Funzioni continue Prof. V. Scaccianoce1. Funzione continua in un punto Una funzione f(x) definita in...
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Funzioni continue
Prof. V. Scaccianoce 1
Funzione continua in un punto
• Una funzione f(x) definita in un intervallo si dice continua in un punto dell’intervallo se, per x tendente a quel punto f(x) converge al suo valore in quel punto
)()(lim
)()(lim)(
0cfhcf
hcxpostooppure
cfxfcincontinuaxf
h
cx
Prof. V. Scaccianoce 2
Funzione continua in un punto
Quindi deve• Esistere il valore della funzione in quel punto• Esistere il limite della funzione per x tendente
a quel punto e coincidere col valore della funzione
Prof. V. Scaccianoce 3
Funzione continua in un punto
Dalla definizione di limite si può anche dire• Una funzione è continua in un punto c se
avvicinandosi x a c la funzione si avvicina a f(c) oppure cade in un ε intorno di f(c)
)()()(
)()(
),(),())((:)(
cfxfcfcx
oppure
cfxfcx
cincontinuabacbaxfDxfdef
Prof. V. Scaccianoce 4
Funzione continua a destra o a sinistra di un punto
• Una funzione definita in un intervallo (a,b) si dice continua a destra di un punto c dell’intervallo se
)()(lim cfxfcx
)()(lim cfxfcx
• Una funzione definita in un intervallo (a,b) si dice continua a sinistra di un punto c dell’intervallo se
Prof. V. Scaccianoce 5
Esempi
• La funzione y=[x] (parte intera di x) per ogni x intero è continua solo a destra
• Una funzione definita nell’intervallo (a,b) in a è continua solo a destra, in b solo a sinistra
Prof. V. Scaccianoce 6
Teoremi sulle funzioni continue
Dalla definizione di continuità e dai teoremi sui limiti segue che
• Se 2 funzioni sono continue in un punto c è continua in c– La loro somma– La loro differenza– Il loro prodotto– Il loro quoziente (se la funzione al
denominatore non si annulla in c)
Prof. V. Scaccianoce 7
Teoremi sulle funzioni continue
• Una funzione costante è continua in qualsiasi punto
• La variabile x è continua in qualsiasi punto
• Le funzioni razionali intere sono continue in qualsiasi punto
• Le funzioni razionali fratte sono continue per ogni valore della x che non annulli il denominatore
Prof. V. Scaccianoce 8
f(x)=k continua x
• La funzione è definita per ogni valore
• Esiste il limite per x tendente ad un qualsiasi punto c ed è k infatti
• | f(c)-k|=|k-k|=0<ε
Prof. V. Scaccianoce 9
f(x)=x continua x
• La funzione è definita per ogni valore
• Esiste il limite per x tendente ad un qualsiasi punto x0 ed è x0 infatti
• | f(c)- c |=| c - c |=0<ε
Prof. V. Scaccianoce 10
Teoremi sulle funzioni continue
• Le funzioni senx e cosx sono continue per ogni valore della x
• La funzione y=ax (a>0) è continua x
• La funzione lgax (a>0) è continua x>0
• La funzione y=n√x è continua x>=0
Prof. V. Scaccianoce 11
Esempi
11
17
110
71525
12
73lim
2
13
2
16
3cos
32)cos2(lim
521lg232
lg23lim
12555lim
57252)75(lim
2
1)6()(lim
2
5
22
3
1
3
3
2323
2
6
x
xx
tgxxtg
xx
xx
senxsen
x
x
x
x
x
x
x
x
Prof. V. Scaccianoce 12
Continuità in un intervallo
• Sia y=f(x) una funzione definita in [a.b] essa è continua in tale intervallo se lo è per ogni punto dell’intervallo
(dal punto di vista intuitivo equivale a dire che il diagramma della funzione è “tutto d’un pezzo”)
Prof. V. Scaccianoce 13
Teoremi sulla continuità
Se una funzione è continua in x0
• Se f(x0)>0 esiste un intorno di x0 in cui f(x) > (Permanenza del segno)
• Se una funzione è continua in [a;b] e se f(a)e f(b) hanno segno opposto, allora esiste almeno x0 in cui f(x0)=0
