CISM 2000 - ANALISI DELLA CAPACITA’ RESISTENTE E DELLA VITA RESIDUA DELLE STRUTTURE ESISTENTI

CISM – UDINE, SETTEMBRE 2000: STRUTTURE IN C.A./C.A.P. – TECNICHE DI PROGETTO AVANZATE.

PROF. ING. FRANCO BONTEMPI - UNIVERSITA’ DI ROMA “LA SAPIENZA”

www.francobontempi.org - 1 - www.stronger2012.com

ANALISI DELLA CAPACITA’ RESISTENTE

E DELLA VITA RESIDUA

DELLE STRUTTURE ESISTENTI

Franco BONTEMPI

Professore Ordinario di Tecnica delle Costruzioni

Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica,

Università di Roma "La Sapienza".

[email protected]

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mailto:[email protected]




INDICE.

1. CONSIDERAZIONI GENERALI SULLA VALUTAZIONE DELLA

CAPACITA’ PRESTAZIONALE DI UNA STRUTTURA ESISTENTE.

2. ASPETTI CONCETTUALI DELL’ANALISI STRUTTURALE IN

CAMPO NON LINEARE.

3. VERIFICA DELLA SICUREZZA STRUTTURALE.

4. DEFINIZIONE DEGLI STATI LIMITE.

5. MODELLAZIONE DI STRUTTURE INTELAIATE PIANE IN CAMPO

NON LINEARE

6. CONSIDERAZIONI SULLA MODELLAZIONE DEL SISTEMA

STRUTTURALE

7. MODELLAZIONE PROBABILISTICA






1. CONSIDERAZIONI GENERALI SULLA VALUTAZIONE

DELLA CAPACITA’ PRESTAZIONALE DI UNA

STRUTTURA ESISTENTE.

Le situazioni che richiedono di accertare la capacita’ resistente di

una struttura in c.a./c.a.p. sono, in generale, di due tipi:

a) diminuzione delle caratteristiche meccaniche dei materiali

costitutivi per fenomeni di deterioramento provocati da cause

ambientali e che evolvono nel tempo,

b) incremento dei livelli di carico richiesti in conseguenza di

variazioni nella destinazione d’uso o nella categoria di

appartenenza, come accade nel caso dei ponti e viadotti stradali.

A queste situazioni di carattere generale, rappresentate nella

Fig.1.a,b (dove in ascissa si ha il tempo e in ordinata la capacita’

prestazionale della struttura e la domanda), vanno aggiunte quelle

relative a danneggiamenti dovuti a fenomeni particolari, come le

azioni impulsive o le alte temperature da incendio.






Fig.1: Aspetti concettuali dell’andamento (a) deterministico, (b)

stocastico, della capacita’ prestazionale di una struttura nel tempo.






Appare evidente il ruolo fondamentale che le attivita’ di controllo e

di monitoraggio hanno nell’attivare le verifiche sulla capacita’

prestazionale e nel determinare il loro livello di accuratezza.

Tali attivita’, per risultare economiche, devono

1) non interferire con il normale servizio della struttura,

avvalendosi di misurazioni in condizioni ambientali;

2) richiedere pochi punti di misura;

3) essere robusti e affidabili attraverso una ridondanza interna nel

processo di stima.

Non puo’ quindi sfuggire l’analogia con le tecniche relative alle

diagnosi mediche.






4

STRUCTURE

ifor(t)

iseg(t)

123

3

ifor(t)

iseg(t)

h(t)

45

RN

h(t)

6 7

RN

h(t)

8

p

0 25

0

1

Fig.2: Stima del degrado strutturale basata sull’errore di previsione

del comportamento dinamico della struttura esistente da parte di una

rete neurale-fuzzy, addestrata inizialmente sul comportamento

strutturale integro (nominale): (1) punto di misura (non strettamente

necessario) della forzante ambientale (2) ifor(t), (3) punto di misura

della risposta strutturale (4) iseg(t).






Senza dimenticare le caratteristiche proprie di un’opera di

ingegneria civile (unicita’ e non ripetibilita’), tale controllo

continuo dell’opera d’arte richiama procedimenti di controllo di

qualita’ di prodotti industriali e, piu’ in generale, lo stesso concetto

di qualita’ come si è affermato attualmente nell’ottica delle norme

internazionali ISO9000.

In questa ottica, la qualita’ e’ intesa come quella caratteristica di un

bene in grado di soddisfare le necessita’ di un cliente: in particolare

l’introduzione del sistema qualita’ in una organizzazione produttiva

vuole tendere a minimizzare le non conformita’ di prodotto,

ricercando a ritroso, nel processo produttivo, le ragioni di tale

eventuale insuccesso.

Un’opera strutturale e’ intesa come prodotto e, in quanto tale,

attraverso l’auditing di verifica prestazionale se ne valutano le

caratteristiche .






Mutuando i metodi operativi del controllo di qualita’,

si agevola la focalizzazione e la visione globale del problema di

verifica,

si guida l’analisi di dettaglio,

si estrapola dai dati il massimo livello di informazione,

si possono tenere in conto gli errori sviluppatisi in fase di

concezione e progettazione dell’opera, che possono essere i punti

di partenza dell’inadeguatezza o del degrado della capacita’

prestazionale.






Tab.1. Strumenti per la gestione della qualita’ e controllo prestazionale

di un’opera d’arte. Nome: Scopo:

diagramma di flusso

Permette di rappresentare un flusso di attivita’/fasi secondo la sequenza logico-temporale di svolgimento delle stesse: permette l’impostazione e la programmazione delle analisi di verifica, prospettando le possibili alternative decisionali; ne risulta una rappresentazione grafica immediatamente leggibile che descrive il processo di verifica passo per passo, aiutando a focalizzare le scelte alternative e le possibili fonti d’errore;

Analisi delle funzioni

Consente di prospettare e correlare le caratteristiche e le esigenze funzionali di un’opera d’arte, e quindi di valutarne le capacita’ della stessa di soddisfarle; la concezione piu’ rigorosa impone di esprimere stringatamente ogni funzione e di fare riferimento a caratteristiche misurabili: deve essere individuato almeno un parametro di controllo, con il relativo intervallo accettabile di variazione.

Albero delle funzioni (Functional family tree)

Prevede un’organizzazione grafica facilmente leggibile in cui requisisti e/o caratteristiche vengono elencati e correlati fra loro; procedendo dall’alto al basso, diminuisce il grado di importanza delle funzioni o aumenta il grado di dettaglio dell’analisi.

