CAP. II RETI ELETTRICHE II.1 Topologia delle reti - Grafi...G. Lupò – Appunti dalle lezioni di...

G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo II – settembre 2016

II-1

CAP. II – RETI ELETTRICHE

II.1 Topologia delle reti - Grafi

Per rete elettrica si intende una connessione significativa di bipoli elettrici.

Gli elementi caratteristici (topologici) di una rete sono:

Lato: costituito da un bipolo o, volendo, dal bipolo equivalente ad una

connessione semplice di più bipoli.

Nodo: punto di connessione di più di due bipoli (si ha un nodo degenere se si

considera la connessione di due soli bipoli).

Maglia: definita dalla connessione di bipoli lungo un percorso chiuso.

Grafo (non orientato): mappa della connessione dei bipoli; il grafo si dirà

ridotto se non vi sono connessioni in serie o in parallelo (o si sono considerati i

bipoli equivalenti); un grafo si dirà completo se è prevista la connessione tra tutti

i nodi (un grafo potrà essere sempre completato considerando bipoli aperti in

luogo delle connessioni mancanti). Un grafo ridotto e completo poggiante su n

nodi ha un numero di lati pari a

L =[n (n-1) /2]

Albero: struttura fondamentale della rete, che collega tutti gli n nodi della

rete, senza dar luogo a maglie; l’albero ha quindi (n-1) rami.

Coalbero: parte della rete complementare all’albero; il coalbero ha quindi L-(n-

1) lati.

Grafo orientato: tutti i lati r-s hanno un riferimento (r-s) e per tutti si presume

assunta la stessa convenzione; ad esempio, se si sceglie la convenzione

dell’utilizzatore, il riferimento (r-s) indicherà sia la tensione Vrs che la intensità

di corrente Irs.

II.2 Sistema fondamentale Considerata una rete di L lati (su ognuno dei quali vi sia un bipolo per

ognuno dei quali è fissata la caratteristica V-I), risolvere la rete significa trovare

i valori delle 2L incognite tensioni e intensità di corrente. Occorre quindi

definire un “sistema fondamentale” risolvente; è necessario che questo sistema

sia costituito da 2L relazioni indipendenti. Un “pacchetto” di L relazioni

indipendenti è dato dalle stesse relazioni caratteristiche. Le altre relazioni saranno

collegate ad elementi topologici della rete (nodi e maglie); saranno quindi

chiamate “equazioni topologiche”.

II.3 Equazioni indipendenti ai nodi ( I principio di Kirchhoff) Ai singoli nodi si può esprimere un bilancio di carica: in condizioni

stazionarie non vi può essere accumulo di carica in ogni volume che

Le reti elettriche

II-2

“comprende” il nodo. Facendo riferimento ad un fissato intervallo di

osservazione, si potrà esprimere quindi un bilancio di intensità di corrente: la

somma “ponderata” delle intensità di correnti che interessano il nodo deve

essere nulla, dove per “ponderare” le intensità basterà moltiplicare per un

coefficiente (+1) [ oppure (-1)] l’intensità I se il riferimento è uscente dal nodo e

per un coefficiente (-1) [(+1)] se il riferimento è entrante (1).

Se si considerano le equazione ai nodi con sequenza definita da un albero, è

immediato constatare che le prime (n-1) equazioni ai nodi che si scrivono sono

indipendenti, mentre l’ultima è combinazione delle altre. Infatti ognuna delle

prime (n-1) equazioni conterrà un lato “nuovo” dell’albero; inoltre la intensità

di corrente di ogni lato compare nelle n equazioni due volte, una volta con un

peso (es: +1 nell’equazione al nodo rispetto al quale presenta il riferimento

uscente), un’altra con peso opposto (es.: - 1 nell’equazione al nodo adiacente

rispetto al quale presenta un riferimento entrante); quindi la somma dei membri

di tutte le n equazioni si riduce ad una identità.

II.4 Equazioni indipendenti alle maglie (II principio di Kirchhoff) Per le singole maglie si può riconsiderare l’irrotazionalità del campo elettrico

in condizioni stazionarie. Si potrà esprimere quindi un bilancio di tensioni

considerando l’annullarsi della circuitazione del campo elettrico lungo una

maglia percorsa in senso orario [antiorario]: la somma “ponderata” delle

tensioni incognite che interessano la maglia deve essere nulla, dove con

l’espressione “ponderare le tensioni” si intende moltiplicare per un coefficiente

(+1) la tensione V se il riferimento assunto per la tensione è congruente con la

circuitazione che si sta eseguendo e per un coefficiente (-1) nel caso contrario.

Se si considerano le maglie ottenute appoggiando all’albero i singoli lati del

coalbero, si ottengono [L-(n-1)] equazioni alle maglie indipendenti; si può

constatare che ogni altra equazione ottenuta considerando altre maglie è

combinazione delle equazioni suddette.

1 Per una scrittura sistematica della matrice dei coefficienti si potranno inserire in tutte le

equazioni anche le incognite non direttamente interessate, moltiplicandole per un coefficiente

nullo. La matrice dei coefficienti sarà quindi sparsa, ossia ricca di elementi nulli. La soluzione

attraverso un programma di calcolo del sistema fondamentale sarà in qualche modo

“complicata” dalla inversione di una matrice sparsa.


II-3

II. 5 Risoluzione del sistema fondamentale completo

Una volta scritte le L equazioni caratteristiche e le L equazioni topologiche, ci

si chiede se il sistema fondamentale ammette soluzioni. Atteso che le equazioni

topologiche sono semplicissime equazioni lineari, si potrà affermare che, se le

caratteristiche sono “normali”, il sistema ammette una ed una sola soluzione.

Se vi sono bipoli non lineari, occorrerà esaminare caso per caso le non

linearità. In molti casi il sistema ammette una ed una sola soluzione (e ad essa

potrà pervenirsi analiticamente con diversi metodi, ad esempio per

sostituzione), in altre casi occorrerà procedere per via numerica (esempio:

metodo di Newton-Raphson) o con altri metodi iterativi. In altri casi possono

presentarsi soluzioni dipendenti dalla “traiettoria” nel piano V-I.

Può essere sviluppata una opportuna formulazione matriciale per la

presentazione e la risoluzione del sistema fondamentale.

II. 5.1 Esempio n.1 di risoluzione del sistema fondamentale completo

Si consideri la rete di figura, nota come ponte di Weathstone:

Sia E=50V; R1=20Ω; R2=10Ω; R3=50Ω; R4=50Ω; R5=5Ω;

fig.II.5.1a fig.II.5.1b

Il grafo della rete è mostrato in fig.II.5a.1a, in cui è stato scelto un albero ADBC (tre

rami); il coalbero (3 rami) è tratteggiato.

Il grafo presenta 4 nodi; le equazioni indipendenti ai nodi sono quindi le seguenti 3:

A

B

D C

V

+

I5

E

R1 R2

R5

R4

+ E

I1

I3 I4

R3

I2

I

V1 V2

V4 V3

V5

V

Le reti elettriche

II-4

nodo A) (–1)I+(-1)I1+ (0)I2 +(+1)I3 +(0)I4 +(0)I5 =0

nodo D) (0)I+(0)I1+ (0)I2 +(-1)I3 +(+1)I4 +(-1)I5 =0

nodo B) (0)I+(+1)I1+ (+1)I2 +(0)I3 +(0)I4 +(+1)I5 =0.

Le maglie indipendenti e le relative equazioni si ottengono considerando i tre lati

del coalbero:

AB) (+1)V1+(0)V2+(-1)V3+(0)V4+(+1)V5+(0)V=0

DC) (0)V1+(+1)V2+(0)V3+(-1)V4+(-1)V5+(0)V=0

AC) (0)V1+(+1)V2+(+1)V3+(0)V4+(-1)V5+(-1)V=0

Le equazioni caratteristiche sono:

V=E

V1=-R1I1

V2=R2I2

V3=R3I3

V4=R4I4

V5=R5I5

Le soluzioni, che si possono ottenere impiegando metodi tradizionali (sostituzione,

regola di Kramer, ecc.) sono (2)

][441.0220

97];[045.0

22

1];[077.0

220

17

];[123.0220

27];[364.0

11

4];[318.0

22

7

54

321

AIAIAI

AIAIAI

][10];[22.022

5];[85.3

22

85

];[14.622

135];[64.3

11

40];[36.6

11

70

54

321

VVVVVV

VVVVVV

Si osservi che i valori assoluti della tensione e dell’intensità di corrente relativi al

generatore sono massimi nella rete (principio di non amplificazione, vedi §II.11).

Risolvendo il sistema rispetto a I5, si ottiene

4132

42413231

4132

43

43

21

215

5 RRRRE

RRRRRRRR

RRRR

RR

RR

RR

RRR

EI

L’intensità di tale corrente è nulla, qualunque sia il valore della tensione del

generatore nella cosiddetta condizione di equilibrio

4132 RRRR

Il verificarsi di tale condizione consente di determinare il valore di una resistenza

incognita R1 , conoscendo il valore di R2 ed R3 e facendo variare R4 in modo da ottenere

un valore nullo di I impiegando un amperometro molto sensibile (galvanometro). La

2 Per ritrovare “esattamente” i bilanci di tensione e corrente può essere utile far riferimento a

numeri razionali in forma frazionaria. Altrimenti occorre tener presente gli errori di

arrotondamento e troncamento tipici delle calcolatrici numeriche.


II-5

precisione nella misura dipenderà dalle tolleranze delle resistenze impiegate e dalla

classe dello strumento.

