CIVIL TURNO MAÑANA 2013 - Celestino Brutti

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL PARANÁ CIVIL TURNO MAÑANA

2013

TRABAJO INTEGRADOR Nº2 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA GEOMETRÍA ANALÍTICA – CÓNICAS Y CUÁDRICAS MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA APLICACIONES A LA INGENIERÍA

Cátedras: Álgebra y Geometría Analítica Análisis Matemático I Profesores: Titular: Ing. Felicia Dora Zuriaga (Alg. y G. A.) Titular: Ing. Celestino Benito Brutti (A. Mat. I) Prof. De la comisión: Titular: Ing. Celestino Benito Brutti (A. Mat. I) Ayud. de 1º: Ing. Milton Martin (A. Mat. I) Titular: Ing. Felicia Dora Zuriaga (Alg. y G. A.) J.T.P.: Ing. Gabriela Martinez (Alg. y G. A.) Alumnos (y correo electrónico): . . Grupo Nº:

Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Paraná

Análisis Matemático I – Algebra y Geometría Analítica Trabajo Práctico Integrador Nº2

Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD

REGIONAL PARANÁ

INGENIERÍA ELECTROMECÁNICA, ELECTRÓNICA Y CIVIL

CÁTEDRA: ANÁLISIS MATEMÁTICO I

TRABAJOS PRÁCTICOS 2013

INSTRUCCIONES DE PRESENTACIÓN 1- El trabajo práctico debe ser presentado en papel obra alisado con formato A4 de norma IRAM. Los márgenes deben ser:

2- Las hojas no estarán numeradas en forma correlativa. 3- Las hojas serán escritas a máquina o computadora en las dos caras. 4- Cada ejercicio se comenzará en una hoja aparte y se numerarán las hojas indicando ejercicio y página: Ejemplo: EjercicioD-12/pág.1. . . 5- En cada ejercicio debe constar el enunciado con los datos y luego la resolución a continuación. EjercicioD-12 ………………………….. Solución: ………………………….. …………………………… 6- Los gráficos deben realizarse en computadora. 7- Cada trabajo debe venir acompañado de un CD que quedará para la cátedra (con los ejercicios corregidos). 8- Una vez presentado el trabajo, el mismo será evaluado verbalmente y en forma individual en un coloquio, con la presencia de todos los integrantes del grupo. 9- El trabajo práctico será presentado anillado con tapa transparente o en una carpeta con tapa transparente. 10- Los grupos tendrán 2 alumnos como mínimo y 3 alumnos como máximo. 11-Las condiciones de aprobación se deben ver en el Manual de Cátedra.



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA EJERCICIO 1 a. Calcular la capacidad total del tanque de sección elíptica en metros cúbicos. b. Completar la tabla indicada, calculando los volúmenes que contiene el depósito cuándo

la profundidad del líquido es H. TABLA

H Volumen 0

x120d1

x220d1

x320d1

… …

x2020d1

c. ¿Cuánto pesa el tanque vacío si el espesor de la chapa es de 1/8” (3.2mm)?



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA Datos

Grupo d1 (mm) d2 (mm) L (m) 1 2300 3600 16 2 2325 3575 15,75 3 2575 3550 15,5 4 2600 3525 15,25 5 2625 3350 15 6 2650 3325 14,75 7 2675 3300 14,5 8 2700 3275 14,75 9 2500 3250 14,5 10 2525 3500 15,25 11 2550 3475 14,25 12 2350 3450 14,5 13 2375 3425 16 14 2400 3400 15,75 15 2425 3375 15,5 16 2450 3225 15,25 17 2475 3200 15 18 2725 3175 14,25



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA EJERCICIO 2 a. Determinar la ecuación de la parábola y sus características (focos, vértices, directrices,

lado recto, excentricidad, etc.) b. Determinar las ecuaciones de las rectas, sus ordenadas al origen y pendientes. c. Calcular las ecuaciones de las superficies generadas al girar las rectas alrededor del eje x.

Graficar. d. Calcular la ecuación de la superficie generada al girar la parábola alrededor del eje x.

