Comunicare, ragionare, comprendere: i legami tra

educazione linguistica e matematica

Pier Luigi Ferrari

Università del Piemonte Orientale

Dipartimento di Scienze e Innovazione Tecnologica

Convinzioni e atteggiamenti degli studenti

Convinzione che il linguaggio abbia un ruolo marginale nella matematica

Convinzioni di chi fa ricerca

Linguaggio quotidiano

Linguaggio della matematica

‘Naturale’

‘Formale’

‘Conciso’

‘Rigoroso’

Nella scuola

Linguaggio per fare matematica

Linguaggio per comunicare

Caratteristiche divergenti

Cooperativo

Poco cooperativo

Approccio funzionalista Michael A.K. Halliday , Ruqaiya Hasan Le funzioni sociali del linguaggio ne disegnano la grammatica.

Confronto fra registri colloquiali e registri

evoluti

Registri matematici come forma estrema di

registri evoluti

I registri colloquiali sono fondamentali nella costruzione dei concetti

Problema (Radford, 2000; Ferrari, 2006)

O O O O O O

O O O O O O O O O O

Quante palline ci sono nelle figure fino alla ventesima?

Trovate una formula per calcolare il numero delle palline di ogni figura.

Riferimenti deittici (e anaforici)

“Allora, … … se tu, se il numero in alto fosse uguale alla base sarebbe un numero pari … però se noi togliamo un numero in verticale viene un numero dispari”

Espressioni

che il contesto rende non ambigue

che aprono la strada a generalizzazioni

“Nella figura cinque, nella figura quattro nella figura tre nella figura due i pallini della base sono uguali alla figura”

“ Al numero indicato nella figura”

“Perché in alto ce n’è sempre una in meno”

“In meno rispetto alla base”

Funzioni del linguaggio in matematica

Organizzazione del sapere: tassonomie tecniche

Organizzazione del discorso: argomentazione

Comuni alle discipline scientifiche

Decidibilità, rappresentazione degli algoritmi

Organizzazione del sapere: il lessico matematico

Gerarchia inclusiva

Equilatero/isoscele Quadrato/rettangolo

</ Razionale/reale

Rappresentazione efficiente del sapere matematico

Retta/curva

Conseguenza che deriva dal contenuto di un testo ma anche dall’assunzione che sia cooperativo.

“ABCD è un rettangolo ”

“Non tutte le caramelle sono alla menta”

implicatura

Non è un quadrato

Qualcuna è alla menta

“Trova le soluzioni dell’equazione …”

“Trova tutte le soluzioni dell’equazione …”

“Trova, se ne esistono, tutte le soluzioni dell’equazione …”

“Se l’equazione … ha soluzioni, trovale tutte, altrimenti …”

“Se l’equazione … ha una o più soluzioni, trovale tutte, altrimenti …”

3( )f x x x

−2 2

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−2 2

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

−2 2

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y

“Quale grafico corrisponde a f ?

“ Uno dei grafici corrisponde a f . Quale?

−2 2

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

y “Una delle equazioni corrisponde al grafico. Quale?”

3 1y x

3 1y x

3 1y x

2 1y x

Sintassi rigida

23+4 2(3+4)

Proprietà di decidibilità, algoritmi

Operazioni aritmetiche Radici equazioni

Organizzazione del testo a < b

a è minore di b

b > a

b è maggiore di a

Unicità di lettura di una formula

Topic Focus

1 1 4 3

3 4 12 12

Funzione puramente tecnica

Comportamenti rilevabili

Difficoltà nell’uso del linguaggio

Produzione di testi inaccurati, abuso dei

registri colloquiali

Errori di interpretazione di lessico, testi, formule,

immagini

Comportamenti non rilevabili

Mancate risposte, risposte a caso, risposte da stress

Linguaggio / conoscenze

Il prezzo di un prodotto all’inizio dell’anno è 50000 €. Nel corso dell’anno il prezzo aumenta del 20%.

