e (t) e−st dt (12.1.5)

e poiche esse valgono∀ s varranno anche pers = z0

Y (z0) =

∫ +∞

0y (t) e−z0tdt, E(z0) =

∫ +∞

0e (t) e−z0dt (12.1.6)

ma non solo esse varranno anche pers = p0

Y (p0) =

∫ +∞

0y (t) e−p0tdt, E(p0) =

∫ +∞

0e (t) e−p0dt (12.1.7)

Dalla (12.1.3), possiamo calcolare:

Y (z0) = W (z0)︸︷︷︸=0

1

z0= 0, E(z0) = S(z0)︸︷︷︸

=1

1

z0=

1

z0(12.1.8)

Y (p0) = W (p0)︸︷︷︸=1

1

p0=

1

p0, E(p0) = S(p0)︸︷︷︸

=0

1

p0= 0 (12.1.9)

Si ottiene∀ ’zero’ z0 a parte reale≥ 0 di L(s) si ha:

∫ +∞

0y (t) e−z0tdt = 0,

∫ +∞

0e (t) e−z0tdt =

1

z0(12.1.10)

inoltre,∀ ’polo’ p0 a parte reale≥ 0 di L(s):

∫ +∞

0y (t) e−p0tdt =

1

p0,

∫ +∞

0e (t) e−p0tdt = 0 (12.1.11)

12.1.1 Analizzo lo zero

Dalle relazioni precedenti si osserva che alle alte frequenze laY (z0) = 0. Necessariamente lay (t), nel-l’origine, deve essere negativa,sotto elongazione. Dalla risposta al gradino, osservo se e presente sottoelongazione. Il sistema si muove nella direzione opposta alla sollecitazione, (inizialmente alla direzionedella forza). (Esempio sistema con ritardo come l’altalena).

136 Capitolo 12

1

y (t)

t0

(a) Risposta al gradino

1

e−z0t

t0

(b) Andamento del termine esponenzia-le

Figura 12.1.3: Risposta al gradino di un sistema del secondoordine con zero a destra

In figure 12.1.3b, si nota che l’andamento e decrescente ma sempre positivo, perche un prodottoy (t) e−z0 t

sia uguale a zero e necessario che da qualche partey (t) sia negativo, l’area sotto intesa dalla cura dellarisposta a gradino , fig. 12.1.3a deve essere negativa per un certo periodo.

y (t) deve quindi presentare una certa sotto elongazione.

Sotto elongazione⇔ zero a parte reale> 0 di L(s)

La presenza di uno zero a parte reale maggiore di 0 e sintomo di un ritardo del sistema,si dice che il sistemaparte in contro pendenza.

Nota. Poiche gli zeri a destra dell’impianto non possono essere cancellati, questa caratteristica dellacontro pendenza permane anche nell’impianto controllato.Si puo intervenire solo riducendo tali effettidimensionando opportunamente il controllore.

12.1.2 Analizzo il polo

L’andamento die−p0t ∼= e−z0t, ossia decresce ma rimane sempre positivo.Affinche il prodotto e (t) e−pot

sia nullo, l’errore da qualche parte deve essere negativo.

e (t) = yo (t)− y (t) = 1− y (t)

Sovra elongazione⇔ polo a parte reale> 0 di L(s)

Come mostrato in Fig. 12.1.4.

sotto elongazione↔ zero a parte reale> 0

sovra elongazione↔ polo a parte reale> 0


t

y (t)

1

Figura 12.1.4: Risposta al gradino di un sistema del secondoordine con polo a destra

Nota. Ovviamente se l’impianto presente uno zero ed un polo a destra i due fenomeni si manifestanocontemporaneamente, Fig 12.1.5.

1

y (t)

t0

Figura 12.1.5: Risposta al gradino di un sistema del secondoordine con zero e polo a destra

Osservazioni. In particolare l’entita di questi effettie legata anche alla posizione dei poli e degli zeri adestra.Se ipotizziamo che il sistema sia stabile internamente (transitorio si estingue) + presenta un inseguimentoasintotico perfetto ad un gradino (L(s) ha polo ins = 0). Siamo sicuri che l’errore sara sicuramentecompreso all’interno di un andamento di tipo esponenziale:

12.2 Sistema stabile internamente + inseguimento perfetto al gradi-no

Prendo l’erroree (t) e lo maggioro:

|e (t)| ≤ Ke−α t (12.2.1)

In particolare e importante non tantoK, si puo sempre dimensionareK in maniera che mi racchiuda ilsegnale, ma piuttosto il termineα che descrive la rapidita con cui decresce il termine esponenziale.

Y (s) = W (s)1

s=

bn sn + . . . b1s + b0

(s− p1) (s− p2) . . . (s− pn)

1

s= (12.2.2)

138 Capitolo 12

Y o+

-L(s) Y

Figura 12.2.1: Problema di inseguimento in un sistema in retroazione unitaria.

Ricorda. Per l’ipotesi di sistema internamente stabile i poli della (12.2.2) sono tutti a partereale minore di 0.

Y (s) =A1

s− p1+

A2

s− p2+

A3

s− p3+ . . . +

An

s− pn+

1

s(12.2.3)

antitrasformando si ottiene:

y (t) = A1ep1t + A2e

p2t + . . . Anepnt + 1 (12.2.4)

e(t) = 1− y (t) (12.2.5)

ne considero il modulo

|e (t)| =∣∣−A1e

p1t − A2ep2t − A3e

p3t − . . . Anepnt∣∣

|e (t)| ≤ |A1| ep1t + |A2| ep2t + |A3| ep3t + . . . + |An| epnt(12.2.6)

L’esponenziale che caratterizza il mio errore e quello pi`u piccolo poiche sara quello che decresce piulentamente. L’esponenzialeα sara quindi leggermente piu grande del ‘maggiore’ dei poli a sinistra.

×

×

×

Piano delleαMaggiore dei

poli a sinistra

ℜ s

ℑ s

−αFigura 12.2.2: Posizione del coefficienteα nel piano delles.

α sara quindi la distanza dei poli dall’asse immaginario.

Lemma 12.2.1.α e una misura approssimata della banda del mio sistema, indice di come va a 0 (±velocemente) l’errore.

α ∼= Bo3

Zero a Destra sappiamo che : ∫ +∞

0y (t) e−z0dt (12.2.7)


rappresenta la prima condizione e che per essere soddisfatta y (t) deve necessariamente avere una sottoelongazione iniziale (zona tratteggiata in rosso fig. 12.1.5)

|e (t)| ≤ K e−α t ⇒ |1− y (t)| ≤ Ke−α t (12.2.8)

ottengo quindi due possibili casi:y (t) ≥ 1−K e−αt

y (t) ≤ 1 +K e−αt(12.2.9)

1

1 +K

1−K

y (t)

1 +Ke−αt

1−Ke−αt

Figura 12.2.3: La zona tratteggiata rappresenta i valori permessi dellay (t).

Perche la condizione (12.2.7) sia soddisfatta,y (t) deve avere una sotto elongazione e cio puo avveniresolo all’interno della zona colorata in figure 12.2.3. Al diminuire di α la regione di sotto elongazione emaggiore. Contemporaneamente il picco e diminuito. Si deduce che per valori diK piccoli si ottiene unasotto elongazione piu moderata.All’aumentare diα (lo zero entra sempre piu nella banda), maggiore e l’effetto (piu marcato) della sottoelongazione.

Nota. Dove la bandae data dal piu piccolo polo a parte reale minore di zero.

1

1 +K

1−K

y (t)

e−α1t

e−α1t

e−α2t

e−α2t

t

Figura 12.2.4: Variazione della zonapermessa diy (t) al variare dei valoridi α. Caso in cuiα2 < α1

Seα (ossia lo zero tende ad uscire dalla banda), la regione di sottoelongazione si allarga poiche il termine esponenziale decresce piulentamente.Siccome il contributo all’integrale deve essere lo stesso,il piccodi sotto elongazione puo essere anche piu piccolo.Viceversa se lo zero tende ad entrare in banda e dunquela regione di sotto elongazione a stringersi, il picco di sottoelongazione diviene piu rilevante.

Polo a destra Consideriamo adessoα con il polo ed inparticolare con la sua posizione:

∫ +∞

0e (t) e− potdt = 0

L’errore e inizialmente maggiore di zero ed il suo andamento erappresentato in figura 12.2.5:

L’errore deve andare a zero, in maniera molto veloce. Se aumentoα rispetto al polo, aumento la velocita dirisposta e aumento il tempo in cui rimane stabile.

Osservazioni. La sovra elongazionee tanto piu marcata tanto piu il polo po e minore diα. In tale casol’integrale della funzione erroree pari a zero.

140 Capitolo 12

1K

−K

e (t)

t

+

+

Figura 12.2.5: Tracciamento dell’errore di insegui-mentoe (t) all’interno della zona permessa diy (t).L’errore parte da 1, poiche e dato da1− y (t) che einizialmente> 0

1

1 +K

1−K

y (t)

1 +Ke−αt

1−Ke−αt

Figura 12.2.6: Andamento ipotizzato dell’uscitay (t) nel caso in cuiα ≪ p0, (polo fuori banda).

Nel caso in cui α≪ po ( polo e fuori dalla banda) Ho una zona dove il sistema e in sovra elongazione.Perα ≪ po, il sistema risponde con una sovra elongazione maggiore.

Adesso variandoα, l’andamento dell’inviluppo dell’errore avra una convergenza piu o meno veloce 0,fig.12.2.7. Seα≫ po →

• e−po t va a zero lentamente ed e circa costante nel primo intervallo di tempo. e (t) deve andare a 0 ( equindi y (t) tende ad 1) abbastanza velocemente e poi deve restarci.• y (t) raggiunge velocemente la sovra elongazione e ci rimane a lungo. In particolare questo fenomeno e

tanto piu rilevante (ossia tanto piu e marcata la sovra elongazione ) quanto piu il polo e minore diα, equesto torna per quanto detto: polo a destra limita inferiormente la banda. Tanto piu il polo viola il limitedella banda tanto piu il picco di sovra elongazione sara maggiore.

Considerazioni

1. La presenza di uno zero a parteℜ [zi] > 0 di L(s), garantisce la presenza di sotto elongazione dellarisposta al gradino. Il picco di sotto elongazione e tanto piu marcato, quanto piu lo zeroz0 e in banda (α).

2. La presenza di un polo a parteℜ [pi] > 0 di L(s), garantisce la presenza di sovra elongazione nellarisposta al gradino. Il picco di sovraelongazione e tanto piu marcato, quanto piu il polop0 e fuori dallabanda(α).

Nota. queste considerazioni sono fatte suL(s) perche qualunque zero e polo a destra dell’impiantoP (s)sono anche zeri e poli diL(s) perche il controllore puo cancellarli.Se il controlloree opportunamente progettato per avere una certa banda, allora i fenomeni di sovra e sottoelongazione possono essere mitigati.

Problema della risposta in freqeunza I poli e gli zeri a parte reale maggiore di zero hanno effetto anchesulla risposta in frequenza. Prendiamo lo schema di controllo classico con disturbo in uscita. Facciamo leseguenti ipotesi:

1. Sistema stabile internamente.2. Disturbo sinusoidale del tipo:d(t) = A sinω t

y (t) → A × |S(j ω)|︸︷︷︸|S(j ω)|<1∀ω≥0

sin ((ω t) + arg [S(j ω)])


| |

p0α

1

t

e−p0t

|

t∗

1

1 +K

1−K

y (t)

(a) Caso in cuiα ≪ p0

| |

po α

1

t

e−p0t

|

t∗

1

1 +K

1−K

y (t)

(b) Caso in cuiα ≫ p0

Figura 12.2.7: Andamento dell’uscitay (t) nel caso in cui il polo si trovi dentro la banda del sistema e nelcaso in cui si trovi fuori dalla banda del sistema. I grafici dei due casi non sono in scala.

Y o+

-L(s)

++D

Y

Il termine|S(jω)| e un coefficiente di amplificazione, idealmente vorremo chefosse il piu piccolo possibile,al limite ci accontenteremmo che|S(jω)| ≤ 1, in questo modo anche se il disturbo continua a compariresull’uscita, almeno la sua ampiezza non viene incrementata, infatti l’ampiezza del disturbo riportata in uscitae al massimo quella del disturbo, il disturbo non e quindi amplificato dall’impianto. Sull’uscita l’effettodel disturbo deve essere di modulo inferiore al disturbo stesso.

Osservazioni. Vedremo che garantire che|S(jω)| ≤ 1 ∀ω none possibile.


13.1 Riassunto:

Abbiamo visto nella precedente lezione quale e l’influenzadi poli e zeri a parte reale maggiore di zero sullarisposta al gradino unitario.

• SeL(s) ha uno zero a parte reale maggiore di 0, ossiaL(z0) = 0, allora il sistema presenta una sottoelongazione conℜ [z0] > 0

• SeL(s) ha uno polo a parte reale maggiore di 0, ossiaL(p0) = 0, allora il sistema presenta una sovraelongazione conℜ [p0] > 0

Esempio13.1.1. SiaL(s):

L(s) =2 (1− s)s (s+ 5)

La funzione presenta uno zero a destra in 1. Calcoliamo quindi W (s) e riportiamo sul piano delles polizeri.

W (s) =L(s)

1 + L(s)=

2 (1− s)s2 + 5s+ 2 (1− s) =

2 (1− s)s2 + 3s + 2

=2 (1− s)

(s+ 1) (s+ 2)

ℑ s

ℜ s × × bc

−2 −1 1

Figura 13.1.1: Rappresentazione nel piano delles dei poli e degli zeri diW (s).

Valutiamo quindi la sua risposta al gradino.

Y (s) =1

sW (s) =

2 (1− s)(s+ 1) (s+ 2)

1

s

144 Capitolo 13

Sia inoltre:

Y (s) =2

(s+ 1) (s+ 2)

1

s

allora:Y (s) = Y (s)− sY (s)

AntitrasformandoY (s) ottengo:y(t) = y(t) + yo(t)

Osservazioni. Moltiplicare una funzione per ‘s’ nella trasformata di Laplace equivale a derivare la funzionenel dominio del tempo, quindi il terminesY (s) equivale ayo (t), nel caso in cuiy(0) = 0 (condizioni inizialinulle).

Ricorda. α equivale alla parte reale del polo maggiore.

Studio quindi come e fatta la risposta al gradino diy(t)infatti:

bc

1

a b

ot

y (t),yo (t)

Figura 13.1.2: Andamento nel dominio del tempo delle due funzioni y (t) e yo (t)

Y (s) =1(

1 + 32s+ s2

2

) 1

s

L’equazione assume la forma tipica del secondo ordine:

1

1 + 2ζs

ωn+s2

ω2n

con ωn =√

2 e ζ = 34

√2 > 1. La risposta al gradino non e oscillante ma bensıcrescente di tipo

esponenziale.

La funzione di trasferimentoy (t) e pari alla differenza tray (t) e y0 (t) otteniamo quindi tre zone temporali,su cui possiamo valutare l’andamento diy (t):

tratto a: Essendoy0 (t) > y (t) alloray (t) < 0, la funzione presenta sotto elongazione.tratto o: Essendoy0 (t) = y (t) alloray (t) = 0.tratto a: Essendoy0 (t) < y (t) alloray (t) > 0, la funzione tendera asintoticamente a 1.


bc

1

a bot

y (t)

Figura 13.1.3: Si osserva che il sistema avendo un solo zero adestra, parte in contro pendenza. Si parte conuna sotto elongazione per poi tendere al valore di regime.

Esempio13.1.2. SiaL (s):

L(s) =2(2s + 1)

s (s− 1)

W (s) =L(s)

1 + L(s)=

2(2s + 1)

s2 − s+ 4s+ 2=

2 (2s+ 1)

s2 + 3s+ 2=

2(2s + 1)

(s+ 1) (s+ 2)

Y (s) =2

(s+ 1)(s + 2)

1

s, Y

0(s) =

4s

(s+ 1)(s + 2)

1

s

dall’esempio precedente si ricava:y (t) = y (t) + 2yo (t)

1

t

y (t), yo (t),y (t)

Figura 13.1.4: Andamento nel dominio del tempo diy (t) (curva in nero),yo (t) (curva in blue) e la lorosommay (t) ( curva tratteggiata in grigio).

Esempio13.1.3. Sia:

P (s) =s− z0

s (s− p0)

dovep0 ez0, sono uno zero ed un polo a destra.E richiesto di progettareC(s) maniera tale cheW (s) abbia tre poli ins = −1:

W (s) =C(s)P (s)

1 + C(s)P (s)

Al solito sui chiede che ilsistema sia stabile internamentee cheil controllore sia fisicamente realizzabile,quindiE(C) ≥ 0.

146 Capitolo 13

W (s) =

o︷︸︸︷(s− z0)

x︷︸︸︷(a+ bs)

(s+ 1)3︸︷︷︸k

Ricorda:

o. Tutti gli zeri a parte reale maggiore di 0 diL(s) e quindi diP (s), devono essere zeri diW (s)x. I poli a parte reale maggiore di 0 diL(s) e quindi diP (s), devono essere zeri di1−W (s).

• i poli sono ins = 0 e in s = p0.• ho due condizioni da rispettare ho quindi un polinomio di ordine 2.

j. La condizione sull’eccesso e soddisfatta perche si richiede cheE(W ) ≥ E(P )

La condizione sul polo triplo in−1 la ottengo imponendo che il polinomio a denominatore diW (s) sia paria (s+ 1)3.

cona e b :

W (0) = 1

W (p0) = 1

Impongo:

W (0) = −z0 · a = 1 → a = − 1

z0da cui:

W (s) =−z0

(1− s

z0

)(− 1

z0+ bs

)

(a+ s)3=

(1− s

z0

)(1 + γs)

(1 + s)3

conγ ≡ −b z0 eγ t.c.