Graficar. e. Calcular el área A de la región R. Limitada superiormente por las rectas e inferiormente

por la parábola. Medidas en metros. f. Calcular el perímetro de la región R. g. Calcular el volumen VX generado al girar la región R alrededor del eje x. h. Calcular el área lateral AX del volumen generado al girar la región R alrededor del eje x. i. Calcular las coordenadas del centroide de la región R. Graficar. j. Calcular las coordenadas del centro de gravedad de una placa de densidad superficial δ=

(100+0.125x+0.1x2)kg/m2




G X1 Y1 Y2 α 1 2,3 11 15 18° 2 2,4 10,8 15,3 19º 3 2,5 10,6 15,6 18° 4 2,6 10,4 15,9 20º 5 2,7 10,2 16,2 18° 6 2,8 8,8 16,5 21º 7 2,9 8,6 16,8 18° 8 3 8,4 17,1 22º 9 3,1 8,2 17,4 19º 10 3,2 8 17,7 23º 11 3,3 7,8 18 20º 12 3,4 10 18,3 24º 13 3,5 9,8 18,6 18° 14 3,6 9,6 18,9 25º 15 3,7 9,4 19,2 21º 16 3,8 9,2 19,5 26º 17 3,9 9 19,8 18° 18 4 7,6 20,1 19º



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA EJERCICIO 3 a. Dada la gráfica de la función arctg, hallar la ecuación de la misma. b. Dada la gráfica de la parábola cúbica determinar su ecuación. c. Determinar las ecuaciones de la función logarítmica y la exponencial. d. Graficar conjuntamente las cuatro funciones. Medidas en metros. e. Determinar las coordenadas de los puntos de intersección. f. Calcular el área A de la región R. g. Calcular el perímetro de la región R. h. Calcular los momentos estáticos del área A de la región R respecto a los ejes

coordenados (Mx y My). i. Calcular las coordenadas del centroide de la región R. j. Calcular las coordenadas del centro de gravedad de la chapa cuya impronta es la de la

región R si la densidad varía según la siguiente ley: f(x)=150(1+0.21x)kg/m2 k. Calcular el volumen V que se obtiene al girar R alrededor del eje x. l. Calcular el área lateral del volumen generado en k. m. Determinar la ecuación de las superficies generadas por la función logarítmica y la

función arctg f(x) al girar alrededor del eje x. Graficar.



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA Datos Grupo X1 Y1 X2 Y2 d h X3 Y3 X4 X5 X6 f

1 11 3 11 13 1 1,5 1 10 -3 5 8 11 2 11 3 11 15 2 1,7 2 11 -4 5 6 10 3 11 3 11 14 1 1,8 1 12 -5 6 8 11 4 10 4 10 13 2 1,6 2 10 -3 5 8 12 5 10 4 10 13 2 1,7 2 11 -5 6 8 10 6 12 3 12 14 2 1,6 2 11 -4 6 7 12 7 10 4 10 15 1 1,7 1 12 -5 5 6 11 8 11 4 11 13 1 1,4 1 12 -2 6 7 10 9 12 3 12 15 2 1,5 2 10 -3 5 8 12 10 12 4 12 14 1 1,7 1 11 -2 5 6 10 11 10 3 10 14 2 1,6 2 12 -5 6 8 10 12 11 3 11 13 1 1,5 1 11 -3 5 7 12 13 11 3 11 14 2 1,7 2 12 -4 5 8 12 14 10 4 10 13 1 1,6 1 10 -3 6 7 10 15 12 3 12 15 2 1,5 2 11 -5 6 7 11 16 10 4 10 13 1 1,6 1 10 -2 7 8 11 17 9 4 9 14 2 1,7 2 10 -4 5 6 11 18 12 3 12 14 2 1,6 2 12 -2 6 7 12



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA EJERCICIO 4 Ejercicio 4a a. Hallar la ecuación de la función racional entera y=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4 que pasa por

los puntos P1, P2, P3, P4 y P5. b. Graficar conjuntamente los puntos y la función racional entera. c. Hallar la ecuación de la superficie generada al girar la función racional entera alrededor

del eje x. d. Calcular el volumen V generado al girar el área A de la región R alrededor del eje x. e. Calcular el área lateral del volumen V.



