[2002-ordin.suppletiva]Quesito9.      Dato un tetraedro regolare, si consideri il quadrilatero avente per vertici i punti medi degli spigoli di due facce. Dimostrare che si tratta di un quadrato.

 Con riferimento alla figura a lato, nel quadrilatero KLMN :

il lato LM è uguale e parallelo al lato KN perché entrambi paralleli allo spigolo AB ed uguali alla metà di esso ( per una nota proprietà dei triangoli)

analogamente il lato NM è uguale e parallelo al lato KL perché entrambi paralleli allo spigolo VC ed uguali alla metà

di esso

Essendo gli spigoli del tetraedro regolare uguali fra loro , i quattro lati sono uguali fra loro e a due a due paralleli

Per verificare che si tratta di un quadrato possiamo procedere in 2 modi

1) METODO TRIGONOMETRICODeterminiamo la lunghezza della diagonale MK sapendo che nel triangolo VBK

dove è la lunghezza dello spigolo

( Teorema di Carnot) →

Applicando ora il Teorema di Carnot al triangolo MBK dove

→

Questo prova che il quadrilatero KLMNè un quadrato

2) METODO GEOMETRICO

Ricordiamo che gli spigoli opposti , come AB e VC, sono sghembi, ma hanno direzioni tra loro ortogonali.

Infatti, per il teorema delle 3 perpendicolari, la retta AB è perpendicolare al piano VBC

Anche le rette KL , parallela a VC , e KN, parallela ad AB, hanno direzioni ortogonali e pertanto formano un angolo retto.

Il quadrilatero KLMN è quindi un rombo con un angolo retto , cioè un quadrato.