Volendo valutare la sensibilità del ponte, ossia quale sia la minima variazione di R1

che può essere “sentita”, si supponga che, a partire dalla condizione di equilibrio, vi sia

una variazione

111*1

*

111

4

321

R

RRR

R

RRR

In queste condizioni si avrà

3241325 1 RRE

RRRRE

I

Detta I5m la minima intensità di corrente leggibile dall’amperometro (ad es. 1 nA)

(divisione o “tacca” dello strumento analogico, cifra più bassa dello strumento

digitale), la sensibilità è data da

42413231

43

43

21

215

42413231

43

43

21

215

5

32

***

*

RRRRRRRRRR

RR

RR

RRR

RRRRRRRRRR

RR

RR

RRR

IRER

m

Se le resistenze all’equilibrio sono tutte dello stesso valore R, si ha

mm IE

RI

RER

RRRRRRRRRRRR

RR

RR

RRR

55

32

2

42413231

43

43

21

215

8

42***

*

ponendo R=1000Ω ed E=8V, si ha δ=10-6, ossia il ponte è sensibile alla variazione della

resistenza di una parte su un milione.

Altro esempio numerico con la formulazione completa del sistema fondamentale è

sviluppato in §II.23-

Le reti elettriche

II-6

II.6 Principio di sostituzione

Se il punto di lavoro P della connessione tra un bipolo B1 ed un bipolo B2 è

unico, esso può essere identificato anche sostituendo ai bipoli suddetti due

bipoli B1* e B2* le cui caratteristiche comprendano il punto P e questi

rappresenti ancora l’unico punto di lavoro. Ad esempio, in una connessione

generatore ideale di tensione(E)-resistore ideale(R) che ha come punto di lavoro

il punto P di coordinate (E, E/R), si può sostituire al resistore un generatore di

corrente ideale I*=E/R; il punto di lavoro P* della nuova connessione ha le stesse

coordinate del punto P (3).

Le sostituzioni sono sempre ammesse se il punto di lavoro è unico prima e

dopo la sostituzione. Attenzione quindi ai casi patologici.

Più in generale, si consideri una rete elettrica; se il sistema fondamentale

ammette una sola soluzione (ad esempio nel caso di sistemi lineari non

omogenei) è possibile sostituire ad un bipolo (con caratteristica qualsiasi purché

invertibile) un altro bipolo (ad esempio un generatore ideale di tensione o di

corrente con il valore della tensione o della intensità di corrente uguale a quello

della soluzione), purché il nuovo sistema ammetta una sola soluzione (ad esempio

non ci si ritrovi nei casi “patologici”).

II.7 Teorema di scomposizione (Sovrapposizione degli effetti)

Se il sistema è lineare, può essere considerare una qualsiasi scomposizione

del vettore-colonna dei termini noti e “scomporre” la soluzione in tante

soluzioni. Una utile scomposizione consiste nel considerare uno alla volta i

termini noti relativi ai singoli generatori, in quanto è molto più semplice

risolvere una rete lineare alimentata da un solo generatore. Quest’ultimo

procedimento prende comunemente il nome di sovrapposizione degli effetti.

II.8 Conservazione della potenza nelle reti elettriche - Potenze

virtuali - Teorema di Tellegen

Considerato che in regime stazionario la tensione su un lato posto tra i lati r

ed s può essere espressa come differenza di potenziale ( Vrs = ϕr - ϕs) e che vale

la legge di Kirchhoff ai nodi r ed s, si può facilmente dimostrare che è nulla la

3 Ad esempio, nella connessione di bipoli della fig.I.4.1, ai due bipoli si possono sostituire un

generatore di tensione V* ed un generatore di corrente I*. Non è lecito sostituire ad entrambi i

bipoli un generatore di tensione V* (o un generatore di corrente I*), perché sarebbe

indeterminata l’intensità di corrente (la tensione).


II-7

somma - estesa a tutti i lati - delle potenze valutate con la stessa convenzione.4

Quindi è nulla la somma delle potenze assorbite da tutti i lati ed è nulla la

somma delle potenze generate da tutti i lati. Se non si è adottata per tutti i

bipoli la stessa convenzione, la somma delle potenze assorbite - estesa a tutti i

lati per cui si è fatta la convenzione dell'utilizzatore - è pari alla somma delle

potenze erogate - estesa a tutti i lati per cui si è fatta la convenzione del

generatore-.

Se si considerano due reti con ugual grafo (in sostanza con lo stesso numero

di nodi) e con le stesse convenzioni sui lati omologhi (r-s,r'-s'), si può

ugualmente dimostrare che la somma delle potenze virtuali VrsIr's' estesa a tutti le

possibili connessioni è nulla (teorema di Tellegen). Questa proprietà è

“topologica” e potrebbe sembrare del tutto astratta; in realtà si vedrà subito una

applicazione “curiosa” (reciprocità) ma più avanti tale teorema permetterà di

valutare condizioni ottimali per il dimensionamento delle grandi reti di

distribuzione dell’energia elettrica.

II.8.1 Teorema di reciprocità

Come applicazione del teorema di Tellegen si consideri da un lato una rete

resistiva R alimentata da un generatore di tensione Ea (per semplicità, ideale)

situato nel lato a e l’intensità di corrente Ib in un ramo b (per semplicità: un

cortocircuito) e dall’altro la rete R’ modificata rispetto alla precedente solo nella

posizione del generatore Eb’, che trovasi nel lato b’ omologo di b ed in cui si

prende in considerazione l’intensità di corrente Ia’ nel lato a’ omologo di a. La

convenzione “virtuale” tra Ea e Ia’sia congrua con la convenzione tra Eb’ e Ia (ad

es. del generatore).

Applicando il teorema di Tellegen alle due reti si avrà:

4 Infatti, considerato un generico nodo r, si considerino tutti i collegamenti r-s orientati da r

verso i nodi adiacenti (s), cioè uscenti da r; si potrà scrivere

s s

rss

s

rssrsr

s

rssr

s

rsrs IIIIIV 0

Ogni nodo s sarà poi da valutare con tutti i collegamenti con riferimento entrante (Irs)

moltiplicato per (-ϕs); quindi

r s

rss I 0 . Va esplicitamente notato che estendendo

la sommatoria delle potenze ad ogni combinazione (r,s), il collegamento r-s viene considerato

due volte (una volta nel senso r-s, un’altra nel senso s-r); ma poiché rssrrsrs IVIV , si avrà

020 lati

rsrs

lati

rsrs

s,r

rsrs IVIVIV

Le reti elettriche

II-8

V I E I V I I

V I I V I E I

k k a a

lati

k k b

k k a

lati

k k b b

' ' '' '

' '' '

0 0

0 0

dove la sommatoria con apice è estesa a tutti i lati delle reti meno i lati a e b

(a’ e b’); per questi lati, costituiti dagli stessi resistori; sarà VI’=RI I’=RI’ I=V’I e

quindi

Ea I’a = E’b Ib (teorema di reciprocità)

In particolare se i due generatori erogano lo stesso valore della tensione, le due

intensità di corrente sono uguali. Si può quindi calcolare la corrente in un ramo di una

rete alimentata da un solo generatore “spostando” il generatore proprio in quel ramo e

calcolando l’intensità di corrente nel ramo dove si trovava originariamente il

generatore.

Si può riscrivere il teorema rimuovendo le ipotesi semplificative anzidette ed

anche considerando l’alimentazione con un generatore di corrente.

II.8.2 Esempio n.2 – Reciprocità

Quale applicazione del teorema di reciprocità si può considerare la figura di

rete nota come “ponte di Weathstone” già esaminata al §II.5.1, in cui non si

riscontrano configurazioni serie o parallelo di resistori “viste” dal generatore..

Fig. II.8.2.1 – Applicazione del teorema di reciprocità

Per il calcolo della intensità di corrente I5, basta considerare il secondo schema

in cui il generatore è stato posizionato proprio nel ramo 5. Se si pone E’5=E si

avrà quindi che il valore cercato è l’intensità della corrente I’. Essendo nel

V

+

I5

E

R1 R2

R5

R3 R4

+ E

I’3

I’1

I’5

+

E

’

5

R1 R2

R3 R4

R5

I’


II-9

secondo schema R1 in parallelo con R2 e R3 in parallelo ad R4, si avrà, applicando

la regola del partitore di corrente,

4132

432421431231542541532531

42413231

4132

43

43

21

215

43

4

21

2

'

'

5

43

4

21

2'

5

'

3

'

1

'

5'5

RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR

E

RRRRRRRR

RRRR

RR

RR

RR

RRR

E

RR

R

RR

R

R

E

RR

R

RR

RIIIII

eqE

L’intensità di corrente I5 è nulla se R2R3=R1R4 . Anche la tensione V5 è nulla.

Questa condizione (“ponte bilanciato”) come già visto può essere utilizzata per la

misura di resistenza, avendo a disposizione due resistori di resistenza nota, un

reostato ( resistenza variabile) , oltre al resistore di resistenza incognita.

La condizione di “ponte bilanciato” assicura che anche al variare di E non vi

è sollecitazione elettrica sul bipolo R5 anche se trattasi di bipolo generico, attivo

o passivo, ed anche non lineare. Quindi in tali condizioni non vi è

“interferenza” tra il lato o diagonale di alimentazione ed il lato o diagonale di

“rivelazione” (contenente R5 o qualsiasi altra apparecchiatura rappresentabile

con un bipolo).