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA

Datos Grupo X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y4 X5 Y5

1 1 13 4 6 7 14 10 5 13 16 2 1 8 4 6 7 14 10 5 13 6 3 1 10 3 4 5 12 10 6 13 10 4 4 10 6 4 8 10 12 4 13 10 5 2 15 3 4 7 10 10 4 13 10 6 2 15 4 4 8 10 10 4 12 9 7 3 9 5 3 9 11 11 5 14 6 8 3 11 5 5 9 11 11 6 14 8 9 3 12 5 5 8 12 11 5 14 9 10 2 14 6 4 9 11 12 6 15 8 11 4 8 7 7 10 13 12 7 15 10 12 2 4 3 3 5 6 6 3 7 5 13 3 6 5 5 8 9 9 5 11 8 14 0 7 1 2 3 5 5 2 6 5 15 4 30 8 8 16 20 20 8 24 18 16 3 20 5 5 11 13 13 5 16 12 17 1 3 2 1 3 4 4 2 5 2 18 2 5 3 2 4 5 6 2 7 5



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA Ejercicio 4b a. Determinar la ecuación de la elipse y sus características (v1, v2, F1, F2, Lr, e, directriz,

eje focal, distancia focal). b. Determinar la ecuación de la superficie cilíndrica cuya directriz es la elipse y cuya

generatriz es paralela al vector V. c. Graficar la superficie. d. Calcular el volumen generado al girar la región R alrededor del eje x.




Grupo a b h k V(v1,v2,v3) 1 7 4 9 7 (1, 2, 12) 2 7,1 4,2 8,8 7,3 (1, 1, 10) 3 7,4 4,3 8,6 7,2 (1, 1.2, 10) 4 10,1 5,2 6,8 6,3 (1.2, 2, 12) 5 10,4 5,3 6,6 6,2 (1.5, 2, 11) 6 10,7 5,4 6,4 6,1 (1.2, 2, 12) 7 8,6 4,7 7,8 6,8 (1, 2, 12) 8 8,9 4,8 7,6 6,7 (1, 1.2, 10) 9 11,3 5,6 6 5,9 (1.5, 2, 11) 10 11,6 5,7 5,8 5,8 (1, 1.2, 10) 11 11,9 5,8 5,6 5,7 (1.2, 2, 12) 12 9,2 4,9 7,4 6,6 (1, 2, 12) 13 9,5 5 7,2 6,5 (1, 2, 12) 14 9,8 5,1 7 6,4 (1.5, 2, 11) 15 11 5,5 6,2 6 (1, 1.2, 10) 16 7,7 4,4 8,4 7,1 (1, 2, 12) 17 8 4,5 8,2 7 (1, 1, 10) 18 8,3 4,6 8 6,9 (1.5, 2, 11)



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA EJERCICIO 5 Dadas las superficies:

- S1: esfera - S2: cilindro - S3: tronco de cono - S4: hiperboloide de una hoja - S5: paraboloide circular

a. Determinar las ecuaciones del paraboloide circular, del hiperboloide circular, del cono

circular, del cilindro y de la esfera. b. Graficar. Medidas en metros. c. Calcular el volumen de la figura. d. Calcular las coordenadas del centroide. e. Calcular el área lateral.



