Contro I - Cap. II-A

5/22/2018 Contro I - Cap. II-A

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CURSO : CONTROL I DOCENTE : ING. ROBERTO JAIME QUIROZ SOSA

CAPITULO II

II. MODELOS DE SISTEMAS Y APLICACIONES

2.0 MODELOS DE SISTEMAS

Todo sistema es de naturaleza dinmica que proviene de leyes fsicas quegobiernan su comportamiento.El estudio de un sistema de control se realiza a travs de modelos los cualesdeben ser linealizadas para analizar y controlar las relaciones que existenentre las variables de un sistema.El anlisis del modelo se realiza con la ayuda de herramientas matemticasque permita encontrar soluciones que describe la operacin y comportamientodel sistema.Estos modelos utilizan los bloques funcionales en sus anlisis. Estos bloquesfuncionales representan el comportamiento de las relaciones ausa!Efecto" y

de las relaciones de Entrada!#alida del sistema" por lo que estos sistemas queutiliza los bloques funcionales se les conocen como sistemas de parmetrosconcentrados" debido a que cada parmetro se considera en formaindependiente.Todos los modelos tienen similitudes en el comportamiento de los bloquesfuncionales como son en los sistemas mecnicos" elctricos" trmicos y defluidos ya que en base a estos bloques funcionales bsicos y suscombinaciones se producen los modelos matemticos para sistemas fsicosreales.2.1 CLASIFICACION DE LOS MODELOS

$os modelos se clasifican%

a. &odelo Terico.b. &odelo estrictamente Emprico.c. &odelos #emi Emprico.

a. MODELO TEORICO:

'asados en las leyes de la fsica y qumica que emplean en su desarrollobalance de masa" energa" termodinmica" equilibrio qumico" leyes elctricas"

hidrulica" etc.

b. MODELO ESTRICTAMENTE EMPIRICOS

onocidos como modelos de ca(a negra" emplean tcnicas estadsticas querelacionan los datos de Entrada!#alida para cualquier analizas fsico!qumicodel proceso.

c. MODELO SEMI EMPIRICO

onocido como modelo de ca(a gris" son modelos hbridos de los modelostericos y de los modelos estrictamente empricos.

1


2/40


2.2 MODELOS DINAMICOS Y MODELOS EN ESTADO ESTACIONARIO

Todos los modelos consideran la relacin Entrada!#alida que representaganancia de un sistema y que se le conoce como funcin de transferencia

(F.T),esta dado por la relacin de las salidas y entradas del sistema.

$a funcin de transferencia describe el comportamiento transitorio y estable deun sistema de control. ) esta dado por ecuaciones diferenciales que involucranderivadas de primer orden" segundo orden" tercer orden etc.En este sentido los modelos matemticos de un sistema de control involucranlos modelos dinmicos y modelos de estado estacionario.

2.2.1 MODELOS DE ESTADO ESTACIONARIO

#on aquellos modelos que no varan con el tiempo llamadas tambin estticos"las variables dependientes permanecen constantes en el tiempo.

2.2.2 MODELOS DINAMICOS

#on aquellos en los cuales sus variables dependientes cambian con el tiempo.&ediante tcnicas matemticas y evaluando los parmetros de funcionamientode un modelo dinmico se puede dise*ar el controlador adecuado.

2.3 LINEALIZACION DE LOS MODELOS

omo se ha visto todos los modelos son de naturaleza dinmica que varan enel tiempo" esas variaciones son tan peque*as que pueden despreciarse yobviarse para los clculos de ingeniera" en otros casos no es posibledespreciarse ya que influyen sobre los resultados.El ob(etivo de la linealizacin del modelo es suponer que las variables sedesvan poco dentro de las condiciones de operacin.Este comportamiento no lineal del sistema puede linealizarse aplicando

algunas condiciones y herramienta matemtica como son%

a. $inealizacion utilizando las matrices +acobianas.b. $inealizacion utilizando el desarrollo de la serie de Taylor.