W (p0) = 1 →

(1− p0

z0

)(1 + γp0)

(1 + p0)3 = 1

(1 + p0)

3

(1− p0

z0

) − 1

· 1

p0= γ

Una volta trovata laW (s) posso trovare per inversione il controlloreC(s):

Ricorda. Devo confrontare la posizione dip0 e di z0 con quella diα; in questo caso essendo ipoli tutti in −1, α = 1

Poiche c’e stato uno scambio di posizione tra il polo e lo zero, il sistema sente prima l’effetto del polo che sitrova vicino al limite della banda, quindi la risposta al gradino del sistema presentera inizialmente una sovraelongazione, fig. 13.1.7.


a Hp: E presente solo lo zero a destraz0 = 0.5, mentre il polo e considerato stabilep0 = −0.5, ci dobbiamo quindi aspettare sotto elongazione nella risposta.

bc |

z0 α

0.5 1

0.5

1.0

1.5

-0.5

-1.0

t

y (t)

Figura 13.1.5: Hp: di polo stabile e zero a destra. Si osservadal grafico una sottoelongazione molto pronunciata

b Hp: Cominciamo ad introdurre il polo a destra oltre allo zero a destraz0 = 0.5, mentreil polo e consideratop0 = 0.2 all’interno della banda, ci dobbiamo quindi aspettare un piccodi sovra elongazione, come mostrato in figura 13.1.6.

bc |×z0 αp0

0.50.2 1

1

2

3

-1

-2

-3

5 10t

y (t)

Figura 13.1.6: Hp. di zero e polo a destra, con pulsazione delpolo minore della pulsazionedello zero. Si osserva che la risposta parte con una sotto elongazione per poi avere un piccodi sovra elongazione.

148 Capitolo 13

c Hp: Supponiamo che il polo si sposti verso il margine della bandae lo zero sempre piuall’interno.

bc |×p0 αz0

0.50.2 1

2

4

6

-2

-4

-6

5 10t

y (t)

Figura 13.1.7: Hp di zero e polo a destra, con pulsazione del polo superiore alla pulsazionedello zero. Il sistema parte con una sovra elongazione.

Nota. Se noi osservassimo solo la funzione di trasferimentoW (s) osserveremmo solo i 3 poli in−1, non ciaspetteremmo quindi un andamento diy (t) di questo tipo.

Nota. L’andamento diy (t) e tanto piu complesso quanto piu lo zero si spinge in banda e quanto piu il polosi spinge verso l’esterno.

13.2 Effetto di poli e zeri a destra sulla risposta in frequen za al di-sturbo di uscita

Analizziamo quindi l’effetto del polo e dello zero a destra sulla risposta in frequenza del sistema.

Y o+

-L(s)

++D

Y

Figura 13.2.1: Schema a blocchi sistema

L’effetto di D sull’uscita e modellato dalla funzione di sensitivita:Il disturboD modella l’incertezza che esiste sul sistema, ossia il fattoche laY misurata non e esattamentel’uscita reale ma ad essa e sommata qualcosa che non conosciamo.


D(s) S(s) Y (s)

Sia il disturbo sull’uscita di tipo sinusoidale:d (t) = A sin(ωt)

y (t)t→∞→ A |S(j ω)|︸︷︷︸

|S(j ω)|<1∀ω≥0

sin ((ω t) + arg [S(j ω)])

Come gia accennato nella lezione precedente, il termine|S(jω)| e un coefficiente di amplificazione, ideal-mente vorremo che fosse il piu piccolo possibile, al limiteci accontenteremmo che|S(jω)| ≤ 1, in questomodo anche se il disturbo continua a comparire sull’uscita,almeno la sua ampiezza non viene incrementata,infatti l’ampiezza del disturbo riportata in uscita e al massimo quella del disturbo; il disturbo non e quindiamplificato dall’impianto.Sull’uscita l’effetto del disturbo deve essere di modulo inferiore al disturbostesso.

Osservazioni. Vedremo che garantire che|S(jω)| ≤ 1 ∀ω none possibile

Ma S(jω) e un numero complesso dato da:

1

1 + L(jω)(13.2.1)

Richiedere che|S(jω)| < 1 equivale a chiedere che.

1

|1 + L(jω)| < 1, ⇒ |1 + L(jω)| > 1 (13.2.2)

Scrivo:L(jω) = x+ jy (13.2.3)

Da cui ottengo:

(13.2.2) = |1 + x+ jy| > 1√

(1 + x)2 + y2 > 1

(1 + x)2 + y2 > 1

(13.2.4)

ma l’espressione (13.2.4) rappresenta l’equazione della circonferenza di raggior = 1 e centroc = (−1, 0).Quindi perche|L(jω)| > 1, L(jω) deve stare fuori dalla circonferenza.

L’andamento diL(jω) tipo quello in figura 13.2.2, soddisfa la condizione, ossia un sistema a cui essa erelativa ha un|S(jω)| < 1, ∀ωOsservazioni. Un andamento diL(jω) tipo quello tracciato dalla linea blue in figura 13.2.2,e un tipicosistema del primo ordine.

L(s) =k

1 + sτcon

τ > 0

k > 0

Invece un sistema del secondo ordine del tipo:

L(s) =k

s (1 + sτ)

150 Capitolo 13

Im L(jω) ≡ y

Re L(jω) ≡ xω = +∞zo

na

proib

ita|

-1

L(jω)

L(jω)

ω = 0+

Figura 13.2.2: Diagramma di Nyquist. La zona in rosso rappresenta la regione del piano proibita allaL(jω)per avere reiezione del disturbo sulla risposta in frequenza.

da luogo ad un diagramma di Nyquist, per cui ad alta frequenzail sistema entra all’interno della circonfe-renza. Se ho un sistema con incertezza, ad alta frequenza l’incertezza la ritrovero anche in uscita, viceversain bassa frequenza essa sara attenuata.

Esempio13.2.1. k = 1 Prendiamo il sistema del secondo ordine:

L(s) =k

s (s+ 1), conk > 0

S(s) =s (s+ 1)

s2 + s+ k

Forma di Bode−→ 1

k

s (s+ 1)(1 + s

k + s2

k

)

dobbiamo quindi analizzare quando|S(jω)| < 1.Disegno quindi il diagramma di Bode del modulo diS(jω) e nel punto in cui esso diventera negativo alloravuol dire che|S(jω)| < 1.Analizzo il casok = 1:

S(s) =s (s+ 1)

s2 + s+ 1

τ = 1

ζ = 1/2

ωn = 1

Dalla funzione di trasferimento della sensitivita si osserva che perω = ωn = 1 ho uno zero e due policomplessi coniugati, inoltre avendo due poli e due zeri nella funzione, l’andamento asintotico del modulotendera a 0 dB perω grande.


101

101 10210-1

ω

|S(jω)|

Andamento Reale

Andamento Asintotico

ω = 0.71 e la pulsazione di taglio oltrela quale non e piu vero che|S(jω)| < 1

Figura 13.2.3: Andamento della funzione di sensitivita con k = 1

101

102

103

10110-1

×

+

bc

ω

|S(jω)|

Andamento Reale

zero

polo doppio

ω = 2.23 e la pulsazione di taglio oltre la quale none piu vero che|S(jω)| < 1, si osserva che tale valoree maggiore rispetto al caso precedente

Figura 13.2.4: Andamento della funzione di sensitivita con k = 10

Caso 2: k = 10

Osservazioni. Al crescere del guadagno, aumenta il picco e la frequenza di taglio diventa mag-giore. Questo comportamentoe giustificato dall’esistenza di un teorema chee una sorta diconservazione dell’energia della funzione di sensitivita per il quale l’area negativa sottesa daldiagramma di Bode del moduloe uguale a quella positiva.

Se vo-

gliamo che|S(jω)| < 1 per una certa banda, mi devo aspettare, quando esco da tale banda di avere un piccomolto pronunciato, sicuramente maggiore diquello che avrei avuto se avessi imposto la condizione sullasensitivita su una banda piu piccola.

152 Capitolo 13

13.3 Applicazione del Teorema di Bode

Hp: L(s) non ha poli a parte reale maggiore di 0 ed il sistema e stabileinternamente.siano:

E (L) eccesso della funzioneL (s)

k′

= lims→∞

s (L(s))

Tesi: ∫ +∞

0ln |S(jω)| dω =

−k′ π

2seE(L) = 1

0 seE(L) > 1(13.3.1)

Esempio13.3.1.

L(s) =k

1 + sτ, conk > 0, τ > 0

siamo nel caso in cuiE(L) = 1, allora:

∫ +∞

0ln |S(jω)| dω = −π

2lim

s→∞s · k

1 + sτ= −π

2· kτ

Questo integrale ha un valore negativo quando|S(jω)| < 1 ed e tanto piu grande tanto piu grande ek.

|S(jω)| < 1

|S(jω)| > 1ln |S(jω)|

ω0

Le due aree colorate sonouguali

Figura 13.3.1: Andamento in frequenza del modulo di una funzione sensitivita con eccesso poli e zeristrettamente maggiore di 1. Si puo osservare che la superficie in cui il modulo della funzione e minore di 1(zona tratteggiata in rosso) e identica alla superficie perla quale il modulo e maggiore di 1 (zona tratteggiatain verde).

Nota. Nel caso di sistemi di controllo caratterizzati dall’avereun eccesso poli-zeri> 1, il teorema di Bodedice invece che la zona in cui la sensitivita e minore di 1, ha una superficie uguale a quella per cui lasensitivita e> 1.

Ricorda. La sensitivita misura il contributo del disturbo sull’uscita, se cerco difar cadere ildisturbo all’interno della banda dove la sensitivita e minore di 1 in modo da attenuarlo, mi devoaspettare un picco maggiore della funzione fuori banda.


ln |S(jω)|

ω

Figura 13.3.2: Andamento infrequenza del modulo di unafunzione sensitivita. In que-sto caso per incrementare lareiezione dei disturbi abbia-mo aumentato la zona in cui ilmodulo della funzione di sen-sitivita e minore di 1 (zonatratteggiata in rosso).

Nota. Questo puo andare bene se il disturboe conosciuto, ma se non conosco la frequenza, questoelocalizzato. Fare una banda grande puo portare ad una amplificazione dello stesso perche casualmenteesso potrebbe cadere anche fuori dalla banda.

Nota. Questo era il caso in cuiL(s) non ha poli a destra. Cosa succede se esistono poli a parte realemaggiore di zero ?.Intuitivamente ci aspettiamo che le cose peggiorino, ma devo cercare di quantificare di quanto peggiorino.

13.4 Formulazione Generale del Th. di Bode

Hp: Sia il sistema stabile internamente e sianop1, . . . , pn i poli a parte reale maggiore di 0 diL(s).Tesi:

∫ +∞

0ln |S(jω)| dω = π

N∑

i=1

Re [pi]

︸︷︷︸∗

+

−k′ π

2seE(L) = 1

0 seE(L) > 1(13.4.1)

• La presenza di poli a destra da un contributo positivo all’area (sovra elongazione).• L’aumento dell’area positiva puo creare un aumento della sua larghezza o del suo picco, tale effetto e tanto

piu marcato tanto piu grandi sono i poli (poli fuori banda).

Nota. Questo risultatoe indipendente dallo specifico controllore che stiamo usando, tutto dipende dallospecifico impianto consideratoP (s).

Dimostrazione:Indichiamo i poli a parte reale maggiore di zero nel seguentemodo:L (pi) = ∞,ℜ [pi] > 0 coni = 1 . . . Ne consideriamo il caso in cuiE(L) > 1, per cui.

∫ +∞

0ln |S(jω)| dω = π

N∑

i=1

Re [pi] (13.4.2)

154 Capitolo 13

e quello che si vuole dimostrare e il seguente.

1. Cominciamo dall’analizzare la funzioneL(s) nella sua forma piu generale:

L(s) = k′

m∏

i=1

(s− zi)

n∏

i=1

(s− pi)

, conm < n− 1

La condizionem > n− 1 e data dal fatto cheE(L) deve essere almeno pari a 2.InoltreN di questin poli sono a parte reale maggiore di 0.

S(s) =1

1 + L(s)=

n∏

i=1

(s− pi)

n∏

i=1

(s− pi) + k′

m∏

i=1

(s− zi)(13.4.3)

essendom < n− 1 il polinomio a denominatore e di gradon. Posso quindi scriverlo come:

(13.4.3) =

n∏

i=1

(s− pi)

n∏

i=1

(s− ri)(13.4.4)

Doveri sono i poli diS(s) ma sono anche poli diW (s), poiche per l’ipotesi di sistema internamente stabile,i poli di W (s) sono tutti a parte reale minore di zero.

ℜ [ri] < 0 ∀ i = 1, . . . , n

sn + an−1 sn−1 + an−2s

n−2 + . . .︸︷︷︸∗

L’effetto degli zeri si puo far sentire solo sui termini ‘∗’ perche il, terminek′

m∏

i=1

(s− zi) e un polinomio

almeno di gradon− 2.Basta scrivere il polinomio come:

(s− p1) (s− p2) · · · (s− pn) = sn + (−p1 − p2 − · · · pn) sn−1 (13.4.5)

non solo posso espandere anche∏n

i=1 (s− ri):

(s− r1) (s− r2) · · · (s− rn) = sn + (−r1 − r2 · · · − rn) sn−1 (13.4.6)

confrontando le due espressioni che rappresentano diversamente lo stesso polinomio:

n∑

i=1

ri =

n∑

i=1

pi (13.4.7)


Poiche se esiste un polo complesso esista anche il suo coniugato, cio equivale a dire che:

n∑

i=1

Re [ri] =

n∑

i=1

Re [pi] (13.4.8)

La (13.4.8) rappresenta la nostra2a condizione.Passo 2:Dall’espressione della sensitivita calcoliamo l’integrale:

∫ +∞

0ln |S(jω)| dω =

∫ +∞

0ln

∣∣∣∣∏n

i=1 (jω − pi)∏ni=1 (jω − ri)

∣∣∣∣dω = (13.4.9)

essendo il modulo di un prodotto uguale al prodotto dei moduli poso scrivere:∫ +∞

0ln

n∏

i=1

∣∣∣∣jω − pi

jω − ri

∣∣∣∣dω =

∫ +∞

0

n∑

i=1

ln

∣∣∣∣jω − pi

jω − ri

∣∣∣∣dω = (13.4.10)

Dove abbiamo sfruttato la proprieta dei logaritmi in cui illogaritmo dei prodotti e pari alla somma deilogaritmi.Scambiano gli operatori di somma e integrale per il principio di linearita ottengo:

∞∑

i=1

∫ +∞

0ln

∣∣∣∣jω − pi

jω − ri

∣∣∣∣ dω =

∞∑

i=1

π

2(|Re [pi]| − |Re [ri]|) (13.4.11)

per le proprieta degli integrali posso scrive.∫ +∞

−∞ln

∣∣∣∣jω − pjω − r

∣∣∣∣2

dω = 2π [|Re [p]| − |Re [r]|] =

= 2

∫ +∞

0ln

∣∣∣∣jω − pi

jω − r

∣∣∣∣2

dω = 4

∫ +∞

0ln

∣∣∣∣jω − pi

jω − r

∣∣∣∣ dω =

=

∫ +∞

0ln

∣∣∣∣jω − pi

jω − r

∣∣∣∣ dω =2π

4[|Re [p]| − |Re [r]|] =

=π

2[|Re [p]| − |Re [r]|]

(13.4.12)

L’integrale si puo equivalentemente scrivere come:∫ +∞

0S(jω)dω =

π

2

n∑

i= 1

(|Re [pi]| − |Re [ri]|)︸︷︷︸

↓

=

n∑

i = 1

|Re [pi]| −n∑

i= 1

|Re [ri]|︸︷︷︸

↓

essendoRe [ri] < 0 e dalla definizione di modulo posso scrivere:

n∑

i = 1

|Re [pi]|+n∑

i= 1

Re [pi]


14.1 Problema delle Prestazioni

y0+

-

eC(s) P (s)

+ +

d

y

Figura 14.1.1: Sistema in retroazione unitaria con disturbo sull’uscita

Un metodo molto utilizzato per definire le prestazioni del sistema nel caso in cui questo non fosse noto equello di studiare la risposta del sistema ad un gradino in ingresso e definire alcuni parametri che devonosoddisfare opportune condizioni, qualisovra elongaziones, tempo di salitats e tempo di assestamentota.Questa classica tipologia di approccio e molto utilizzataper sistemi a sintesi diretta o a sintesi per tentativi.

ts t

s

y (t)

1

Figura 14.1.2: Risposta al gradino di un sistema del secondoordine

Diversamente e possibile studiare le prestazioni del sistema utilizzando un approccio basato sulla rispostain frequenza del sistema stesso.Consideriamo un tipico problema di controllo:

Esempio14.1.1. Prendiamo lo schema di controllo in figura 14.1.1 e imponiamole seguenti specifiche:

d (t) = 0

158 Capitolo 14

y0 (t) ∈ ∆0 ≡ A cos (ωt) , 0 ≤ A ≤ 1 , ω ≥ 0 assegnato l’impiantoP (s), determiniamoC(s) tele per cui:

limt→∞|y0 (t)− y (t)|︸︷︷︸

e(t)

≤ ǫ, ∀ y0 (t) ∈ ∆0

limt→∞

e (t) ≤ ǫ, ∀ y0 (t) ∈ ∆0

(14.1.1)

Sappiamo cheE(s) = S(s)Y0(s), per cui pert → ∞, inoltre se il sistema e stabile internamente possoapplicare il teorema della risposta in frequenza ottenendo:

e (t) → A |S(jω)| cos (ωt + arg [S(jω)]) (14.1.2)

conA |S(jω)| ≤ ǫ ∀ A[ 0, 1] , ∀ω ≥ 0.Consideriamo quindi il caso peggiore in cui l’ampiezza del segnale assume il suo valore massimo, per cuiequivalentemente|S(jω)| ≤ ǫ, ∀ω ≥ 0

1

ǫ|S(jω)| ≤ 1, ∀ω ≥ 0 (14.1.3)

il problema dell’inseguimento pone quindi un vincolo sull’ampiezza della funzione di sensitivita.

