7/24/2019 Clavius Algebra

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L ALGEBRA di CRISTOFORO CLAVIO S. J.Gert Schubring1

1Universitt Bielefeld, Germany, and Universidade Federal do Rio de Janeiro, Brazil, gert.schubring@unibielefeld.de

Trdu!i"ne it#in cur di $dre Sbin" %&&e" S. J. ''!"ecola #aticana, smaffeo@s"ecola.va

$%ividi un dato numero in due "arti secondo una certa "ro"orzione, che molti"licate tra loro danno unnumero che & nella stessa "ro"orzione al 'uadrato del numero "i( "iccolo).*lavio dava numeri s"ecifici nei suoi "roblemi. +el "roblema a""ena citato il numero dato & -- e ladata "ro"orzione delle due "arti & un 'uarto. !i chiami il "i( "iccolo e / il "i( grande. 0a somma deidue & 1, cos2 l3e'uazione & tra 1 e --. %ividendo l3e'uazione "er 1 si ottiene 4- come numero "i("iccolo e 5- il "i( grande. 6l risultato & che il numero -- & anche uguale a un 'uarto del 'uadrato 7/--8del "i( "iccolo 74-8.

(. C$it"#" ))) * Enig+i di ,ri nu+eri -trtti in cui #e/u!i"ne 0 tr tre nu+eri due dei /u#i -"n"

ugu#i9ui c3erano /: "roblemi in ;/ "agine

1. C$it"#" )))I * Enig+i -u ,ri nu+eri ri&eriti /untit2 c"ncrete c"n $recchi e-e+$i -u rdici di

-ec"nd" grd".6n 'uesto ca"itolo *lavio es"ose :- "roblemi in 1- "agine. 03enigma n. /5 7". ;;/8 & 'uello ben noto deidue mercanti con una borsa comune. 03ultimo ca"itolo, il -;8 dette "er la "rima volta un a""roccio di carattereteorico all3algebra nel suo trattato Zetetik, "ubblicato nel 1?. gli, benchA continuasse ad usaretermini geometrici "er dare nome alle "otenze della variabile, introdusse notevoli innovazioni, come ladistinzione tra numeri e variabili. lla fine, fu merito di %escartes che trasformC il lavoro di #i&te nel>;:, se si "ose fine all3algebra cossist e si iniziC a sa"er trattare un numero illimitato di variabili.

1. L A#gebr di C#,i"

*ristoforo *lavio "ubblicC la "rima edizione di 'uesto suo testo di algebra nel >-5, aRoma, "er l3editore Danetti, re"licata in modo simile nel >-?. E 'uesta edizione chentendiamo "resentare e commentare. +ella "rima "agina di co"ertina c3& il nome deli"ografo !te"hanus Gamonetus ma non il luogo della "ubblicazione. uttavia da

ricerche fatte in cataloghi di libri si & sco"erto che il luogo fu urelianae llobrogum.Una seconda ricerca ci dice che 'uesto nome corris"onde a 'uello della citt diGinevraH il che & al'uanto sor"rendente dato che, a 'uel tem"o, Ginevra era 'uasi la

ca"itale del Irotestantesimo riformato.6l *atalogo della biblioteca di 0eibniz in annover ci rivela l3esistenza di un3altra

edizione del >-? stam"ata in FranciaH 0eibniz, nel :-; scrisse una lettera a Bernoullinella 'uale dice di aver a""reso l3algebra dal testo di *lavioK $%a ragazzo, studiai3algebra elementare da un certo 0ancius e "i( tardi da *lavio ...) 6l libro di algebra di*lavio fu il testo base in tutte le scuole dei Gesuiti del settecento sia in uro"a chenegli altri continenti. Ier esem"io *artesio, che fre'uentC la scuola dei gesuiti di 0aFl&che, senza dubbio a""rese l3algebra sul testo del *lavio.'. LA#gebr di C#,i" c"+e un te-t" C"--i-t