Diagramma causa-effetto (diagramma di Ishikawa)

E’ un metodo di organizzazione dei dati utile per l’analisi di problemi e per l’eliminazione di effetti indesiderati, malfunzionamenti, non conformita’: si seleziona l’effetto da analizzare e si prospettano tutte le possibili cause, ordinandole in base alla maggiore probabilita’ di incidenza sull’effetto in analisi, e correlandole in funzione dell’interazione reciproca; i dati vengono strutturati in una rappresentazione grafica chiamata diagramma a lisca di pesce per la sua forma caratteristica. La prima operazione consiste nell’individuare le diverse categorie di cause; ad ogni causa si associa il maggior numero di informazioni possibili; si scompone ogni causa primaria negli elementi secondari; si costruisce il diagramma.

Albero dei guasti Permette di visualizzare e di sviluppare l’analisi di un difetto, di una conformita’ o di un fatto non previsto (il guasto), relativo all’opera o a una sua parte. Per quanto riguarda il progetto, gli errori possono essere a) nei processi (progettazione, raccolta, elaborazione e trasmissione dei dati, redazione degli elaborati progettuali, controllo), b) negli strumenti (di supporto alla progettazione, di supporto all’elaborazione grafica, di misura e controllo), c) umani. Per quanto concerne le opere, gli errori possono essere: a) di progetto (scelte, contenuti, leggibilita’ degli elaborati, qualita’ e quantita’ delle informazioni rese); b) di realizzazione (metodologie scorrette, strumenti inadeguati, materiali scadenti, personale incompetente), c) mancata previsione di condizione al contorno o di eventi eccezionali.

Suddivisione del prodotto (Product breakdown structure)

Sono metodologie sviluppate dai tecnici aerospaziali statunitensi allo scopo di gestire il progetto e la realizzazione di prodotti complessi: in questo senso, un’opera di ingegneria civile, pur presentando in genere meno difficolta’ e meno rischi del progetto di un veicolo spaziale, non puo’ essere definito semplice. L’organizzazione grafica e’ un diagramma composto da caselle e linee di correlazione; al vertice si trova una sola casella entro la quale e’ specificata l’opera da scomporre: da qui si individuano i sottosistemi, che a loro volta possono essere suddivisi in sotto-sottosistemi.






La valutazione della capacita’ resistente di una struttura richiede un

processo di analisi che ha delle premesse concettuali

sostanzialmente differenti da quelle che sono alla base delle

procedure utilizzate usualmente nella progettazione di una nuova

struttura.

Infatti:

Le normative fanno riferimento a situazioni generali e, quindi,

generiche: da cio’ segue che i dati di ingresso relativi alle

caratteristiche dei materiali sono fissati a priori e quelli relativi

ai carichi sono stabiliti da apposite norme, comuni a tutte le

costruzioni di una data tipologia (edifici per abitazioni, scuole,

ponti,…). La valutazione di una struttura esistente e’ invece un

processo sviluppato caso per caso per ciascuna costruzione,

situata in una ben definita localita’, realizzata con materiali

aventi specifiche caratteristiche e soggetta ad uno spettro di

carico specifico.






Per quanto riguarda gli schemi statici, i meccanismi resistenti,

le condizioni di vincolo, in fase di progetto essi sono definiti

dal progettista sulla base di opportune ipotesi, cosi’ che

possono essere considerati noti. Per le strutture gia’ esistenti,

invece, possono essere ritenute piu’ sicuramente determinabili

le loro dimensioni geometriche, ed anche i parametri di

resistenza dei materiali, qualora vengano ottenuti da accurate

misurazioni ed indagini in situ, mentre sono piu’ incerte le

situazioni di vincolo ovvero le posizioni delle armature

all’interno dei getti o ancora l’efficienza dei cavi di

precompressione all’interno delle guaine.

I differenti requisiti che si impongono in fase di progetto ai

componenti strutturali, come, ad esempio, le percentuali e le

disposizioni delle armature, sono relativamente facili e poco

onerosi da soddisfare in tale fase, mentre possono essere

estremamente costose e difficili da considerare in una struttura

esistente.






Le prestazioni sviluppate nel passato da strutture esistenti,

contribuiscono comunque a ridurre le incertezze insite in ogni

opera nella fase della sua progettazione.

Diverse opere d’arte, possono trovarsi in situazioni di non

conformita’ nel caso di variazioni delle disposizioni normative,

mentre non mancano esempi di costruzioni che hanno

raggiunto e superato la durata convenzionale della vita di

servizio, con prestazioni da considerarsi tuttora pienamente

valide. Problematiche particolari possono essere poste, inoltre,

dalle costruzioni che presentano particolari caratteri storici da

salvaguardare, come e’ il caso di certi ponti in pietra o in

muratura ed anche, ormai, a struttura metallica.






Tabella 3.

Suddivisione delle analisi

In base alla complessita’ geometrica

1D o 2D 3D

Analisi statica

o quasi statica

I III

Analisi

dinamica

II IV

Tabella 4.

Suddivisione delle analisi

in base agli aspetti meccanici considerati

Lineare Non lineare

Deterministica A C

Stocastica B D






Tabella 5. Complessita’ dei livelli di analisi.

Peso =

Costo

Caso Significato

1 IA Analisi 1D o 2D statica o quasi statica lineare

deterministica

2 IB

IIA

Analisi 1D o 2D statica o quasi statica lineare

stocastica

Analisi 1D o 2D dinamica lineare deterministica

3 IC

IIIA

Analisi 1D o 2D statica o quasi statica non lineare

deterministica

Analisi 3D statica o quasi statica lineare

deterministica

4 ID

IIB

IVA

Analisi 1D o 2D statica o quasi statica non lineare

stocastica

Analisi 1D o 2D dinamica lineare stocastica

Analisi 3D dinamica lineare deterministica

6 IIC

IIIB

Analisi 1D o 2D dinamica non lineare deterministica

Analisi 3D statica o quasi statica lineare

deterministica

8 IID

IIIB

Analisi 1D o 2D dinamica non lineare stocastica

Analisi 3D statica o quasi statica lineare stocastica

9 IIIC Analisi 3D statica o quasi statica non lineare

deterministica

12 IIID

IVC

Analisi 3D statica o quasi statica non lineare

stocastica

Analisi 3D dinamica non lineare deterministica

16 IVD Analisi 3D dinamica non lineare stocastica






Tabella 2. Livelli di certezza degli aspetti che caratterizzano il comportamento strutturale.

Situazione: Aspetti globali

(schema statico,

meccanismo resistente, vincoli,..)

Aspetti locali

(parametri dei materiali, intensita’

dei carichi,..)

Progetto (design) + certi - certi

Verifica

(assessment)

- certi + certi






2. ASPETTI CONCETTUALI DELL’ANALISI

STRUTTURALE IN CAMPO NON LINEARE.

Si considera una struttura discretizzata con i criteri del metodo degli

elementi finiti, impostato negli spostamenti.

Sulla struttura si pensano agenti delle azioni che possono essere

sintetizzate nel vettore dei carichi equivalenti P .

Incognite primarie del problema strutturale sono gli spostamenti dei

nodi che individuano la suddivisione in elementi della struttura: tali

spostamenti, in numero finito, sono raccolti nel vettore q .