Definizione 14.1.1(NormaH∞ di una funzione). SiaF (s) una funzione razionale fratta con poli e zeri aparte reale minore di 0. Allora si definisce normaH∞ di F (s) la quantita:

‖F‖∞ = supω≥0|F (jω)| = picco di risonanza diF (s)

Nota. Questa definizione ha senso solo seF (s) e stabile cioe se ha tutti i poli a parte reale minore di 0.

Consideriamo quindi la funzione razionale fratta e costante Π1(s) =1

ǫe la sensitivitaS(s). Facciamo

quindi il prodotto e calcoliamo la normaH∞:

‖Π1 · S ‖∞ = supω≥0

1

ǫ|S(jω)| = ( picco di risonanza) (14.1.4)

Osservazioni. E lecito moltiplicareΠ1 perS(s) poiche la funzioneS(s) ha tutti i poli a parte reale minoredi 0, mentreΠ1 non ha poli. Il loro prodotto da luogo ad una nuova funzione che non ha poli a parte realeminore di 0, per la qualee possibile definire la normaH∞

questo ci permette di scrivere la condizione vista come:

‖Π1 · S ‖∞ ≤ 1 (14.1.5)

La (14.1.5), rappresenta un vincolo a cui si riducono molti problemi di controllo, inoltre rappresenta il modostandard con cui puo essere scritta la condizione di inseguimento.

Esempio14.1.2.d (t) = 0

y0 (t) ∈ ∆0 ≡ A cos (ωt+ φ0) , 0 ≤ A ≤ A(ω) , φ0 = φ0(ω) , ω ≥ 0


vediamo quindi che il problema di inseguimento di questa classe di segnali puo essere riscritto nei terminivisti:

limt→∞

|y0 (t)− y (t)| ≤ ǫ, ∀ y0 (t) ∈ ∆0

E(s) = S(s) · Y0(s) per cui , pert→∞ ,

e (t)→ A |S(jω)| cos (ωt + φ0 + arg [S(jω)]) ≤ ǫ , ∀A : [0 ≤ A ≤ A(ω)] , ∀ω ≥ 0

al solito considero il caso peggiore per eliminare la dipendenza daA.

A(ω) |S(jω)| ≤ ǫ ∀ω ≥ 0

A(ω)

ǫ|S(jω)| ≤ 1 ∀ω ≥ 0

(14.1.6)

Si puo considerare il segnaley0 (t) come l’uscita di un particolare blocco aventeA(ω) come modulo eφ0(ω)come fase ed in ingresso il segnalecos(ωt)

cos(ωt) A(ω)ejφ0(ω) A(ω) cos (ω t + φ0(ω))

Figura 14.1.3: Rappresentazione equivalente di un segnaleyo (t) appartenente alla classe dei segnalisinusoidali. Per la valutazione delle prestazioni di inseguimento robuste.

Complessivamente e come se avessi il seguente sistema.

cos (ωt) , ω ≥ 0 A(ω)ejφ0(ω) +

-C(s) P (s) y

Figura 14.1.4: Schema a blocchi equivalente per lo studio del problema di inseguimento robusto alla classedi segnali sinusoidali.

SiaΠ1(s) =1

ǫF (s), doveF (s) ha tutti i poli a parte reale minore di zero e tale cheF (jω) = A(ω)ejφ(ω)

.

‖Π1 · S ‖∞ = supω≥0

1

ǫ|F (jω)| |S (jω)| ≤ 1 (14.1.7)

La (14.1.7) equivale a richiedere che:

supω≥0

1

ǫA(ω) |S (jω)| ≤ 1

qualunque sia in segnale da inseguire, o meglio la classe di segnale sinusoidale da inseguire, il proble-ma dell’inseguimento si puo ridurre a richiedere che:

‖Π1 · S ‖∞ ≤ 1, ∀ ω ≥ 0

conΠ1 opportuna funzione di peso dipendente dalle caratteristiche del segnale da inseguire.

160 Capitolo 14

Ricorda. La funzione di sensitivita descrive come l’errore e l’uscita sono influenzatirispettivamente dal segnale desiderato e dal disturbo:

E(s) = S(s)Y0(s)

Y (s) = S(s)D0(s)

Riassumendo Le prestazioni di un tipico sistema di controllo richiedonoche ‖Π1 · S ‖∞ ≤ 1 doveΠ1(s) e una funzione razionale fratta avente tutti i poli a parte reale minore di 0.

Ma che tipologia di funzioneΠ1(s) ci vanno bene per il nostro problema ?Dobbiamo richiedere che:

supω≥0|Π1(jω)S(jω)| ≤ 1⇒

|Π1(jω)S(jω)| ≤ 1, ∀ ω ≥ 0(14.1.8)

poiche il modulo di un prodotto equivale al prodotto dei moduli.

|S(jω)| ≤ 1

|Π1(jω)| , ∀ ω ≥ 0 (14.1.9)

Π1 definisce quindi una certa curva al di sotto della quale deve trovarsi il modulo della funzione di sensitivita.

Esempio14.1.3.

Π1(s) =1

ǫ−→ specifica |S(jω)| ≤ ǫ ∀ ω ≥ 0

ω

|Π1(jω)|

1

ǫ

(a)

ω

|S(jω)|

ǫ

Zona Proibita

(b)

Figura 14.1.5: Profili dei moduli della funzione pesoΠ1 e della funzione di sensitivitaS

Esempio14.1.4.

Π1(jω)

M ≫ 1 ∀ ω ∈ [0, ω]

0 ∀ ω > ω=⇒ |S(jω)| ≤

1/M ∀ ω ∈ [0, ω]

+∞ ∀ ω > ω

Nota. Quello in figura e un andamento ideale, non esiste nessuna funzione reale in cui il modulo variistantaneamente. Nella realta dovremmo realizzare la funzioneΠ1(s) in maniera tale che il modulo variapiu dolcemente.


ω

|Π1(jω)|M

1

0 ω(a)

ω

|S(jω)|

1M

ω(b)

Figura 14.1.6: Andamento dei moduli della funzione peso e e della funzione di sensitivita nell’esempio14.1.4

Se trovo un controllore stabilizzanteC(s) tale da far si che‖Π1 (s)S (s) ‖∞ ≤ 1 sono sicuro che|S(jω)|e<

1

Mperω < ω.

Tra tutti i controllori stabilizzanti si deve scegliere quello parametrato rispetto alla funzioneQ che rende1/M piu piccolo possibile eω piu grande possibile.

In definitiva Π1(s) e una funzione razionale fratta, con tutti i poli a parte reale minore di zero, con modulomonotono decrescente o non crescente;Π1(s) e in pratica un filtro passa basso.

Esempio14.1.5. SianoL(s) =K

seΠ1(s) la funzione di peso ideale, espressa in figure 14.1.7.

Y0+

-Y L(s)

Figura 14.1.7

0ω

ω

M

Π1(jω)

Figura 14.1.8: Profilo ideale diΠ1(s)

Domanda: Che tipo di vincolo si ottiene sulla sensitivita?Devo studiare quando‖Π1S ‖∞ ≤ 1

S(s) =1

1 + L(s)=,

1

1 +k

s

=s

s+ k

‖Π1S ‖∞ = supω≥0|Π1S| ≤ 1, |Π1(jω)| |S(jω)| ≤ 1, ∀ω ≥ 0

Conoscendo la funzione di sensitivita posso scrivere:

S(s) =s

s+ k= nella forma di Bode

1

k

s

1 +s

k

162 Capitolo 14

ω

|S(jω)|

1M

ω

Andamento corretto

Figura 14.1.9: Profilo del modulo della funzione Sensitivita.

La funzione ha uno zero nell’origine e un polo ink. La funzione sale prima per opera dello zero e poi sistabilizza per opera del polo, ma gli andamenti che si possono avere dipendo dal valore del guadagnok.

Per soddisfare il vincolo basta imporre che:

|S(jω)| ≤ 1

M=⇒

∣∣∣∣jω

jω + k

∣∣∣∣ ≤1

M(14.1.10)

Nota. Il vincolo lo posso imporre solo perω = ω e non per tutti gliω perche rappresenti il caso limite.Se tale condizionee soddisfatta perω = ω, sono sicuro chee soddisfatta per tutti gliω inferiori, poicheabbiamo imposto che|S(jω)| abbia andamento crescente.

ω√ω2 + k2

≤ 1

M

elevando ambo i membri al quadrato ottengo:

ω2

ω2 + k2≤ 1

n2, =⇒ M2ω2 ≤ ω2 + k2

(n2 − 1

)ω2 ≤ k2

k ≥ ω√M2 − 1

(14.1.11)

Per i valori dik imposti dal vincolo (14.1.11) il vincolo sulla sensitivit`a e soddisfatto.

Nota. tanto piu M e grande tanto piu 1/M e piccolo, ossia: tanto minoree la sensitivita e quindi tantoeminore l’errore di inseguimento.

Esempio14.1.6.

L(s) =k

s

1− sT1 + sT

, T > 0

La funzione di anelloL(s) presenta uno zero a destra che mi impone un vincolo devo studiare quale.

Lemma 14.1.7.Esiste una proprieta della normaH∞ di F (s) secondo cui

‖F (s) ‖∞ ≥ |F (s)| , ∀ s : ℜ s ≥ 0 (14.1.12)


ℑ s

ℜ s

bcPrendo il valore massimosull’asse immaginario.

deriva dal fatto che:sup

s:ℜ[s]≥0|F (s)| = sup

ω≥0|F (jω)| (14.1.13)

nel nostro caso abbiamo un punto particolare nel semipiano destro (ω = 1/T ):

‖Πs ‖∞ =

∣∣∣∣Π1

(1

T

)S(

1

T

)∣∣∣∣ = Π1

(1

T

)(14.1.14)

Sapendo che la funzione di sensitivita in uno zero (a destra) vale 1.

Quindi se vogliamo far si che‖Π1 (s)S (s)‖ ≤ 1, basta imporre che∣∣Π1

(1T

)∣∣ ≤ 1. Perche questa condizio-ne sia soddisfatta, consideriamo l’andamento reale diΠ1(jω), basta allora richiedere che lo zeroω = 1/Tsi trovi a pulsazioni maggiori diω, ossia che lo zero sia fuori banda.

ω

|Π1(jω)|M

1

0 ω

bc

La pulsazioneω rappresenta il limite inferiore per il vincoloΠ1(jω).


15.1 Problema delle prestazioni

Consideriamo al solito il sistema di controllo in retroazione: P (s) e la FdT dell’impianto da controllare.

y0+

-C(s) P (s) y

Figura 15.1.1: Schema del sistema di controllo per lo studiodel problema di inseguimento asintotico.

In realta si tratta solo di un modello matematico che descrive il sistema fisico reale. Solitamente e difficileesprimere un sistema reale attraverso una sola FdT

Problema della stabilita robusta Il problema della stabilita robusta consiste nello studiare la stabilita perunaP (s) ∈ ad una famigliaP.

Problema del controllore Il controllore deve garantire la stabilita del sistema qualunque sia la FdT del-l’impianto ∀ P (s) ∈ P.

Al posto diP (s) inserisco quindi una famigliaP di FdT:Lo schema che ottengo e il seguente:

y0+

-C(s) P (s)

Π2(s) ∆(s)+

+y

P∆

Figura 15.1.2: Schema di controllo per lo studio delle prestazioni robuste

dove:

• P (s) FdT dell’impianto nominale della famiglia

166 Capitolo 15

• Π2(s) Funzione di peso fissa.• ∆(s) Blocco che modella l’incertezza.

Nota. Se∆(s) = 0, la famigliaP si riduce all’impianto nominaleP (s), infatti:

La generica funzione∈ questa famigliaP∆ e.

P (s) = P (s) [1 + Π2(s)∆(s)]

• Dove la funzione pesoΠ2(s), e per ipotesi una funzione razionale fratta con tutti i poli aparte realeminore di 0, (dipende espressamente da come e fatto l’impianto).• ∆(s) e una funzione razionale fratta con tutti i poli a parte reale minore di 0 e tale che‖∆ ‖∞ ≤ 1, ossia

il suo picco di risonanza sia minore≤ 1.Mr (∆) ≤ 1

La famigliaP∆ puo essere scritta cosı:

P∆ =P (s) : P (s) = P (s) [1 + Π2(s)∆(s)] , ‖∆ ‖∞ ≤ 1

(15.1.1)

cerchiamo quindi di capire il significato della funzione peso Π2(s).

Mettiamo adesso un segnale sinusoidale ad una certa pulsazione in ingresso all’impianto:

u P (s)

Π2(s) ∆(s)+

+y

Figura 15.1.3: Sotto sistemaP∆.

Siau (t) = A cos (ωt) , per il teorema della risposta in frequenza,y (t) tende a:

A

∣∣∣∣∣P (jω) [1 + Π2(jω)∆(jω)]

∣∣∣∣∣ cos(ωt + arg

P (jω) [1 + Π2(jω)∆(jω)]

)(15.1.2)

Il numero complessoP (jω) [1 + Π2(jω)∆(jω)] rappresenta la risposta in frequenza del sistema.

Se∆(jω) = 0 l’immagine di tale numero e rappresentata dal punto 1 in figura 15.1.4. Se∆(jω) varia,individuero un insieme diverso di punti. Devo quindi studiare quale sia il range di punti ammissibili.

Sappiamo che∀ ω ≥ 0 deve risultare|∆(jω)| ≤ 1

Ricorda. ∀ ω ≥ 0 ∆(jω) deve stare dentro la circonferenza di raggio unitario.

In particolare essendo la relazione che lega l’immagine a∆(jω) di tipo lineare, l’insieme dei punti sara unacirconferenza (15.1.4).


b1

b

a

c

P (jω)

ℑ

ℜ

Figura 15.1.4: Regione del piano dove e localizzata l’uscita y (t) del sistema.

1

ℑ [∆ (s)]

ℜ [∆ (s)] Figura 15.1.5: Zona di esistenza della funzione∆(jω).

Osservazioni. Se∆(jω) sta dentro la circonferenza allora anche l’immagine stara dentro una circonferen-za, abbiamo infatti deciso di prendere un punto individuatosulla circonferenza, individuato dal vettore~a,esso a sua voltae dato dalla somma di due vettori~b e~c:

P (jω) = P (jω)︸︷︷︸~b

+ P (jω)Π2(jω)∆(jω)︸︷︷︸~c

(15.1.3)

|P (jω)| |Π2(jω)| |∆(jω)|︸︷︷︸=1

=

= |P (jω)| |Π2(jω)|(15.1.4)

• Una volta assegnato l’impianto, il raggio e modulato da|Π2(jω)|.• Tanto piu grande e|Π2(jω)|, tanto + grande e la circonferenza e di conseguenza tanto piu grande e

l’incertezza.

Proviamo a rifare il disegno supponendo di valutare l’immagine per diverse pulsazioni. In figura??, siosserva che il tratto continuo (in verde) e l’andamento cheotterremmo se considerassimo, come fino oraabbiamo fatto, una FdT che modella l’impianto reale. Viceversa una famiglia di funzioni di trasferimentoP (jωi), puo essere compresa all’interno di una circonferenza di raggio|P (jω)Π2(jω)|.

Se consideriamo le circonferenze in modo continuo, dovremotener contodell’inviluppo di tali circon-ferenze. Si individua cosı una certa fascia all’interno della quale si trova il nostro sistema vero,che nonpossiamo conoscere perfettamente a causa dell’esistenza di coefficienti incerti.Sostituiamo quindi la sua FdT con una FdT incerta e cerchiamodi costruire un controlloreC(s) che garan-tisce la stabilita di tutte le FdT appartenenti alla famiglia. In questo modo sono sicuro che esso stabilizzianche l’impianto reale (purche ovviamente esso sia esattamente all’interno della fascia, all’interno dellafamiglia).

168 Capitolo 15

ℑ

b P (jω1)

b

P (jω2)

b

P (jω3)

b

P (jω4)

b

P (jω5)

ℜ

Figura 15.1.6: Zone delle pianoC, occupate dalle famiglie delle funzioni impiantoP (jω) al variare dellapulsazione.

15.1.1 Determinazione di P (s) e Π2(s)

Esempio15.1.1. Supponiamo che l’impianto veroPo(s) sia dato da:

Po(s) =k

s− 2

conk incognito ma compreso nell’intervallo[k, k].

Vogliamo quindi determinareP (s) eΠ2(s) in modo chePo(s) appartenga alla famigliaP∆.

Ricorda.P∆ =

P (s) : P (s) = P (s) [1 + Π2(s)∆(s)] , ‖∆ ‖∞ ≤ 1

Graficamente:

Po(jω) =k

jω − 2, k ∈

[k, k]

deve esistere un cerchio di centroP (jω) e raggio|P (jω)| |Π2(jω)|. Po(jω) ad una determinataω saralocalizzato nel terzo quadrante. Agendo sulla costantek riesco a variare il modulo della funzione senzaalterare la fase, quello che ottengo e che il punto si spostalungo la retta passante per il punto e l’originedegli assi.