2.4 LINEALIZACION UTILIZANDO MATRICES JACOBIANAS

Este mtodo" supone que las variables se desvan poco y adems la dinmicade un proceso ya sea MIMO ,&-ltiple nput y &ultiplo /upout0" SISO ,/nenput y /ne /upout0" en el tiempo continuo puede ser representado en elespacio de estado mediante dos con(untos de ecuaciones diferenciales

ordinaria de primer orden" que se les denomina ecuaciones de estado y desalida tales como%

2

Entrada

SalidaTF =.


3/40


1111.. (1

2onde

F, h % 3unciones vectoriales de orden n y r.X % 4ector de estado de orden n.u % 4ector de control de orden m.y % 4ector de salida de orden r.v % 4ector de disturbio en los estados de orden n.w % 4ector de disturbio en los estados de orden r.

t %Tiempo.

5ara linealizar al sistema en los puntos de equilibrio en el espacio de estadodel proceso descrito en la ecuacin (1),se determinara cuando el estado del

proceso no cambia debido a la accin de la fuerza de control U, porconsiguiente los puntos de equilibrio X se determina de%

on este criterio y considerando que la ecuacin (1! es invariante en eltiempo" podemos obtener su representacin linealizada de la forma.

2onde%

A : &atriz de estado ,n x n0B : &atriz de control ,n x m0C : &atriz de salida de los estados ,r x n0D : &atriz de salida de las entradas ,r x m0E : &atriz de disturbio de los estados ,n x n0

F : &atriz de disturbio de las salidas ,r x r0

#i consideramos nula la presencia de las perturbaciones es decir " # $ # O) adems operamos alrededor del estado de equilibrio (% ! U" se puedenobtener las matrices A" B" Cy Dal evaluar las matrices +acobianas.

3

),,,,(

),,,(

twuxhy

tvuxfXo

==

( ) 0, == UXfx

FwDuCxy

EvBuAxxo

++=++=


4/40


6 7

1

1

2

1

1

X

f

X

f

X

f

n

),(2

2

2

2

1

2

1

................

................

................

UXn

nn

n

n

X

f

X

f

Xf

Xf

X

f

X

f

' 7

1

1

2

1

1

U

f

U

f

U

f

n

( )UXn

nn

n

n

U

f

U

f

U

f

U

f

aU

f

U

f

,2

2

2

2

1

2

1

................

................

................

4


5/40


7

1

1

2

1

1

x

h

x

h

x

h

n

( )UXn

nn

n

n

x

h

x

h

xh

xh

x

h

x

h

,2

2

2

2

1

2

1

................

...............

...............

2 7

1

1

2

1

1

U

h

U

h

U

h

n

( )UXn

nn

n

n

U

h

U

h

U

h

U

h

U

h

U

h

;2

2

2

2

1

2

1

....................

...................

..................

PROBLEMA

2ado el siguiente sistema de ecuaciones.

5


6/40


121

0

1 82 uXSenXX ++= " 121 ==uu

3

2

11

0

2 )32(3 XXXX +=

23

0

3 2 uXX +=

#e pide%a. $os puntos de equilibrio , 321 ,, xxx 0.b. $a matriz 6" '" " 2" del sistema linealizado" considerando los puntos de

equilibrio determinado en el caso ,a0.

SOLUCI&N.

121

0

1 82 uXSenXX ++= .................. , f8 0

3211

0

2 )32(3 XXXX += ................... , f9 0 " 121 ==uu

23

0

3 2 uXX += .................... , f: 0

a. 'aa)*+ +, -)/+, * b+.

082 121 =++ uXSenX .................... ,80

0)32(3 32

11 =+ XXX .................... ,90

02 23 =+ uX .................... ,:0

D a cac) ( 3

5.02

1

2 23 === u

X

D a cac) ( 2

0323 32131 =+ XXXX

0233 332

11 =+ XXXX

015.132

11 =+ XX

a

acbbX

XX

2

4

0135.1

2

1

1

2

1

=

=+

6


7/40


( ) ( ) ( )( )

29.23

1533

693

29.03

153

3

693

5.12

15.143)3(

1

1

2

1

==+=

=+

=++

=

+=

X

X

X

D a cac) ( 1 .

8

2 112

uXXSen

+=

8

129.022

+=XSen

1975.08

58.12 ==XSen

( ) == 39.111975.0.2 SenArcX

1988.0360

239.112 ==

X

( )4475.0

8

129.22

8

2 112 =

+=

+=

uXXSen

( ) 464.0360

258.2658.264475.0.