(Esistenza degli zeri)
Prof. V. Scaccianoce 14
Teoremi sulla continuità
Se una funzione è continua in [a,b]
• in tale intervallo assume valore massimo M e minimo m (Weierstrass)
• in tale intervallo assume tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo(Bolzano-Darboux)
• se agli estremi assume valori opposti, si annulla almeno in un punto dell’intervallo
Prof. V. Scaccianoce 15
Funzione di funzione
• Data la funzione z=g(x) da A a B e si chiama funzione di funzione o funzione composta y=f(z)=f(g(x)) quella funzione che ad ogni valore di z=g(x) associa un determinato valore
• Esempio: z=g(x)=2x2+3 è una funzione il cui codominio è z≥3 y=f(z)=lg(z) ha quindi senso e y=lg(2x2+3) è la funzione composta tra f e g, cioè f(g(x))
Prof. V. Scaccianoce 16
Teorema
• Se g(x) ammette limite finito l per x che tende a x0 e f(z) è continua in l allora
)())(lim())((lim00
lfxgfxgfxxxx
Prof. V. Scaccianoce 17
Funzione inversa
• Se una funzione y=f(x) è biunivoca ad ogni valore di y corrisponde uno ed un solo valore di x quindi si può parlare di funzione che ad ogni valore della y fa corrispondere un valore x (x=g(y)) tale funzione è chiamata funzione inversa
• Esempi y=x2+5 è biunivoca per x≥0 l’inversa è x=√(y-5)
• y=lg(x) è monotona la sua inversa è x=ay
Prof. V. Scaccianoce 18
Teorema
• Se una funzione è continua in un intervallo ed assume i valori m ed M come minimo e massimo, la sua funzione inversa è continua nell’intervallo (m,M)
Prof. V. Scaccianoce 19
Limiti fondamentali
1lim0
x
senxx
1lim0
x
senxx
1lim0
x
senxx
Analogamente si dimostra l’esistenza del limite sinistro
Essendo uguali i 2 limiti è dimostrato il limite richiesto
Si dimostra l’esistenza del limite destro
Per x che tende a 0+ senx>0
Poiché senx<x<tgx dividendo per senx>0
1<x/senx<1/cosx invertendo
cosx<senx/x<1 poiché cosx e continua
e per il teorema del confronto CVD
O
y
x
x
senx
tgx
Se la variabile è espressa in gradi il limite vale π/180Prof. V. Scaccianoce 20
Limiti fondamentali
2
1
cos1
1lim
cos1
1cos1lim
cos1
cos1cos1lim
2
1cos1lim
2
2
0
2
2
020
20
xx
xsen
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x DIMOSTRAZIONE
Prof. V. Scaccianoce 21
Limiti fondamentali
ex
x
x
11lim
e=2,71… ed è la base dei logaritmi neperiani
ex xx
1
01lim
O anche
Prof. V. Scaccianoce 22
Limiti fondamentali
ae
t
t
x
atxper
txtacioètaposto
ax
a
exxx
x
x
xancheo
ex
x
ea
ax
x
x
axx
x
x
ax
xa
xa
x
a
x
x
aa
x
lglg
1
)1(lglim
1lim)0,0(
)1(lg11
lg1
lim
lg)1(limlg)1(lglim)1(lg
lim
1)1lg(
lim
lg)1(lg
lim
00
0
1
0
1
00
0
0
Prof. V. Scaccianoce 23
Punti di discontinuità o singolari
• 1a specie: se in quel punto esistono finiti i limiti destro e sinistro e sono diversi
• La differenza dei 2 limiti si chiama salto
• Esempio la funzione f(x)=[x] (parte intera di x) per ogni x intera ha una discontinuità di 1a specie con salto=1
Prof. V. Scaccianoce 24
Punti di discontinuità
• 2a specie: quando in quel punto non esiste uno dei 2 limiti destro o sinistro o se esiste è ±∞
• y=sen(1/x) in x=0 ha discontinuità di 2a
specie perché in tale punto non esiste limite né destro né sinistro
• y=a1/x con a>1 ha in x=0 una discontinuità di 2a specie perché il limite per x che tende a 0 da destra è +∞
Prof. V. Scaccianoce 25
Punti di discontinuità
• 3a specie: se esiste il limite finito della funzione il quel punto, ma ivi essa non è definita o, se è definita, il suo valore non è uguale al valore del limite.