Poiche e bene avere circonferenze le piu piccole possibili, si assume che il segmento disegnato coincidaesattamente con il diametro della circonferenza, il cui centro rappresenta proprioP (s):

P (s) =

1

2

(k + k

)

s− 2(15.1.5)

il suo raggio e dato invece da:

|P (jω)| |Π2(jω)| =1

2

∣∣k − k∣∣ 1

|jω − 2| (15.1.6)


b

P (jω)= kjω−2

kjω−2

k

jω−2

ℑ

ℜ

Figura 15.1.7: L’immagine dell’impianto vero e un segmento nel piano complesso

Ipotizzando chek > k ottengo:

|Π2(jω)| =1

2

(k − k

)· 1

|jω − 2| ·|jω − 2|12

(k + k

) =k − kk + k

(15.1.7)

P (s) =

1

2

(k + k

)

(s− 2)

Π2(s) =k − kk + k

(15.1.8)

Nota. In questo caso particolare il pesoe una funzione costante.

Esempio15.1.2. Sia :

Po(s) =1

s2e−sT

L’impianto presenta quindi un doppio polo in zero ed un elemento di ritardo. Ipotizioamo quindi che ilritardo sia una grandezza incognita tra0 ≤ T ≤ 0.1.

In questo caso, poiche noi abbiamo sempre studiato funzioni di tipo razionale fratte la scelta dell’impiantonominale e banale:

non vogliamo che esso presenti un ritardo per cui scegliamoP (s) =1

s2

Ci manca solamente da determinareΠ2(s) che deve essere tale per cui:

Po(s) ∈ P∆ =

P (s) [1 + Π2(s)∆(s)] , ‖∆(s) ‖∞ ≤ 1

(15.1.9)

Deve esistere∆(jω) con |∆(jω)| ≤ 1 tale per cui l’immagine sta nella famiglia, ossia.

Po(jω) = P (jω) [1 + Π2(jω)∆(jω)]

Po(jω) = P (jω) + P (jω)Π2(jω)∆(jω)

Po(jω)− P (jω) = P (jω)Π2(jω)∆(jω)

Po(jω)− P (jω)

P (jω)= Π2(jω)∆(jω)

(15.1.10)

170 Capitolo 15

L’uguagliare due quantita complesse (15.1.10) impone chesia il modulo che la fase siano uguali, ossia:

∣∣∣∣Po(jω) − P (jω)

P (jω)

∣∣∣∣ = |Π2(jω)∆(jω)| = |Π2(jω)| |∆(jω)|︸︷︷︸≤1

=

∣∣∣∣Po(jω)− P (jω)

P (jω)

∣∣∣∣ = |Π2(jω)|(15.1.11)

Devo pertanto determinare una funzione razionale frattaΠ2(s) con tutti i poli a parte reale minore di 0, chesoddisfi tale condizione, ossia tale che:

∣∣∣∣Po(jω)

P (jω)− 1

∣∣∣∣ ≤ |Π2(jω)∆(jω)| , ∀ ω ≥ 0 (15.1.12)

Osservazioni. P0(jω) lo posso determinare sperimentalmente basta mettere una sinusoide in ingresso alsistema e prendere la sinusoide che esso fornira in uscita a regime: dal rapporto tra i loro moduli trovero ilmodulo dellaPo(jω), dallo sfasamento esistente determinero invece la fase diPo(jω).

Devo scegliere unaΠ2(s) funzione il cui modulo maggiori sempre l’andamento. Non importa che sia moltogrande perche se cosı fosse otterrei al famigliaP∆ troppo grande.Si sceglie solitamente unΠ2(s) tale percui il suo modulo sia molto vicino al limite richiesto.

Nel nostro caso:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1

(jω)2e−jωT

1

(jω)2

− 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣ejωT − 1

∣∣∣∣ ≤ |Π2(jω)| , ∀ T ∈ [0, 0.1] ; ∀ ω ≥ 0 (15.1.13)

scrivo quindi l’esponenziale come un numero complesso:

|cos(ωT ) − j sin(ωT )− 1| ≤ |Π2(jω)| (15.1.14)

eleviamo tutto al quadrato per semplificare i conti:

|cos(ωT ) − j sin(ωT )− 1|2 ≤ |Π2(jω)|2 (15.1.15)

calcolo quindi il quadrato del modulo:

(1− cos(ωT ))2 + sin2(ωT ) = 1 + cos2(ωT )− 2 cos(ωT ) + sin2(ωT )

= 2 (1− cos(ωt))(15.1.16)

avendo precedentemente elevato al quadrato ora estraggo laradice:

√2 (1− cos(ωT )) ≤ |Π2(jω)| , ∀T [0, 0.1] , ∀ω ≥ 0 (15.1.17)

graficamente:

Si puo verificare che scegliendo una funzioneΠ2(s) =0.21s

0.1s + 1, la condizione e soddisfatta.


Massimo dell’inviluppo che posso avere, aldi sopra del quale deve stare|Π2(jω)|

ω

√2 (1− cos(ωT ))

All’aumentare diT , otterro una cosinusoidea parita diω, di frequenza via via crescente.Nel caso peggiore quandoT = 0.1

Figura 15.1.8: Inviluppo delle funzioni

La funzioneΠ2(s) parte da zero e puo crescere per opera dello zero, nel puntoω = 10 incontra il polo equindi diventa costante.

La funzione Π2(s) ha un andamento tipo filtro passa alto, poiche l’impianto nominale cattura benel’andamento a bassa frequenza. L’incertezza sara quindi concentrata in alta frequenza. Questo cipermette di modellare bene l’andamento del sistema in banda.

Noi abbiamo visto come determinare le FdTP (s) eΠ2(s), ma nella pratica essi sono tipicamente assegnati.Nella realta ci si limita soltanto a determinare il controlloreC(s).Ridisegnamo quindi lo schema di controllo.

y0+

-

P∆ C(s) P (s)

Π2(s)u

∆(s)v

+

+y

P∆

Figura 15.1.9

Dove:

P∆ =

P (s) [1 + Π2(s)∆(s)] , ‖∆(s) ‖∞ ≤ 1

nella pratica sono note entrambi come detto.

15.2 Teorema della stabilit a robusta.

Hp: SiaC(s) un controllore stabilizzante perP (S).

Allora C(s) lo deve stabilizzare∀ P (s) ∈ P∆ se e solo se‖Π2 ·W ‖∞ > 1. ConW (s) FdT ad anellochiuso riferita all’impianto nominale:

W (s) =C(s)P (s)

1 + C(s)P (s)

Progettando unaW (s) sull’impianto si puo garantire una robustezza della stabilita, ossia siamo sicuri chesiano stabili tutte le funzioni di trasferimento appartenenti alla famigliaP∆.

172 Capitolo 15

Dire cheC(s) e stabile equivale a dire che .

∀ ω ≥ 0 |Π2(jω)W (jω)| < 1 ⇒ |W (jω)| < 1

|Π2(jω)| (15.2.1)

ω

|Π2(jω)|

ω

M

1

(a) Andamento del modulo della funzione pesoΠ2.

ω

1

|Π2(jω)|

ω B3

1/M

1

1/√

2

Zona Proibita

(b) Zona dove e garantita la stabilita robusta

Figura 15.2.1: Zona del piano in cui il modulo della funzioneW (jω) soddisfa requisiti di stabilita robusta.

Se ho incertezza e sono interessato solo alla condizione di stabilita robusta, posso risolve questo problemaimponendo specifiche in termini di larghezza di banda e di ampiezza del picco di risonanza.

Nota. Se volessi trovare il controllore ottimamente robusto dovrei scrivereW (s) in funzione diC(s) e diQ(s) e trovare cosı le condizioni che esso deve soddisfare.

Dimostrazione (Implicazione sufficiente) Sianou ev i segnali nei punti indica nello schema 15.1.9, ossiaingresso e uscita al blocco ∆(s).

u∆(s)

v

F (s)

Figura 15.2.2

Mi chiedo quindi quanto vale la funzione di trasferimentoF (s). Per determinarlaconsidero il seguente schema.

Nota. Si trascura il segnale in ingresso, perche la stabilita e una proprieta delle FdTede indipendente dai segnali presenti in ingresso o meno.

-C(s) P (s)

x

Π2(s)u v

+

+

(a)


F (s) = Π2(s)

(− C(s) · P (s)

1 + C(s) · P (s)= −Π2(s)W (s)

)(15.2.2)

passo quindi al seguente schema equivalente:

u∆(s)

v

−W (s)Π2(s)

(a)

− ∆(s)

W (s)Π2(s)

(b)

Figura 15.2.3: Schema equivalente per la determinazione diF (s).

Devo quindi verificare le condizioni per la stabilita interna del sistema.

1. Non ci devono essere cancellazioni tra poli e zeri a parte reale≥ 0 ma:

• W (s) e la funzione di trasferimento del sistema stabilizzato daC(s).• W (s) ha poli a parte reale< 0.• Π2(s) ha poli a perte reale< 0.• ∆(s) e anche essa per definizione una funzione razionale fratta con poli e zeri a parte reale< 0.

Ne consegue che nelle tre funzioni non esistono poli a parte reale≤ 0, non possono esservi quindi dellacancellazionipolo-zeroinstabili. Posso quindi passare ad uno schema equivalente aretroazione unitaria:Studio quindi la stabilita del sistema di questo tipo utilizzando il criterio di Nyquist. Il suo diagramma non

+

-Π2(s) ·W (s) ·∆(s)

Figura 15.2.4: Schema equivalente in retroazione unitariaper il problema della stabilita robusta.

deve avvolgere il punto -1.

Sappiamo per le ipotesi che:∀ω ≥ 0|Π2(jω)W (jω)| ≤ 1

Inoltre:|∆(jω)Π2 (jω)W (jω)| ≤ |Π2 (jω) W (jω)| ≤ 1.

1. Tutti gli andamenti stanno all’interno di una circonferenza di raggio unitario.2. Inoltre per il teorema di Nyquist, poiche i diagrammi non attraversano il punto -1 , il sistema in

retroazione unitaria e stabile.

C(s) stabilizza l’impianto nominaleP (s).

174 Capitolo 15

ℑ∆(jω) ≡ y

ℜ∆(jω) ≡ xω = +∞×

-1

∆(jω)

Per ∆(jω) 6= 0 all’↑ di∆(jω)

Per∆(jω) 6= 0 gli anda-menti devono stare a destradel punto -1

Figura 15.2.5: Diagramma di Nyquist

Nota. Abbiamo dimostrato l’implicazione sufficiente, per dimostrare l’implicazione necessaria. Si procedequindi per assurdo: si parte dell’hp che‖Π2W‖ = 1. Si arriva quindi a dimostrare che che i diagrammi diNyquist passano per il punto -1. Ma cosı facendo il sistema non sarebbe stabile ....FALSO!, cio significache l’ipotesi di partenzae sbagliata.

15.2.1 Applicazione: Problema del pendolo inverso

Ricordiamo che la FdT era del tipo:

∆u

1

1− Lg s

2 ∆x

Figura 15.2.6: Modello del pendoloinverso

Quello descritto in figura 15.2.6, e un modello matematico no-minale approssimato per descrivere il sistema reale. Dobbiamorisolvere il problema della stabilita non solo questa FdT per tuttala famiglia delle FdT del pendolo.Consideriamo quindi il sistema in figura 15.2.7, dove:

1. Yo rappresenta la posizione iniziale.2. C(s) la nostra mano.3. Y Il punto di osservazione verso l’alto, sulla quale si spostala mano in feedback.4. Π2(s), in generale sara sempre un filtro passa alto stimabile sperimentalmente.

Y0+

-C(s) P (s)

Π2(s) ∆(s)+

+ Y

P∆

Figura 15.2.7


percheC(s) stabilizzi tutte le FdT∈ P∆ devo costruire unaW (s) opportuna , tale che:

‖Π2 W ‖∞ < 1

Per la proprieta dellaH∞ ottengo:

‖Π2 W ‖∞ ≥ |Π2(s)W (s)| ∀ s : ℜ [s] ≥ 0

Ossia la normaH∞, prende il massimo sull’asse immaginario della FdT.Sapendo inoltre che i poli dell’impianto sono localizzati in s = ±

√g/L, si osserva come l’impianto sia

instabile poiche presenta un polo a parte reale maggiore dizero:s = +√g/L.

Quanto vale laW (s) in un polo a destra?W (s) in polo a destra vale sempre 1:

W(√

g/L)

= 1

da cui : ∣∣∣Π2

(√g/L

)∣∣∣ ≤ ‖Π2W ‖∞ < 1 (15.2.3)

Perche il sistema sia stabile nella pratica deve valere:∣∣∣Π2

(√g/L

)∣∣∣ < 1 (15.2.4)

La condizione (15.2.4) e piu facile da soddisfare a bassa frequenza ( tenendo conto dell’andamento passaalto di |Π2(jω)|). Poiche sug ,accelerazione di gravita, non posso agire, l’unico parametro su cui posso

|Π2(jω)|

ω

×

×√g/L

Figura 15.2.8: Modulo della funzioneΠ2.

intervenire eL. Per spostare la√g/L in bassa frequenza dobbiamo quindi avere a che fare con aste di

lunghezzaL elevate.

Osservazioni. Questo spiega per quale motivoe semplice controllare il posizionamento verticale in equili-brio di un bastone lungo, piu tosto che di una penna.


16.1 Stabilit a Robusta

Ridisegniamo lo schema di controllo in cui al posto dell’impianto singoloP (s) si ha una famigliaP∆.

Yo+

-E

C(s) P (s)

Π2(s) ∆(s)+

+ Y

P∆

Figura 16.1.1: Schema di controllo

dove:P∆ =

P (s) = P (s) [1 + Π2(s)∆(s)] , ‖∆ ‖∞ ≤ 1

(16.1.1)

Con:

• P (s) impianto nominale: quello che abbiamo quando non esiste incertezza.• Π2(s) funzione razionale fratta con tutti i poli a parte reale minore di zero. In generare e un filtro passa

alto: l’incertezza e crescente in frequenza.

Ricorda. Problema della stabilita robusta: Sotto le ipotesi cheC(s) stabilizza internamen-te l’impianto nominale,C(s) stabilizza internamente ogni impiantoP ∈ P∆ se e solo se‖Π2W ‖∞ < 1.

W (s) =C(s)P (s)

1 + P (s)C(s)

Poiche il sistema vero∈ P∆, alloraC(s) stabilizza anche quello.

Supponiamo di avere un problema di inseguimento e di considerare un segnale erroreE. La FdT e:

1

1 + C(s)P (s) [1 + Π2(s)∆(s)](16.1.2)

178 Capitolo 16

Yo

1

1 + C(s)P (s) [1 + Π2(s)∆(s)]E = Yo − Y

Se∆(s) = 0, la FdT si riduce:1

1 + C(s)P (s)= S(s) (16.1.3)

La funzione 16.1.2 non e altro che la funzione di sensitivita dipendente da∆ (s), che indicheremo comeS∆(s). Ipotizziamo quindi cheYo sia del tipoA cos (ωt), allora pert → ∞ applicando il teorema della

Yo S∆(s) E = Yo − Y

risposta in frequenza avremo:

e (t) → A |S∆(jω)|︸︷︷︸♣

cos (ωt + arg [S∆(s)]) (16.1.4)

♣ Si puo chiedere che questo errore sia< di una qualche quantita costante o di un qualcosa che dipendedalla frequenza.

A |S∆(jω)| ≤ ǫ ∀ ω ≥ 0 ⇒ A

ǫ|S∆(jω)| ≤ 1

Nell’ipotesi in cuiA ∈ [0, 1], la condizione deve essere vera∀ω ≥ 0 e∀A ∈ [1, 0].

1

ǫ|S∆(jω)| ≤ 1, ω ≥ 0 (16.1.5)

definendo quindiΠ1(s) =1

ǫ, si puo interpretare questa condizione equivalentementecome:

‖Π1 · S∆(s) ‖∞ ≤ 1 (16.1.6)

L’espressione (16.1.6) rappresenta il modo standard per descrivere le prestazioni del sistema.

Per risolvere il problema delle prestazioni si richiede che, una volta assegnatoΠ1(s), risulti:

‖Π1 · S∆(s) ‖∞ ≤ 1

Ma Π1(s) come abbiamo visto e generalmente un filtro passa basso. . . perche ci interessava avere insegui-mento buono per segnali in banda.. . . questa condizione puo essere generalizzata nel parlare del problema delle prestazioni robuste.

16.1.1 Problema delle prestazioni Robuste

Per il problema delle prestazioni robuste deve essere soddisfatta la condizione:

‖Π1 · S∆(s) ‖∞ ≤ 1, ∀∆ : ‖∆ ‖∞ ≤ 1 (16.1.7)

dove:

S∆ps,=1

1 + C(s)P (s) [1 + Π2(s)∆(s)](16.1.8)

Garantire la stabilita e le prestazioni per tutta la famiglia, ci assicura che esse siano garantite anche per ilsistema reale. Ovviamente le due condizioni devono essere soddisfatte contemporaneamente. . ., ma esistesempre una soluzione a questo problema?


16.2 Problema delle Prestazioni Robuste (PPR) + Stabilit a Robusta(PSR)

I problemi diPPRePSRhanno soluzione se e solo se:

|Π1(jω)S(jω)| + |Π2(jω)W (jω)| < 1, ∀ ω ≥ 0. (16.2.1)

questo problema si puo risolvere lavorando solo sull’impianto nominale, ovviamente purcheΠ1(s) eΠ2(s)siano assegnati. In particolare bisognera determinare uncontrolloreC(s) tale per cui le corrispondentiS(s)eW (s) soddisfino questa condizione.