Da questo vettore, si potranno ottenere:

(1) il campo di spostamenti u P N P q q , e di deformazioni

P B P q q , in qualunque punto P della struttura;

(2) il campo di sforzi (in particolare i diagrammi delle azioni

interne);

(3) le reazioni vincolari.






Il problema strutturale risulta lineare se:

i. il materiale di cui e’ composta la struttura e’ elastico lineare;

ii. gli spostamenti sono piccoli: le equazioni di equilibrio si

possono scrivere nella configurazione indeformata della

struttura, e si ritengono valide le usuali approssimazioni

analitiche, quali confondere un angolo piccolo con il suo seno o

la sua tangente;

iii. i vincoli presenti nella struttura, sono considerati bilateri.

In tali condizioni si verifica in particolare che:

la soluzione del problema strutturale esiste ed e’ unica;

vale il principio di sovrapposizione degli effetti: con

riferimento alla Fig.2, se ad un carico P A corrisponde uno

spostamento q A e ad un carico PB

uno spostamento q B, alla

somma dei carichi P P PA B C corrisponde la somma degli

spostamenti q q qC A B .






Mancando le ipotesi i, ii, iii, si hanno, rispettivamente, non

linearita’ di materiale, non linearita’ geometrica e non linearita’ di

vincoli.

In tali casi, la soluzione del problema strutturale puo’ non esistere, e

se esiste puo’ non essere unica: chiaramente, non vale piu’ il

principio di sovrapposizione degli effetti.

Fig.2: Linearita’ e non linearita’ nella risposta strutturale.






E' bene sottolineare subito che, in campo non lineare, per ottenere

un insieme di risultati attendibili si deve considerare l'evoluzione

della struttura nel suo complesso dallo stato iniziale fino al collasso.

La determinazione di una singola configurazione di equilibrio per

un determinato livello di carico, e' assolutamente insufficiente, in

quanto non permette di valutare quale sia la risposta della struttura

a variazioni di livello del carico stesso: a differenza di quanto

succede quasi sempre in campo lineare, i risultati ottenibili da un

programma non lineare, anche se corretti dal punto di vista

numerico, possono essere assolutamente privi di significato

ingegneristico e totalmente errati dal punto di vista meccanico.

Non potendo piu' applicare il principio di sovrapposizione degli

effetti, ogni fissata combinazione deve essere studiata con

un’analisi specifica. Questo comporta un impegno computazionale

notevole.






Un modello strutturale efficiente dovra’ quindi essere in grado di

cogliere gli aspetti meccanici essenziali, evitando l’introduzione di

parametri incogniti inutili ai fini della rappresentazione che si vuol

dare della struttura.

Con le ipotesi di struttura discretizzata nell’ottica del metodo degli

elementi finiti negli spostamenti, e con ipotesi abbastanza generali,

il problema da risolvere e’ quello di trovare la soluzione q al

sistema di equazioni algebriche non lineari:

R q t F q t, , (1)

in cui la sequenza di situazioni di carico e’ associata a t .

La successione delle soluzioni q al variare di F descrive il

percorso di equilibrio della struttura per l’assegnata storia di carico.






Si osserva che il termine noto di questa equazione, ovvero F q t, , e’

funzione della soluzione q della stessa equazione. Dal punto di vista

meccanico cio’ sta ad indicare che il vettore dei carichi agenti sulla

struttura puo’ essere funzione della sua configurazione deformata,

come accade ad esempio nei sistemi soggetti a forze di tipo non

conservativo o con la presenza di distorsioni impresse che da’

luogo ad azioni statiche la cui intensita’ e’ legata alla rigidezza

della struttura.

L’equazione di equilibrio per l’intera struttura (1) è ottenuta per

assemblaggio di elementi in C.A./C.A.P. La sua soluzione va

ricercata per via iterativa e richiede:

la definizione del procedimento col quale giungere al vettore di

spostamenti qI

corrispondenti all’I-esima iterazione;

la definizione dei criteri per valutare se la soluzione approssimata

qI

converge o no alla soluzione incognita qEX e per arrestare, di

conseguenza, il procedimento iterativo.






In una formulazione secante, il vettore R delle forze nodali

equivalenti, in termini di lavoro, agli sforzi agenti all’interno della

struttura è espresso come

R R q K q q K q

ovvero dal prodotto di una matrice di rigidezza secante K K q

per il vettore incognito q .

Quindi, per una prefissata condizione di carico, lo schema iterativo

e’ composto dai seguenti passi:

e’ nota la soluzione approssimata qI 1

all’iterazione I 1 ;

si valuta la matrice di rigidezza secante K qI 1

;

la soluzione all’iterazione I e’ q K q F qI I I

11

1

;

ad essa compete il vettore delle forze dei residui non equilibrati

(di squilibrio) fra carichi esterni e reazioni interne

r q F q R qI I I ;

si effettuano i test di convergenza: se positivi si e’ trovata la

soluzione, altrimenti si incrementa I e si ricomincia il ciclo

dal primo passo.






Il procedimento iterativo viene arrestato al manifestarsi di uno dei

seguenti stati significativi:

convergenza della soluzione, ovvero raggiungimento di uno

stato di equilibrio;

collasso per raggiungimento del valore di deformazione ultima

di uno dei materiali componenti la struttura;

mancata convergenza della soluzione nel numero massimo di

iterazioni previste (in genere intorno a 20). Questa situazione

e’ associata in genere ad una condizione di carico che supera la

capacita’ portante della struttura.






1

q q q q q

R(q)

F(q)

F

1

1 0

0

1

2

0 1 2 exact

F

FF

R

1

2

R

K(q) K(q)

q

R(q)

F

F0

Fig.3: Soluzione di un problema non lineare col metodo secante

con riferimento ad un solo grado di liberta'. (a) Rappresentazione

geometrica delle prime due iterazioni. (b) Caso di mancata

convergenza della soluzione.






Il percorso di equilibrio

Spostamento x

Carico y






Definizione e caratteristiche del percorso di equilibrio di una

struttura.

Nella trattazione che segue si fa riferimento a problemi nei quali

R R x e F F t , escludendo le altre possibilita’ prima

citate. Si pone inoltre F t t y , con y un vettore costante e

t un fattore moltiplicativo.

Introdotte queste ipotesi, l’equazione di equilibrio (1), si riscrive

nella forma piu’ semplice:

t y R x t r x y r t , 0

La coppia x t t y, al variare di t descrive il percorso di

equilibrio della struttura per l’assegnata storia di carico:

t rappresenta soltanto un parametro, e puo’ essere identificato

con una generica ascissa curvilinea s .






Si consideri adesso la Fig.5: in essa e’ rappresentato

simbolicamente il percorso di equilibrio “0” della struttura, in un

diagramma che ha in ascissa il vettore spostamenti x e in ordinata

il vettore dei carichi y . Questo percorso fondamentale parte

dal punto O, situazione che rappresenta la struttura scarica e

indeformata, e arriva alla generica configurazione equilibrata S,

individuata dall’ascissa s .