0a tradizione *ossist dell3algebra non & stata studiata molto dalla storiografia. 0e sueorigini sono dovute all3emergenza in 6talia di alcuni elementi di algebra dovuti, da unato, alla trasmissione di conoscenze e notazioni algebriche giunte in 6talia e nellaFrancia meridionale dal Lagreb arabo e da lndalus.a "artire dal4-- circa.Fibonacci & 'ui un esem"io notevole8, dall3altro lato, al ra"ido svilu""o dell scuole

dabaco, a cominciare da Firenze. "artire dalla fine del cin'uecento 'ueste "ratiche arrivarono nelle citt mercantiliedesche e si svilu""arono in una forma che "rese il nome di CossH Gi i matematici

arabi avevano dato alla "rima "otenza di una variabile il nome $shin), che gli italianiradussero col nome $cosa), %a 'ui derivC il nome Cossusato in Gemania.

Un testo im"ortante di 'uesta tradizione tedesca di algebra cossista, "rodotto da ungru""o s"ecializzato di $maestri calcolatori) fu 'uello di *hristo"h Rudol"h 7/??1/18, denominato Coss nell 141, ma il cui titolo "i( esattamente &H Behend undhubsch Rechnung durch die kunstreichen Regeln Algebra so gemeinicklich die Coss

genennt werden 7*alcolo snello e agile attraverso le regole artificiali dellMalgebra, cheviene generalmente chiamato 0a *N!! 8. dam Ries 7/?411?8, il famosoCalcolatore, "ortC a termine nel 14/ il suo manoscritto $%ie *oss), che "erC fustam"ato solo nel secolo ?O.*lavio fu certamente influenzato da 'uesto contesto tedesco. La, contrariamente

alla tradizione dei testi di abaco e *oss che venivano scritti in lingua vernacola, scrissel suo libro in latino.

9ui, i simboli successivi ra""resentano le "otenze di, cio& , , 4;, e cos2 via . *ome indica lo $etc) 7Pc8alla fine della lista, le "otenze "otevano continuaresenza un limite. 9uindi . 7vedi figura a destra8 eglis"iegC il significato di 'uesti segni, cominciando da +come l3unit, e continuando col segno "er indicare$res) o $coss). 6n "ratica, lo strano ghirigoro chera""resenta & un simbolo ti"ografico di $re7s8). 6lsimbolo "er 4 ra""resenta una $z) come si usa incerte calligrafie, ed & derivato da census, es"ressioneatina usata "er il 'uadrato. 6nfine egli d una lista dei"rimi 4 segni, cio& delle "rime 4 "otenze dellavariabile.

E facile notare che la terminologia "er 'ueste entit algebriche & derivata da nozioni geometriche comeuadrato, cubo, e costruendo "otenze "i( alte, derivandole da forme com"oste. %3altra "arte, 'uestonguaggio geometrico non gli im"ed2 di costruire una serie illimitata di "otenze . 6n realt, le lettere %, ,cc. usate "er le "otenze "i( alte, non "rovengono da un contesto geometrico.

lavio usC 'uesto linguaggio geometrico "er l3algebra neluo libro, benchA lui "arlasse di numeri exponentesrogressionis "er caratterizzare la "osizione di ciascunermine nella serie. illustrC ciC anche in modo chiarovedi tabella a destra8.E molto interessante vedere 'uesta concettualizzazionei tre serie "aralleleH gli es"onenti, i simboli cossisti e ialori "er Q4. "ag. 4 egli dette anche i simboli cossistier gli es"onenti numeri "rimi da 4 al > ecc.

