Poliedri

Prof. Daniele Ippolito

Liceo Scientifico “Amedeo di Savoia” di Pistoia

Geometria euclidea dello spazioPresentazione n. 5

Poliedri

Un poliedro è un solido delimitato da una superficie formata da un numero finito di poligoni convessi situati in piani diversi, in modo che ogni lato sia comune a due di essi.

I poligoni che delimitano il poliedro sono detti facce.I lati delle facce sono detti spigoli.I vertici delle facce sono vertici del poliedro.

Nella maggior parte dei casi, ci occuperemo di poliedri convessi.

Teorema di Eulero

In ogni poliedro convesso, detti F il numero di facce, V il numero di vertici e S il numero di spigoli,

F + V – S = 2

F = 6, V = 8, S = 12

F = 5, V = 6, S = 9F = 5, V = 5, S = 8

Prisma

Dato un poligono convesso, si considera un insieme di rette parallele, incidenti al piano del poligono e passanti per i suoi vertici. Tali rette, prese a coppie, definiscono un insieme di facce piane, detto superficie prismatica indefinita.

Si dice prisma indefinito il poliedro delimitato da una superficie prismatica indefinita.

Si dice prisma (finito) una parte di prisma indefinito delimitata da due piani paralleli al poligono di partenza.

Le facce parallele al poligono di partenza si dicono basi del prisma.Le altre facce sono dette facce laterali (sono parallelogrammi).La distanza tra le due basi è detta altezza del prisma.

Un prisma si dice retto se le sue facce laterali sono perpendicolari alle basi (sono rettangoli).Un prisma si dice regolare se è retto e se le sue basi sono poligoni regolari.

h

Si chiamano diagonali del prisma i segmenti che uniscono due vertici non appartenenti alla stessa faccia.

Parallelepipedi

Il parallelepipedo è un prisma avente per basi due parallelogrammi.

Il cubo è un parallelepipedo rettangolo avente facce quadrate.

Il parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo avente facce rettangolari.

d

dl

Angoloide

Dato un poligono convesso, si considera un insieme di semirette aventi origine in un medesimo punto, esterno al piano del poligono, e passanti per i suoi vertici. Tali semirette, prese a coppie, definiscono un insieme di facce piane, detto angoloide.

L’origine delle semirette è detto vertice dell’angoloide.

Le semirette sono gli spigoli dell’angoloide.

Gli angoli definiti da una coppia di spigoli consecutivi sono detti facce dell’angoloide.

Un angoloide a tre spigoli si dice triedro.

Per un triedro, la prima proprietà delle facce è l’equivalente nello spazio della diseguaglianza tra i lati di un triangolo.

Proprietà delle facce di un angoloide:

1) In un angoloide, ogni faccia (angolo) è minore della somma delle rimanenti.

2) In un angoloide, la somma delle facce è minore di un angolo giro.

Piramide

Si dice piramide un poliedro delimitato da una parte di angoloide compresa tra il vertice e un piano che interseca tutti gli spigoli.

La faccia parallela al poligono di partenza si dice base della piramide. Le altre facce sono dette facce laterali.L’origine delle semirette è detto vertice della piramide.

La distanza tra il vertice e la base è detta altezza della piramide.

Piramidi rette

Se nella base è inscrivibile una circonferenza, una piramide si dice retta se la perpendicolare dal vertice alla base passa per il centro della circonferenza.

Per il teorema delle tre perpendicolari, VK è perpendicolare ad AB, quindi è l’altezza della faccia laterale VAB.

V

KAB

H

Ripetendo il ragionamento per le altre facce, si dimostra che le altezze delle facce laterali sono congruenti.

In una piramide retta, l’altezza di ciascuna faccia laterale è detta apotema della piramide (o apotema laterale).

Una piramide si dice regolare se è retta e la sua base è un poligono regolare.

Il raggio della circonferenza inscritta nella base è detta apotema di base.

Vale la relazione pitagorica: h2 + r2 = a2

Piramidi regolari

Si può dimostrare facilmente che gli spigoli laterali e le facce laterali di una piramide regolare sono congruenti.

Tronco di piramide

Un tronco di piramide si ottiene sezionando una piramide con un piano parallelo alla base.

Le facce laterali del tronco di piramide sono trapezi.

La distanza tra le due basi è detta altezza del tronco.

Se la piramide originaria del tronco è retta, le altezze dei trapezi sono congruenti e sono dette apotema del tronco.

Un poligono si dice regolare se ha angoli e lati congruenti.

Richiamo di geometria piana: poligoni regolari

Esistono infiniti poligoni regolari.

Poliedri regolari

Un poliedro convesso si dice poliedro regolare (solido platonico) se ha per facce poligoni convessi regolari congruenti e se in ogni vertice concorre lo stesso numero di facce. Esistono cinque poliedri regolari:

Tetraedro Esaedro Ottaedro

Dodecaedro Icosaedro

Tipo di facce concorrenti in un vertice

Ampiezza di ogni faccia

Condizione sulla somma

delle ampiezze

delle facce

Valori possibili per il numero n

di facce concorrenti in un vertice

Solido platonico

Triangoli equilateri 60° n ∙ 60° < 360°

n = 3n = 4n = 5

TetraedroOttaedroIcosaedro

Quadrati 90° n ∙ 90° < 360° n = 3 Cubo

Pentagoni regolari 108° n ∙ 108° < 360° n = 3 Dodecaedro

Esagoni regolari 120° n ∙ 120° < 360° nessuno

Perché sono possibili solo cinque poliedri regolari?

Solido platonico Figura F S V

Tetraedro 4 6 4

Cubo 6 12 8

Ottaedro 8 12 6

Dodecaedro 12 30 20

Icosaedro 20 30 12

Proprietà dei poliedri regolari:

1) Un poliedro regolare ha angoloidi e diedri congruenti.

2) Un poliedro regolare è inscrivibile e circoscrivibile ad una sfera. Sfera inscritta e sfera circoscritta hanno lo stesso centro, detto centro del poliedro regolare.

Disegno di Keplero nel Mysterium Cosmographicum (1596)

3) Congiungendo i baricentri di ciascuna faccia di ogni poliedro regolare, si ottiene un altro poliedro regolare, detto duale dell’originario.