Le reti elettriche

II-10

II.9 Generatore equivalente di tensione (Teorema di Thévénin)

Si consideri una rete costituita da bipoli normali (attivi e passivi), accessibile

ai morsetti A-B (bipolo attivo A-B), ovverosia collegabile attraverso A-B ad un

altro bipolo (5).

Al fine di valutare genericamente il funzionamento qualunque sia il bipolo

connesso, ossia la caratteristica della rete suddetta ai morsetti A-B ( ossia

valutare il legame tensione corrente V-I ), nel caso che la rete sia costituita da

bipoli normali, può essere considerato un bipolo elementare costituito da un

generatore reale di tensione ossia dalla serie di un generatore ideale di tensione

Vo e di una resistenza Req (bipolo equivalente di Thévénin) dove Vo è la tensione V

“a vuoto” cioè immaginando di collegare A-B ad un bipolo aperto ed Req è la

resistenza equivalente della rete “vista” ai morsetti A-B quando nella stessa rete

sono stati spenti tutti i generatori.

Fig.II.9.1 - Sostituzione di un bipolo con un generatore ideale di corrente o di tensione

Tale proprietà può essere dimostrata applicando il principio di sostituzione

(nel caso la soluzione esista e sia unica) e la sovrapposizione degli effetti. Nel

caso infatti esista un solo punto di lavoro per i valori (V,I) di fig.II.9.1, in cui

sono stati individuati due morsetti A-B a sinistra dei quali si ha una rete lineare,

si può sostituire al bipolo a destra un generatore ideale di corrente I o un

generatore ideale di tensione V. Nel primo caso, la tensione V si otterrà

considerando il contributo V’ della rete a sinistra di A-B quando il generatore di

corrente è spento (V’ è quindi la tensione a vuoto) ed il contributo dato dal

generatore di corrente – su cui è applicata la convenzione dell’utilizzatore – che

“vede” la rete a sinistra resa passiva, ossia, a parte il segno, la sua resistenza

equivalente ai morsetti A-B. Avremo quindi V=Vo-ReqI; poiché, come si è visto,

questa è la caratteristica di un generatore reale di tensione, la rete a sinistra dei

morsetti A-B è equivalente al bipolo (di Thévénin)costituito dal generatore

erogante la tensione a vuoto ai morsetti A-B in serie con la resistenza vista ai

morsetti A-B sulla rete resa passiva.

5 Tale bipolo potrà essere attivo o passivo ed anche non lineare, salvo le considerazioni di cui

appresso.

I V

n

I

V

n

B

A A

B B

A I

n

V

n


II-11

Il punto di lavoro effettivo è stabilito dal confronto della caratteristica del

bipolo equivalente di Thévénin con la caratterista del bipolo “esterno” (che può

essere un bipolo elementare [anche non lineare (6)] o un altro bipolo

equivalente).

II. 10 Generatore equivalente di corrente (Teorema di Norton)

Al fine di valutare la caratteristica della rete suddetta ai morsetti A-B (ossia

valutare il legame tensione corrente V-I), nel caso che la rete sia costituita da

bipoli normali, può essere considerato un bipolo elementare costituito da un

generatore reale di corrente ossia dal parallelo di un generatore ideale di

corrente Icc e di una resistenza Req (bipolo equivalente di Norton) dove Icc è la

“intensità della corrente di cortocircuito” cioè immaginando di collegare A-B ad

un bipolo cortocircuito ed è Req la resistenza equivalente della rete “vista” ai

morsetti A-B quando nella stessa rete sono stati spenti tutti i generatori.

Questo teorema di Norton si dimostra anch’esso a partire dalla sostituzione

di fig.II.9.1 con un generatore ideale di tensione e valutando la intensità di

corrente I come contributo I’ dei generatori a sinistra ( I’ è la intensità di

corrente di cortocircuito tra i morsetti A-B) e il contributo I” del generatore V,

che “vede” la rete passiva. Sarà quindi I=Icc+V/Req, con immediata equivalenza

con un generatore reale di corrente (bipolo di Norton).

Il punto di lavoro effettivo è stabilito dal confronto della caratteristica del

bipolo equivalente di Norton con la caratterista del bipolo “esterno” (che può

essere un bipolo elementare [anche non lineare] o un altro bipolo equivalente .

I bipoli di Thevenin e Norton sono ovviamente equivalenti tra loro; i tre

parametri equivalenti sono legati dalla relazione Icc = Vo/Req e quindi il terzo si

potrà dedurre dalla conoscenza dei primi due.

Sarà opportuno il ricorso al teorema di Thévénin, quando l’apertura di un

ramo “frantuma” significativamente una rete (es. configurazioni di sottoreti in

serie), mentre il generatore equivalente di corrente di Norton sarà più

facilmente valutabile nel caso di sottoreti in “parallelo”(7).

6 Se dal confronto delle due caratteristiche si evidenziano una molteplicità di soluzioni,

occorreranno ulteriori valutazioni (legate ad esempio alla “storia” subita dal bipolo, alla

“stabilità” della soluzione, ecc.). 7 Il teorema di Norton si applica infatti continuamente nelle reti di distribuzione dell’energia

elettrica, dove i dispositivi sono collegati a sbarre o linee equipotenziali.

Le reti elettriche

II-12

II.11 Proprietà di non-amplificazione (delle tensioni e delle correnti)

Considerata una rete di bipoli di cui uno solo attivo, si può dimostrare che la

tensione ai capi del bipolo attivo ha, in valore assoluto, il valore più elevato.

Infatti, considerato un generico nodo r interno alla rete (non collegato con il

generatore), la somma delle correnti Irs uscenti dal nodo è nulla; quindi alcuni

termini sono positivi ed altri negativi. Poiché i lati r-s incidenti sul nodo r

contengono bipoli passivi (Vrs Irs0), si avranno termini positivi e negativi anche

tra le tensioni Vrs.

Ricordando che Vrs=Vr-Vs , ci sarà quindi almeno un nodo r’ a potenziale

maggiore di r e un nodo s’ a potenziale minore. Potremmo quindi costruire una

“scaletta” di potenziali che avrà un massimo ed un minimo (essendo l’insieme

dei nodi comunque finito) che corrisponderanno ai morsetti a-b del generatore:

per questo lato non si potrà ripetere il ragionamento suesposto essendo

necessariamente (per il teorema di conservazione delle potenze) Vab Iab0.

Considerata una rete di bipoli di cui uno solo attivo, si può dimostrare che

l'intensità di corrente erogata dal bipolo attivo assume, in valore assoluto, il

valore più grande rispetto alle intensità di corrente negli altri lati. Infatti se si

considera un generico collegamento r-s tra due gradini contigui della “scaletta”

dei potenziali, si potrà separare un insieme di nodi a potenziale maggiore di r

ed un insieme di nodi a potenziale minore di s (fig.II.11.1). I collegamenti tra i

due insiemi sono interessati, per costruzione, da intensità di corrente Irs e Ir’s’

non negative per tutti i lati fuorchè per quello (necessariamente presente)

corrispondente al generatore, per cui sarà Iab <0. Quindi si avrà un solo valore

negativo che sarà necessariamente in modulo maggiore degli altri. Il

ragionamento può estendersi a qualsiasi lato della rete.

Fig.II.11.1 – Non-amplificazione delle correnti

a

b

r

s

r’

s’

Vr’>Vr

Vs’<Vs


II-13

II.12 Principio di compensazione (*)

Si consideri una rete di cui sono note le tensioni Vk ed le intensità di corrente

Ik; si supponga che si abbia una variazione ΔRn (positiva o negativa) di

resistenza in un generico ramo n, quindinnn RRR '

in tutti i rami le intensità di corrente e le tensioni si porteranno ai valori

kk

i

k

kkk

iII

vVV

'

Per calcolare la nuova soluzione, basta quindi calcolare le variazioni.

Se si volesse “compensare” la variazione, si potrebbe pensare ad un

generatore di tensione ΔEn [di corrente ΔIn] opportuno in modo che sulla serie

nn ER ' ci sia la tensione di valore uguale a quella che c’era prima della

variazione, ossia Vn. Per l’unicità della soluzione, l’intensità della corrente nel

ramo n-mo si riporterà al valore I e tutte le altre grandezze della rete si

riporteranno al valore precedente.

Saranno quindi facilmente confrontabili i due schemi di fig.II.12.1, in cui è

messo in evidenza il ramo n-mo

A) B)

Fig. II.12.1– Compensazione con generatore di tensione

Dovrà risultare quindi

nnnnnnnnnnnnn IREIRREIREIRV '

In altri termini, per “compensare” la variazione di resistenza, occorre inserire

nel ramo n-mo, con la convenzione del generatore rispetto al riferimento In, un

generatore di tensione pari al prodotto della intensità In (supposta nota) e della

variazione della resistenza.

In definitiva, per conoscere le grandezze in tutti i rami in seguito alla

variazione di resistenza nel ramo n-mo, basterà considerare la scomposizione

della rete di fig.II.12.1B in quelle di di fig.II.12.2 .