0a "rima es"ressione e'uivale a :; 4 5-.. 0a "rima colonna e'uivale a 7:; 4 5-8 ;; -4 5/8 Q /; 4 ->.%3altra "arte *lavio non introdusse segni "er la molti"licazione e la divisione. 6n alcuni casi di

molti"licazione di due numeri, usC il "untoH 4 . /, ma in generale es"resse le o"erazioni da fare conarole comeH $ductus in ...), $divisio "er ...). Ugualmente, "er es"rimere l3uguaglianza non usC segni maarole. Ier esem"io, "er es"rimere un3uguaglianza, scrivevaH $ae'uatio sit inter 1 :P ).

. 5"t!i"ni e O$er!i"ni

6n 'uesto ca"itolo, *lavio introdusse i segni $) e $$ "eraddizione e la sottrazione e s"iegC come fare 'ueste"erazioni con i segni cossist, cio& in "articolare "er agire solou termini dello stesso grado, su 'uantit omogenee. 9ui &ustrato un esem"io di sottrazione, effettuata con metodomile a 'uello matricialeH

'uesto riguardo, benchA *lavio aderisse allo stile retorico tradizionale, introdusse una notevolennovazioneH egli s"iegC che i segni R' e Rcu usati al suo tem"o "er le radici 'uadrata e cubicaotevano indurre in errore, "robabilmente a causa del suo modo di es"rimere le "otenze con l3usoelle lettere dell3alfabeto. gli fece "resente che alcuni autori recenti gi usavano il segnos, cheorris"onde al nostro segno moderno della radice. E interessante notare che egli sostitu2 i segniradizionali "er le radici "i( alteH R', Rcu, R'', con i simboli cossist usati "er 'ueste "otenze

6nfatti, tali radici sono finzioni molto utili e "ratiche. +ello stesso modo, gli es"erti in algebra non temono lafinzione di numeri "i( "iccoli del nulla. in 'uesto c3era gi tutta intera la giustificazione. +el seguito *lavio s"iegCin modo molto "i( dettagliato come fare, "er esem"io, la sottrazione >-.*ome a""licazione di $'uesta "iacevole arte) egli era orgoglioso di "resentare una serie continua di $numeri finti),"assante "er lo - come termine intermedio, e continuando con gli interi "ositivi. 6n realt 'uesta non era un suasco"erta, ma l3aveva "resa dal volume Aritmetica integra di Lichel !tifel del 1//. !tifel aveva "ubbli catoesattamente 'uesta stessa figura, famosa nella storiografia in 'uanto viene considerata come il germe da cui & natoil concetto dei logaritmi. %i fatto, anche *lavio mise in forte evidenza l3im"ortanza di mettere in relazione con'uesta figura una "rogressione geometrica affiancata ad una aritmetica il che e'uivale a stabilire una relazionetra addizione e molti"licazione 7". 4?8.

6. 7"+ini di nu+eriFinora *lavio aveva "reso in esame solo numeri interi. Fu a 'uesto "unto che egli introdusse le frazioni dei numericossisti e le o"erazioni con esse. *ome segno "er indicare una frazione usC la linea. E assai sor"rendente, tuttavia, ilfatto che *lavio non avesse nessuna idea di numeri immaginari o com"lessi, benchA matematici italiani comeBombelli se ne erano occu"ati "i( di trenta anni "rima. *lavio si occu"C molto di radici irrazionali, ma mai fecemenzione di 'uantit com"lesse.8. L reg"# de###gebr*os2 *lavio, do"o aver "re"arato i domini dei numeri e le o"erazioni su essi, "assC a s"iegare 'uale fosse il verosco"o dell3algebraH cio& 'uello che egli chiamC la $regola dell3algebra).

*os2 *lavio restC fedele al suo modo di vedereH invece di usare gli es"onenticome numeri "er caratterizzare l3ordine della radice, restC fedele alla "ratica dinominare il grado della "otenza.