Dimostrazione: Hp di base: C(s) controllore stabilizzante.

ProblemaPSR

dato dalla condizione|Π2(jω)W (jω)| < 1, ∀ω ≥ 0

ProblemaPPR si puo scivere come

∣∣∣∣Π1(jω)

1 + C(jω)P (jω) [1 + Π2(jω)∆(jω)]

∣∣∣∣ ≤ 1 ∀ω ≥ 0 ∀∆ : ‖∆ ‖∞ ≤ 1

ProblemaPSR+PPR

La condizione per cui e soddisfatto e la seguente:∣∣∣∣

1

1 + C(jω)P (jω)Π1(jω)

∣∣∣∣ + |Π2(jω)W (jω)| ≤ 1

∀ω ≥ 0

equivalentemente possiamo scrivere:

|Π1(jω)S(jω)| + |Π2(jω)W (jω)| < 1

supponendo di ripetere questo ragionamento per∀ω, consideriamo unω fissato, si puo scrivere in modo piucompatto tralasciando la dipendenza dajω.

|Π1 S|︸︷︷︸a

+ |Π2W |︸︷︷︸b

< 1 (16.2.2)

dobbiamo quindi dimostrare che:

|Π2 W | < 1 (PSR)A∣∣∣∣Π1

1 + CP [1 + Π2∆]

∣∣∣∣ < 1 ∀∆ : |∆| ≤ 1 (PPR)B(16.2.3)

Essendoa e b due numeri maggiori di 0. La condizione (16.2.2) e vera se:

|Π2W | < 1 → Questa condizione dimostra la condizioneA|Π1 S| < 1− |Π2W | → Bisogna dimostrare che questa implica la condizioneB

(16.2.4)

180 Capitolo 16

La condizioneB si puo scrivere come:

1

1 + C P [1 + Π2 ∆]=

1

1 + C P + C P Π2 ∆=

=1

(1 + C P )︸︷︷︸S

1(1 +

(C P

1 + C P

))Π2 ∆

︸︷︷︸W

(16.2.5)

Allora la condizioneB puo essere riscritta come:∣∣∣∣

Π1

1 + C P [1 + Π2 ∆]

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣Π1 ·S

1 + W Π2 ∆

∣∣∣∣ < 1 (16.2.6)

|Π1 S| < |1 + W Π2 ∆| ∀∆ : |∆| ≤ 1

Come detto la condizione deve essere verificata∀∆ ( sia quando∆ = 0, ∆ = −1, ∆ = 1 etc. . .). Essendoil modulo di una somma,minore ugualedella somma dei moduli emaggiore ugualealla differenza deimoduli:

1− |W Π2 ∆| ≤ |1 + W Π2 ∆| ≤ 1 + |W Π2 ∆|

1− |W Π2|≤1︷︸︸︷|∆| ≤ |1 + W Π2 ∆| ≤ 1 + |W Π2|

≤1︷︸︸︷|∆|

1− |W Π2|︸︷︷︸♯

≤ |1 + W Π2 ∆| ≤ 1 + |W Π2|(16.2.7)

Poiche♯ e> |Π1 S| e poiche questo e il valore minimo che|1−W Π2 ∆| puo assumere, allora siamo sicuriche:

|1−W Π2 ∆| > |Π1 S| , ∀ ∆ (16.2.8)

Ritorniamo quindi al problema delle prestazioni robuste + stabilita robusta per il progetto diC(s) e lavo-riamo sulla base del solo impianto nominaleP (s) come supposto. Quindi assegnatiΠ1(s) e Π2(s) devodeterminare il controlloreC(s) tale che:

1. C(s) stabilizzi internamenteP (s).2. |Π1(jω)S(jω)| + |Π2(jω)W (jω)| < 1 ∀ ω , con:

W (s) =C(s)P (s)

1 + C(s)P (s)=

L(s)

1 + L(s)

S(s) =1

1 + C(s)P (s)=

1

1 + L(s)

+

-C(s) P (s)

L(s) = C(s)P (s)


Osserva: W eS dipendono dal guadagno ad anello, posso nuovamente riscrivere la condizione come:

∣∣∣∣Π11

1 + L

∣∣∣∣+∣∣∣∣Π2

L

1 + L

∣∣∣∣ < 1 (16.2.9)

L’idea e quella di non trovareC(s) bensıL(s) e da esso ricavare per inversione la FdTC(s), che soddisfala condizione.

Questo modo di procedere e detto ’Loop Shaping‘, poiche si deve dare una particolare forma alguadagno ad anello. Sostanzialmente il modulo del guadagnoad anello dovra avere un certo

profilo, andamento, che dipende daΠ1(s) eΠ2(s).

Si lavora sulla funzione di trasferimento ad anello apertoL(s) come nella sintesi per tentativi. Diversamentenella sintesi diretta si lavorava sulla FdT ad anello chiusoW (s).

Nota. Vedremo che in generale questo problema non sempre ha soluzione, perche Π1(s) eΠ2(s) sono duefiltri , l’uno passa basso e l’altro passa alto.Esiste una soluzione solo se non si ha cross-over tra le due bande.

riscriviamo la condizione:|Π1S|+ |Π2W | < 1

Ricorda. Tra S eW esiste una relazione:S + W = 1 ∀ ω

Supponiamo quindi che ad una certa pulsazione, (tipicamente a bassa frequenza )|Π1| > |Π2|. sfruttando

|Π1(jω)|,|Π2(jω)|

ω

Figura 16.2.1: Modulo della funzioneΠ2(jω) eΠ1(jω).

la relazione scritta:|Π1S| + |Π2 (1− S)| < 1 (16.2.10)

|Π1| |S|+ |Π2| |1− S| < 1

Se sostituisco aΠ1, Π2 allora questa quantita diventa ancora piu piccola:A maggior ragione la condizione e soddisfatta.

|Π2| |S|+ |Π2| |1− S| < 1

|Π2| (|S|+ |1− S|) < 1 (16.2.11)

182 Capitolo 16

Essendo la somma dei moduli maggiore del modulo della somma posso semplificare l’espressione nelseguente modo:

|Π2| ≤ |Π2| (|S|+ |1− S|) < 1

|Π2| |S + 1− S| = |Π2|Sicuramente|Π2| < 1 e il ragionamento analogo puo essere applicato se assumiamo |Π1| < |Π2|.

Definizione 16.2.1.Condizione necessaria per avere soluzione e che il piu piccolo traΠ1 eΠ2 sia< 1.

min |Π1| , |Π2| < 1 (16.2.12)

La 16.2.12, e la condizione necessaria per la scelta dei pesi, se tale condizione non e soddisfatta vuol dire:

1. L’errore e troppo piccolo (Π1 = 1/ǫ e grande).2. C’e troppa incertezza (Π2 e grande).

|Π1(jω)|,|Π2(jω)|

ω

1

Zona 1 Zona 2 Zona 3

× ×

Figura 16.2.2: Tecnica del Loop Shaping

Hp: Ipotizzo inoltre che tale condizione sia soddisfatta. . . quale e la condizione sufficiente?

∣∣∣∣Π11

1 + L

∣∣∣∣+∣∣∣∣Π2

L

1 + L

∣∣∣∣ < 1 (16.2.13)

|Π1(jω)| + |Π2(jω)| |L(jω)| < |1 + L(jω)| ∀ω ≥ 0 (16.2.14)

L(jω) deve essere progettata in modo da soddisfare tale condizione . . . per fare cio si suddivide il problemain tre zone come mostrato in figura 16.2.2.

zona 1 La prima zona e caratterizzata dal fatto che|Π1(jω)| ≫ |Π2(jω)|:•

|Π1(jω)| + |Π2(jω)||L(jω)| < |1 + L(jω)| ∀ω ≥ 0 (16.2.15)

Il contributo |Π2| |L| si puo trascurare.•

|Π1| < |1 + L|SeΠ1 e grande allora, perche|1 + L| sia maggiore diΠ1, L deve essere grande. Il termine 1 si puotrascurare rispetto ad esso.


• L deve stare praticamente al di sopra di un certo valore.

|Π1| < |L|

zona 3 La terza zona e caratterizzata dal fatto che|Π2(jω)| ≫ |Π1(jω)|:• Il contributo |Π1| |L| si puo trascurare.• SeΠ2 e grande, allora, perche|1 + L| sia maggiore,L deve essere grande. Il termine 1 si puo trascurare

rispetto ad esso.|Π2| |L| < |1 + L|

Per fare si che il prodotto|Π2| · |L| sia piccolo, essendo il valore diΠ2 grande, si deve fare in modo cheL sia di valore sufficientemente piccolo da compensarlo.• L deve stare praticamente al di sotto di un certo valore.

zona 2 Si devono raccordare le due soluzioni. Devo fare in modo da raccordare il punto di intersezione tragli andamenti di|Π1| e |Π2|. Tale punto di intersezione e la pulsazione di attraversamento,ωa, in corri-spondenza della quale si valuta il margine di fase, che deve essere sufficientemente grande da garantire lastabilita.Dal th. di Bode sappiamo che il margine di fase dipende dalla pendenza dell’andamento del modulo. Talependenza e definita come il rapporto tra una quota, su cui nonpossiamo intervenire date le specifichedel sistema e da una distanza sulla quale posso intervenire per ottenere una pendenza non elevata.Perquanto detto in precedenza le bande passanti dei due andamento passa alto e passa basso devono esseresufficientemente separate, tipicamente la separazione tre le due pulsazioni di transizione e di almeno unadecade l’una dall’altra (questo permette di ottenere una zona dello spettro dove l’andamento del moduloe piatto).

17Lezione del 28 Novembre

17.1 Problema delle prestazioni robuste + stabilit a robusta

Riprendiamo il problema delle prestazioni robuste + stabilita robusta:

Yo+

-C(s) P (s)

Π2(s) ∆(s)+

+ Y

P∆

Figura 17.1.1: Schema del sistema di controllo

Il problema delle prestazioni robuste + stabilita robustarichiede che:

1. Per la stabilita robustaC(s) stabilizzi internamente l’impianto nominaleP (s) ed ogni impiantoP (s)

P (s) = P (s) [1 + Π2(s)∆(s)] , ‖∆ ‖∞ ≤ 1

2. Per le prestazioni robuste la condizione e che∀ impiantoP (s) = P (s) [1 + Π2(s)∆(s)] con‖∆ ‖∞ ≤ 1si ha: ∥∥∥∥∥Π1

1

1 + C(s)P (s)

∥∥∥∥∥ < 1 (17.1.1)

questo garantisce per esempio che l’errore di inseguimentoad un segnale sinusoidale sia≤ 1

Π1(s)

Nota. Nei problemi che noi trattiamoΠ1 (filtro passa basso) eΠ2 (filtro passa alto) sono assegnati.

Perche questo problema sia risolvibile esiste una condizione necessaria sufficiente:

|Π1(jω)S(jω)| + |Π2(jω)W (jω)| ≤ 1, ∀ ω ≥ 0 (17.1.2)

DoveS(jω) e la funzione di sensitivita riferita all’impianto nominale: S (s) =1

1 + C (s) P (s), mentre

W (s) e la funzione di trasferimento ad anello chiuso riferita all’impianto nominale:W (s) =C (s) P (s)

1 + C (s) P (s).

186 Capitolo 17

Nota. esiste anche una condizione necessaria per la precedente condizione, che limita la scelta dei pesi:

min |Π1(jω)| , |Π2(jω)| < 1, ∀ ω ≥ 0

Andamento ‘minimo’

|Π1(jω)|,|Π2(jω)|

ω

1

Figura 17.1.2

Il progetto del controlloreC(s), va sotto il nome di tecnica del ‘Loop Shaping’.

|Π1(jω)|,|Π2(jω)|

ω

1


× ×

Figura 17.1.3: Tecnica del Loop Shaping

Individuate queste tre zone si cerca una condizione che soddisfa la (17.1.2) nelle zoneI eIII e poi si raccordale soluzioni nellaII .

Osservazioni. SiaS (s) cheW (s) dipendo dal prodottoC (s) · P (s), ossia dal guadagno ad anelloL(s). Le condizioni da soddisfare sono quindi:

1. C(s) deve stabilizzare internamenteP (s),2.

|Π1(jω)| + |Π2(jω)| |L(jω)| < |1 + L(jω)| , ∀ ω ≥ 0

Hp semplificativa:P (s) e una funzione a minima rotazione di fase, ovvero ha tutti i poli e gli zeri a parte reale maggioredi 0.Questa ipotesi mi consente di riscrivere le condizioni soloin funzione diL(s) e da esse ricavareC(s)dividendo per laP (s), con la sicurezza di non avere cancellazioni polo-zero a parte reale maggioredi 0. Per soddisfare la condizione 1. si determinaL(s) in modo che il sistema di controllo sia stabileinternamente.

3. Si ottiene il controllore con la formula di inversione:

C(s) =L(s)

P (s)

Lezione del 28 Novembre 187

Analizziamo adesso la condizioneII nelle varie zone:

Zona I. |Π1(jω)| ≫ 1 e |Π2(jω)| ≪ 1

♠︷︸︸︷|Π1 (jω)| + |Π2 (jω)| |L (jω)| < |1 + L (jω)| (17.1.3)

♠ e una retta passante perΠ1, avente pendenzaΠ2 e simmetrica rispetto all’assey. EssendoΠ2 ≪ 1,in questa zona la retta cresce molto lentamente.Posso disegnale l’andamento di questa funzione rispetto adL.

××

L

|Π1|

L− L+

La disequazione e soddisfatta all’interno del-le due zone, ossia la dove la curva verde stasotto quella gialla.

Figura 17.1.4: Andamento del modulo della funzioneΠ1 (jω) in relazione allaL (jω).

Quanto valgonoL+ eL−?L+ e tale che:

|Π1| + |Π2|L+ = 1 + L+

|Π1| − 1 = (1 − |Π2|)L+

L+ =|Π1| − 1

1− |Π2|

(17.1.4)

L− e tale che:|Π1| + |Π2|L− = −1− L−

|Π1| + 1 = − (1 − |Π2|)L−

L− = −|Π1|+ 1

1− |Π2|

(17.1.5)

Nella zonaI |Π1 (jω)| ≫ 1. Le due espressioni possono essere approssimate , per cui nella zonaI lacondizione e soddisfatta se:

|L(jω)| > |Π1(jω)|1− |Π2(jω)| , ∀ω ∈ [0, ω1] (17.1.6)

EssendoΠ1 eΠ2 funzioni note, anche l’andamento di tale curva puo essere considerato noto. All’aumentare

di ω , la funzioneΠ1 diminuisce e poiche1−Π2 rappresenta una costante, ancheΠ1

1−Π2diminuisce.

zona III Adesso|Π1(jω)| ≪ 1 e |Π2(jω)| ≫ 1. Si ragiona come nella prima zona.

|Π1| + |Π2| |L| < |1 + L| (17.1.7)

L+ e tale che:|Π1| + |Π2|L+ = 1 + L+

L+ =1− |Π1||Π2| − 1

(17.1.8)

188 Capitolo 17

ω

Zona Proi-bita

1

ω1

|Π1(jω)|

Curva nota con andamento|Π2| < 1. Allo-ra1−Π2 e una quantita< 1. Da cui essendo

una quantita< 1, la funzioneΠ1

1 − Π2

e una

curva che sta sopraΠ1.

×

La condizione vista ci dice cheL deve stareal di sopra di tale curva

Figura 17.1.5: Condizione diL (jω) nella zona I

1

2

-1

×

×

L|Π1|

L− L+−1

Zona in cui la disequazione e soddisfatta equella in cui la curva verde sta sotto quellagialla.

Figura 17.1.6

L− e tale che:|Π1| − |Π2|L− = 1 + L−

L− = −1− |Π1|1 + |Π2|

(17.1.9)

poiche nella zonaIII |Π2| ≫ 1 nelle espressioni si puo trascurare il± 1 a denominatore. La condizionediviene la stessa, per cui puo essere cosı riscritta:

Nella zonaIII |L(jω)| deve essere minore di1− |Π1(jω)||Π2(jω)| ∀ω ∈ [ω2,∞] graficamente:

Nota. (1−Π1) in figure 17.1.7 puo trovarsi solo sopra o sotto la curva relativa aΠ2 poiche dipendedallo specifico andamento diΠ1.

Ora dobbiamo raccordare le due soluzioni della zona centrale . . . o meglio dobbiamo scegliere una formadi L(jω) che abbia il profilo indicato nelle due zoneI e III . Bisogna pero fare attenzione al punto in cuiL(jω) passa per 1, poiche rappresenta la pulsazione di attraversamento, in corrispondenza della quale sideve regolare la pendenza della retta. Tale pendenza dovraessere minore di -40 dB/dec. Nel caso in cuitale condizione non fosse verificata avremmo alla pulsazione di attraversamento una fase minore di 180,in senso negativo e quindi instabilita del sistema.Non solo il controllore deve essere fisicamente realizzabile:

C(s) =1

P (s)· L(s)

E(C) = E

(1

P

)+ E (L) = −E (P ) +E (L)


|Π1(jω)|

ωω2

1 ×Zona Proibita

In ω = ω2, Π2 = 1. La curva parte da1 − Π1. Poi all’aumentare diω poicheΠ2

aumenta, la curva decresce.