Lungo tale percorso di equilibrio fondamentale “0”, si origina nel

punto di biforcazione semplice A un nuovo percorso di equilibrio

“1”. Nel punto di biforcazione non semplice F ne nascono due,

indicati con “2” e “3”. I punti B, E e G sono invece punti limite.

In un punto singolare, di biforcazione o limite, si ha una

molteplicita’ della soluzione in un intorno infinitesimo del punto

singolare: ad esempio nel caso del punto limite B questa

molteplicita’ e’ illustrata dalla vicinanza dei punti B1 e B2;

mentre nel caso del punto di biforcazione A, dalla presenza dei

punti A1 e A2.






Nei punti C e D la “pendenza” del percorso di equilibrio e’, in

termini analitici, infinita: essi possono essere considerati punti

limite in quanto, se si scambiassero gli assi x e y , ovvero si

ruotasse il diagramma del percorso di equilibrio attorno alla

bisettrice del primo quadrante, risulterebbero anch’essi a tangente

nulla.

Il punto H e’ definito invece punto di rottura della struttura,

nascendo dai limiti convenzionali di deformazioni massime

sopportabili dai materiali di cui e’ composta la struttura in

oggetto, ovvero, piu’ in generale, dalle condizioni poste da un

criterio di rottura.






La situazione ideale o perfetta descritta fino ad ora, e’ alterata

dalla presenza di:

1. imperfezioni strutturali,

2. aspetti dinamici.

Nella Fig.5, sono evidenziati ad esempio i due percorsi quasi

statici perturbati “P1” e “P2”, in cui sono scomparsi i punti di

biforcazione, ma che mantengono la somiglianza con i percorsi

ideali “0”, “1”,”2”.

I punti singolari limite che, anche in presenza di imperfezioni

casuali per le quali il percorso di equilibrio e’ perturbato, tendono

a mantenersi inalterati, risultano quindi caratterizzati da quella

proprieta’ che e’ detta nella teoria dei sistemi dinamici stabilita’

strutturale

Questa caratteristica non e’ posseduta dai punti di biforcazione:

essi scompaiono se la struttura e’ imperfetta. Praticamente,

esistono quindi solo punti limite, essendo comunque la struttura

reale soggetta ad imperfezioni.






Dal punto di vista teorico, la presa in considerazione delle

imperfezioni strutturali, permette la valutazione della sensibilita’

della struttura alle condizioni e ai parametri iniziali, e sfocia in

campo dinamico nella teoria del caos.

Dal punto di vista ingegneristico si e’ interessati al ramo di

equilibrio con la piu’ piccola capacita’ portante, perche’ esso

rappresenta la condizione piu’ pericolosa per la struttura: ad

esempio dal punto di biforcazione non semplice F, il percorso “2”

e’ quello ingegneristicamente critico.

Nel caso di strutture in C.A., le imperfezioni strutturali, intese

come disomogeneita’ di resistenza e rigidezza del calcestruzzo e

disomogeneita’ dimensionali degli elementi strutturali sono

sicuramente aspetti fondamentali. Essi hanno un duplice effetto:

da un lato, tendono dunque a far scomparire i punti di

biforcazione, alleggerendo il procedimento di calcolo; dall’altro

per la presenza di comportamenti softening e di discontinuita’

meccaniche quali l’insorgere della fessurazione e la

parzializzazione delle sezioni, essi tendono a rendere estremamente

irregolare il percorso di equilibrio.






3. VERIFICA DELLA SICUREZZA STRUTTURALE.

In termini generali, la verifica di sicurezza di una struttura riguarda il confronto tra una

grandezza A significativa della sollecitazione a cui e’ sottoposta la struttura e una grandezza

R significativa della resistenza della struttura.

A seconda del livello a cui si effettua questa verifica, puntuale/sezionale/globale, tale

verifica puo’ essere organizzata come nello schema seguente:

Tipo di verifica Verifica puntuale:

sullo sforzo

Verifica sezionale:

sulle azioni interne

Verifica globale:

sui carichi

Carico applicato FA FA FA

verifica:

A= FA<FR=R?

Analisi strutturale

Azione interna SA SA SR

verifica:

A= SA<SR=R?

Analisi sezionale

Sforzo puntuale TA TR TR

verifica:

A= TA<TR=R?






A differenza del livello puntuale/sezionale/globale considerato, risulta quindi traslata la

posizione in cui si esegue effettivamente la verifica.

Il livello puntuale e’ quello naturalmente connesso alle tensioni ammissibili, quello

sezionale alla metodologia degli stati limite in forma lineare o pseudo-lineare, mentre quello

globale a livello dei carichi e’ quello connaturato ad una verifica con analisi non lineare.

In campo lineare la verifica di sicurezza e’ indipendente dal livello al quale viene svolta, dal

momento che vale il principio di sovrapposizione degli effetti.

In campo non lineare, il problema e’ piu’ complesso. Si consideri, ad esempio, lo schema

seguente:






Lineare Non lineare

Carico medio FM Carico medio FM

Carico caratteristico

FK=1FM

per = 0 1,

Analisi Carico di progetto

FD=2FK

Livello di carico

F=FM

Strutturale Azione di progetto AD

Azione di livello AD

Analisi

Verifica:R

AsD

D

Verifica:

2121

sA

R

D

M

Strutturale

nel suo

Analisi Azione resistente di

progetto: RD

Azione resistente

media:

complesso

Sezionale Resistenza di progetto:

TD= TK/2

RM

Resistenza caratteristica:

TK =TM/1

Resistenza media: TM Resistenza media: TM






In campo lineare (o meglio pseudo-lineare), analisi strutturale e sezionale sono separate.

In campo non lineare, questa divisione non puo' essere operata: l'applicazione del

coefficiente che diminuisce la resistenza caratteristica dei materiali, non puo' essere

applicata prima dell'analisi strutturale. Infatti cosi’ facendo si abbatterebbero artificialmente

i moduli di rigidezza dei materiali, falsando i risultati dell'analisi strutturale: si ricorda infatti

che dalla rigidezza/deformabilita’ degli elementi che compongono la struttura dipendono sia

la ripartizione delle intensita’ delle azioni iperstatiche, sia l’influenza degli effetti

geometrici.

Inoltre non e' sempre a favore di sicurezza considerare il carico gia' moltiplicato per il suo

fattore maggiorativo .






Si consideri ad esempio la Fig.7.a: in generale a) in presenza di softening materiale non e' piu' possibile

ritenere convesso il dominio di rottura sezionale, per cui fra due situazioni (A) e (C) che vi appartengono

e' possibile trovare, oltre chiaramente alla (D), una situazione (B) che comporta la rottura. Tale

situazione non puo' che essere trovata facendo crescere monotonamente il carico.