22 ==== XSenArcX

$os puntos de equilibrio son%

, ;.9


8/40


( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( )

+

+

+

++

+

++

++

++

=

=

=

232323

3

2

113

2

113

2

11

121121121

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

222

323323323

828282

321

321

321

uxuXux

XxXXxxXxx

usenXxusenXxusenXX

X

f

X

f

X

f

X

f

X

f

X

f

X

f

X

f

X

f

A

XXX

XXX

XXX

=

=

== 200

75.108.3

084.72

200

32063

0cos82

1988.0

29.0X

2

131

2

2

1

X

XXX

X

A

8


9/40


=

=10

00

01

2

3

1

3

2

2

1

2

2

1

1

1

uf

uf

u

f

u

fu

f

u

f

B

PROBLEMA

2ado el siguiente sistema no lineal.

13

2

21

0

3 uXXX += " 121 ==uu

212

0

2 XSenXX =

223

0

34 uXX =2

1Xy=

a. $os puntos de equilibrio ( 321 x,x,xb. $as matrices 6" '" " 2 del sistema linealizado en los puntos de

equilibrio" determinados en , a 0

SOLUCI&N.

$as ecuaciones de estado%

13

2

21

0

3 uXXX += 111 , f 8 0

212

0

2 XSenXX = 111. , f 90 " 121 ==uu

223

0

34 uXX = 111. , f :02

1Xy= 111. , h 0

a. 'aa)*+ +, -)/+, * b+.

9


10/40


03X 132

2 =+ uX 111. ,80

02 21 = XSenX 111.. ,90 034 22 = uX 111.. ,:0

D a cac) (3

22 4

3uX = 12 =u

75.02 =X

D a cac) (2

21 X2

1SenxX =

)9718.42(2

1

2

360.75.0

2

1 01 Sen

RadxRadSenX =

=

3408.06816.02

11 == xX

D a cac) ( 1 .

22

213 )75.0()1(33 +=+= XuX

5625.33=X

L+, -)/+, * b+ ,+):

( ) )5625.3,75.0,3408.0(,, 321 =xxx

b. 'aa)*+ a, 9a/c, * ,,/9a )a a*+ a**+* +, -)/+, * b+.

10

DuCXy

BuAXX

+=+=


11/40


( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( )

++

+

=

=

222222

212121

122213

2213

22

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

343434

222

33

321

321

321

uXuXuX

SenXXSenXXSenXX

uXXuXXuXX

Xf

Xf

Xf

X

f

X

f

X

fX

f

X

f

X

f

A

XXX

XXX

XXX

=

=

040

07317.02

15.10

040

02

120

2

2

CosX

X

A

11


12/40


( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

=

++

=

=30

00

03

3434

22

33

22

2

22

1

21

2

21

1

132

2

132

1

,,2

3

1

3

2

2

1

2

2

1

1

1

321

XuXu

SenXXuSenXXu

XXXXu

u

f

u

f

u

f

u

f

u

f

u

f

B

XXX

( ) ( )321 13

2

2

2

1

2

321

002)()()(

XXXX

X

X

X

X

X

X

X

h

X

h

X

hC =

=

=

( )006816.0=C

( )00)()(

2

2

1

1

2

1

21 =

=

=u

X

u

Xu

h

u

h

D

12


13/40


+

=

2

1

3

2

10

3-0

00

03

040

00.7315-2

11.5-0

u

u

x

x

x

X

13


14/40


[ ] [ ]

+

=2

1

3

2

1

00006816.0u

u

x

x

x

y

PROBLEMA

2ado un proceso representado por el siguiente sistema no lineal.

1221

0

1 3,2 += xxxx2

21

0

2 3 uxx =

y 7 212

1 32 x

'aa.

a. $os puntos de equilibrio.b. $as matrices y (acobiano 6" '" " 2 del sistema linealizado alrededor de los

puntos de equilibrio.,onsiderar el valor ms peque*o de alguna variable en el punto de equilibrio"en caso de que tuvieran dos races..

SOLUCI&N.