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA Datos G X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 X4 Y4 Z4 X5 Y5 Z5 X6 Y6 Z6 X7 Y7 Z7 1 0 9 0 0 6 7 0 0 10 0 9 24 0 3 -7 0 5 -10 0 0 -15 2 0 8 0 0 5 6 0 0 12 0 7 25 0 3 -7 0 5 -11 0 0 -15 3 0 9 0 0 6 6 0 0 11 0 7 24 0 4 -5 0 6 -9 0 0 -17 4 0 9 0 0 6 5 0 0 10 0 7 23 0 3 -7 0 5 -11 0 0 -18 5 0 9 0 0 5 7 0 0 12 0 9 23 0 4 -7 0 6 -11 0 0 -17 6 0 8 0 0 5 6 0 0 11 0 7 24 0 4 -6 0 6 -9 0 0 -17 7 0 8 0 0 5 5 0 0 11 0 7 25 0 4 -5 0 6 -10 0 0 -16 8 0 9 0 0 5 7 0 0 11 0 9 24 0 3 -6 0 6 -9 0 0 -16 9 0 9 0 0 5 6 0 0 12 0 8 25 0 3 -6 0 5 -10 0 0 -17

10 0 9 0 0 6 6 0 0 10 0 8 24 0 3 -6 0 5 -9 0 0 -15 11 0 9 0 0 5 7 0 0 11 0 8 25 0 3 -7 0 6 -10 0 0 -17 12 0 8 0 0 6 5 0 0 10 0 7 25 0 3 -5 0 6 -11 0 0 -18 13 0 8 0 0 6 6 0 0 12 0 9 26 0 4 -5 0 5 -9 0 0 -18 14 0 8 0 0 6 7 0 0 11 0 9 26 0 4 -4 0 5 -9 0 0 -15 15 0 8 0 0 5 5 0 0 10 0 8 23 0 3 -6 0 6 -11 0 0 -16 16 0 8 0 0 6 6 0 0 10 0 8 23 0 4 -7 0 6 -10 0 0 -16 17 0 8 0 0 5 5 0 0 12 0 9 25 0 4 -5 0 5 -11 0 0 -17 18 0 9 0 0 6 7 0 0 12 0 9 26 0 4 -5 0 5 -10 0 0 -18



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA EJERCICIO 6 Dadas las siguientes cuádricas

1- 2

2

2

2

by

axAz ++−=

-A ≤ z ≤ 0

2- 12

2

2

2

2

2

=−+cz

by

ax

- (c+5) ≤ y ≤ (c+5)

3- 12

2

2

2

2

2

=+−−cz

by

ax

- (b+5) ≤ y ≤ (b+5)

Realizar su estudio completo, o sea: a. Determinar los puntos de intersección con los ejes coordenados.

b. Determinar las trazas con los planos coordenados, identificar la curva y graficarla en el

plano coordenado que corresponda identificando los ejes.

c. Determinar la simetría de la gráfica con los planos coordenados, ejes coordenados y el

origen.

d. Determinar trazas con los planos paralelos a los planos coordenados e identificarlas.

e. Realizar las gráficas e indicar el dominio y rango considerandolo como z=f(x,y).

Identificar los ejes coordenados.

Realizar las gráficas con el software correspondiente. Resolver cada ejercicio en forma

independiente.




G A a b c 1 31,2 3,1 4,1 7,2 2 31,1 3,2 4,2 7,1 3 31 3,3 4,3 7 4 30,9 3,4 4,4 6,9 5 30,8 3,5 4,5 6,8 6 30,7 3,6 4,6 6,7 7 30,6 3,7 4,7 6,6 8 30,5 3,8 4,8 6,5 9 30,4 3,9 4,9 6,4 10 30,3 4 5 6,3 11 30,2 4,1 5,1 6,2 12 30,1 4,2 5,2 6,1 13 30 4,3 5,3 6 14 29,9 4,4 5,4 5,9 15 29,8 4,5 5,5 5,8 16 29,7 4,6 5,6 5,7 17 29,6 4,7 5,7 5,6 18 29,5 4,8 5,8 5,5



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA EJERCICIO 7 a. Determinar la ecuación de la elipse y sus características (focos, vértices, directrices, lado

recto, excentricidad y graficar). b. Determinar la ecuación de la hipérbola y sus características (focos, vértices, directrices,

lado recto, excentricidad y graficar). c. Determinar la ecuación de la parábola y sus características (foco, vértice, directriz y lado

recto). d. Determinar la ecuación de la recta, su ordenada al origen y pendiente. e. Determinar los puntos de intersección. f. Calcular el área A de la región R. Medidas en metros. g. Calcular el perímetro de la región R. h. Calcular el volumen VX generado al girar la región R alrededor del eje x. i. Calcular el área lateral AX del volumen VX j. Calcular las coordenadas del centroide de la región R. Graficar. k. Calcular los momentos de inercia IX, IY e I0 del área A.