A) B)

Fig.II.12.2 – Scomposizione applicata alla fig. II.12.1B

Rn

In

Vn

In

R’n

Vn

ΔEn

+

I’n

R’n

V’n R’n

I”n

V”n

ΔEn

+

Le reti elettriche

II-14

Si deduce dal confronto della fig.II.12A e delle figg.II.12.1B e II.12.2B che la

variazione della grandezze nella rete (e quindi i valori finali) possono essere

calcolati inserendo nel ramo n-mo un solo opportuno generatore (di valore

nnn IRE ); è infatti

"'"'

kkkkkkk IIIIIII

Fig.II.12.3 – Calcolo delle variazioni

Questa proprietà può essere mostrata anche “compensando” con un

generatore di corrente. Sono infatti facilmente confrontabili i due schemi di

fig.8, in cui è messo in evidenza il ramo n-mo

A) B)

Fig.II.12.4- Compensazione con generatore di corrente

Dovrà risultare quindi

nnnnnnnnnnn

n

nnnn

n

n VGIVGGIVGIVR

IVGVR

I '

'

11

In altri termini, per “compensare” la variazione di resistenza, o meglio la

variazione di conduttanza, occorre inserire nel ramo n-mo, con la convenzione

del generatore rispetto al riferimento Vn, un generatore di corrente pari al

prodotto della tensione Vn (supposta nota) e della variazione della conduttanza.

In definitiva, per conoscere le grandezze in tutti i rami in seguito alla

variazione di conduttanza nel ramo n-mo, basterà fare riferimento agli schemi

di fig.II.12.5.

R’n

ΔIn

ΔVn

ΔEn=-ΔRnIn

+

Rn

In

Vn

In

R’n=1/G’n

Vn ΔIn


II-15

A) B)

Fig.II.12.5 – Valutazione delle correnti finali

Si deduce dal confronto della fig.II.12.4A e delle figg.II.12.5A e B che la

variazione delle grandezze nella rete (e quindi i valori finali) possono

Fig.II.12.6- Calcolo delle variazioni

essere calcolati inserendo nel ramo n-mo un solo opportuno generatore di

corrente (di valore nnn VGI ), come in fig.II.12.6; è infatti "'"'

kkkkkkk IIIIIII

II.13 Teorema di Cohn (*)

Si consideri una rete di resistori accessibile a due morsetti A-B ed un generico

ramo i-mo. La resistenza equivalente ai morsetti A-B dipende in genere da tutte

le resistenze della rete. Al variare della resistenza Ri del ramo i-mo si avrà una

variazione della resistenza Req ai morsetti A-B tale che

(II.13.1) )(0 CohnditeoremaR

R

i

eq

Si consideri infatti una variazione infinitesima dRi della sola resistenza Ri nel

ramo i-mo. Alimentando tra A e B con un generatore di tensione ideale costante

E, si avrà (fig.II.13.1)

i

i

eq

eqieq

eqeqeq

dRR

RdRRfR

IdRdIRdEIRE

,....)(...,

0

ΔIn= - ΔGnVn

ΔIn

R’n=1/G’n

ΔVn -I”k=ΔIk

I’n

R’n

V’n

In

R’n=1/G’n

Vn ΔIn

I’k

Ik

Le reti elettriche

II-16

Fig.II.13.1 –Teorema di Cohn: (I) rete di partenza; (II) rete variata nel ramo i-mo.

Applicando il principio di compensazione si avrà (fig.II.13.2)

Fig.II.13.2 –Applicazione del teorema di compensazione

Applicando il teorema di Tellegen alle reti (I)-(IV) e considerando che sono

uguali le sommatorie estese ai lati interni, si ha

2

2

22

2

I

I

R

R

dIdRIdRIdRR

RI

dIdRIdRIdIIRdIIRR

dRIIR

dI)dRR(I)dRI(IdIIRdIIRdVIdIVdIE

i

i

eq

iiiiii

i

eq

iiiiiiiiiii

eq

eq

eq

iiiiiiiiiieqiiii

avendo trascurato il termine di ordine superiore. Se ne conclude che la

resistenza equivalente ai capi di un bipolo è una funzione non decrescente di

una qualsiasi resistenza comunque collocata nella rete.

Considerato nuovamente il principio di non amplificazione, per cui le

intensità di corrente vanno diminuendo in valore assoluto man mano che ci si

“allontana” dai morsetti A-B, si nota che, allontanandosi dai morsetti di

ingresso, la resistenza equivalente diventa sempre meno “sensibile” alla

variazione delle resistenza del lato i-mo.

E’ notevole anche il caso limite in cui la resistenza equivalente non “sente” la

variazione della resistenza del lato i-mo.

IidRi

+

dIi

Ri+dRi dVi

dI A

B

-IidRi

+

(IV)

Ii

Ri+dRi Vi

+

E

I A

B

(III)

Ii

Ri

Vi

+

E

I A

B

Ii+dIi

Ri+dRi

Vi+dVi +

E

I+dI A

B

(II) (I)


II-17

La condizione 0

i

eq

R

R, già considerata nel “Ponte di Weathstone” è di

notevole interesse nelle applicazioni (disaccoppiamento resistivo): la sorgente E

non “influenza” nè “interferisce” con il lato i-mo, ovvero il lato i-mo è immune

dalle variazioni o perturbazioni del generatore E (8).

II.14 Metodo dei potenziali nodali

Se in una rete elettrica si assumono come incognite ausiliarie i potenziali

degli n nodi della rete (considerato un nodo di riferimento, si avranno n-1

nuove incognite), la tensione del lato posto tra il nodo r ed il nodo s sarà Vrs=ϕr-

ϕs e la intensità di corrente, se i bipoli sono normali e si assume la convenzione

dell’utilizzatore, sarà del tipo Irs=(ϕr-ϕs+Ers)/Rrs, dove Ers è il valore della

tensione del generatore (con il primo morsetto rivolto ad r) ed Rrs è la resistenza

del lato. Le n-1 equazioni indipendenti per conoscere i potenziali nodali si

potranno dedurre dal bilancio delle correnti al nodo, scritto in funzione della

differenza fra i potenziali nodali.

Nel caso di bipoli normali, la matrice del coefficienti A nell’equazione A φ +

B = 0 (dove φ è il vettore delle incognite potenziali nodali, di dimensioni [1x (n-

1)]) è costituita dai termini di conduttanza propria sulla diagonale principale

Grr , pari alla somma delle conduttanze dei lati incidenti nel nodo r, resi

passivi . I termini fuori diagonale (r-s) vengono chiamati conduttanze mutue e

rappresentano la conduttanza del lato considerato, cambiata di segno.

In tal modo il sistema fondamentale può essere impostato in modo diretto

(per ispezione). Infatti, come si è detto, la tensione su un lato collegante due lati r-

s può essere espressa, in condizioni di funzionamento quasi stazionario, come

differenza tra i valori che il potenziale elettrico assume in r ed s. Si avranno

quindi l (numero di lati) relazioni del tipo

(II.14.1) srrsV ,

per un lato r-s contenente un generatore reale di tensione si potrà scrivere

(II.14.2) rs

rssrrs

R

E)(I

8 Trattasi di un primo accenno alle tematiche della Compatibilità Elettromagnetica, campo di

grande attualità non solo nel campo delle Misure Elettriche, ma anche e soprattutto nella

certificazione di prodotti industriali “generatori” o “vittime” di campi elettrici e magnetici

stazionari e non stazionari.

Rrs

r s Irs

Ers +

Le reti elettriche

II-18

Se il lato contiene un generatore ideale di tensione o di corrente, si potrà

scrivere

(II.14.3) srrsE

(II.14.4) rsrs JI

Se si esprime il bilancio delle tensioni su una maglia mediante i potenziali

nodali, utilizzando la ((II.14.1)) si avrà una identità.

Il bilancio al nodo r potrà essere espresso (escluso il caso in cui nel ramo v’è

solo un generatore ideale di tensione) nel seguente modo:

(II.14.5)

"s

rs

's 's rs

rs

rs

s

's rs's

r

"s

rs

rs

rssr

s

rs JR

E

RRJ

R

E)(I

110

dove s” indica i lati contenenti un generatore di corrente.

Posto

,rnodoalitocortocircudicorrentidellesomma

s)(raconduttanzmutua

r

"s

rs

's rs

rsrcc

rs

rs

's rs

rr

JR

EI

RG

nodoaltanzaautocondutR

G

1

1

dalla (II.14.5) si genera il sistema

(II.14.6)

cc,N

cc

cc

NN,N,N,N

N,

N,

I

...

I

I

...

G...GG

............

G...GG

G...GG

1

2

1

1

2

1

112111

122221

111211

Il sistema quindi risulta di N-1 equazioni nelle incognite potenziali nodali.

La scrittura del sistema (II.14.6) può avvenire quindi per ispezione, cioè per

osservazione diretta della rete. Si hanno complessivamente [2L+N-1] equazioni

nelle incognite tensioni, correnti e potenziali nodali, ma una volta risolto il

sistema (II.14.6) nelle incognite potenziali nodali, le altre 2L equazioni sono del

tipo (II.14.1-2-4) e quindi estremamente semplici.


II-19

Il metodo dei potenziali nodali si presta bene quindi a risolvere la rete con

pochi nodi. Un classico esempio si ritrova nelle “reti a fascio” in cui i rami

collegano due soli nodi (fig.II.14.1)

Fig.II.14.1 –rete a fascio

In questo caso l’incognita è una sola:

(II.14.6)

321

2

2

1

1

111

RRR

JR

E

R

E

V AAB

Tale relazione, generalizzabile ad un numero qualsiasi di lati in parallelo,

prende il nome di formula di Millman

(II.14.6)

'krs

'k "k "k

'k

'k

R

JR

E

1AAB VV

dove il segno – viene inserito nel caso di generatore Ek’ ha il primo morsetto

rivolto verso B e il riferimento per il generatore di corrente è rivolto verso A.

