1Autoinduzione

Un circuito percorso da corrente genera un B

(legge di Ampere-Laplace):

2

0

4 r

usdiB r

Produce un flusso attraverso il circuito stesso (cos come

attraverso una qualunque S che abbia come contorno)

iLdSnr

usdi

S

r

2

0

4 L: coefficiente di autoinduzione oinduttanza

Dipende dalla forma del circuito ed

costante se esso indeformabile.

[L] = /i = weber/Ampere = s = Henry [H]

Esempio: calcolo di L x un solenoide rettilineo indefinito

2f.e.m. di autoinduzione

Se la i non costante o cambia la forma del circuito

il flusso concatenato cambia

nel circuito compare una f.e.m indotta di autoinduzione

cost.) L (se

)(

dt

diL

Lidt

d

dt

dL

La L tale da opporsi alla variazione della corrente stessa

Un circuito con induttanza non nulla si dice

induttivo e lo si indica

iL

3Circuito RL serie: chiusura

Quando linterruttore S chiude o (apre) il circuito:

lL impedisce alla corrente di aumentare (o

diminuire) istantaneamente, perch la variazione

di i genera una f.e.m. indotta che si oppone alla

variazione della corrente stessa.

RiL Ridt

diL

)1( LRt

eR

i

1) Consideriamo il caso in cui il circuito venga chiuso

Ossia: t= 0 i = 0

L

dt

Ri

di

ti

L

dt

Ri

di

00

tL

RRi

ln

4)1( LRt

eR

i

Circuito RL serie: chiusura

RLL / La costante di tempo induttiva H/ = s

LRt

L edt

diL

La f.e.m di autoinduzione

LLL

Rt

iRetii

/)(

Durante la fase transitoria si ha un altracorrente, detta extracorrente di chiusura

>0

5Dove i0=/R La resistenza passa da R ad R (>> R) costante durante il transitorio

L

tL

tR

eR

eR

i

t

Circuito RL serie: apertura

LtR

L eR

R

dt

diL

)(tiR

i LL

f.e.m di autoinduzione

extracorrente di apertura, diversa da zero x un tempo molto breve

t

iL

dt

iR

di

0

0

'

0

'' / RLL

6Energia Magnetica

Ridt

diL

dtRiLidiidt 2

Energia fornita dal generatore

Energia dissipata x effetto Joule da R

Lavoro speso contro la f.e.m. di autoinduzione

x far aumentare la corrente da i a i+di

2Ridt

diLii

Energia Magnetica

7

2

0 2

1LiLidiW

i

Nellintervallo di tempo in cui la corrente passa da 0

ad i, il generatore oltre a spendere energia x effetto

joule, spende un lavoro:

Non dipende dal modo in cui avviene la variazione di corrente.

Energia intrinseca della corrrente: 2

2

1LiUL

La cui variazione d il lavoro fatto dal generatore contro la f.e.m. di autoinduzione

Energia Magnetica

8

Se si apre il circuito LtR

eR

i

Nel resistore viene speso il lavoro:

2

2

2

00

/2

2

22

2

1

2

1Li

R

Ldte

RRdtiR LtR

Lenergia immagazzinata nellinduttanza si ritrova alla fine dissipata sotto forma di calore nella resistenza.

Si consideri un tratto d centrale di solenoide molto lungo, di sezione A: allinterno B

uniforme- esterno B=0. La densit di energia:

Densit di energia immagazzinata in un qualunque punto in cui sia presente un B

Densit di energia di un campo B

Ad

Uu Lm

22

0

22

0

22

2

1

222in

A

iAn

A

i

d

L

Ad

Lium

0

2

2

Bum

niB 0

9

magnetica energia 2 0

2

dB

Um

Carica del Condensatore: circuito RC

10

il condensatore si carica

C

tqtRiVV CR

)()(

dt

tdqti

)()(

RC

dt

Cq

tdq

dt

tdqR

C

tq

)()()(

tq

dtRCCq

tdq

00

1)(

)1( RC

t

eCq

Carica del Condensatore: circuito RC

11

)1( RCt

eCq

RCt

eR

i

)1()(

RCt

C eC

tqV

RCt

R eiRV

sA

C

V

C

RC

A

VFRC

tempodi costante

Scarica del Condensatore: circuito RC

12

C

qVC

0 tempo)nel diminuisce carica (la )(

dt

tdqi

Viene chiuso il circuito

dt

dq

CR

qRi

C

qVV RC

tq

qCR

dt

q

dq

00

RCt

eqq

0

Scarica del Condensatore: circuito RC

13

RCt

eqq

0

RCt

RCt

C eVeC

q

C

qV

0

0

R

Ve

R

Ve

RC

q

dt

dqti CRC

tRC

t

00)(

Processo di carica

14

RCt

gen eR

iP /2

La potenza erogata dal generatore viene in parte dissipata sullaresistenza ed in parte consumata per aumentare lenergia elettrostaticadel condensatore.

RCt

R eR

RiP /22

2

Rgen

RCtRCt

CC PPeR

eR

iVP /22

/2

la potenza istantanea erogata dalgeneratore:

Quella spesa nel resistore

Il lavoro di carica del condensatore

Processo di carica: conservazione energia

15

2

0

/2

0

CdteR

dtPW RCtgengen

2

02

1CdtPW RR

2

02

1CdtPU Ce

Il lavoro fornito dal generatore, quello consumato nella resistenza e lenergia elettrostatica del condensatore:

Processo di scarica: conservazione energia

16

C

qCdte

RdtPW RCtRgen

22

1 02

2

0

/22

0

Ne processo di scarica viene dissipata energia, pari

allenergia elettrostatica iniziale del condensatore:

Densit di energia di un campo E

17

Si consideri un condensatore piano: allinterno E uniforme. La capacit

La densit di energia:

Densit di energia immagazzinata in un qualunque punto in cui sia presente un E

d

SC 0

SSd

dq

CSd

q

V

Uu EE

0

22

22

0

2

2

0

2

22

S

quE

0

E

2

02

1EuE

Mutua induzione

18

dt

diM

dt

d2

1,2

1,2

1

12,112,12

iMdSnBS

21,21,2 iM2,11,2 MM

M costante, i variabile..

dt

diM 12