Infine, in presenza anche solo di effetti geometrici, al crescere del moltiplicatore del carico, non e' detto

che si percorra un tratto rettilineo nel piano che contiene il dominio di rottura. Ad esempio, in Fig.7.b., e'

rappresentato un percorso curvilineo (A)-(B)-(C)-(D), in cui un punto intermedio causa la rottura della

sezione. Si deve quindi considerare crescente da zero a uno.

Fig.7. Verifica della sicurezza: (a) dominio non convesso; (b) percorso di carico curvilineo.






4. DEFINIZIONE DEGLI STATI LIMITE.

Le funzioni di stato limite che possono essere considerate in

maniera convenzionale sono diverse.

Stati limite di esercizio

Tensioni di compressione nel calcestruzzo troppo elevate possono

innescare fessurazioni longitudinali ed amplificare gli effetti della

viscosità. Eccessivi livelli tensionali nell'acciaio (normale o da

precompressione) conducono inoltre a quadri fessurativi non

accettabili. Criteri di durabilità suggeriscono quindi di limitare lo

stato tensionale nei materiali, ad esempio nella forma:

E1) ckcc f

E2) sykss f

E3) pykpp f

Infine, a spostamenti q elevati si accompagna in genere una perdita

della funzionalità strutturale. Per tale motivo devono anch'essi

essere controllati:

E4) maxminqqq






Stati limite ultimi

La crisi di una sezione trasversale coincide con il raggiungimento

dei seguenti limiti di deformazione nel calcestruzzo e/o nell'acciaio

(normale o da precompressione):

U1) cuc

U2) sus

U3) pup

Comunque, come già precisato, la crisi di una singola sezione non

implica il collasso dell'intera struttura, che risulta invece associato

al raggiungimento di un livello di carico per il quale l'equilibrio non

può più essere verificato:

U4) RF

Si possono comunque avere definizioni piu’ generali di stato limite,

come ad esempio quelle legate al collasso progressivo che possono

essere investigate in dettaglio, data la loro estrema importanza.






5. MODELLAZIONE DI STRUTTURE INTELAIATE PIANE

IN CAMPO NON LINEARE

La formulazione efficace e robusta del metodo di analisi in campo

non lineare e’ il prerequisito fondamentale per poter affrontare il

problema della capacita’ prestazionale di una struttura esistente.

Con formulazione robusta si intende un procedimento di analisi che

dia ampia garanzia di convergere ad una soluzione meccanicamente

corretta, se essa esiste, o che, altrimenti, sia in grado di cogliere

l'impossibilita' di ottenere uno stato equilibrato conforme

all’effettiva capacita' portante della struttura.






Per la costruzione di un modello realistico di una struttura

intelaiata, si considerano i seguenti aspetti:

I. La sezione del generico elemento ruota restando piana

(modello di Timoshenko) e perpendicolare all’asse deformato

dell’elemento (modello di Bernoulli-Navier) (Fig.4).

Tramite la sovrapposizione di piu’ elementi semplici di questo tipo,

si possono rappresentare situazioni generalizzate, in cui esistono

scorrimenti relativi, come nei casi in cui si modellano

esplicitamente fenomeni di aderenza (bond-slip, Fig.5) o si

vogliono considerare fenomeni di scorrimento in travi composte.






y

x

i

u i

vi

i j

u j

vjj

n ex

l

y

x

y

0

x

Fig.4: (a) Sistema di riferimento locale e gradi di liberta'. (b)

Sezione corrente dell'elemento trave

Fig.5: Sovrapposizione di elementi semplici, per rappresentare

fenomeni di aderenza/scorrimento.






II. Il calcestruzzo presenta un comportamento asimmetrico a

trazione e a compressione: si considerano dei legami

costitutivi convenzionali, come ad esempio il modello di Saenz

mostrato in Fig. 6, che rappresentano mediamente il

comportamento del materiale. Per l'acciaio, normale e da

precompressione, si adottano i legami mostrati sempre in

Fig.6.

Attraverso questi legami puntuali, si riesce a cogliere il fattore che

maggiormente influisce sulla risposta risposta strutturale di

travi/telai in c.a./c.a.p., cioe’ la parzializzazione della sezione, qui

riprodotta in modo diffuso (smeared).

Non si coglie quindi lo sviluppo e la distribuzione delle singole

fessure, ma si rappresenta globalmente il comportamento

strutturale, in particolare la diminuzione della rigidezza.

Va ricordato come la valutazione corretta della distribuzione della

rigidezza all’interno della struttura, consenta anche una corretta

valutazione degli effetti indotti da coazioni impresse, quali

spostamenti imposti (cedimenti) o variazioni di temperatura, ma,

soprattutto, degli effetti della precompressione.






f ct

c

c

f c

cu

c 1

E c 0

arctg

ctu

ct 1

f sy

s

-f sy

sy

su

sy

su

s

f py

p

f py

py

pu

py

pu

p

Fig.6. Legami costitutivi: (a) calcestruzzo; (b) acciaio normale; (c)

acciaio da precompressione.






Al crescere del carico, per effetto della parzializzazione delle

sezioni, la parte reagente varia.

Per conseguenza, la sezione effettivamente reagente non ha, in

generale, baricentro coincidente con quello della sezione iniziale.

In tal modo, per effetto di momenti statici non nulli, si crea un

accoppiamento fra il regime flessionale e quello assiale, che

usualmente si puo’ assumere, in assenza di effetti geometrici,

disaccoppiato nell’analisi del solido di De Saint Venant.

Da cio’, assume importanza fondamentale la corretta

interpretazione e imposizione dei vincoli strutturali: da essi

dipende o meno lo sviluppo del cosiddetto effetto arco, che

rappresenta un importante meccanismo resistente delle travature

in cls..






l

h b

2l 1

aa

Q Q

q

a 2

a 1

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

ba

spostamentoca

rico

(c)

Fig.7: Parzializzazione delle sezioni con modellazioni ad elementi mono-

dimensionali per un carico concentrato in mezzeria di ogni campata:

influenza dei vincoli strutturali di estremità (a) carrello-cerniera; (b)

cerniera-cerniera; (c) diagrammi carico-spostamento corrispondenti: la curva

piu’ rigida e’ ottenuta con cerniere fisse a terra.






III. Non linearita’ geometrica (effetti geometrici): Con

formulazioni diverse si tengono in conto i cosiddetti effetti

geometrici P (a livello del singolo elemento) e P

(sull’intera struttura): particolare attenzione ed accuratezza

richiede l'analisi di strutture strallate e con precompressione

esterna.

IV. Non linearita’ dei vincoli: una cura particolare va posta

nell’individuazione della configurazione iniziale della struttura

oggetto di indagine e delle sue condizioni al contorno.






Deformate al crescere del carico

1

2 3

4

Parzializzazione al collasso.

Diagramma dell'azione flettente

Diagrama dell'azione tagliante.

