COMPITI DI MATEMATICA PER LE VACANZE DI NATALE

I numeri perfetti

"Un numero intero si dice perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori"

Il più piccolo numero perfetto è il 6: infatti è divisibile (oltre che per sè stesso) per 1, 2 e 3 e la loro somma 1+2+3=6

Già i matematici greci, da Pitagora ad Euclide, erano affascinati dalla ricerca di questi rarissimi numeri. Ne troviamo ancora uno nei primi cento numeri: il 28 (divisibile per 1,2,4,7 e 14 la cui somma è 28). I greci conoscevano altri due numeri perfetti: il 496 (=1+2+4+8+16+31+62 +124+254+248), e il numero 8128 (=1+2+4+8+16+32+64+127+254+ 508+1016+2032+ 4064).

Nel medioevo gli studiosi religiosi sostenevano che la perfezione del 6 e del 28 si può ritrovare nella struttura dell'universo perchè Dio creò la Terra in 6 giorni e fece girare la Luna attorno alla Terra in 28 giorni.

Perchè si scoprisse un altro numero perfetto dovevano passare 17 secoli: solo nel XV secolo, ad opera di un matematico anonimo, venne rivelato il quinto numero: il 33.550.336.

Dopo altri due secoli vennero scoperti da Pierantonio Cataldi il sesto ed il settimo numero perfetto: il 8.589.869.056 e il 137.438.691.328.

La ricerca dei numeri perfetti, prima dell'avvento del computer, è stata lunga e faticosa e dal tempo dei greci fino al 1900 ne vennero scoperti solo 12. Il più grande di questi, calcolato senza l'ausilio del computer , è un numero di 72 cifre che impegnò per diversi mesi Edward Lucas, un grande esperto di giochi matematici dell'Ottocento.

Evidenziando le potenze di 2 che sono presenti in ogni numero perfetto, Eulero nel 1772 scopri che essi sono strettamente legati ai numeri primi dalla seguente formula :

n=2p-1(2p-1)

dove p è un numero primo.

Ad esempio con p=3 si ottiene2(3-1)x(23-1)= 22x(8-1)=4x7=28che è il secondo numero perfetto.

Con p=5 si ottiene 2(5-1)x(25-1)=24x(32-1)=16x31=496 che è il terzo numero perfetto e così via.

Eulero, con questa formula, calcolò p= 231-1 x (231-1) e scoprì l'ottavo numero perfetto, il 2.305.843.008.139.952.128 di 19 cifre, che egli calcolò manualmente.

I numeri primi nella forma (2p-1) si chiamano numeri di Mersenne, dal nome del frate francese che per primo ebbe l'idea di applicare questa formula per la ricerca dei numeri primi. Se anche il numero di Mersenne così calcolato è a sua volta un numero primo, allora n è un numero perfetto.

Il più grande numero perfetto calcolato senza uso del calcolatore fu scoperto, nel 1877, dall' esperto di giochi matematici Edouard Lucas che, nella forma [2127-1 x (2127-1)], calcolò un numero di ben 77 cifre.

Oggi conosciamo 39 numeri perfetti. Il più grande ha più di 8 milioni di cifre ed è stato scoperto il 14/11/2001 da Michael Cameron, 20 anni, del Canada, coadiuvato dall'istituto di ricerca del GIMPS, diretto da Scott Kurowsky

Finora i numeri perfetti scoperti sono tutti numeri pari, ma i matematici non possono escludere che il quarantesimo numero sia dispari e nemmeno che la loro lista sia finita o infinita.

Carl Pomerance, matematico dell'università della Georgia, ha dimostrato che, se un giorno sarà trovato un numero perfetto dispari, esso dovrà contenere almeno 7 numeri primi diversi.

Una seconda curiosità, che si può dimostrare, è che ogni numero perfetto, tranne il 6, è uguale alla somma della successione di numeri dispari (partendo da 1) elevati al cubo.

Esempio: 28= 13 + 33 496= 13 + 33 + 53 + 73

8128= 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153

Un terzo aspetto dei numeri perfetti maggiori del 6 è la somma degli elementi che compongono il numero che è sempre uguale a 1.

I numeri triangolari

Un numero triangolare è un numero che è la somma dei primi N numeri naturali. Ad esempi 28 è un numero triangolare perchè:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

Il nome “triangolare” deriva dal fatto che, fin dall’antichità, si notò che tali numeri potevano essere rappresentati da triangoli costituiti da punti, ciascuno dei quali è una unità. Ad esempio, nel nostro esempio (28):

*

**

***

****

*****

******

*******

Esiste una semplice formula per calcolare l’n-esimo numero triangolare, cioè la somma dei primi n numeri naturali:

T(n) = n*(n+1)/2

Per esempio, per n = 7, otteniamo:

T(7) = 7*(7+1)/2 = 7*8/2 = 56/2 = 28

I primi numeri triangolari sono:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990….

E’ interessante notare che la somma di due numeri triangolari consecutivi è sempre un quadrato esatto, per esempio:

T(5) + T(6) = 15 + 21 = 36 = 6^2

T(6) + T(7) = 21 + 28 = 49 = 7^2

T(7) + T(8) = 28 + 36 = 64 = 8^2

Da notare anche che tutti i numeri perfetti (numeri uguali alla somma dei loro divisori propri) sono numeri triangolari.

Un’altra interessante proprietà è che il quadrato di un qualsiasi numero triangolare T(n) è uguale alla somma dei primi n numeri naturali al cubo:

[T(n)]^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ….. + (n-1)^3 + n^3

Per esempio:

[T(4)]^2 = 10^2 = 100

[T(4)]^2 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100

C’è ancora da osservare che tutti i quadrati esatti dispari sono della forma 8*T(n) + 1.

Per esempio:

11^2 = 121 = 8*15 + 1 = 8*T(5) + 1

13^2 = 169 = 8*21 + 1 = 8*T(6) + 1

C’è infine da notare che ci sono infiniti numeri triangolari che sono anche quadrati esatti. I primi di essi sono:

T(1) = 1 = 1^2

T(8) = 36 = 6^2

T(49) = 1225 = 35^2

T(288) = 41.616 = 204^2

T(1681) = 1.413.721 = 1189^2

T(9800) = 48.024.900 = 6930^2