Quanto costa il prodotto alla fine dell’anno?

Risposta: “52000 €. 50000 + 20 100 = 50000 + 2000 = 52000”

20%

Scritto

20100

Parlato

“Venti per cento”

Tra i grafici riportati sotto indicane tre che non corrispondono, nell’intervallo visualizzato, alla derivata della funzione g rappresentata a destra. Motiva.

−10 −5 5 10

2

4

6

x

y

−10 −5 5 10

−2

2

4

x

y

Grafico A

Oltre il lessico: l’organizzazione dei testi matematici.

La distanza di due punti di coordinate P(x,y) e Q(a,b)

è la radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze fra le ascisse di P e Q e le ordinate di P e Q.

2 2

PQd x a y b

Considero P e ne determino l’ascissa x e l’ordinata y. Considero Q e ne determino l’ascissa a e l’ordinata b. Calcolo la differenza fra l’ascissa di P e quella di Q e la elevo al quadrato. Calcolo la differenza fra l’ordinata di P e quella di Q e la elevo al quadrato. Sommo i due quadrati

così ottenuti. Calcolo la radice quadrata della somma.

Metafora grammaticale (Halliday)

Un’espressione è sostituita da un’altra di categoria grammaticale diversa

Nominalizzazione

Verbi nomi Addizionare somma Dividere divisore, … Unire unione

Aggettivi nomi Continuo continuità Parallelo parallelismo

Verbi aggettivi Crescere crescente Dividere divisibile

Altre trasformazioni

Se gli Umori dell’Occhio si degradano per l’Età avanzata, in modo da rendere, a causa della contrazione, la Cornea e la Membrana dell’Umor Vitreo più piatte di prima, la Luce non verrà rifratta abbastanza, e per mancanza di una sufficiente Rifrazione non convergerà al fondo dell’Occhio ma in qualche luogo oltre esso, e di conseguenza disegnerà nel fondo dell’Occhio un’Immagine confusa, and in base alla Confusione di questa Immagine l’Oggetto apparirà confuso. Questa è la ragione del degrado della vista nei Vecchi, e mostra perché la loro Vista è accomodata dagli Occhiali. Infatti quelle lenti Convesse compensano la mancanza di rotondità nell’Occhio, e aumentando la Rifrazione, fanno convergere i Raggi prima, in modo da incontrarsi distintamente al fondo dell’Occhio se la lente ha un grado di convessità adatto.

Complessità dei testi

Atteggiamenti Testi come prodotti

fuori controllo

Testi poco importanti

Lunghezza dei testi Processi di lettura selettivi

“Trova tutti i numeri primi della forma 2k+1, con k primo.”

Nel caso di passaggi in cui l’interpretazione attesa differisce da quella colloquiale, la percentuale di insuccesso dipende fortemente dalla lunghezza del testo e dalla presenza di elementi ritenuti focali dagli studenti (anche in base al contratto didattico).

2 1 1 1x x x

“Scrivi un polinomio di II grado con almeno due radici intere e almeno una razionale.”

Argomentazione

Per lo studente è innanzitutto la produzione di un testo.

Coesione del testo Organizzazione logica dell’argomentazione

Struttura topic – focus

Coesione testuale

Il tema della coesione testuale si sovrappone a quello dell’organizzazione logica degli argomenti.

Sia f definita in da

a) Calcola f ’(x) ……………………………..

Tra i grafici che seguono identificane uno che sicuramente non corrisponde a f. Spiega.

1

3

5( )

5

x

xf x

A) B)

x

y

x

y

Lo studente MF segna la B. Scrive: “Sicuramente non è il B perché la retta non può essere lineare e deve toccare l’asse delle x.”

Lo studente ZM segna la B. Scrive: “L’equazione essendo decrescente non ha un andamento costante, quindi la B non è. Nella A la x diventa 0, quindi la linea passa per i punti delle ascisse.”