Nel caso di lato contenente un generatore ideale di tensione (Rrs=0) non si

può procedere per ispezione. Tuttavia si può modificare la rete considerando

due generatori di tensione in parallelo e “rimuovendo” un nodo (s): le tensioni e

le intensità di corrente negli altri lati rimangono inalterate, l’intensità di

corrente nel ramo del generatore si ottiene per ricomposizione (fig.II.14.2). In tal

caso l’ordine del sistema si riduce.

Fig.II.14.2 – Eliminazione di un nodo

J

A B

E1 +

E2 +

R1

R2

R3

r s Ir

s

Ers

+

Irs2 s2

r s1 Irs1

+ Ers +

Le reti elettriche

II-20

II. 15 Metodo delle correnti di maglia

Questo metodo è il duale del metodo dei potenziali nodali.

Se in una rete elettrica di ℓ lati si considerano un insieme di ℓ-(n-1) maglie

indipendenti – ad esempio considerando l’insieme dell’albero e di ciascuno

degli ℓ-(n-1) lati del coalbero-, si può associare un riferimento Jk – omogeneo

con una intensità di corrente - “prestato” per continuità dal riferimento per

l’intensità di corrente Ik fissato nel lato del coalbero e “prolungato” all’intera

maglia k-ma (“corrente fittizia di maglia”) (fig.II.15.1).(9)

Le intensità di corrente nei rami dell’albero si ottengono come semplici

combinazioni delle “correnti di maglia” Jk . I “percorsi” Jk entrano ed escono da

ogni nodo per cui i bilanci di corrente ai nodi, scritti in termini di Jk, si

risolvono in identità:

)()()(0)3

)(0)2

)()(0)1

faabbfedc

ffaafea

abbadba

JJJJJJIII

JJJJIII

JJJJIII

Fig.II.15.1 – Correnti di maglia

9 Si ribadisce l’opportunità di assumere intensità e riferimento di Jk congruenti con l’intensità e

riferimento dell’unico lato del coalbero facente parte della k-ma maglia.

Jb

Ja

Jf

Ia

Ib

Ic

1 2

3 4

Id

Ie If


II-21

Si consideri una rete lineare (costituita da bipoli normali). Se si assumono

come incognite ausiliarie le ℓ-(n-1) correnti di maglia , atteso che per una rete

lineare ogni caratteristica di lato potrà essere scritta in termini del tipo (10)

V E Rrs rs rs Jkk ,

si potrà scrivere le ℓ-(n-1) equazioni alle maglie in termini di correnti di

maglia.

Si potrà scrivere quindi un sistema “ridotto” in termini di correnti di maglia

e quindi facilmente ricavare le incognite tensioni e correnti di lato.

I termini della sommatoria sono moltiplicati per un coefficiente (-1) se il

riferimento della corrente di maglia è discorde da quello di Irs.

Nel caso trattasi di un lato del coalbero, la sommatoria delle correnti fittizie si

riduce ad un solo termine.

Anche in questo caso le equazioni possono essere scritte per ispezione. La

matrice dei coefficienti sarà costituita sulla diagonale principale (Rii) dalla

“resistenza di maglia” ottenuta sommando le resistenze che si incontrano nei

lati della maglia, i termini fuori diagonale (Rij=Rji) rappresentano la somma dei

valori delle resistenze dei lati comuni alle maglie i e j, i termini noti sono

collegati alle “tensioni a vuoto” di maglia, il tutto in modo perfettamente duale

al metodo dei potenziali nodali.

La presenza di un generatore di corrente ideale in un lato rende non

immediatamente praticabile il metodo per ispezione. Il lato che lo contiene però

può essere scelto come lato del coalbero e dar luogo ad una corrente di maglia

di valore noto, per cui si riduce l’ordine del sistema.

In alternativa, se un lato contiene un generatore ideale di corrente Jrs (Grs=0)

direttamente in parallelo ad un resistore R*rs (cioè ci si trova di fronte ad un

parallelo equivalente ad un generatore reale di corrente si può si può

modificare la rete considerando il generatore di tensione equivalente (tensione a

vuoto Ers=JrsR*rs, resistenza equivalente R*rs ); se il generatore di corrente non è

direttamente in parallelo ad un resistore, si possono creare nuove “maglie”

elementari, a partire dai morsetti del generatore di corrente ideale, come in

fig.II.15.2; si rientra così più volte nel caso precedente. E’ quindi sempre

possibile utilizzare il la scrittura per ispezione.

10 questa espressione non può essere scritta per un bipolo generatore di corrente ideale; in

questo caso sarà opportuno considerare il ramo contenente il generatore ideale di corrente come

ramo del coalbero: si avrà una corrente “fittizia” di valore noto.

Le reti elettriche

II-22

Jrs

J

r

s

Fig.II.15.2 – Rottura di una maglia contenente un generatore di corrente ideale

Il metodo delle correnti di maglia si ritrova particolarmente utile quando il

numero delle maglie è basso rispetto al numero dei lati e/o quando vi siano

molti generatori di corrente.

Ad esempio la figura poligonale sotto indicata (fig.II.15.3) (con numero di lati

perimetrali del poligono qualsiasi), alimentata da generatori di corrente, dà

luogo ad una sola equazione nella corrente di maglia J, ricavandosi poi

rapidamente tutte le grandezze (Millmann ):

rs

rsrsrs

R

ERJJ

dove il segno (-) va adoperato nel caso di discordanza tra il riferimento di J e il

verso r-s

fig.II.15.3 – Rete ad anello

r s Jrs

u

r s Jru=Jrs

u

Jus=Jrs


II-23

II.16 N-poli

Una rete accessibile da N morsetti (poli) 1,2..,N prende genericamente il

nome di N-polo; una rete accessibile da N coppie (porte) di morsetti ordinati (1-

1’),(2-2’),...,(N-N’) prende il nome di N-bipolo; una rete accessibile da N m-ple

di morsetti (1-1’-1”-...-1(m)),..., (N-N’-N”-...-N(m)) prende il nome N-m-polo (N-

porte di m poli). Nel caso di una sola coppia di morsetti ordinati si ritrova il noto

bipolo.

La caratterizzazione degli N-bipoli può essere effettuata a partire dalla scelta

della convenzione sulle singole porte (ad esempio può essere scelta per tutte le

porte la convenzione dell’utilizzatore). Le singole porte possono poi essere

alimentate con generatori di tensione o di corrente (vedi §II.17).

La caratterizzazione dell’ N-polo viene in genere effettuata fissando per

l’intensità della corrente elettrica un riferimento congruente su tutte le porte (ad

esempio un riferimento entrante); poiché la rete rappresenta una struttura

limitata, le intensità di corrente, supposto un funzionamento stazionario, sono

tra loro dipendenti. Per il principio di conservazione della carica sarà infatti

(II.16.1) 01

N

k

kI

Nella scelta della caratterizzazione dell’N-polo – su base corrente o su base

tensione – si dovrà tener conto sia della (II.16.1)che della conservazione del

campo elettrico stazionario.

Sono previste per i generatori due configurazioni fondamentali: nella

configurazione concatenata i morsetti dei generatori sono collegati in sequenza

tra i poli 1_2,2_3, 3_4…,(N-1)_N,N_1, nella configurazione stellata un morsetto

del generatore è collegato al polo k e l’altro ad un morsetto esterno O (centro

stella) in comune con gli altri generatori.

L’alimentazione in corrente non potrà prevedere quindi N generatori stellati

di corrente di valore arbitrario I1,I2,…,IN: l’N-mo è dipendente dagli altri N-1.

Possono viceversa essere previsti N generatori arbitrari di corrente concatenati

J12,J23,…,JN1.

L’alimentazione in tensione non potrà prevedere N generatori concatenati di

tensione V12,V23,…,VN1 di valore arbitrario, essendo nulla la somma dei loro

valori. Possono viceversa essere previsti N generatori di tensione stellati

E1,E2,…,EN di valore arbitrario, collegati ad un centro stella esterno comune.

Le reti elettriche

II-24

Ci si limiterà in questa sede alla caratterizzazione di N-poli lineari passivi

alimentati da generatori di tensione stellati.

Le intensità delle correnti I1,I2,…,IN (dette anche correnti di linea) possono

essere ottenute come somma dei contributi dei singoli generatori E1,E2,…,EN (di

valore arbitrario); tali contributi, trattandosi di rete lineare, sono proporzionali a

valori E1,E2,…,EN ; i coefficienti di proporzionalità sono omogenei a conduttanze

e saranno indicati con Gjk, dove l’indice j si riferisce alla linea (al polo) e l’indice

k al generatore di tensione stellata; per j=k tale coefficiente ha il significato

ordinario di conduttanza equivalente ai morsetti del generatore k (quando gli

altri generatori sono spenti) e, pertanto, prende il nome di conduttanza propria o

autoconduttanza del polo j; nei casi in cui j è diverso da k, si parlerà di

conduttanza mutua tra i poli j e k.

Le relazioni tra correnti di linea e tensioni stellate

I1=G11E1+G12E2+…+G1NEN

I2=G21E1+G22E2+…+G2NEN

(II.16.2) …………………………….

IN=GN1E1+GN2E2+…+GNNEN

può essere riscritta in forma matriciale (prodotto righe per colonne)

(II.16.3) EGI

dove I rappresenta l’array (riga) delle correnti di linea ed E l’array (colonna)

delle tensioni stellate. La (3) ricorda la legge di Ohm per il bipolo.

La matrice delle conduttanze

(II.16.4)

NNNN

N

N

GGG

GGG

GGG

G

..

........

..

..