Figura 17.1.7: Condizione imposta suL (jω) nella zonaIII

L’eccesso deve essere≥ 0 affinche il controllore sia fisicamente realizzabile:

E(L) ≥ E(P )

riassumendo i vari passi della tecnica ‘Loop Shaping’:I dati che abbiamo sono le funzioni di pesoΠ1 eΠ2 e l’eccesso poli-zero dell’impiantoE(P ).Passo 1:

Plottare le curve|Π1(jω)|

1− |Π2(jω)| e1− |Π1(jω)||Π2(jω)| , che saranno rispettivamente le curve

A eB.Passo 2:Plottare un’altra curvaL tale che:

|L (jω)|

|Π1(jω)|

|Π2(jω)|

ω

1


ω1 ω2

bc

bc

A

B

Figura 17.1.8: Loop Shaping

• Nella zonaI stia sopra la curvaA.• Nella zonaIII stia sotto la curvaB e vada a zero con una certa velocita:

– SeE(L) = 1, la funzione va all’infinito con pendenza -20 dB/dec.– SeE(L) = 2, la funzione decresce con pendenza di -40 dB/dec

Ma poicheE(L) deve essere maggiore o uguale diE(P ), allora|L(jω)| deve andareall’infinito con una pendenza di almeno−20E(P ) dB/dec.• Nella zonaII la pendenza non superi -40 dB/dec.

Supponiamo di riuscire a trovare tale andamento del modulo:dal |L(jω)| devo trovareproprioL(s).

Passo 3:Trovare la FdTL(s) razionale fratta aminima rotazione di fase, che interpola la curvaL trovata

190 Capitolo 17

al Passo 2:

Ricorda. La condizione di minima rotazione di fase,e una delle ipotesidel teorema di Bode, che dall’andamento del modulo consentedi ottenerel’andamento della fase.

Solo

seL(s) e una funzione a minima rotazione di fase, abbiamo la certezza di riuscire atrovare una funzione di trasferimento.

Esempio17.1.1. Applicazione della tecnica diLoop Shaping:Hp: SiaP (s) a minima rotazione di fase.Dati:

• E(P ) = 1

• Π2(s) =1 + s

20(1 +

s

100

) , sono presenti due punti di rottura, uno zero in 1 ed un polo in100.

• Π1(s) e una funzione ideale del tipo:|Π1(jω)|

ω

M

Ricorda.1

Me l’errore di inseguimento ad un segnale sinusoidale aventepulsazione compresa tra

0 ed 1 ed ampiezza arbitraria.

Cerchiamo di capire anzi tutto come sono fatti i pesi della funzione:Passo 0:Verifico se il problema ha soluzione verificando se i minimo dei pesi e minore di 1. La funzioneminimo e sempre minore di0 in dB, cosı facendo la condizione che sia minore di 1 in scalalineare esoddisfatta.DallaΠ2 (s) ricavo il k nella forma di Bode e ne valuto la forma in dB.

k =1

20, kdB = −26dB

Trovo la pulsazione di attraversamento.

|Π2(jω)| = 0dB ,

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 + jω

20

(1 +

jω

100

)

∣∣∣∣∣∣∣∣= 1 → ω ∼= 20.39

Passo 1:plottiamo le due curve A e B:

A :|Π1(jω)|

1− |Π2(jω)| , conω ∈ [0, ω11]

B :1− |Π1(jω)||Π2(jω)| , conω ∈ [ω2,∞]


1020

1040

10-20

10-40

10-1 100 101 102 103

ω

dB

ZonaI ZonaII

Andamento del peso|Π1(jω)| dB

Andamento del peso|Π2(jω)|dB

MdB

−26dB

+16dB

Figura 17.1.9: Determinazione della funzioneL (s) attraverso la tecnica del Loop Shaping.

Doveω1 e la pulsazione per cui|Π1(jω)| = 1 in scale lineare , ossia 0 dB in scala logaritmica. Mentreω2 ela pulsazione per cui|Π2(jω)| = 1 in scala lineare, che risulta essere circa20 rad/s.

Nota. Tre le due pulsazioniω1 eω2 esiste piu di una decade, suppongo quindi che il problema della stabilitarobusta e delle prestazioni robuste sia risolvibile.

Prima di andare a tracciare le curveA e B, assumiamo che laL(s) abbia una forma specifica. Sceglieremoquindi la forma diL(s) piu semplice possibile, in accordo con le specifiche eccesso.

E(L) ≥ E(P )︸︷︷︸=1

⇒ E(L) ≥ 1

da cui:

L(s) =k

1 + sτ

ho quindi posizionato il polo ins = −1

τ: poicheL(s) deve essere a minima rotazione di fase pongo inoltre

τ > 0. Il segno dik viene scelto in modo che il sistema sia stabile.

+

-L(s)

W (s) =L(s)

1 + L(s)=

k

1 + sτ + k

Radici del denominatore:

1 + sτ + k = 0 s = −1 + k

τ< 0, k > −1

192 Capitolo 17

51015202530354045

-5 10-1 100 101 102 103 104

ω

dB

∣∣∣L′

(jω)∣∣∣

|L(jω)|

−20 dBdec

−20 dBdec

−40 dBdec

Figura 17.1.10

Il problema diventa adesso parametrico: si tratta di scegliere τ e k opportuni, ossia che abbiano i segniindicati e tali da far si cheL(s) stia sopra la curvaA e sotto la curvaB.

Quale e l’andamento diL(s) per generici valori dik e τ , aventi segni indicati?variandok e τ si puo traslare verso l’alto o il basso verso destra o verso sinistra rispettivamente la curva.Come si puo inserire questo andamento all’interno della curva precedente?L’andamento all’infinito e vincolato :L(s) scende con -20 dB/dec e deve stare sotto la curvaB che decrescecon tale pendenza. Si assume quindi cheL(jω) sia tangente alla curvaB.Devo a questo punto scegliere un valore dik tale per cui|L(jω)| stia sopra la curvaA e abbia punto dirottura 1

τin 1 (vedi andamento− in figura 17.1.10). Scrivo quindiL(s).

• Il punto di rottura1

τ= 1 da cuiτ = 1.

• k tale per cui|L(jω)| = 0 in ω = 20

|L(jω)|ω=20 = 1

|L(jω)| =k

|1 + j20| =k√

1 + 202= 1

k =√

1 + 202 ∼= 20.025 → 20

L(s) =20

1 + s(17.1.10)


Questa espressione diL(s) che valori diM mi permette di ottenere?

A :|Π1(jω)|

1− |Π2(jω)|

∣∣∣∣ω=1

=M

1− |Π2(jω)| =M

1−

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 + j

20

(1 +

j

100

)

∣∣∣∣∣∣∣∣

= |L(jω)|ω=1

→ M

1−√

1 + 1

20

√1 +

1

100

=20√1 + 1

→ M

1−√

2

20

√101

100

=20√

2→ M

1−√

2

20

=20√

2

M = 13.14

Si ricava quindi cheM ∼= 13.14, errore di inseguimento ad un segnale sinusoidale di altezza arbitraria ebanda unitaria risulta essere pari a1/M circa7%.Domanda: Si puo migliorare il valore di questo errore di misura, ad esempio, riducendolo all’1%?

Per fare questo devo capire come agire sulla forma dellaL(s). Poiche non posso modificare il comporta-mento diL (s) dopo la pulsazione di attraversamento poiche questo mi assicura:

• |L(jω)| vada all’infinito con velocita richiesta di (- 20 dB/dec).• La pendenza alla pulsazione di attraversamento stessa sia di -20 dB/dec, che ci assicura un buon anda-

mento della fase in termini di stabilita robusta.

Posso pero lavorare nella decade1 ≤ ω ≤ 10:Per aumentare il valore diM potrei cercare di ottenere l’andamento (−), e possibile aumentare il valoredi k, inserendo un polo inω = 1 che permetta una decrescita piu rapida del|L(jω)|. Ma in questo modonon e piu soddisfatto il teorema di Bode, che mi impone che la pendenza della curva alla pulsazione diattraversamento sia di -20 dB/dec, mentre in questo caso sarebbe di -40 dB/dec.Posso rimediare a cio inserendo uno zero in corrispondenzadella pulsazioneω = 10.

L′

(s) =20

1 + s︸︷︷︸L(s)

·10(1 +

s

10

)

(1 + s)=

200(1 +

s

10

)

(1 + s)2

Nota. Alla rete ritardatrice si assegna un guadagno pari a 10perche come detto si deve aumentare il valoredi k ma si deve comunque garantire l’attraversamento inωa

∼= 20

M

1−√

2

20

=200

√1 +

1

100∣∣∣(1 + j)2∣∣∣→ M ∼= 92.93

Si osserva che con il nuovo valore diM , l’errore di inseguimento ad ogni segnale sinusoidale nella bandaω ∈ [0, 1] e circa pari all’1%.

194 Capitolo 17

Nota. SeP (s) non fosse stata a minima rotazione di fase, ad esempio avesseavuto uno zero a destra, allora,perche non si verifichino cancellazioni nellaC(s), tale zero a destra doveva avercelo ancheL(s). In talecaso non era piu possibile applicare il teorema di Bode allaL(s), quindi none piu possibile garantire lastabilita del sistema studiano unicamente l’andamento del modulo della funzione di trasferimento ad anelloaperto.


18.1 Sistemi a Dati Campionati

Abbiamo visto finora sistemi del tipo:

yo (t)+ e (t)

C(s)u(t)

P (s) y (t)

Figura 18.1.1

dove attraverso un segnale di errore viene dato il comandoU (s) all’impianto, mentreC(s) e il controlloresviluppato per un segnale tempo continuo.

Diversamente per i sistemi a dati campionati, il controlloreCd e realizzato attraverso segnale tempo conti-nuo, in ingresso e uscita ma che internamente vengono campionato e poi ricostruito in uscita.EssendoP (s) un sistema reale tempo continuo, il controllore puo esserecosı realizzato:Analizziamo i blocchi che compongono il mio controlloreC (s):

yo (t) +

-

e (t)ADC

ekCd

uk

DAC

TMP

u (t)P (s)

y (t)

C (s)

Figura 18.1.2: Diagramma a Blocchi di un sistema a dati campionati

ADC Rappresenta il convertitore analogico-digitale, detto anchecampionatore.Cd E il controllore tempo discreto.DAC Rappresenta il convertitore digitale analogico.TMP E il temporizzatore.

196 Capitolo 18

Campionatore Il campionatore ha il compito di trasformare il segnale analogicoe (t), ossia tempo conti-nuo, in un segnale tempo discreto.

bc

bc

bc

bc

bc

e (t)

T 2T 3T k Tt

Il segnale in uscita dal ADC,ek = e (kT ) conT tempo di campionamento ek = 1, 2, . . ., e una sequenzadi campioni che viene poi elaborata da con controllore tempodiscretoCd , detto ‘controllore digitale’. Talecontrollore prende sequenze di campioni in ingresso e restituisce in uscita un’altra sequenza di campioniuk.Tale sequenzauk rappresenta il segnale elaborato, tempo discreto, non ancora pronto per entrare in ingressoall’impiantoP (s) che e tempo continuo.Dalla sequenza di campioni si deve ricostruire in segnale tempo continuo.

18.1.1 Problema di interpolazioni

Il problema di interpolazione consiste nella ricostruzione di una curva passante per i campioni. Tale compitoe svolto dal blocco di conversione digitale analogico detto ‘mantenitore’.

bc

bc

bc

bc

bcu1 u2

u3u0uk

e (t)

T 2T 3T k Tt

Nota. Il pi u semplice mantenitoree quello di ordine zero per cui:

u (t) = uk ∀ t ∈ [kT, (k + 1)T )

da cui il termine mantenitore.

bc

bc

bc

bcbc

u1

u2

u3u0

uk

uk

T 2T k Tt

Proprieta: Il mantenitore del primo ordine ricostruisce fedelmente unsegnale costante, mantienelo stesso campione per tutto il tempo di campionamento.1 Esistono comunque mantenitori di ordine su-periore: Es. il mantenitore del primo ordine ha un andamentoa rampa lineare, per tutto l’intervallo dicampionamento, mentre il campionatore del secondo ordine ha un andamento a rampa parabolica.

Osservazioni. Lo schema in figura 18.1.2, rappresenta un controllore analogico realizzato in maniera di-gitale, dove le operazioni effettuate dai singoli blocchi sono coordinate attraverso un temporizzatore. Devoquindi chiedermi come dimensionare (scegliere) i blocchi che costituiscono tale sistema.

1Il mantenitore di ordine zero ricostruisce fedelmente un uneventuale segnale costante.


18.1.2 Problema del Controllore

Quella appena descritta e una implementazione digitale diun controllore tempo continuo.

1. Tipicamente i convertitori sono scelti di ordine zero. Siconcentra l’attenzione sulla scelta del periodo dicampionamento.

2. Il controllore digitale invece come si puo rappresentare?uk e il valore diy all’istantekT , devo trovare quindi un modo per esprimerlo:uk dipende dai valori precedenti dell’uscita, dall’ingressoallo stesso istante e da quello agli istantiprecedentie dal particolare istante in cui lo considero:

uk = Φ (uk−1, uk−2, · · · ek , ek−1 , · · ·) ; conk = 1, 2, 3, . . . (18.1.1)

La (18.1.1) e una formula generale, a noi interessa una forma semplificata ( implementazione del con-trollore analogicoC (s), rappresentazione matematica del nostro controllore digitale nella sua formagenerale):

Forma Semplificata Il controllore infatti e lineare,uk e una combinazione lineare, e stazionario, nondipende dal tempo ne dai valori dik, perche descritto da una funzione di trasferimento.

uk = −a1 uk−1 − a2 uk−2 − . . . + b0 ek + b1 ek−1 + b2 ek−2 . . . (18.1.2)

Il controllore descritto nella (18.1.2), parte da 0 ed hamemoria infinita . Per arrivare a regime devo compiereun numero elevatissimo di calcoli. Poiche non e possibiletenere conto in maniera indefinita di tutti gliingressi passati e di tutte le uscite generate, dopo un certonumero di campioni, il controllore non prende piuin considerazioni, generalmente, quelli piu vecchi).Devo quindi estrarre dalla (18.1.2) il contributo lineare stazionario che sia amemoria finita.

uk = −a1 uk−1 − a2 uk−2 − an uk−n . . . + b0 ek + b1 ek−1 + . . . + bn ek−n (18.1.3)

Il controllore cosı ottenuto sara quindi: lineare, stazionario e a memoria finita.

Nota. Avendo supposto che il controlloree stazionario, i parametria0, a1, . . . , b0, b1 cono costanti.

Adesso lavoriamo nell’intervallo: Essenzialmente scrivere la FdT del controllore equivale a scrivere:

Lunghezza dell’orizzonte di calcolo

(k − n)T k T(k − 1)T|

e (t) C (s) u (t)

Figura 18.1.3

U (s) =N (s)

D (s)= D (s)U (s) = N (s)E (s) (18.1.4)

198 Capitolo 18

antitrasformando si ottiene un’equazione differenziale, in cui una combinazione lineare delle derivate deisegnaliu (t) e pari ad una combinazione lineare delle derivate dei segnali e (t). Ma l’espressione della nostrauk non e altro che una ‘equazione alle differenze’. L’idea e di andare a lavorare anche in questo caso neldominio trasformato, ma stavolta con latrasformata zeta. Vediamo un esempio elementare:

uk = a1uk−1 + boek + b1ek−1 conn = 1 (18.1.5)

definisco: U (z) = Z [uk] trasformata zeta diuk

E (z) = Z [ek] trasformata zeta diek

In particolare posso scrivere la forma generale:

Z [uk] =+∞∑

k = 0

uk z−k (18.1.6)

Z [uk] = Z [−a1uk−1 + b0ek + b1 ek−1] (18.1.7)

Per la linearita della trasformata zeta scriveremo.

U (z) = −a1z−1U (z) + b0E (z) + b1z

−1E (z) (18.1.8)

U (z) = −a1Z [uk−1] + b0Z [ek] + b1Z [ek−1](1 + a1z

−1)U (z) =

(b0 + b1z

−1)E (z)

(18.1.9)

U (z)

E (z)=

(b0 + b1 z

−1)

1 + a1 z−1=

b0z + b1z + a1

(18.1.10)

Percio un controllore lineare stazionario a memoria finitapuo essere rappresentato come una funzione ditrasferimento nella variabilez, definita dal rapporto della trasformata zeta dell’uscita ela trasformata zetadell’ingresso, nella forma piu generale scriveremo:

U (z)

E (z)=

b0 + b1z−1 + . . . bnz

−n

1 + a1z−1 + . . . anz−n=

b0zn + b1z

n−1 + . . . bnzn + a1zn−1 + . . . an

(18.1.11)

Quindi il controllore digitale che vogliamo determinare ecaratterizzato da una funzione di trasformazionenel dominio zeta razionale fratto. Abbiamo quindi due problemi:

1. Scelta del tempo di campionamento2. Passaggio al controllore digitale partendo da una FdT neldominios.

18.2 Scelta del tempo di campionamento

Andiamo adesso a vedere come scegliere un correttotempo di campionamentoT , per ottenere una correttaimplementazione digitale del nostro controllore analogico.


In ingresso mettoun impulso: δ G(s) ,

A

s− p g (t) → rispostaimpulsiva

Figura 18.2.1

g (t) A/DT

gk = g (kT ) k = 0, 1, 2, . . .