1221

0

1 3,2 += xxxx f8

14


15/40


2

21

0

2 3 uxx = f9

y 7 212

1 32 x f: 121 ==uu

a. 'aa)*+ +, -)/+, * b+.

(1)03.2 1221 =+ XXX

)(2032

21 =+ X

D+)*:

121 ==uu

2e la ecuacin ,90

33.03

1133 11

2

21 ==== XXX

R9-aa)*+ ) a cac) (1:

( )1366.0

0333.02

22

122

=

=+

XX

XX

E;a)*+ a ca*a*+.

( )222 1344.0 = XX

0144.69

16944.0

2

2

2

2

2

22

=+

+=

XX

XXX

D,a+a)*+ ,a*a.

;.@>B>

2X

;.99B>

D+)* +, -)/+, * +-ac) , D ,a)*+ (0.33! 0.22=7.

15


16/40


( )

=

=

=03

3086.29546.0

03

32

2278.0,33.0

2

12

,,2

2

1

2

2

1

1

1

21

X

XX

FF

FF

A

XX

=

=

=20

01

20

01

22

2

1

2

2

1

1

1

FF

FF

B

( ) ( )032.104 12

1

1

1 ==

= XXX

C

( )312

1

1

1 =

=

C

2.4.1 MATRIZ DE TRANSFERENCIA

#e aplica para procesos multivariados" en el espacio de estado MIMO.omo se ha visto el espacio de estado MIMOesta formado por las ecuacionesde estado y de salida%

6plicando la transformada de laplace y considerando las condiciones inicialesigual a cero" se obtiene.

de (1!factorizando y ordenando.

( ) )()()(. ssss UBXAIS =

#e agrega la matriz identidad para poder operar.

16

SalidadeEcuacDuCxy

EstadodeEcuacBuAxxo

....

....

+=

+=

)2(.......

)1(......

)()()()()(

)()()()()(

sssss

sssss

UDXC

UBXASX

+=

+=


17/40


2espe(ando C ( )s :

Demplazando (3) en(2)

Delacionando la salida con la entrada se obtiene la matriz de transferencia.2onde

2.4.2 MATRIZ IN"ERSA

2onde%

ASI : Ecuc!"# c$ct%$&'t!c

2.4.3 ECUACION CARACTERISTICA

#e obtiene a partir de la matriz de transferencia y se obtiene al igualar ladeterminante del denominador de la matriz de la transferencia ,&atriz inversa0igual a cero" obtenindose las races de la &atriz de transferencia conocidocomo polos.

17

=

1..........00

.

.

.

0..........10

0..........01

I)3(.....)( )()(

1

)()( ssss UBASIX =

)()()()(

1

)()()( ])[( sssssss UDUBASIC += [ ] )()()(1)()()( )( ssssss UDBASIC +=

ciaTransferende!atri"DBASICU

# ssss

s

s.....)( )()(

1

)()(

)(

)( +==

( )ASI

ASId$ASI

T

= 1)(

( ) 0. == AsIASIDet


18/40


E?9-+

2eterminar la matriz de transferencia del sgt.#istema expresado en el espacio de estado"mediante las ecuaciones de estado y de salidadefinida por%

S+c):

S,/9aMIMO: 2)/a*a > 2,a*a,.

18

+=

2

1

2

1o

01

10

X

53

01

X

u

u

X

A

[ ]0,10

01

2

1

)( =

= D

X

Xs


19/40


( )ASI = S

10

01 -

53

01=

+

+53

01

S

S

( ) ( )( ) ( )51

1S3

05

1

++

+

+

==

SS

S

ASIASIad$ASI

T

Ma/ * /a),@)ca

PROBLEMA

allar C8, t 0 y C9, t 0 si

on las condiciones iniciales.

19( ) ( )

[ ]051

01

10

13

05

10

01

)(

)( +

++

+

+

=SS

S

S

U

s

s [ ]0)5(1)(S

01

10

1S3

05

)(

)( +++

+

+

=S

S

U

s

s

( ) ( )51

31

50

)(

)(

++

+ +=SS

S

S

U

s

s

=

11

)0(2

)0(1

XX

=

2

1

2

01

0

23

10

X

X

X

X


20/40


SOLUCIONES .