9. I nu+eri negti,i e # reg"# $er # +"#ti$#ic!i"ne e di,i-i"ne*lavio, benchA avesse un ca"itolo es"ressamente dedicato ai numeri negativi,introdusse la regola dei segni gi in un ca"itolo "recedente sulla molti"licazionee divisione. gli s"iegC, senza "rovare a darne una dimostrazione, ma solo"rovando a giustificare con esem"i numerici che molti"licando e dividendo "i(

"er "i( e meno "er meno si ottiene "i( 7". 4?8. *os2, egli conce"2 la regola deisegni nella maniera tradizionale, come stabilita fin dai tem"i di %iofanto, "ertermini com"osti e non "er i cosiddetti numeri negativi isolati 7o genuini8.6l ca"itolo seguente aveva il titoloH $!ui numeri fittizi, o inferiori al nulla). ccocome egli giustificava le o"erazioni con 'uesti numeriH #ari autori affermanol3esistenza di radici di numeri che in realt non esistono come la radice'uadrata o cubica di 4- 7assumendo cos2 che la radice debba essere un numerointero8.

6l com"ito dell3algebra, che & risolvere le e'uazioni, com"rende 'uattro fasiH la "rima & tradurre ine'uazione il "roblema es"resso in "arole, 'uindi ridurre l3e'uazione mettendo dalla stessa "arte itermini omogenei, dividere la "otenza "i( alta dell3e'uazione "er i suoi coefficienti in modo da dare

all3incognita il coefficiente e, finalmente, se necessario, estrarre la ris"ettiva radice in modo daottenere il valore dell3incognita.*iC & sor"rendentemente sem"lice. !ostanzialmente 'uanto detto corris"onde alla regola che era gistata data da lShTarizmiH al-abre al-mu!abalae'uivalgono a 'uesto metodo di riduzione. +e segueche *lavio non offre un "rogramma teorico "er l3algebra, ma d "iuttosto una serie di regole "ratiche. 6nfatti da esse non si ricavano sistemazioni di ti"i di e'uazione nA "rocedimenti standard "er la lorosoluzione.6l libro continua col "resentare e discutere esem"i di "roblemi. 6nfatti, il grosso di ciC che rimane delvolume, con le sue ;5; "agine, com"rende 'uattro ca"itoli con un enorme numero di "roblemi e lorosoluzioni. E caratteristico il fatto che i titoli di tre ca"itoli comincino con $enigmata), cio& indovinelli. 6lche ricorda lo stile e i contenuti dei trattati arabi e italiani, da Fibonacci in "oi, in "articolare 'uelli deitrattati dabbaco. Iroblemi es"osti a sco"o di divertimento.*iC che "i( emerge in 'uesti tre ca"itoli & il modo sofisticato di o"erare con la limitazione concettuale enotazionale im"osta dal sistema cossist dei numeri, che "ermette di calcolare con una sola variabile come & evidente dalla sua introduzione e a""licazione. ""ure i "roblemi in generale consistono nellaricerca di "arecchi numeri, che sono le incognite. *iC viene ottenuto trattando le altre incognite comecombinazione lineare della sola incognita legittima. E chiaro che ciC vale solo "er alcuni determinati"roblemi.

:. C$it"#" ))I) * Enig+i di ,ri nu+eri -trtti inc#u-i due di t#i nu+eri che $"rtn" d un

e/u!i"ne -e+$#ice9uesto ca"itolo contiene la maggior "arte dei "roblemiH :/ "roblemienigmi in - "agine. cco unesem"io ti"icoH

;. I -i+b"#i c"--i-ti

%o"o un breve ca"itolo di carattere storico, che attribuisce ad un astronomo arabo chiamato$Gebrus) nome ricavato in realt in base al titolo dell3o"era di lShTarizmi il ca"itolosuccessivo & dedicato all3introduzione dei simboli cossisti che verranno usati nel testo. *laviontrodusse i numeri cossisti come numeri $denominati), costituenti una serie a "artire dall3unit.9uesta serie "uC essere vista come una serie di "otenze della $cosa), della variabile, a cominciaredalla "otenza zero. *lavio dette la lista delle serie geometriche, cio& delle serie di "otenze.