Figura 18.2.2

Campionando la risposta impulsiva con un campionatore avente periodoT : In generale, dato un segnaletempo continuo, lo si andra a campionare e dopo alcune manipolazioni lo si riportera in analogico. In questaoperazione e importante la corretta scelta del tempo di campionanmetoT in modo chenon si perdanoinformazioni di alcun genere. Sappiamo inoltre che esiste una corrispondenza biunivoca tra un segnaletempo continuo e la sua trasformata di Laplace, e che analogamente ne esiste un altra tra un segnale tempodiscreto e la sua trasformata zeta. Posso quindi trasformare la sequenza di campionig(kT ) nel dominiocomplesso attraverso l’operatore trasformataZ.

Z [gk] ,+∞∑

k = 0

gk z−k = G(z) (18.2.1)

Domanda: Che relazione esiste tra la trasformata dig (t) e quella digk?Per il teorema di Shannon sappiamo che esiste una relazione tra il segnalef (t) nel DT, ed il segnalefk =f (kT ), tale relazione e di corrispondenza biunivoca.

Poiche ad ognif (t) e associata univocamente unaF (s) e ad ognifk unaF (z), si vuolevedere sotto quali condizioni esiste una corrispondenza biunivoca tra le trasformate.

f (t)↔ F (s) = L [f (t)]

mfk (t)↔ F (z) = Z [fk]

Cercare di capire quando esiste una corrispondenza biunivoca tra il segnale continuo nel tempo e il segnaledigitale, si puo studiare analogamente nel dominio delle trasformate.

Esempio18.2.1. Prendiamo un segnale la cui trasformata di Laplace e:

G(s) =A

s− p −→ L−1 [G (s)]⇒ g (t) = Aep t (18.2.2)

200 Capitolo 18

e il corrispondente segnale campionato sara del tipo:

gk = g (kt) = Aep k T −→ Z [gk] =+∞∑

k = 0

Aep k T z−k =

= A

+∞∑

k = 0

ep k T

zk= A

+∞∑

k =0

(ep T

z

)k

=A

1− epT

z

(18.2.3)

G(z) =Az

z − epT= Z [gk] (18.2.4)

Nel caso di questo esempio molto semplice si nota che la trasformata di Laplace del segnale a tempo con-tinuo e la trasformata zeta del segnale campionato, sono entrambe razionali fratte con lo stesso ordine e inparticolare un polo inz = ep T .

Nota.

• G(s) e razionale fratta ed ancheG(z) e razionale fratta.• G(s) ha un polo ancheG(z) ha un polo in particolare il polo ins = p, nel pianoZ va a finire inep T .

ℑ [s]

ℜ [s]×p

ℑ [z]

ℜ [z]×

epT

sembra che la mappa con cui sitrasformano i poli siaz = epT

Figura 18.2.3: Passaggio di una funzione di trasferimento dal piano delles al piano dellez

ma questo vale in generale?

Consideriamo unaG(s) piu complessa, che presentan poli:

G(s) =N(s)

(s− p1) · (s− Pn)(18.2.5)

se la relazione vista fosse vera, potremmo scrivere laG(z) come:

G(z) =M(z)

(z − ep1 T ) · (z − ePn T )(18.2.6)

che e proprio la forma corretta dellaG(z).Scomponiamo quindiG(s) in fratti semplici:

G(s) =A1

s− p1+ . . . +

An

s− pn(18.2.7)


procediamo quindi a trasformare ogni generico termine:

G(z) =A1 z

z − eP1 t+ . . . +

An z

z − epn T(18.2.8)

svolgendo il minimo comune multiplo nella (18.2.8) ottengol’espressione (18.2.6), tale enunciato e verifi-cato a meno della presenza di cancellazioni.Abbiamo quindi individuato la mappa. Il problema adesso e quello di verificare che essa sia invertibile omeno. se lo fosse vuol dire dal segnale campionato si puo ricostruire il segnale di partenza.

Propriet a propedeutiche Abbiamo visto come:I poli della trasformata di Laplace dig (t) si trasformano in poli della trasformata zeta digk secondo lamappaz = epT . Devo adesso studiare come si trasformano i poli a parte reale minore di zero.In generale un generico puntos si puo scrivere comes = −σ + jω.

z = es T = e(−σ+jω)T = e−σ T ejω T (18.2.9)|z| = e−σ T seσ < 0 allora −րց

|z| < 1

arg |z| dipende solo daωarg [z] = ω T

(18.2.10)

abbiamo considerato un polo a parte reale minore di zero.Perche il sistema sia stabile tutti i poli devonoℑ [s]

ℜ [s]×

−σ

jω

ℑ [z]

ℜ [z]

−1 1

j

−jz = es T

Figura 18.2.4: Passaggio dal pianos al pianoz

stare all’interno della circonferenza di raggio 1.

Nota. Il modulo e in corrispondenza biunivoca con la pare reale, diversamente succede per la fase cheruota. Esistono pertanto punti del pianos, su ogni retta parallela all’asse immaginario che hanno la stessaimmagine nel pianoz.

Qualunque sia il punto al di fuori del segmento, in figura 18.2.5a, esiste un altro punto del segmento aventela stessa immaginez ( ossia ad esso corrisponde lo stesso campione).

Diversamente non puo esistere corrispondenza biunivoca,indipendentemente da∀ σ che io considero. Sicrea quella che viene definita ‘striscia di Nyquist’.

Ricorda. Perche esista corrispondenza biunivoca i poli dellaG(s) devono stare all’interno diquesta striscia.

Noi vorremmo un tempo di campionamento tale per cui i poli stiano nellafascia di Nyquist, ossia vorremmocheω, fosse minore diωn, in questo modo avrei la ricostruzione fedele dei segnali che girano nel sistema dicontrollo.

202 Capitolo 18

ℜ [s]

ℑ [s]

bc

×

×

−σ ω = 0

ω =π

T

ω = −πT

I punti all’interno di questointervallo hanno corrispondenza

biunivoca con i punti dellacirconferenzaΓ. Ma gia agli

estremi le immagini coincidono

(a) Piano delles

ℜ [z]

ℑ [z]

bcbc

Γ

all’aumentare diω

al diminuire diωArrivano nello stes-so punto quandoωT = π

(b) Piano dellez

×

×

j πT

ℑ [s]

ℜ [s]

−j πT

, ωn, Pulsazionedi Nyquist = π

T

(c) Striscia di Nyquist

Figura 18.2.5

Nota. La dimensione della fascia di Nyquist dipende daT : al diminuire diT la striscia si allarga.

Ricorda. La posizione dei poli di un segnale sinusoidalee± jω, da cui otteniamo la condizionecheω < ωn, conωn pulsazione di Nyquist. Si nota subito che la pulsazione di Nyquist ωn

dipende dal tempo di campionamentoT . Diminuendo il tempo di campionamentoT si ottieneuna fascia piu ampia, viceversa aumentandolo.

ω < ωn → 2π f <π

T, T <

1

2 f(18.2.11)

Per il teorema di Shannon otteniamo cheT < 1/2f , conf frequenza fondamentale del segnale. Posso so-

stituire, nel caso di segnali in banda base allaf , il valore limite della banda passantef3 =B3

2π, defininendo

quindi f3 frequenza di taglio del sistema.


18.2.1 Scelta del periodo di campionamento

Prendiamo il nostro sistema di controllo:

yo (t)+

-

e (t)C(s)

u (t)P (s) y (t)

0 ωBo3

|W (j ω)|1

Figura 18.2.6: Profilo ideale di bandadella funzioneW (s)

Quando si e visto il progetto del controllore, una delle specifichecritiche che si e visto e relativa alla banda del sistema dicontrol-lo. Infatti se andiamo a considerare la funzione di trasferimentoad anello chiuso, nel caso ideale avro un andamento come quelloin figura 18.2.6.

Andando a forme di implementazione digitale diW (s) o megliodel suo controllore, noi vogliamo che comunque il nostro sistemasegua fedelmente ogni segnale sinusoidale:

e (t) = E sin (ωt + ρ)

nella banda tra[0, B3]. Dalla teoria conosciamo che la trasformata di Laplace di unsegnale sinusoidalecomee (t), sappiamo che presenta i poli in±jω, mentre nel caso limite perω = B3 avremo poli in±jB3

mentre nel caso di segnali costanti che presentano cioeω = 0 si avranno poli ins = 0.

Dalla relazione di Shannon e possibile ricavare il passo massimo di campionamento.Poiche i segnali che girano nel sistema devono stare all’interno della bandaB3 dello stesso, si deve imporrecheB3 stia nella fascia di Nyquist:

B3 <π

T= ωn (18.2.12)

Devo quantificare di quantoωn debba essere maggiore diB3. Tipicamente si sceglieωn a cavallo di unadecade:

π

10B3< T <

π

B3(18.2.13)

Cosı facendo il tempo di campionamento e scelto. Tale range e scelto per porre un limite inferiore al tempodi campionamentoT del nostro sistema, legato a varie problematiche tra cui anche il costo.

18.3 Controllore Digitale

• Come precedentemente enunciato, i convertitori, ADC e DAC,sono tipicamente di ordine 0.• Come si riesce a ricavareCd daC(s)?

Si tratta di far vedere che la relazione (18.3.5), puo essere riscritta nel dominio trasformato di Laplace,infatti nei sistemi tempo discreti vale una relazione analoga a quella dei sistemi tempo continuiU(s) =E(s) · C(s).

U(z) = Cd(z) ·E(z) (18.3.1)

204 Capitolo 18

yo (t) +

-

e (t)ADC

ekCd

uk

DAC

TMP

u (t)P (s)

y (t)

C (s)

Figura 18.3.1: schema generale a blocchi di un sistema a daticampionati

ek Cd uk

DoveU(z) e la trasformata zeta diuk edE(z) e la trasformata zeta diek nell’ipotesi di condizioni inizialinulle per il calcolo della risposta forzata.

Si e visto che il controllore digitaleC (z) altro non e che:

Cd (z) =Z [uk]

Z [ek]=

bnzm + bn−1z

n−1 + . . . + b1z + b0zm + an−1zn−1 + . . . + a1z + a0

Si assumeCd, essere un controllore digitale lineare stazionario a memoria finita, descritto nel caso in cui siadi ordine 1 da:

Possiamo inoltre dimostrare cheCd(z) rappresenta laFdT del controllore digitale, scrivibile in termine deicoefficienti come:

Cd(z) =b1 z + b0z + a1

(18.3.2)

Ossia risulta razionale fratta, poiche a memoria finita, e di ordine 1, poiche il controllore e di ordine 1.

Z [uk] =b1 z + b0z + a1

Z [ek] (18.3.3)

ovvero:z + a1

zZ [uk] =

(b1z + b0)

zZ [ek] ⇒ b1Z [ek] + b0Z [ek] (18.3.4)

antitrasformando questa equazione si ottiene:uk + a1uk−1 = b1 ek + b0ek−1. Possiamo percio scrivereche nel caso generale il campione k-esimo del nostro controllore digitale (nel caso n=1) e una combinazionelineare del tipo:

uk = −a1 uk−1 + b0 ek + b1 ek−1 (18.3.5)

Definizione 18.3.1.Il sistemaCd puo essere visto come una funzione di trasferimentoCd(z), cioe in unafunzione razionale fratta nella sola variabilez.

Adesso e necessario trovare delle regole che ci consentanodi passare daC(s) aC(z):


Passaggio da C(s) a C(z) L’idea intuitiva e quella di sfruttare la mappatura dei poli nel passaggio daldominios al dominioz:

Consideroz = es T scrivos in funzione diz e lo sostituendo inC(s).Cosı facendo laC(z) che otterrei none razionale fratta, questo implica che il controlloree a

memoria infinita, cosa che io non voglio.

Il metodo ottimo e quello che permette di approssimareesT con delle funzioni razionali fratte, in modo chesostituendo ancheC(z) diventi una funzione razionale fratta.

19Lezione del 5 Dicembre 2006

19.1 Sistemi a dati campionati

19.1.1 Richiami

Abbiamo descritto come implementare un controllore di tipodigitale, che puo essere schematizzato nelseguente modo:

yo (t)+ e (t)

C(s)u(t)

P (s) y (t)

e (t) ADCek

Cduk

DAC u (t)

TMP

Definizione 19.1.1.Cd DefiniscoCd controlloredigitale,lineare, stazionario, a memoria finita, cioedescritto da una legge del tipo:

uk = −a1 · uk−1 − a2 · uk−2 − . . . − an · uk−n + b0 · ek + b1 · ek−1 + . . . + bn · ek−n (19.1.1)

Dove con−an uk−n sono segnate le uscite agli istanti precedenti, mentre con+bn ek−n sono segnati gliingressi allo stesso istante.

(k − n)T

e(k−n)

u(k−n)

(k − 1)T

e(k−1)

u(k−1)

kT

ekuk

Il sistema definito dalla (19.1.1) risponde ai requisisti fissati di:

208 Capitolo 19

Linearit a: Poiche combinazione lineare degli ingressi.Stazionaria: I coefficientia1, . . . , an, b0, . . . , bn; sono costanti.A memoria finita: Considero per determinareuk, una finestra temporale limitata.

Osservazioni. Cosa vuol dire questa relazione di campiono nel dominio trasformato? Ossia se abbia-moZ [uk] come si puo scrivere la funzioneZ [ek], in modo da caratterizzareCd solo con una funzionetrasformata?

Conoscendo la banda del segnale e il tempo di campionamento,devo trovare i coefficienti della funzione ditrasferimento.

Z [uk] Z [ek]

Dove la funzione a parametri zetafk e pari alla trasformata zeta ad essa associata:

fk → Z [fk] =

+∞∑

k =0

fk z−k (19.1.2)

0 t

f [k]

f0

T

f1

2T

f2

3T

f3

kT

fk

· · ·

(a)

g0

0 t

g[k]

T

g1

2T

g2

3T

g3

4T

g4

(k + 1)T

gk

· · ·

(b)

gk = fk−1

In questo caso ottengo una sequenza traslata in avanti:

gk = fk−1 → Z [gk] =

+∞∑

k = 0

gk z−k =

= g0 + g1 · z−1 + g2 · z−2 + . . . =

= f0 · z−1 + f1 · z−2 + f2 · z−3 + . . . =

= z−1[f0 + f1 z

−1 + f2 z−2 + . . .

]

(19.1.3)

Ottengo quindi la sequenzafk ritardata di un fattore 1.

Corollario 19.1.1. Ritardare la funzione di un passo temporale significa moltiplicare la trasformata zetaper z−1

Applicando questa proprieta allauk ottengo:

Z [uk] = −a1 · Z [uk−1] − a2 · Z [uk−2] − . . . − an · Z [uk−n]

+ b0Z [ek] + b1Z [ek−1] + b2Z [ek−2] + . . .+ bnZ [ek−n](19.1.4)

Lezione del 5 Dicembre 2006 209

essendo la trasformata zeta di un operatore lineare, la trasformata della somma e pari alla somma delletrasformate. I terminiek−1 nella (19.1.4), introducono uno shift temporale, e possibile quindi utilizzare laproprieta della trasformata precedentemente vista.

Z [uk] = −a1 · z−1Z [uk] − a2 · z−2Z [uk] − . . . − an · z−nZ [uk]

+ b0Z [ek] + b1z−1Z [ek] + b2z

−2Z [ek] + . . .+ bnz−nZ [ek]

(19.1.5)

raccogliendo i terminiZ [uk] eZ [ek] e portandoli al primo membro avremo:(1 + a1 z

−1 + a2 z−2 + . . . an z

−n)Z [uk] =

(b0 + b1z

−1 + . . . + bnz−n)Z [ek] (19.1.6)

abbiamo trovato una relazione traZ [uk] eZ [ek], che possiamo riscrivere in modo tale da eliminare le po-tenze negative diZ:

Z [uk] =b0z

n + b1zn−1 + . . . bn

zn + a1zn−1 + . . . anZ [ek] (19.1.7)

doveZ [uk] e la funzione di trasferimento del sistema lineare stazionario a memoria finita,tale funzionee razionale fratta, ede l’analogo dellaC(s) dei sistemi tempo continui.

Posso quindi definire la funzione di trasferimento del controllore nel seguente modo.

C (z) =b0z

n + b1zn−1 + . . . bn

zn + a1zn−1 + . . . an(19.1.8)

adesso si rende necessario trovare dei metodi che mi permettano di eseguire il passaggio dalla variabileC(s)aC (z). In realta noi sappiamo gia che la relazione che legas ez e descritta dalla mappaz = es τ .

Potrei da essa ricavares in funzione diz e poi sostituire l’espressione dis cosı ottenuta,s(z), in C(s) inmodo da trovareC(z).La funzioneC (z) cosı ottenuta non essendo razionale fratta non puo essereapprossimata con una funzionerazionale fratta, questo vuol dire cheCd non e piu a memoria finita e a noi questo no va bene.

Soluzione: E necessario inserire delle funzioni approssimate: cerco di approssimare la mappa condelle funzione razionali fratte.

19.2 Metodo di Integrazione

Metodo 1: [Metodo di Integrazione]Supponiamo cheC(s) sia un sistema delIo ordine, ad esempio unarete anticipatrice:

C (s) =s− rs− p =

s− p+ p− rs− p = 1 +

p− rs− p, conp 6= r (19.2.1)

DoveC(s) e la relazione esistente trae (t) edu (t) che ci permette di rappresentare nel DT il sistema nelseguente modo:

x (t) = p x (t) + (p− r) e (t)

u (t) = x (t) + e (t)(19.2.2)

210 Capitolo 19

La (19.2.2) e una equazione di stato in cui si ha una sola variabile di statox (t):

Ricorda. Lo statox (t) e un segnale che contiene l’informazione relativa alla storia passata die (t), sufficiente per determinare la storia futura diu (t).

