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Breve storia della geometria non euclidea

30 maggio 2017

Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio 2017 1 / 20

Cos’e la geometria non euclidea?

Le geometrie non euclidee (Segre):

”quelle che si svolgono logicamente quando dall’insieme delle premessedell’edifizio euclideo se ne sopprima qualcuna. Dapprima quel nomes’introdusse per quella geometria che si ha togliendo il postulato delleparallele: ed e appunto di quella che noi ci occuperemo.”

[Segre (1863-1924), quaderno delle lezioni sulla geometria non euclidea]



I postulati di Euclide

1 da qualunque punto si puo condurre una retta ad ogni altro punto;

2 ogni segmento si puo prolungare per dritto a piacimento;

3 con ogni centro e ogni distanza si puo descrivere un cerchio;

4 tutti gli angoli retti sono uguali;

5 se una retta, incontrando due altre rette, forma con esse da una medesimaparte angoli interni la cui somma sia minore di due retti, quelle due rette,prolungate indefinitamente, si incontrano dalla parte da cui stanno gli angolila cui somma e minore di due retti.



Le due questioni legate al quinto postulato

Il quinto postulato puo essere dimostrato a partire dai primi quattro?

Se il quinto postulato e indipendente dai primi quattro, e possibile sostituirlocon uno equivalente ma piu intuitivo?



Tentativi di risposta alla seconda domanda

il luogo dei punti equidistanti da una retta e una retta (Posidonio (135-50a.c.)

se una retta interseca una di due rette parallele, interseca anche l’altra(Proclo (412-485))

dato un singolo triangolo, ne esiste uno simile a quello dato e grande apiacere (Wallis (1616-1703))

la somma degli angoli di un triangolo e uguale a due angoli retti (Saccheri(1667-1733), Legendre (1752-1833))

per tre punti non allineati passa sempre la circonferenza di un cerchio (BolyaiFarkas (1775-1856)

per un punto fuori di una retta passa una e una sola parallela alla retta stessa(assioma di Playfair (1748-1819)


Tentativi di dimostrarne esistenza o non esistenza

Wallis e il suo postulato equivalente

Wallis (1606-1703):

”per ogni triangolo ne esiste un altro ad esso simile (con gli stessiangoli) e di grandezza arbitraria”

Ne consegue che in una geometria in cui non vale il quinto postulatonecessariamente figure simili devo essere uguali.

Nel triangolo sferico tre angoli determinano completamente il triangolo a meno diisometrie.



Saccheri precursore inconsapevole

Saccheri (1667-1733) esplora le conseguenze logiche della negazione del quintopostulato nella speranza di trovare delle contraddizioni, determinando pero unaserie di risultati di geometria non euclidea iperbolica.



Birettangolo isoscele

”la somma degli angoli di ogni triangolo e, nei tre casi, rispettivamenteeguale, maggiore o minore di due retti”

Indipendentemente da Saccheri, Al Kayyam prima e Lambert poi considerarono lacostruzione del quadrilatero trirettangolo (detto anche ”di Lambert”)



Lambert, Legendre e la diffusione dei risultati sul Vpostulato

Lambert(1728-1777) e piu critico nei confronti delle conseguenze trattedall’ipotesi dell’angolo acuto; interessante l’analogia tra le formule che leganol’area di un triangolo ai suoi angoli:

∆ = r2(A + B + C − π) (triangolo sferico)

∆ = ρ(π − A− B − C ) (triangolo iperbolico)

”dovrei quasi trarne la conclusione che la terza ipotesi si verifichi soprauna sfera di raggio immaginario!”

L’influenza e la diffusione di risultati, in massima parte gia noti a Saccheri eLambert, e dovuta a Legendre (1752-1833).



Le corrispondenze di Gauss

Gauss (1777-1855) fu il primo ad ammettere la possibilita di concepire unageometria non contraddittoria in cui non sia verificato il quinto postulato.