Diagramma dell'azione assiale.

Fig.9: Evoluzione del quadro statico al crescere di un carico uniformemente distribuito su meta' luce.






sezione 1

sezione 2

sezione 3

sezione 4

sezione 5

sezione 6

sezioe 7

sezione 8

Fig.10: Discretizzazione delle sezioni e rappresentazione nei domini di rottura dell'evoluzione delle azioni sezionali (M-N) nelle sezioni dei vari elementi al crescere del carico.






6. CONSIDERAZIONI SULLA MODELLAZIONE DEL

SISTEMA STRUTTURALE

La modellazione e’ quell’insieme di teorie, decisioni e aspetti

operativi che permettono di estrarre dalla realta’ informazioni

utili e coerenti del sistema che si studia.

Queste informazioni sono organizzate nel modello del sistema

reale: tale modello, comporta, generalmente, una riduzione delle

informazioni proprie del sistema reale; esso riassume la realta’,

mantenendone gli aspetti che sono ritenuti utili ed eliminando gli

altri.






Vale la pena sottolineare che la modellazione e’:

un processo decisionale, e quindi soggettivo ed inizialmente

arbitrario, guidato in misura uguale da conoscenze teoriche ed

operative;

un processo riduttivo: la realta’ e’ comunque semplificata e

riassunta, attraverso un processo che, in termini matematici, puo’

essere descritto come la proiezione da uno spazio ad un

sottospazio;

un processo utilitaristico: trova cioe’ la sua giustificazione in base

ai risultati che si ottengono dal modello.






Introducendo una analogia dalla topografia, il modello e’ come la

mappa di un territorio: essa non contiene tutti i particolari del

territorio che rappresenta, ma risulta utile, ad esempio, per

conoscere la distanza fra due localita’.

E’ chiaro quindi che, come esistono differenti sezioni

topografiche e punti di vista di uno stesso territorio, possono

presentarsi differenti modelli per lo stesso sistema, a seconda di

cosa e’ utile evidenziare.






Il processo complessivo della modellazione e’ rappresentato nel

seguente diagramma di flusso, dove sono usati i seguenti simboli

Simbolo Nome Significato

\

extract Estrarre le caratteristiche

merge Assorbire, fondere, riunire le

caratteristiche

process Processo

decision Processo decisionale

e per caratteristiche sono intese quelle del sistema reale oggetto di

studio.

In tal modo, nella parte superiore dello schema seguente e’ bene

evidenziato il procedimento di estrazione del modello dalla realta.

Nella parte inferiore dello schema, sono invece qualitativamente

evidenziate le sfere d’influenza di quelle conoscenze che possono

essere definite globali, o generali, relativamente al problema in

esame, e di quelle conoscenze che possono essere definite locali,

ovvero pertinenti ai diversi approcci operativi della modellazione.






modellazione

processo

utilitaristico

processo

decisionale

processo

riduttivo

modello

fisico

modello

concettuale

modello

interpretabile

(trasparente)

modello

fenomenologico

(opaco)

meccanicistico:

assemblato da

elementi semplici

procedurale:

insieme di regole

funzionale:

mappatura fra dati

iningresso e dati in

uscita

sistema

esperto

interpolazione

e

approssimazione

modello discretizzato

ad elementi finiti

con

oscen

ze glo

bali

con

oscen

ze locali






o u tp u t

O ( t)

d e c is io n i

p e r l 'a n a l is i o la s in te s i

d e l s is te m a r e a le

e n v ir o n m e n t

E ( t )

in p u t

I ( t )

m o d e l lo d e l

s is te m a r e a le

S ( t )

p a r a m e tr i

P ( t )

S ( t ) = s t r u t tu r a d e l m o d e l lo :

- a n a l i t ic a ;

- n u m e r ic a ;

- a lg o r i tm ic a .

P ( t ) = p a r a m e tr i c h e e n tr a n o

n e l la s t r u t tu r a d e l m o d e l lo .

c o n te s to

- N o r m a t iv e ;

- Q u a l i ta ';

- O n e o f f / m a s s p r o d u c t io n ;

- P r o g e t ta z io n e e v o lu t iv a o

in n o v a t iv a .






p ro b le m a

s tu r t tu ra le

d e s c r iz io n e

d e l d o m in io

c o n d iz io n i

a l c o n to rn o

m a te r i a le

g e o m e t r i a

v in c o l i

c a r i c h i

g e o m e t r i a

(e le m e n t i f in i t i , . . )

l e g a m e c o s t i tu t iv o

(o lo n o m o , a n o lo n o m o , . . )

in te g ra z io n e

(p u n t i d i G a u s s ,

G a u s s -L o b a t to , . . )

t e c n ic a r i s o lu t iv a

- m e to to d i c o n t in u a z io n e

( s e c a n te , t a n g e n te , . . )

d i s c re t i z z a z io n e

d e l p ro b le m a

s t ru t tu ra le

ro b u s te z z a d e l l '

a n a l i s i s t ru t tu ra le :

- e f f i c i e n z a ;

- o b ie t t iv i t a ';

- a c c u ra te z z a .






M O D E L L A Z IO N E S T R U T T U R A L E

A N A L IS I

S T R U T T U R A L E

(V E R IF IC A )

S IN T E S I

S T R U T T U R A L E

(P R O G E T T O E

O T T IM IZ Z A Z IO N E )

D E T E R M IN IS T IC A P A R A M E T R IC A P R O B A B IL IS T IC A F U Z Z Y

N O N L IN E A R EL IM IT EL IN E A R E






Single realization of the structural

response

0

1

21 4 7

10

13

16

19

Generalized displacement

Ge

ne

ra

lize

d

re

sto

rin

g

forc

e / lo

ad

Serie1






Realizations of the

structural response

0

1

2

31 4 7

10

13

16

19


Ge

ne

ra

lize

d

re

sto

rin

g

forc

e / lo

ad

Serie1

Serie2

Serie3

Serie4

Serie5

Serie6

Serie7

Serie8

Serie9

Serie10






Mean structural response

0

1

2

3

1 3 5 7 9

11

13

15

17

19

21


Ge

ne

ra

lize

d

re

sto

rin

g f

orc

e

/lo

ad






Interval of the structural resposnse

0

1

2

3

1 3 5 7 9

11

13

15

17

19

21


Ge

ne

ra

lize

d

re

sto

rin

g f

orc

e

/lo

ad






in p u t

I ( t )

m o d e l lo d e l


S ( t )

p a r a m e tr i

P i ( t )

o u tp u t

O i( t )A N A L I S I

P A R A M E T R I C A

d a to i l m o d e l lo S ( t ) ,

s i s c e lg o n o u n c e r to n u m e r o

d i v a lo r i d e i p a r a m e tr i P i ( t ) ,

p e r i q u a l i d a l l 'in p u t I ( t ) s i

o t t ie n e l 'o u tp u t O i( t )






in p u t

I i ( t )

m o d e l lo d e l


S ( t)

p a r a m e tr i

P i( t )

o u tp u t

O i( t )S I M U L A Z I O N E D I M C 2

d a to i l m o d e l lo S i( t ) ,

s i g e n e r a n o i p a r a m e tr i P i( t )

e l 'in p u t I i ( t ) ,

p e r o t te n e r e i d iv e r s i o u tp u t

O i( t )






in p u t

I i( t)

m o d e llo d e l

s is tem a rea le

S i( t)

p a ram etr i

P i( t)

en v iro n m en t

E i( t)

o u tp u t

O i( t)S IM U L A Z IO N E D I M C 3

e ' d a to il m o d e llo S ( t) e s i

sceg lie lo scen a r io E i( t) ,

s i g en e ran o i p a ram etr i P i( t)

e l 'in p u t I i( t) ,

p e r o tten e re g li o u tp u t O i( t)