21

22221

11211

gode delle seguenti proprietà :

a) ha rango inferiore a N ed il suo determinante è nullo: la matrice non

è invertibile;

b) gli elementi della diagonale principale (autoconduttanze) sono

quantità non negative;

c) le conduttanze mutue non possono essere positive (11);

11

se ad esempio G12 fosse positiva, si avrebbe, alimentando con un generatore E2=1 V, una

intensità di corrente positiva I1 secondo il riferimento entrante del polo 1; avremmo quindi,


II-25

d) per il principio di non amplificazione delle correnti l’intensità di

corrente Ij erogata dal generatore j-mo non potrà mai essere inferiore in modulo

alla intensità Ik≠j; si avrà quindi GjkGjj;

d) il calcolo di Gjk e di Gkj si effettua su schemi reciproci, quindi per il

teorema di reciprocità Gjk=Gkj;

e) considerando che la (1) deve valere qualunque siano i valori delle

tensioni dei generatori stellati, si ricava dalla (2) che la somma di tutti i

coefficienti di una colonna (e quindi di riga) è nulla (12).

In definitiva, il numero degli elementi “essenziali” di una matrice delle

conduttanze si ottiene considerando che la matrice è simmetrica e che gli

elementi della diagonale principale possono ottenersi a partire dalle

conduttanze mutue di riga o colonna; tale numero vale quindi (N2-N)/2 ossia

N(N-1)/2 . Tale risultato corrisponde alle combinazioni senza ripetizione di N

elementi su due posti e quindi al numero di lati in un grafo ridotto completo

con N nodi propri.

Si può quindi pensare di associare ad un N-polo una rete equivalente che si

ottiene considerando un grafo ridotto completo attestato su N nodi, ciascuno

corrispondente ad un polo; la figura che si genera viene chiamata poligono

completo (13).

Si può facilmente mostrare che se si parte da un N-polo strutturato come

poligono completo con resistori di resistenza Rjk tra i poli j e k, la conduttanza

mutua Gjk di tale N-polo è pari a –1/Rjk.

In altri termini, vi è una corrispondenza biunivoca tra gli elementi Gjk di

mutua conduttanza di un N-polo e le resistenze Rjk di un poligono completo di

resistori. Quindi si può “trasformare” un N-polo qualsiasi in un poligono

completo di resistori di N vertici (14).

Con riferimento a strutture a “stella”, di fondamentale impiego nella

distribuzione dell’energia elettrica, ci si chiede se è possibile trasformare un N-

nella rete resistiva alimentata dal solo generatore E2, un nodo interno a potenziale inferiore al

potenziale del secondo morsetto del generatore, che è a potenziale minimo (se la tensione del

generatore è positiva); 12 Poiché l’unica autoconduttanza deve essere non negativa, si conferma che il valore assoluto

delle conduttanze mutue, non positive, deve essere inferiore al valore della autoconduttanza; in

particolare, se quest’ultima è nulla, saranno nulli tutti gli elementi di colonna o di riga . Se

l’autoconduttanza è nulla, il polo corrispondente è “isolato” dagli altri.

13 Trattasi di un ordinario poligono di n vertici, diagonali comprese.

14 E’ da notare che con tale trasformazione scompaiono tutti i nodi interni della rete originaria.

Se si volessero avere indicazioni, ad esempio, sui potenziali dei nodi interni, occorrerebbe

ricavare tali valori a parte.

Le reti elettriche

II-26

polo generico (o anche un poligono) in una stella di N resistori. La condizione

necessaria è che sia N(N-1)/2=N. Tale operazione sarà quindi possibile solo nel

caso N=3 (trasformazione triangolo-stella) (15).

15 Ovviamente, ad ogni stella è sempre associabile un poligono completo equivalente. Si abbia

una stella di resistori di centro O; sia Rio la resistenza del resistore tra il polo i-mo ed il centro

stella. L’autoconduttanza al polo i-mo si otterrà valutando la serie tra Rio ed il parallelo tra le

rimanenti resistenze:

N

ikk k

i

ii

R

R

G

)(;1 0

01

1

1

La conduttanza mutua Gij si otterrà considerando il partitore di corrente

N

ikk k

i

N

ikk k

jo

iiN

ikk k

jo

ii

i

j

i

i

i

j

i

j

j

i

ij

R

RR

RG

R

RG

I

I

E

I

I

I

E

I

E

IG

)(;1 0

0

)(1 0)(1 01

1

1

1

1

1

1

Queste espressioni permettono di costruire il poligono completo di resistori (ij

ijG

R1

)

Se N=3 si ha la trasformazione stella triangolo

20

302030102010

31

31

10

302030102010

23

23

30

302030102010

3020

302010

30

2030

20

3020

10

3020

12

12

1

1

1

11

111

1

R

RRRRRR

GR

R

RRRRRR

GR

R

RRRRRR

RR

RRR

R

RR

R

RR

RRR

GR

Sommando le tre relazioni membro a membro si ha

R10

Rn0 In

R20

Y

I1

I2

Ii

Ei +


II-27

II. 17 N-bipoli

Si ricorda che una rete accessibile da N coppie (porte) di morsetti ordinati

(1-1’),(2-2’),...,(N-N’) prende il nome di N-bipolo (N-porte).

La caratterizzazione degli N-bipoli può essere effettuata a partire dalla

scelta della convenzione sulle singole porte (ad esempio può essere scelta per

tutte le porte la convenzione dell’utilizzatore). Le singole porte possono poi

essere alimentate con generatori di tensione o di corrente. Non vi è alcun

vincolo per le tensioni e le correnti.

Nella scelta della caratterizzazione dell’N-bipolo – su base corrente o su base

tensione – si potrà procedere come per l’N-polo, ricordando che non ci sono

vincoli per i generatori.

Sono previste per i generatori due configurazioni fondamentali

(alimentazione in corrente e alimentazione in tensione) ed altre ibride

(generatori di corrente su alcune porte e di tensione su altre).

L’alimentazione fondamentale in corrente prevede quindi N generatori di

corrente di valore arbitrario I1,I2,…,IN.

L’alimentazione fondamentali in tensione prevede N generatori di tensione

V1,V2,…,VN di valore arbitrario applicati alle N porte.

Ci si limiterà in questa sede alla caratterizzazioni di N-bipoli lineari passivi

nelle configurazioni fondamentali, sottolineando però che vi sono numerose

configurazioni ibride di un certo rilievo e diffusione, il cui modello è facilmente

ricavabile.

Le relazioni tra correnti e tensioni alle porte (alimentazione su base tensione) è

la seguente

I1=G11V1+G12V2+…+G1NVN

2312

20302010

2

302030102010

302010

302030102010312312

1111RR

RRRR

RRRRRR

RRRRRRRRRRRR

da cui

312312

2331

30

312312

3112

10

312312

2312

20

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

Tali relazioni costituiscono la trasformazione triangolo-stella.

Se le tre resistenze della stella sono uguali (R10=R20=R30=RY) anche le tre resistenze del triangolo

sono uguali (R12=R23=R31=R) e si avrà RY=R/3.

Le reti elettriche

II-28

I2=G21V1+G22V2+…+G2NVN

……………………………. (II.17.1)

IN=GN1V1+GN2V2+…+GNNVN

che può essere riscritta in forma matriciale

(II.17.2)

dove I rappresenta l’array (riga) delle correnti ed V l’array (colonna) delle

tensioni.

La matrice delle conduttanze

NNNN

N

N

GGG

GGG

GGG

G

..

........

..

..

21

22221

11211

(II.17.3)

gode delle seguenti proprietà :

- a) ha rango uguale a N ed il suo determinante non è nullo: la matrice è

invertibile;

- b) gli elementi della diagonale principale (autoconduttanze) sono quantità

positive;

- c) le conduttanze mutue possono essere positive o negative;

- d) per il principio di non amplificazione delle correnti l’intensità di

corrente Ij erogata dal generatore j-mo non potrà mai essere inferiore in

modulo alla intensità Ik≠j; si avrà quindi GjkGjj;

- d) il calcolo di Gjk e di Gkj si effettua su schemi reciproci, quindi per il

teorema di reciprocità Gjk=Gkj.

In definitiva, il numero degli elementi “essenziali” di una matrice delle

conduttanze si ottiene considerando che la matrice è simmetrica; esso vale

quindi [N+ (N2-N)/2] ossia N(N+1)/2 .

Poichè la matrice è invertibile, si può anche considerare la relazione

IRIGV 1

dove la matrice delle resistenze è l’inversa della matrice delle conduttanze. E’

appena il caso di notare che l’elemento Rij non è l’inverso di Gij; basti pensare,

tra l’altro, che gli elementi della matrice delle conduttanze vengono ricavati in

VGI


II-29

condizioni di cortocircuito su N-1 porte, gli elementi delle resistenze in

condizione di aperto su N-1 porte.

II. 18 Doppi bipoli

Nel caso di due coppie di morsetti la matrice delle conduttanze e quella delle

resistenze avranno 3 elementi indipendenti (due di auto e uno di mutua).