Grupo h k 1 6 3 2 5 2 3 6 4 4 9 7 5 10 7 6 10 6 7 9 6 8 7 5 9 8 6 10 9 3 11 8 3 12 7 4 13 8 5 14 9 4 15 9 5 16 7 3 17 8 4 18 6 5



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA EJERCICIO 8 El esquema representa una compuerta de un dique que contiene agua a. Determinar las ecuaciones de la elipse, la parábola y la recta. Graficar. b. Calcular el área de la sección. c. Calcular la fuerza ejercida por la presión del líquido (agua) sobre la compuerta.

Datos

Grupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a(m) 14,2 14,1 13,2 15,2 14,5 14,7 14,4 13,4 15,0

Grupo 10 11 12 13 14 15 16 17 18 a(m) 13,1 15,1 14,3 14,9 14,8 13,6 13,9 13,7 14,2



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA EJERCICIO 9 Dada la siguiente viga

a1. Predimensionar la sección de la viga para una tensión de trabajo σt/

550kg/cm2≤σt≤600kg/cm2 a2. Calcular el área de la sección. a3. Calcular el centroide de la sección XC e YC. a4. Calcular los momentos de inercia IXC; IYC e I0C. a5. Calcular los momentos resistentes WXC y WYC. a6. Dimensionar la sección de la viga para una tensión

de trabajo σt/ 550kg/cm2≤σt≤600kg/cm2 b1. Predimensionar la sección de la viga para una

tensión de trabajo σt/ 550kg/cm2≤σt≤600kg/cm2. b2. Calcular el área de la sección. b3. Calcular el centroide de la sección XC e YC. b4. Calcular los momentos de inercia IXC; IYC e I0C. b5. Calcular los momentos resistentes WXC y WYC. b6. Dimensionar la sección de la viga para una tensión

de trabajo σt/ 550kg/cm2≤σt≤600kg/cm2 c1. Predimensionar la sección de la viga para una tensión

de trabajo σt/ 550kg/cm2≤σt≤600kg/cm2.



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA c2. Calcular el área de la sección. c3. Calcular el centroide de la sección XC e YC. c4. Calcular los momentos de inercia IXC; IYC e I0C. c5. Calcular los momentos resistentes WXC y WYC. c6. Dimensionar la sección de la viga para una tensión de trabajo σt/

550kg/cm2≤σt≤600kg/cm2 Datos

Grupo P (kg) L (m) 1 5750 10 2 5800 9 3 5250 7 4 5400 8 5 5600 8 6 5650 7 7 5450 9 8 5100 10 9 5150 10 10 5300 8 11 5350 9 12 5550 9 13 5000 8 14 5050 8 15 5850 7 16 5700 10 17 5500 9 18 5200 9



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA EJERCICIO 10 Dada la gráfica (medidas en cm). A. Calcular la derivada primera y segunda con interpolación de tercer y cuarto orden en 10

puntos igualmente espaciados de la curva. B. Aplicando el método de Simpson a. Determinar el área A de la región R limitada superiormente por la curva y = f(x):

inferiormente por el eje x, a la izquierda por el eje de ordenadas y a la derecha por la recta x = 5.

b. Calcular aplicando el método de Simpson el perímetro de la región R. Las derivadas en cada punto calcularlas aplicando interpolación de tercer o cuarto orden.

c. Calcular los momentos MX y MY del área A. d. Calcular por el método de Simpson las coordenadas del centroide de la región R (xC e yC). e. Calcular por el método de Simpson el volumen generado por la región R al girar

alrededor del eje x. f. Determinar aplicando el método de Simpson los momentos de inercia Ix e Iy del área A de

la región R. Determinar por el método de los mínimos cuadrados las ecuación de la curva (R2≥0.9)y recalcular los puntos a y b.