S cen ar io

In s iem e o rg an izza to e co e ren te d i

s itu az io n i p lau s ib ili e s ig n if ica tiv e ,

p o s te a lla b ase d e l p ro cesso d i an a lis i






in p u t

I i( t)

m o d e llo d e l


S i( t)

p a ra m e tr i

P i( t)

e n v iro n m e n t

E i( t)

o u tp u t

O i( t)S IM U L A Z IO N E D I M C 4

s c e lt i d i v o lta in v o lta i l

m o d e llo S i( t) e lo s c e n a r io

E i( t) ,

s i g e n e ra n o i p a r a m e tr i P i( t)

e l 'in p u t I i( t) ,

p e r o tte n e re g li o u tp u t O i( t)






CRITERIO DI CONVERGENZA.

input

Ii(t)

modello del

sistema reale

S(t)

parametri

Pi(t)

environment

E(t)

output

Oi(t)

Errore

Modelli i-esimi

Intervallo di ottimalita’






IL MODELLO






LA SENSIBILITA’ DEL MODELLO






LA VALUTAZIONE PARAMETRICA DEL MODELLO






ESPLORAZIONE COMBINATORIA DEL MODELLO






LA PROPAGAZIONE DELL’INCERTEZZA ALL’INTERNO

DEL MODELLO






7. MODELLAZIONE PROBABILISTICA

Una struttura è sicura se le azioni applicate S non superano la sua

resistenza R. A causa delle incertezze nella stima delle

caratteristiche geometriche e meccaniche, nella determinazione

dell’entità e della distribuzione dei carichi, nella definizione del

modello strutturale, ecc., le quantità R ed S devono considerarsi

come variabili aleatorie.

Indicando con r ed s particolari realizzazioni di tali variabili, la

probabilità di crisi può essere valutata integrando la funzione di

densità di probabilità congiunta ),(, srf SR nel dominio D = { r, s |

rs }:

)(d)d,()(

, DSRF srsrfSRPP (1)

essendo la funzione di distribuzione cumulata normale standard

e un indice di affidabilità. Tale indice )(1

FP costituisce

una misura convenzionale di affidabilità generalmente più

conveniente di )1( FP .






In alternativa, il problema può essere formulato in termini di

fattore di sicurezza SR/ .

In questo caso la probabilità di crisi risulta dall’integrazione della

funzione di densità di probabilità )(f nel dominio D =

{ | 1}:

)(d)()1(

D

F fPP (2)

Questa formulazione appare più utile in quanto, considerando i

carichi permanenti ed eventualmente il sistema di

precompressione come proprietà del sistema strutturale, a livello

di carico il fattore di sicurezza può essere visto come il

moltiplicatore dei carichi variabili associato allo stato limite .1

In pratica la funzione )(f non è nota e informazioni risultano in

genere disponibili solo per un insieme di n variabili aleatorie

T

nXXXX ]...[ 21 che definiscono il problema strutturale

(caratteristiche geometriche e meccaniche del sistema, carichi,

sistema di precompressione, ecc.).






c o m p o r t a m e n t o

s t r u t t u r a l e

s t a t i l i m i t e

P Q

1






Comunque, essendo )(X , qualora risulti possibile definire una

funzione di stato limite 0)( Xg in modo che la crisi risulti ad

esempio rappresentata dalla condizione 0)( Xg , la probabilità FP

può valutarsi integrando la funzione di densità di probabilità

congiunta )(xf X nel dominio D = { x | 0)( xg }:

)(d)(

DXF xxfP (3)

Sfortunatamente, nella progettazione strutturale le funzioni di

stato limite sono formulate in termini di m variabili aleatorie

T

mYYYY ]...[ 21 che descrivono la risposta strutturale (tensioni,

deformazioni, ecc.). Pertanto, dato che in regime non lineare la

relazione )(XYY risulta in genere definita soltanto in forma

implicita, il precedente integrale non può essere valutato

direttamente.






Le difficoltà insite in tale approccio possono essere superate

mediante un procedimento di simulazione tipo Monte Carlo, nel

quale ripetute analisi non lineari vengono eseguite con

realizzazioni casuali delle variabili X in accordo con le loro ni ,...,1

funzioni di densità di probabilità marginali )( iX xfi

.

Sulla base dei risultati associati alle singole realizzazioni, per ogni

assegnato stato limite 0)( Yh si costruisce la funzione )(f e si

valuta il relativo indice di affidabilità .

La fase di stima dei parametri della funzione )(f risulta in genere

alquanto delicata per i seguenti motivi:

1. in problemi di affidabilità strutturale si devono stimare probabilità

di rovina estremamente basse, dell’ordine di 59 1010 , risultanti

dall’integrale sulle code delle relative distribuzioni di densità: si

deve quindi valutare l’accuratezza di numeri estremamente vicini

allo zero;

2. al fine di limitare l'onere computazionale, il numero di

simulazioni su cui numericamente si stima la probabilità di

rovina deve essere basso: generalmente si opera quindi su un

campione incompleto, le cui irregolarità risultano più evidenti

proprio nelle code dove si hanno pochi dati.






Tenendo presenti tali aspetti, oltre alla natura convenzionale della

stima della probabilita’ di crisi, si può procedere alla stima

dell'indice per via puramente numerica:

N

i

i

N

i

iNN 1

2

1

1,

1






Definizione delle imperfezioni strutturali nella modellazione

probabilistica

Occorre definire come rendere imperfetta la struttura.

Va subito detto che a priori non si conoscono quelle imperfezioni

che portano a convergere sui rami del percorso di equilibrio che

sono piu’ interessanti dal punto di vista ingegneristico, cioe’ quelli

che presentano una risposta strutturale minore.

Si deve quindi procedere per tentativi, eseguendo le analisi con

perturbazioni differenti, in modo da essere sicuri di aver perturbato

nella maniera cattiva, ovvero nella maniera che esalta le possibilita’

di collasso della struttura.