Il modello su base corrente

(II.18.1)

porta a considerare uno schema equivalente a T (T1 o T2 a seconda che sia Rm

positivo o negativo), in cui

mb

ma

mc

RRR

RRR

RR

22

11

fig.18

Il modello su base tensione

22212

21111

VGVGI

VGVGI

m

m

porta a considerare uno schema equivalente a Π (Π1 o Π2 a seconda che sia Gm

negativo o positivo), in cui

mb

ma

mc

GGG

GGG

GG

22

11

Fig.19

Nei modelli ibridi, vengono presi come base altri abbinamenti di grandezze

alle due porte : ad esempio nel modello

2221212

2121111

VhIhI

VhIhV

la matrice di connessione non è omogenea: h11 è la resistenza primaria di

cortocircuito ( resistenza equivalente ai morsetti 1-1’ con tensione nulla tra 2 e 2’),

h22 è la conduttanza secondaria a vuoto ( conduttanza equivalente ai morsetti 2-2’

con intensità di corrente nulla ai morsetti 1-1’), i termini mutui sono

22212

21111

IRIRV

IRIRV

m

m

2’

2

R

1

1’

2

2’

T1 T2

2’

2

Ra Rb

Rc

1

1’

T1

2

2’

Ra Rb

Rc

1

1’

T2

Gc

Ga

Gb

1

1’

Π1

2

2’

Gc

Ga

Gb

1

1’

Π2

Π1 Π1

Le reti elettriche

II-30

adimensionali e diversi (h12 è un fattore di partizione di tensione con porta

primaria a vuoto, h21 è un fattore di partizione di corrente con porta secondaria

in cortocircuito)(16).

Con la matrice di trasmissione T si intende proporre un modello utile per

rappresentare il collegamento in cascata di doppi bipoli, in cui la porta secondaria

del primo doppio bipolo viene collegata alla porta primaria del secondo doppio

bipolo, e così via. A tal fine risulta utile considerare la convenzione del

generatore sulla porta secondaria di ciascun doppio bipolo, in modo da far

risultare la convenzione dell’utilizzatore sulla porta primaria del doppio bipolo

successivo:

......I

VTT

I

VT

I

V

ITVTI

ITVTV

3

3

21

2

2

1

1

1

2222211

2122111

Fig.20

Gli elementi della diagonale principale della matrice T sono adimensionali

e possono anche essere negativi.

II. 18.1 Potenza assorbitai da doppi bipoli

Consideriamo ad esempio un doppio bipolo pilotato in corrente (II.18.1). La

potenza assorbita vale: 2

22221

2

1112211 2 IRIIRIRIVIVP m

Essendo 2

1111

11 I

R

R

R

VI m , si ha 2

2

11

2

22

11

2

1 IR

RR

R

VP m

. Il termine tra parentesi

corrisponde alla resistenza vista dalla porta 2 quando la porta 1 è

cortocircuitata, ossia l’inverso della autoconduttanza alla porta 2 ; pertanto la

potenza assorbita da un doppio bipolo resistivo consta di due termini

11

2

2

11

2

1

G

I

R

VP

Uno pari alla potenza assorbita alla porta primaria quando la seconda porta è

aperta (“potenza primaria a vuoto”, misurabile con una prova a vuoto) ed

l’altro legato alla potenza assorbita alla porta secondaria quando il primario è in

cortocircuito (“potenza secondaria di cortocircuito”, valutabile con una prova di

cortocircuito).

16

Si può dimostrare che risulta h12=-h21 applicando il teorema di Tellegen alle due citate

configurazioni di rete (terza forma del teorema di reciprocità).

1T

2T

V1 V2 V3

I1 I2 I3


II-31

§II.19 Trasformatore ideale

Trattasi di un doppio bipolo ideale, caratterizzabile con parametri ibridi o,

più semplicemente dalle relazioni v1/v2=a , i1/i2=-1/a (a - detto rapporto di

trasformazione- è numero reale diverso da zero). Esso può essere letto come

trasformatore di tensione e/o di corrente. Le tensioni e le correnti s’intendono

costanti o variabili nel tempo. Il trasformatore ideale è trasparente alla potenza.

Infatti

2222222

2111 ieppiva

iavivp genassass

Fig.II.19.1 – Il trasformatore ideale

Il trasformatore ideale è convenzionalmente rappresentato come in fig.21.

Avuto riguardo alla proprietà di trasparenza alle potenze, è diffuso l’uso di

considerare la convenzione dell’utilizzatore alla porta 1 e quella del generatore

alla porta 2.

Il trasformatore ideale è anche un trasformatore di resistenze; infatti se si collega

un resistore di resistenza R alla porta 2, la resistenza equivalente alla porta 1

vale (17):

ueq Rai

ea

i

va

a

i

av

i

vR 2

2

22

2

22

2

2

1

11

Fig.II.19.2 – trasformazione di resistenze

17 Per questa ragione si è usato spesso tale connessione per realizzare (in elettronica) un adattamento della

resistenza o meglio dell’impedenza, come si vedrà in seguito. Caso tipico è un altoparlante che per

funzionare con la massima potenza deve essere adattato all’amplificatore (come ben sanno gli appassionati

di audio ad alta fedeltà).

1

1’

2

2’

i1 i2 a

v1 v2

1

1’

2

2’

i1 i2 a

v1 e2

1

1’

2

2’

i1 i2 a

v1 v2 Ru

1

1’

2

2

’

i1 i2 a

v1 e2 Ru

Le reti elettriche

II-32

II.20 Doppi bipoli dinamici

Si consideri un doppio bipolo ed una relazione del tipo

(II.20.1)

dt

diL

dt

diMv

dt

diM

dt

diLv

2

2

1

2

21

11

Tale relazione è tipica del mutuo induttore ideale; in tale componente

possono essere considerati i flussi di campo magnetico concatenati con due

circuiti: il flusso concatenato con un circuito avrà un contributo collegato alla

corrente del primo circuito (flusso di autoinduzione) ed un contributo legato

alla corrente dell’altro circuito (flusso di mutua induzione):

(II.20.1) 221212

212111

iLiM

iMiL

Si può dimostrare che i due coefficienti di mutua sono uguali (18) e che

21

2 LLM

Nel caso sia 21

2 LLM (condizione di accoppiamento perfetto) l’energia magnetica

(II.20.1) 21

2

22

2

11212

1

2

1),( iMiiLiLiiwm

diventa un quadrato perfetto di un binomio ed è facile vedere che essa è nulla

per infinite coppie di valori delle intensità delle correnti │ i1/i2│= 21 LL . In

tali casi è il campo magnetico è nullo in tutto lo spazio.

Si vedrà più avanti (§IV.2) che il mutuo induttore è in genere un doppio bipolo

dinamico del secondo ordine, riducibile ad uno del primo ordine nel caso di

accoppiamento perfetto ed addirittura approssimato, sotto alcune ipotesi, da un

doppio bipolo di ordine zero.

18 Si consideri che il flusso Φ21 del campo di induzione magnetica B1 prodotto da una spira (o

avvolgimento) γ1 interessata da corrente di intensità i1 e concatenato con una linea chiusa (spira o

avvolgimento) γ2, ossia attraverso una superficie Sγ orlata dalla linea γ è, per il teorema di Stokes, pari

alla circuitazione del potenziale vettore A (definito dalla relazione B=rot A):

2 12 12

21

12

102

12

11022112121

44

dldl

r

idl

r

dlidliM 21

2

1 ttt

ttA . Allo stesso modo può essere

calcolato

2

11221212

dliM tA . Si deduce che i due coefficienti di mutua sono uguali. Allo stesso

risultato si perviene considerando che l’energia magnetica associata ad una coppia di valori (i1,i2) è

funzione solo di questi valori e quindi il differenziale 12212112 diiMdiiMdWM deve risultare esatto,

ossia deve essere 2112 MM .


II-33

II. 21 Reti con generatori dipendenti

La struttura del modello del doppio bipolo si presta ad una interpretazione

“circuitale” diversa, riprendendo il principio di sostituzione. Ad esempio il

modello su base tensione può essere interpretato con il contributo di generatori

“dipendenti o pilotati” (Im1 e Im2 ) rappresentati con losanghe negli schemi di

fig.II.21.1, il cui valore dipende da una grandezza di controllo che è una

grandezza della stessa rete o di altra rete.

(II.21.1) 222122212

211121111

VGIVGVGI

IVGVGVGI

mm

mm

Fig.II.21.1 – uso dei generatori pilotati

I generatori di fig. II.21.1 sono generatori di corrente pilotati in tensione. Possono

essere considerati anche generatori di corrente pilotati in corrente, generatori di

tensione pilotati in tensione o in corrente.

Per la robustezza del modello anche in questo caso la soluzione resta unica (con

ovvia attenzione ai casi patologici).

In presenza di generatori dipendenti potranno essere applicati tutti le proprietà

delle reti lineari, tenendo conto che il generatore non è caratterizzato da un

valore, ma da una funzione.

Andranno quindi valutati con attenzione, ad esempio, i parametri del

generatore equivalente ai morsetti di una rete contenente generatori dipendenti

(19).

Nei circuiti di segnale (per l’elettronica) i generatori dipendenti hanno una

consistente diffusione.

II.22 L’amplificatore operazionale

A partire dai progressi tecnologici ottenuti nel secondo dopoguerra su

amplificatori elettronici commerciali si è introdotto l’amplificatore operazionale

19

Ad esempio per il calcolo della resistenza equivalente non potranno essere “spenti” i

generatori dipendenti.

1

1’ 2’

i1 i2

v1

v2 G22

Im1 Im2

Le reti elettriche

II-34

come un n-polo costituito da due morsetti (+,-) in ingresso, due morsetti di

uscita ed un (eventuale) polo comune (M : massa) agli ingressi ed alle uscite

(fig.II.22.1).

Fig.II.22.1 – Amplificatori operazionali

Per valori molto contenuti della tensione di ingresso si possono ottenere

tensioni in uscita di molti ordini di grandezza superiore. La caratteristica è

lineare fino alla saturazione della tensione di uscita. Si definisce il guadagno in

tensione come i

uv

v

v (20).