ORDENANDO Y ARRELANDO

20

=23

10A

( ) 3223

1

23

10

10

01 ++=

+

=

= SS

S

SSASI

( ) ( ) ( )22 2132 ++=++= SSSASI

( )[ ] ( )

== ASI

ASIad$lASIle

T

tA 111

( )

+

++=

3

12

32

11

S

S

SSle tA

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) 2222

22221

21

11

21

321

1

21

11

++

+

++

++++

++

=

S

S

S

SS

S

le tA

2e2cos22

3

2212

212cos

t- tsentetsene

tsenetsenee

ett

ttt

At

+=

1

1)0()(

==

AtAt

t eXeX

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

21

2

2

1

21

1

21

2

2

3

21

2

2

1

21

2

2

1

21

1

222222

2222221

++

++

+

++

++

+++

++

+

=

Sx

S

S

S

SSS

S

le tA

1

1

22

12cos2

2

3

22

12

2

12cos

)(

+=

tsenetetsene

tsenetsenee

Xttt

ttt

t

=

tsenete

teX

tT

t

t222cos

2cos)(


21/40


PROBLEMA

2ado un sistema &&/ con las siguientes ecuaciones de entrada y salida.

SE PIDE:

la matriz de transferencia.

SOLUCION

2onde%

( )

+

=

=

32

1

32

10

10

01

S

SSASI

( ) ( )( ) ( )( )12

2

13

23

2

13

23

2

13

2 ++

+

=++

+

=++

+

=

=SS

S

S

SS

S

S

SS

S

S

ASI

ASIad$ASI

T

( ) ( ) ( )0

10

01

12

2

13

10

01

)(

)( +

++

+

==

SS

S

S

%

#

s

s

S

( ) ( )( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

++++

+++++

=++

+

=

1212

232

1

12

3

12

2

13

SS

S

SS

SSSS

S

SS

S

S

# s

PROBLEMA

21

+

=

2

1

2

1

2

01

0

10

01

32

10

U

U

X

X

X

X

=

2

1

2

1

10

01

X

X

( ) ( ) DBASIC%

#

s

s

s +== 1

)(

)(


22/40


Da*+ ,,/9a:

#e pide" la matriz de transferencia.

S+c) .

2el sistema la salida )8,#0

[ ] (1)21 )(2)(1)(1)(2)(1 ssssS US

++=

La sa!"a #2(5).

[ ] (2)1 )(2)(2)(2 sss US

=

$e (1).

)(1)(1)(2)(1 ssss US +=

( ) (3)1)(2)(1)(1 sss

US

=+

$e (2).

)(2)(2)(2 sss US =

( ) )(2)(21 ss US =+

( )(4).....

1

)(2

)(2 +=

S

U

s

s

22


23/40


(4) e% (3).

( ) ( )11)(2

)(1)(1 +=+ SU

US sss

( ) ( )(5).....

112

)(21(s)

)(1 +

+=

S

U

S

U

s

s

/rdenando la ecuacin ,@0

( )(6).....

1

10 )(2)(1)(2 sSs US

U+

+=

2e las ecuaciones ,?0 y ,A0

( )

1

1

0

1

1

1

12

)(2

)(1

+

+

+=

S

SS

s

s

2onde la matriz de transferencia ser%

2.4.4 REPRESENTACION EN EL ESPACIO DE ESTADO EN FORMACANONICA DE LOS SISTEMAS BASADOS EN LA FUNCION DE

TRANSFERENCIA

23

( )

+

+

+

1

10

1

1

1

12

S

SS


24/40


#e presentan dos casos%

a. CUANDO LA FUNCI&N E%CITADORA NO INCLUYE TRMINOSDERI"ATI"OS:

#i se tiene un sistema de orden )donde%

Esta ecuacin se puede convertir en )ecuaciones diferenciales de primerorden" para ello se tiene que elegir )variables con la siguiente asignacin&

$a

ecuacin ,80 ser%

24

( ))1(...................... )()(

)(

11

)(

1

1 ttn

t

nn

t

n

u

t

n

uyadt

dya

dt

yda

dt

yd=++++

+

(2).......

..........

.

.