Appare quindi evidente la completezza del Metodo di Monte Carlo

nella valutazione della risposta strutturale.






Si possono considerare nello specifico tre possibilita’:

introdurre delle imperfezioni di carico: detta F la grandezza

rappresentativa del carico applicato sulla struttura, si dispongono

delle componenti di carico in direzione qualsiasi e con modulo

pari a 5%F-0.1%F;

introdurre delle imperfezioni geometriche nella struttura: detta G

la dimensione massima rappresentativa della struttura, si possono

perturbare le coordinate dei nodi della struttura spostandoli

arbitrariamente fino a 5%G-0.1G% dalla posizione originale;

introdurre delle imperfezioni meccaniche: anche qui si possono

introdurre delle variazioni di 5%-0.1% sulle caratteristiche di

rigidezza e resistenza dei materiali, in modo da innescare

localizzazioni, ecc..






Come distribuire realisticamente le perturbazioni sulla struttura

conduce all’analisi strutturale stocastica.

A livello minimo, e’ sufficiente considerare distribuzioni uniformi

del tipo:

v v n vcorrente no

dove il valore corrente vcorrente della grandezza che si perturba e’

dato dal valore nominale vno piu’ la massima variazione ammessa

v moltiplicata per un numero casuale n compreso fra -1 e +1.

Dal punto di vista numerico, perturbazioni piu’ rilevanti portano ad

esaltare rapidamente altri meccanismi come l’effetto P .






Definizione delle variabili nella modellazione probabilistica

Nel seguito si fa riferimento essenzialmente all'analisi di affidabilità

di strutture a telaio in C.A. e C.A.P., introducendo le variabili

aleatorie X che definiscono il problema strutturale e i relativi

modelli probabilistici adottati nel processo di simulazione: tranne i

casi in cui specifiche correlazioni vengono indicate, le variabili X

sono considerate statisticamente indipendenti.

Tali variabili sono:

le resistenze dei materiali cf , syf , pyf , sono considerate variabili

aleatorie con distribuzione lognormale definita dai parametri in

Tab. 6. Nel caso in cui i valori nominali non siano disponibili, i

valori medi possono essere stimati usando i valori caratteristici

associati al frattile al 5%.

i parametri geometrici:

- la posizione (x, y) dei nodi degli elementi strutturali;

- le dimensioni lineari d delle loro sezioni trasversali;

- le aree 1sA , 1pA , di ogni barra d'armatura, rispettivamente ordinaria

e precompressa;

- le relative profondità sy , py .






Per tutte queste variabili si assume una distribuzione di tipo

normale definita dai parametri elencati in Tab. 6.

Le proprietà statistiche della forza di precompressione P

dipendono in genere dal problema specifico che si considera, in

quanto il suo valore dipende dalla variabilità di numerosi

parametri. Nell'applicazione che verrà presentata nel seguito, a

causa dell'assenza di informazioni circa l'effettivo livello di

precompressione nella fase di carico considerata, la

precompressione verrà considera come variabile aleatoria con

distribuzione uniforme fra i valori nommin P e nommax P . I coefficienti min

e max vengono definiti in funzione del livello di incertezza nella

quantificazione di P rispetto al suo valore nominale nomP , il quale

deve naturalmente tenere conto di tutte le perdite, istantanee e

differite.

I carichi permanenti G, ovvero il peso proprio degli elementi

strutturali e non strutturali, e i carichi variabili Q si considerano

come variabili aleatorie con distribuzione normale.






Tralasciando per semplicità la distinzione di natura probabilistica

fra elementi gettati in opera e prefabbricati, si possono ad esempio

assumere i parametri e le distribuzioni della Tabella 6.

Tab. 6. Parametri del modello probabilistico (valore medio e

scarto quadratico ).

Variabile Tipo

cf MPa LN nomc,f 5

syf MPa LN nom,syf 30

pyf MPa LN nom,pyf 100

(x, y)mm N nom),( yx 50

dmm N nomd 5

y mm N nomy 5

1A mm2 N nom1A 0.025 nom1A

G N nomG 0.10 nomG

Q N nomQ 0.40 nomQ






GENERAZIONE DI NUMERI ALATORI CON DEFINITE PROPRIETA’ STATISTICHE: parte I.

VARIABILE CASUALE R CON DISTRIBUZIONE

UNIFORME IN [0,1].

C..................linearkongruenzgeneratoren

DOUBLE PRECISION FUNCTION RANDO()

IMPLICIT DOUBLE PRECISION (A-H,O-Z)

COMMON /RAN/ U,V,RN

PI=3.141592654

A=9821.

B=.211322

ALFAU=(A*U+B)

ALFAV=(A*V+B)

UINT=IDINT(ALFAU)

VINT=IDINT(ALFAV)

U=ALFAU-UINT

V=ALFAV-VINT

RN=DSQRT(-2.*DLOG(U))*DCOS(2.*PI*V)

RETURN

END

N.B.: U, V distribuiti uniformemente, con

semi pari a U=0.6,V=0.4; RN normale standard.

Variabile casuale z con distribuzione normale (gaussiana)

standard: valore medio 0, deviazione standard 1.

2

2

1exp

2

1)( zzf

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

r

f(r)

uniforme

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

z

f(z)

normale standard






Variabile casuale x con distribuzione normale (gaussiana): valore

medio x , deviazione standard x .

2

2

1exp

2

1)(

x

x

x

xxf

N.B.: trasformazione fra la variabile x e la variabile z:

x

x

xx

xzzx

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

f(x)

normale

Variabile positiva casuale y con distribuzione lognormale

la variabile ausiliaria yw ln e’ distribuita normalmente: valore

medio w e deviazione standard w .

2

ln

2

1exp

2

1)(

w

w

w

y

yyf

N.B.: nota w, si ottiene y dalla trasformazione wy exp

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

y

f(y)

lognormale



Stro N

GERwww.stronger2012.com




GENERAZIONE DI NUMERI ALATORI CON DEFINITE

PROPRIETA’ STATISTICHE: parte II.

Generare la variabile casuale t definita statisticamente dalla distribuzione f(t) e dalla cumulata F(t), a partire dalla variabile r uniformemente distribuita in [0-1].

Graficamente si opera come segue:

f(t)

t

r

f(r)

F(t)

t = F-1(r)

t

Numericamente:

1. Si genera un numero casuale r in [0,1];

2. Si risolve l’equazione r = F(t), utilizzando ad esempio il metodo di bisezione;

3. La soluzione t e’ il numero aleatorio con le date caratteristiche statistiche cercato.



Stro N





Stro N




CISM 2000 - ANALISI DELLA CAPACITA’ RESISTENTE E DELLA VITA RESIDUA DELLE STRUTTURE ESISTENTI

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Transcript of CISM 2000 - ANALISI DELLA CAPACITA’ RESISTENTE E DELLA VITA RESIDUA DELLE STRUTTURE ESISTENTI