• In questo caso la discontinuità si dice anche eliminabile
• f(x)=sen(x)/x ha in 0 una discontinuità di 3a specie infatti per x=0 esiste il limite, ma la funzione non è definita
Prof. V. Scaccianoce 26
Esercizi
• Studiare i punti singolari di y=tg(1/x)– La funzione non esiste per x=0 e x=π/2+kπ– Per x=0 non esiste né il limite destro né il
sinistro (discontinuità di 2a specie)– Per x=π/2+kπ la funzione vale ±∞
(discontinuità di 2a specie)
Prof. V. Scaccianoce 27
Forma indeterminata 0/0• Se si tratta di una funzione razionale fratta P(x)/Q(x) poiché
i polinomi sono funzioni continue il limite per x tendente a c sarà P(c)/Q(c), per il teorema del resto si avrà quindi che sia P(c) che Q(c) sono divisibili per (x-c) si opera quindi la semplificazione in quanto per x che tende a c x non è c e quindi si può dividere
12
1lim
)2)(1(
1lim
23
1lim
4
1
)1(2
1lim
)1)(1(2
1lim
22
1lim
1121
1121
xxx
x
xx
x
xxx
x
x
x
xxx
xxx
Se non si tratta di un polinomio fratto, si utilizza il metodo della sostituzione da solo o in combinazione con la fattorizzazione con limiti notevoli
111cos)(
lim)(
lim
)0,0()()(
lim
00
0
yysen
y
ytg
y
yxperxarctgypostox
xarctg
yy
x
Prof. V. Scaccianoce 28
Forma indeterminata 0*∞• In certi casi è sufficiente operare delle semplificazioni dopo
aver spostato i fattori in modo da poterli semplificare
0)2()2(lim2
)2()2(lim
2
1)2)(2(lim
2
14lim
2
2
2
2
2
2
xxx
xx
xxx
xx
xx
xx
Se non si tratta di un polinomio fratto, si utilizza il metodo della sostituzione da solo o in combinazione con la fattorizzazione con limiti notevoli
111cos)(
lim
)(cos
)cos(
)(lim
)(1)(lim
0
2
0
2
0
xx
xsen
x
x
x
xsen
x
xsenxtg
x
xx
Prof. V. Scaccianoce 29
Forme indeterminate ∞-∞
• Se si tratta di un polinomio intero P(x) si mette in evidenza il monomio di grado maggiore (è facile costatare che il limite corrisponde al limite di quel solo monomio e quindi è + o - ∞ a seconda del coefficiente e del grado del monomio)
• In altri casi, dopo aver individuato i termini a e b che tendono a +∞ e -∞ si razionalizza moltiplicando per la somma algebrica degli stessi termini di cui il 2° cambiato di segno.
Prof. V. Scaccianoce 30
Forme indeterminate ∞/∞
• Se si tratta di un polinomio fratto P(x)/Q(x) si mette in evidenza il termine di grado maggiore e si semplifica stando attenti ai segni
• È valida la seguente tabellaNumeratore di grado
> del denominatore
den>num
x tende a +∞ x tende a -∞ x tende a ±∞
Segni concordi
discordi
Segni concordi
discordi
+∞ -∞ +∞ -∞ 0
Se il grado del numeratore è uguale a quello del denominatore il risultato è dato dal rapporto dei coefficienti di grado massimo
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