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA GRUPO 1

01

23

45

25303540




01

23

45

2530354045




01

23

45

25303540




01

23

45

2530354045




01

23

45

30354045




01

23

45

22242628303234




01

23

45

25303540




01

23

45

28303234363840




01

23

45

17181920212223




01

23

45

15202530




01

23

45

18202224




01

23

45

10152025




01

23

45

1015202530




01

23

45

1520253035



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA EJERCICIO 11 Un depósito cónico de sección circular de acuerdo al plano contiene un líquido de peso específico 920kg/m3. El depósito se encuentra lleno de líquido. Hallar el trabajo necesario para bombear todo el líquido hasta la altura h2 (punto A) por encima de la parte superior del depósito.

Datos

Grupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a(m) 11 13 10 11,5 18,5 14 15,5 17 12,5

Grupo 10 11 12 13 14 15 16 17 18 a(m) 10,5 16,5 18 17,5 14,5 15 12 16 13,5



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA EJERCICIO 12 El caño del esquema transporta agua y está empotrado en dos columnas que distan entre sí L(m) y cuya sección interior es A(m2)

a. Diseñar el espesor del caño de sección circular para que la tensión del acero oscile entre

22 500450cmkg

tcmkg ≤≤σ .

b. Diseñar el espesor del caño de sección elíptica para que la tensión del acero oscile entre

22 500450cmkg

tcmkg ≤≤σ .

c. Diseñar el espesor del caño de sección rectangular para que la tensión del acero oscile entre 22 500450

cmkg

tcmkg ≤≤σ .

d. Diseñar el espesor del caño de sección doble T para que la tensión del acero oscile entre

22 500450cmkg

tcmkg ≤≤σ .

e. Seleccionar el caño que implique menor cantidad de material.



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA Datos Grupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 L(m) 12 11 13 10 14 15 12 13 11 14 10 15 12 15 14 13 10 11 A(m2) 0.68 0. 78 0.77 0.69 0. 81 0.76 0.74 0.68 0. 78 0.77 0.69 0. 81 0.76 0.74 0. 78 0. 78 0.74 0.68

- El momento máximo es: 8maxQLM = , donde:

- Q es la carga o peso total en los L metros. - I es el momento de inercia de la sección del caño. - W es el módulo resistente.

- mdIW = , siendo dm la máxima distancia desde el centroide de la sección a la fibra más

alejada.

- WM

tmax=σ



Año 2013 CIVIL TURNO MAÑANA EJERCICIO 13 Dada el área A de la región R limitada por ρ = f(θ) y lateralmente por θ = α y θ = β determinar: a. Graficar la región R. b. Calcular el área A de la región R. c. Calcular el perímetro de la región R. d. Determinar el centroide de la región R. e. El área lateral generada por ρ = f(θ) al girar alrededor del eje polar.

G ρ = f(θ) α β 1 ρ=3[4+3sen (θ ) ] 0 π 2 ρ=5sen (2θ ) 0 1.05 3 ρ=4[1+2cos (θ ) ] 0 π/2 4 ρ=6[1+cos (θ ) ] 0.13 1.1 5 ρ=3[5+cos (θ ) ] 0 π 6 ρ=5[4+3cos (θ ) ] 0 π 7 ρ=8cos (θ ) 0.065 0.75 8 ρ=4θ 0.06 0.8 9 ρ=6cos ( 2θ ) 0 0.5 10 ρ=3[5+sen (θ ) ] 0 π 11 ρ=10sen (θ ) 0.05 0.72 12 ρ=9e 1 . 4 3 0.12 0.68 13 ρ=3[1+2s e n (θ ) ] 0 π/2 14 ρ=3[2+sen (θ ) ] 0 π 15 ρ=5[1+cos (θ ) ] 0.13 1.16 16 ρ=3[1+cos (θ ) ] 0 π 17 ρ=8sen (3θ ) 0 0.40 18 ρ=8[1+sen (θ ) ] 0.13 0.62

CIVIL TURNO MAÑANA 2013 - Celestino Brutti

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