.

.

)()(1)(21)(1)(1

)(

1

)(

)(4)(3(t))(3

)(3)(2(t))(2

)(2)(1)()(1

+==

==

==

==

ttntntntn

o

n

t

t

n

tn

Tt

ooo

t

tt

oo

t

tt

o

tt

uXaXaXaX

d

ydX

XXyX

XXyX

XXyX

)()(1)(21)(1)( .......... ttntntntno

uXaXaXaX =++++


25/40


$as ecuaciones ,90 #e pueden expresar en forma matricial.

#i consideramos que la

salida del sistema > esla variable %1 " entonces

dicha salida se puedeescribir.

En su forma compactaseria. ,Ecuacin de salidadel sistema0

25

u

X

X

X

aaaaX

X

X

nnnntn

o

to

t

o

1

.

.

.

0

0

.

.

.

...........-

.

.

.

0...........100

0...........010

...

2

1

121)(

)(2

)(1

+

=

[ ] [ ] u

X

X

X

y

n

0

.

.

.0..........01

2

1

+

=


26/40


$o%"e

2iagrama del bloque de ecuaciones de estado y salida son%

Tambin se puede mostrar el diagrama de bloque completo del sistema de

orden )

2onde%

26

= 0.........01C

=

1

0

0

B

[ ]0=D

=

121 .........

.

.

.

0..........100

0..........010

aaaa

A

nnn

= 1..............00TB


27/40


#iendo%

( )

o

tnX= -

naX ( )t1 - 1na

X ( )t2 - 2na X ( )t

'''.- 2a 1nX ( )t - ( ) ( )ttnXa +1

/bservacin%

Fn modelo de estado de un sistema lineal con cuatro matrices definido de

5rimer orden de una ecuacin. 2iferencial de grado )esta definido por%

b. CUANDO SU FUNCIONE%CITADORA INCLUYE TERMINOS DERI"ATI"OS

#i se tiene un sistema en orden. )

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( )tn

t

nn

t

n

n

t

n

otn

t

t

nn

n

n

t

n

ubdt

udb

dt

udb

dt

udbya

d

dya

dt

yda

dt

yd++++=++++

11

1

111

1

1 ................

En laplace esta ecuacin puede escribirse%

C+) ,a*a:

27

[ ] )(1)(1221 tt yXyyXXX ===== )(

1

2)(111

332 tt yXyyXXX =====

[ ] )()()()( tntntntnn Xdt

dXXXX ====

( )

( )0)(

)()()()(

)()()()(

0XX

uDXCy

uBXAX

t

ttttt

tttt

o

t =

+=

+=

ububububyayayay n

o

n

nn

on

o

n

nn

++++=++++

+

1

1

1

1

1 .........,.....

SalidalaEsy

EntradalaEsu

Donde

&

&

&

( )

( ))(........

........

.....

1

1

1

1

1

1 nn

nn

nn

nn

o

s

s

aSaSaS

bSbSbSb

U

++++++++

=

[ ] 2)(1)(

21

)(1

===== ntntnntnnn yXyyXXX


28/40


2onde las variables de estado debido a los trminos derivados del segundo

miembro" deben ser tal que eliminan la derivada de en la ecuacin deestado%Fna forma de obtener una ecuacin de estado y una ecuacin de salida es

definir las siguientes )variables como un con(unto de ) variables deestado.

D+)*:

P+ + /a)/+:

(1 en (2

(3en (4.

A*9


29/40


$a representacin en el espacio estado para la ecuacin de entrada y desalida es%

29

)(.....

.

.

.

.

.

.

..........

1..........0000000

.

.

.0..........0000100

0..........0000010

.

.

.

1

1

0

1

2

1

1654321

2

1

Iu

X

X

X

X

aaaaaaaaX

X

X

n

n

n

n

nnnnnnnn

o

o

o

+

=

[ ]

.

.

.00........0001

2

1

=

nX

X

X

y

ticaCaracterisEcuacAsI .0=


30/40


PROBLEMA

2ado el sistema encontrar una representacin en variable de estado.

