CONTINUITA’

CONTINUA

DISCONTINUA

Una funzione continua e’ una funzione il cui grafico non presenta interruzioni

CONTINUITA’

CONTINUA

Nel punto P(Xo,Yo) questa funzione è continua: se facciamo il limite per x tendente a Xo otteniamo come risultato Yo, che è anche il valore della funzione

Xo

Yo=f(Xo)

P

CONTINUITA’

DISCONTINUA

Questa è discontinua: se facciamo il limite sinistro e destro per x tendente a Xo questi danno due valori diversi, Yo e un altro, H. Il grafico compie un salto pari a Yo-H

Xo

Yo

H

CONTINUITA’

Data f:D->R, e dato Xo punto del dominio D, allora la funzione f si dice CONTINUA in Xo se il limite per x tendente ad Xo di f(x):

• ESISTE• E’ FINITO• E’ UGUALE A f(Xo)

Ovvero, in formule: )()( oxx

xfxfLimo

CONTINUITA’

Una funzione continua in tutti i punti di un certo intervallo si dice CONTINUA SU

QUELL’INTERVALLO

CONTINUITA’

Se una di queste clausole non è verificata allora la funzione si dice discontinua in Xo.

CONTINUITA’

I punti di discontinuità vengono classificati in tre specie

CONTINUITA’

Se il limite sinistro e destro di f(x) per x tendente a Xo:

• ESISTONO• SONO FINITI• SONO DIVERSI TRA LORO

Xo si dice punto di discontinuità di PRIMA SPECIE

CONTINUITA’

La funzione y=INT(x) offre un esempio di tale discontinuità: tutti i numeri interi sono punti di discontinuità di prima specie

1 2 3

CONTINUITA’

Se almeno uno dei due limiti, sinistro o destro, di f(x) per x tendente a Xo:

• NON ESISTE…• …OPPURE NON E’ FINITO

Xo si dice punto di discontinuità di SECONDA SPECIE

CONTINUITA’

La funzione y=ln(x) offre un esempio di tale discontinuità nell’origine

CONTINUITA’

Se il limite per x tendente a Xo esiste, è finito, ma è diverso della valore della funzione (oppure la funzione non esiste in Xo)

Xo si dice punto di discontinuità di TERZA SPECIE, o ELIMINABILE

)()( oxx

xfxfLimo

CONTINUITA’

La discontinuità si dice eliminabile perché basta alterare leggermente la definizione della funzione ponendo:

Per rendere la funzione continua

)()( xfLimxfoxx

o

CONTINUITA’

Un esempio è la funzione:

Infatti non esiste per X=0, ma il limite per x tendente a 0 è, come è noto, 1.Basta quindi porre:

f(0)=1

E la funzione risulta continua anche in 0.

x

senxxf )(

CONTINUITA’

Dove si trovano i punti di discontinuità di una funzione?

• Nei punti esclusi dal dominio (che siano però punti di accumulazione del dominio)

• Nei punti in cui l’argomento di un valore assoluto cambia segno

• in altri casi particolari

CONTINUITA’

TEOREMA DI WEIERSTRASS

Una funzione continua su un intervallo chiuso ammette sempre massimo e minimo assoluti su quell’intervallo

CONTINUITA’

Una curva senza salti, definita su un intervallo, di fatto può essere racchiusa in un rettangolo, la cui altezza avrà per estremi il massimo e il minimo della funzione

MINIMO

MASSIMO

CONTINUITA’

TEOREMA DI DARBOUX

Una funzione continua su un intervallo chiuso assume almeno una volta tutti i valori compresi tra il minimo e il massimo

CONTINUITA’

TEOREMA DI DARBOUX

Potremmo enunciarlo anche così: se la funzione f è continua sull’intervallo [a,b] e se il numero k è compreso tra min(f) e max(f) su tale intervallo, allora esiste un punto c appartenente ad [a,b] tale che:

f(c)=k

CONTINUITA’

Graficamente è abbastanza evidente che, se una curva è continua, al valore k compreso tra min e max deve corrispondere un valore c tra a e b

MINIMO

MASSIMO

a b

k

c

CONTINUITA’

TEOREMA DEGLI ZERI

Se f è una funzione continua su un intervallo chiuso e se su tale intervallo la funzione cambia segno, allora esiste almeno un punto dell’intervallo in cui la funzione si annulla

CONTINUITA’

TEOREMA DEGLI ZERI (altra versione)

Se f è una funzione continua su un intervallo chiuso e se su tale intervallo la funzione cambia segno, allora l’equazione:

f(x)=0

Ammette almeno una soluzione in tale intervallo

CONTINUITA’

E’ una conseguenza del teorema di Darboux; infatti se la funzione cambia segno sicuramente il massimo sarà un numero positivo e il minimo un numero negativo: e siccome 0 è sempre compreso tra un numero positivo e uno negativo, allora la funzione deve per forza assumere il valore 0.