Continuità di una funzioneData una funzione y=f(x)Essa si definisce continua nel punto x=c se si verificano contemporaneamente le seguenti funzioni:• э il valore f( c) c Є Df(x)• lim f(x)=l X→c+ lim f(x)=l l è un valore finito x→c- l Є lR• f(c )=l Nel caso in cui anche una delle 3 condizioni non è verificata, la funzione non è continua nel punto x=c, si dice che in tale punto la funzione è discontinua e che x=c è un punto di discontinuità per la funzione.

Esistono 3 specie di discontinuità: di prima specie,

di seconda specie e di terza specie.

Punti di discontinuità di prima specieSi dice che per x=c la funzione y=f(x) ha un punto di

discontinuità di prima specie, quando esistono finiti ma diversi tra loro i limiti destra e sinistra per x→c della funzione:

Lim f(x)=l lim f(x)=lX→c- x→c+

Lim f(x)≠ lim f(x)X→c- x→c+

y= x / lxlQuesta funzione è definita per ogni x≠oLim x/ -x=-1 lim x/x=1X→0- x→0+ Nel punto x=o vi è una discontinuità di prima specie. y

1 ∙

x

∙-1

Punti di discontinuità di seconda specie

Si dice che per x=c la funzione y=f(x) ha un punto di discontinuità di seconda specie quando non esiste, o non esiste finito, uno almeno dei due limiti dalla destra o dalla sinistra di c.

Lim f(x)=0 x→clim f(x)=∞X→c

1/xY=2 Per ogni x≠0X=0 asintoto verticale e punto di discontinuità 1/x -∞Lim 2 =2 =0X→0- 1/x +∞Lim 2 =2 =∞X→0+X=0 punto di discontinuità di seconda specie

Punti di discontinuità di terza specieSi dice che per x=c la funzione y=f(x) ha un punto di

discontinuità di terza specie o eliminabile, quando esiste finito il limite per x→c di f(x), ma

f( c) o non esiste o è diversa dal valore del limite:

Lim f(x)=l l≠cX→c

Y=Ѵ(x+1) -2/x-3 (x+1)tutto sotto radiceX=3 punto di discontinuitàLimѴ(x+1) -2/x-3=lim x+1-4/(x-3)[Ѵ(x+1) +2]=X→3+ X→3+

Lim 1/ Ѵ(x+1) +2= ¼X→3+ Lim 1/ Ѵ(x+1) +2= ¼X→3-X=3 punto di discontinuità di terza specie