6dems se cumple%

SOLUCI&N:

62E&G#%

2el dato

(3)

30

UXX = 133

21 1X

SX =

21 XXS =

(1)X00 32110

21

0

++== XXXXX

( ) (2)3

2132 XX

SX

I

+=

UXX +=3

1

3UXX = 133


31/40


: en 9

2el dato%

UXX = 133

2el 2iagrama de 'loque

/rdenando%

$a salida%

31

( )132

3

2XUX

SX +

+=

( ) 132 2223 XUXSX +=+ 1322 2223 XUXXSX +=+ UXXXSX 2232 3212 ++=

)(42232 32120

UXXXX ++=

UUS

SX 5

23 +

+=

USUSSX )5()2()5(3 ++=+ USUUSUXSX 525 33 +=+

UXSX 35 33 =

(5)3500 321

0

3 UXXXX +=

U

X

X

X

X

X

X

3

2

0

5-00

23-2-

010

3

2

1

2

0

2

0

1

0

+=

[ ]

3

2

1

001

X

X

X

y=1X=


32/40


PROBLEMA

2ada la 3.T.

)545(

43022

2

)(

)(

SS

S

%

S

S

=

allar%

a. )()()( ttt BuAxX +=

)()( tt Cx =

N+/a.6para la solucin use el modelo de grafica de flu(os de se*ales conalimentacin directa de las variables de estado a la se*al de salida.

SOLUCION

2onde%

24

2

22

2

)(

)(

455

430

)545(

430

SS

S

SS

S

%

S

S

+

=

=

32


33/40


004505

300400234

234

)(

)(

+++++++=SSSS

SSSS

%

S

S

300400004505 234234 +++=++++ uuuuyyyy

1a 2a 3a 4a 0b 1b 2b 3b 4b

6dems% Deemplazando datos%

210)4(4530

0)4(00

4

0

0

4

3

22

1

0

====

====

b

6dems%

00

0

1

0

uyX =

2onde% uXX 110

2 =

uXX 1210

+=

#imilar para% uXX 2320

+=

uXX 3430

+=

uXaXaXaXaX 44132231440

+++=Deemplazando datos%

33

0413223144

03122133

021122

0111

00

aaaab

aaab

aab

ab

b

==

==

=

uuyX

uyX

1

0

0

0

2

01

=

=

uXXXXX

uXXXXuXX

uXXXXuXX

uXXXXuXX

21004500

00000

40004

00000

43214

0

432143

0

432132

0

432121

0

+=

++++=+=

+++==

++++=+=


34/40


$a salida y 7HH.2.8 LINEALIZACI&N USANDO

EL DESARROLLO DE LASERIE DE TAYLOR

5ara aplicar este mtodo tambinse debe suponer que las variablesse desvan poco dentro de unacondicin de operacin. #i setiene un sistema no lineal cuya

entrada es % ( )t y cuya salida >( )t " donde su relacin esta dado

por.

34

u

X

X

X

X

X

X

X

X

210

0

4

0

04500

1000

0100

0010

4

3

2

1

4

0

3

0

2

0

1

0

+

=


35/40


En la linealizacin se considera solo una parte de la curva como una lnearecta" que es pendiente a esa curva en el puntoX s ,que va a ser la condicinnormal de la operacin en el punto de equilibrioX s , Y s .X s : Es el valor de la variable en el estado estacionario.

6plicando el desarrollo de la serie de Taylor y suponiendo que las variables sedesvan poco dentro de una ecuacin de operacin.

( )xfy=

$a condicin normal de operacin se da el punto de equilibrio" SS X ,

2onde%

#i la evaluacin ( )sXX es peque*a se podra despreciar los trminos deorden superior en ( )SXX

#iendo

35

( ) ( )S

xxXXenevaluadosSon

dx

Fd

dx

dF=,

2

2

( ) ( )sX

S XXdx

fdyy +=

( ) ( ) (2).........sx

s XXdx

dfyy =

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ......

12

1 22

2

+

+

+== S

X

x

o

S

X

x

Xx XXdX

fdXX

dX

dfffy

SS

S

( )sS xfy =

( )xfy=


36/40


4emos que ( )syy es proporcional a ( )sXX .5or lo tanto la ecuacin (2 da un modelo matemtico lineal de un sistema nolineal dado.