1792: primi tentativi di dimostrare il V postulato;

1816: tracce dello sviluppo di una geometria ”antieuclidea”;

1831: afferma in una lettera che la geometria non euclidea non ha in se nulladi contraddittorio;



Influenze di Gauss

Schweikart (1780-1857): geometria ”astrale”, in cui la somma degli angoli diun triangolo e minore di π e diminuisce quando l’area aumenta;

Taurinus (1794-1874): nelle formule di trigonometria sferica se si cambia ilraggio R della sfera in R

√−1 si ottengono relazioni tra lati e angoli che

assumono forma reale usando funzioni iperboliche che corrispondono a quellerelative all’ipotesi dell’angolo acuto.


La scoperta delle geometrie non euclidee

Lobacevskij(1792-1856): l’approccio empirista

Geometria ”immaginaria”:idea dell’esistenza di un’unita naturale per la distanza nella geometriaiperbolica;proprieta dell’”angolo di parallelismo”: il minimo angolo che una retta sparallela a una retta data r e passante per un punto A forma con la normalea r passante per A. E’ funzione decrescente della lunghezza c del segmentoortogonale condotto da A a r .

formule per il volume del tetraedro iperbolico, per cui introduce la funzioneche porta il suo nome

L(x) =

∫ x

0

log sec ydy



Bolyai: geometria assoluta ”elementare”

Bolyai (1802-1860) sviluppa la geometria iperbolica nello stesso spirito con cuiEuclide sviluppa quella euclidea.

Deriva la trigonometria del piano iperbolico non facendo uso delle relazionistereometriche;

a differenza di Lobacevskij non dimostra la consistenza della geometriaiperbolica, considerandola banale.



Diffusione delle geometrie non euclidee

Baltzer ”Elementi di geometria”;

Houel (traduzioni in francese di Lobacevskij e Bolyai);

Battaglini (traduzioni in italiano dal francese);

Beltrami (costruzione di modelli della geometria iperbolica).


I modelli per la geometria non euclidea

Modelli geometrici immersi

Modello immerso: una superficie dello spazio tridimensionale con metrica indottadalla restrizione della metrica euclidea in cui

1 i segmenti sono archi di curva geodetica;

2 i cerchi sono luoghi di punti equidistanti a un punto dato (centro del cerchio).

Tre esempi (euclidea, iperbolica,sferica):

(a) cilindro (b) pseudosfera (c) semisfera



Modelli geometrici intrinseci

1 Modello di Beltrami-Klein (modello proiettivo);

2 modello di Beltrami-Riemann-Poincare (disco di Poincare);

3 modello di Beltrami-Liouville (semipiano di Poincare).



Alcuni oggetti interessanti per la geometria sono:

le geodetiche: curve che descrivono localmente la traiettoria piu breve fra duepunti nello spazio;

gli orocicli (o cerchi limite):curve perpendicolari a delle geodetihe che passanotutte in un punto all’infinito;

gli ipercicli: curve tali che i loro punti hanno la stessa distanza ortogonale dauna data retta.



Modello proiettivo

(d) Geodetiche nelmodello diBeltrami-Klein.

(e) Cerchi nel modello diBeltrami-Klein.

Distanza finita:

d(u, v) =1

2log(b(u, v ′, v , u′)).

Metrica:

ds2 =‖dx‖2

1− ‖x‖2+

(x · dx)2

(1− ‖x‖2)2.

.Martina De Marchis Breve storia della geometria non euclidea 30 maggio 2017 18 / 20


Modello del disco di Poincare

Geodetiche (in verde) orociclo (in rosso) e ipercicli (in blu) nel modello di

Riemann-Beltrami-Poincare.

Distanza finita:

d(u, v) = arcosh

(1 + 2

||u − v ||2

(1− ||u||2)(1− ||v ||2)

).

Metrica:

ds2 = 4dx2 + dy2

(1− x2 − y2)2.



Modello del semipiano di Poincare

Geodetiche (in verde), orocicli (in rosso)e ipercicli (in blu) nel modello di Beltrami-Liouville.

Distanza finita:

d(u, v) = arcosh(1 + (u′ − u)2 + (v ′ − v)2

2vv ′ )

Metrica:

ds2 =dx2 + dy2

y2


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