Ai morsetti d’ingresso tensioni e correnti sono trascurabili rispetto ai valori in

uscita. Se si pone I+=I-=0 e vi=0 si realizza ai morsetti di ingresso il bipolo

nullatore; se si ipotizza che ai morsetti di uscita si può avere qualunque valore di

tensione ed intensità di corrente, si è di fronte al bipolo noratore (21).

20

Le intensità delle correnti in ingresso sono dell’ordine del micro o del nano ampere; le

tensioni di ingresso di qualche microvolt determinano tensioni di uscita fino a 10-15 V, con

guadagni dell’ordine del milione. 21

La caratteristica del bipolo nullatore si riduce ad un punto (l’origine); la caratteristica del

bipolo noratore è l’intero piano I-V.

vi

vu

uδ

-uδ

Vs

-Vs

i+

v+

v-

i-

M

αv vi

vu


II-35

II.23 Esempio n.3 di risoluzione completa di una rete lineare

Sia assegnata la rete:

Fig.II.23.1– Rete assegnata –

Valori: Ra=10 Ω ; Eb=4 V; Rb=2 Ω;Rc=10 Ω ;Ed=5 V; Rd=5 Ω;J*e=1 A; Rf=2 Ω

STUDIO GENERALE

La rete presenta L=6 lati (a,b,c,d,e,f) e N=4 nodi (1,2,3,4).

Il suo grafo (non orientato) è il seguente:

Fig.II.23.2 – Grafo non orientato

Per risolvere la rete occorre ovviamente fissare preliminarmente le L incognite tensioni vk e le L

incognite intensità di corrente ik (k=1…L); queste possono essere fissate

I) ad arbitrio ( è quello che faremo nel seguito);

II) in modo sistematico, adoperando per tutti i lati la stessa convenzione e ricorrendo

al grafo orientato (fig.II.23.3); ad esempio, orientando il lato a da 1 a 2, e riferendosi

alla convenzione dell’utilizzatore, saranno fissate automaticamente le incognite (v12

ed i12 ); questa procedura è opportuna nell’impiego di codici di calcolo numerico.

Je*

A

Rd

A

Rc

A

+

Eb

+

Ed

Ra

A

Rb

Rf

A

1 A

2 A

3 A 4

A

1 A

2 A

3 A 4

A

a A

f A

e A

d A

c A

b A

Le reti elettriche

II-36

Fig.II.23.3 – Grafo orientato

1 A

2 A

3 A 4

A

a A

f A

e A

d A

c A

b A


II-37

SCELTA ARBITRARIA DELLE INCOGNITE E SCRITTURA DEL SISTEMA

FONDAMENTALE

Si assegnano ad arbitro le 2ℓ incognite (fig..II.23.4)

Fig.II.23.4 – Riferimenti assegnati per le incognite

Si individua un possibile albero della rete ed il relativo coalbero (fig.5)

Fig. II.23.5 – Albero (lati a-b-c; sequenza nodi 1-2-3-4)

Si scrivono i bilanci delle intensità di corrente a (N-1) nodi; è opportuno pesare le intensità di

corrente sempre nello stesso modo [es: (+1) se il riferimento è uscente, (-1) se è entrante, (0)

se non c’e incidenza)

Nodo 1) (+1)ia+ (0)ib+(0)ic+(+1)id+(-1)ie+(0)if=0

Nodo 2) (-1)ia+ (+1)ib+(0)ic+(0)id+(0)ie+(+1)if=0

Nodo 3) (0)ia+ (-1)ib+(-1)ic+(0)id+(+1)ie+(0)if=0

Si scrivono i bilanci alle maglie indipendenti ottenute appoggiando all’albero il singolo lato

del coabero; è opportuno percorrere le maglie in modo congruente.

Lato d), sequenza 1341: v12+v23+v34+v41=0, ossia

+ _

Je

A

Rd

A

Rc

A

+

Eb

+

Ed

Ra

A Rb

Rf

A

1 A

3 A 4

A

ia

A

ib

A

id

A

ie

A

if

A

vc

A

+

A

_

+

A

+

A

+

A

2 A

ic

A _

_

_

vd

A

vb

A

+

A

_

ve

A

va

A

vf

A

1 A

2 A

3 A 4

A

a A

f A

e A

d A

c A

b A

Le reti elettriche

II-38

(+1)va+ (+1)vb+(-1)vc+(-1)vd+(0)ve+(0)vf=0

Lato e), sequenza 1231:

(+1)va+ (+1)vb+(0)vc+(0)vd+(-1)ve+(0)vf=0

Lato f), sequenza 2432:

(0)va+ (-1)vb+(+1)vc+(0)vd+(0)ve+(+1)vf=0

Restano le equazioni caratteristiche:

a) va- Raia =0

b) vb- Rbib =Eb

c) vc- Raic =0

d) vd- Rdid = Ed

e) ie = -Je*

f) vf- Rfif =0

METODO DEI POTENZIALI NODALI

Si indichino con ϕ1,ϕ2,ϕ3,ϕ4 i “potenziali” dei quattro nodi di fig.II.23.1. Si ponga ϕ4=0 . Le

tensioni incognite sono funzioni immediate dei potenziali nodali. Dalle equazioni

caratteristiche si ha

a) a

aR

i 21

b) b

bb

R

Ei

32

c) a

aR

i 21

d) d

dd

R

Ei

1

e) ie = -Je

f)

f

fR

i 2

e le equazioni ai nodi si scrivono

Nodo 1) e

d

d

ada

e

d

d

a

JR

E

RRRJ

R

E

R

1110 21

121

nodo 2)

b

b

bfbaafb

b

a R

E

RRRRRRR

E

R

111110 321

23212


II-39

Nodo 3) b

be

cbbcb

be

R

EJ

RRRRR

EJ

1110 32

323

ossia

1

2

0

10

6

2

10

2

1

10

11

10

1

010

1

10

3

1110

11111

0111

3

2

1

3

2

1

cbb

bfbaa

ada

RRR

RRRRR

RRR

da cui:

];V[];V[];V[117

20

117

210

117

70321

a) ]A[R

ia

a117

1421

; ]V[va117

14021

b) ]A[R

Ei

b

bb

117

1192

117

11532

; Vvb117

23032

c) ]A[R

ic

c117

23

; Vvc117

203

d) ]A[R

Ei

d

dd

117

1031

117

141

; Vvd117

701

e) ie = -Je=-1 [A]; Vve117

9031

f) ]A[R

if

f117

1052

; Vv f117

2102

Le reti elettriche

II-40

CONSERVAZIONE DELLA POTENZA

Se si effettua la somma pesata dei prodotti tensioni-corrente per i vari lati [ad esempio

associando un peso (+1) alla potenza assorbita ed un peso (-1) alla potenza generata] si

ottiene

02205105372142737196117

10

211059)117(7)103(22)23)(119()14)(14(117

10

2

2

ffeeddccbb

lati

aakk iviviviviviviv

In particolare, la potenza associata ai vari lati vale

mWivp

mWivp

mWivp

Wmivp

mWivp

mWivp

fff

eee

ddc

ccb

bbb

aaa

1610117

22050

769117

90

520117

7210

3117

40

2000117

27370

143117

1960

2

2

2

2

2

Si possono fare le seguenti osservazioni:

- la potenza associata al lato e) è una potenza erogata (è associata in fig.II.23.4 la

convenzione del generatore): il generatore di corrente, in questo caso, eroga una

potenza negativa; questo non deve meravigliare, basti considerare che i lati con

generatore di tensione assorbono una potenza negativa;

- lasciando i valori in fratti, il bilancio di potenze è esatto; sviluppando le divisioni con

una normale calcolatrice si osserva che risulta un errore di 6 mW, errore trascurabile

rispetto ai valori medi di potenze, ma enorme rispetto alla potenza del lato b (errore

relativo del 200%!!); gli ingegneri dovrebbero fare attenzione a “trappole numeriche”

come questa, molto più frequenti di quanto si immagini.


II-41

METODO DELLE CORRENTI DI MAGLIA

Si considerano le maglie indipendenti ottenute appoggiando all’albero uno alla vola i lati

del coalbero e si attribuisce un percorso orientato congruentemente alla intensità di corrente

del lato del coalbero; questo percorso viene classificato come “corrente di maglia” e ad esso

viene attribuito una “intensità di corrente” come prima definito. Con riferimento alla fig. 5

avremo quindi le correnti di maglia Jd=id, Je=ie e Jf=if. (fig.II.23.6).

Fig.6

Fig.II.23.6

Le equazioni alle tre maglie indipendenti si scrivono in funzione delle correnti di maglia. Se

vi sono nella rete lati con generatori ideali di corrente, scegliendoli come appartenenti al

coalbero, si avranno delle ovvie semplificazioni. Nel nostro caso Je=-Je* e quindi potremo

scrivere due sole equazioni

0

0

bedfbdfcff

edabfedbfdcddd

EJJJRJJRJR

JJREJJJRJJREJR

Tenendo conto dei valori noti

*

*

ebbdbcfbcf

eabdbfbcdabcd

JREJRRJRRR

JRREEJRRJRRRR

21214

131227

df

fd

JJ

JJ

da cui si ritrova

][117

103

][117

105

AJ

AJ

d

f

.

1 A

2 A

3 A 4

A

a A

f A

e A

d A

c A

b A Jd=id

Je=ie

Jf=if

CAP. II RETI ELETTRICHE II.1 Topologia delle reti - Grafi...G. Lupò – Appunti dalle lezioni di...

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