LA SERIE DE TAYLOR APLICADOS A SISTEMA NO LINEAL CUYA SALIDAES UNA FUNCI&N DE DOS ENTRADAS 21 XyX

#u aplicacin lineal ser alrededor del punto normal de operacin6plicando Taylor%

2onde%

$as derivadas parciales se calculan%

sS XXXX 2211 , == " adems cerca del punto normal de operacin se puededespreciar los trminos de orden superior.El modelo matemtico lineal aproximado ser%

6l eliminarlostrminosde orden

superior se tiene.

36

( )21,XXfy=

( )SS

XX 21 ...

( ) ( ) +

+

+= SXX

S

XX

xx XXx

fXX

x

ffy

SssS

ss 22

2

11

1

),(

2,12,1

21

( ) ( )( ) ( ) ] ...22

1 2222

2

2

2211

21

22

112

1

2

212,12,1

+

+

+

+ SXX

ss

XX

s

XX

XXx

fXXXX

xx

fXX

x

f

SSSSSS

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

+

+

+

+

+

=

2

222

2

2

2211

21

22

112

1

2

22

2

11

2

2

1sssS

sss

XXx

fXXXX

xx

fXX

x

f

XXx

fXX

X

fyy

( ) ( ) )3(...........222

11

1

sss XXxfXX

xfyy +=


37/40


$a ecuacin (3 da un modelo matemtico lineal de un sistema no lineal dado.

2. "ARIABLE DE DES"IACION

onocida tambin como variable de perturbacin el cual indica cuanto sedesvan las variables reales del punto en estado estacionario.5ara analizar los modelamientos de un sistema de control es importanterealizar el cambio de variables reales a variables desviacin donde%

1X % 4ariable de

desviacin

( )tX % 4ariable real en el instante ItJ

C s % variable de estado estacionario

EJEMPLO

Fna reaccin qumica que se inicia a Co45 en un instante t o " que es la

temperatura sT en el estado estacionario.2urante la reaccin qumica esta temperatura no se mantiene constante sinova a cambiar debido a las perturbaciones as%

! En 1t se encontrara a Co44 ! En 2t se encontrara a Co46

4emos que las variables reales de la temperatura en los tiempos 210 ,, ttt sonCCC ooo 46,44,45 respectivamente.

En trminos de variable de desviacin con respecto al valor deseado que es@? Co para%

! En ot no hay desviacin

! En 1t hay una desviacin de ( )( )CCXXXC ooSto 45441 1 ==! En 2t hay una desviacin de ( )( )CCXXXC ooSto 45461 1 ==

37

( ) st XXX =1


38/40


PROBLEMA

Fn dispositivo no lineal se representa con la funcin%

21)( X'

X ==

#e pide linealizar el dispositivo" cuando el punto de operacin para la entrada

X es 21

0=X .

6sumir que la entrada varia en un peque*o intervalo alrededor de 0X .

SOLUCI&N:

S!

21

)( X'

X ==

El dispositivoesta dado%

38


39/40


5ara la linealizacin del dispositivo no lineal se considera solo una parte de lacurva como una lnea recta" pendiente a esa curva en el punto 0X " que es lacondicin normal de operacin en el punto de equilibrio ),( SS X .6plicando la serie de Taylor y suponiendo que las variables se desvan un pocodentro de una ecuacin de operacin.

)(X'=

2onde los trminos derivativos2

)(2

)(,

dx

'd

dx

d' XX " etc. son evaluados en 0XX= .

omo la evaluacin , 0XX 0 es peque*a se puede despreciar lostrminos de orden superior en , 0XX 0.

Kuedara% Xy=

)X-X( 0)(

0)(dx

d'y'y X

X +==

2onde%2

10)(0 === X'y X

).( 0)(

0

0

XXdx

d'yy

XX

X +==

39


40/40


)(1

2

1

2

2( 0

21

)00

00

XXX

xXXdx

Xdyy

XXXX

+=+====

)2

1(

21

1

2

1

2

1+= XxxX

2

2)

21(

2

2)( +== Xy' X

)2

11(2

2)( += X' X

2ispositivo $inealizado

40

4

2

2

2)( += X' X

Contro I - Cap. II-A

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