A = b ; B = (b− r) ; CT = 1; D = 1;

e (t) A,B,CT ,D u (t)

x (t) Si e visto che la funzione di trasferimento di un sistema cosı realizzato vale:

L [u (t)]

L [e (t)]= C

T (sI − A)−1B + D (19.2.3)

ovvero in linea generale esistono quattro matrici per cui lafunzione di trasferimento del sistema diequazioni di stato risulta esattamente quella del controllore analogicoC (s) da noi progettato.gL’idea sta nell’andare a studiare questo sistema di equazioni differenziali nell’intervallo di

campionamento[kT , (k + 1)T ], ad esempio integrando le nostre equazioni in questo intervallo.

U(s)

E(s)= C(s) =

s− rp− r (19.2.4)

L [x (t)] = sX(s) = pX(s) + (p− r)E(s) =

= X(s) =p− rs− p E(s)

(19.2.5)

Sviluppando laIIa equazione:(s− p)X(s) = (p− r) E(s) (19.2.6)

U(s) = X(s) + E(s) =

(p− rs− p

)E(s) + E(s) =

=

(1 +

p− rs− p

)

︸︷︷︸∼= C(s)

E(s) (19.2.7)

U(s)

E(s)= C(s) =

s− rs− p (19.2.8)

L’equazione di stato e definita su tutto il DT, ma a me interessa solo sapere come puo essere rappresentatoil sistema gli istanti di campionamento:considero quindi l’equazione di stato integrata nell’intervallo kT, (k + 1)T

19.2.1 Tecniche di integrazione

∫ (k+1)T

k T

x (t) dt =

∫ (k+1)T

k T

p x (t) dt +

∫ (k+1)T

k T

(p− r) e (t) dt (19.2.9)


xk−1 − xk = devo trovare i valori all’estremo dell’intervallo.Il primo integrale della (19.2.9) lo posso facilmente calcolare poiche rappresenta l’integrale di una derivata.I due integrale al secondo membro sono funzione dix (t) ee (t) di cui dovrei conoscere l’andamento. Ma anoi questo non interezza, ci basta sapere come si comportanotali segnali agli estremi dell’intervallo.

∫ (k+1)T

k T

x (t) dt = p

∫ (k+1)T

k T

x (t) dt + (p− r)∫ (k+1)T

k T

e (t) dt (19.2.10)

bc

bc

xk

k T (k + 1)T

xk+1 = x (k + 1)T

xk = x (kT )

eventuale andamento dix (t)

Figura 19.2.1

La tecniche approssimazione di integrazione forniscono unmodo approssimato per calcolaretale area conoscendo solo i valori agli estremi.

Prendo la funzione approssimazione. La funzione approssimazione e l’area sotto intesa dal quadrato di basekT .

∫ (k+1)T

kT

x (t) dt = [(1− α) xk + αxk+1]T, con α ∈ [0, 1] (19.2.11)

In funzione del valore assunto dalla variabileα definisco un metodo di approssimazione.a. α = 0 L’area sottintesa dalla funzionex (t) risulta essere pari axk · T . Questo

metodo prende il nome diEulero in avanti, poiche prende il valorek T e lo tienecostante per tutto l’intervallo.

b. α = 1 L’area sottintesa dalla funzionex (t) risulta essere pari axk+1 ·T . Questometodo prende il nome diEulero all’indietro , poiche prende il valore(k + 1) T elo tiene costante per tutto l’intervallo.

c. α = 1/2 La area sottintesa dalla funzionex (t) risulta essere pari a:[1

2xk +

1

2xk+1

]T =

1

2[xk + xk+1]T (19.2.12)

In altre parole approssimo l’integrale della funzione allasuperficie del un trapeziocon base minorexk e base maggiorexk+1, mostrato in figure 19.2.1. Tale metodoprende il nome di:Metodo di Tastin.

Comunque si scelga una volta fissato il valore diα al’interno del’intervallo[0, 1], si va a definire una stimadell’integrale esprimendolo solo in funzione del valore iniziale e del vallore finale assunti dalla funzio-

212 Capitolo 19

ne x (t) nell’intervallo di campionamentok-esimo che ci interessa. Possiamo andare a sostituire questeapprossimazioni all’interno della nostra equazione di stato.

Ho un legame traz eds di tipo razionale fratto.

xk+1 − xk = p [(1− α) xk + αxk+1]T+

+ (p− r) [(1− α) ek + α ek+1]T(19.2.13)

Relativamente alla seconda equazione di stato scriveremo che:

uk = CT xk + D ek (19.2.14)

DatoC(s) posso trovare la forma diCd (z)

zZ [xk] −Z [xk] = p [(1− α)Z [xk] + αzZ [xk]] T +

+ (p− r) [(1− α)Z [ek] + αzZ [ek]] T =(19.2.15)

(z − 1)Z [xk] = pZ [xk] [(1− α) + αz] T +

+ (p− r)Z [ek] [(1− α) + αz] T

z − 1

[(1− α) + αz] TZ [xk] = pZ [xk] + (p− r)Z [ek]

Z [uk] = Z [xk] + Z [ek]

(19.2.16)

Scriviamo adesso la (19.2.16) nella rappresentazione tramite variabili di stato.Z [xk] = AZ [xk] + BZ [ek]

Z [uk] = CT Z [xk] + DZ [ek]

(19.2.17)

sviluppando la prima equazione si ricavera laZ [xk] in funzione dellaZ [ek] da sostituire nella secondaequazione.

( I − A)Z [xk] = BZ [ek] ⇒ Z [xk] = ( I − A)−1BZ [ek] (19.2.18)

sostituendo nella seconda equazione:

Z [uk] = CT ( I − A)−1

BZ [ek] + DZ [ek] (19.2.19)

si e definita la relazione che legaZ [uk] conZ [ek].

Cd(z) =Z [uk]

Z [ek]

Applicando la trasformata di Laplace alle due equazioni ottengo:

sL [x (t)] = pL [x (t)] + (p− r)L [e (t)]

L [u (t)] = L [x (t)] + L [e (t)](19.2.20)

x (t) = p x (t) + (p− r) e (t)

u (t) = x (t) + e (t)(19.2.21)


C(s) =U(s)

E(s)=

s− rs− p (19.2.22)

Nella equazione 19.2.20 posso sostituires al primo membro con la seguente relazione:

s =z − 1

[(1− α) + αz](19.2.23)

Confrontando le equazioni scritte possiamo concludere che:

Cd (z) =Z [uk]

Z [ek]= C

T

[z − 1

[(1− α) + αz]−A

]−1

B + D = C

(s =

z − 1

[(1− α) + αz] T

)(19.2.24)

Riassumendo la nostraC (z) non e altro che l’espressione del controllore analogicoC (s) calcolato per

s =z − 1

(1− α+ αz)T.

e (t) A,B,CT ,D u (t)

x (t)

e (t) ADCek

Cduk

DAC u (t)

TMP

Riassumendo: Come faccio a progettare un sistema digitale?1. Tempo di campionamento

π

10B3< T <

π

B3

2. Scelta del parametroα ∈ [0, 1] nella tecnica ad integrazione.3. Scrivere l’espressione diCd(z):

Cd (z) = C

(s =

z − 1

[(1− α) + αz] T

)

Nota. Esistono altre tecniche per passare daC (s) a Cd (z) ma quella per integrazione da noi visteesicuramente la piu semplice ed una delle piu usate.

Esempio19.2.1. Sia C(s) , un controllore proporzionale con polo in zero dovuto all’inserimento di unintegratore per risolvere problemi di inseguimento della forma:

C(s) =10

sB3 = 10 rad/s

Passo 1T deve appartenere a:T ∈ [0.1, 1] → T = 0.2

214 Capitolo 19

Passo 2Scelgo il metodo di Eulero in avanti e pongo:

α = 0

s =z − 1

T=

z − 1

0.2

Cd(z) =10z − 10.2

=2

z − 1

Nota. C(s) ha polo ins = 0, mentreCd(z) ha polo inz = 1, e questo ci torna perche i poli si trasformanocon leggez = es T .

Z [uk] =2

z − 1Z [ek]

⇓moltiplicando numeratore e denominatore perz−1:

Z [uk] =2 z−1

1− z−1Z [ek] →

(1− z−1

)Z [uk] = 2z−1Z [ek]

antitrasformanto:⇒ uk = uk−1 + 2 ek−1

Nota. Si puo dimostrare che la legges =z − 1

[(1− α) + α z]Te una approssimazione della mappaz =

es T .

AFormulario

A.1 Regole di tracciamento del luogo delle radici

Partiamo dell’equazione ad anello aperto:

L(s) =N(s)

D(s)(A.1.1)

|N∗(s)||D(s)| =

1

|ρ| (A.1.2)

argN∗(s) = arg

m∏

i=1

(s+ zi) = arg

m∑

i=1

(s+ zi) = arg

m∑

i=1

θi

argD(s) = argn∏

i=1

(s+ pi) = argn∑

i=1

(s+ pi) = argn∑

i=1

ϕi

(A.1.3)

Regola 1 Il luogo delle radici e composto da2n rami: n di questi fanno parte del luogo diretto en del luogoinverso.

Regola 2 Il luogo delle radici e simmetrico rispetto all’asse reale.Regola 3 I Rami partono dai poli della funzioneL(s), per |ρ| → 0 le radici convergono sui poli della

funzione ad anelloRegola 4 Sie nel luogo diretto che nel luogo inverso, per|ρ| → ∞,m rami arrivano negli zeriL(s) mentre

i restantiv rami tendono all’infinito.Regola 5 I rami che tendono all’infinito lo fanno lungo degli asintotiche si intersecano nell’asse real nel

punto di ascissa:

xa =1

v

(m∑

i=1

zi −n∑

i=1

pi

)(A.1.4)

e formano con l’asse reale angoli pari a

ψak =

(2k + 1) π

v, k = 0, 1, · · · , v − 1 (LD)

(2k) π

v, k = 0, 1, · · · , v − 1 (LI)

(A.1.5)

216 Appendice A

Regola 6 Tutti i punti dell’asse reale ad eccezione di quelli che presentano una singolarita perL(s) ap-partengono al luogo delle radici.Precisamente fanno partedel luogo diretto tutti i punti a sinistra di unnumero dispari di singolarita diL(s).Fanno parte del luogo inverso delle radici tutti a sinistra di un numero pari di singolarita.

Regola 7 Quandov > 2 il baricentro del luogo non dipende da|ρ| ed e pari a

xb =1

n

n∑

i=1

pi (A.1.6)

Regola 8 Si consideri i poli−pj di L(s) e si consideri che abbiano molteplicitahj , gli hj del luogo direttoe inverso partono con i seguenti angoli

βkj =

1

hj

(2k + 1) π +

m∑

i=1

θi −n∑

i6=j

ϕi

, k = 0, 1, . . . , , hj − 1 (LD)

1

hj

2kπ +

m∑

i=1

θi −n∑

i6=j

ϕi

, k = 0, 1, . . . , , hj − 1 (LI)

(A.1.7)

Da cui si ottiene per un polo semplice l’angolo della tangente risulta essere:

βk =

π +m∑

i=1

θi −n∑

i6=j

, (LD)

m∑

i=1

θi −n∑

i6=j

ϕi, (LI)

(A.1.8)

Regola 9 Si consideri i zeri−zj di L(s) e si consideri che abbiano molteplicitahj , gli hj del luogo direttoe inverso partono con i seguenti angoli

βkj =

1

hj

(2k + 1) π −

∑

i6=j

θi +

n∑

i=1

ϕi

, k = 0, 1, . . . , , hj − 1 (LD)

1

hj

2kπ −

∑

i6=j

θi +n∑

i=1

ϕi

, k = 0, 1, . . . , , hj − 1 (LI)

(A.1.9)

Da cui si ottiene per un polo semplice l’angolo della tangente risulta essere:

βk =

π −∑

i6=j

θi +

n∑

i=1

, (LD)

−∑

i6=j

θi +

n∑

i=1

ϕi, (LI)

(A.1.10)

Regola 10Gli eventuali incroci del luogo delle radici sono dati dai massimi e dai minimi della funzione.Regola 11 In ogni punto del luogo il valore di|ρ| e dato da:

|ρ| =

∏mi=1 ηi∏ni=1 λi

(A.1.11)

Doveηi eλi sono le distanze del punto dagli zeri e dai poli.

Formulario 217

A.2 Reti correttive

A.2.1 Ritardatrice

R1

C

R2

b

b

(a)

×bc

ω

σ− 1τ− 1

ατ

(b)

Im G(jω)

ReG(jω)

α 1

1−α2

1+α2

ω

φn

ωn

(c)

logω

arg [G(jω)]

−π4

−π2

-1

101 102

α

|G(jω)| (Log)

logω

1τ ωn

1ατ

(d)

Figura A.2.1: Rete Ritardatrice e relativi diagrammi

φm = − arcsin1− α1 + α

, ωm =1

τ√α

G(s) =R2 +

1

Cs

R1,+R2 +1

Cs

=1 + R2 C s

1 + (R1 + R2) C s=

1 + ατs

1 + τs

F (s) =1 + s

τ

m1 + sτ

,

τ ≥ 0

m ≥ 0

218 Appendice A

A.2.2 Anticipatrice

R1

C

R2

b

b

b

(a)

bc×

ω

σ− 1τ

− 1ατ

(b)

Im G(jω)

ReG(jω)α 1

1−α2

1+α2

φn

ωn

(c) Ritardatrice

logω

arg [G(jω)]

π4

π2

α

|G(jω)| (Log)

logω

1τ ωn

1ατ

(d)

Figura A.2.2: Rete anticipatrice e relativi diagrammi

φm = − arcsin1− α1 + α

, ωm =1

τ√α

G(s) =R2

R2,+1

Cs + (1/R1)

=R2 (1 + R1C s)

R1 + R2 + (R1 + R2) C s= α

1 + τs

1 + ατs

F (s) =1 + s τ

1 + sτ

m

,

τ ≥ 0

m ≥ 0

A.3 Problema dell’inseguimento

Formulario 219

Problema G(s) r (t) e (t)

Inseguimento1

1 + L(s)yo (t) yo (t)− y (t)

Reiezione

del disturboP (s)

1 + L(s)di (t) −y (t)

di (t)Reiezione

del disturbo1

1 + L(s)do (t) y (t)

do (t)Reiezione

del disturbo − L(s)

1 + L(s)dh (t) y (t)

dh (t)

Tabella A.1: Talella riassuntiva

BTrasformata di Laplace

B.0.1 Trasformata di Laplace e risposta impulsiva in sistem i lineari stazionari adimensione finita

• Definizione di trasformata di Laplace di un segnalef(t)

L [f (t)] = F (s).=

∫ +∞

0f (t) e−stdt, s = σ + jω

• Trasformate di Laplace di alcuni segnali elementari

– Gradino unitario:u(t) → 1/s.– Rampa unitaria:t u(t) → 1/s2.– Esponenziale:eatu(t) → 1/(s − a).– Sinusoide:sin (ωt)u(t) → ω/(s2 + ω2).– Cosinusoide:cot (ωt)u(t) → s/(s2 + ω2).– Esponenziale+monomio:tneatu(t) → n!/(s− a)n+1.

• Alcune proprieta:

– Linearita:c1f1(t) + c2f2(t) → c1F1(s) + c2F2(s)

,– Teorema della traslazione nel tempo:

f(t− a) → F (s)e−as

– Teorema dell’integrale nel tempo: ∫ +∞

0f(τ) → F (s)/s

– Teorema della derivata nel tempo:

Df(t) → sF (s)− f(0+)

– Teorema della derivata generalizzata:

Df(t) → sF (s)− f(0−)

222 Appendice B

– Teorema del valore finale:limt→∞

f(t) = lims→0

sF (s)

– Teorema del valore iniziale:lim

t→0+

f(t) = lims→∞

sF (s)

Antitrasformata di Poli multipli QuandoF (s) ha poli multipli posso descrivere l’antitrasformatadella mia funzione come:

Pi,h =1

(ni − h)!

dni−h [(s+ pi)ni F (s)]

d sni−h

∣∣∣∣s=−pi

Antitrasformata di Funzione complessa

Pi

s+ pi+

Pj

s+ pj=

Pi

s+ pi+

Pi

s+ pi= (B.0.1)

2 |Pi| eRe(−pi)t cos (Im(−pi)t+ argPi)

Trasformata di Laplace 223

f (t) F (s)δ (t) 1

u (t)1

s

t u (t)1

s2

tn u (t)n!

sn+1

e−at u (t) a ≥ 0 ∈ R1

s+ a

t e−at u (t)1

(s+ a)2

sin (ωt)u (t)ω

s2 + ω2

cos (ωt)u (t)s

s2 + ω2

sin (ωt+ φ)u (t)s sinφ+ ω cosφ

s2 + ω2

cos (ωt+ φ) u (t)s cosφ− ω sinφ

s2 + ω2

e−at sin (ωt)u (t)ω

(s+ a)2+ ω2

e−at cos (ωt)u (t)s+ a

(s+ a)2+ ω2

e−at sin (ωt+ φ)u (t)(s+ a) sinφ+ ω cosφ

(s+ a)2+ ω2

e−at cos (ωt+ φ) u (t)(s+ a) cosφ− ω sinφ

(s+ a)2+ ω2

t e−at cos (ωt)u (t)2ω (s+ a)

[(s+ a)

2+ ω2

]2

te−at cos (ωt)u (t)(s+ a)

2 − ω2

[(s+ a)

2+ ω2

]2

224 Appendice B

B.1 Carta di Controllo

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.50.325 0.375 0.425 0.475 0.525 0.575 0.625 0.675 0.725 0.775 0.825 0.875 0.925 0.975

B3

ωn,K

LB

3

s

ζ

B3ωn

KLB3

s

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